Microéconomie L2 : Minimisation des coûts - Chapitre 1 : Le Producteur - PDF

Marchés et systèmes de prix - Licence L2 Chapitre 1 : Le producteur Marie-Laure Cabon-Dhersin Professeur d’Université en Sciences Economiques marie-laure.cabon-dhersin...

Marchés et systèmes de prix - Licence L2 Chapitre 1 : Le producteur Marie-Laure Cabon-Dhersin Professeur d’Université en Sciences Economiques [email protected] Marie-Laure Cabon-Dhersin (Univ. Rouen) Microéconomie L2 1 / 57  Plan 1 Le producteur Introduction La technologie La fonction de production Les productivités Les isoquantes Le taux marginal de substitution technique Les rendements d’échelle La minimisation des coûts de production Typologie des coûts La maximisation du profit Le surplus du producteur L’offre de marché Marie-Laure Cabon-Dhersin (Univ. Rouen) Microéconomie L2 2 / 57  Chap1. Le producteur Introduction Un producteur utilise des facteurs de production, des inputs afin de produire des biens et services, des outputs. Son objectif : maximiser le profit ? Pas forcément. Il peut maximiser un chiffre d’affaire, des parts de marché... Dans tous les cas, il minimise ses coûts de production : pour un volume de production donné, il choisit les inputs de sorte à minimiser le coût de production. Marie-Laure Cabon-Dhersin (Univ. Rouen) Microéconomie L2 3 / 57  Chap1. Le producteur La technologie Pour une technologie qui met en œuvre n inputs pour produire p outputs, on aura une fonction de production de la forme suivante : f (z1 , z2 ,..., zn ) = (y1 , y2 ,..., yp ) Pour une technologie mono-produit, on obtient alors une fonction de production du type suivant : y = f (z1 , z2 ,..., zn ) Le vecteur z = (z1 , z2 ,..., zn ) est dénommé combinaison productive. Marie-Laure Cabon-Dhersin (Univ. Rouen) Microéconomie L2 4 / 57  Chap1. Le producteur La technologie Exemple Commerciaux Nombre de voitures vendues 1 25 2 35 3 43 4 50 5 56 Voitures vendues Fonction de production Ensemble de production Commerciaux 1 2 3 4 5 La relation entre nombre de commerciaux et nombre de voitures peut aussi √ être donnée par la fonction f (z) = 25 z ou z est le nombre de commerciaux. Marie-Laure Cabon-Dhersin (Univ. Rouen) Microéconomie L2 5 / 57  Chap1. Le producteur La technologie Les principales fonctions de production : La fonction de production Cobb Douglas f (z1 , z2 ) = Az1a z2b où les paramètres a et b sont positifs et représentent la part relative des facteurs de production dans la production totale. La fonction de production de Leontiev f (z1 , z2 ) = Min{az1 + b, cz2 + d} où les paramètres a et c sont strictement positifs. La fonction de production dite CES (Constant Elasticity of Substitution) 1 f (z1 , z2 ) = (az1r + bz2r ) r où les paramètres a et b sont strictement positifs. r peut etre positif ou négatif. Marie-Laure Cabon-Dhersin (Univ. Rouen) Microéconomie L2 6 / 57  Chap1. Le producteur La technologie Définition : Les productivités 1 On appelle productivité moyenne d’un facteur de production, le rapport entre la quantité d’output et la quantité de ce facteur utilisée dans le processus de production : f (z1 , z2 ,..., zn ) PM (i) = zi 2 On appelle productivité marginale d’un facteur de production, le rapport entre la dernière unité d’output produite et la quantité de ce facteur utilisée pour produire cette dernière unité : ∂f (z1 , z2 ,..., zn ) Pm (i) = ∂zi Les termes