Funkcje wykładnicze i logarytmy: Test

Zasady zaliczenia przedmiotu:

• Warunkiem wstępu na egzamin jest zaliczenie ćwiczeń z oceną co najmniej 3.
• Egzamin jest pisemny i odbywa się bez pomocy naukowych, takich jak kalkulatory, telefony, tablice czy ściągi.
• Egzamin składa się z testu wyboru z wiedzy z wykładów, sprawdzającego opanowanie i rozumienie teorii.
• Test zawiera 25 pytań, na każde pytanie jest jedna poprawna odpowiedź spośród czterech podanych.
• Ocena końcowa jest przeliczana na podstawie standardowej tabeli procentów uwzględniającej tzw. efekt uczenia się.
• Aby zdać egzamin, trzeba uzyskać minimum 51% maksymalnej liczby punktów, czyli co najmniej 13 poprawnych odpowiedzi.
• Osoba, która nie zda egzaminu lub nie zaliczyła ćwiczeń, otrzymuje ocenę niedostateczną.
• Osoby, które nie zdały egzaminu, ale zaliczyły ćwiczenia, mają prawo do jednego egzaminu poprawkowego w sesji poprawkowej.
• Kontakt do prowadzącego: dr Michał Jabłonowski, pokój A220, wydział MFil, e-mail: [email protected].

Pojęcia wstępne:

• L ∧ P oznacza "L i P".
• L ∨ P oznacza "L lub P".
• ¬P oznacza "nieprawda, że P".
• L ⇒ P oznacza "jeżeli L, to P".
• L ⇔ P oznacza "L wtedy i tylko wtedy, gdy P".
• a ∈ A oznacza "element a należy do zbioru A".
• {a ∈ A : P(a)} lub {a ∈ A | P(a)} oznaczają "zbiór wszystkich takich elementów a ze zbioru A, dla których formuła P(a) jest prawdziwa".
• Ø oznacza "zbiór pusty" (nie posiadający elementów).

Podstawowe działania na zbiorach:

• Suma zbiorów A i B: A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}.
• Przekrój zbiorów A i B: A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}.
• Różnica zbiorów A i B: A \ B = {x : x ∈ A ∧ ¬(x ∈ B)}.
• Dopełnienie zbioru A (w całej przestrzeni X): Ac = X \ A.

Twierdzenia (prawa De Morgana):

• Dla zdań: ¬(P ∧ L) = ¬P ∨ ¬L oraz ¬(P ∨ L) = ¬P ∧ ¬L.
• Dla zbiorów: (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc oraz (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc.

Zbiory liczbowe:

• Zbiór liczb naturalnych: ℕ = {0, 1, 2, ...} (czasami ℕ = {1, 2, ...}).
• Zbiór liczb całkowitych: ℤ = {0, 1, -1, 2, -2, ...}.
• Zbiór liczb wymiernych: ℚ = {x : x = p/q, p ∈ ℤ, q ∈ ℤ \ {0}}.
• Zbiór liczb rzeczywistych: ℝ to zbiór wszystkich punktów na prostej.

Kwantyfikatory:

• Szczegółowy: ∃x P(x) oznacza "istnieje takie x, że prawdziwa jest forma zdaniowa P(x)".
• Ogólny: ∀x P(x) oznacza "dla każdego x prawdziwa jest forma zdaniowa P(x)".
• ∃S(x) P(x) oznacza ∃x (S(x) ∧ P(x)).
• ∀S(x) P(x) oznacza ∀x (S(x) ⇒ P(x)).
• Zbiór A jest równy zbiorowi B: A = B ⇔ ∀x (x ∈ A ⇔ x ∈ B).
• Zbiór A jest zawarty w zbiorze B: A ⊂ B ⇔ ∀x (x ∈ A ⇒ x ∈ B), wówczas taki zbiór A nazywamy podzbiorem zbioru B.

