Funkcje: Wykładnicza i Logarytmiczna

Zasady zaliczenia przedmiotu

• Warunkiem wstępu na egzamin jest zaliczenie ćwiczeń z oceną co najmniej 3.
• Egzamin jest pisemny, bez pomocy kalkulatorów, telefonów, tablic, czy ściąg.
• Egzamin składa się z testu wyboru, sprawdzającego opanowanie i zrozumienie teorii z wykładów.
• Test składa się z 25 pytań, każde z 4 odpowiedziami, z których tylko jedna jest poprawna.
• Ocena końcowa jest przeliczana na procenty efektów uczenia się.

Tabela ocen

• Bardzo dobry (5.0): 91% i więcej
• Dobry plus (4.5): 81-90%
• Dobry (4.0): 71-80%
• Dostateczny plus (3.5): 61-70%
• Dostateczny (3.0): 51-60%
• Niedostateczny (2.0): 50% i mniej
• Wartości procentowe zaokrąglane są do liczb całkowitych zgodnie z zasadami zaokrąglania.
• Warunkiem zdania egzaminu jest uzyskanie minimum 51% maksymalnej liczby punktów, czyli co najmniej 13 dobrych odpowiedzi po zaokrągleniu.
• Osoba, która nie zda egzaminu lub nie zaliczyła ćwiczeń, otrzymuje ocenę niedostateczną.
• Osoba, która nie zdała egzaminu, ale zaliczyła ćwiczenia, może przystąpić do egzaminu poprawkowego (jedna poprawa).
• Dr Michał Jabłonowski prowadzi przedmiot, pokój A220, wydział MFil, e-mail: [email protected].

Pojęcia wstępne

• L∧P oznacza "L i P".
• L∨P oznacza "L lub P".
• ¬P oznacza "nieprawda, że P".
• L⇒P oznacza "jeżeli L, to P".
• L⇔P oznacza "L wtedy i tylko wtedy, gdy P".
• a ∈ A oznacza "element a należy do zbioru A".
• {a∈A : P(a)} lub {a ∈ A | P(a)} oznacza "zbiór wszystkich takich elementów a ze zbioru A, dla których formuła P(a) jest prawdziwa".
• ∅ oznacza "zbiór pusty" (nie posiadający elementów).

Podstawowe działania na zbiorach

• Suma: A∪B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}
• Przekrój: A∩B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}
• Różnica: A\B = {x : x ∈ A ∧ ¬(x ∈ B)}
• Dopełnienie zbioru A (w całej przestrzeni X): Ac = X\A

Twierdzenie (Prawa De Morgana)

• Dla zdań: ¬(P ∧ L) = ¬P ∨ ¬L oraz ¬(P ∨ L) = ¬P ∧ ¬L.
• Dla zbiorów: (A∪B)c = Ac ∩ Bc oraz (A∩B)c = Ac ∪ Bc.

Zbiory liczbowe

• Zbiór liczb naturalnych, oznaczany jako ℕ = {0, 1, 2, …} (czasami ℕ = {1, 2, …}).
• Zbiór liczb całkowitych, oznaczany jako ℤ = {0, 1, -1, 2, -2, …}.
• Zbiór liczb wymiernych, oznaczany jako ℚ = {x : x = p/q, p ∈ ℤ, q ∈ ℤ{0}}.
• Zbiór liczb rzeczywistych, oznaczany jako ℝ, to zbiór wszystkich punktów na prostej.

Kwantyfikatory

• Szczegółowy: ∃x P(x) oznacza „istnieje takie x, że prawdziwa jest forma zdaniowa P(x)”.
• Ogólny: ∀x P(x) oznacza „dla każdego x prawdziwa jest forma zdaniowa P(x)”.
• ∃S(x) P(x) oznacza ∃x (S(x) ∧ P(x)).
• ∀S(x) P(x) oznacza ∀x (S(x) ⇒ P(x)).
• Zbiór A jest równy zbiorowi B: A = B ⇔ ∀x (x ∈ A ⇔ x ∈ B).
• Zbiór A jest zawarty w zbiorze B: A ⊂ B ⇔ ∀x (x ∈ A ⇒ x ∈ B), wówczas taki zbiór A nazywamy podzbiorem zbioru B.

