Teoremi della Trigonometria Piana PDF

I TEOREMI della TRIGONOMETRIA PIANA  PROPRIETÀ DEI TRIANGOLI La geometria fornisce le seguenti relazioni tra gli elementi dei triangoli scaleni: A b C α γ La somma degli angoli di un triangolo è uguale...

I TEOREMI della TRIGONOMETRIA PIANA  PROPRIETÀ DEI TRIANGOLI La geometria fornisce le seguenti relazioni tra gli elementi dei triangoli scaleni: A b C α γ La somma degli angoli di un triangolo è uguale all’angolo piatto: α + β + γ = 200c. In ogni triangolo, ciascun lato è minore della somma degli altri due e maggiore della loro c differenza (cioè: a < c + b; a > c – b). a In ogni triangolo, la relazione di uguaglianza o disuguaglianza che intercorre tra due lati vale anche β per gli angoli rispettivamente opposti (cioè: se a < b, sarà anche α < β). B Oltre a queste proprietà, la trigonometria fornisce alcuni teoremi per risolvere i triangoli scaleni. Con gli attuali strumenti di calcolo sono indispensabili solo i seguenti due teoremi: teorema dei seni; teorema del coseno (o di Carnot). Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna 2  TEOREMA DEI SENI Tracciamo il cerchio circoscritto al triangolo ABC; il suo centro è l’intersezione degli assi dei suoi lati (corde del cerchio). Tracciamo il diametro AD passante per A. C Collegando i punti C e D, l’angolo ADC è uguale γ a β perché entrambi insistono sull’arco AC. D 90° β γ R Il triangolo ACD poi, è retto in C (angolo alla a circonferenza che insiste su un diametro). b Da questo triangolo possiamo evidenziare il diametro 2R: β b O B 2R = sin β Analogamente per il triangolo retto ABD: c c α 2R = sin γ A Dunque si ha anche : b c = sin β sin γ Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna 3  TEOREMA DEI SENI Estendendo il ragionamento e utilizzando un secondo diametro si può ricavare anche: C a c a b γ = = sin α sin γ sin α sin β a Enunciato del Teorema b In un triangolo il rapporto tra un lato e il seno dell’angolo opposto è costante, ed è uguale al β diametro del cerchio circoscritto al triangolo. B a b c α c = = = 2R senα senβ senγ A oppure: In un triangolo il rapporto tra due lati è uguale al rapporto tra i valori del seno degli angoli opposti a senα a senα b senβ = = = b senβ c senγ c senγ Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna 4  TEOREMA DI CARNOT Consideriamo un triangolo ABC, con di lati a,b, c C Tracciamo l’altezza CH b a CH = b senα b sen α AH = b cosα α c - b cos α BH = AB − AH= c − b cosα A H c B Applicando il teorema di Pitagora al triangolo CHB a2 = CH2 + BH2 = (b senα)2 + (c − b cosα)2 a2 = b2 sen2α + c2 + b2 cos2α −2bc cosα ma: b2 sen2α + b2 cos2α = b2 (sen2α + cos2α) = b2 pertanto: a2 = b2 + c2 − 2bc cosα Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna 5  TEOREMA DI CARNOT (o del coseno) C Enunciato del Teorema b γ In un triangolo il quadrato di un lato è uguale a alla somma dei quadrati degli altri due lati, α β diminuito del doppio prodotto di questi per il A c B coseno dell’angolo compreso. b2 = a2 + c2 − 2ac cosβ a2 = b2 + c2 − 2bc cosα c2 = a2 + b2 − 2ab cosγ Oppure: a2 + c2 − b2 cos β = b2 + c2 − a2 2ac cos α = 2bc a2 + b2 − c2 cos γ = 2ab Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna 6  RISOLUZIONE dei TRIANGOLI SCALENI  1°CASO: NOTI 2 ANGOLI E 1 LATO Immaginiamo noti α, β, c: C γ a b α β A c B γ = 200 − (α + β ) C poiché α + β + γ = 200C c ⋅ sin α a= dal teorema dei seni sin γ c ⋅ sin β b= dal teorema dei seni sin γ Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna 8  2°CASO: NOTI 2 LATI e L’ANGOLO COMPRESO immaginiamo noti α, b, c: C γ a b α β A c B a = b 2 + c 2 − 2bc cos α dal teorema di Carnot a2 + c2 − b2 b β = arccos oppure β = arcsin( sin α ) 2ac a a2 + b2 − c2 c γ = arccos oppure γ = arcsin( sin α ) 2ab a Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna 9  3°CASO: NOTI 2 LATI e UN ANGOLO ADIACENTE A UN LATO INCOGNITO immaginiamo noti α, b, a: C γ a b α β A c B b β = arcsin( sin α ) dal teorema dei seni a γ = 200C − (α + β ) a ⋅ sin γ c= dal teorema dei seni sin