ECUE 1 : L'Équilibre Concurrentiel PDF - Cours d'Économie

ECUE 1 : L’Equilibre Concurrentiel PLAN DU COURS Introduction générale Chapitre 1 : L’équilibre sur un seul marché en équilibre Partiel. Chapitre 2 : L’équilibre sur tous les marchés en équilibre Général. Chapitre 3 : L’optimum Econo...

ECUE 1 : L’Equilibre Concurrentiel PLAN DU COURS Introduction générale Chapitre 1 : L’équilibre sur un seul marché en équilibre Partiel. Chapitre 2 : L’équilibre sur tous les marchés en équilibre Général. Chapitre 3 : L’optimum Economique. Chargés de cours : Prof. Assi J.C. KIMOU, Maître de Conférences Agrégé Email : [email protected] Tel : +225 07 49 92 5597 Dr Martin Yoli Bi, Maître-Assistant 1 Chapitre 1 : L’équilibre partiel. Ici l’on considère un seul marché, le marché d’un bien j quelconque. Les prix sur les autres marchés sont supposés fixes. L’équilibre partiel ou l’équilibre sur un seul marché s’intéresse seulement à la façon dont l’offre de ce bien égalise la demande. Si ce résultat est atteint, on dit alors que le marché j est en équilibre. 1-Formalisation. La fonction de demande (individuelle) en j du consommateur i est indiquée par : 𝑿𝒊𝒋 (𝑷𝒋 ) où 𝑃𝑗 représente le prix du bien j. On appelle fonction de demande agrégée, ou fonction de demande globale, la fonction de demande en bien j de tous les consommateurs, et on note : 𝑿𝒋 (𝑷𝒋 )= ∑𝑻𝒊=𝟏 𝑿𝒊𝒋 (𝑷𝒋 ) (biens normaux) Pour des biens normaux, les demandes individuelles varient en raison inverse du prix et les demandes agrégées également. La fonction d’offre individuelle en bien j de la firme f est indiquée par :𝒚𝒇𝒋 (𝐩𝒋 ). On appelle fonction d’offre agrégée, ou fonction d’offre globale, la fonction d’offre en bien j de toutes les firmes (l’industrie) et on la note :𝑦𝑗 (𝑃𝑗 ) = ∑𝐹𝑓=1 𝑦𝑓𝑗 (𝑃𝑗 ). L’offre globale est une fonction croissante du prix. La fonction de demande nette agrégée en bien j, notée 𝒛𝒋 (𝑷𝒋 ) est définie par :𝒙𝒋 (𝑷𝒋 ) − 𝒚𝒋 (𝑷𝒋 ). Sur le marché du bien j, la demande nette globale est donc positive si la demande globale est supérieure à l’offre globale. La demande nette globale est négative dans le cas inverse et nulle en cas d’équilibre. L’équilibre est analysé dans le court terme et le nombre de firme est donné, à long terme il ne l’est pas. 2- l’équilibre de court terme L’équilibre de court terme est décrit par la figure 1. 2-1- description de l’équilibre Pour un bien normal, l’équilibre sur le marché est représenté par le point E, à l’intersection des courbes d’offre et de demande. En ce point, chaque consommateur peut obtenir au prix 𝐏𝐣 ∗ la 2 quantité de bien qu’il désire, et chaque producteur peut également vendre à ce prix la quantité qu’il souhaite. Le prix d’équilibre 𝐏𝐣 ∗ est donc la solution de l’équation : 𝒙𝒋 (𝑷𝒋 ) = 𝒚𝒋 (𝑷𝒋 ). 𝑝𝑗 𝑧𝑗 (𝑃𝑗 ) < 0 𝑝𝑗 𝑝𝑗∗ E 𝑧𝑗 (𝑃𝑗 ) < 0 𝑝𝑗 𝑥𝑗∗ = 𝑦𝑗∗ 𝑥𝑗 , 𝑦𝑗 ̅𝐣 , l’offre est supérieure à la demande. La demande des consommateurs est satisfaite à Au prix 𝐏 ̅𝐣 , mais les producteurs sont rationnés. ce prix 𝐏 Sur le marché de CPP, les échanges ne peuvent avoir lieu à ce prix, le prix 𝐏𝐣 baisse alors pour que l’offre excédentaire soit écoulée sur le marché. Symétriquement, au prix 𝑃𝑗 , l’offre est inférieure à la demande (rationnement du côté de la demande), le prix va augmenter pour que les consommateurs non satisfaits se trouvent en compétition pour l’obtention du bien. A l’équilibre, la demande nette agrégée pour le bien 𝒋, 𝒛𝒋 (𝑷𝒋 ∗) est donc nulle. 𝑧𝑗 (𝑃𝑗 ) = 𝑥𝑗 (𝑃𝑗 ) − 𝑦𝑗 (𝑃𝑗 ) < 0 ⟹ 𝑃𝑗 ↘ 𝑧𝑗 (𝑃𝑗 ) = 𝑥𝑗 (𝑃𝑗 ) − 𝑦𝑗 (𝑃𝑗 ) > 0 ⟹ 𝑃𝑗 ↗ 3 2-2- chemin du marché vers l’équilibre. (Illustration avec le cobweb=Toile d’araignée) Supposons que l’offre courante (de la période t) d’un bien j, notée 𝒚𝒕 𝒋 est proposée au prix 𝑷𝒕−𝟏 𝒋 , de la période précédente (t-1). Supposons que la décision des firmes prise en t-1, à partir du prix observé 𝑷𝒕−𝟏 𝒋 , à cette période, se concrétise qu’une quantité offerte à la période suivante. La fonction d’offre globale est en outre, supposée affine. ∀𝑡, 𝑦 𝑡 𝑗 = 𝑎𝑃𝑡−1𝑗 + 𝑏, 𝑎 > 0, 𝑏>0 La demande globale de ce bien, 𝒙𝒕 𝒋 , depend quant à elle, du prix de la période courante 𝑷𝒕 𝒋. La fonction de demande globale est également supposée affine. ∀𝑡, 𝑥 𝑡𝑗 = −𝑐𝑃𝑡𝑗 + 𝑑, 𝑐 > 0, 𝑑>0 La condition d’équilibre sur le marché du bien j donne l’équation d’évolution du prix. C’est une équation récurrente linéaire d’ordre 1 avec second membre constant. Cette équation permet de mieux comprendre la réaction « en chaine » du marché, à partir d’une situation où le prix 𝑷𝟎 𝒋 n’est pas en équilibre. ∙L’équilibre est (localement) stable si |−𝒂⁄𝒄| < 𝟏. Dans ce cas, les écarts de prix 𝑷𝒕 𝒋 − 𝑷∗ 𝒋 tendent vers 0 (𝐥𝐢𝐦(−𝒂⁄𝒄)𝒕 = 𝟎). 𝒕→∞ ∙L’équilibre est instable, si |−𝑎⁄𝑐| ≥ 1, car la suite (−𝒂⁄𝒄)𝒕 est strictement croissante ou constante. Cas 1 : |−𝒂⁄𝒄| < 𝟏. 