Guía de estudio Matemática para informática I PDF 2014

Francisco Mora Vicarioli Matemática para informática I Código 50287 Guía de estudio  Revisión filológica Ginette Durán Carrillo Diagramación Kay Guillén Díaz Prod...

Francisco Mora Vicarioli Matemática para informática I Código 50287 Guía de estudio  Revisión filológica Ginette Durán Carrillo Diagramación Kay Guillén Díaz Producción académica y asesoría metodológica Encargado de cátedra Kay Guillén Díaz Grethel Mena Araya Esta guía de estudio ha sido confeccionada en la UNED, en el 2014, para ser utilizada en la asignatura Matemática para informática I, código 50287, que se imparte en el programa de Área de Comunicación y Tecnología de la Dirección de Extensión Universitaria. Universidad Estatal a Distancia Dirección de Extensión Universitaria Área de Comunicación y Tecnología  Esta guía de estudio tiene el propósito de apoyar en el estudio de la PRESENTACIÓN materia de Matemática para Informática, código 50287, perteneciente al Técnico Universitario en Computación e Informática, del Área de Comunicación de la Dirección de Extensión Universitaria (Dirextu) de la UNED. Se trata de un curso del primer bloque del programa, brinda principios básicos de la matemática orientada a su uso en la informática y que servirán como base para la comprensión de los contenidos de cursos posteriores. La asignatura posee un libro de texto base, Matemáticas para la Computación de José Alfredo Jiménez Murillo (2008), de la editorial Alfaomega. El curso de Matemática para Informática I se clasifica como híbrido a distancia, ya que utiliza una plataforma de aprendizaje en línea donde se proponen recursos de apoyo, espacio para consultas sobre los contenidos, comunicación, tanto sincrónica como asincrónica, y actividades evaluadas. Cuenta también con la aplicación de pruebas escritas de manera presencial. Este documento complementa las explicaciones de los diferentes contenidos que presenta el libro de texto, conceptos clave, algunos vínculos electrónicos para ampliar los contenidos, ejemplos y ejercicios que permiten una mejor comprensión de los temas. Se recomienda iniciar el estudio de los diferentes temas por medio de esta guía, posteriormente puede abordar el libro de texto utilizando las secciones, páginas y ejercicios que se recomiendan. Para el curso no se utiliza todo texto, solo se evalúan seis capítulos y de estos algunas secciones, las cuales se especifican en el Cuadro 1 y al inicio de cada tema bajo el apartado “Guía de lectura para el material de estudio”. Cuadro 1 Temas a estudiar del libro de texto Capítulo Secciones Páginas I. Sistemas numéricos 1.1 Introducción 4 1.2 Sistema decimal 5 1.3 Sistema binario, octal y hexadecimal 6-11 1.4 Generalización de las conversiones 12 1.5.1 Operaciones básicas (solo Suma) 13-16 1.5.3 Multiplicación 19-21 1.7 Aplicaciones de los sistemas numéricos 30 iv  Ejercicios del 1.1 al 1.10 34-37 II. Métodos de conteo 2.1 Introducción 42 2.2 Principios fundamentales del conteo 42-45 2.3 Permutaciones 46-52 2.4 Combinaciones 52-56 2.7 Aplicaciones 64 Ejercicios del 2.1 al 2.16 64-67 III. Conjuntos 3.1 Introducción 74 3.2 Concepto de cálculo 74-77 3.3 Subconjuntos 78-79 3.5.2 Intersección 82 3.5.6 Diferencia 87 v  3.9 Aplicación de teoría de conjuntos 101 Ejercicios del 3.1 al 3.4 104-105 IV. Lógica matemática 4.1 Introducción 116 4.2 Preposiciones 117-125 4.3 Tablas de verdad 125-130 4.10 Aplicaciones de la lógica matemática 163-165 V. Álgebra booleana 5.6 Aplicaciones del álgebra booleana 206-209 5.8 Ejercicios del 5.1 al 5.3 210-211 VI. Conjuntos 6.9 Aplicación de las funciones 267 vi  I. PROPÓSITO DEL CURSO El curso tiene como propósito la comprensión de ejercicios y aplicaciones matemáticas en las que se sustenten las respuestas para la toma de decisiones. Por tal razón, se apoya en las matemáticas discretas que surgen como una disciplina que unifica diversas áreas tradicionales de las matemáticas; es de gran interés para la informática, ya que la información se manipula y almacena en los computadores en forma discreta. Por lo anterior, tiene su aplicación siempre que deban contarse objetos, se estudien relaciones entre conjuntos finitos o se analicen procesos que incluyan un número finito de pasos. II. JUSTIFICACIÓN DEL CURSO Esta asignatura tiene como objetivo estudiar los métodos derivados de la matemática formal con el fin de aplicarlos a una ciencia particular: las ciencias de la computación (lógica computacional o lógica informática, la cual estudia aspectos que solo se presentan en situaciones computacionales; por ejemplo, la especificación de programas de cómputo, la demostración automática de teoremas y la programación automática, surgen del desarrollo de procedimientos computacionales). La matemática contextualizada en la informática estudia la aplicación de las matemáticas discretas en la ayuda del desarrollo de la lógica formal en el estudiantado, incentivando así, la lógica vii computacional para diferentes áreas de las ciencias computacionales, sobre todo en la resolución de problemas y en todas las etapas del desarrollo del software, es decir, especificación, diseño, construcción y verificación formal de programas. III. METODOLOGÍA DE ESTUDIO La naturaleza del curso es teórico-práctica, por lo que es importante estimular y motivar al estudiantado como los responsables de la construcción de su conocimiento. En la parte teórica el estudiantado deberá cumplir con lecturas asignadas, así como tareas, prácticas y ejercicios propuestos. Se fomentará el trabajo en grupo, para lograr un aprendizaje participativo y colaborativo. La parte teórica se orienta hacia la construcción del conocimiento por parte del estudiantado, donde el o la docente fungirá como guía para la construcción y re-construcción del conocimiento. Para lograr una realimentación, en el entorno virtual, se presentarán al estudiantado la calificación oportuna y realimentación de las diferentes actividades, así mismo existen espacios de consultas donde se pueden aclarar aspectos de los contenidos y ejercicios propuestos. Se desarrolla la parte práctica para orientar al estudiantado en el trabajo de las tareas y actividades grupales. Se podrá hacer uso de la plataforma de aprendizaje en línea de la UNED donde se atenderán las consultas que puedan surgir durante el proceso enseñanza-aprendizaje. viii IV. APRENDIZAJE MEDIADO POR LA PLATAFORMA Para el desarrollo del curso, se contará con la plataforma de aprendizaje en línea. Dicha herramienta proporciona el medio en donde se realiza el envío de tareas, proyectos, participación en foros, comunicación por diferentes medios, correo interno, foro de consultas, anuncios y recordatorios, además de otros espacios de interacción grupal, donde se realizan discusiones sobre algunos de los temas propuestos. Los siguientes son aspectos que se recomienda realice cada estudiante para tener un adecuado acceso a la plataforma:  Tener una cuenta de correo electrónico.  Acceso a una computadora.  Conexión a internet. Cantidad de tiempo necesario para participar en foros u otras actividades, que se realicen en la plataforma. El curso tiene un total de 12 semanas distribuidas en módulos que abarcan todo el cuatrimestre. Los módulos tienen una duración mínima de una semana y dos semanas como máximo lo que permite exista suficiente tiempo para el estudio independiente de los contenidos y realizar las actividades evaluadas tendientes a una comprobación de los diferentes temas. ix  i. ALGUNOS ASPECTOS IMPORTANTES QUE DEBE CUMPLIR EL ESTUDIANTE EN EL CURSO A continuación se presentan algunas recomendaciones a seguir por parte de los estudiantes durante el curso:  Ingresar al menos tres veces por semana a la plataforma del curso, ya que la participación en algunas actividades, como los foros, requieren una mayor frecuencia.  Revisar los diferentes espacios de comunicación (correo interno de la plataforma y foro de consultas).  Entregar las tareas por medio de los espacios indicados en la fecha y hora establecida.  Participar constantemente en los espacios de discusión (foros), realizando aportes que reflejen un análisis e investigación de los temas propuestos. No se recomienda dejar los aportes para los últimos tres días del foro, esto afecta la nota de la actividad ya que se desaprovecha la interacción con los compañeros.  