α ATTENZIONE a questa relazione Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna 10  b DISCUSSIONE di: β = arcsin( sin α ) a valutando l’argomento della funzione inversa arcoseno, si possono verificare i seguenti casi: b/a sen α > 1 Il problema è manifestamente impossibile, in quanto non esiste l’arcoseno di un numero maggiore di 1, dunque non esiste nessun triangolo con i dati assegnati a,b,α. b/a sen α = 1 L’angolo β è retto e quindi si tratta di un triangolo rettangolo. b/a sen α < 1 Esistono due valori di β compatibili con l’angolo assegnato α. Il primo valore β’ (quello fornito dalla calcolatrice) è acuto, cioè si trova nel Iº quadrante, il secondo, β”, supplementare del primo, è ottuso e si trova nel IIº quadrante. In quest’ultimo caso, poi: dei due valori β’ e β”, uno è incompatibile con l’angolo assegnato α, pertanto il valore che soddisfa il problema è l’altro (per esempio: se α = 120c, e β può assumere i due valori 40c e (200c – 40c) = 160c; il valore 160c è incompatibile con il valore di α = 120c; in questo caso il valore che risolve il problema è β = 40c); i due valori di β’ e β” sono entrambi compatibili con il valore di α; in questo caso si avranno due soluzioni del problema, che danno luogo a due triangoli distinti. Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna 11  4°CASO: NOTI I 3 LATI Dunque sono noti a, b, c: C γ a b α β A c B ((b 2 + c 2 − a 2 ) α = arccos (2bc)) ((a 2 + c 2 − b 2 ) b β = arccos oppure β = arcsin( sin α ) (2ac)) a ((a 2 + b 2 − c 2 ) c γ = arccos oppure γ = arcsin( sin α ) (2ab)) a Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna 12 QUADRO RIASSUNTIVO DELLA RISOLUZIONE DEI TRIANGOLI schema elementi caso Soluzione geometrico noti - 1 lato γ = 200C − (α + β ) 1 - 2 angoli a ⋅ senβ a ⋅ senγ a;α;β b= c= senα senα - 2 lati c = a 2 + b 2 − 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cos γ - angolo b2 + c2 − a 2 2 compreso α = arccos 2⋅b⋅c a;b;γ β = 200 − (α + γ ) C (1) b  β = arcsen senα  - 2 lati a  - angolo non 3 compreso γ = 200C − (α + β ) a;b;α a ⋅ senγ c= senα b2 + c2 − a 2 α = arccos 2⋅b⋅c - 3 lati 4 a 2 + c2 − b2 a;b;c β = arccos 2⋅a⋅c γ = 200 − (α + β ) C Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna 13  AREA E CERCHI dei TRIANGOLI SCALENI  NOTI 1 LATO E I 2 ANGOLI ADIACENTI Consideriamo la precedente espressione e il A b C teorema dei seni per esprimere a: α γ 1 b sin α S = ab sin γ a= h 2 sin β c Sostituendo si ottiene: a 1 b sin α b2 sin α ⋅ sin γ S= b sin γ S= 2 sin β 2 sin β β Considerando che senβ = sen200C – (α+γ ) = sen(α+γ ), si ottiene: B b2 sin α ⋅ sin γ S= ⋅ 2 sin(α + γ ) ANALOGAMENTE: a 2 sin β ⋅ sin γ c 2 sin α ⋅ sin β S= ⋅ S= ⋅ 2 sin( β + γ ) 2 sin(α + β ) Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna 15  NOTI 1 LATO E I 2 ANGOLI ADIACENTI Applicando la formula di addizione del seno nelle precedenti espressioni si ottengono le seguenti analoghe espressioni: 2 A b C b 1 α γ S= ⋅ 2 cot gα + cot gγ h c a2 1 S= ⋅ a 2 cot gβ + cot gγ β c2 1 S= ⋅ B 2 cot gα + cot gβ NOTI 3 LATI (formula di Erone) S= p ⋅ ( p − a ) ⋅ ( p − b) ⋅ ( p − c ) Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna 16  CERCHIO CIRCOSCRITTO Ricordando il teorema dei seni possiamo immediatamente calcolare il raggio del cerchio circoscritto (il cui centro è l’intersezione degli assi dei lati del triangolo): C a b c = = = 2R γ senα senβ senγ R a a R= b 2 ⋅ senα β B O b c R= R= α c 2 ⋅ senβ 2 ⋅ senγ A Volendo, si possono moltiplicare numeratore e denominatore della prima per b⋅c ottenendo: abc R= 4S Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna 17  CERCHIO INSCRITTO Le bisettrici dei tre angoli di un triangolo ABC si incontrano in un punto O detto incentro, che costituisce il centro del cerchio inscritto. Esso, poi, è anche simultaneamente tangente ai tre lati del triangolo: C c⋅r a⋅r b⋅r γ γ S= + + -- -- 2 2 2 2 2 r S = ( c + a + b) b a 2 r r O r S = 2p 2 r α/2 β/2 α/2 β/2 S A c B r= p Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna 18  PROPRIETÀ DEL CERCHIO INSCRITTO Consideriamo i punti di tangenza T1, T2, T3 del cerchio con i lati dei triangoli: AT1 = AT2 = m BT1 = BT3 = n CT2 = CT3 = q C c=m+n γ γ a =n+q b=m+q -- -- q 2 2 q Sommando membro a membro le precedenti: a + b + c = 2 p = 2m + 2n + 2 q b T2 T3 a r r p =m+n+q O n Da questa possiamo ricavare: m m = p − (n + q) r α/2 β/2 α/2 β/2 m = p−a m T1 c n n = p−b A B q = p−c La distanza tra i punti di tangenza del cerchio inscritto con un vertice del triangolo è uguale al semiperimetro p del triangolo, dedotto dal lato opposto a quello del vertice a cui è riferita la distanza. Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna 19  CERCHI EX-INSCRITTI I cerchi ex-inscritti a un triangolo sono tan- genti a un lato e ai prolungamenti degli altri due; si hanno pertanto tre cerchi ex-inscritti. A Ob I centri di questi cerchi sono il punto d'in- contro della bisettrice dell’angolo opposto al α α lato tangente e delle bisettrici degli angoli c -- -- 2 2 b supplementari a quelli adiacenti. - Consideriamo i punti di tangenza e i triangoli γ a C che essi individuano: T2 γ’/2 B β γ’/2 c ⋅ Ra b ⋅ Ra a ⋅ Ra β’/2 Ra S= + − T1 β’/2 T3 2 2 2 Ra Ra Ra S= (c + b − a ) Oa 2 Essendo: ( c + b − a ) = 2( p − a ) S S S Rb = Rc = Ra = p −b p−c p−a Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna 20  PROPRIETÀ DEI CERCHI EX-INSCRITTI È facile osservare che le congiungenti i tre centri ex-inscritti, passano per i vertici A, B, C del triangolo. A Ob Inoltre i punti di tangenza esterni dei cerchi ex-inscritti godono di una importante proprietà: αα -- -- 22 b p Essendo BT1=BT2 e CT2=CT3 sarà: p c γ’/2 γ’/2 2 p = c + b + a = c + b + BT2 + T2C γ C 2 p = AT1 + AT3 = 2 AT1 T2 a γ’/2 β γ’/2 B β’/2 Ra p = AT1 = AT3 β’/2 T3 T1 Questa proprietà consente di riformulare in modo più Ra Ra Oa semplice i raggi dei cerchi ex-inscritti: α Ra = p ⋅ tg 2 β γ Rb = p ⋅ tg Rc = p ⋅ tg 2 2 Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna 21 ALTEZZE, MEDIANE, BISETTRICI  LE TRE ALTEZZE Le tre altezze si intersecano in un punto H chiamato ortocentro. A b C α hc γ H ha c Considerando i triangoli retti definiti dalle hb a tre altezze ha, hb, hc, si può scrivere: ha = b ⋅ sen γ = c ⋅ sen β β hb = c ⋅ sen α = a ⋅ sen γ B hc = b ⋅ sen α = a ⋅ sen β Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna 23  LE TRE MEDIANE Le tre mediane si intersecano in un punto G, detto baricentro del triangolo. b b -- -- Consideriamo i due triangoli ABM e AMC A 2 2 C a2 α γ c2 = ---- + ma2 - a ma cos λ mc 4 c ma -- a2 2 a b2 = ---- + ma2 + a ma cos λ G λ’ -- 4 mb 2 λ M Sommando membro a membro: c λ’=200C- λ a2 -- a b2 + c2 = ---- + 2 ma2 2 β -- 2 2 1 ma = ---- √ 2b2 + 2c2 – a2 B 2 Il baricentro G si trova a una distanza 1 dal vertice corrispondente pari ai 2/3 mb = ---- √ 2a2 + 2c2 – b2 della mediana, e a 1/3 della mediana 2 dal punto medio del lato opposto 1 AG = 2/3 ma - GM = 1/3 ma mc = ---- √ 2b2 + 2a2 – c2 2 Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna 24  LE TRE BISETTRICI Le tre bisettrici si intersecano in un punto O, centro del cerchio inscritto. Consideriamo l’area del triangolo ABC, ottenuta come somma di quelle dei due triangoli ABN e ANC A b C 1 1 α 1 α nc ---bc senα = --- cnα sen ---- + --- bnα sen ---- na 2 2 2 2 2 O Applicando la f. di duplicazione del seno al 1° membro: nb α α 1 α 1 α c N bc sen --- cos --- = --- cnα sen ---- + --- bnα sen ---- a 2 2 2 2 2 2 Dividendo per sen(α/2): α 1 1 1 bc cos --- = --- cnα + --- bnα = --- nα (b + c) B 2 2 2 2 2bc α 2ac β 2ab γ nα = ------------ cos --- nβ = ------------ cos --- nγ = ------------ cos --- c+b 2 a+c 2 a+b 2 Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna 25  LA RETTA DI EULERO In un triangolo i seguenti punti sono allineati: baricentro G (intersezione delle tre mediane), ortocentro H (intersezione delle tre altezze), circocentro O (intersezione degli assi dei tre lati). La retta che li congiunge viene detta retta di Eulero. A b C α γ H c G O a β B Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna 26