4  quantité 𝑥𝑗 𝑦𝑗 𝑥1𝑗 𝑦 1 𝑗 𝑦2 𝑗 𝑥 2𝑗 𝑃𝑗1 𝑃𝑗∗ 𝑃𝑗2 𝑃𝑗0 prix Dans la figure (𝒂) |−𝒂⁄𝒄| < 𝟏, la pente de la droite d’offre est plus faible que la pente c de la demande (en valeur absolue). Au prix initial 𝑷𝟎 𝒋 , l’offre agrégée est au niveau 𝒚𝟏 𝒋. Le niveau de la demande agrégée 𝒙𝟏 𝒋 , qui absorberait cette offre, est au prix 𝑷𝟏 𝒋. A ce prix, l’offre diminue jusqu’en 𝒚𝟐 𝒋 , et la demande qui l’absorberait, 𝒙𝟐 𝒋 , est au prix 𝑷𝟐 𝒋. Ce processus se poursuit jusqu’à ce que le prix (re) trouve son niveau d’équilibre. Dans ces conditions, à la suite d’une perturbation, le processus de prix converge nécessairement vers 𝑷∗ 𝒋 : l’équilibre est stable. Cas 2 : |−𝒂⁄𝒄| ≥ 𝟏 5  Quantité 𝑥𝑗 𝑦𝑗 𝑃𝑗1 𝑃𝑗∗ 𝑃𝑗0 𝑃𝑗2 Prix Dans le cas de la figure (𝒃), les oscillations sont explosives. Une perturbation, même légère écarte largement de l’équilibre : on dit que cet équilibre est instable. 3- L’équilibre de long terme. Pour des rendements d’échelles non constants, la différence avec le court terme réside dans le fait qu’à long terme le profit des firmes s’annule. En effet, à court terme, le nombre de firmes est donné. En revanche, sur le long terme, les firmes peuvent entrer librement sur le marché ou en sortir. Si une firme espère dégager un profit en produisant un bien j, elle y pénètrera. L’offre globale augmente alors, ce qui induit une baisse du prix. Cette baisse engendre une diminution des profits, jusqu’à leur annulation. A long terme tous les facteurs de production sont rémunérés à leur productivité marginale. 3-1-definition Un équilibre de long terme d’un marché concurrentiel est donné par :  un prix pour le bien, 𝑷∗ 𝒋.  une liste de firmes actives choisis à partir de la liste de toutes les firmes actives.  Pour chaque firme, un plan de production tel que :  chaque firme maximise son profit en prenant 𝑷∗ 𝒋 comme donné. 6   pour chaque firme active, le profit maximal est non négatif.  chaque firme inactive ferait au mieux des profits non positifs si elle décide de devenir active.  l’offre globale des firmes actives, qui est la somme de leur plan de production au prix 𝑷∗ 𝒋 , est exactement égale à la demande du marché à ce prix. 3-2. Nombre de firmes sur le marché et détermination de l’équilibre 𝑃𝑗 𝑦𝑗1 P 𝑦𝑗0 𝑃1 𝑦𝑗2 𝑃0 𝑦𝑗3 𝑥𝑗 𝑦𝑗 𝑃2 𝑃𝐽 𝑃𝐽 𝑃𝑗 𝑥𝑗0 (𝑝𝑗 ) 𝑦𝑗∗ Q 𝑥∗ Q Le seuil de rentabilité, 𝑃𝑗 est le même pour toutes les firmes. L’équilibre initial de court terme est représenté par l’intersection entre la courbe de demande, 𝒙𝟎 𝒋 et la courbe d’offre initiale, 𝒚𝟎 𝒋. Le prix d’équilibre est 𝑷𝟏 et la quantité 𝒙𝟏 𝒋. Le prix étant supérieur au seuil de rentabilité, le profit est strictement positif et le nombre de firme augmente, la courbe d’offre devient 𝒚𝟐 𝒋 et on atteint un nouvel équilibre au prix 𝑷𝟐. Tant que le prix est supérieur à 𝑃𝑗 , de nouvelles firmes entreront sur le marché et la courbe d’offre se modifie. Si le nombre trop important, par exemple l’offre devient 𝒚𝟑 𝒋 , le prix passe sous le seuil de rentabilité 𝑃𝑗 et les firmes font des profits négatifs. En conséquence, des firmes sortiront du marché. Ce processus se stabilise pour une offre 𝒚𝟎 𝒋 et le prix égal à 𝑃𝑗. On en déduit le nombre de firme à l’équilibre de long terme 𝒏∗. 3-2. Détermination de l’équilibre 3-2. Détermination de l’équilibre partiel de long terme 7 L’équilibre de long terme se détermine 3 étapes. (i) Détermination des seuils de rentabilité des firmes pour en déduire le prix d’équilibre (𝑷∗ 𝒋 = 𝒎𝒊𝒏𝑷𝟐 , 𝑷𝟏 ). (ii) Utilisation de la fonction de demande agrégée pour trouver la quantité échangée à l’équilibre. (iii) Calcul de la quantité individuelle offerte aux prix d’équilibre pour en déduire le nombre de firmes présentes. Exemple Considérons un marché avec 2 types de firmes dont les fonctions de coût de 𝐿𝑇 sont respectivement. 1 𝐶1 (𝑦) = 𝑦 3 + 𝑦 2 + 8𝑦 4 1 2 𝐶2 (𝑦) = 𝑦 + 2𝑦 + 2 2 La demande agrégée est 𝑥1 (𝑃) + 𝑥 2 (𝑃) = −3𝑃 + 16 𝑠𝑖 𝑃 ≤ 3 𝐷 (𝑃) 𝑄 ={ 𝑥1 = −𝑃 + 10 𝑠𝑖 3 < 𝑃 ≤ 10 0 𝑠𝑖 𝑃 > 10 (i) Les seuils de rentabilité sont déterminés à partir des coûts moyens. 1 𝐶𝑀1 (𝑦) = 𝑦 2 + 4 𝑦 + 8 𝐶𝑀1 𝑒𝑡 𝐶𝑀2 : { 1 2 𝐶𝑀2 (𝑦) = 2 𝑦 + 2 + 𝑦 Nous en déduisons le seuil de rentabilité pour les deux firmes :𝑃1 = 8 𝑒𝑡 𝑃2 = 4. A long terme, le prix d’équilibre sera égale à 𝑃1 = 𝑃2 = 4 (ii) La quantité demandée au prix d’équilibre 𝑄 𝐷 (4) = −4 + 10 = 6 (iii) L’offre individuelle pour la firme de type 2 est obtenue à partir de l’égalité entre le prix et le coût marginal :𝑃 = 𝑐𝑚2 (𝑦) = 𝑦 + 2, 𝑠𝑜𝑖𝑡 𝑦 2 (𝑃) = 𝑃 − 2 L’offre agrégée pour une firme de type 2 est 𝑄 0 (𝑃) = 𝑚𝑦 2 (𝑃) = 𝑚(𝑃 − 2). La quantité offerte agrégée à l’équilibre est donc 𝑄 0 (4) = 2𝑚. A l’équilibre, 𝑄 0 (4) = 𝑄 𝐷 (𝑃) ⟺ 6 = 2𝑚 ⟺ 𝑚 = 3. Il y’aura 3 firmes de type 2 à l’équilibre de long terme. 