Para trabajos grupales, también es necesario el ingreso constante y la comunicación con los compañeros para realizar las actividades propuestas.  Responder a los correos internos que el tutor le dirija de forma personalizada.  Revisar las calificaciones brindadas para cada actividad evaluada del curso e indicar, vía correo interno, sobre aquellas en las que desee se realice una segunda revisión en caso de no estar de acuerdo con la nota brindada. Estas calificaciones estarán disponibles una semana después de cada actividad.  La comunicación con el facilitador se realiza única y exclusivamente por medio de los espacios x  de comunicación de la plataforma, no se hará uso del correo externo en ningún caso.  Toda consulta relativa a los contenidos del curso, ejercicios o ejemplos deben plantearse en el foro de consultas, espacio que permite al facilitador hacer las aclaraciones y que todo el grupo pueda aprovechar dicha realimentación. ii. INDICACIONES GENERALES PARA LAS ACTIVIDADES DEL CURSO A continuación algunas recomendaciones para el aprovechamiento de las actividades evaluadas del curso, las cuales tienen un gran peso en la nota final, ya que representan el 50% de esta.  Las actividades evaluadas que se realizan en la plataforma de aprendizaje en línea no se reponen, por ello, el estudiante debe estar pendiente de las fechas límite propuestas.  Para el envío de tareas, se debe hacer uso del medio indicado en fecha y hora límite, no se admiten por ninguna otra vía.  Todas las actividades del curso tienen una duración mínima de una semana y algunas otras dos semanas, por lo que el estudiante debe planificar su realización, para lo cual se requiere que se haga un estudio previo de los contenidos del curso; el estudio independiente debe iniciarse desde que empiezan los diferentes módulos del curso.  En caso de que tenga algún inconveniente para la entrega o participación de alguna actividad, debe informarlo antes de que esta finalice, vía correo interno dirigido al facilitador del curso.  También, si tiene dificultad para comprender las instrucciones de alguna actividad, puede hacer uso del foro de consultas, siempre antes de la finalización de la actividad. xi V. EVALUACIÓN DEL CURSO La evaluación será formativa y sumativa. El aspecto formativo se refleja en la retroalimentación que brinda el profesor facilitador en la plataforma. Esta consiste en la presentación de ejercicios prácticos resueltos por parte del estudiante, similares a los del material complementario que se encuentra en la plataforma virtual, a los que el docente hace aportes y, en algunos casos, también por parte de sus compañeros. La evaluación sumativa se desarrolla por medio de diversas actividades evaluativas, algunas de ellas en la plataforma y las restantes por medio de dos exámenes ordinarios que se realizan de manera presencial.  I Examen Ordinario: 25%  II Examen Ordinario: 25% El porcentaje total de las actividades en la plataforma de aprendizaje en línea es del 50% de la nota final, que junto con los exámenes, suma el 100% de la nota. Cualquiera de los dos exámenes se puede reponer al finalizar el cuatrimestre, ya sea porque no se realizó, o bien para mejorar la nota del curso y aprobarlo. Este trámite se realiza en el centro universitario respectivo xii VI. DESCRIPCIÓN El propósito de este material es convertirse en un apoyo al libro de texto del curso. Contiene orientación para el abordaje de cada tema, ejemplos y ejercicios. VII. CONOCIMIENTOS PREVIOS El perfil de ingreso del estudiante del programa Técnico Universitario en Computación e Informática, requiere del noveno año de secundaria aprobado, por tanto, los conocimientos previos corresponden a operaciones aritméticas, leyes de potencia, conjuntos numéricos y álgebra básica. xiii CONTENIDO Presentación _________________________________________________________________________________________ iii I. Propósito del curso _______________________________________________________________________________vii II. Justificación del curso _____________________________________________________________________________vii III. Metodología de estudio __________________________________________________________________________ viii IV. Aprendizaje mediado por la plataforma ______________________________________________________________ ix i. Algunos aspectos importantes que debe cumplir el estudiante en el curso ________________________________________ x ii. Indicaciones generales para las actividades del curso__________________________________________________________ xi V. Evaluación del curso ______________________________________________________________________________xii VI. Descripción ____________________________________________________________________________________ xiii VII. Conocimientos previos ___________________________________________________________________________ xiii Contenido __________________________________________________________________________________________ 14 Objetivos generales __________________________________________________________________________________ 18 Capítulo 1 Sistemas de numeración______________________________________________________________________ 19 1. Sistemas de numeración ________________________________________________________________________________ 20 1.1. Introducción _________________________________________________________________________________________________ 20 1.2. Guía de lectura para el material de estudio _________________________________________________________________________ 20 1.3. Conceptos claves _____________________________________________________________________________________________ 21 1.4. Información complementaria ____________________________________________________________________________________ 22 1.4.1. El sistema decimal__________________________________________________________________________________________ 22 14  1.4.2. El sistema binario __________________________________________________________________________________________ 23 1.4.2.1. Ejemplos de conversión en el sistema binario _________________________________________________________________ 23 1.4.2.2. Ejemplo de conversión decimal a binario _____________________________________________________________________ 24 1.4.2.3. Conversión de un número con decimales a binario _____________________________________________________________ 25 1.4.3. El sistema octal ____________________________________________________________________________________________ 26 1.4.3.1. Conversiones de base en el sistema octal_____________________________________________________________________ 26 1.4.3.2. Ejemplo de conversión de número decimal a octal _____________________________________________________________ 27 1.4.3.3. Ejemplo de conversión de binario a octal utilizando la tabla ______________________________________________________ 28 1.4.4. Sistema hexadecimal (base 16) _______________________________________________________________________________ 28 1.4.4.1. Ejemplo de conversión hexadecimal a decimal ________________________________________________________________ 28 1.4.4.2. Ejemplo de conversión hexadecimal a binario _________________________________________________________________ 28 1.4.5. Operaciones entre sistemas de numeración _____________________________________________________________________ 29 1.4.5.1. Ejemplo de suma entre números hexadecimales _______________________________________________________________ 30 1.4.5.2. Ejemplo de suma entre números binarios ____________________________________________________________________ 31 1.4.5.3. Ejemplo de multiplicación entre números binarios _____________________________________________________________ 32 Capítulo 2 Métodos de conteo __________________________________________________________________________ 45 2. Métodos de conteo ____________________________________________________________________________________ 46 2.1. Introducción _________________________________________________________________________________________________ 46 2.2. Guía de lectura para el material de estudio _________________________________________________________________________ 46 2.3. Conceptos claves _____________________________________________________________________________________________ 47 2.4. Información complementaria ___________________________________________________________________________________ 48 2.4.1. Principio fundamental del producto____________________________________________________________________________ 48 2.4.2. Principio de la suma ________________________________________________________________________________________ 48 2.4.3. Factorial de un número _____________________________________________________________________________________ 48 2.4.4. Permutación ______________________________________________________________________________________________ 49 2.4.4.1. Ejemplo de permutación __________________________________________________________________________________ 49 2.4.5. Combinaciones ____________________________________________________________________________________________ 50 2.4.5.1. Ejemplo de combinación __________________________________________________________________________________ 50 15 Capítulo 3 Teoría de conjuntos _________________________________________________________________________ 60 3. Teoría de conjuntos ___________________________________________________________________________________ 61 3.1. Introducción _________________________________________________________________________________________________ 61 3.2. Guía de lectura para el material de estudio _________________________________________________________________________ 61 3.3. Conceptos claves _____________________________________________________________________________________________ 62 3.4. Información complementaria ____________________________________________________________________________________ 65 3.4.1. Conjunto y representación ___________________________________________________________________________________ 65 3.4.2. Símbolo de pertenencia _____________________________________________________________________________________ 66 3.4.3. Subconjuntos _____________________________________________________________________________________________ 67 3.4.4. Algunas leyes importantes de conjuntos ________________________________________________________________________ 67 Capítulo 4 Lógica matemática __________________________________________________________________________ 73 4. Lógica matemática ____________________________________________________________________________________ 74 4.1. Introducción _________________________________________________________________________________________________ 74 4.2. Guía de lectura para el material de estudio _________________________________________________________________________ 74 4.3. Conceptos claves _____________________________________________________________________________________________ 74 4.4. Información complementaria ____________________________________________________________________________________ 77 4.4.1. Ejemplos de proposiciones simples ____________________________________________________________________________ 77 4.4.2. Ejemplos de proposiciones compuestas _________________________________________________________________________ 77 4.4.3. Ejemplos del uso de las tablas de verdad para el análisis de expresiones _______________________________________________ 78 Capítulo 5 Álgebra booleana ___________________________________________________________________________ 87 5. Álgebra booleana _____________________________________________________________________________________ 88 5.1. Introducción _________________________________________________________________________________________________ 88 5.2. Guía de lectura para el material de estudio _________________________________________________________________________ 88 5.3. Conceptos claves _____________________________________________________________________________________________ 89 5.4. Información complementaria ____________________________________________________________________________________ 91 5.4.1. Algunas propiedades para las expresiones booleanas ______________________________________________________________ 91 5.4.2. Determinar una expresión booleana de una tabla de verdad ________________________________________________________ 91 5.4.3. Determinar una tabla de verdad a partir de una expresión booleana __________________________________________________ 92 16 Capítulo 6 Relaciones ________________________________________________________________________________ 103 6. RELACIONES _________________________________________________________________________________________ 104 6.1. Introducción ________________________________________________________________________________________________ 104 6.2. Guía de lectura para el material de estudio ________________________________________________________________________ 104 6.3. Conceptos claves ____________________________________________________________________________________________ 104 6.4. Información complementaria __________________________________________________________________________________ 106 6.4.1. Tipos de relaciones ________________________________________________________________________________________ 106 6.4.1.1. Ejemplo de relación reflexiva _____________________________________________________________________________ 106 6.4.2. Relación irreflexiva ________________________________________________________________________________________ 107 6.4.3. Relación simétrica ________________________________________________________________________________________ 107 6.4.4. Ejemplo de relación simétrica _______________________________________________________________________________ 107 6.4.5. Relación transitiva ________________________________________________________________________________________ 108 Lista de referencias__________________________________________________________________________________ 120 17 OBJETIVOS GENERALES Al concluir el estudio de este curso el estudiante estará preparado para: 1. Analizar los conceptos básicos de los sistemas numéricos, mediante la expresión de símbolos 2. Calcular permutaciones y combinaciones de conjuntos de n elementos en arreglos de diferentes tamaños 3. Reconocer las generalidades de los conjuntos 4. Reconocer las leyes algebraicas de Boole y su correlación con las fórmulas proposicionales 5. Analizar principios de la lógica computacional 6. Analizar los conceptos de relación mediante la resolución de operaciones 18 CAPÍTULO 1 S UMARIO SISTEMAS DE   Definiciones básicas. Sistemas de numeración, binario, octal, decimal y hexadecimal. NUMERACIÓN  Notación exponencial de un número.  Conversiones entre sistemas de numeración.  Operaciones entre sistemas de numeración: suma y multiplicación. S ÍNTESIS Los contenidos permitirán tener una noción de los sistemas de numeración que se aplican en la informática. Estos principios incluyen conversiones y operaciones entre los diferentes sistemas. O BJETIVOS Al finalizar el estudio de este capítulo, entre otras habilidades, usted será capaz de: Adquirir los principios teórico-prácticos de los diferentes sistemas de numeración en procesos de conversión y operaciones para su aplicación en el contexto de la informática. 19 1. SISTEMAS DE NUMERACIÓN Cuadro 2 Temas a estudiar en el capítulo I 1.1. INTRODUCCIÓN Capítulo Secciones Páginas Los sistemas de numeración tienen I. Sistemas numéricos aplicación directa en los sistemas informáticos; precisamente, a lo interno de 1.1 Introducción 4 las computadoras, se manejan distintos 1.2 Sistema decimal 5 sistemas de numeración. En este tema, se 1.3 Sistema binario, 6-11 abarcan los principales aspectos de estos octal y hexadecimal sistemas de conversiones y las operaciones 1.4 Generalización de 12 suma y multiplicación que se pueden realizar las conversiones entre estos. 1.5.1 Operaciones 13-16 básicas (solo suma) 1.5.3 Multiplicación 19-21 1.2. GUÍA DE LECTURA PARA EL MATERIAL DE ESTUDIO 1.7 Aplicaciones de los 30 A continuación, en el Cuadro 2, se presenta la sistemas numéricos lista de los temas a desarrollar con sus Ejercicios del 1.1 al 34-37 respectivos números de página del libro de 1.10 texto. 