Sistemas Numéricos - PDF

Sistemas Numéricos Introducción a los Sistemas de Computo Porque Sistema Binario? § Inicialmente las computadoras utilizaban Sistema decimal. § ENIAC y Mark I § John von Neumann propuso procesamiento de datos en forma binaria (1945) § Diseño simplificado § Utilizado para instrucciones y datos. § Rel...

Sistemas Numéricos Introducción a los Sistemas de Computo Porque Sistema Binario? § Inicialmente las computadoras utilizaban Sistema decimal. § ENIAC y Mark I § John von Neumann propuso procesamiento de datos en forma binaria (1945) § Diseño simplificado § Utilizado para instrucciones y datos. § Relación natural de encendido y apagado utilizando la lógica booleana. On Off Verdadero Falso Si No 1 0 Sistemas Numeración § Sistema decimal o base 10 § Origen: utilizar los dedos de las manos para contar § “Digito” del Latin digitus que significa “dedo” § § § § § Base: Incluye los números del 0 al 9 Binario o base 2 Bit (digito binario): 2 dígitos, 0 and 1 Octal o base 8: 8 dígitos, 0 al 7 Hexadecimal o base 16: 16 dígitos, 0 a F § Ejemplos: 1010 = A16; 1110 = B16 Bits Conceptos § Bits son manipulados y almacenados en grupos: § 8 bits = 1 byte § 4 bytes = 1 palabra (en muchos sistemas) § Numero de bits utilizados en cálculos § Afecta la exactitud de los resultados § Limita el tamaño de los números manipulados por la computadora. Números: Representación Física § Diferentes sistemas numéricos, mismo numero de naranjas § Romano: V § Arábigo: 5 § Diferente base, mismo numero de naranjas. § 510 § 1012 § 123 Sistema Numérico § Romano: Independiente de la posición § Moderno: Basado en la notación posicional (valor de la posición) § Sistema Decimal: Notación posicional basado en potencias de 10. § Sistema Binario: Notación posicional basado en potencias de 2 § Sistema Octal: Notación posicional basado en potencias de 8 § Sistema Hexadecimal: Sistema posicional basado en potencias de 16 Notación Posicional: Base 10 43 = 4 x 101 + 3 x 100 Posición de 10 Posición 1 Posición 101 100 Valor 10 1 4 x 10 3 x1 40 3 Evaluación Suma Notación Posicional: Base 10 527 = 5 x 102 + 2 x 101 + 7 x 100 Posición del 100 Posición del 10 Posición 1 Posición 102 101 100 Valor 100 10 1 5 x 100 2 x 10 7 x1 500 20 7 Evaluación Suma Notación Posicional : Octal 6248 = 40410 Posición del 64 Posición del 8 Posición 1 Posición 82 81 80 Valor 64 8 1 Evaluación 6 x 64 2x8 4x1 Suma Base 10 384 16 4 Notación Posicional : Hexadecimal 6,70416 = 26,37210 Posición 4,096 Posición Valor Evaluación Posición 256 Posición 16 163 162 161 160 4,096 256 16 1 6x 7 x 256 0 x 16 4x1 1,792 0 4 4,096 Suma Base 10 24,576 Posición 1 Notación Posicional : Binario 1101 01102 = 21410 Posición Valor Evaluación Suma Base 10 27 26 25 24 23 22 21 20 128 64 32 16 8 4 2 1 0x8 1x4 1x2 0x1 0 4 2 0 1 x 128 1 x 64 0 x 32 1 x16 128 64 0 16 Calculando Magnitud: Binario 1101 01102 = 21410 1101 01102 > 19210 (128 + 64 + bits del lado derecho) Posicion Valor Evaluacion Suma Base 10 27 26 25 24 23 22 21 20 128 64 32 16 8 4 2 1 0 x 32 1 x16 0x8 1x4 1x2 0x1 0 16 0 4 2 0 1 x 128 1 x 64 128 64 Bases § Base: § Un numero o símbolo requerido para representar cualquier numero dado. § § § § § Entre mas grande la base, mayor serán los numerales requeridos. Base 10: Base 2: Base 8: Base 16: 0,1, 2,3,4,5,6,7,8,9 0,1 0,1,2, 3,4,5,6,7 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F Conteo en Base 2 Equivalente Numero 1’s (20) Numero Decimal 0 0 x 20 0 1 1 x 20 1 Binario 8’s (23) 4’s (22) 2’s (21) 10 1 x 21 0 x 20 2 11 1 x 21 1 x 20 3 100 1 x 22 101 1 x 22 110 1 x 22 1 x 21 111 1 x 22 1 x 21 1000 1 x 23 1001 1 x 23 1010 1 x 23 4 1 x 20 5 6 1 x 20 7 8 1 x 20 1 x 21 9 10 