Matematyka. Część 1 - Wykłady PDF

Matematyka. Część 1 Michał Jabłonowski 1 / 105 Zasady zaliczenia przedmiotu: 2 / 105 Warunkiem wstępu na egzamin jest zaliczenie ćwiczeń (ocena co najmniej 3). Egzamin piszemy bez pomocy naukowych typu: kalkulatorów, telefonów, tablic, śc...

Matematyka. Część 1 Michał Jabłonowski 1 / 105 Zasady zaliczenia przedmiotu: 2 / 105 Warunkiem wstępu na egzamin jest zaliczenie ćwiczeń (ocena co najmniej 3). Egzamin piszemy bez pomocy naukowych typu: kalkulatorów, telefonów, tablic, ściąg. Egzamin składa się z testu wyboru z informacji z wykładów (opanowanie i rozumienie teorii), na każde jest jedna poprawną odpowiedź spośród czterech podanych, będzie 25 pytań. Ocena końcowa (tzw. efekt uczenia się) to przeliczenie z następującej standardowej tabelki procentów 3 / 105 W szczególności warunkiem zdania egzaminu jest uzyskanie minimum 51% (po zaokrągleniu) maksymalnej liczby punktów za egzamin (czyli co najmniej 13 dobrych odpowiedzi). Osoba, która nie zdała egzaminu lub nie zaliczyła ćwiczeń dostaje ocenę niedostateczną. Każda osoba, która nie zdała egzaminu a zaliczyła ćwiczenia, może przystąpić do kolejnego egzaminu w sesji poprawkowej (jedna poprawa). dr Michał Jabłonowski, pokój A220, wydział MFiI. e-mail służbowy: [email protected] 4 / 105 Pojęcia wstępne L ∧ P oznacza "L i P", L ∨ P oznacza "L lub P", ¬P oznacza "nieprawda, że P", L ⇒ P oznacza "jeżeli L, to P" L ⇔ P oznacza „L wtedy i tylko wtedy, gdy P" a ∈ A oznacza „element a należy do zbioru A" {a ∈ A : P (a )} lub {a ∈ A | P (a )} oznacza „zbiór wszystkich takich elementów a ze zbioru A , dla których formuła P (a ) jest prawdziwa". ∅ oznacza "zbiór pusty" (nie posiadający elementów) Podstawowe działania na zbiorach suma: A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B} przekrój: A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B} różnica: A\B = {x : x ∈ A ∧ ¬(x ∈ B )} dopełnienie zbioru A (w całej przestrzeni X ): Ac = X \A 5 / 105 Twierdzenie (Prawa De Morgana) dla zdań: ¬(P ∧ L) = ¬P ∨ ¬L, ¬(P ∨ L) = ¬P ∧ ¬L dla zbiorów: (A ∪ B )c = Ac ∩ B c , (A ∩ B )c = Ac ∪ B c Zbiory liczbowe zbiór liczb naturalnych N = {0, 1, 2,...} (czasami N = {1, 2,...}) zbiór liczb całkowitych Z = {0, 1, −1, 2, −2,...} zbiór liczb wymiernych Q = {x : x = pq , p ∈ Z, q ∈ Z\{0}} zbiór liczb rzeczywistych R = zbiór wszystkich punktów na prostej 6 / 105 Kwantyfikatory szczegółowy: ∃x P (x ) oznacza "istnieje takie x , że prawdziwa jest forma zdaniowa P (x )" ogólny: ∀x P (x ) oznacza "dla każdego x prawdziwa jest forma zdaniowa P (x )" ∃S (x ) P (x ) oznacza ∃x (S (x ) ∧ P (x )) ∀S (x ) P (x ) oznacza ∀x (S (x ) ⇒ P (x )) Zbiór A jest równy zbiorowi B: A = B ⇔ ∀x (x ∈ A ⇔ x ∈ B ). Zbiór A jest zawarty w zbiorze B: A ⊂ B ⇔ ∀x (x ∈ A ⇒ x ∈ B ), wówczas taki zbiór A nazywamy podzbiorem zbioru B. 7 / 105 Przykłady Prawdziwe są następujące zdania: ∀x ∈R x 2 ≥ 0 ∃t∈Z t 3 + 1 = 0 ∃x ∈R (x 2 ∈ Q ∧ x 3 ̸∈ Q) ∀n∈Z\{0} ∃x ∈Q n · x = 1 Twierdzenie (Prawa De Morgana) dla kwantyfikatorów:   ¬∃S (x ) P (x ) ⇔ ∀S (x ) (¬P (x ))   ¬∀S (x ) P (x ) ⇔ ∃S (x ) (¬P (x )) 8 / 105 Funkcją f ze zbioru X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi x ze zbioru X dokładnie jednego elementu y ze zbioru Y. Piszemy wówczas f (x ) = y , taki element x nazywamy argumentem funkcji f. Dziedzina funkcji: Df = {a : ∃b f (a ) = b}. Zbiór wartości funkcji: Zf = {b : ∃a f (a ) = b}. Wykres funkcji: {(x , f (x )) : x ∈ Df } ⊂ X × Y. Funkcja f jest różnowartościowa jeśli ∀x1 ,x2 ∈Df (x1 ̸= x2 ⇒ f (x1 ) ̸= f (x2 )). Funkcję odwrotną do funkcji różnowartościowej f , nazywamy taką funkcję f −1 , że ∀x ∈X ∀y ∈Y (f −1 (y ) = x ⇔ f (x ) = y ). 