20 1.3. CONCEPTOS CLAVES sistema de numeración aditivo: Es aquel que utiliza una serie de símbolos para la base numérica: Corresponde al valor máximo de formación del número, pero estos no dígitos que utiliza un número para realizar requieren de un orden específico, su representación. Por ejemplo, en el solamente se suman los valores de cada sistema de numeración binario (base dos), símbolo para obtener el número deseado. utiliza los dígitos 0 y 1, en el sistema octal Entre los ejemplos de los sistemas de (base ocho), utiliza los números del 0 al 7. numeración aditivo están el egipcio y el Estas bases se representan con un griego. subíndice al lado del número y usualmente este se coloca entre paréntesis. Un número sistema de numeración binario: Es aquel que binario con su respectivo subíndice es: utiliza los dígitos 0 y 1. Los números en 11011(2). este sistema se identifican con el subíndice (2). Por ejemplo el número 1101(2) es un conversión de base: Proceso mediante el cual número binario, pues además contiene solo convertimos un número representado en los dígitos 0 y 1. cierta base a su equivalente en otra, utilizando para esto un proceso aritmético. sistema de numeración decimal: Es aquel que También se puede hacer uso de las tablas utiliza los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. de equivalencia. Los números en este sistema se identifican por no tener ningún subíndice. Todo sistema de numeración: Conjunto de reglas y número que no lo posea es decimal, a símbolos que permite representar un menos que se indique lo contrario. número. sistema de numeración hexadecimal: Es el que utiliza los dígitos del 0 al 9 e incluye las 21  letras mayúsculas de la A a la E para que le corresponde según la base del representar los dígitos mayores a 10, por número que se esté utilizando. ende, utiliza el siguiente conjunto para representar los números: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 1.4. INFORMACIÓN COMPLEMENTARIA 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}. Los números en este sistema se identifican con el subíndice (16). A continuación se desarrolla un Por ejemplo, el número 9E3(16) es un resumen y ejemplos de los principales número hexadecimal. contenidos del Tema I, que sirven de complemento a los que se presentan sistema de numeración octal: Es el que utiliza en el libro de texto. los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Los números en este sistema se identifican con el subíndice (8). Por ejemplo, el número 346(8) 1.4.1. EL SISTEMA DECIMAL es un número octal. El sistema decimal es un sistema posicional, es sistema no posicional: Es completamente decir, el valor de un digito depende de su opuesto al sistema posicional. En este posición. Por ejemplo, en el número 548,56 cada sistema la posición de los dígitos no influye uno de los dígitos tiene un valor posicional: en su valor. unidades, decenas, centenas, décimas y centésimas (ver Cuadro 3). sistema posicional: Es aquel donde la ubicación de un dígito influye en su valor. Por ejemplo, en el sistema decimal la posición del digito en la cifra indica si este es una unidad, decena, centena, o bien la potencia 22  Cuadro 3 Cualquiera de las dos representaciones anteriores resultan muy útiles en los otros Valor de los digitos de una cifra según su sistemas de numeración, ya que al realizar el posición proceso de representar el número en forma Dígito Valor Valor posicional o exponencial se obtiene su posicional exponencial equivalente decimal. 5 100 102 4 10 101 1.4.2. EL SISTEMA BINARIO 8 1 100 En el sistema de numeración de base dos, todos 5 10-1 los números se componen únicamente con los dígitos 0 y 1 (cero y uno). Este es uno de los 6 10-2 sistemas más importantes en cuanto a su aplicación en los sistemas digitales, se trata de un sistema posicional. Dos posible formas de representar el número decimal dado son: 1.4.2.1. Ejemplos de conversión en el sistema binario  Forma posicional: Convertir el número 1100,01(2) a decimal 548,56 = 5 × 100 + 4 × 10 + 8 × 1 + 5 × + Para realizar la conversión del número se utiliza 6× el desarrollo de potencias, tomando como base el  Forma exponencial: 2. 548,56 = 5 × 102 + 4 × 101 + 8 × 100 + 5 × 10 –1 + 6 × 10 -2 1100,01 = 1 × 23 + 1 × 22 + 0 × 2 1 + 0 × 20 + 0 × 2-1 + 1 × 2-2 23 = 1 × 8 + 1 × 4+ 0 × 2 + 0 × 1 + 0 × 0,5 + 1 × 0,25 = 8 + 4 + 0,25 = 12,25 Note que el número 12,25 no tiene base. Esto se debe a que a los números decimales no se les debe indicar ningún subíndice, al no tenerlo se entiende que se encuentra en sistema decimal. 1.4.2.2. Ejemplo de conversión decimal a binario Respuesta: El número 134 equivale a Convertir el número 134 de decimal al 10000110(2) sistema de numeración binario Note que se dividió por 2. Esto se debe a que el Para este ejemplo, se utilizará el método de sistema al cual queremos convertir es binario y división por “escalera”, proceso de divisiones su base es 2. Se tomó el último cociente de la sucesivas, donde los residuos y el último cociente última división y luego los residuos de la división, de la división darán como resultado el número de abajo hacia arriba. binario equivalente. De igual forma se procede para convertir números decimales a otras bases: se divide de manera sucesiva por el número que corresponde a la base deseada. 24 La respuesta tiene un subíndice que indica la De las operaciones anteriores se obtiene que 67 base en que está el número. En caso de que se equivale a 1000011(2). omita este subíndice, la respuesta estaría Ahora, se trabaja la parte decimal, 0,82, a binario. incorrecta pues no sería un número binario. Para esto, se utilizan las multiplicaciones 1.4.2.3. Conversión de un número con sucesivas. Como recomendación, se realiza el decimales a binario proceso de la multiplicación el doble de veces del número de decimales que se tiene; en este caso, Convertir el número 67, 82 a binario se hace 4 veces, lo que permite una aproximación Para realizar este proceso, se debe trabajar de más adecuada del número. forma independiente la parte entera del número 0,82 × 2 = 1,64 (67) y la parte decimal (0,82); posteriormente, se unen ambos resultados para obtener el número 0,64 × 2 = 1,28 binario resultante. 0,28 × 2 = 0,56 Primero, se realiza el proceso de divisiones 0,56 × 2 = 1,12 sucesivas para el 67 0,82 decimal equivale a 0,1101(2) Uniendo los dos resultados obtenidos, se tiene que: Respuesta: El número 67,82 equivale a 1000011,1101(2) 25 1.4.3. EL SISTEMA OCTAL Cuadro 4 Tabla de conversión de Octal a Binario Este sistema utiliza los números del 0 al 7 para Octal Binario representar las distintas cantidades. Los únicos 0 000 números posibles en este sistema son los 1 001 números del 0 al 7, por ello, un número que 2 010 contenga el 9, por ejemplo, no podría ser un número octal. 3 011 4 100 1.4.3.1. Conversiones de base en el sistema 5 101 octal 6 110 Para convertir el sistema octal, y cualquier otro 7 111 sistema de numeración, a decimal, se plantea el número en su forma exponencial y se llevan a cabo las operaciones indicadas hasta llegar al Note que la tabla nos brinda una equivalencia número decimal. entre el número octal y binario. También, si desea comprobar la veracidad de esta tabla, basta Para convertir de octal a binario, se puede pasar con dividir de manera sucesiva los números primero el número a decimal y luego a binario o octales por la base del sistema binario (base dos). se puede utilizar una tabla de conversión como la que se presenta en el Cuadro 4. 