Cours de Trigonométrie PDF

7. TRIGONOMÉTRIE 1. Vocabulaire Dans un triangle ABC rectangle en B, on nomme les côtés du triangle en fonction des angles de la façon suivante : 2. Formules de trigonométrie d’un angle aigu Dans un triangle ABC rectangle en A, on définit le cosinus, le sinus et la tangente de l’angle ^...

7. TRIGONOMÉTRIE 1. Vocabulaire Dans un triangle ABC rectangle en B, on nomme les côtés du triangle en fonction des angles de la façon suivante : 2. Formules de trigonométrie d’un angle aigu Dans un triangle ABC rectangle en A, on définit le cosinus, le sinus et la tangente de l’angle ^ ABC comme suit. Côté adjacent AB cos( ^ ABC )= = Hypoténuse BC Côté opposé AC sin ( ^ ABC )= = Hypoténuse BC Côté opposé AC tan ( ^ ABC )= = Côté adjacent AB Remarques : - Le cosinus, le sinus et la tangente sont des nombres sans unité. - Le cosinus et le sinus d’un angle aigu sont des nombres compris entre 0 et 1, mais la tangente peut prendre toutes les valeurs. Exemples : AB 3 BC 4 cos( ^ BAC )= = =0 ,6 cos( ^ BCA )= = =0 ,8 AC 5 AC 5 BC 4 AB 3 sin ( ^ BAC )= = =0 ,8 sin ( ^ BCA )= = =0 ,6 AC 5 AC 5 BC 4 AB 3 tan ( ^ BAC )= = tan ( ^ BCA )= = =0 ,75 AB 3 BC 4 3. Calculs d’angles Lorsqu’on connaît le cosinus, le sinus ou la tangente d’un angle, on peut calculer la valeur de l’angle à l’aide de la calculatrice avec les fonctions cos-1 ou Arccos, sin-1 ou Arcsin et tan-1 ou Arctan. Exemples : ABC est un triangle rectangle. AB 3 cos( ^ BAC )= = =0 ,6 AC 5 A l’aide de la calculatrice et les touches cos-1 ou Arccos, on calcule la valeur de l’angle ^ BAC à 0,1° près. arccos(0 ,6)=53 ,1 L’angle ^ BAC mesure 53,1°. AB 3 tan ( ^ BCA )= = =0 ,75 BC 4 A l’aide de la calculatrice et les touches tan-1 ou Arctan, on calcule la valeur de l’angle ^ BCA à 0,1° près. arctan (0 ,6)=36 ,9 L’angle ^ BCA mesure 36,9°. 4. Calculs de longueurs Lorsqu’on connaît un angle et une longueur, on peut calculer la longueur demandée en résolvant une équation. Exemples : EDF est un triangle rectangle. FD On a sin ( ^ FED)= FE 5 sin (30)= FE 5 FE= =10 (sin (30)) La longueur FE mesure 10 cm. 5. Formules remarquables Dans le triangle ABC rectangle en B, on a : (cos α)² + (sin α)² = 1 sin (α ) tan (α )= cos(α ) Démonstrations : Dans le triangle ABC rectangle en B, on a les relations trigonométriques suivantes : BC AB cos(α )= et sin (α )= AC AC BC 2 AB 2 BC 2 + AB 2 Alors (cos(α ))2 +(sin (α ))2= + = AC 2 AC 2 AC 2 Or, d’après le théorème de Pythagore, on a : AB² + BC² = AC² AC 2 Donc (cos(α ))2 +(sin (α ))2= =1 AC 2 Dans ce même triangle, on a également la relation trigonométrique suivante : AB tan (α )= BC AB sin (α ) AC AB AC AB = = × = =tan (α ) cos(α ) BC AC BC BC AC Connaissances : à la fin de ce chapitre, je dois être capable de - connaître les relations trigonométriques - connaître les formules remarquables en trigonométrie Compétences : à la fin de ce chapitre, je dois être capable de - calculer des longueurs et des angles dans un triangle rectangle à l’aide des relations trigonométriques