9 / 105 Wykres funkcji y = f −1 (x ) uzyskać można poprzez symetrię wykresu funkcji y = f (x ) względem prostej y = x. 10 / 105 Przykład: 11 / 105 Zapis f : X → Y oznacza, że Df = X oraz Zf ⊂ Y , zbiór Y nazywamy przeciwdziedziną funkcji f. Niech f : X → Y , g : Y → Z , wtedy funkcja h : X → Z dana wzorem ∀x ∈X h(x ) = g (f (x )) nazywa się złożeniem funkcji f oraz g, oznaczamy ją jako g ◦ f. Wtedy f nazywa się funkcją wewnętrzną natomiast g funkcją zewnętrzną tego złożenia. Miejsce zerowe funkcji: {x ∈ Df : f (x ) = 0}. Funkcję f : X → Y nazywamy rosnącą w zbiorze A ⊂ X , jeśli ∀x1 ,x2 ∈A (x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 )). Funkcję f : X → Y nazywamy malejącą w zbiorze A ⊂ X , jeśli ∀x1 ,x2 ∈A (x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 )). 12 / 105 Funkcję f : X → Y nazywamy nierosnącą w zbiorze A ⊂ X , jeśli ∀x1 ,x2 ∈A (x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≥ f (x2 )). Funkcję f : X → Y nazywamy niemalejącą w zbiorze A ⊂ X , jeśli ∀x1 ,x2 ∈A (x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 )). Funkcję rosnącą lub malejącą lub nierosnącą lub niemalejącą nazywamy funkcją monotoniczną. 13 / 105 Przykłady. Funkcja: rosnąca, malejąca, malejąca na przedziale [a, b ], niemalejąca. 14 / 105 Funkcje elementarne Funkcja stała: f : X → Y , jeśli ∃c∈Y ∀x ∈X f (x ) = c Funkcja wielomianowa: f : R → R to suma f (x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 +... + an x n skończonej liczby jednomianów. Gdy an ̸= 0 to liczbę n ∈ N nazywamy stopniem wielomianu f. Wielomian stopnia 0 lub 1 to funkcja liniowa, natomiast wielomian stopnia 2 to funkcja kwadratowa. 15 / 105  (x ) Funkcja wymierna: określana jako f (x ) = W G (x ) , gdzie W , G są funkcjami wielomianowymi oraz G nie jest wielomianem zerowym. Wtedy Df = {x ∈ R : G (x ) ̸= 0}. Funkcja potęgowa: f (x ) = x a dla a ∈ R. 16 / 105 Funkcja wartość bezwzględna: f : R → R, oznaczana jako f (x ) = |x |, określona wzorem  x dla x ≥ 0,  f (x ) =  −x dla x < 0.  Funkcja wykładnicza: f : R → R określona wzorem f (x ) = ax dla podstawy a > 0. Funkcja logarytmiczna: f : R+ → R określona wzorem f (x ) = loga x dla podstawy a ∈ R+ \{1}. 17 / 105 Funkcja wykładnicza. Przykłady 18 / 105 Równania, nierówności wykładnicze Równania i nierówności wykładnicze rozwiązujemy, korzystając z różnowartościowości i monotoniczności funkcji wykładniczej. Najpierw, korzystając z własności funkcji wykładniczej, sprowadzamy równanie lub nierówność do najprostszej postaci: dla 0 < a ̸= 1: dla 0 < a < 1: dla a > 1: ax = ay ax ⩽ ay ax ⩽ ay ⇕ ⇕ ⇕ x =y x ⩾y x ⩽y (analogicznie dla pozostałych nierówności , ⩾). 