26 1.4.3.2. Ejemplo de conversión de número decimal a octal 0,33 × 8 = 2,64 Convertir 60,33 a octal 0,64 × 8 = 5,12 Primero se trabaja con la parte entera del 0,12 × 8 = 0,96 número: 0,96 × 8 = 7,68 Los números destacados en negrita corresponden a la parte entera de los valores Respuesta: El número 60 decimal corresponde a dados por la multiplicación. Para expresar el 74 octal. resultado, se toman en el orden de arriba hacia abajo. Note que se realizó la división por la base del sistema octal (8). Recuerde que el resultado de la Se tiene que el valor 0,33 decimal corresponde al división se toma de izquierda a derecha. valor 0,2507 en el sistema de numeración octal. Luego, se trabaja la parte decimal del número, Respuesta: El número 60,33 decimal multiplicando por la base (8) y tomando la parte corresponde a 74,2507(8). entera del valor decimal resultante. Recuerde que la parte entera de un número es la cantidad a la izquierda de la coma. 27 1.4.3.3. Ejemplo de conversión de binario a La equivalencia anterior de números y letras octal utilizando la tabla resulta muy útil cuando se requiere realizar una conversión. Convierta el número 43,22(8) a binario utilizando para ello la tabla de conversión 1.4.4.1. Ejemplo de conversión hexadecimal a decimal Respuesta: 100011,010010(2) Convertir el número 16A2(16) a decimal 1.4.4. SISTEMA HEXADECIMAL (BASE 16) 1 × 163 + 6 × 162 + 10 × 61 + 2 × 160 = Este sistema utiliza 16 símbolos, entre números A=10 {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} y letras mayúsculas {A,B,C,D,E,F}, de tal forma que los números del 10 1 × 4096 + 6 × 256 + 10 × 16 + 2 × 1 = al 15 se representan como se muestra en el 4096 + 1536 + 160 + 2 = Cuadro 5: 5794 Cuadro 5 Respuesta: El número 16A2(16)es 5794 en Representación de los números del 10 al 15 decimal. en base 16 Letra Equivalencia 1.4.4.2. Ejemplo de conversión hexadecimal a binario A 10 B 11 Convertir el número 678,67(16) a binario C 12 haciendo uso de la tabla de conversión. D 13 En el Cuadro 6 se presenta la tabla de E 14 equivalencia. F 15 28  Cuadro 6 Utilizando la tabla anterior se tiene que el Tabla de conversión de Hexadecimal a número 678,67(16), equivale a: Binario Hexadecimal Binario 11001111000,01100111(2) 0 0000 1.4.5. OPERACIONES ENTRE SISTEMAS DE NUMERACIÓN 1 0001 2 0010 Para realizar las operaciones, solo se puede hacer con números que tengan la misma base 3 0011 numérica. Estas se realizan siguiendo las reglas 4 0100 usuales del sistema decimal, solamente se debe 5 0101 cuidar que los números resultantes durante el 6 0110 proceso correspondan a la base con la cual se 7 0111 está trabajando. 8 1000 9 1001 Solo se trabajarán las operaciones de A 1010 suma y multiplicación B 1011 C 1100 D 1101 E 1110 F 1111 29 1.4.5.1. Ejemplo de suma entre números Como 19 no es un número válido en el sistema hexadecimales hexadecimal, se realiza una pequeña conversión, al dividir 19 entre 16, cabe una vez y sobran 3 Realice 45B29(16) + 803(16) unidades, por tanto 19 decimal = 13(16). Se coloca Para iniciar la suma se colocan los números en un 3 y se lleva 1, para sumarlo en la siguiente dos filas y se ordenan en forma de columnas de columna. manera tal que exista correspondencia entre 1 unidades, decenas, centenas y los demás dígitos. 45B29(16) Paso 1: 9 + 3 = 12, como 12 es un número del + 803(16) sistema hexadecimal, se coloca su equivalencia: 32C 12 = C. 45B29(16) Paso 4: 5 + 1 = 6 + 803(16) 1 C 45B29(16) Paso 2: 2 + 0 = 2, se coloca el 2. + 803(16) 45B29(16) 632C + 803(16) 2C Paso 5: Se baja el 4 y se obtiene el resultado final. Paso 3: B + 8, recuerde que B = 11 en el sistema de numeración hexadecimal, por tanto 45B29(16) + 803(16) B + 8 = 11 + 8 = 19 4632C(16) 30 1.4.5.2. Ejemplo de suma entre números 1 1 binarios 111,01(2) +10,11(2) Realice 111,01(2) + 10,11(2) ,00(2) Paso 1: se ordenan las cantidades, se toma como referencia la coma decimal (,). Paso 4: se suma la siguiente columna de 111,01(2) izquierda a derecha, 1+1=2, convirtiendo 2 +10,11(2) decimal a binario se obtiene que 2=10(2). Se coloca un 0 y se lleva 1 a sumar a la siguiente Paso 2: 1 + 1 = 2, convirtiendo 2 decimal a columna. También se baja la coma decimal de binario se obtiene que 2 = 10(2). Se coloca un 0 y forma vertical. se lleva 1 a sumar a la siguiente columna. 1 1 1 1 111,01(2) 111,01(2) +10,11(2) +10,11(2) 0,00(2) 0 Paso 5: ahora se debe sumar 1 + 1 + 1 = 3, 3 Paso 3: se suma la siguiente columna de decimal equivale a 11 binario. Por tanto, se izquierda a derecha, 1 + 1 = 2, convirtiendo 2 escribe 1 y se lleva 1. decimal a binario se obtiene que 2 = 10(2). Se 1 1 1 1 coloca un 0 y se lleva 1 a sumar a la siguiente 111,01(2) columna. También se baja la coma decimal de +10,11(2) forma vertical. 10,00(2) 31 Paso 6: Para finalizar, se suma la siguiente Realice 101,1(2) x 10,1(2) columna de izquierda a derecha, 1+1=2, Paso 1: se colocan los dos números en forma de convirtiendo 2 decimal a binario se obtiene que filas para iniciar la operación. 2=10(2). Se coloca 10 completo. 101,1(2) 11 11 x10,1(2) 111,01(2) + 10,11(2) Paso 2: se inicia la multiplicación, 1 x 1 = 1 1010,00(2) 101,1(2) x10,1(2) 1 Como resultado final de la operación se tiene: Paso 3: continuando la multiplicación en la primera fila, se mantendrán los mismos dígitos Respuesta: 1010 (2) del primer factor (101,1), ya que se está 1.4.5.3. Ejemplo de multiplicación entre multiplicando por 1. números binarios 101,1(2) Para realizar la multiplicación entre números de x10,1(2) bases diferentes a decimal, se debe verificar que 1011 ambos se encuentren en el mismo sistema de numeración. Luego, se siguen las reglas de la multiplicación. 32 Paso 4: ahora se multiplica por 0 el primer factor Paso 6: se suman las filas obtenidas con el y se obtiene una fila de ceros, como se muestra a cuidado de que los números resultantes deben continuación. Se debe cuidar también que la pertenecer al sistema binario. Recuerde que 1(2)+ segunda fila que se obtiene tenga un espacio 1(2 )= 10(2) y que 1(2) + 1(2) + 1(2) = 11(2) vacío de derecha a izquierda; para mostrarlo se presenta un guion bajo con el fin de reconocer el espacio. 6.1 101,1(2) x10,1(2) 101,1(2) 1011 x10,1(2) 0000_ 1011 1011_ 0000_ 1 Paso 5: multiplicando por el último dígito del segundo factor, que corresponde a un 1 se obtiene el primer factor de manera idéntica. 101,1(2) 6.2 101,1(2) x10,1(2) x10,1(2) 1011 1011 0000_ 0000_ 1011_ 1011_ 11 33 6.3 101,1(2) 6.6 101,1(2) x10,1(2) x10,1(2) 1011 0000_ 1 1011 1011_ 0000_ 111 1011_ 110111 6.4 101,1(2) Paso 7: para colocar la coma decimal resultante x10,1(2) se deben contar los espacios decimales que tiene 1 1011 cada factor en la multiplicación. Note que cada 0000_ uno tiene un espacio: 101,1(2) y 10,1(2), por tanto, 1011_ son dos espacios que se deben contar de derecha 0111 a izquierda en el número resultante de la multiplicación, como se muestra a continuación. 6.5 101,1(2) 101,1(2) x10,1(2) x10,1(2) 1 1011 11011 0000_ 0000_ 1011_ 1011_ 10111 1101,11(2) Respuesta: 101,1(2) × 10,1(2) = 1101,11(2) 34 E JERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN A continuación se proponen algunos ejercicios de autoevaluación que le servirán para valorar la comprensión del tema, se recomienda resolverlos antes de comparar con las respuestas. 1. Coloque el desarrollo de potencia de cada uno de los siguientes números de diferentes bases de numeración: Ejemplo: 3A2,21(16) = 3 × 162 + 10 × 161 + 2 × 160 + 2 × 16-1 + 1 × 16-2 Recuerde que A en el sistema de numeración hexadecimal corresponde a 10. a. 6C4,3(16) = b. 1001,011(2)= c. 12,13= 35 2. Realice las siguientes conversiones de base: a. 5D2(16) a decimal b. 12,13 decimal a binario c. 67,2(8) a binario Nota: Para pasar de octal a binario, primero se debe pasar a decimal y luego de decimal a binario. Sin utilizar la tabla de conversión no se puede realizar la conversión directa. d. 471(8) a decimal e. 10,01(2) a hexadecimal (para este caso recuerde que debe realizar dos pasos, primero la conversión de binario a decimal y luego de decimal a hexadecimal) f. 67,2a binario 36  3. Realice las siguientes operaciones: a. 111,101(2) + 10,01(2) = b. 12(8) × 46(8) = c. 1011,101(2) × 1,01(2) = d. 3B2(16) + 15D (16) = s e. 1010,011(2) + 101,101(2)= 37 R ESPUESTA A LOS EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN 1. Coloque el desarrollo de potencia de cada una de los siguientes números de diferentes bases de numeración: 1. 6C4,3(16) = 6 × 162 + 12 × 161 + 4 × 160 + 3 × 16-1 Nota: Recuerde que C en el sistema de numeración hexadecimal corresponde a 12. 2. 1001,011(2)= 1 × 23 + 0 x 22 + 0 × 21 + 1 × 20 + 0 × 2-1 + 1 × 2-2 + 1×2-3 3. 12,13= 1 × 101 + 2 × 100 + 1× 10-1 +3 × 10-2 2. Realice las siguientes conversiones de base: a. 5D2(16) a decimal = 5 ×162 + D × 161 + 2 × 160 = 1490 Nota: D = 13 b. 12,13 decimal a binario = 1100,0010(2) Nota: para esta conversión se debe utilizar la división sucesiva de la parte entera (12). Esta división es por el número 2, dado que se desea llegar a la base binaria. Para la parte decimal (0,13), se utiliza el método del producto por 2, dado que es la base a la cual se debe llegar. c. 67,2(8) a binario= 110111,0011(2) Nota: esta conversión se hace por dos pasos. El primero es pasar 67,2 (8), a la base decimal lo cual equivale a 55,2. Luego, este número decimal se convierte a binario. No es posible pasar directamente un número octal a binario sin pasar por el sistema decimal. 38  d. 471(8) a decimal. Nota: En este caso se utiliza el desarrollo de potencia del número octal para obtener su equivalente decimal. 