Guía de Aprendizaje N° 4 Geometría y Trigonometría: Herramientas para Resolver Problemas PDF

Guía de Aprendizaje Nº 4 Geometría y triGonometría: Herramientas para resolver problemas Educación Matemática Segundo Nivel o Ciclo de Educación Media Educación para Personas Jóvenes y Adultas Guía de Aprendizaje Nº 4 Geometría y triGonometría: Herramientas para resolver problemas Educación Matemát...

Guía de Aprendizaje Nº 4 Geometría y triGonometría: Herramientas para resolver problemas Educación Matemática Segundo Nivel o Ciclo de Educación Media Educación para Personas Jóvenes y Adultas Guía de Aprendizaje Nº 4 Geometría y triGonometría: Herramientas para resolver problemas Educación Matemática Segundo Nivel o Ciclo de Educación Media Educación para Personas Jóvenes y Adultas 1 GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA: HERRAMIENTAS PARA RESOLVER PROBLEMAS Coordinación Nacional de Educación para Personas Jóvenes y Adultas Reimpreso por A Impresores, año 2019 Segundo Ciclo o Nivel de Educación Media - Guía Nº 4 iconografía información Atención tips página Web Actividad Actividad en el cuaderno evaluación 3  Educación Matemática - GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA: HERRAMIENTAS PARA RESOLVER PROBLEMAS Presentación E l material que la Coordinación Nacional de Educación para Personas J óven´es y Adultas (Mineduc) pone a su disposición, pretende ser una herramienta de apoyo a los estudiantes del último nivel de educación media, ya sea de la modalidad regular o flexible. En él se mantiene la propuesta didáctica de las guías anteriores, que desarrolla el trabajo desde lo más simple a lo más complejo y, a la vez, fomenta la explicación cuidadosa y ordenada de los conceptos matemáticos tratados. En esta guía se abordan contenidos de semejanza de figuras planas y trigonometría aplicados a la resolución de situaciones de la vida real. Las unidades enfatizan ejemplos resueltos y entregan otros que se solucionan con apoyo del profesor o profesora, o en trabajos de grupos o individuales. Todo con la finalidad de fomentar la rigurosidad y precisión del uso de los conceptos matemáticos que se tratan. Es importante destacar que el proceso de aprendizaje de las matemáticas y otras ciencias es personal y pasa por la dedicación y trabajo de la persona que aprende, por lo que le invitamos a trabajar de manera muy dedicada esta guía y a descubrir herramientas matemáticas que podrán ser parte de su vida. 4  Segundo Ciclo o Nivel de Educación Media - Guía Nº 4 B a ) u s n (opuesto) t e ipo c ( h a α A b C (adyacente) 5  Educación Matemática - GEOMETRÍA Educación Y TRIGONOMETRÍA: Matemática - GEOMETRÍA Y HERRAMIENTAS PARA TRIGONOMETRÍA: RESOLVER PROBLEMAS HERRAMIENTAS PARA RESOLVER PROBL Guía de trabajo Nº 1 Semejanza de figuras planas FOTO 1 En la vida cotidiana; cuando se habla de semejanza, se asocia con un objeto o elemento que se parece a otro. En matemática, el concepto de semejanza, se asocia con proporcionalidad. Un mapa es una representación proporcional, pequeña, de la realidad, al igual que una fotografía. FOTO 2 FOTO 3 Contenidos Escalas numéricas. Semejanza de figuras planas. Teorema General de Thales. 6  Segundo Ciclo o Nivel de Educación Media - Guía Nº 4 Al observar las fotografías, se puede notar que las TIPS En general cuando dos tres fotografías son iguales, poseen la misma figura y imágenes poseen la misma forma forma pero diferentes tamaños, es decir, la fotografía 3, es la pero diferentes tamaños, se dice reducción de la fotografía 1 y la fotografía 2 es la ampliación que una está a escala de la otra, de la fotografía 1. Ampliación de una figura: Es una nueva lo que desde el punto de vista de figura igual a la original, pero con sus medidas aumentadas. las matemáticas, significa que son Reducción de una figura: Es una nueva figura igual a la figuras semejantes. original, pero con sus medidas disminuidas. Observe las fotografías de distintos tamaños y responda las siguientes preguntas: ACTIVIDAD a) ¿Cuántos cuadros mide cada lado de las fotagrafías 1, 2 y 3? Foto 1: Foto 2: Foto 3. b) ¿Cuál es la relación entre el número de cuadros del ancho y del alto de las fotagrafías 1, 2 y 3? Número de cuadros del ancho foto 1 y alto foto 1 Número de cuadros del ancho foto 2 y alto foto 2 Número de cuadros del ancho foto 3 y alto foto 3 ¿Qué diferencias observas entre los cuadros de las fotografías? c) ¿Cuál es la razón de ampliación de la fotografía 1? ¿Por qué? d) ¿Cuál es la razón de reducción de la fotografía 1? ¿Por qué? 7  Educación Matemática - GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA: HERRAMIENTAS PARA RESOLVER PROBLEMAS ESCALA NUMÉRICA O RAZÓN DE SEMEJANZA D C Observe que en las imágenes que se presentan a continuación: La ampliación de la fotografía uno, FOTO 1 resultó de multiplicar los cuadrados del largo y del ancho por dos, obteniéndose la fotografía dos. La reducción de la fotografia uno, resultó de dividir los cuadrados del largo y del ancho por dos, obteniéndose A B la fotografía tres. D' C' FOTO 2 D'' C'' FOTO 3 A' B' A'' B'' Analizaremos lo que ocurre con la AB 6:6 1 AB 6 = :6 = = 0,5 y = =2 escala del largo de la fotografía: A'B' 12 2 A''B'' 3 TIPS Cuando dos figuras son semejantes, se habla de razón de semejanza. En el caso tratado: AB 6:6 1 a) La escala es: = = = 0,5. La fotografía 1 representa a la fotografía 2 A'B' 12:6 2 en escala de 1:2. AB 6 b) = = 2. La fotografía 1 representa a la fotografía 3 en la escala de 2:1. A''B'' 3 Actividad en el cuaderno Determine la razón de semejanza entre las fotografías 1 y 2; 1 y 3; 2 y 3. 