Przykłady zdań prawdziwych

• ∀x∈ℝ x² ≥ 0
• ∃t∈ℤ t³ + 1 = 0
• ∃x∈ℝ (x² ∈ ℚ ∧ x³ ∉ ℚ)
• ∀n∈ℤ{0} ∃x∈ℚ n ⋅ x = 1

Twierdzenie (Prawa De Morgana) dla kwantyfikatorów:

• ¬(∃S(x) P(x)) ⇔ ∀S(x) (¬P(x))
• ¬(∀S(x) P(x)) ⇔ ∃S(x) (¬P(x))

Funkcje

• Funkcją f ze zbioru X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi x ze zbioru X dokładnie jednego elementu y ze zbioru Y.
• Piszemy wówczas f(x) = y, taki element x nazywamy argumentem funkcji f.
• Dziedzina funkcji: Df = {a : ∃b f(a) = b}.
• Zbiór wartości funkcji: Zf = {b : ∃a f(a) = b}.
• Wykres funkcji: {(x, f(x)) : x ∈ Df} ⊂ X × Y.
• Funkcja f jest różnowartościowa, jeśli ∀x1,x2∈Df (x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2)).
• Funkcję odwrotną do funkcji różnowartościowej f, nazywamy taką funkcję f⁻¹, że ∀x∈X ∀y∈Y (f⁻¹(y) = x ⇔ f(x) = y).
• Wykres funkcji y = f⁻¹(x) uzyskać można poprzez symetrię wykresu funkcji y = f(x) względem prostej y = x.
• Zapis f : X → Y oznacza, że Df = X oraz Zf ⊂ Y, zbiór Y nazywamy przeciwdziedziną funkcji f.
• Niech f : X → Y, g : Y → Z, wtedy funkcja h : X → Z dana wzorem ∀x∈X h(x) = g(f(x)) nazywa się złożeniem funkcji f oraz g, oznaczamy ją jako g ∘ f.
• Wtedy f nazywa się funkcją wewnętrzną, natomiast g funkcją zewnętrzną tego złożenia.
• Miejsce zerowe funkcji: {x ∈ Df : f(x) = 0}.
• Funkcję f : X → Y nazywamy rosnącą w zbiorze A ⊂ X, jeśli ∀x1,x2∈A (x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2)).
• Funkcję f : X → Y nazywamy malejącą w zbiorze A ⊂ X, jeśli ∀x1,x2∈A (x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2)).
• Funkcję f : X → Y nazywamy nierosnącą w zbiorze A ⊂ X, jeśli ∀x1,x2∈A (x1 < x2 ⇒ f(x1) ≥ f(x2)).
• Funkcję f : X → Y nazywamy niemalejącą w zbiorze A ⊂ X, jeśli ∀x1,x2∈A (x1 < x2 ⇒ f(x1) ≤ f(x2)).
• Funkcję rosnącą lub malejącą lub nierosnącą lub niemalejącą nazywamy funkcją monotoniczną.