471(8) = 4 × 82 + 7 × 81 + 1 × 80 = 4 × 64 + 7 × 8 + 1 × 1= 256 + 56 + 1 = 313 e. 10,01(2) a hexadecimal (para este caso recuerde, que debe realizar dos pasos, primero la conversión de binario a decimal y luego de decimal a hexadecimal). Paso 1: se convierte el número binario a decimal, por medio del desarrollo de potencias. 10,01(2) = 1 × 21 + 0 × 20 + 0 ×2-1 + 1 × 2-2 = 1 × 2 + 0 × 1 + 0 ×0,5 + 1× 0,25 = 2,25 Ahora este número decimal se pasa a hexadecimal. Paso 2: 2,25 decimal a hexadecimal Al hacer la conversión, la parte entera, el 2, se mantiene en el dígito de las unidades. Ahora, procede convertir la parte decimal (0,25) a hexadecimal. Esto se hace por medio de las multiplicaciones sucesivas. 0,25 × 16 = 4 Nota: se multiplica por 16, ya que es la base que se desea obtener. La multiplicación se realiza solo una vez, porque la cantidad obtenida carece de decimal. Respuesta: el resultado de la conversión es 2,4(16) 39 f. 67,2 a binario. Para convertir este número a binario, se trabaja el ejercicio en dos partes. La parte entera, 67, por medio de las divisiones sucesivas y luego, la parte decimal, 0,2, a través de las multiplicaciones sucesivas. Luego de las divisiones sucesivas se obtiene que 67 decimal corresponde a 1000011 (2). Ahora, para la parte decimal se trabajó con el proceso de multiplicaciones sucesivas, multiplicando por la base a la cual deseamos llegar (2). 0,2 × 2= 0,4 0,4 × 2= 0,8 0,8 × 2= 1,6 0,6 × 2= 1,2 0,2 decimal equivale a 0,0011(2) Respuesta: 67,2 = 1000011,0011(2) 40  3. Realice las siguientes operaciones: a. 111,101(2) + 10,01(2) =1001,111(2) Para realizar esta suma, primero se deben colocar los números de manera alineada de la siguiente forma: 111,101(2) + 10,01(2) 1001,111(2) Nota: recuerde alinear ambos números tomando como referencia la coma. Por otra parte, debe tomar en cuenta las reglas de suma del sistema decimal, con la salvedad que al sumar solo puede colocar resultados binarios, por ejemplo 1+1=2, pero 2 en binario es 10, por tanto, se coloca el 0 y se lleva un 1. b. 12(8) × 46(8) = 574(8) Nota: se realiza la multiplicación siguiendo las reglas usuales del sistema decimal. En este caso, se debe tener cuidado de colocar solamente dígitos que correspondan al sistema octal, por ejemplo al multiplicar 6 × 2 = 12, 12 equivale a 14 en octal, por tanto se coloca el 4 y se lleva 1, o bien cuando se multiplica 4 × 2 = 8, 8 equivale a 10 en octal. 12(8) Recuerde dejar un espacio × 46(8) luego de cada producto. Note 74 que en la fila donde se coloca 50 el producto de 4 por 12, se 574(8) coloca 50 un espacio hacia la izquierda. 41 c. 1011,101(2) × 1,01(2) = 1011,101(2) × 1,01(2) 1011101 0000000 1011101 1110,10001(2) d. 3B2(16) + 15D (16) = s 3B2(16) +15D(16) 50F(16) e. 1010,011(2) + 101,101(2) = 010,011(2) +101,101(2) 10000,000(2) 42 L ISTA DE REFERENCIAS RECOMENDADAS A continuación algunos vínculos útiles para ampliar en el tema. 1. Explicación sobre la suma binaria: http://www.asifunciona.com/informatica/af_binario/af_binario_5.htm 2. Calculadora para realizar las conversiones de base: http://wims.unice.fr/wims/es_tool~number~baseconv.es.html 3. Video explicativo sobre cómo convertir un número hexadecimal en uno decimal: http://www.youtube.com/watch?v=3GSg9vd1zFg 4. Video explicativo sobre el sistema binario: http://www.youtube.com/watch?v=eg6HH3pBJ_8 43 A CTIVIDAD VIRTUAL Revise la actividad evaluada propuesta para este tema en la plataforma, le servirá para reforzar mejor los contenidos y aplicar lo aprendido. A CTIVIDAD ADICIONAL DE INVESTIGACIÓN ¿Sabías que el sistema de numeración binario fue creado mucho antes de la exitencia de sistemas digitales y computaciones? Investigue sobre quién realizó su desarrollo y cuándo lo hizo. 44 CAPÍTULO 2 MÉTODOS DE S UMARIO CONTEO  Método de la suma y el producto.  Combinaciones.  Permutaciones. S ÍNTESIS Los métodos de conteo permiten resolver problemas en el ámbito de la informática, además de aplicaciones de la vida cotidiana. O BJETIVO Durante el estudio de este capítulo, entre otras habilidades, usted será capaz de: Adquirir las nociones básicas de los métodos de conteo y su procedimiento de aplicación para la resolución de diferentes aplicaciones. 45 2. MÉTODOS DE CONTEO Cuadro 7 Temas a estudiar en el capítulo II 2.1. INTRODUCCIÓN Capítulo Secciones Páginas Los métodos de conteo permiten II. Métodos de conteo resolver situaciones donde debemos conocer las posibilidades, por 2.1 Introducción 42 ejemplo, de una contraseña, o bien 2.2 Principios diferentes acomodos de objetos; fundamentales del 42-45 conteo todo esto sin la necesidad de obtener el total de opciones. 2.3 Permutaciones 46-52 2.4 Combinaciones 52-56 2.7 Aplicaciones 64 2.2. GUÍA DE LECTURA PARA EL MATERIAL DE ESTUDIO Ejercicios del 2.1 al 2.16 64-67 A continuación, en el Cuadro 7, se presenta la lista de los temas a desarrollar, con sus respectivos números de página del libro de texto. 46 2.3. CONCEPTOS CLAVES principio de la suma (aditivo): Cuando dos acciones pueden realizarse de formas A continuación algunos conceptos distintas y estas no pueden ocurrir claves que le facilitarán el simultáneamente, entonces las aprendizaje de los contenidos posibilidades totales son la suma de propuestos: ambas. combinación: Son los distintos grupos que se principio del producto o multiplicación pueden conformar de n objetos sin que el (conteo): Si dos acciones se pueden orden en que se seleccionan estos sea desarrollar de formas distintas, la importante. combinación de ambas se obtiene como factorial de un número (n!): Es el producto de un producto de las formas en que se los números enteros positivos desde 1 pueden realizar. hasta n. Por definición 0! = 1 y 1! = 1. permutación: Es la forma de ordenar un conjunto de objetos, donde cada ordenamiento se considera diferente. permutación circular: Forma de ordenar un conjunto de objetos alrededor de un círculo. En este tipo de permutación la distinción se da en la forma en que quedan ordenados los objetos respecto a los otros y no al círculo mismo. 47 2.4. INFORMACIÓN COMPLEMENTARIA aérea y otras 6, que de igual manera, hacen entregas de San José a Guanacaste, pero por vía terrestre, ¿de cuántas maneras se puede hacer A continuación se desarrollan los un envió de San José a Guanacaste?. contenidos del Tema II. Respuesta: 4 + 6 = 10, es decir se puede hacer el envío de 10 maneras distintas. 2.4.1. PRINCIPIO FUNDAMENTAL DEL PRODUCTO Nota: observe que los eventos son Ejemplo: independientes pues solo se selecciona una empresa. Se requiere hacer un código para un producto compuesto por una letra y un símbolo, letras 2.4.3. FACTORIAL DE UN NÚMERO {a,b,c} y los símbolos {#,@,*}, donde la letra debe estar de primera y el símbolo de segundo. Ejemplos: ¿Cuántos códigos se pueden obtener?  0!=1 Respuesta:Utilizando la regla del producto, se  1!=1 tiene que la cantidad de códigos viene dado por  3! = 3 × 2 × 1 = 6 3×3=9  6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720 2.4.2. PRINCIPIO DE LA SUMA Ejemplo: Si hay 4 empresas de envío que hacen entregas diarias entre San José y Guanacaste por vía 48 2.4.4. PERMUTACIÓN 5. Para arreglos de n objetos donde t1 es A continuación las fórmulas para el tema de las de una clase, t2 de permutaciones, cada una tiene una descripción otra y hasta tk, donde sobre su uso (Cuadro 8). t1+t2+…+tk = n Cuadro 8 Para representar una permutación, se suelen Fórmulas para las permutaciones utilzar diferentes notaciones. Por ejemplo, la Tipo de permutación Fórmula permutación de n objetos tomados de r en r, es P(n, r), pero también se puede representar en 1. Para arreglos de las siguientes formas: y. tamaño r, donde r ≤ n P(n, r) = nr con repetición. 2.4.4.1. Ejemplo de permutación 2. Para arreglos de Hay cuatro candidatos postulados para el tamaño r = n, sin P(n, r) = n! mismo puesto. Para que la posición en las repetición. boletas de votación no influya en los votantes, 3. Para arreglos de es necesario imprimir las boletas con los tamaño r=n, sin nombres en todos los órdenes posibles. repetición en forma ¿Cuántas boletas diferentes habrá? circular. Un ordenamiento de los objetos, como los 4. Para arreglos de tamaño r ≤ n, sin nombres en las boletas, se llama permutación. repetición. Esto se debe a que el orden, en este caso, es importante. P(4, 4) = 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 49 2.4.5. COMBINACIONES Se tiene que n = 10 y r = 3 La combinación corresponde a todo arreglo de elementos, donde no importa la posición que ocupa el elemento en el arreglo. A continuación, la fórmula de la combinación: De igual manera, ocurre con las combinaciones, la combinación de n objetos tomados de r en r, es C(n,r), pero también se puede representar en Por tanto, se pueden seleccionar 120 grupos de las siguientes formas: y. tres personas diferentes, sin que el orden de selección haga diferencia entre ellos. 