19 / 105   x  x 2 2 +4 1 1  x 1 2x < ⩾ 8 3 9 2 +4  x 2x < 2−3  x 2  2 !x 1 1 ⩾ 2 x 2 +4 < 2−3x 3 3  x 2  2x x 2 + 4 < −3x 1 1 ⩾ 3 3 2 x ⩽ 2x 20 / 105 Dane są liczby rzeczywiste a, a > 0, a ̸= 1 oraz x > 0. Liczbę y nazywamy logarytmem przy podstawie a z x (oznaczamy y = loga x ) wtedy i tylko wtedy, gdy ay = x. Oznaczamy: log x = log10 x , ln x = loge x. Przykład: log2 4 = 2, log 1000 = 3, log 2 94 = −2, ln 1e = −1, 3 loga 1 = 0 Funkcja logarytmiczna f : (0; +∞) → R określona jest wzorem f (x ) = loga x , gdzie a ̸= 1 oraz a > 0. Liczbę a nazywamy podstawą funkcji logarytmicznej f. Funkcja logarytmiczna jest funkcją odwrotną do funkcji wykładniczej. Jest to funkcja różnowartościowa, tzn. loga x = loga y ⇔ x = y. 21 / 105 Własności funkcji logarytmicznej: loga xy = loga x + loga y x loga = loga x − loga y y loga x y = y loga x loga x logb x = loga b a log a x =x loga ax = x 22 / 105 Funkcja logarytmiczna. Przykłady 23 / 105 Równania i nierówności logarytmiczne rozwiązujemy, korzystając z różnowartościości i monotoniczności funkcji logarytmicznej. Najpierw wyznaczamy dziedzinę równania lub nierówności. Następnie, korzystając z własności funkcji logarytmicznej, sprowadzamy równanie lub nierówność do najprostszej postaci: dla 0 < a ̸= 1: dla 0 < a < 1: dla a > 1: loga x = loga y loga x ⩽ loga y loga x ⩽ loga y ⇕ ⇕ ⇕ x =y x ⩾y x ⩽y (analogicznie dla pozostałych nierówności , ⩾). 24 / 105  Przykład. Rozwiąż nierówność log4 (3x − 1) + 1 < log4 (2x + 1). Wyznaczamy dziedzinę nierówności: ( log4 (3x − 1) + 1 < log4 (2x + 1) 3x − 1 > 0 log4 (3x − 1) + log4 4 < log4 (2x + 1) 2x + 1 > 0 log ((3x − 1) · 4) < log (2x + 1) ( 4 4 x > 13 log4 (12x − 4) < log4 (2x + 1) x > − 12 12x − 4 < 2x + 1 1   10x < 5 D: x∈ ; +∞ 3 1 x< 2 Znajdujemy część wspólną zbioru  rozwiązań tej nierówności z dziedziną. Rozwiązanie: x ∈ 13 ; 12. 25 / 105 Funkcje trygonometryczne:     f (x ) = sin(x ) , gdzie Df = R, Zf = [−1, 1]    f (x ) = cos(x ) , gdzie Df = R, Zf = [−1, 1]       f (x ) = tg(x ) , gdzie Df = R\{(2k + 1) π2 : k ∈ Z}, Zf = R    f (x ) = ctg(x ) , gdzie D = R\{kπ : k ∈ Z}, Z = R.  f f 26 / 105 27 / 105 Własności funkcji trygonometrycznych: funkcja f (x ) = cos(x ) jest parzysta: ∀x ∈R cos(−x ) = cos(x ) funkcja f (x ) = sin(x ) jest nieparzysta: ∀x ∈R sin(−x ) = − sin(x ) funkcja f (x ) = tg(x ) jest nieparzysta: ∀x ∈Df tg(−x ) = − tg(x ) funkcja f (x ) = ctg(x ) jest nieparzysta: ∀x ∈Df ctg(−x ) = − ctg(x ) sin2 x + cos2 x = 1 sin x tg x = cos x 1 ctg x = tg x cos 2x = cos2 x − sin2 x = 2 cos2 x − 1 = 1 − 2 sin2 x 28 / 105 29 / 105 30 / 105 31 / 105 Przekształcenia podstawowe. Przykłady: 32 / 105 Składanie funkcji. Przykład: 33 / 105 Granice i ciągłość funkcji Sąsiedztwem punktu a ∈ R o promieniu r > 0 nazywamy zbiór Sr (a ) = (a − r , a ) ∪ (a, a + r ). Oznaczenie: lim f (x ) = g oznacza: x →a "liczba g jest granicą funkcji f w punkcie a". Warunek Cauchy’ego. lim f (x ) = g ⇐⇒ ∀ϵ>0 ∃δ>0 ∀x ∈Sδ (a) |f (x ) − g| < ϵ. x →a 34 / 105 35 / 105 Wniosek Istnieje co najwyżej jedna granica funkcji w danym punkcie. Przykłady (Znane granice, możemy z tego korzystać.) sin x lim =1 x →0 x 1 lim (1 + x ) x = e x →0   0  dla 0 < a < 1 lim ax = x →+∞  +∞ dla a > 1  36 / 105 Definicja 1 lim f (x ) = +∞, jeżeli ∀M∈R ∃δ>0 ∀x ∈Sδ (a) f (x ) > M x →a 2 lim f (x ) = −∞, jeżeli ∀m∈R ∃δ>0 ∀x ∈Sδ (a) f (x ) < m x →a Przykłady 1 lim = +∞ x →0 x2 37 / 105 Twierdzenie Załóżmy, że istnieją lim f (x ) oraz lim g (x ). Wówczas: x →a x →a 1 lim (f (x ) ± g (x )) = lim f (x ) ± lim g (x ) x →a