Przykłady prawdziwych zdań:

• ∀x∈ℝ x² ≥ 0.
• ∃t∈ℤ t³ + 1 = 0.
• ∃x∈ℝ (x² ∈ ℚ ∧ x³ ∉ ℚ).
• ∀n∈ℤ{0} ∃x∈ℚ n · x = 1.

Twierdzenia (prawa De Morgana) dla kwantyfikatorów:

• ¬(∃S(x) P(x)) ⇔ ∀S(x) (¬P(x)).
• ¬(∀S(x) P(x)) ⇔ ∃S(x) (¬P(x)).

Funkcje:

• Funkcja f ze zbioru X w zbiór Y to przyporządkowanie każdemu elementowi x ze zbioru X dokładnie jednego elementu y ze zbioru Y; piszemy wówczas f(x) = y, x to argument funkcji f.
• Dziedzina funkcji: Df = {a : ∃b f(a) = b}.
• Zbiór wartości funkcji: Zf = {b : ∃a f(a) = b}.
• Wykres funkcji: {(x, f(x)) : x ∈ Df} ⊂ X × Y.
• Funkcja f jest różnowartościowa, jeśli ∀x₁, x₂∈Df (x₁ ≠ x₂ ⇒ f(x₁) ≠ f(x₂)).
• Funkcja odwrotna do funkcji różnowartościowej f to funkcja f⁻¹, że ∀x∈X ∀y∈Y (f⁻¹(y) = x ⇔ f(x) = y).
• Wykres funkcji y = f⁻¹(x) uzyskuje się przez symetrię wykresu funkcji y = f(x) względem prostej y = x.
• Zapis f : X → Y oznacza, że Df = X oraz Zf ⊂ Y; zbiór Y nazywamy przeciwdziedziną funkcji f.

Złożenie funkcji:

• Jeśli f : X → Y, g : Y → Z, to funkcja h : X → Z dana wzorem ∀x∈X h(x) = g(f(x)) to złożenie funkcji f oraz g, oznaczane jako g ∘ f.
• Wtedy f jest funkcją wewnętrzną, a g funkcją zewnętrzną tego złożenia.
• Miejsce zerowe funkcji: {x ∈ Df : f(x) = 0}.
• Funkcja rosnąca w zbiorze A ⊂ X: ∀x₁, x₂∈A (x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂)).
• Funkcja malejąca w zbiorze A ⊂ X: ∀x₁, x₂∈A (x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂)).
• Funkcja nierosnąca w zbiorze A ⊂ X: ∀x₁, x₂∈A (x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) ≥ f(x₂)).
• Funkcja niemalejąca w zbiorze A ⊂ X: ∀x₁, x₂∈A (x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) ≤ f(x₂)).
• Funkcję rosnącą, malejącą, nierosnącą lub niemalejącą nazywamy funkcją monotoniczną.

Funkcje elementarne:

• Funkcja stała: f : X → Y, jeśli ∃c∈Y ∀x∈X f(x) = c.
• Funkcja wielomianowa: f : ℝ → ℝ to suma f(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + ... + anxⁿ skończonej liczby jednomianów.
• Stopień wielomianu: n ∈ ℕ, gdy an ≠ 0.
• Wielomian stopnia 0 lub 1 to funkcja liniowa, a wielomian stopnia 2 - funkcja kwadratowa.
• Funkcja wymierna: określana jako f(x) = W(x) / G(x), gdzie W, G są funkcjami wielomianowymi oraz G nie jest wielomianem zerowym.
• Dziedzina funkcji wymiernej: Df = {x ∈ ℝ : G(x) ≠ 0}.
• Funkcja potęgowa: f(x) = xᵃ dla a ∈ ℝ.
• Funkcja wartość bezwzględna: f : ℝ → ℝ, f(x) = |x|, określona wzorem: f(x) = {x dla x ≥ 0, -x dla x < 0}.
• Funkcja wykładnicza: f : ℝ → ℝ określona wzorem f(x) = aˣ dla podstawy a > 0.
• Funkcja logarytmiczna: f : ℝ₊ → ℝ określona wzorem f(x) = logₐ x dla podstawy a ∈ ℝ₊ \ {1}.