2.4.5.1. Ejemplo de combinación ¿De cuántas maneras se puede seleccionar un comité de tres a partir de un grupo de 10 personas diferentes? Note que en este caso no importa el orden, por tanto, es un problema que resuelven las combinaciones. 50  E JERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN A continuación se proponen algunos ejercicios de autoevaluación que le servirán para valorar la comprensión del tema. Se recomienda resolverlos antes de revisar la respuesta. 1. Se desea etiquetar los casilleros de los alumnos del Colegio Técnico Profesional de Acosta y, para ello, se estableció que cada etiqueta puede estar marcada con un solo dígito, una sola letra, la combinación dígito-letra o bien, la combinación letra-dígito. Bajo estas condiciones, ¿cuántas etiquetas distintas se pueden formar si aplica el principio del producto y el de la adición? 51 2. Suponga que hay doce prendas en la vitrina de una boutique de ropa femenina; de acuerdo con ello determine lo siguiente: a. Permutaciones para arreglos de tamaño n = r con repetición. b. Permutaciones para arreglos de tamaño n = r sin repetición c. Permutaciones para arreglos de tamaño r = 5 sin repetición d. Combinaciones para arreglos de tamaño r = n e. Combinaciones para arreglos de tamaño r = 5 52  3. En un banco hay 4 cajeros y 27 clientes que desean usar los servicios que brinda el banco. ¿Cuántas son las posibilidades de arreglos que se pueden formar entre cajeros y clientes? 4. En un restaurante hay 7 meseros y 12 mesas con clientes que desean cenar. ¿Cuántas son las posibilidades de arreglos que se pueden formar entre meseros y mesas? 5. En una universidad hay 23 carreras, cada una de ellas brinda por semestre 4 materias: A, B, C ; y es necesario crear los planes de una carrera para un semestre. Supóngase que se selecciona curso por curso para formar los planes por semestre y, lógicamente, entre planes no puede haber cursos repetidos. ¿Cuántos planes se forman para las 23 carreras por semestre? 53 R ESPUESTA A LOS EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN A continuación se propone la solución a los ejercicios. Contrástelos con los procedimientos que usted realizó. 1. Etiquetas de los casilleros de los alumnos del Colegio Técnico Profesional de Acosta. Se desglosa cada caso y luego se obtendrá el total: a. Un solo dígito: 9, solo 9 dígitos, ya que no se utiliza el cero para enumerar el primer casillero. b. Una sola letra: 26 c. Combinación de dígito y letra: 9 x 26 = 234. En este caso, se toma solo 9 dígitos, ya que el cero al inicio no tendría validez y se convertiría en el caso anterior. d. Combinación de letra y dígito: 26 x 10 = 260 e. Para obtener el total, se suman todos los casos anteriores: 9 + 26 + 234 + 260 = 529 54  2. Suponga que hay doce prendas en la vitrina de una boutique de ropa femenina; de acuerdo con ello determine lo siguiente: a. Permutaciones para arreglos de tamaño n = r con repetición. P(n, r) = nr, donde n = 12 y r = 12 P(12, 12) = 1212 = 8,91 × 1012 b. Permutaciones para arreglos de tamaño n = r sin repetición. P(n, r) = n! P(12, 12) = 12! = 479.001.600 c. Permutaciones para arreglos de tamaño r = 5 sin repetición , donde n = 12 y r = 5 = 95.040 55  d. Combinaciones para arreglos de tamaño r = n. =1 e. Combinaciones para arreglos de tamaño r = 5. , donde n = 12 y r = 5 = 792 3. En un banco hay 4 cajeros y hay 27 clientes que desean usar los servicios que brinda el banco. ¿Cuántas son las posibilidades de arreglos que se pueden formar entre cajeros y clientes? En este caso, el orden es importante, por ello se utiliza la permutación = 56  4. Posibilidades de arreglos que se pueden formar entre meseros y mesas en un restaurante. En este caso el orden es muy importante debido que no es lo mismo que Juan atienda la mesa 1 o que atienda la mesa 12. Por este motivo se utiliza la permutación. = 3.991.680 Por tanto para esta situación existen permutaciones diferentes. 5. Planes de estudio que se pueden formar para las 23 carreras por semestre. En este caso no importa el orden, ya que por semestre se tendrán bloques de materias para cada carrera, dichas materias se cursan de forma simultánea. Debido a que el orden de las materias para cada carrera no es importante, el problema se resuelve con la ayuda de las combinaciones. 57 L ISTA DE REFERENCIAS RECOMENDADAS A continuación algunos vínculos útiles para ampliar en el tema. 1. El siguiente vínculo es útil para distinguir entre permutación y combinación, se recomienda su revisión hasta donde empieza la sección “Triángulo de Pascal”. De ahí en adelante, no se tomará en cuenta, pues no se evalúan en el curso dichos tópicos. http://www.disfrutalasmatematicas.com/combinatoria/combinaciones- permutaciones.html A CTIVIDAD VIRTUAL Revise la actividad evaluada propuesta para este tema en la plataforma. Servirá para reforzar mejor los contenidos y aplicar lo aprendido. 58 A CTIVIDAD ADICIONAL DE INVESTIGACIÓN ¿Sabías que los métodos de conteo que se circunscriben dentro del área de matemática de la combinatoria permiten estudiar un fenómeno de una manera más ágil? En lugar de contar cada posibilidad podemos determinar con exactitud su número. Investiga sobre algunas aplicaciones cotidianas, como las contraseñas o pines para diferentes servicios en internet. Por ejemplo, en el siguiente enlace podrá corroborar como la fortaleza de una contraseña cambian en función de los tipos de caracteres que incluyamos, pues varía la cantidad de posibilidades para éstas: http://password.es/comprobador/. 59 CAPÍTULO 3 TEORÍA DE S UMARIO CONJUNTOS  Definición de conjunto.  Unión e intersección de conjuntos.  Subconjuntos.  Relaciones de inclusión.  Diferencia entre conjuntos S ÍNTESIS La teoría de conjuntos permitirá reconocer la notación de conjuntos y aplicar las operaciones entre conjuntos así como las relaciones de inclusión. O BJETIVO Durante el estudio de este capítulo, entre otras habilidades, usted será capaz de: Adquirir los principios fundamentales que explican la teoría de conjuntos para la realización de operaciones entre conjuntos. 60 3. TEORÍA DE CONJUNTOS Cuadro 9 Temas a estudiar en el capítulo III 3.1. INTRODUCCIÓN Capítulo Secciones Páginas Los conjuntos numéricos y la teoría III. Conjuntos de conjuntos permiten el uso de 3.1 Introducción 74 nomenclatura útil para la 3.2 Concepto de cálculo 74-77 comprensión de temas posteriores. 3.3 Subconjuntos 78-79 Se introducen conceptos básicos y se presentan algunas de las 3.5.2 Intersección 82 operaciones que se pueden realizar 3.5.6 Diferencia 87 con estos. 3.9 Aplicación de teoría 101 de conjuntos 3.2. GUÍA DE LECTURA PARA EL MATERIAL DE ESTUDIO Ejercicios del 3.1 al 3.4 104-105 A continuación, en el Cuadro 9, se presenta la lista de los temas a desarrollar, con sus respectivos números de página del libro de texto. 