x →a x →a   2 lim c · f (x ) = c · lim f (x ) dla c ∈ R x →a x →a     3 lim (f (x ) · g (x )) = lim f (x ) · lim g (x ) x →a x →a x →a  f (x )  lim f (x ) x →a 4 lim = dla g (x ) ̸= 0 w sąsiedztwie punktu x →a g (x ) lim g (x ) x →a a oraz lim g (x ) ̸= 0 x →a     lim g (x ) 5 lim (f (x )g (x ) ) = lim f (x ) x →a x →a x →a (o ile działania po obu stronach są wykonalne) 38 / 105 Twierdzenie (o dwóch funkcjach i o trzech funkcjach) 1 Jeżeli ∀x f (x ) ≤ g (x ) oraz lim f (x ), lim g (x ) istnieją, to x →a x →a lim f (x ) ≤ lim g (x ) x →a x →a 2 Jeżeli lim h(x ) = lim g (x ) oraz ∀x h(x ) ≤ f (x ) ≤ g (x ), to x →a x →a lim f (x ) = lim h(x ) = lim g (x ). x →a x →a x →a 39 / 105 Granice jednostronne Dla g ∈ R lub g = ±∞, definiujemy: 1 lim f (x ) = g ⇐⇒ bierzemy sąsiedztwo lewostronne, tzn. x < a x →a− 2 lim f (x ) = g ⇐⇒ bierzemy sąsiedztwo prawostronne, tzn. x > a x →a+ 40 / 105 Granica funkcji a granice jednostronne Twierdzenie Granica funkcji w punkcie istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy w tym punkcie istnieją obie granice jednostronne tej funkcji i są one sobie równe tzn. lim f (x ) = g ⇔ lim f (x ) = g = lim + f (x ). x →x0 x →x0 − x →x0 41 / 105 Przykłady |x | 1 f (x ) = , x0 = 0; x |x | −x lim = lim− = lim− −1 = −1 x →0− x x →0 x x →0 |x | x lim = lim+ = lim+ 1 = 1 x →0+ x x →0 x x →0 |x | Na mocy twierdzenia lim nie istnieje. x →0 x |x |3 2 f (x ) = , x0 = 0; x |x |3 −x 3 lim = lim = lim− (−x 2 ) = 0 x →0− x x →0− x x →0 |x |3 x3 lim = lim+ = lim+ x 2 = 0 x →0+ x x →0 x x →0 |x |3 Na mocy twierdzenia lim = 0. x →0 x 42 / 105 Prosta p jest asymptotą danej krzywej k, jeśli dla punktu oddalającego się nieograniczenie wzdłuż krzywej k odległość tego punktu od prostej p dąży do zera. Asymptota funkcji to asymptota krzywej stanowiącej wykres funkcji. Jeśli krzywa dana jest w postaci y = f (x ), gdzie f jest funkcją, która nie jest określona w punkcie a, to ma ona w tym punkcie asymptotę pionową o równaniu x = a, jeżeli istnieje granica niewłaściwa: lim f (x ) = ±∞ (asymptota lewostronna) x →a− lim f (x ) = ±∞ (asymptota prawostronna) x →a+ lim f (x ) = ±∞ oraz lim+ f (x ) = ±∞ (asymptota x →a− x →a obustronna; w szczególności jedna granica może być równa +∞ a druga −∞) 43 / 105 Przykład asymptoty ukośnej obustronnej. 44 / 105 Parametry asymptoty poziomej i ukośnej y = ax + b dla krzywej danej w postaci y = f (x ) można wyznaczyć jako granice. W przypadku asymptoty prawostronnej: f (x ) a = lim oraz b = lim (f (x ) − ax ). x →+∞ x x →+∞ W przypadku asymptoty lewostronnej: f (x ) a = lim oraz b = lim (f (x ) − ax ). x →−∞ x x →−∞ Jeśli przynajmniej jedna z granic wyznaczających a lub b nie istnieje lub jest granicą niewłaściwą, to wykres nie ma odpowiedniej (prawo- lub lewostronnej) asymptoty ukośnej, ani poziomej. Jeśli a = 0, to wyznaczona asymptota jest pozioma (równoległa do osi odciętych). 45 / 105 Ciągłość. Warunek Cauchy’ego. funkcja f jest ciągła w punkcie a ⇐⇒ ⇐⇒ ∀ϵ>0 ∃δ>0 ∀x ∈(a−δ,a+δ ) |f (x ) − f (a )| < ϵ. Wniosek Funkcja f jest ciągła w punkcie a ⇐⇒ lim f (x ) = f (a ). x →a Funkcja jest ciągła jeśli jest ciągła w każdym punkcie dziedziny. Przykłady funkcji nieciągłych w przedziale (a, b ): 46 / 105 Twierdzenie Jeżeli funkcje f oraz g są ciągłe w punkcie a, to ciągłe w punkcie a są również funkcje: f ±g f ·g f (o ile g (a ) ̸= 0) g Twierdzenie Jeśli funkcja f jest ciągła w punkcie a oraz funkcja g jest ciągła w punkcie f (a ), to funkcja g ◦ f jest ciągła w punkcie a. Twierdzenie Jeśli funkcja f : [a, b ] → R jest ciągła oraz różnowartościowa, Y = Zf to funkcja f −1 : Y → [a, b ] jest ciągła. 