8  Segundo Ciclo o Nivel de Educación Media - Guía Nº 4 Ejemplos: 1) Daniel quiere hacer un plano de la pieza que ocupan de bodega para distribuir mejor las herramientas y materiales, ésta es rectangular y mide 6 metros de largo por 3 metros de ancho. TIPS Solución: Según el diccionario de la RAE, un plano a) Transforme las unidades a centímetros: es una representación esquemática, en 6 m = 600 cm. ¿Cómo obtuvo estas medidas? dos dimensiones y a determinada escala, 3 m = 300 cm. de un terreno, una población, una máquina, una construcción, etc. b) Divida por 40 las dimensiones reales para establecer una escala: 600 : 40 = 15 300 : 40 = 7,5 Luego dibuje un rectángulo de 15 cm de largo por 7,5 cm de ancho. Este rectángulo es un plano de la bodega, a escala 1:40. 1 Nota: Si la razón de la escala 1 : 40, se considera como la fracción 40 , el tamaño del objeto en el plano se obtiene multiplicando sus medidas lineales de la realidad por esa fracción. Observe: 1 600 1 300 600 = = 15 cm y 300 = = 7,5 cm 40 40 40 40 c) Las dimensiones del objeto en el plano son proporcionales a sus dimensiones reales; la escala de 1:40 es la razón de proporcionalidad. 9  Educación Matemática - GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA: HERRAMIENTAS PARA RESOLVER PROBLEMAS 2) En un mapa a escala 1 : 500.000, la plaza de Lampa y la plaza Guarello de San Bernardo se Lampa encuentran a 10 cm. ¿Cuál es la distancia real entre las dos plazas? Solución: Se establece la proporción: 1 10 = 500.000 x Aplicando la propiedad de las proporciones: x = 10 500.000 x = 5.000.000 cm = 50 Km Plaza Guarello TIPS 1 km = 1.000 m = 100.000 cm 3) La fotografía de la figura tiene un largo de 8 cm y su ancho de 5 cm. se debe ampliar 4 veces, es decir, con una escala de 4:1. ¿Cuáles son las medidas de la ampliación? Solución: Se multiplica cada medida por 4: 8 4=32 cm y 5 4=20 cm TIPS Sea r la razón de proporcionalidad: r < 1 La escala representa una reducción de la figura original. r = 1 No hay ampliación ni reducción de la figura original. La escala recibe el nombre de escala natural, las figuras son congruentes entre sí. r > 1 La escala representa una ampliación de la figura original. 10  Segundo Ciclo o Nivel de Educación Media - Guía Nº 4 Actividad en el cuaderno Resuelva cada situación: 1) En un plano a escala 1 : 300, las medidas de la bodega de una maestranza son de 15 cm de largo y 10 cm de ancho. a) ¿Cuáles son las medidas reales en metros de la bodega? b) Un camión con acoplado de 23 metros de largo al entrar al galpón, ¿se puede estacionar a lo ancho de la bodega? c) Si el galpón se amplía 15 metros de ancho y 10 metros de largo. ¿Cuáles serán las nuevas medidas de la bodega en el plano? 2) Una fotocopiadora reduce en un 30% el tamaño original de un documento. ¿Cuál es la escala de reducción? 3) El plano del departamento está hecho con una escala 1:100. ¿Cuáles son las medidas reales del departamento? 4) Dos tramos de la carretera 5 sur que están en reparación miden 7 km y 12 km respectivamente ¿Qué longitud deberían tener los tramos en un mapa a escala 1 : 1.000? 5) El perímetro de un terreno rectangular de 8 hectáreas tiene una longitud de 2 km. ¿cuál es el área del terreno en un mapa a escala 1 : 20.000 ? 11  Educación Matemática - GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA: HERRAMIENTAS PARA RESOLVER PROBLEMAS teoremA fuNdAmeNtAl de semejANzA eNtre triáNGulos Este Teorema se conoce como: "teorema particular de thales" Establece las proporciones de los segmentos correspondientes en triángulos. Si en un ángulo cualquiera sus lados son cortados por dos o más paralelas, entonces dos segmentos correspondientes cualquiera determinados por las paralelas sobre los lados del ángulo son proporcionales entre sí. Sea: ABC y CB//DE tips C Los triángulos ABC y AED son semejantes y se escribe así: ∆ABC ~ ∆AED D Esto quiere decir que un triángulo es la copia exacta del otro, pero de distinto tamaño. Sus ángulos son congruentes y A B E sus lados son proporcionales. Con procedimientos algebraicos y geométricos es posible determinar las siguientes proporciones: AC AB AC AB AB AC BC = y = = = DC EB AD AE AE AD ED tips Las proporciones determinadas en triángulos en los que un ángulo es cortado por una paralela a uno de los lados se pueden extender a paralelas cortadas por dos secantes, como lo muestra la figura 1: L1 // L2 , L3 y L4 secantes D E Con procedimientos algebraicos y geométricos L1 C es posible obtener la siguiente proporción: L2 A B AB BC AC = = L3 L4 DE CD CE 12  Segundo Ciclo o Nivel de Educación Media - Guía