Funkcje elementarne

• Funkcja stała: f : X → Y, jeśli ∃c∈Y ∀x∈X f(x) = c.
• Funkcja wielomianowa: f : ℝ → ℝ jest sumą skończonej liczby jednomianów, f(x) = a0 + a₁x + a₂x² + ... + anxⁿ.
• Gdy an ≠ 0, to liczbę n ∈ ℕ nazywamy stopniem wielomianu f.
• Wielomian stopnia 0 lub 1 to funkcja liniowa, natomiast wielomian stopnia 2 to funkcja kwadratowa.
• Funkcja wymierna: określana jako f(x) = W(x)/G(x), gdzie W, G są funkcjami wielomianowymi oraz G nie jest wielomianem zerowym.
• Wtedy Df = {x ∈ ℝ : G(x) ≠ 0}.
• Funkcja potęgowa: f(x) = xᵃ dla a ∈ ℝ.
• Funkcja wartość bezwzględna: f : ℝ → ℝ, oznaczana jako f(x) = |x|, określona wzorem f(x) = {x dla x ≥ 0, -x dla x < 0}.
• Funkcja wykładnicza: f : ℝ → ℝ określona wzorem f(x) = aˣ dla podstawy a > 0.
• Funkcja logarytmiczna: f : ℝ₊ → ℝ określona wzorem f(x) = logₐx dla podstawy a ∈ ℝ₊ \ {1}.

Równania i nierówności wykładnicze

• Rozwiązuje się je, korzystając z różnowartościowości i monotoniczności funkcji wykładniczej.
• Dla 0 < a ≠ 1: aˣ = aʸ ⇔ x = y.
• Dla 0 < a < 1: aˣ ≤ aʸ ⇔ x ≥ y.
• Dla a > 1: aˣ ≤ aʸ ⇔ x ≤ y.

Logarytmy

• Logarytmem liczby x przy podstawie a (a > 0, a ≠ 1) jest liczba y, dla której aʸ = x, oznaczane jako y = logₐx.
• Oznaczanie: log x = log₁₀x, ln x = logₑx.
• Przykłady: log₂4 = 2, log 1000 = 3, log(9/3) = -2, ln(1/e) = -1, logₐ1 = 0.
• Funkcja logarytmiczna f: (0; +∞) → ℝ określona jest wzorem f(x) = logₐx, gdzie a ≠ 1 oraz a > 0.
• Liczbę a nazywamy podstawą funkcji logarytmicznej f.
• Funkcja logarytmiczna jest odwrotna do funkcji wykładniczej i jest różnowartościowa: logₐx = logₐy ⇔ x = y.

Własności funkcji logarytmicznej

• logₐ(xy) = logₐx + logₐy
• logₐ(x/y) = logₐx - logₐy
• logₐ(xʸ) = y logₐx
• log_b(x) = logₐ(x) / logₐ(b)
• a^(logₐx) = x
• logₐ(aˣ) = x
• Dla a > 1 funkcja logarytmiczna jest rosnąca.
• Dla 0 < a < 1 funkcja logarytmiczna jest malejąca.

Rozwiązywanie równań i nierówności logarytmicznych

• Rozwiązuje się je, korzystając z różnowartościowości i monotoniczności funkcji logarytmicznej.
• Określa się dziedzinę równania lub nierówności.
• Następnie stosuje się właściwości funkcji logarytmicznej, aby uprościć równanie lub nierówność.
• Dla 0 < a ≠ 1: logₐx = logₐy ⇔ x = y.
• Dla 0 < a < 1: logₐx ≤ logₐy ⇔ x ≥ y.
• Dla a > 1: logₐx ≤ logₐy ⇔ x ≤ y.

Funkcje trygonometryczne

• f(x) = sin(x), gdzie Df = ℝ, Zf = [-1, 1]
• f(x) = cos(x), gdzie Df = ℝ, Zf = [-1, 1]
• f(x) = tg(x), gdzie Df = ℝ \ {(2k+1)π/2 : k ∈ ℤ}, Zf = ℝ
• f(x) = ctg(x), gdzie Df = ℝ \ {kπ : k ∈ ℤ}, Zf = ℝ
• Miarą łukową kąta nazywamy stosunek długości łuku, opartego na tym kącie, do promienia okręgu.
• Miarę łukową kąta podajemy w radianach.
• sin α = y/r
• cos α = x/r
• tg α = y/x
• ctg α = x/y