47 / 105 Twierdzenie Dowolna funkcja elementarna (tzn. stała, liniowa, kwadratowa, wielomianowa, wymierna, potęgowa, wykładnicza, logarytmiczna, wartość bezwzględna, trygonometryczna) jest ciągła w swojej dziedzinie. Przykłady Ciągłe są następujące funkcje:   1 − x − 4x 2 dla x < 0  f (x ) = 2  2−x +x  dla x ≥ 0 −x + 11    dla x < 9 12     f (x ) = 1/6 dla x = 9  √ 3− x   dla x > 9    9−x 48 / 105 Twierdzenie (Weierstrassa, o osiąganiu kresów) Jeśli funkcja f jest ciągła na przedziale [a, b ] to osiąga kresy zbioru swoich wartości, tzn. ∃m∈[a,b ] ∃M∈[a,b ] ∀x ∈[a,b ] f (m) ≤ f (x ) ≤ f (M ). 49 / 105 Twierdzenie (Bolzano, o własności Darboux, o wartościach pośrednich) Jeśli funkcja f jest ciągła na przedziale [a, b ] oraz f (a ) > f (b ), to f przyjmuje wszystkie wartości pośrednie, tzn. ∀d∈(f (b ),f (a)) ∃c∈(a,b ) f (c ) = d. 50 / 105 Pochodne Niech dana będzie funkcja f : (a, b ) → R oraz punkt c ∈ (a, b ), wówczas pochodną funkcji f w punkcie c nazywamy granicę: f (c + h ) − f (c ) ilorazu różnicowego przy h → 0. h 51 / 105 Oznaczenie f (x0 + h) − f (x0 ) pochodna: f ′ (x0 ) = lim h→0 h inne oznaczenia na f ′ (w różnych książkach i na różnych innych przedmiotach): dy df d ∂f fx′ , , , (f (x )), , y ′, ẏ , Dx f dx dx x =x0 dx ∂x Pochodna funkcji f w punkcie x0 jest równa współczynnikowi kierunkowemu prostej stycznej w punkcie x0 do wykresu funkcji f. 52 / 105 53 / 105 Przykłady stycznych do wykresów funkcji. Wniosek Jeśli funkcja f : R → R dana jest wzorem f (x ) = a · x + b to f ′ (x0 ) = a dla każdego x0 ∈ R. f ′ (x0 ) = limh→0 f (x0 +hh)−f (x0 ) = limh→0 a(x0 +h)+b− h (ax0 +b ) = ax0 +ah+b−ax0 −b ah = limh→0 h = limh→0 h = a. Więc zgadza się z tym, że styczna do danej prostej jest tą samą prostą. 54 / 105 55 / 105 Oznaczenie: f (x0 + h) − f (x0 ) pochodna lewostronna: f−′ (x0 ) = lim h→0− h f ( x 0 + h) − f (x0 ) pochodna prawostronna: f+′ (x0 ) = lim+ h→0 h Uwaga: Pochodna funkcji f w punkcie x0 istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją obie pochodne jednostronne funkcji f w punkcie x0 oraz są sobie równe. Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w przedziale (a, b ) jeżeli f ma skończoną pochodną w każdym punkcie x0 ∈ (a, b ). Funkcja f (x ) = |x | nie jest różniczkowalna, gdyż w punkcie x = 0 f+′ (0) = limh→0+ |h| h h = limh→0+ h = 1, natomiast f−′ (0) = limh→0− |h| −h h = limh→0− h = −1. 56 / 105 Twierdzenie Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x0 , to funkcja f jest ciągła w punkcie x0 Twierdzenie Jeżeli funkcje f oraz g są różniczkowalne, to: (f ± g )′ = f ′ ± g ′ (c · f )′ = c · f ′ dla c ∈ R (f · g ) = f · g + f · g ′ ′ ′  ′ 1 −g ′ = 2 (o ile g (x ) ̸= 0) g g  ′ f f ′ · g − f · g′ = (o ile g (x ) ̸= 0) g g2 Przykłady (x 2 )′ = (x · x )′ = x ′ · x + x · x ′ = 1 · x + x · 1 = 2x 57 / 105 58 / 105  √ Przykład liczenia pochodnej z definicji, dla f (x ) = x Widzimy, że chociaż dziedzina funkcji f to [0, +∞) to dziedziną f ′ jest (0, +∞). 