61 3.3. CONCEPTOS CLAVES conjunto vacío: El conjunto que no posee elementos. Se puede representar de dos A continuación algunos conceptos maneras: por medio de { } o bien con el claves que le facilitarán el símbolo Ø. aprendizaje de los contenidos propuestos: conjunto definido por extensión: Conjunto representado con sus elementos. Por cardinalidad de un conjunto: Cantidad de ejemplo, B = {0, 1, 2, 3, 4,…}, resulta un elementos de un conjunto. En este conjunto infinito representado por concepto es importante resaltar que los extensión. elementos no pueden ser repetidos. conjunto definido por comprensión: También conjunto: Colección de objetos. se conoce como notación simbólica de un conjuntos disjuntos: Son conjuntos que no conjunto. Indica sus características en tienen ningún elemento en común, su lugar de colocar directamente sus intersección es vacía. Por ejemplo, el elementos. Por ejemplo, el conjunto C = conjunto de los números pares e impares {x/x, x es par}, es el conjunto de los es un conjunto disjunto, pues no tiene números pares, representado por elementos en común; los números que los extensión. conforman son distintos en cada uno. conjunto de los números naturales (ℕ): El conjunto unitario: Conjunto que solo posee un conjunto de los números naturales escrito elemento. Por ejemplo, el conjunto A = {1} por extensión es ℕ = {0, 1, 2, 3, 4,…} es un unitario. conjunto de los números enteros (ℤ): El conjunto de los números enteros escrito 62  por extensión es ℤ = { -3, -2, -1, 0, 1, 2, conjunto de los números irracionales (𝕀): } Conjunto conformado por los números que poseean una expansión decimal El conjunto de los números enteros se infinita y no periódica, significa que no puede dividir en tres conjuntos: posee un comportamiento predecible. ℤ = ℤ ∪{0}∪ℤ Entre los ejemplos más comunes de números irracionales están: ℤ = {…-4 ,-3 ,-2 ,-1} π = 3,141592… (letra griega ℤ { } minúscula, pi) conjunto de los números racionales (ℚ): Es e = 2,71828... (base da Napier, un conjunto conformado por los números utilizada en la función naturales, enteros y todos aquellos exponencial y logaritmos) números que tienen una expansión decimal finita o infinita periódica. Algunas 2  1,414213... veces se conoce como el conjunto de los conjunto de los números reales (ℝ): Conjunto números fraccionarios. formado por la unión de dos grandes Ejemplo de número conjuntos: los racionales (ℚ) y los racional con  1  0,25 irracionales (𝕀) expansión finita 4 conjunto universo: Es la todalidad de objetos Ejemplo de número que incluye aquellos con los cuales se está 1 racional con  3  0,333... trabajando. Por lo general, se representa expansión de con la letra U. Además, este puede ser el decimal infinita 63  conjunto de los números reales o bien diferencia entre dos conjuntos: Se representa algún otro conjunto que se indique. con el símbolo de resta ( ). Se puede definir como una operación que primero complemento de un conjunto: El requiere hacer la intersección entre dos complemento de un conjunto A se conjuntos y, luego, extraerle al primer representa con A´ o con. Para poder conjunto los elementos comunes. Por obtener el complemento es necesario ejemplo, si A = {2, 4, 6} y B={4, 6, 8}, note conocer el conjunto universo (U). El que la intesección de A y B es A B = {4, complemento del conjunto A resulta de 6}, por tanto, si quitamos al conjunto A la extraer al universo todos los elementos de intersección, obtenemos que A B = {2} A. Por ejemplo, si el conjunto universo son los números naturales, y se tiene que A = intersección de dos conjuntos: La {0, 1, 2}, = {3, 4, 5, 6,…} intersección de conjuntos se representa con el símbolo y corresponde a todos conjunto potencia de un conjunto: Es la los elementos que están en ambos cantidad de conjuntos que son conjuntos.Por ejemplo, si A = {2, 4, 6} y B subconjuntos de un conjunto dado. El = {4, 6, 8}, A B = {4, 6} conjunto potencia de un conjunto A se denota con P(A). unión de dos conjuntos: La unión de conjuntos se presenta con el símbolo y diagrama de Venn: Representación gráfica de corresponde a unir todos los elementos uno dos o más conjuntos. Este tipo de de dos conjuntos. Por ejemplo, si A ={2, 4, representación facilita la comprensión de 6} y B = {4, 6, 8}, A B ={2, 4, 6, 8} las diferentes operaciones entre conjuntos. relaciones de inclusión: son las relaciones que se establecen entre conjuntos y 64  elementos, para estos se suelen utilizar Un conjunto puede representarse indicando sus los siguientes símbolos: elementos, esta es la notación por extensión. Pertenece ∈ Observe los siguientes ejemplos: No pertenece ∉ B = {0, 1, 2} Subconjunto ⊂ C = {2, 3, 5, 7, 11,…} No subconjunto ⊄ Nota: observe que el conjunto B es un conjunto finito, es decir, tiene una cantidad limitada de elementos (3). 3.4. INFORMACIÓN COMPLEMENTARIA Por otra parte, el conjunto C, es infinito, debido a que es el conjunto de los números primos (el A continuación se desarrollan los cual es infinito).Otra forma de ver este aspecto, principales contenidos del Tema III. son los puntos suspensivos (...), los cuales indican que un conjunto es infinito. 3.4.1. CONJUNTO Y REPRESENTACIÓN Un conjunto también se puede representar en forma abstracta o simbólica, por lo general, esta Un conjunto es una colección bien definida de notación se llama notación por comprensión objetos llamados miembros del conjunto. (ver Cuadro 10). Los conjuntos se nombran mediante letras mayúsculas y los elementos se encierran en llaves, es muy importante seguir esta notación. 65  Cuadro 10 Cuadro 11 Notación por comprensión Notación por extensión Lectura de la Notación simbólica o Notación por Conjunto representación por comprensión extensión simbólica { ∈ℤ C={101, 102, 103,…} x tal que x pertenece } { ∈ℕ al conjunto de los { ∈ℕ } números naturales y D={0, 1, 2, 3, 4} x es menor que 5 } x tal que x pertenece 3.4.2. SÍMBOLO DE PERTENENCIA { ∈ℤ al conjunto de los números enteros y x } Para un conjunto A, se tiene que un elemento x es mayor o igual que 100. puede pertenecer o no a un conjunto. Para ello, utilizamos la siguiente notación: x∈A Se lee, x pertenece a A Algunas veces, la notación compleja nos permite simplificar la escritura de conjuntos con gran x∉A Se lee, x no pertenece a A cantidad de elementos, pero para efectos de realizar las operaciones de conjuntos, es necesario pasar de notación compleja a notación por extensión (ver Cuadro 11). 66 3.4.3. SUBCONJUNTOS 3.4.4. ALGUNAS LEYES IMPORTANTES DE CONJUNTOS Si todo elemento de un conjunto A es también  Ley conmutativa: elemento de un conjunto B, entonces se dice que A es subconjunto de B, esto se denota: A⊂ B En caso contrario, se dice que A no es subconjunto de B y se denota:  Ley asociativa: A ⊄ B Ejemplos del uso del símbolo de subconjunto Sean los conjuntos:  Leyes de idempotencia: X = {1, 2, 3}, Y = {2, 3}, Z = {0, 1, 2, 3, 4} Note que X⊂ Z Y⊂ X Y⊂ Z Z ⊄ X Z ⊄ Y 67 E JERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN A continuación se proponen algunos ejercicios de autoevaluación que le servirán para revisar la comprensión del tema. Se recomienda resolverlos antes de revisar la respuesta. 1. Falso (F) o verdadero (V). Sean los conjuntos: A = {2, 4, 6, 8} B = {1, 3, 5, 7, 9} C = {3, 6, 9, 12} D = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} Coloque falso (F) o verdadero (V), según corresponda, en cada una de las siguientes expresiones o relaciones de inclusión. a. 8∈A b. A⊂C c. 4∉C d. {6, 9} ⊂ C e. A⊂D f. 13 ∈ D g. D⊂A h. D ⊄B i. {1, 3} ∈ B 68  2. Realice cada una de las siguientes operaciones entre conjuntos. Sean los conjuntos: A = {2, 4, 6, 8, 10, 12}, B = {1, 3, 5, 7, 9, 11} C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} Determine: a. A ∪ B = b. B ∪ C = c. A ∩ B = d. B ∩ C = e. C – A = f. C – B = 69 R ESPUESTA A LOS EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN 1. Falso o verdadero Explicación a. 8∈A V 8 está en A b. A⊂C F Ningún elemento de A está en C c. 4∉C V 4 no está en C d. {6, 9} ⊂ C V {6, 9} resulta un conjunto por estar encerrado entre llaves, por ello, se utiliza el símbolo de ⊂, dado que 6 y 9 están en C e. A⊂D V Todos los elementos de A están en C f. 13 ∈ D F 13 no está en C g. D⊂A F No todos los elementos de D están en A h. D ⊄B V No todos los elementos de D están en B i. {1, 3} ∈ B F {6, 9} resulta un conjunto por estar encerrado entre llaves, por ello lo correcto es el símbolo de ⊂ y no el símbolo de ∈ 70 2. Realice cada una de las siguientes operaciones entre conjuntos. a. A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} b. B ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} c. A ∩ B = { } (la respuesta es el conjunto vacío ya que no hay elementos en común) d. B ∩ C ={1, 3, 5, 7, 9, 11} e. C –A = {1, 3, 5, 7, 9,11} f. C – B = {2, 4, 6, 8, 10,12} 71 A CTIVIDAD VIRTUAL Revise la actividad evaluada propuesta para este tema en la plataforma, servirá para reforzar mejor los contenidos y aplicar lo aprendido. A CTIVIDAD ADICIONAL DE INVESTIGACIÓN ¿Sabías que la teoría de conjuntos fue desarrollada por George Cantor y su desarrollo es la base de la matemática moderna? 72 CAPÍTULO 4 LÓGICA S UMARIO MATEMÁTICA  Definición de preposición.  Preposiciones compuestas.  Operadores lógicos.  Tablas de verdad. S ÍNTESIS Los contenidos siguientes permitirán que los estudiantes obtengan los principios básicos de la