Własności funkcji trygonometrycznych

• Funkcja f(x) = cos(x) jest parzysta: ∀x∈ℝ cos(-x) = cos(x).
• Funkcja f(x) = sin(x) jest nieparzysta: ∀x∈ℝ sin(-x) = -sin(x).
• Funkcja f(x) = tg(x) jest nieparzysta: ∀x∈Df tg(-x) = -tg(x).
• Funkcja f(x) = ctg(x) jest nieparzysta: ∀x∈Df ctg(-x) = -ctg(x).
• sin² x + cos² x = 1
• tg x = sin x / cos x
• ctg x = 1 / tg x
• cos 2x = cos² x – sin² x = 2 cos² x − 1 = 1 – 2 sin² x

Granice i ciągłość funkcji

• Sąsiedztwem punktu a ∈ ℝ o promieniu r > 0 nazywamy zbiór Sr(a) = (a - r, a) ∪ (a, a + r).
• Oznaczenie: lim(x→a) f(x) = g oznacza, że "liczba g jest granicą funkcji f w punkcie a".
• Warunek Cauchy'ego: lim(x→a) f(x) = g ⇔ ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈Sδ(a) |f(x) - g| < ε.
• Istnieje co najwyżej jedna granica funkcji w danym punkcie.
• Znane granice:
  • lim(x→0) sin x / x = 1
  • lim(x→0) (1 + x)^(1/x) = e
  • lim(x→+∞) aˣ = { 0 dla 0 < a < 1, +∞ dla a > 1 }

Definicje granic

• lim(x→a) f(x) = +∞, jeśli ∀M∈ℝ ∃δ>0 ∀x∈Sδ(a) f(x) > M.
• lim(x→a) f(x) = -∞, jeśli ∀M∈ℝ ∃δ>0 ∀x∈Sδ(a) f(x) < m.

Twierdzenie o granicach funkcji

• Jeżeli istnieją lim(x→a) f(x) oraz lim(x→a) g(x), wówczas:
  • lim(x→a) (f(x) ± g(x)) = lim(x→a) f(x) ± lim(x→a) g(x)
  • lim(x→a) c ⋅ f(x) = c ⋅ (lim(x→a) f(x)) dla c ∈ ℝ
  • lim(x→a) (f(x) ⋅ g(x)) = (lim(x→a) f(x)) ⋅ (lim(x→a) g(x))
  • lim(x→a) (f(x) / g(x)) = lim(x→a) f(x) / lim(x→a) g(x) dla g(x) ≠ 0 w sąsiedztwie punktu a oraz lim(x→a) g(x) ≠ 0
  • lim(x→a) (f(x)ˣ) = (lim(x→a) f(x))^(lim(x→a) g(x)) (o ile działania po obu stronach są wykonalne)

Twierdzenia o dwóch i trzech funkcjach

• Jeżeli ∀x f(x) ≤ g(x) oraz istnieją lim(x→a) f(x) i lim(x→a) g(x), to lim(x→a) f(x) ≤ lim(x→a) g(x). Jeżeli lim(x→a) h(x) = lim(x→a) g(x) oraz ∀x h(x) ≤ f(x) ≤ g(x), to lim(x→a) f(x) = lim(x→a) h(x) = lim(x→a) g(x).

Granice jednostronne

• lim(x→a⁻) f(x) = g - bierzemy sąsiedztwo lewostronne, tzn. x < a
• lim(x→a⁺) f(x) = g - bierzemy sąsiedztwo prawostronne, tzn. x > a
• Granica funkcji w punkcie istnieje, gdy granice jednostronne istnieją i są równe.
• lim(x→x₀) f(x) = g, jeśli lim(x→x₀⁻) f(x) = g = lim(x→x₀⁺) f(x)