4- Surplus et équilibre partiel 8 Le surplus du consommateur sur un marché est la somme de différence entre le montant maximum que les consommateurs sont prêts à payer pour chaque unité de bien et le prix effectif de cette unité. Soit 𝑃𝐷 (𝑄), la fonction de demande agrégée inverse, pour une quantité 𝑄 ∗ et un prix 𝑃∗ , le 𝑄∗ surplus des consommateurs est :𝑆 𝑐 (𝑃∗ , 𝑄 ∗ ) = ∫0 𝑃𝐷 (𝑄)𝑑𝑞 − 𝑃∗ 𝑄 ∗ Le surplus du producteur sur un marché est la somme des différences entre le prix de vente du bien et coût marginal de production du bien, représenté par la fonction d’offre agrégée. Soit 𝑃0 (𝑄), la fonction d’offre agrégée inverse, pour une quantité 𝑄 ∗ et un prix 𝑃∗ ; le 𝑄∗ surplus des producteurs est : 𝑆 𝑝 (𝑃∗ , 𝑄 ∗ ) = 𝑃∗ 𝑄 ∗ − ∫0 𝑃𝑜 (𝑄)𝑑𝑞 A partir des surplus du consommateur et du producteur, l’on détermine le surplus de l’ensemble des agents économique. Le surplus collectif ou global est la somme des surplus du consommateur et celui du producteur. C’est une mesure du bien-être de l’ensemble des agents économiques sur le marché. Il est maximal à l’équilibre de CPP. Prix 𝑃𝑚𝑎𝑥 𝑄𝑂 (𝑃) E 𝑃∗ 𝑃𝑚𝑖𝑛 𝑄𝐷 (𝑃) 𝑄∗ Quantité Le surplus collectif est représenté par la somme des aires des triangles hachurés. Il est maximal à l’équilibre concurrentiel. 9 5- Surplus collectif et évaluation de la politique économique Toute politique économique produit des effets sur les agents économiques. Plus spécifiquement, l’effet d’une politique de contrôle des prix a une incidence sur le bien être des producteurs et des consommateurs en termes de gains ou de perte de surplus. Supposons que l’Etat ne pratique une politique de plafonnement des prix en imposant un prix maximum 𝑃̂𝑗 inférieur au prix d’équilibre 𝑝𝑗∗. En conséquence, les consommateurs peuvent voir leur bien-être mesuré par le surplus, augmenté tandis que les producteurs voient leur profit diminuer. Quelles que soient les modifications de prix, le surplus total diminuera cette perte de bien-être collectif est appelé charge morte ou perte sèche. De façon générale, toute politique de modification des prix d’équilibre entraîne une perte sèche (taxe, subvention, prix plancher). L’ampleur de cette perte sèche dépend des sensibilités aux prix (élasticité de la demande). Graphiquement, Prix 𝑃𝑚𝑎𝑥 𝑄𝑂 (𝑃) E 𝑃∗ 𝑃𝑗 𝑃𝑚𝑖𝑛 𝑄𝐷 (𝑃) 𝑄 𝑄∗ Quantité Supposons que le prix plafond 𝑃̂𝑗 soit inférieur au prix d’équilibre. Le passage de 𝑝𝑗∗ à 𝑃̂𝑗 augmente le bien être des consommateurs. Ce gain est mesuré par la différence entre l’aire du rectangle A et l’aire du triangle B. en revanche, il entraîne une perte pour les producteurs mesurée par la somme des aires du rectangle A et du triangle C. la différence de surplus total est mesurée par (A-B) -(A+C) = -B-C. La perte de surplus (charge morte) est mesurée par les aires des triangles B et C. 10 Chapitre 2 : l’équilibre général Le modèle d’équilibre générale est sans doute le modèle le plus achevé de la théorie économique. Le but essentiel de ce modèle est de proposer une étude du mécanisme d’allocation de ressource rare par le marché. L’étude de l’équilibre générale d’un mécanisme permettrait de montrer que, que sous certaine hypothèse, la concurrence entre individus conduit l’économie à une situation efficace, où il n’y a pas de gaspillage de ressources rares. Ce modèle constituerait ainsi le fondement scientifique de libéralisme économique. En effet, l’approche d’équilibre partiel, en se concentrant sur un seul marché, considère celui-ci indépendant du reste de l’économie, ce qui fait considère amène les décideurs à commettre des erreurs dans l’appréciation de résultats d’une politique donnée. Pour étudier le lien entre tous les marchés, il faut donc prolonger l’étude dans le cadre de l’équilibre général. Ici, seules les informations sur les prix sont utiles aux agents économiques (CPP). Ces agents utilisant au mieux les ressources dont ils disposent, en tenant compte de leurs contraintes (revenus, budget, technologie). Leur calcul optimisateur les conduit à exprimer des offres et de demande de biens sur tous les marchés à partir de prix observés. Lorsque ces prix sont concurrentiels, les décisions individuelles, coordonnées par le prix permet d’aboutir à son équilibre sur tous les marchés. 1- L’équilibre dans une économie d’échange pure Une économie d’échange pure est par définition une économie dans laquelle il n’y a pas de production. - Chaque consommateur i souhaite par l’échange obtenir le maximum de satisfaction. Il maximise sa fonction d’utilité sous la contrainte budgétaire, puis il exprime des offres et des demandes de biens sur les marchés en fonction de cet objectif. L’équilibre général consiste à déterminer simultanément le prix d’équilibre sur chaque marché.. - Dans une économie d’échange pure, chaque consommateur dispose des dotations initiales, c’est-à-dire d’une certaine quantité de biens disponibles dans l’économie avant l’échange. Les économies rarement formées d’un seul marché, et correspondant en général à un système de marchés, le problème de l’indépendance de décisions des agents sur les différents marchés 11 apparaît alors. La demande sur un marché