productivités marginales sont parfois remplacés par les termes rendements factoriels. Marie-Laure Cabon-Dhersin (Univ. Rouen) Microéconomie L2 7 / 57  Chap1. Le producteur La technologie Exemple : productivité marginale/moyenne Programmeurs (facteur L) Modules de jeu (produit y) Productivités 0 0 Marginale Moyenne =∆y/∆L =y/L 1 10 10 10 2 18 8 9 3 24 6 8 4 28 4 7 5 30 2 6 Productivités marginale et moyenne des programmeurs Marie-Laure Cabon-Dhersin (Univ. Rouen) Microéconomie L2 8 / 57  Chap1. Le producteur La technologie Trois propriétés générales des Pm : 1 Productivités marginales positives. Pmi (z) > 0 ⇔ ∂f∂z(z) i > 0 : la Pm du facteur i est positive ssi la fonction de production est croissante par rapport au facteur i. 2 La Pm d’un facteur n’est pas constante et dépend de la quantité déjà utilisée de ce facteur. 3 La Pm est décroissante avec l’augmentation d’un des facteurs : ”Loi des productivités marginales décroissantes”. ∂Pm(z) 2 f (z) ∂zi < 0 ⇔ ∂ ∂z 2 < 0 : La Pm du facteur i est décroissante ssi la i fonction de production est concave par rapport au facteur i. Mêmes propriétés pour la productivité moyenne. Marie-Laure Cabon-Dhersin (Univ. Rouen) Microéconomie L2 9 / 57  Chap1. Le producteur La technologie Liens entre Pm et PM : 1 La PM du facteur i augmente quand Pmi > PMi , et inversement. 2 La PM atteint son maximum quand PM = Pm. Dans l’exemple, PM est décroissante : la PM est supérieure ou égale à la Pm Marie-Laure Cabon-Dhersin (Univ. Rouen) Microéconomie L2 10 / 57  Chap1. Le producteur La technologie Definition - L’élasticité de production. On appelle élasticité du produit par rapport au facteur de production i : ∂f (z1 ,z2 ,...,zn ) ∂zi µi (z) = f (z1 ,z2 ,...,zn ) zi Marie-Laure Cabon-Dhersin (Univ. Rouen) Microéconomie L2 11 / 57  Chap1. Le producteur La technologie Elasticités des facteurs de production dans la Cobb-Douglas Soit f (z1 , z2 ) = Az1a z2b. Calculs de µ1 (z) et µ2 (z) ? ∂f (z1 , z2 ) Pm1 (z1 , z2 ) = = Aaz1a−1 z2b , ∂z1 ∂f (z1 , z2 ) Pm2 (z1 , z2 ) = = Abz1a z2b−1 ∂z2 Pm1 z1 µ1 (z) = = Aaz1a−1 z2b a b = a PM1 Az1 z2 µ2 (z) = b Les coefficients a et b correspondent aux élasticités des deux facteurs de production, qui sont constantes pour cette fonction. Marie-Laure Cabon-Dhersin (Univ. Rouen) Microéconomie L2 12 / 57  Chap1. Le producteur La technologie Définition : Les isoquantes On appelle surfaces d’iso-production ou isoquante, l’ensemble des combinaisons productives z = (z1 , z2 ,..., zn ) telles que f (z) = cst. Exemple : La courbe définie par l’équation f (z1 , z2 ) = q est appelée isoquante de niveau q. Elle correspond à l’ensemble des combinaisons productives (z1 , z2 ) permettant à la firme de produire exactement q unités d’output. Marie-Laure Cabon-Dhersin (Univ. Rouen) Microéconomie L2 13 / 57  Chap1. Le producteur La technologie Facteur Capital F(K+,L+)=q1 Augmentation de la production F(K,L)=q0 Facteur Travail Marie-Laure Cabon-Dhersin (Univ. Rouen) Microéconomie L2 14 / 57  Chap1. Le producteur La technologie Propriétés d’une isoquante : 1 décroissante. 2 ne se coupe pas : q1 > q0 3 Plus l’isoquante s’éloigne de l’origine, plus le niveau du produit est élevé : résultat de la croissance des fonctions de production par rapport à tous les facteurs. 