Nº 4 ejemplo de una aplicación: Se desea determinar el ancho de un canal para armar un puente y poder cruzarlo. ¿ Cómo resolver este problema utilizando la semejanza de triángulos? d C A e b solución: Para poder determinar el ancho del canal, podemos utilizar las proporciones que determinamos con el teorema fundamental de la semejanza: Fijamos un punto referencial A, al otro lado del canal. En el punto B clavamos una estaca que será desde donde construiremos una figura que nos permita determinar el ancho del canal. Desde el punto B caminamos 8 pasos en línea recta a la orilla del canal y determinamos el punto E. por lo cual BE = 8 pasos. AB es perpendicular a BE. Desde el punto E caminar 4 pasos más en línea recta y determinamos el punto C. Por lo cual EC = 4 pasos. Desde el punto C. caminar 3 pasos más en línea perpendicular al lado BC y determinamos el punto D. Por lo cual CD = 3 pasos. Se formó el triángulo rectángulo ECD. Uniendo los puntos A, B y E se forma un triángulo rectángulo en B. El esquema geométrico de lo que dibujamos quedaría de esta manera: tips Los triángulos ABE y DCE son semejantes y se escribe así: C 3 D ∆ABE ~ ∆DCE 4 1) ABE ~= DCE miden 90° 2) AEB ~= DEC Opuestos por el vértice. E 3) Las proporciones son: 8 AB BE x 8 = = x = 6 pasos CD CE 3 4 A x B Si cada paso es de aproximadamente 1 metro, el ancho del canal es de 6 metros aproximadamente. 13  Educación Matemática - GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA: HERRAMIENTAS PARA RESOLVER PROBLEMAS teoremA GeNerAl de tHAles Si tres o más rectas paralelas intersectan a dos o más rectas cualesquiera, determinan sobre éstas segmentos proporcionales entre sí: Con procedimientos algebraicos y geométricos AB//CD//EF es posible determinar las siguientes L1 proporciones: F E AD BC 1) = L2 DF CE D C AD BC 2) = AF BE L3 A B AF BE L4 L5 3) = DF CE tips Lo que hemos tratado, se puede resumir en el siguiente cuadro: a) En un triángulo cualquiera si tenemos una recta paralela a uno de los lados: C DE // AB D E L1 CD CE DE = = CA CB AB L2 A B b) Dos rectas paralelas que intersectan a dos rectas secantes que se intersectan entre las rectas: A D L1 // L2 , L3 y L4 secantes L1 B L1 AB DB AD = = E C BC BE CE L2 L3 L4 c) Tres o más rectas paralelas que son cortadas por dos o más rectas secantes cualesquiera: AD//BE//CF L1 A D AB DE = B E BC EF L2 C F L3 L4 L5 14  Segundo Ciclo o Nivel de Educación Media - Guía Nº 4 ejemplos: Si L1 // L2 // L3. Determine en cada caso la medida del segmento x. L4 L5 L1 solución: 2 cm 6 cm L2 Aplicando el teorema de Thales: 4 cm x 2 6 24 = 2x = 4 6 x= = 12 4 x 2 L3 } L4 L5 solución: L1 Aplicando el teorema de Thales: 2 cm 3 cm 2 3 42 L2 = 2y = 14 3 y= = 21 x 14 y 2 14 cm y y = 21 cm Luego x = 3 + y = 3 + 21 = 24 L3 x = 24 cm solución: L4 L5 Aplicando el teorema de Thales: 2 cm L1 2 4 40 = 2a = 10 4 a= = 20 10 a 2 4 cm a = 20 cm a 2 4 = 40 + 2x =12 4 L2 12 20 + x x 10 cm 12 4 - 40 x= =4 L3 2 12 cm x = 4 cm 15  Educación Matemática - GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA: HERRAMIENTAS PARA RESOLVER PROBLEMAS Actividad en el cuaderno 1) En la figura AE // BF // CG // DH. Determine x en cada caso: A E a) AB = 4 cm; CD = 8 cm; HG = 9 cm; EF = x cm B F b) FG = 7 cm; DC = 14 cm; GH = 18 cm; CB = x cm C G c) EF = 9 cm; DC = 24 cm; AB = 25 cm; HG = x cm D H 2) Si L1 // L2 // L3 // L4 Calcule x, y, z Si: x + y + z = 70 cm x y z L6 8 10 L5 14 L1 L2 L3 L4 3) Determine el valor de x en cada caso para que L1 y L2 sean paralelas: L4 15 2x 5x 9 x 3 L4 6 3x L3 L3 L1 L2 L1 L2 16  Segundo Ciclo o Nivel de Educación Media - Guía Nº 4 evAluACióN Resuelva cada situación y marque con una X la alternativa correcta: 1) En un mapa (a escala) se tiene que 1 cm en él corresponde a 25 km en la realidad. Si la distancia en el mapa entre dos ciudades es 10,8 cm, entonces la distancia real es: a) 100 km b) 135 km c) 270 km C d) 300 km E 2) En la figura AC // DE la medida de BC es: 20 10 2 a) 1 b) 2 B c) 3 D d) 4 A 3) Observe estas tres fotografías e identifique cuales son semejantes: 13 cm i) ii) iii) 12 cm 8 cm 5 cm 7,5 cm 9 cm a) i y ii b) i y iii c) i, ii y iii d) ii y iii 4) ¿en cuál(es) de las siguientes figuras el valor de x es 12? i) L1 // L2 // L3 ii) L1 // L2 iii) L1 // L2 L2 8 x 1 x x 8 15 10 8 10 15 L3 L1 L2 L3 L1 L2 2 L1 a) i y ii b) i y iii c) i, ii y iii d) ii y iii 17  Educación Matemática - GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA: HERRAMIENTAS PARA RESOLVER PROBLEMAS Guía de trabajo Nº 2 los primeros pasos en la trigonometría razones trigonométricas en el triángulo rectángulo Contenidos determinación de razones trigonométricas (seno, coseno y tangente) en el triángulo rectángulo. resolución de problemas que involucran el uso de la trigonometría como el cálculo de alturas y distancias inaccesibles. teorema de pitágoras. medidas de ángulos en sistema sexagesimal y en radianes. Conversión de unidades de medida de ángulos. funciones trigonométricas cuadrantes en el plano cartesiano. identidades pitagóricas. 