59 / 105 60 / 105 Sytuacje w których funkcja nie ma pochodnej w punkcie x = a. Twierdzenie (sin x )′ = cos x Twierdzenie (ax )′ = ax · ln a dla a > 0 61 / 105 Twierdzenie (pochodna funkcji złożonej) Jeśli istnieje pochodna funkcji g w punkcie x0 oraz pochodna funkcji f w punkcie g (x0 ), to (f ◦ g )′ (x0 ) = f ′ (g (x0 )) · g ′ (x0 ) Twierdzenie (pochodna funkcji odwrotnej) Jeśli f jest funkcją różnowartościową oraz różniczkowalną w punkcie x0 oraz f ′ (x0 ) ̸= 0, to funkcja f −1 jest różniczkowalna w punkcie y0 = f (x0 ) oraz  ′ 1 f −1 (y0 ) = f ′ (x0 ) 62 / 105 Funkcja odwrotna do funkcji liniowej y = ax + b dla a ̸= 0 to 1 b funkcja liniowa x = · y −. a a 63 / 105 Przykłady  π ′ ′ π π     ′ (cos x ) = cos (x + ) − = sin x + = 2 2  2 π π ′ π     cos x + · x+ = cos x + = − sin x 2 2 2 sin x ′ (cos x )(cos x ) − (sin x )(− sin x ) 1   ′ (tg x ) = = 2 = cos x cos x cos2 x ′ cos x −(sin x )(sin x ) − (cos x )(cos x ) 1  (ctg x )′ = = =− 2 sin x sin2 x sin x 1 1 1 (loga x )′ = = y = dla a ∈ R+ \{1} (a y )′ a ln a x · ln a  ′  ′ 1 (x a )′ = (e ln x )a = e a ln x = e a ln x (a ln x )′ = x a · a · = x a · x a−1 dla a ∈ R 64 / 105 Twierdzenie (reguła de L’Hospitala) Jeśli funkcje f , g są różniczkowalne oraz f ′ , g ′ są ciągłe, a ∈ R lub f (x ) a = ±∞, g ′ ̸= 0 w pewnym sąsiedztwie a oraz lim jest typu x →a g (x ) h i ∞ 0 0 lub ∞ , to f (x ) f ′ (x ) lim = lim ′. x →a g (x ) x →a g (x ) Przykłady 1 1 ln(1 + x ) H 1+x 1+0 lim = lim = =1 x →0 x x →0 1 1 ex H ex H ex lim = lim = lim = +∞ x →+∞ x 2 x →+∞ 2x x →+∞ 2 Uwaga Reguła de L’Hospitala działa również w przypadku granic jednostronnych. Na przykład: 1 ln x H lim+ x · ln x = lim+ 1 = lim+ x 1 = lim+ (−x ) = 0. x →0 x →0 x →0 − 2 x →0 x x 65 / 105 Twierdzenie (Rolle’a) Niech funkcja f będzie ciągła w przedziale [a, b ] oraz różniczkowalna w przedziale (a, b ). Jeśli f (a ) = f (b ) to istnieje taki punkt c ∈ (a, b ), że f ′ (c ) = 0. 66 / 105 Niech punkt c ∈ Df , nazywamy go punktem krytycznym funkcji f jeśli f ′ (c ) = 0 lub jeśli f nie jest różniczkowalna w punkcie c. 67 / 105 Funkcja f ma maksimum lokalne w punkcie c ∈ Df jeśli ∃r >0 ∀x ∈Sr (c ) f (x ) < f (c ). Funkcja f ma minimum lokalne w punkcie c ∈ Df jeśli ∃r >0 ∀x ∈Sr (c ) f (x ) > f (c ). Jeśli f ma minimum lokalne lub maksimum lokalne w punkcie c to mówimy, że w c jest ekstremum funkcji f. Twierdzenie Jeśli funkcja ma ekstremum w punkcie c, to punkt c jest punktem krytycznym tej funkcji. Wartość największa czyli inaczej maksimum (globalne) funkcji f to takie M, że ∀x ∈Df f (x ) ⩽ M oraz ∃x ∈Df f (x ) = M. Wartość najmniejsza czyli inaczej minimum (globalne) funkcji f to takie m, że ∀x ∈Df f (x ) ⩾ m oraz ∃x ∈Df f (x ) = m. 68 / 105 Dla danej funkcji ciągłej f określonej na przedziale [a, b ] wiemy (z twierdzenia Weierstrassa), że osiąga ona w tym przedziale swoje maksimum i minimum (globalne). Aby je wyznaczyć wystarczy: 1 znaleźć punkty krytyczne f w przedziale (a, b ), 2 policzyć wartości funkcji f na wszystkich punktach krytycznych, 3 policzyć wartości f (a ) oraz f (b ), 4 najmniejsza z tych wartości to będzie minimum, a największa maksimum. Przykład. Dla funkcji f (x ) = 3x 4 − 4x 3 na przedziale [−1, 2] mamy f ′ (x ) = 12x 3 − 12x 2 = 12x 2 (x − 1), czyli f ′ (x ) jest określona dla każdego x ∈ Df oraz f ′ (x ) = 0 ⇐⇒ x = 0, 1. Zatem zbiór wszystkich punktów krytycznych funkcji f to {0, 1}. Liczymy f (−1) = 7, f (0) = 0, f (1) = −1, f (2) = 16, zatem minimum jest równe -1 (w punkcie x = 1) oraz maksimum jest równe 16 (w punkcie x = 2). 