Asymptoty

• Prosta p jest asymptotą danej krzywej k, jeśli dla punktu oddalającego się nieograniczenie wzdłuż krzywej k, odległość tego punktu od prostej p dąży do zera.
• Jeśli funkcja nie jest określona w a, to w tym punkcie ma asymptotę pionową o równaniu x=a, jeżeli istnieje granica niewłaściwa.
• Asymptota lewostronna: lim(x→a⁻) f(x) = ±∞
• Asymptota prawostronna: lim(x→a⁺) f(x) = ±∞
• Asymptota obustronna: lim(x→a⁻) f(x) = ±∞ oraz lim(x→a⁺) f(x) = ±∞ Parametry asymptoty poziomej i ukośnej y = ax + b wyznacza się jako granice.

Asymptota prawostronna

 a = lim(x→+∞) [f(x)/x] oraz b = lim(x→+∞) [f(x) - ax]

Asymptota lewostronna

 a = lim(x→-∞) [f(x)/x] oraz b = lim(x→-∞) [f(x) - ax]

• Jeśli jedna z granic wyznaczających a lub b nie istnieje lub jest niewłaściwa, to wykres nie ma odpowiedniej (prawo- lub lewostronnej) asymptoty ukośnej ani poziomej.
• Jeśli a = 0, to wyznaczona asymptota jest pozioma (równoległa do osi odciętych).

Ciągłość funkcji

• Funkcja f jest ciągła w punkcie a ⇔ ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈(a-δ, a+δ) |f(x) - f(a)| < ε ⇔ lim(x→a) f(x) = f(a).
• Funkcja f jest ciągła, jeśli jest ciągła w każdym punkcie dziedziny.
• Jeśli funkcje f oraz g są ciągłe w punkcie a, to ciągłe w punkcie a są również funkcje: f ± g, f ⋅ g, f/g (o ile g(a) ≠ 0).
• Jeśli funkcja f jest ciągła w punkcie a, a funkcja g jest ciągła w punkcie f(a), to funkcja g ∘ f jest ciągła w punkcie a.
• Jeśli funkcja f : [a, b] → ℝ jest ciągła oraz różnowartościowa, a Y = Zf, to funkcja f⁻¹ : Y → [a, b] jest ciągła.
• Dowolna funkcja elementarna (tzn. stała, liniowa, kwadratowa, wielomianowa, wymierna, potęgowa, wykładnicza, logarytmiczna, wartość bezwzględna, trygonometryczna) jest ciągła w swojej dziedzinie.
• Twierdzenie Weierstrassa (o osiąganiu kresów): Jeśli funkcja f jest ciągła na przedziale [a, b], to osiąga kresy zbioru swoich wartości, tzn. ∃m∈[a,b] ∃M∈[a,b] ∀x∈[a,b] f(m) ≤ f(x) ≤ f(M).
• Twierdzenie Bolzano (o własności Darboux, o wartościach pośrednich): Jeśli funkcja f jest ciągła na przedziale [a, b] oraz f(a) > f(b), to f przyjmuje wszystkie wartości pośrednie, tzn. ∀d∈(f(b),f(a)) ∃c∈(a,b) f(c) = d.

Pochodne

• Niech dana będzie funkcja f : (a, b) → ℝ oraz punkt c ∈ (a, b), wówczas pochodną funkcji f w punkcie c nazywamy granicę ilorazu różnicowego [f(c + h) – f(c)] / h przy h → 0.

Oznaczenia pochodnej

• f'(x₀) = lim(h→0) f(x₀ + h) - f(x₀)) / h
• Inne oznaczenia: f'x, dy/dx, df/dx|x=x0, d/dx(f(x)), ∂f/∂x, y', ẏ, Dxf.
• Pochodna funkcji f w punkcie x₀ jest równa współczynnikowi kierunkowemu prostej stycznej w tym punkcie do wykresu funkcji f.
• Równanie stycznej: y - f(x₀) = f'(x₀) (x - x₀