4 habituellement convexe (mais pas toujours!) : substitution imparfaite entre facteurs de production + Pm des facteurs de production décroissantes (voir TMST dans la suite). Marie-Laure Cabon-Dhersin (Univ. Rouen) Microéconomie L2 15 / 57  Chap1. Le producteur La technologie Définition : le taux marginal de substitution technique On appelle taux marginal de substitution technique du facteur z2 au facteur z1 la quantité additionnelle de facteur z2 dont on doit disposer pour remplacer une unité de facteur z1 , tout en maintenant la production à un niveau constant. Formellement, en identifiant l’identité f (z1 , z2 ) = q, on obtient la différentielle totale (voir fichier rappels maths) : ∂f (z1 , z2 ) ∂f (z1 , z2 ) dz1 + dz2 = 0 ∂z1 ∂z2 Ainsi la pente de l’isoquante est : ∂f (z1 ,z2 ) dz2 ∂z1 Pm1 (z1 , z2 ) = − ∂f (z ,z ) =− dz1 1 2 Pm2 (z1 , z2 ) ∂z2 Le taux marginal de substitution technique est donc égal en valeur absolue à : ∂f (z1 ,z2 ) ∂z1 TMST (z1 , z2 ) = ∂f (z1 ,z2 ) ∂z2 Marie-Laure Cabon-Dhersin (Univ. Rouen) Microéconomie L2 16 / 57  Chap1. Le producteur La technologie Propriétés du TMST : 1 Le taux marginal de substitution technique est donc généralement décroissant, ce qui implique la convexité des isoquantes : facteurs imparfaitement substituables. 2 Il peut être constant (isoquante=droite) : facteurs parfaitement substituables (TMST=cst en valeur absolue). 3 Il peut être infini (isoquante coudée) : facteurs complémentaires. Marie-Laure Cabon-Dhersin (Univ. Rouen) Microéconomie L2 17 / 57  Chap1. Le producteur La technologie Définition : les rendements d’échelle globaux Une fonction de production f (z) est dite : à rendement d’échelle constants si : ∀t > 0, ∀z ≥ 0, f (tz) = tf (z); à rendement d’échelle croissants si : ∀t > 0, ∀z ≥ 0, f (tz) > tf (z); à rendement d’échelle décroissants si : ∀t > 0, ∀z ≥ 0, f (tz) < tf (z). Marie-Laure Cabon-Dhersin (Univ. Rouen) Microéconomie L2 18 / 57  Chap1. Le producteur La technologie Remarques sur les rendements d’échelle : les RE sont souvent croissants pour de petites quantités produites, constants pour des quantités intermédiaires, décroissants pour des très grandes quantités. Marie-Laure Cabon-Dhersin (Univ. Rouen) Microéconomie L2 19 / 57  Chap1. Le producteur La technologie Les rendements d’échelle d’une fonction de production Cobb-Douglas, f (z1 , z2 ) = Az1a z2b. Calcul de f (δz1 , δz2 ) où δ > 1 : f (δz1 , δz2 ) = A(δz1 )a (δz2 )b = Aδ a+b z1a z2b = δ a+b f (z1 , z2 ) Par conséquent, les rendements d’échelle d’une fonction Cobb-Douglas dépendent de la valeur de a + b : si a + b = 1, les rendements sont constants (f (δz) = δf (z)), si a + b > 1, les rendements sont croissants(f (δz) > δf (z)), si a + b < 1, les rendements sont décroissants (f (δz) < δf (z)). Marie-Laure Cabon-Dhersin (Univ. Rouen) Microéconomie L2 20 / 57  Chap1. Le producteur La minimisation des coûts de production La minimisation des coûts de production On va supposer que chaque input i a un prix pi et donc on associe au vecteur des inputs de dimension n, un vecteur prix p = (p1 , p2 ,..., pn ). Chaque combinaison productive a un coût correspondant au produit scalaire pz. S’il existe plusieurs combinaisons productives pour obtenir un même niveau de production, il y a alors plusieurs coûts possibles. Le comportement rationnel du producteur permet de trouver la combinaison productive efficace et donc un niveau de coût unique. Marie-Laure Cabon-Dhersin (Univ. Rouen) Microéconomie L2 22 / 57  Chap1. Le producteur La minimisation des coûts de production Differents types de coûts : 1 Les coûts fixes : coûts qui ne varient pas avec les quantités produites par l’entreprise (location d’un local, abonnement à l’électricité...). Certains coûts fixes sont irrécupérables : l’entreprise ne peut récupérer les dépenses engagées en les vendant à d’autres producteurs. 