69 / 105 70 / 105 Przykład. Chcemy wykonać pudełko bez pokrywy o podstawie kwadratu. Mamy do zużycia na to materiał o powierzchni 108cm2. Jakie wymiary będzie mieć pudełko jeśli chcemy by miało największą pojemność? 71 / 105 Liczymy pochodną funkcji V (x ), mamy V ′ (x ) = 27 − 43 x 2. Znajdujemy punkty krytyczne: V ′ (x ) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy 27 − 34 x 2 = 0. √ W przedziale [0, 108] daje nam to jedno rozwiązanie x = 6. Sprawdzamy wartość V (x ) w tym punkcie√ oraz na krańcach przedziału: V (0) = 0, V (6) = 108, V ( 108) = 0. Czyli największa pojemność w przypadku gdy x = 6, wtedy h = (108−36 24 ) = 3. Zatem pudełko będzie mieć wymiary 6 cm × 6 cm × 3 cm. 72 / 105 73 / 105 Przykład. √3 Dla funkcji f (x ) = 2x − 3 x 2 na przedziale [−1, 3] mamy f ′ (x ) = 2 − √2 ′ 3 x , czyli f (x ) jest określona dla każdego x poza x = 0 oraz f ′ (x ) = 0 ⇐⇒ x = 1. Czyli zbiór wszystkich punktów krytycznych funkcji f to {0, √ 1}. Liczymy f (−1) = −5, f (0) = 0, f (1) = −1, f (3) = 6 − 3 3 9 ≈ −0, 24 , zatem minimum jest równe -5 (w punkcie x = −1) oraz maksimum jest równe 0 (w x = 0). 74 / 105 Twierdzenie Niech funkcja f będzie ciągła w przedziale [a, b ] oraz różniczkowalna w przedziale (a, b ). Wówczas: jeśli f ′ (x ) > 0 dla każdego x ∈ (a, b ), to funkcja f jest rosnąca w przedziale [a, b ], jeśli f ′ (x ) < 0 dla każdego x ∈ (a, b ), to funkcja f jest malejąca w przedziale [a, b ], jeśli f ′ (x ) = 0 dla każdego x ∈ (a, b ), to funkcja f jest stała w przedziale [a, b ]. 75 / 105 Przykład. Dla funkcji f (x ) = x 3 − 32 x 2. Pochodna f ′ (x ) = 3x 2 − 3x = 3x (x − 1), zatem funkcja f jest malejąca w przedziale (0, 1) oraz rosnąca na przedziałach (−∞, 0) oraz (1, +∞). 76 / 105 Twierdzenie Niech funkcja f będzie ciągła w przedziale [a, b ] oraz posiada punkt krytyczny c ∈ (a, b ). Jeśli f jest różniczkowalna w sąsiedztwie punktu c to wówczas: jeśli f ′ zmienia znak w punkcie c z ujemnego na dodatni, to w punkcie c jest minimum lokalne funkcji f , jeśli f ′ zmienia znak w punkcie c z dodatniego na ujemny, to w punkcie c jest maksimum lokalne funkcji f , jeśli f ′ jest po obu stronach punktu c dodatnia lub po obu stronach ujemna, to w punkcie c nie ma ekstremum funkcji f. 77 / 105 78 / 105 Funkcję różniczkowalną F nazywamy funkcją pierwotną funkcji f , jeśli F ′ (x ) = f (x ) dla każdego x ∈ Df. Jeśli F jest funkcją pierwotną funkcji f , to zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f w danym przedziale jest postaci F (x ) + C , gdzie C jest dowolną liczbą stałą ∈ R. Przykłady 1 Funkcja F (x ) = x 2 + x + 7 jest funkcją pierwotną funkcji f (x ) = 2x + 1, gdyż F ′ (x ) = (x 2 + x + 7)′ = 2x + 1 = f (x ). 2 Funkcja F (x ) = sin x + ln x − 13 jest funkcją pierwotną funkcji f (x ) = cos x + x1 , gdyż F ′ (x ) = (sin x + ln x − 13)′ = cos x + x1 = f (x ). 79 / 105 Uwaga. Nie każda funkcja ma funkcję pierwotną. Przykład.      −1 dla x ∈ (−1, 0),  f (x ) = 0 dla x = 0,     1 dla x ∈ (0, 1).  