sera dépendante de celle sur un autre marché ou même, de l’offre sur n autres marchés. L’équilibre doit alors être atteint au niveau de système de marchés. Le déséquilibre sur un marché se répercutera sur l’autre. L’équilibre partiel, jusque-là étudié sur un seul marché, ignore le reste de l’économie. L’équilibre partiel permet pas de tenir compte des indépendances, puisque l’on raisonne statique comparative. Ces indépendances apparaissent uniquement si l’on s’intéresse à l’équilibre général du système de marchés. Le raisonnement simplifié se limite à un problème d’échange dans une économie à deux biens, formée de deux agents, dans le cadre de marchés concurrentiels. I - Représentation du processus d’échange : le diagramme d’Edgeworth. La boîte ou le digramme d’Edgeworth est une manière de représenter les échanges due à F.Y Edgeworth (1845-1926), économiste néoclassique anglais. Elle présente une représentation des interactions entre deux agents économiques dans une économie d’échange pure. Une économie d’échange pure est par définition, une économie dans laquelle il n’y a pas de production. Partant de l’exemple de l’île de Robinson Crusoé où vivent Robinson et Vendredi. Robinson et Vendredi ont échoué sur une île et ne disposent que de deux biens: des noix de coco et des bananes. Chacun de ces deux individus reçoit des noix de coco et des bananes. Ils peuvent échanger une partie de ces dotations. Supposons que les deux prisonniers de l’île sont homo oeconomicus, ils cherchent à maximiser leurs utilités individuelles. Chacun a intérêt à échanger tant que cela lui permet d’améliorer son bien-être. Supposons que Robinson reçoit 200 noix de coco et 30 bananes et que Vendredi reçoit 20 bananes et 600 noix de coco. Nous pouvons tracer les courbes qui passent par la dotation initiale de chacun. 12 Banane Banane C 30 2 C 0 200 Noix de coco 0 600 Noix de coco a-Robin b-Vendredi A – le point C correspond à la dotation initiale de Robinson C= (200,30). Sa courbe d’indifférence passe par ce point. B - – le point C’ correspond à la dotation initiale de Vendredi C’= (600,20). Sa courbe d’indifférence passe par ce point. Notons 𝜔1𝑖 𝑒𝑡 𝜔1𝑖 , les dotations initiales en bien 1 et en bien 2 d’un individus i, i=1,2 ; nous pouvons définir l’allocation initiale dans cette économie, 𝜔 = (𝜔1, 𝜔2) avec 𝜔1 = 𝜔11 𝑒𝑡 𝜔12. 𝜔2 = 𝜔12 𝑒𝑡 𝜔22. Si les individus procédant à de l’échange, nous obtiendrons une nouvelle allocation des ressources, x=(x1,x2), allocation finale s’il n’y a plus d’échange ensuite. Une allocation peut être une allocation réalisable. Définition : Une allocation est dite réalisable dans une économie de consommation si pour chaque bien dis ponibles, la quantité allouée entre tous les consommateurs est égale à la quantité disponible , pour tout bien k. 13 Pour obtenir la boîte d’Edgeworth, l’on construit le graphique représentant les courbes d’indifférence de consommateur de manières à obtenir un double système d’axe dans le même graphique. Le de la boîte d’Edgeworth est donnée par la quantité disponible de deux biens. La quantité disponible de noix de coco=200+600=800. La quantité disponible de bananes=20+30=50. 800 50 Banane 600 (Vendredi) 0𝑉 Noix de coco 30 20 (Vendredi) (Robin) 0𝑅 200 8000 Noix de coco (Robin) Banane II- L’échange : les conditions de l’échange Les deux consommateurs procédèrent à des échanges si cela leur permet d’augmenter leur satisfaction, graphiquement cela correspond à la possibilité d’atteindre une courbe d’indifférence plus éloignée de l’origine par chacun. 14  800 600 0𝑉 g 30 e 20 20 a 0𝑅 200 400 8000 Comme l’indique la figure, si Robinson offre 10 bananes à Vendredi en échange de 200 noix de coco, Robinson et Vendredi obtiendront des quantités de biens leur procurant une plus grande satisfaction. Ils ont intérêt à procéder à l’échange. Les consommateurs ont intérêt à échanger tant que leur satisfaction augmente. Tous les premiers se situent dans la zone d’avantage mutuel permettent d’améliorer le bien-être des deux agents : c’est le réjouir d’échange mutuel. La zone comprise entre les deux courbes d’inférences représente la région d’avantage mutuel. Elle contient tous les paniers de biens qui améliorent la situation des deux consommateurs par rapport aux dotations initiales. Ces possibilités d’échanges mutuellement bénéfiques disparaissent quand les deux courbes d’indifférences deviennent tangentes. 15  800 600 0𝑉 50 30 e 20 g 20 30 0𝑅 200 400 8000 L’allocation g est dans la zone en blanc et procure une plus grande satisfaction aux deux agents par rapport à la satisfaction initiale C, en ce point, les deux courbes d’indifférences sont tangentes et il n’est pas possible d’améliorer la situation. Le processus d’échange s’arrête. Notons que cet échange s’effectue sur la base du troc bilatéral. La généralisation posera un problème de l’économie si l’on introduit par un mécanisme de marché à savoir un système de prix. 1- Représentation de l’équilibre : la boite d’Edgeworth Cette économie d’échange pure avec deux consommateurs et deux biens peut être représentée à l’aide de la boite d’Edgeworth. 