Równania i nierówności wykładnicze:

• Rozwiązuje się je, korzystając z różnowartościowości i monotoniczności funkcji wykładniczej.
• Należy sprowadzić równanie lub nierówność do najprostszej postaci, korzystając z własności funkcji wykładniczej.
• Dla 0 < a ≠ 1: ax = ay ⇔ x = y.
• Dla 0 < a < 1: ax ≤ ay ⇔ x ≥ y.
• Dla a > 1: ax ≤ ay ⇔ x ≤ y.

Logarytm:

• Logarytm przy podstawie a z x (logₐ x) to liczba y, dla której ay = x, gdzie a > 0, a ≠ 1 i x > 0.
• log x oznacza log₁₀ x, ln x oznacza logₑ x.
• Funkcja logarytmiczna f: (0; +∞) → ℝ określona wzorem f(x) = logₐ x, gdzie a ≠ 1 oraz a > 0.
• Liczba a to podstawa funkcji logarytmicznej f.
• Funkcja logarytmiczna jest funkcją odwrotną do wykładniczej. Funkcja logarytmiczna jest różnowartościowa (logₐ x = logₐ y ⇔ x = y).

Własności funkcji logarytmicznej:

• logₐ xy = logₐ x + logₐ y
• logₐ (x/y) = logₐ x - logₐ y
• logₐ xy = y logₐ x
• logь x = (logₐ x) / (logₐ b)
• aloga x = x
• logₐ aˣ = x

Równania i nierówności logarytmiczne:

• Rozwiązuje się je, korzystając z różnowartościowości i monotoniczności funkcji logarytmicznej.
• Najpierw wyznacza się dziedzinę równania lub nierówności.
• Następnie sprowadza się równanie lub nierówność do najprostszej postaci, korzystając z jej własności.

Funkcje trygonometryczne:

• f(x) = sin(x), gdzie Df = ℝ, Zf = [-1, 1].
• f(x) = cos(x), gdzie Df = ℝ, Zf = [-1, 1].
• f(x) = tg(x), gdzie Df = ℝ \ {(2k + 1)π/2 : k ∈ ℤ}, Zf = ℝ.
• f(x) = ctg(x), gdzie Df = ℝ \ {kπ : k ∈ ℤ}, Zf = ℝ.
• Miara łukowa kąta to stosunek długości łuku opartego na tym kącie, do promienia okręgu.
• Miarę łukową kąta podaje się w radianach.

Warto zapamiętać:

• sin α = y/r
• cos α = x/r
• tg α = y/x
• ctg α = x/y

Własności funkcji trygonometrycznych:

• funkcja f(x) = cos(x) jest parzysta: ∀x∈ℝ cos(-x) = cos(x)
• funkcja f(x) = sin(x) jest nieparzysta: ∀x∈ℝ sin(-x) = -sin(x)
• funkcja f(x) = tg(x) jest nieparzysta: ∀x∈Df tg(-x) = -tg(x)
• funkcja f(x) = ctg(x) jest nieparzysta: ∀x∈Df ctg(-x) = -ctg(x)
• sin²x + cos²x = 1
• tg x = sin x / cos x
• ctg x = 1 / tg x
• cos 2x = cos²x - sin²x = 2 cos²x - 1 = 1 - 2 sin²x

Granice i ciągłość funkcji:

• Sąsiedztwem punktu a ∈ ℝ o promieniu r > 0 nazywamy zbiór Sr(a) = (a - r, a) ∪ (a, a + r).
• Oznaczenie: limₓ→ₐ f(x) = g oznacza, że "liczba g jest granicą funkcji f w punkcie a".