18  Segundo Ciclo o Nivel de Educación Media - Guía Nº 4 La trigonometría es una herramienta útil para calcular alturas y distancias inaccesibles o de difícil acceso; se aplica en diversas áreas, como por ejemplo en la topografía, en la navegación y en la astronomía. En todo triángulo ABC, rectángulo en C, se cumple el Teorema de Pitágoras: a2 + b2 = c2 B β sa tenu hipo cateto c a b γ α A cateto C TIPS En un triángulo, la suma de sus ángulos interiores es 180°. Un triángulo rectángulo tiene unos de sus ángulo recto (mide 90º). En un triángulo rectángulo, los ángulos que no son rectos, son ángulos agudos (su medida es mayor que 0º y menor que 90º) Recuerde que una razón es la comparación por cociente entre dos cantidades. En una razón, el numerador se llama antecedente y el denominador se llama consecuente. La razón entre a y b se anota: a o a:b b En una razón escrita como fracción: 14 El numerador, recibe el nombre de antecedente Por ejemplo: o 14 : 3 3 a b El denominador recibe el nombre de consecuente 19  Educación Matemática - GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA: HERRAMIENTAS PARA RESOLVER PROBLEMAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO En un triángulo rectángulo, se llaman razones trigonométricas a aquellas que se establecen entre las medidas de sus lados. Cada razón trigonométrica se relaciona con algunos de los ángulos agudos del triángulo rectángulo. Las razones trigonométricas asociadas a un ángulo α son 6, se denominan: coseno de α, seno de α, tangente de α, secante de α, cosecante de α y cotangente de α, y se abrevian: cos α, sen α, tan α, sec α, csc α, cot α, respectivamente. Las definiciones son las siguientes: Coseno de α: El coseno del ángulo α se define como la razón entre el cateto adyacente al ángulo α y la hipotenusa: B cateto adyacente A α cos α = hipotenusa a sen α = β c Seno de α: b El seno del ángulo α se define como la razón entre cos α = c a c el cateto opuesto al ángulo α y la hipotenusa cateto opuesto A α a sen α = γ tan α = α b b hipotenusa A C Tangente de α : La tangente del ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto al ángulo α y el cateto adyacente a: α cateto opuesto A α tan α = cateto adyacente A α ACTIVIDAD Determine las razones trigonométricas: B cos α = β sen α = 25 7 γ tan α = α 24 A C 20  Segundo Ciclo o Nivel de Educación Media - Guía Nº 4 ACTIVIDAD Lea y observe atentamente la información y aplíquela: Secante de α: TIPS La secante del ángulo α se define Identidades como la razón entre la hipotenusa y el trigonométricas inversas: cateto adyacente al ángulo α. 1 csc α = , hipotenusa sen α sec α = 1 cateto adyacente A α sec α = , cos α 1 cot α = Cosecante de α: tan α La cosecante del ángulo α se define como la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto al ángulo α. hipotenusa B csc α = cateto opuesto A α c csc α = β a Cotangente α : c sec α = La cotangente del ángulo α se define c a b como la razón entre el cateto adyacente al ángulo α y el cateto opuesto a α. b γ cot α = α b a cateto adyacente A α cot α = A C cateto opuesto A α ACTIVIDAD Determine las razones trigonométricas: B sec α = β csc α = 25 7 cot α = α 24 γ A C 21  Educación Matemática - GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA: HERRAMIENTAS PARA RESOLVER PROBLEMAS trAbAjANdo CoN los áNGulos AGudos de uN triáNGulo reCtáNGulo Todo triángulo rectángulo posee dos ángulos agudos. ACTIVIDAD Complete lo que falta en la oración: C Todo triángulo rectángulo posee un ángulo γ y dos ángulos , en este caso los ángulos son: y , el ángulo recto es: α β A B relación entre el seno y la cosecante del ángulo agudo α del triángulo rectángulo. Seno: B Cosecante: El seno del ángulo α es la razón La cosecante del ángulo α es la entre el cateto opuesto al ángulo razón entre la hipotenusa y el β α y la hipotenusa: cateto opuesto al ángulo α: cateto opuesto hipotenusa sen α = c a csc α = hipotenusa cateto opuesto a c sen α = csc α = c α b γ a A C ¿Qué diferencias y que semejanzas observa entre el sen α y la csc α? Actividad en el cuaderno Dibuje un triángulo rectángulo cuyas medidas de los lados son: 12 cm - 5 cm - 13 cm y determine las razones trigonométricas del seno y la cosecante de los ángulos agudos. 22  Segundo Ciclo o Nivel de Educación Media - Guía Nº 4 Observe atentamente cada razón trigonométrica y complete lo pedido en cada caso: relación entre el coseno y la secante del ángulo agudo α del triángulo rectángulo. Coseno: B Secante: El coseno del ángulo α es la razón La secante del ángulo α es la razón entre el cateto adyacente al entre la hipotenusa y el cateto β ángulo α y la hipotenusa: adyacente al ángulo α: cateto adyacente hipotenusa cos α = c a sec α = hipotenusa cateto adyacente b c cos α = sec α = c α b γ b A C ¿Qué diferencias y qué semejanzas observa entre el cos α y la sec α? relación entre la tangente y la cotangente del ángulo agudo α del triángulo rectángulo. Tangente: B Cotangente: La tangente del ángulo α es la La cotangente del ángulo α es la razón entre el cateto opuesto al razón entre el cateto adyacente β ángulo α y el cateto adyacente: al ángulo α y el cateto opuesto a este: cateto opuesto tan α = c a cateto adyacente cateto adyacente cot α = a cateto opuesto tan α = b α b γ b cot α = A C a ¿Qué diferencias y qué semejanzas observa entre la tan α y la cot α? Actividad en el cuaderno Dibuje un triángulo rectángulo cuyas medidas de los lados son: 6 cm - 8 cm - 10 cm y determine las razones trigonométricas del seno y cosecante y de la tangente y cotangente de los ángulos agudos. 