16  1 𝑤21 02 2 𝑋12 X 𝑤2 W W 𝑤22 01 𝑋11 𝑤11 2 1 𝑤1 Les dotations initiales en bien 1 et 2 de l’agent 1 et les quantités qu’il consomme sont mesurées à partir de𝑂1. La dotation en bien 1 et 2 de l’agent 2 et les quantités qu’il consomme sont mesurées à partir de 𝑂2. Les deux axes verticaux mesurent la quantité des biens dont disposent les deux agents et les deux axes horizontaux mesurent la quantité du bien 1. Chaque point de la boîte d’Edgeworth correspond à une allocation réalisable. La dotation W, par exemple, correspond à la dotation initiale (𝑤11 ,𝑤12 ) et (𝑤21 ,𝑤22 ) des deux consommateurs. Une autre allocation, (𝑥11 ,𝑥12 ) et (𝑥21 ,𝑥22 ) serait donnée par un autre point x par exemple dans la boîte. La longueur de la boîte d’Edgeworth est donnée par 𝑤1=𝑤11 +𝑤12 et x, hauteur 𝑤2 =𝑤12 +𝑤22. 𝑤1 et 𝑤2 sont respectivement la dotation globale en bien 1 et 2 de cette économie.. La 1è𝑟𝑒 allocation w= , les agents ne consomment que les dotations initiales.. La 2𝑒𝑚𝑒 allocution x s’aborde par l’échange. Elle ne pas de ressource puisque 𝑢1 𝑥11 +𝑢2 𝑥21 =𝑤1 et 𝑢1 𝑥12 +𝑢2 𝑥22 =𝑤2 II – Equilibre des marchés Soit une économie à deux biens k (k=1,2) et deux consommateurs i(=1,2) , avec vecteur de prix p ,p(𝑝𝑘 ≥ 0) p(𝑝1 , 𝑝2).. En notant 𝑤1𝑖 et 𝑤2𝑖 , la dotation initiale en bien 1 et en bien 2 du consommateur i, la valeur de la dotation initiale de ce consommateur est donnée par : 𝑟 𝑖 =𝑝1 𝑤1𝑖 + 𝑝2 𝑤2𝑖 Le panier accessible du consommateur i, (𝑥1𝑖 , 𝑥2𝑖 ) vérifions sa contrainte budgétaire : 𝑝1 𝑥1𝑖 + 𝑝2 𝑥2𝑖 ≤ 𝑝1 𝑤1𝑖 + 𝑝2 𝑤2𝑖. 17 Les contraintes budgétaires peuvent être réécrites comme suit : 𝑝1 𝑥1𝑖 + 𝑝2 𝑥2𝑖 ≤ 𝑝1 𝑤1𝑖 + 𝑝2 𝑤2𝑖 ≪≫ 𝑝1(𝑥1𝑖 −𝑤1𝑖 )+𝑝2 (𝑥2𝑖 −𝑤2𝑖 )=0 cette écriture permet de mettre en évidence la demande nette de consommation sur chacun de marché. La demande nette d’un consommateur i sur le marché d’un bien k est la différence entre sa demande de bien k et sa dotation initiale en bien k=𝑥𝑘𝑖 − 𝑤𝑘𝑖.. Si la demande nette ≥0 a un achat. Si la demande nette≤0 a perte. Si la demande nette=0, le consommateur consomme ce qu’il demande : son pouvoir d’achat s’épuise dans sa demande. Au vecteur de prix (𝑝1 , 𝑝2), donné l’on détermine les choix optimaux du consommateur. Exemple : Fabrice possède 10 romans précieux et deux manuels. Le prix d’un roman d’occasion est de 6∈ et celui d’un manuel d’occasion est de 18∈. La valeur de la dotation initiale est : 20*6*+2*18=96∈. Compte tenu de ce principe et de sa contrainte budgétaire, il souhaite avoir 7 romans et 3 manuels. Il est prêt à vendre 3 romans (demande nette de roman=-30).. Le critère de Pareto est un critère faible dans le sens où il ne permet pas de comparer toutes les situations possibles, il définit un préordre partiel et non total.. Ce concept ne fait aucune référence à la notion d’équité ou de justice sociale. (Il ne permet donc pas d’analyser de situation de redistribution ou l’on prend aux riches pour donner aux pauvres). Cependant, ce critère permet de déterminer les allocations intéressantes du point de vue collectif et celle cependant des allocutions initiales des individus. En effet, un principe consommateur centre dans l’optique est le maximum de bien-être des individus, permet de se référer au critère de Pareto, il lui suffit d collecter de manière optimale.. L’optimum de Pareto correspond à des situations où il a n’y a plus de possibilité d’échanger. Dans la boîte d’Edgeworth, cette situation correspond aux points de tangence entre les courbes d’indifférence des consommateurs (ensemble infini). 18 La courbe de contrat et noyau d’une économie. La courbe de contrat est le lieu géométrique de points de tangence des courbes d’indifférence de deux consommateurs. Banane 0𝑉 Noix de Coco 30 20 Noyau 0𝑅 200 Noix de coco Banane A partir d’un point de la courbe de contrat, il n’est pas possible d’améliorer la situation. III – Equilibre des marchés 1 – introduction système des prix Soit une économie x à k biens, k (k=1,2) Et i consommateurs (i=1,2). Pour un vecteur de prix p=𝑝1,…….,𝑝𝑛, ……,𝑝𝑘. Avec 𝑤𝑘𝑖, la dotation initiale. Cette dotation constitue des ressources monétaires, le revenu de chaque agent. 𝑟 𝑖 =𝑝1 𝑤1𝑖 + 𝑝2 𝑤2𝑖 Les ressources de chaque consommateur dépendent des prix de bien et de la dotation initiale. Pour chaque agent i, étant données les vecteurs de prix p= (𝑝1 , 𝑝2 ), l’ensemble de son budget 𝑟𝑖 (i=1 ;2) est 𝑅𝑖 (𝑝) =(𝑥𝑖 ∈ 𝑥𝑖 ∈ 𝑅+2 : 𝑝1 𝑥1𝑖 + 𝑝2 𝑥2𝑖 ≤ 𝑝1 𝑤1𝑖 + 𝑝2 𝑤2𝑖 𝑋𝑖 =ensemble de consommations de l’agent. 𝑥𝑖 =le vecteur de consommations de l’équilibre (𝑥1𝑖 ; 𝑥2𝑖 ) si la préférence individuelle satisfera le maximum de consommateur, la contrainte budgétaire peut être réécrite d’équilibre stricte. 