Conversion desde Base 10 Tabla de Potencias Potencia Base 2 8 16 8 7 6 5 4 3 2 1 0 256 128 64 32 16 8 4 2 1 32,768 4,096 512 64 8 1 256 16 1 65,536 4,096 De Base 2 a Base 10 Cualquier número binario se puede convertir a su equivalente decimal con sólo sumar los pesos de las diferentes posiciones en el número binario que contiene un 1. Ejemplo: Convertir 101102 a su equivalente decimal. De Base 10 a Base 2 El método de conversión de decimal a numero binario es uno que se puede utilizar para convertir de base decimal a cualquier base. Esto involucra una división sucesiva entre la base hasta que el dividendo sea cero. En cada división el valor residuo es el digito del numero convertido, iniciando con el bit menos significativo. De Base 10 a Base 2 Convertir 333 Division Cociente Residuo Binario 333/2 166 1 1 166/2 83 0 01 83/2 41 1 101 41/2 20 1 1101 20/2 10 0 01101 10/2 5 0 001101 5/2 2 1 1001101 2/2 1 0 01001101 1/2 0 1 101001101 De base 10 a base 2 4210 = 1010102 Potencia 6 5 4 3 2 1 0 64 32 16 8 4 2 1 1 0 1 0 1 0 Cociente 42/32 =1 10/16 =0 10/8 =1 2/4 =0 2/2 =1 0/1 =0 Residuo 10 2 0 0 Base 2 10 2 De Base 10 a Base 2 Base 10 Cociente 42 Residuo 2| 42 ( 0 LSB) 2| 2| 21 ( 1 ) 10 ( 0 ) 2| 2| 2| Base 2 5 (1) 2 (0) 1 ( MSB) 101010 De Base 10 a Base 16 5,73510 = 166716 Potencia Base 4 3 2 1 0 16 65,536 4,096 256 16 1 1 6 6 7 Cociente 5,735 /4,096 =1 1,639 / 256 =6 103 /16 =6 Residuo 5,735 - 4,096 1,639 –1,536 103 – 96 = 1,639 = 103 =7 7 De Base 10 a Base 16 Base 10 5,735 Cocie nte 16 | 16 | 16 | 16 | 16 | 5,735 358 22 1 0 Base 16 1667 Residuo ( 7 LSB) (6) (6) ( 1 MSB) De Base 10 a Base 16 Base 10 8,039 Cocie nte 16 | 16 | 16 | 16 | 16 | 8,039 502 31 1 0 Base 16 1F67 Residuo ( 7 LSB) (6) ( 15 ) ( 1 MSB) De Base 8 a Base 2 La ventaja principal del sistema de numeración octal es la facilidad para hacer las conversiones entre números binarios y octales. Esta se realiza convirtiendo cada digito octal a su equivalente en binario de tres dígitos. Base 8 7 6 5 4 3 2 1 0 Base 2 111 110 101 100 011 010 001 000 De Base 8 a Base 2 § Convertir 4728 a binario Base 8 4 7 2 Base 2 100 111 010 472 octal es equivalente a 100111010 binario De Base 8 a Base 10 72638 Potencia Suma Base 10 = 3,76310 83 82 81 80 512 64 8 1 x7 x2 x6 x3 3,584 128 48 3 De Base 8 a Base 10 72638 = 3,76310 7 x8 56 + 2 = 58 x8 464 + 6 = 470 x8 3760 + 3 = 3,763 De Base 16 a Base 2 § Porque hexadecimal? p Sistemas operativos modernos y redes de computadoras presentan una variedad de solución de problemas en formato hexadecimal Base 16 1 Base 2 0001 F 6 7 1111 0110 0111 De Base 16 a Base 2 §Al igual que el sistema de numeración octal, el sistema de numeración hexadecimal se usa principalmente como un método “taquigráfico” para representar números binarios. § Cada dígito hex se convierte a su equivalente binario de cuatro dígitos. Base 16 9 F 2 Base 2 1001 1111 0010 De Base 16 a Base 2 §La conversión de binario a hex es exactamente el inverso del proceso anterior. El número binario se agrupa en conjuntos de cuatro bits y cada conjunto se convierte a su digito equivalente hex. § Los ceros se agregan, según sea necesario, para completar un conjunto de cuatro bits. Ejemplo: Convertir 11101001102 a hex. Base 2 0011 1010 0110 Base 16 3 A 6 De Base 16 a Base 10 § Un número hexadecimal se puede convertir a su equivalente decimal partiendo del hecho de que cada posición de los dígitos hexadecimales tiene un peso que es una potencia de 16. El LSD tiene un peso de 160=1; la siguiente posición mayor del dígito tiene un peso de 161=16 y asi sucesivamente. 35616 = 6 X 160 + 5 X 161 + 3 X 162 2AF16 = 15 X 160 + 10 X 161 + 2 X162 = 6 + 80 + 768 = 15 + 160 + 512 = 85410 = 68710