23  Educación Matemática - GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA: HERRAMIENTAS PARA RESOLVER PROBLEMAS dados los triángulos rectángulos, escriba las razones trigonométricas ACTIVIDAD de: seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente del ángulo α del triángulo i y compare sus resultados con sus compañeros: B C 15 A b α 13 β 8 a ii c c a 12 i β 17 α b A C A 5 B 3 C B α 40 a β B C β a c 15 iii iv 12 c b 9 c b 4 b 5 41 v α a β A B α C 9 sen α = A Actividad en el cuaderno Determine las razones trigonométricas de los triángulos II, III, IV y V cos α = tan α = csc α = sec α = ctg α = 24  Segundo Ciclo o Nivel de Educación Media - Guía Nº 4 ACTIVIDAD observe atentamente el triángulo y la información dada y complete más abajo lo pedido: B b sen β = β c a cos β = c a c α b γ b tan β = A C a responda lo pedido y determine las razones del ángulo β: a) seno: El seno del ángulo β se define como la razón entre: B sen β = β b) Coseno: El coseno del ángulo β: se define como la razón entre: 25 7 cos β = α 24 γ A C c) tangente: La tangente del ángulo β se define como razón entre: tan β = 25  Educación Matemática - GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA: HERRAMIENTAS PARA RESOLVER PROBLEMAS ACTIVIDAD observe atentamente el triángulo y la información dada y complete más abajo lo pedido: B c csc β = b β c sec β = c a a γ a α b cot β = b A C responda lo pedido y determine las razones del ángulo β: a) Cosecante: La cosecante del ángulo β se define como la razón entre: B csc β = β b) secante: La secante del ángulo β: se define como la razón entre: 25 7 sec β = α 24 γ A C c) Cotangente: La cotangente del ángulo β se define como razón entre: cot β = 26  Segundo Ciclo o Nivel de Educación Media - Guía Nº 4 dados los triángulos rectángulos, escriba las razones trigonométricas ACTIVIDAD de: seno, coseno , tangente, cosecante, secante y cotangente del ángulo β del triángulo i y compare sus resultados con sus compañeros: B C 63 A b α 25 β 16 a ii c c a 24 i β 65 α b C A A 7 B 13 C B α 60 a β B C β a c 145 iii iv b 11 c 144 c b 61 84 b 85 v α a β A α C B 17 sen β = A Actividad en el cuaderno Determine las razones trigonométricas de los triángulos II, III, IV y V cos β = tan β = csc β = sec β = ctg β = 27  Educación Matemática - GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA: HERRAMIENTAS PARA RESOLVER PROBLEMAS medidAs de áNGulos Describiremos sistemas para medir ángulos. Usualmente se utilizan dos unidades de medida: los grados sexagesimales y los radianes. Desde la trigonometría: El ángulo es la amplitud de rotación de un segmento de recta llamado radio en torno a un punto llamado centro, y se considera positivo. La rotación en sentido antihorario y su medida toma valores positivos. Si el ángulo se mide en sentido horario, su medida toma valores negativos. ángulo positivo (+) ángulo negativo (-) y y radio 360º o x o x 360º radio tips y 1 Grados sexagimales: 360 Un grado sexagesimal (1º) es la medida del ángulo del centro que subtiende un arco igual 1 a una trescientos sesenta - ava ( 360 ) parte de o x la circunferencia. Si la medida de un ángulo es a grados, lo detonaremos, aº 360º 28  Segundo Ciclo o Nivel de Educación Media - Guía Nº 4 es c ompleta equivalen a te u elt y a 36 v na 0 u º 1 γ= vuelta 2 1 forma un ángulo β= vuelta δ 4 extendido o llano que forma un ángulo mide 180º β recto que mide 90º γ α = 1º 0 x 3 1 vuelta completa mide δ= vuelta 4 360º forma un ángulo que mide 270º Si 1º (un grado) se divide en 60 ángulos iguales, la medida de cada nuevo ángulo, por convención, es un minuto y se anota 1’. Si un ángulo mide a minutos, se denota a’. Ejemplos: 10’: 10 minutos; 25’: 25 minutos; 58’: 58 minutos. Si 1’ (un minuto) se divide en 60 ángulos iguales, cada uno de éstos mide, por convención, un segundo, lo que se anota 1’’. Alfa segundos se anotan a’’. Ejemplos: 10’’: 10 segundos; 43’’: 43 segundos; 54’’: 54 segundos ejemplo: se lee: La medida del ángulo alfa es: 15 grados, El ángulo: α = 15º 30' 45" 30 minutos y cuarenta y cinco segundos. La medida del ángulo alfa es: 15 grados con El ángulo: α = 15,125º ciento veinticinco milésimas de grado. 