Pochodna jednostronna

• Pochodna lewostronna: f'-(x₀) = lim(h→0-) [f(x₀ + h) - f(x₀)] / h
• Pochodna prawostronna: f'+(x₀) = lim(h→0+) [f(x₀ + h) - f(x₀)] / h
• Pochodna funkcji f w punkcie x₀ istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją obie pochodne jednostronne funkcji f w punkcie x₀ oraz są sobie równe.
• Funkcja f jest różniczkowalna w przedziale (a, b), jeżeli f ma skończoną pochodną w każdym punkcie x₀ ∈ (a, b).
• Funkcja f(x) = |x| nie jest różniczkowalna w punkcie x = 0, gdyż f'-(0) = -1 oraz f'+(0) = 1.

Twierdzenia o pochodnych

• Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x₀, to funkcja f jest ciągła w punkcie x₀.
• Jeżeli funkcje f oraz g są różniczkowalne, to: ◦ (f ± g)' = f' ± g' ◦ (c ⋅ f)' = c ⋅ f' dla c ∈ ℝ ◦ (f ⋅ g)' = f' ⋅ g + f ⋅ g' ◦ (1/g)' = -g' / g² (o ile g(x) ≠ 0) ◦ (f/g)' = (f' ⋅ g - f ⋅ g') / g² (o ile g(x) ≠ 0)
• Twierdzenie o pochodnej funkcji złożonej: (f ∘ g)'(x₀) = f'(g(x₀)) ⋅ g'(x₀)
• Twierdzenie o pochodnej funkcji odwrotnej: (f⁻¹)'(y₀) = 1 / f'(x₀), gdzie y₀ = f(x₀) oraz f'(x₀ ≠ 0
• Jeśli funkcja f : ℝ → ℝ dana jest wzorem f(x) = a ⋅ x + b, to f'(x₀) = a dla każdego x₀ ∈ ℝ
• (sin x)' = cos x, (aˣ)' = aˣ ⋅ ln a dla a > 0.

Twierdzenie (reguła de L'Hospitala)

• Jeśli funkcje f, g są różniczkowalne oraz f', g' są ciągłe, a ∈ ℝ lub a = ±∞, g' ≠ 0 w pewnym sąsiedztwie oraz lim(x→a) [f(x) / g(x)] jest typu [0/0] lub [∞/∞], to lim(x→a) [f(x) / g(x)] = lim(x→a) [f'(x) / g'(x)].
• Reguła de L'Hospitala działa również w przypadku granic jednostronnych.
• Twierdzenie Rolle'a: Niech funkcja f będzie ciągła w przedziale [a, b] oraz różniczkowalna w przedziale (a, b). Jeśli f(a) = f(b), to istnieje taki punkt c ∈ (a, b), że f'(c) = 0.
• Punkt c ∈ Df, nazywamy punktem krytycznym funkcji f, jeśli f'(c) = 0 lub jeśli f nie jest różniczkowalna w punkcie c.
• Funkcja f ma maksimum lokalne w punkcie c ∈ Df, jeśli ∃r>0 ∀x∈Sr(c) f(x) < f(c).
• Funkcja f ma minimum lokalne w punkcie c ∈ Df, jeśli ∃r>0 ∀x∈Sr(c) f(x) > f(c).
• Jeśli f ma minimum lokalne lub maksimum lokalne w punkcie c, to mówimy, że w c jest ekstremum funkcji f
• Wartość największa (maksimum globalne) funkcji f to takie M, że ∀x∈Df f(x) ≤ M oraz ∃x∈Df f(x) = M
• Wartość najmniejsza (minimum globalne) funkcji f to takie m, że ∀x∈Df f(x) ≥ m oraz ∃x∈Df f(x) = m
• Jeśli funkcja osiąga ekstremum w punkcie c, to punkt c jest punktem krytycznym tej funkcji.
• Twierdzenie: Niech funkcja f będzie ciągła w przedziale [a, b] oraz różniczkowalna w przedziale (a, b). Wówczas:
  • jeśli f'(x) > 0 dla każdego x ∈ (a, b), to funkcja f jest rosnąca w przedziale [a, b];
  • jeśli f'(x) < 0 dla każdego x ∈ (a, b), to funkcja f jest malejąca w przedziale [a, b];
  • jeśli f'(x) = 0 dla każdego x ∈ (a, b), to funkcja f jest stała w przedziale [a, b].
• Twierdzenie: Niech funkcja f będzie ciągła w przedziale [a, b] oraz posiada punkt krytyczny c ∈ (a, b). Jeśli f jest różniczkowalna w sąsiedztwie punktu c to wówczas:
  • jeśli f' zmienia znak w punkcie c z ujemnego na dodatni, to w punkcie c jest minimum lokalne funkcji f;
  • jeśli f' zmienia znak w punkcie c z dodatniego na ujemny, to w punkcie c jest maksimum lokalne funkcji f;
  • jeśli f' jest po obu stronach punktu c dodatnia lub po obu stronach ujemna, to w punkcie c nie ma ekstremum funkcji f.
  • Funkcję różniczkowalną F nazywamy funkcją pierwotną funkcji f, jeśli F'(x) = f(x) dla każdego x ∈ Df.
• Jeśli F jest funkcją pierwotną funkcji f, to zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f w danym przedziale jest postaci F(x) + C, gdzie C jest dowolną liczbą stałą ∈ ℝ.
• Przykłady funkcji pierwotnych:
  • F(x) = x² + x + 7 jest funkcją pierwotną funkcji f(x) = 2x + 1, gdyż F'(x) = 2x + 1 = f(x).
  • F(x) = sin x + ln x - 13 jest funkcją pierwotną funkcji f(x) = cos x + 1/x, gdyż F'(x) = cos x + 1/x = f(x).