Warunek Cauchy'ego:

• limₓ→ₐ f(x) = g ⇔ ∀ε>₀ ∃δ>₀ ∀x∈Sδ(a) |f(x) - g| < ε.
• Istnieje co najwyżej jedna granica funkcji w danym punkcie.
• limₓ→₀ sin x / x = 1
• limₓ→₀ (1 + x)^(1/x) = e
• limₓ→₊∞ aˣ ={ 0 dla 0 < a < 1, +∞ dla a > 1

Definicja granic niewłaściwych:

• limₓ→ₐ f(x) = +∞, jeżeli ∀M∈ℝ ∃δ>₀ ∀x∈Sδ(a) f(x) > M
• limₓ→ₐ f(x) = -∞, jeżeli ∀m∈ℝ ∃δ>₀ ∀x∈Sδ(a) f(x) < m

Twierdzenia o granicach:

• limₓ→ₐ (f(x) ± g(x)) = limₓ→ₐ f(x) ± limₓ→ₐ g(x)
• limₓ→ₐ c · f(x) = c · (limₓ→ₐ f(x)) dla c ∈ ℝ
• limₓ→ₐ (f(x) · g(x)) = (limₓ→ₐ f(x)) · (limₓ→ₐ g(x))
• limₓ→ₐ (f(x) / g(x)) = (limₓ→ₐ f(x)) / (limₓ→ₐ g(x)), dla g(x) ≠ 0 w sąsiedztwie punktu a oraz limₓ→ₐ g(x) ≠ 0
• limₓ→ₐ (f(x)^g(x)) = (limₓ→ₐ f(x))^(limₓ→ₐ g(x)) (o ile działania po obu stronach są wykonalne)

Twierdzenie o dwóch/trzech funkcjach:

• Jeśli ∀x f(x) ≤ g(x) oraz istnieją lim x→a f(x), lim x→a g(x), to lim x→a f(x) ≤ limx→a g(x).
• Jeśli lim x→a h(x) = lim x→a g(x) oraz ∀x h(x) ≤ f(x) ≤ g(x), to lim x→a f(x) = lim x→a h(x) = lim x→a g(x).

Granice jednostronne:

• lim x→a⁻ f(x) = g oznacza, że g jest granicą lewostronną (bierzemy sąsiedztwo lewostronne, tzn. x a.
• Warunek istnienia granicy funkcji: Granica funkcji w punkcie istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy w tym punkcie istnieją obie granice jednostronne tej funkcji i są one sobie równe.
• Prosta p jest asymptotą danej krzywej k, jeśli dla punktu oddalającego się nieograniczenie wzdłuż krzywej k, odległość tego punktu od prostej p dąży do zera. Asymptota funkcji to asymptota krzywej stanowiącej wykres funkcji. Asymptoty wyznacza się przez obliczenie granic funkcji w punktach, w których funkcja nie jest określona.
• lim x→a⁻ f(x) = ±∞ (asymptota lewostronna)
• limx→a⁺ f(x) = ±∞ (asymptota prawostronna)
• lim x→a⁻ f(x) = ±∞ oraz limx→a⁺ f(x) = ±∞ (asymptota obustronna; w szczególności jedna granica może być równa +∞ a druga -∞)
• Jeśli przynajmniej jedna z granic wyznaczających a lub b nie istnieje lub jest granicą niewłaściwą, to wykres nie ma odpowiedniej (prawo- lub lewostronnej) asymptoty ukośnej, ani poziomej. Jeśli a = 0, to wyznaczona asymptota jest pozioma (równoległa do osi odciętych).

Sprawdź swoją wiedzę z funkcji wykładniczych i logarytmicznych. Zmierz się z pytaniami dotyczącymi własności funkcji, nierówności, różniczkowalności i wyrażeń. Test zawiera różnorodne zadania, które pomogą Ci utrwalić zrozumienie tych zagadnień.