29  Educación Matemática - GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA: HERRAMIENTAS PARA RESOLVER PROBLEMAS ACTIVIDAD dados los ángulos con su respectiva medida, escriba la forma en que usted los leería: medida del ángulo lectura de la medida α = 75º 30' 55" β = 115º 30' 45" γ = 15º 30" δ = 15,54º ε = 315" θ = 7.200" medidA de áNGulos usANdo rAdiANes tips Otra unidad de medida de ángulos, muy difundida en trígonometría, es el radián, un radián (1 rad.) es la medida de un ángulo del centro de circunferencia que subtiende un arco de longitud igual a la del radio. Figura 1: el ángulo b mide 1 rad. A r Figura 2: el ángulo b mide 2 rad. Figura 3: el ángulo b mide 3 rad. r β r Figura 4: el ángulo b = 360º mide 2p rad. o r A r r B r β o β fig. 2 r r A o r r B B fig. 1 360º = 2π Obsérvese que en el caso de la figura 4, fig. 3 un ángulo de 360º subtiende un arco de r circunferencia completo de medida 2pr o unidades, al dividir esta longitud por la medida r del radio, se obtiene 2p, es decir r 360º 1 2p [rad]. Esta equivalencia B=A permite establecer que 180º 1 p [rad] fig. 4 30  Segundo Ciclo o Nivel de Educación Media - Guía Nº 4 trANsformAr uNidAdes de medidAs de áNGulos La equivalencia 360º 1 2π [rad], permite establecer esta otra equivalencia aun más sencilla 180º 1 π [rad]. Para transformar ángulos sexagesimales a ángulos radianes y viceversa, se puede usar la siguiente proporción: medida en radianes de α π [rad] = medida de grados de α 180º Observe atentamente el desarrollo de las transformaciones de grados a radianes y viceversa: a) Transformar 60° a [rad] : ( α=60º ) medida en radianes de α π [rad] 60º π π = medida en radianes de α = = 60º 180º 180º 3 π Por lo tanto 60º = ( ) π π 3 b) Transformar [rad] a grados: α= [rad] 9 9 π 180º π/9 π [rad] 9 180º = medida en grados de α = = = 20º medida en grados de α 180º π 9 π Por lo tanto = 20º 9 ACTIVIDAD Complete la siguiente tabla de equivalencias entre ángulos sexagesimales y ángulos radianes: áNGulos seXAGesimAles áNGulos rAdiANes 30º π [rad] 2 60º π [rad] 4 31  Educación ELBOR P REVMatemática LOSER -AGEOMETRÍA RAP SAT Y TRIGONOMETRÍA: NEIMARREHERRAMIENTAS PARA H :AÍRTEM ORESOLVER NOGIR PROBLEMAS T Y AÍRTEM :senaACTIVIDAD idar a transforme lamislos ángulos eg axes medidos ame en tssistema is ne sexagesimal sodide a radianes: m solugná sol semedida naiddelarángulo ne o sistema lugnsexagesimal á led adidem medida del ángulo en lradianes amisegaxes a α = 30º β = 45º γ = 60º δ = 210º ε = 270º θ = 315º :lamisega xes a ACTIVIDAD transforme metsilos ángulos s a senmedidos aidarennradianes e sodaisistema demsexagesimal: solugná sol e semedida naiddelarángulo ne o sistema lugnsexagesimal á led adidem medida del ángulo en lradianes amisegaxes a π α= [rad] 8 π γ= [rad] 5 π β= [rad] 4 3π δ= [rad] 5 3π ε= [rad] 4 7π η= [rad] 6 7π θ= [rad] 4 9π ϕ= [rad] 4 32  Segundo Ciclo o Nivel de Educación Media - Guía Nº 4 trAbAjAr CoN lAs fuNCioNes triGoNométriCAs El Teorema de Pitágoras puede ser utilizado para determinar la medida de alguno de los lados de un triángulo rectángulo y luego conocer el valor de las funciones trigonométricas asociadas a los ángulos agudos. tips El teorema de Pitágoras plantea geométricamente que, en un triángulo rectángulo, el área del b2 cuadrado construido sobre la C hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos. b a a2 a 2 + b 2 = c2 c A B Para determinar el valor de todas las funciones c2 trigonométricas del ángulo agudo α, del triángulo rectángulo, es necesario conocer la medida de los catetos y de la hipotenusa. ejemplo 1: Determinar el valor de las seis funciones trigonométricas del ángulo α C Para determinar la medida del cateto opuesto, utilizamos el Teorema de Pitágoras: 5 Cateto 42 + BC 2 = 52 opuesto ( BC ) 16 + BC 2 = 25 α BC 2 = 25 - 16 = 9 /±√ A 4 B BC = √9 = 3 Al determinar las razones trigonométricas del ángulo agudo α , se obtiene: 3 4 3 5 5 4 sen α = cos α = tan α = csc α = sec α = cot α = 5 5 4 3 4 3 33  Educación Matemática - GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA: HERRAMIENTAS PARA RESOLVER PROBLEMAS Ejemplo 2: Determinar el valor de las seis razones trigonométricas del ángulo q C Para determinar la medida del cateto adyacente, utilizamos el Teorema de Pitágoras: 13 12 122 + AB2 = 132 144 + AB2 = 169 θ AB2 = 169 - 144 A B AB 2 = 25 /±√ Cateto adyacente ( AB ) AB =5 Al determinar las razones trigonométricas del ángulo agudo θ, se obtiene: 12 12 13 13 5 sen θ = cos q = 5 tan θ = csc θ = sec θ = cot θ = 13 13 5 12 5 12 identifica los ángulos agudos en la figura y escribe una expresión para ACTIVIDAD determinar las razones trigonométricas de: seno, coseno y tangente. β c h b α 34  Segundo Ciclo o Nivel de Educación Media - Guía Nº 4 ACTIVIDAD ejercicios y aplicaciones Encontrar los valores de las seis funciones trigonométricas del ángulo α y β señalado en cada triángulo. a) C Aplicar el Teorema de Pitágoras para determinar el valor del cateto opuesto. 10 Cateto opuesto ( BC ) α A 8 B sen α = cos α = tan α = csc α = sec α = cot α = b) C Aplicar el Teorema de Pitágoras para determinar el valor del cateto adyacente. 