𝑝1 𝑥1𝑖 + 𝑝2 𝑥2𝑖 = 𝑝1 𝑤1𝑖 + 𝑝2 𝑤2𝑖 ≪≫ 𝑝1 (𝑥1𝑖 − 𝑤1𝑖 ) + 𝑝2 (𝑥2𝑖 − 𝑤2𝑖 ) = 0. Cette réécriture permet de mettre en évidence la demande nette de consommateur son chaque 𝑥𝑘𝑖 − 𝑤𝑘𝑖 la différence de la demande en bien de l’agent et sa dotation initiale en ce bien. 2 – représentation dans une boite d’Edgeworth 19  𝑝 𝑝 La contrainte budgétaire de l’agent i peut s’écrit : 𝑥2𝑖 = − 𝑝1 𝑥1𝑖 + (𝑝1 𝑤1𝑖 + 𝑤2𝑖 ). 2 2 L’on peut tracer la droite de budget a partie de l’équation, il s’agit d’une droite de pente-𝑝1/𝑃2 puis passe par, w (la dotation initiale) et par la quantité 𝑋1 𝑒𝑡 𝑋2 (𝑋1 = (𝑥11 , 𝑥12 )𝑒𝑡𝑋2 = 𝑥21 , 𝑥22 ). Bien 1 𝑈1 𝒙𝟐𝟏 𝒘𝟐𝟏 02 Bien 2 𝒙𝟏𝟐 𝑋1 −𝑃1 𝑃2 𝑈2 𝑋2 𝒙𝟐𝟐 𝒘𝟏𝟐 W 𝒘𝟐𝟐 01 𝒙𝟏𝟏 𝒘𝟏𝟏 Bien 1 Bien2 Les paniers de consommation de deux agents sont composés par un prix relatif 𝑝1/𝑃2 quelconque. Sur ce graphique, la demande totale par le bien 2 exclu la dotation totale de ce bien, tandis que la demande totale du bien 1 est inférieur à la dotation totale en bien 1 𝑍1=(𝑥11 +𝑥12 )−(𝑤11 +𝑤12 ) < 0 𝑍2= (𝑥12 + 𝑥22 ) − (𝑤12 + 𝑤12 ) > 0 Les plans de consommations sont donc incompatibles.. 3 – Détermination de l’équilibre Définition : Un équilibre générale d’une économie est donnée par un vecteur de prix 𝑝∗ (𝑝1∗ ; 𝑝2 ) et une allocation de bien𝑥 ∗ = (𝑥1∗ , 𝑥2∗ )= (𝑥11∗ , 𝑥1∗2 , 𝑥2∗1 , 𝑥2∗2 ) tandis que i étant donné ce vecteur de prix,𝑝∗ , chaque individus maximise son utilité sous sa contrainte budgétaire ; ii le marché sont soldé ici les demande nette nulle (OG=DG) 20. Propriété de l’équilibre. Bien 1 𝒙∗𝟏 𝟐 02 Bien 2 𝑋∗ 𝒙∗𝟐 𝟐 𝒙∗𝟐 𝟏 𝑈1 𝑈2 𝒘𝟏𝟐 W 01 𝒙∗𝟏 𝟏 Bien 1 Bien2 L’équilibre général est obtenu lorsque la demande nette globale sur chacun dans (𝑍1 (𝑝∗ )=0,𝑍2 (𝑝∗ ). Le prix 𝑝∗ = (𝑝1∗ ; 𝑝2 ) est alors le prix d’équilibre et allocution 𝑥 ∗ l’allocution d’équilibre. Pour l’allocation x*, la courbe d’indifférence des agents sont tangentes à la droite de budget. L’équilibre vérifie donc : 𝝏𝑼₁(𝒙∗ ) 𝝏𝑼₂(𝒙∗ ) 𝝏𝒙₁𝟏 𝝏𝒙₁𝟐 𝑷₁∗ = = 𝝏𝑼₁(𝒙∗ ) 𝝏𝑼₂(𝒙∗ ) 𝑷₂∗ 𝝏𝒙₁𝟐 𝝏𝒙₂𝟏 A l’équilibre, les taux marginaux de substitution (TMS) sont égaux par rapport au prix 𝑷∗₁ TMS₁=TMS₂= 𝑷∗₂ Remarque Rq1 : Dans la boite d’Eden, l’équilibre général peut également être décrit par la courbe d’un consommateur. La fonction de demande nette est homogène de degré 0 par rapport au prix absolus. Le système de demande nette homogène de degré 0 et la solution de ce système donne un prix relatif traduisant un taux d’échange Si P= (P₁, P₂) et un vecteur de prix d’équilibre 21  ƛp=( ƛP₁, ƛP₂) est un vecteur de prix d’équilibre.Ce sont des prix relatifs et non absolus qui déterminent l’équilibre. 4- La loi de Walras Soit 𝒙𝒊 (𝒑) et 𝒘𝒊 ,respectivement la fonction de demande et la dotation initiale du consommateur i, i=1,2 et P le vecteur prix, alors : ∑𝟐𝒊=𝟏 𝑷. (𝒙𝒊 (𝑷) − 𝒘𝒊 ) = 𝟎 La loi de Walras implique que si tous les marchés sauf un sont en équilibre et les agents sont sur leur contrainte budgétaire, alors le dernier marché est également à l’équilibre. La loi de Walras peut être généralisée à K marché et N consommateur. Si K-1 marché sont à l’équilibre, le Kièm marché est à l’équilibre. IV- L’équilibre général dans une économie de production : L’économie de ROBINSON CURSOE L’économie de Robinson Cursoe comprend un consommateur et une firme, et 2 biens : le travail, on le ………… et un bien de consommation produit par la firme. Le consommateur a des préférences continue, strict convexe et monotones sur le bien x 1 et on le …….. x2. Il dispose d’une dotation initiale de 24h, notée … et aucune dotation dans le bien de consommation. On désigne par U(.) sa fonction d’utilité représentant ses préférences. La firme utilise le travail du consommateur pour produire le bien de consommation. La technologie est représentée par une fonction de production f(.), supposée croissante et strict concave (rendement d’échelle décroissant). C’est une économie de Robinson Cursoe oύ un seul agent concentre les activités de production et de consommation. Robinson est le seul propriétaire de la firme, le seul consommateur et le seul employé de la firme. Désignons par p et s le prix concurrentiel du bien de consommation et le prix du travail et t le travail. Le programme du producteur s’écrit : 𝑴𝒂𝒙 𝝅 (𝒑, 𝒔) = 𝒑𝒇(𝒕) − 𝒔𝒕 t≥0 f(t)= quantité produite pf(t)-st=0 pf(t)= la recette st=cout de production 22 Étant donné (p, s) la demande optimale de travail de la firme est donnée par t (p, s) et sa production par y (p, s). Le programme du consommateur est donné par : 𝑴𝒂𝒙 𝑼(𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 ) x1 ,x2 R2+ s /c px1=s (𝒍̅,x2)+𝝅(p, s) x1=consommation du bien x1 et du loisir x2 L’équilibre concurrentiel est obtenu au prix (p*, s) à l’OG=DG X1(p*, s*) =y (p*, s*) → égalité sur le même bien Et [𝒍 − 𝒙₂(𝒑∗ , 𝒔∗ ) = 𝒕(𝒑∗ , 𝒔∗ ) → egalite sur le même… travail Offre de travail Du