Twierdzenie Każda funkcja ciągła na danym przedziale ma funkcję pierwotną. Jeśli funkcja f ma funkcję pierwotną F to rodzinę wszystkich funkcji pierwotnych funkcji Z f nazywamy całką (nieoznaczoną) funkcji f i oznaczamy f (x ) dx. Funkcję f w tym przypadku nazywamy funkcję podcałkową, a wyrażenie dx wskazuje, że zmienną po której całkujemy jest x. 80 / 105 Czyli: Z f (x ) dx = F (x ) + C , gdzie C jest dowolną liczbą stałą ∈ R. oraz Z ′ f (x ) dx = f (x ). Wnioski. Z 0 dx = C Z dx = x + C x a +1 Z x a dx = + C dla a ̸= −1 Z a+1 x −1 dx = ln |x | + C Z e x dx = e x + C 81 / 105  ax Z ax dx = + C dla a > 0 Z ln a sin x dx = − cos x + C Z cos x dx = sin x + C 1 Z dx = − ctg x + C sin2 x 1 Z dx = tg x + C cos2 x 82 / 105 Uwaga. Nie każda całka z funkcji elementarnej jest funkcją elementarną. Przykłady sin x Z 1 dx Z x 2 2 e −x dx 1 Z 3 dx ln x 83 / 105 Twierdzenie Z Z  1 c · f (x ) dx = c f (x ) dx dla dowolnej stałej c Z Z  Z  2 f (x ) ± g (x ) dx = f (x ) dx ± g (x ) dx Przykłady. 84 / 105 Całkowanie przez podstawianie 85 / 105 Przykłady. 86 / 105 87 / 105 88 / 105 Całkowanie przez części. Z Z f (x ) · g ′ (x )dx = f (x )g (x ) − f ′ (x ) · g (x )dx Przykłady. 89 / 105 90 / 105 Podwójne użycie całkowania przez części. 91 / 105 Całką (oznaczoną) funkcji ciągłej f w przedziale [a, b ] nazywamy wyrażenie F (b ) − F (a ), gdzie F to funkcja pierwotna do f. Oznaczenie: Z b b F (b ) − F (a ) = f (x ) dx = [F (x )]ba = F (x ) a a Przykład. 92 / 105 Wniosek Z b Z b ! 1 c · f (x ) dx = c f (x ) dx dla dowolnej stałej c a a Z b Z b ! Z b ! 2 f (x ) ± g (x ) dx = f (x ) dx ± g (x ) dx a a a Całkowanie przez części Z b Z b ′ f (x ) · g (x ) dx = [f (x )g (x )]ba − f ′ (x ) · g (x ) dx a a Całkowanie przez podstawianie Z b Z g (b ) ′ f (g (x )) · g (x ) dx = f (t ) dt = F (g (b )) − F (g (a )) a g (a ) 93 / 105 Przykłady. 94 / 105 95 / 105 Twierdzenie Pole powierzchni obszaru ograniczonego wykresem funkcji f (x ) ≥ 0 a osią OX w przedziale [a, b ]. Z b P= f (x )dx a 96 / 105 Twierdzenie Pole obszaru pomiędzy wykresami dwóch funkcji f ≥ g w przedziale [a, b ]. Z b P= f (x ) − g (x )dx a 97 / 105 Przykład. Pole obszaru ograniczonego wykresami dwóch funkcji. 98 / 105 Twierdzenie Niech c ∈ [a, b ] wówczas: Z b Z c  Z b ! f (x ) dx = f (x ) dx + f (x ) dx a a c 99 / 105 Twierdzenie Objętość bryły ograniczonej powierzchnią powstałą z obrotu wykresu funkcji f wokół osi OX w przedziale [a, b ]. Z b V =π f 2 (x )dx a 100 / 105 Przykład. 101 / 105 Objętość stożka o wysokości h i podstawie koła o promieniu r. Z h  2 " #h r2 r2 x3 r 2 h3 Z h r 2 V =π x dx = π 2 x dx = π 2 =π = 0 h h 0 h 3 0 h2 3 1 2 πr h 3 102 / 105 Objętość kuli o promieniu r. Z r p 2 Z r V =π r2 − x2 dx = π (r 2 − x 2 )dx = " −r #r −r 2 x3 2π 3 4 π r x− = 2πr 3 − r = πr 3. 3 −r 3 3 103 / 105 Twierdzenie Pole powierzchni powstałej z obrotu wykresu funkcji f wokół osi OX w przedziale [a, b ]. Z b q S = 2π f (x ) 1 + (f ′ (x ))2 dx a Przykład. Pole powierzchni kuli s o promieniu r. Z r p Z r √ 2 2 2 x2 r − x2 P = 2π r −x 1+ 2 2 dx = 2πr √ dx = −r r −x −r r2 − x2 Z r 2πr dx = 2πr [x ]r−r = 4πr 2. −r Pole powierzchni stożka o wysokości h i podstawie koła o promieniu r. s s " #h r2 x2 Z h 2 r r r p P = 2π x 1 + 2 dx = 2π 1+ 2 = πr h2 + r 2. 0 h h h h 2 0 104 / 105 Przykład. 105 / 105