41 40 β A B Cateto adyacente ( AB ) sen β = cos β = tan β = csc β = sec β = cot β = C Aplicar el Teorema de Pitágoras para determinar c) Hipotenusa el valor de la hipotenusa. ( AC ) 5 α A 12 B sen α = cos α = tan α = csc α = sec α = cot α = 35  Educación Matemática - GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA: HERRAMIENTAS PARA RESOLVER PROBLEMAS tips y α + β = 90º Ángulos complementarios son los que α sumados dan 90° β o x Actividad en el cuaderno resuelva de acuerdo con las instrucciones de cada ítem: 1) Determine el valor del lado x de cada triángulo y luego los valores de las seis razones trigonométricas del ángulo θ. θ x a 17 x θ x 24 b 8 θ 3 7 4 x x a θ θ a 2) Utilizando calculadora, determine el valor de cada función trigonométrica hasta con tres cifras decimales y luego redondee hasta las décimas: a) sen 45º = b) csc 45º = c) cos 60º = a) sec 60º = b) tan 90º = c) cot 0º = 36  Segundo Ciclo o Nivel de Educación Media - Guía Nº 4 APLICANDO LO APRENDIDO Hemos estudiado las razones trigonométricas sobre triángulos rectángulos y la medición de ángulos agudos de cualquier medida, estudiaremos los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos de medidas: 30° ; 45° y 60° TIPS Determine el valor de las funciones trigonométricas de 45° ACTIVIDAD Siga cada una de las instrucciones y complete la información solicitada en cada paso: a) Dado un triángulo rectángulo isósceles cuyos catetos miden 3 unidades, aplique C el Teorema de Pitágoras para determinar la longitud de su hipotenusa: 45º x= 3 45º A 3 B b) Con la medida determinada; calcule las siguientes razones trigonométricas: sen 45º = cos 45º = tan 45º = csc 45º = sec 45º = cot 45º = 37 Educación Matemática - GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA: HERRAMIENTAS PARA RESOLVER PROBLEMAS ACTIVIDAD determinando el valor de las funciones trigonométricas de 60° 2) Determinaremos las razones de las funciones trigonométricas de los ángulos de 60° y 30° tips triángulo equilátero: Polígono de tres lados de igual medida y tres ángulos agudos congruentes, que miden 60º cada uno. Altura de un triángulo: Cada uno de los segmentos de recta perpendiculares, trazados desde un vértice del triángulo al lado opuesto de este. C 30º 30º El punto de intersección de las tres alturas se denomina ortocentro. 60º 60º A B a) Dado un triángulo equilátero cuyos lados miden 2 unidades cada uno: trazar las 3 alturas. ( Utilizar una escuadra para trazar las alturas ). Mida los ángulos con un transportador. C 2 2 A 2 B  Segundo Ciclo o Nivel de Educación Media - Guía Nº 4 C b) Complete cada frase considerando los datos y la incógnita en la figura. x x La medida del ángulo x es: 2 2 c El valor de es : hc = ? 2 c) Utilice el Teorema de Pitágoras para determinar 60º 60º el valor de la altura: hc = A B d) Con las medidas determinadas calcule las siguientes funciones trigonométricas: c c = = 2 2 sen 60º = cos 60º = tan 60º = csc 60º = sec 60º = cot 60º = sen 30º = cos 30º = tan 30º = csc 30º = sec 30º = cot 30º = TIPS Las razones trigonométricas de un ángulo dado son invariantes, es decir, tienen siempre el mismo valor, no importa cuál sea el tamaño del triángulo rectángulo que contenga este ángulo. En la figura, los triángulos son semejantes. Por eso, la razón establecida entre dos lados de uno de ellos, tiene el mismo valor que la razón establecida entre los lados homólogos del otro. De ahí que, sen θ ; cos θ y tan θ. tengan el mismo valor para ambos triángulos y, en general, sean invariantes. C' ΔABC ~ ΔA'B'C' C b' a a' b b' a a' = ; = = = c c' c c' b b' b a a' θ θ A c B A' c' B' 39  Educación Matemática - GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA: HERRAMIENTAS PARA RESOLVER PROBLEMAS resuelva cada situación y complete, luego compare los resultados con ACTIVIDAD sus compañeros y compañeras: 1) Utilizando la transformación de ángulos y los cálculos desarrollados en las actividades anteriores, complete la tabla: θ (radianes) θ (grados) cos θ sen θ tan θ sec θ csc θ cot θ π 6 45º π 3 2) Utilizando la transformación de ángulos y los cálculos desarrollados en las actividades anteriores, complete la tabla: θ θ (radianes) cos θ sen θ tan θ sec θ csc θ cot θ (grados) π 2 3) Observe las secuencias numéricas que se forman y complete la tabla con los valores numéricos que faltan: ángulo α = 0º α = 30º α = 45º α = 60º α = 90º función 1 1 1 1 1 sen α √0 = 0 √1 √2 √3 √4 = 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 cos α √4 = 1 √3 √2 √1 √0 = 0 2 2 2 2 2 tan α 0 ∄ tips sen a tan a = cos a 40  Segundo Ciclo o Nivel de Educación Media - Guía Nº 4 3) Dado el triángulo rectángulo en B, complete la tabla determinando el valor de la función trigonométrica: C 30º 2 √3 60º B 1 A cos 30º sen 30º tan 30º sec 30º csc 30º cot 30º Resolvamos situaciones utilizando los triángulos rectángulos. 