prix (p, s) donnée le maximum de profit est obtenu au point de tangence dans le …. et la droite d’isoprofit. ….. de prix (p, s) pour égaliser le …………………… est (p*, s*). Pour l’allocation x*, le consommateur maximise son utilité et le producteur son profit. En ce point, la courbe d’………. et la courbe la courbe de la fonction de production sont tangente à la droite de budget (droite d’isoprofit). Par conséquent, x* vérifie : 𝝏𝑼(𝒙∗ ) 𝝏𝒙𝟐 𝒅𝒇(𝒕∗ ) 𝒔∗ 𝝏𝑼(𝒙∗ ) = = 𝒑∗ 𝒅𝒕 𝝏𝒙𝟏 Le taux marginal de substitution du consommateur doit être égal au taux marginal de transformation de la firme ( ……) dans le cas, tous deux égaux au salaire réel (…) s* /p*. Un équilibre général dans une économie de production traduit donc l’équilibre de marché de satisfaction optimale pour le consommateur et de profit optimal pour la firme 23  𝑋1 𝑈𝐶 −𝑆 ∗ 𝑃∗ 𝑌 f(t) 𝒙∗𝟏 𝑋∗ 𝒀∗ 𝑀 ∗ (𝑃,𝑆) 𝑃∗ (Isoprofit) Profit réel d’équilibre W’ dotations incluant W les profits 𝑂𝐶 −𝒕∗ OP 𝑋2 Dotations en heurs 𝑙 W’=dotation du consommateur w’= (𝝅(p, s) /p,0p) V- Unicité et stabilité de l’équilibre général 1- L’existence de l’équilibre dans une économie d’échange pure L’existence d’un ou plusieurs équilibre walrasiens suppose que la fonction de demande nette filiale vérifie quatre propriétés : -(i) elles sont continues -(ii) elles sont homogènes de degré 0 -(iii) elles vérifient la loi de Walras -(iv) si un prix tend vers 0 ( ……), l’excès de demande correspond devient … grand (…..) Justification de la propriété Le propriété (i) permet d’exclure le cas ou une petite variété de prix entrainerait une perte…….. de quantités demandées la 2è propriété permet de normaliser des prix. Normaliser les prix revient le vecteur parmi tous ls vecteurs de prix d’équilibre ƛ𝑝∗. Il s’agit de choisir un panier de bien qui sera le numéraire c’est-à-dire en terme duquel les prix de tous les biens seront exprimés. 24 Il existe …………… 1 Le 1er consiste à fixer le prix d’un bien à 1 … à choisir ƛ𝑝∗ correspondent à ƛ = 𝑝∗ Nous obtenons ….. Le vecteur d’équilibre 𝑃₂∗ 𝑝̂ =(1,𝑃₁∗) 𝑝̂ =nombre d’unités de bien 1 qu’il fait donner pour une unité du bien 2, bien 1 numéraire La seconde consiste à contraindre la somme de composantes du vecteur de prix d’équilibre à être égale à 1. Ceci revient à choisir : ƛ= (p1*+p2*) Le prix d’équilibre …. Possède les caractéristiques ……… 2- Unicité et la mobilité de l’équilibre. L’hypothèse de substituabilité (brute) assure l’unicité de l’équilibre général dans une économie d’échanges. Les ( ?????) sont donc des substituts pour une boîte de prix P, si : 𝒅𝒙𝒋 (𝒑) ≥ 0, j ≠ k ∀p. 𝒅𝒑𝒌 Supposons que le prix relatif P1/P2 diminue avec l’hypothèse de substituabilité brute et si les biens ( ?????) alors : Lorsque P2 augmente (P1=constante), Z2(p) diminue et Z1(p) augmente ou reste constante. Lorsque P1 diminue (P2=constante), Zj(p) diminue et Z1(p) augmente. Au total lorsque P2 augmente et P1 diminue, globalement Z2(p) diminue et Z1(p) augmente. Si l’équilibre est atteint en un point, il ne peut l’être en d’autres points. Dans le modèle Walrasien, la recherche des prix d’équilibre s’effectue dans un temps fictif d’essai-erreur, organisée par un agent fictif, le « secrétaire du marché » ou le « commissaire- priseur ». Il annonce un prix et reçoit des offres et des demandes à ce prix. Si l’offre est égale, sa tâche est terminée, il a trouvé l’équilibre. 25 Si l’offre est supérieure à la demande, il diminue le prix et si la demande est supérieure à l’offre, il l’augmente. Les échanges ont lieu ( ?????). Ce processus d’augmentation est appelé tâtonnement Walrasien (augmentation de prix en cas d’excès de demande et diminution de prix en cas d’excès d’offre). Si le processus se fait de manière continue et que l’équilibre est unique, alors ce dernier est stable par le tâtonnement Walrasien. APPLICATION Soit une économie avec2 biens et 2 consommateurs, dont les préférences sont représentées par les fonctions d’utilité U1(𝒙𝟏𝟏 , 𝒙𝟏𝟐 ) et U2 (𝒙𝟐𝟏 , 𝒙𝟐𝟐 ). U1(.)=𝒙𝟏𝟏. 𝒙𝟏𝟐 et U2(.)=𝒙𝟐𝟏. 𝒙𝟐𝟐 Les dotations initiales des consommateurs sont représentées par w1=(2,1) et w2=(1,3) a-représenter une boîte d’Edgeworth dans le système d’axe (𝑥21 𝑈1 𝑥11 le point O2, dont les coordonnées sont égales à 𝑤11 + 𝑤12 𝑒𝑡 𝑤21 + 𝑤22. b-Tracer les courbes d’indifférence des 2 consommateurs passant par w1 et w2. c-soit P=(P1 , P2), le vecteur des prix des 2 biens. Tracer les droites de budgets des 2 4 consommateurs et vérifiez qu’elles sont confondues. ( on pose p1/p2 = 3 ) Tracer la courbe d’indifférence des 2 consommateurs pour des utilités U1 et U2 respectivement égale à 3 et 4. Quel est le ( ???) de la demande nette globale des 2 biens ? d-Montrons que sans les hypothèses considérées les prix d’équilibre sont strictement positifs. Réponses a. voir cours b. on pose U1(𝑤11 ; 𝑤21 ) = 2 et U2(𝑤12 ; 𝑤22 ) = 3 c. on pose 𝑥11 𝑥21 = 3 et 𝑥12 𝑥22 = 4 d. on