Calcule a integral: ∫ (-2x² + 5x - 4)/(x² + 2)² dx. Escolha uma opção.

Understand the Problem

A questão está pedindo para calcular a integral [ \int \frac{-2x^2 + 5x - 4}{(x^2 + 2)^2} dx ] e escolher uma das opções corretas entre as dadas.

Answer

$$ -\frac{2}{\sqrt{2}} \arctan\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right) - \frac{5}{2(x^2 + 2)} + C $$

Steps to Solve

Identificação da Estrutura da Integral

A integral a ser calculada é $$ \int \frac{-2x^2 + 5x - 4}{(x^2 + 2)^2} , dx $$

Dividir a Fração

Para facilitar a integração, podemos dividir o numerador pelo denominador. Assim, temos que: $$ \frac{-2x^2 + 5x - 4}{(x^2 + 2)^2} = \frac{-2x^2}{(x^2 + 2)^2} + \frac{5x - 4}{(x^2 + 2)^2} $$

Integração do Primeiro Termo

Para o primeiro termo, podemos usar a substituição: Seja $u = x^2 + 2$, então $du = 2x , dx \Rightarrow dx = \frac{du}{2x}$.

O termo se torna: $$ \int \frac{-2x^2}{(u)^2} \cdot \frac{du}{2x} = \int \frac{-x}{u^2} , du $$

Integração do Segundo Termo

O segundo termo é: $$ \int \frac{5x - 4}{(x^2 + 2)^2} , dx $$

Para resolver essa parte, separaremos: $$ \int \frac{5x}{(x^2 + 2)^2} , dx - \int \frac{4}{(x^2 + 2)^2} , dx $$

O primeiro pode ser resolvido usando a substituição já feita, e o segundo pode ser feito por tables de integrais.

Integração Final e Junção dos Resultados

Após resolver cada um dos termos, somamos as integrais encontradas e adicionamos a constante de integração $C$.

A integral resulta em: $$ -\frac{2}{\sqrt{2}} \arctan\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right) - \frac{5}{2(x^2 + 2)} + C $$

More Information

A integral obtida é uma combinação de uma função arcotangente e uma fração simples. Essa forma é comum quando se integra frações racionais onde o denominador é quadrático.

Tips

Não dividir corretamente o numerador pelo denominador.
Esquecer de aplicar a substituição corretamente nas integrais.

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