1) El kiosco de diarios y varios del señor Aránguiz, ubicado en la calle Manuel Montt con Caupolicán, en la ciudad de Temuco, proyecta una sombra de 1,8 m de largo. Si el ángulo que se forma desde la punta de la sombra hasta el punto más alto del kiosco es de 60º, ¿cuál es la altura del kiosco? y 60º 1,80 m En el triángulo de la figura, se deben relacionar los datos y la incógnita mediante la razón trigonométrica que corresponde. En este caso, el ángulo de 60º, el cateto opuesto a este ángulo, de medida y, y el cateto adyacente al mismo ángulo, de medida 1,8 m, deben relacionarse mediante la tangente. Así: y tan 60º = y = 1,8 tan 60º= 1,8 √3 = 3,12 m 1,8 La altura aproximada del kiosco es de: 41  Educación Matemática - GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA: HERRAMIENTAS PARA RESOLVER PROBLEMAS 2) Un topógrafo utiliza un instrumento llamado teodolito para medir el ángulo de elevación entre la cima del cerro y el nivel del suelo. En un punto, el ángulo de elevación mide 45°, medio kilómetro más lejos del cerro el ángulo de elevación es de 30°. ¿Cuál es la altura del cerro? solución: h la situación se puede modelar así: 45º 30º C x 0,5 km h=x 45º 30º D El triángulo ABC es rectángulo isósceles, porque: E x 0,5 km A B Luego el segmento AB = x. En el triángulo ADC determinamos la tangente de 30º, que se escribe: tips x tan 30º = x + 0,5 VISUAL ÁNGULO DE ELEVACION a (x + 0,5) tan 30º = x HORIZONTAL q ÁNGULO DE DEPRESIÓN VIS UAL (x + 0,5) (0,58) = x 0,58x + 0,5 0,58 = x 0,29 = x - 0,58x El ángulo de elevación a, está formado 0,29 = 0,42x por la línea horizontal y la línea que une 0,29 el punto de mira con el objeto observado =x por sobre la línea horizontal. 0,42 x = 0,7 respuesta: por lo tanto la altura del cerro es de 0,7 km. 42  Segundo Ciclo o Nivel de Educación Media - Guía Nº 4 Actividad en el cuaderno Realice los siguientes ejercicios. 1) Un volantín queda atrapado en las ramas más altas de un árbol; si el hilo del volantín forma un ángulo de 30° con el suelo y mide 8 metros, estimar la altura del árbol calculando la altura a la que quedó atrapado el volantín. 2) Un carpintero corta el borde de un tablero de 3 pulgadas de largo, con una inclinación de 30º 30° de la vertical, empezando desde un punto 3 pulg y situado a ¾ pulgadas del borde del tablero. Determinar las longitudes del corte diagonal y del lado restante. (Ver figura) /4 3 x 3) Una palmera proyecta una sombra de 18 metros de largo, si el ángulo que se forma desde la punta de la sombra hasta el punto más alto de la palmera es de 60°, ¿cuál es la altura de la palmera? Sugerencia: antes de resolver el problema, dibuje la situación. 43  Educación Matemática - GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA: HERRAMIENTAS PARA RESOLVER PROBLEMAS se venDen Actividad en el cuaderno entos Departam 0 UF DesDe 99 4) Una persona observa un letrero publicitario ubicado en la D punta de un edificio con un ángulo de elevación de 30°. Avanza 30 m y observa nuevamente el letrero, con un ángulo de elevación de 45° como se muestra en el siguiente dibujo. ¿A qué altura se encuentra el letrero? 30º 45º 30 m 1,6 m A B C 5) Dado el dibujo de una mina a tajo abierto, usando un esquema de triángulo rectángulo, determine cuál de las siguientes operaciones permite calcular el sen q. ra de Altura la θ base a) La medida de la altura, dividida por el largo de la base. b) El largo de la ladera, dividido por la medida de la altura. c) El largo de la base, dividido por el largo de la ladera. d) La medida de la altura, dividida por el largo de la ladera. 44  Segundo Ciclo o Nivel de Educación Media - Guía Nº 4 IDENTIDADES PITAGÓRICAS El Teorema de Pitágoras, plantea: Dado el triángulo rectángulo: c 2 = a 2 + b 2 / al dividir por c 2 c2 a2 b2 = + c2 c2 c2 c a 1 = sen2 θ + cos2 θ Porque de acuerdo a las razones trigonométricas θ en el triángulo rectángulo: b b a cos θ = sen θ = c c Complete las siguientes identidades trigonométricas, utilizando los ACTIVIDAD datos del triángulo dado arriba: TIPS 1) (cosen ) (sec ) = Otras identidades pitagóricas: 1 + tan 2 θ = sec 2 θ 2) (sen ) (csc ) = 1 + cot 2 θ = csc 2 θ 3) (tan ) (cot ) = ¿Cómo cree usted que se determinaron estas 4) sen identidades? Discutirlo = cos en grupos 5) cos = sen 6) sec = csc 7) csc = sec 45  Educación Matemática - GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA: HERRAMIENTAS PARA RESOLVER PROBLEMAS ACTIVIDAD resuelva lo indicado en cada caso: Encontrar los valores de las seis funciones trigonométricas del ángulo señalado en cada triángulo: C a) 13 Cateto opuesto α A 5 B Aplicar el Teorema de Pitágoras para determinar el valor del cateto opuesto. sen α = cos α = tan α = csc α = sec α = cot α = 46  Segundo Ciclo o Nivel de Educación Media - Guía Nº 4 C b) 17 8 β A Cateto adyacente B Aplicar el Teorema de Pitágoras para determinar el valor del cateto adyacente. sen β = cos β = tan β = csc β = sec β = cot β = C c) Hipotenusa 7 α A 24 B Aplicar el Teorema de Pitágoras para determinar el valor de la hipotenusa. sen α = cos α = tan α = csc α = sec α = cot α = 47  Educación Matemática - GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA: HERRAMIENTAS PARA RESOLVER PROBLEMAS Observe y estudie detenidamente cada ejemplo de situaciones resueltas: 1) Un árbol proyecta una sombra de 60 m de largo. Escriba una expresión que permita determinar la altura del árbol en ese momento. Solución: Como no sabemos la medida del ángulo α, la expresión que nos sirva para determinar la altura del árbol es el Teorema de Pitágoras. h 61 612 = 602 + h2 h2 = 3.721 - 3.600 h2 = 121 / ± √ h = 11 α Por lo tanto la altura h del árbol es de 11 m. 60 2) Un dirigible que está volando a 800 m de altura, distingue un pueblo con un ángulo de depresión de 12°. ¿A qué distancia del pueblo se encuentra? Solución: 800 tan 12º = d 12