étudie les propriétés de fonction d’utilité. (Graphique) Exercice 2 26 Soit une économie avec2 biens 2 consommateurs dont les préférences sont représentées par les 𝑡 1 2/3 1/3 𝐸 𝐸 1/3 2/3 fonctions d’utilité U1(𝑥11 ; 𝑥12 ) = 9𝑥11 𝑥12 et U2(𝑥21 ; 𝑥22 ) = 18𝑥21 𝑥22 Les dotations initiales sont respectivement : W1=(3,7) et w2=(14,6). Quel est le prix relatif d’équilibre et les consommations correspondants si l’on désigne les prix de concurrence des 2 biens pour P1 et P2 ? A l’équilibre, le TMS des 2 consommateurs est égal au rapport des prix. Soit : 𝜕𝑈1 𝜕𝑈2 𝜕𝑥1 1 𝜕𝑥1 2 𝑃1 𝜕𝑈2 = 𝜕𝑈2 = 𝑃2 𝜕𝑥2 1 𝜕𝑥2 2 Consommateur 1 𝜕𝑈1 −1/3 1/3 𝜕𝑥1 6𝑥11 𝑥12 2𝑥12 𝑃1 1 𝑃1 1 𝜕𝑈1 = 2/3 −2/3 = = ==˃ x12 = x11 3𝑥11 𝑥12 𝑥11 𝑃2 2 𝑃2 𝜕𝑥12 La contrainte budgétaire du 1er consommateur s’écrit : P1x11 + P2x12 = 3P1 + 7P2 En remplaçant x12 par sa valeur dans la contrainte budgétaire : 𝟐 𝑷 X11 = 𝟑 (3+7𝑷𝟐) 𝟏 𝑷 En remplaçant x11 par sa valeur dans la contrainte budgétaire, on obtient : x11 = 𝑷𝟏 + 7/3. 𝟐 Consommateur 2 𝜕𝑈2 −2/3 2/3 𝜕𝑥2 6𝑥21 𝑥22 1 𝑥22 𝑃1 𝑃 1 𝜕𝑈2 = 1/3 −1/3 = = ==˃ x22 = 2 1 x21 12𝑥21 𝑥22 2 𝑥21 𝑃2 𝑃2 𝜕𝑥22 La contrainte budgétaire : P1x21 + P2x22 = 14P1 + 6P2. La valeur de la demande agrégée est donc égale à la valeur la demande globale ie 𝒁𝒋 (P) = 0 Equilibre Afin de calculer l’équilibre, il suffit ==== de la Loi de Walras, de s’intéresser à l’équilibre sur le marché pour le bien 1. 27 L’équation d’équilibre est : 𝟏 𝑷𝟏 +𝑷𝟐 𝟑 𝑷𝟏 +𝑷𝟐 +𝟒 =2 𝟒 𝑷𝟏 𝑷𝟏 𝑷𝟏 Soit 𝑷𝟐 = 1 ======= des prix.Si === prix 𝑷𝟏 = 1 , 𝑷𝟐 = 1.Si === prix 𝑷𝟏 + 𝑷𝟐 = 𝟏 𝑷𝟏∗ = 𝑷𝟐∗ = 𝟏 𝟐 Quelle que soit le prix adopté l’allocation d’équilibre demeure inchangée 𝟏 𝟑 𝟑 𝟏 𝒙𝟏𝟏 = 𝟐 𝒙𝟐𝟏 = 𝟐 𝒙𝟏𝟏 = 𝟐 𝒙𝟐𝟐 = 𝟐 Exercice Consommateur 1 :𝑼𝟏 (𝒙𝟏𝟏 , 𝒙𝟐𝟏 ) = (𝒙𝟏𝟏 )𝟏⁄𝟒 (𝒙𝟐𝟏 )𝟑⁄𝟒 (𝒘𝟏𝟏 , 𝒘𝟐𝟏 ) = (𝟏, 𝟏) Consommateur 2 :𝑼𝟐 (𝒙𝟏𝟐 , 𝒙𝟐𝟐 ) = (𝒙𝟏𝟐 )𝟑⁄𝟒 (𝒙𝟏𝟐 )𝟏⁄𝟒 Fonction de demande 1 𝑃 1 +𝑃 2 3 𝑃 1 +𝑃 2 𝑥11 (𝑃1 ,𝑃2 ) = 4 𝑥12 (𝑃1 , 𝑃2 ) = 4 𝑃1 𝑃2 3 1 𝑃 1 +𝑃2 𝑥21 (𝑃1 , 𝑃2 ) = 4 (𝑃1 , 𝑃2 ) 𝑥22 (𝑃1 , 𝑃2 ) = 4 𝑃2 Vérifions la Loi de Walras 1 𝑃 1 +𝑃 2 3 𝑃 1 +𝑃2 3 𝑃 1 +𝑃 2 1 𝑃 1 +𝑃2 𝑃1 (𝑥11 + 𝑥21 ) + 𝑃2 (𝑥12 + 𝑥22 ) = 𝑃1 (4 +4 ) + 𝑃 2 (4 +4 ) 𝑃1 𝑃1 𝑃2 𝑃2 = 2𝑷𝟏 + 𝟐𝑷𝟐 En remplaçant 𝑥22 par sa valeur 2 𝑃 𝑥21 = 3 (7 + 7 𝑃2 ) 1 En remplaçant 𝑥21 par sa valeur 28  4 𝑃 𝑥22 = 3 (3+7𝑃1 ) 2 La condition d’équilibre sur le marché du bien 1. 2 𝑃2 2 𝑃2 (3 + 7 ) + (7 + 3 ) = 17 3 𝑃1 3 𝑃1 20 𝑃2 20 𝑃2 31 = 17 − ⇒ = = 1,55 3 𝑃1 3 𝑃1 20 L’équilibre sur le marché du bien 2 s’est déduit à partir de corollaire de la Loi de Walras. Il faut noter qu’on ne peut calculer que le prix relatif d’équilibre. Les quantités calculées à l’équilibre sont égales : 2 31 𝑥11 = 3 (3 + 7 20)=9,2 20 7 𝑥12 = 31 + 3 = 2,98 2 31 𝑥21 = (7 + 3 ) = 𝟕, 𝟖 3 20 4 20 𝑥22 = (3 + 7 ) = 𝟏𝟎, 𝟎𝟐 3 31 Application Soit une économie d’échange à 2 biens j=1,2 et 2 consommateurs i=1,2 dont les préférences sont représentées par les fonctions d’utilités suivantes : 0,3 0,7 𝑈1 (𝑥11 , 𝑥12 ) = 𝑥11 𝑥12 0,6 0,4 𝑈2 (𝑥21 , 𝑥22 )=𝑥21 𝑥22 Les dotations initiales individuelles sont données par :𝑤1 = (3,5) 𝑤2 = (8,3) Questions 1) Calculer l’équation de la courbe des contrats. Est-ce que les dotations initiales appartiennent à cet ensemble ? 2) Etudier l’équilibre général : le prix relatif d’équilibre et les quantités d’équilibre, 𝑃1 et 𝑃2 étant les prix des 2 biens. 3) Vérifier que l’allocation d’équilibre appartient à la courbe des contrats (ensemble des optima de Pareto). Quel théorème est alors vérifié ? 29 Montrer que l’allocation d’équilibre ==== par l’intersection de la courbe des contrats et la droite de pente égale en valeur absolue au rapport des prix d’équilibre et passant par les dotations initiales. Est-ce que cette allocation d’équilibre est équitable ? 4) Calculer les optima de Pareto qui sont individuellement rationnel. 5) Représenter l’ensemble des problèmes et des solutions dans la "boite d’Edgeworth". Corrigé 0,3 0,7 𝑀𝑎𝑥 𝑈1 (𝑥11, 𝑥12 ) = 𝑥11 𝑥12 𝑥11 ≥ 0 , 𝑥12 ≥ 0 ̅̅̅ Pour 𝑈2 , fixé, le programme est le suivant : 𝑈2 (𝑥21 , 𝑥22 ) = ̅̅̅ 𝑈2 𝑥11 + 𝑥21 = 11 ⇒ 𝑥21 = 11 − 𝑥11 { 𝑥12 + 𝑥22 = 8 ⇒ 𝑥22 = 8 − 𝑥12 La fonction de Lagrange : ℒ(𝑥11 , 𝑥12 , 𝝀) = 𝒙𝟎,𝟑 𝟎,𝟕 𝟎,𝟔 𝟏𝟏 𝒙𝟏𝟐 − 𝝀[(𝟏𝟏 − 𝒙𝟏𝟏 ) (𝟖 − 𝒙𝟏𝟐 ) 𝟎,𝟒 − ̅̅̅̅ 𝑼𝟐 ] CIO 𝜕𝐿 −0,7 0,7 = 0,3𝑥11 𝑥12 + 0,6𝝀[(𝟏𝟏 − 𝒙𝟏𝟏 )−𝟎,𝟒 (𝟖 − 𝒙𝟏𝟐 )𝟎,𝟒 ] = 𝟎 𝜕𝑥11 𝜕𝐿 0,3 −0,3 = 0,7𝑥11 𝑥12 + 0,4𝝀[(𝟏𝟏 − 𝒙𝟏𝟏 )𝟎,𝟔 (𝟖 − 𝒙𝟏𝟐 )−𝟎,𝟔 ] = 𝟎 𝜕𝑥12 𝟎,𝟑𝒙−𝟎,𝟕 𝟎,𝟕 𝟏𝟏 𝒙𝟏𝟐 𝝀 = − 𝟎,𝟔(𝟏𝟏−𝒙 −𝟎,𝟒 (𝟖−𝒙 )𝟎,𝟒 (1) 𝟏𝟏 ) 𝟏𝟐 𝟎,𝟕𝒙𝟎,𝟑 −𝟎,𝟑 𝟏𝟏 𝒙𝟏𝟐 𝝀 = − 𝟎,𝟒(𝟏𝟏−𝒙 𝟎,𝟔 −𝟎,𝟔 (2) 𝟏𝟏 ) (𝟖−𝒙𝟏𝟐 ) En égalisant : −0,7 0,7 0,3𝑥11 𝑥12 0,6(11−𝑥 )−0,4 (8−𝑥12 )0,4 ⇒ 0,3 −0,3 = 0,4(11−𝑥11)0,6 (8−𝑥 −0,6 0,7𝑥11 𝑥12 11 12 ) Après simplification : 3𝑥12 3 8 − 𝑥12 = ( ) 7𝑥11 2 11 − 𝑥11 L’équation 𝑥12 = ℎ(𝑥11 ) de la courbe des contrats s’écrit : 168𝑥11 𝑥12 = 66 + 15𝑥11 11088 h’(𝑥11 ) = (66+15𝑥 2 >0 11 ) 30  Et 11088(30) h’’(𝑥11 ) = − (66+15𝑥 3 0 et h’’(𝑥11 ) = − (66+15𝑥 0 11 ) Et 11088(30) h’’(𝑥11 ) = − (66+15𝑥 3 0 et h’’(𝑥11 ) = − (66+15𝑥 3