2 Les coûts variables : coûts qui dépendent du volume de production. 3 Attention ! : La distinction entre coût fixe et coût variable n’est pertinente qu’à COURT TERME. Sur le LONG TERME, on considère que tous les facteurs peuvent être ajustés. Marie-Laure Cabon-Dhersin (Univ. Rouen) Microéconomie L2 23 / 57  Chap1. Le producteur La minimisation des coûts de production Hypothèse : Le producteur cherche la combinaison productive qui pour un niveau de production donné lui permet de minimiser son coût. Il résout donc le programme suivant : min pz z s.c. f (z) ≥ y z ≥0 Marie-Laure Cabon-Dhersin (Univ. Rouen) Microéconomie L2 24 / 57  Chap1. Le producteur La minimisation des coûts de production Exemple avec deux facteurs de production Soient w1 le prix du facteur x1 et w2 , le prix du facteur x2. La combinaison productive minimisant le coût de production (x1∗ , x2∗ ) est obtenue au point de tangence entre l’isoquante de niveau y et la w1 droite d’isocoût la plus basse de pente w 2. La droite d’isocoût : est l’ensemble de toutes les combinaisons de facteurs qui conduisent au même niveau de coût C : w1 x1 + w2 x2 = C. Dans le plan (x1 , x2 ), w1 l’équation de la droite d’isocoût est x2 = − w 2 x1 + wC2. La combinaison productive minimisant le coût de production (x1∗ , x2∗ ) est obtenue au point de tangence entre l’isoquante de niveau y et la droite d’isocoût la plus basse de pente w w2. 1 Graphiquement, on voit que les quantités de facteurs x1∗ , x2∗ qui permettent de produire y unités d’output au moindre coût sont telles que le TMST entre les deux facteurs de production est égal au ratio du prix du facteur 1 sur le prix du facteur 2, w w2. 1 w1 TMST (x1∗ , x2∗ ) = w2 Marie-Laure Cabon-Dhersin (Univ. Rouen) Microéconomie L2 25 / 57  Chap1. Le producteur La minimisation des coûts de production x2 x2* f x y 1 2 x1* x1 Marie-Laure Cabon-Dhersin (Univ. Rouen) Microéconomie L2 26 / 57  Chap1. Le producteur La minimisation des coûts de production Exemple avec deux facteurs de production On peut utiliser le Lagrangien généralisé et écrire les conditions de Kuhn et Tucker (programme identique au programme de minimisation de la dépense du consommateur pour une utilité donnée) : L = p1 x1 + p2 x2 − λ[f (x1 , x2 ) − y ] Les conditions nécessaires qui doivent être vérifiées par une solution intérieure, c’est-à-dire x1 > 0 et x2 > 0, sont : ∂L ∂f (x1 , x2 ) p1 = 0 ⇔ p1 − λ = 0 ⇔ λ = ∂f (x ,x ) ∂x1 ∂x1 1 2 ∂x1 ∂L ∂f (x1 , x2 ) p2 = 0 ⇔ p2 − λ =0⇔λ= ∂f (x1 ,x2 ) ∂x2 ∂x2 ∂x2 En les combinant, on élimine λ et on obtient : ∂f (x1 ,x2 ) ∂f (x1 ,x2 ) ∂x1 ∂x2 = p1 p2. Marie-Laure Cabon-Dhersin (Univ. Rouen) Microéconomie L2 27 / 57  Chap1. Le producteur La minimisation des coûts de production Sous condition que la technologie à deux facteurs de production soient imparfaitement substituables, dont les quantités sont notées x1 et x2 et les prix p1 et p2 , les quantités de facteurs x1∗ et x2∗ qui minimisent le coût total d’une quantité produite y0 donnée peuvent être déterminées à partir de ces deux conditions : 1 ∂f (x1∗ ,x2∗ ) ∂x1 p1 ∂f (x1∗ ,x2∗ ) = TMST (x1∗ , x2∗ ) = p2 ∂x2. 2 f (x1∗ , x2∗ ) = y Marie-Laure Cabon-Dhersin (Univ. Rouen) Microéconomie L2 28 / 57  Chap1. Le producteur La minimisation des coûts de production Fonction de demande conditionnelle de facteurs de production On appelle fonction de demande conditionnelle de facteurs de production la fonction qui associe à chaque couple (p, y ) la combinaison productive z c (p, y ) solution du programme précédent pour ce prix des facteurs et ce niveau de production. Proposition : propriétés des demandes conditionnelles de facteurs Homogénénité de degré 0 en p : ∀t, z c (tp, y ) = z c (p, y ) La demande conditionnelle d’un bien est toujours une fonction ∂z c (p,y ) décroissante du prix de ce facteur : i∂pi < 0 Marie-Laure Cabon-Dhersin (Univ. Rouen) Microéconomie L2 29 / 57  Chap1. Le producteur La minimisation des coûts de production Exercice avec la Cobb-Douglas : f (L, K ) = ALa K b avec les prix pL et pK Calculer les demandes conditionnelles de facteurs. Impact des prix des facteurs ? Marie-Laure Cabon-Dhersin (Univ. Rouen) Microéconomie L2 30 / 57  Chap1. Le producteur La minimisation des coûts de production Partons d’un exemple pour considérer les différents coûts. Entreprise fabriquant des pièces pour des cafetières à capsules. Les coûts de production (en milliers d’euros) en fonction du nombre de pièces fabriquées (en milliers). On considère un coût fixe CF = 5. Nbre de Cout total Cout Cout fixe Cout Cout moyen pièces CT(y) marginal moyen variable moyen 0 5 0 1 13 8 5 8 13 2 19 6 2.5 7 9,5 3 23 4 1.67 6 7,67 4 29 6 1.25 6 7,2 5 36 7 1 6.2 7,2 CF=CT(0)=5 et CV(y)=CT(y)-CF Marie-Laure Cabon-Dhersin (Univ. Rouen) Microéconomie L2 31 / 57  Chap1. Le producteur La minimisation des coûts de production Définitions : On appelle fonction de coût (fonction de coût total), la fonction qui associe à chaque couple (p, y ) le coût de la demande conditionnelle de facteurs : c(p, y ) = pz c (p, y ) Pour un prix des facteurs donné, on appelle fonction de coût marginal la fonction : ∂c(p, y ) cm (y ) = cy0 (p, y ) = ∂y Pour un prix des facteurs donné, on appelle fonction de coût moyen la fonction : c(p, y ) cM (y ) = y Marie-Laure Cabon-Dhersin (Univ. Rouen) Microéconomie L2 32 / 57  Chap1. Le producteur La minimisation des coûts de production Propriétés générales des fonctions de coûts : Le coût total augmente avec la quantité de bien produite, ce qui implique que le coût marginal est toujours positif. le Cm croit avec la quantité produite à partir d’un certain seuil de production. Cette propriété vient de la ”loi de Pm décroissantes”. Le coût moyen diminue pour de faibles niveaux de produit et peut ensuite augmenter : faibles niveaux de production : augmenter l’échelle de production permet de réduire la part du CF par unité produite : on parle de d’économies d’échelle. niveaux de production plus importantes, les effets précédents s’épuisent et il y a des coûts supplémentaires. On parle alors de déséconomies d’échelle. le niveau de production yM qui minimise le CM est tel que pour ce niveau : le coût moyen égalise le coût marginal. Marie-Laure Cabon-Dhersin (Univ. Rouen) Microéconomie L2 33 / 57  Chap1. Le producteur La minimisation des coûts de production € Coût marginal Coût moyen Coût moyen min 0 Output Y Economies d’échelle Y* Déséconomies d’échelle Marie-Laure Cabon-Dhersin (Univ. Rouen) Microéconomie L2 34 / 57  Chap1. Le producteur La minimisation des coûts de production Différences entre les notions ”Economies/déséconomies d’échelle” et ”Rendements d’échelle croissants/décroissants/constants” Notions proches mais Economies/Déséconomies d’échelle traduisent la baisse (hausse) du coût moyen de production consécutive à une hausse de la production (voir graphique ci-dessus). Les rendements d’échelle représentent l’accroissement de l’efficience suite à l’augmentation des facteurs de production. Marie-Laure Cabon-Dhersin (Univ. Rouen) Microéconomie L2 35 / 57  Chap1. Le producteur La minimisation des coûts de production Les rendements d’échelle sont constants lorsque la production varie dans la même proportion que celle des facteurs de production utilisés. Le coût reste lui aussi constant, donc CM = Cm. Les rendements d’échelle sont croissants lorsque la production varie de façon plus importante que la variation des facteurs de production utilisés. La production d’une unité supplémentaire s’accompagne alors d’une baisse du coût unitaire, et la même quantité de facteurs permet de produire plus. On parle dans ce cas là d’économies d’échelle et CM > Cm. Les rendements d’échelle sont décroissants lorsque la production varie de façon moins importante que la variation des facteurs de production utilisés. Ceci signifie que le coût marginal va en s’accroissant (plus on produit et plus il est coûteux de produire une unité supplémentaire) ou qu’il faut plus de facteurs pour produire une unité. Si le coût moyen croı̂t, on parle d’de déséconomies d’échelle. Dans ce cas, CM < Cm. Marie-Laure Cabon-Dhersin (Univ. Rouen) Microéconomie L2 36 / 57  Chap1. Le producteur La minimisation des coûts de production Attention ! : La productivité marginale d’un facteur de production peut décroitre, ce qui implique un accroissement du coût marginal mais sans provoquer une augmentation du coût moyen. Les rendements d’échelle restent croissants. Marie-Laure Cabon-Dhersin (Univ. Rouen) Microéconomie L2 37 / 57  Chap1. Le producteur La minimisation des coûts de production Proposition Géométrie des coûts : Lorsque rendements d’échelles sont strictement croissants, alors le coût moyen est strictement supérieur au coût marginal, Lorsque les rendements sont strictement décroissant, c’est l’inverse, Lorsque les rendements d’échelle sont constants coût moyen et coût marginal sont égaux. Le sens de variation du coût moyen est l’inverse du sens de variation des rendements d’échelle. Marie-Laure Cabon-Dhersin (Univ. Rouen) Microéconomie L2 38 / 57  Chap1. Le producteur La minimisation des coûts de production Marie-Laure Cabon-Dhersin (Univ. Rouen) Microéconomie L2 39 / 57  Chap1. Le producteur La minimisation des coûts de production Coûts à CT et LT A CT, certains facteurs sont en quantités fixes et ne peuvent être augmentés, ni diminués pour contribuer à la minimisation des coûts de production. Les coûts de ces facteurs sont alors à l’origine de coûts fixes. A LT, en revanche, tous les facteurs deviennent variables. Coûts Coûts CTct(y,3) CTct(y,2) CTct(y,1) Cmlt(y) CMct(y,3) CMct(y,2) CMct(y,1) CMlt(y) y y y1 y2 ymin (LT) Coûts totaux à CT (en bleu) /coût total à LT (en rouge) Coûts moyens à CT (en bleu) /coût moyen à LT (en rouge) Marie-Laure Cabon-Dhersin (Univ. Rouen) Microéconomie L2 40 / 57