Całki

• Nie każda funkcja ma funkcję pierwotną.
• Każda funkcja ciągła na danym przedziale ma funkcję pierwotną.
• Jeśli funkcja f ma funkcję pierwotną F, to rodzinę wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f nazywamy całką (nieoznaczoną) funkcji f i oznaczamy ∫f(x) dx.
• Funkcję f w tym przypadku nazywamy funkcją podcałkową, a wyrażenie dx wskazuje, że zmienną po której całkujemy jest x.
• ∫f(x) dx = F(x) + C, gdzie C jest dowolną liczbą stałą ∈
• Wnioski: ∫0 dx = C, ∫dx = x + C, ∫xᵃ dx = [x^(a+1)]/(a+1) + C dla a ≠ -1, ∫x⁻¹ dx = ln|x| + C, ∫eˣ dx = eˣ + C ∫aˣ dx = aˣ/ln a + C dla a> 0, ∫sin x dx = - cos x + C, ∫cos x dx = sin x + C, ∫[1/sin²x] dx = - ctg x + C, ∫[1/cos²x] dx = tg x + C

Twierdzenia o całkach

• c·f(x) dx = c (( f(x) dx) dla dowolnej stałej c f(x) dx) ± ( ( g(x) dx) .f f(x) ± g(x) dx = (
• Całkowanie przez podstawienie: ∫f(g(x))g'(x) dx = F(g(x)) + C, gdzie u = g(x), du = g'(x) dx, ∫f(u) du = F(u) + C.
• Całkowanie przez części: ∫f(x) ⋅ g'(x) dx = f(x)g(x) - ∫f'(x) ⋅ g(x) dx

Całka oznaczona

• Całką (oznaczoną) funkcji ciągłej f w przedziale [a, b] nazywamy wyrażenie F(b) – F(a), gdzie F to funkcja pierwotna do f,
• Oznaczana jest jako F(b) - F(a) = ∫ab f(x)dx = |F(x)]ba = F(x)a|b
• Jeśli funkcja f(x) >= 0 na [a, b] to pole powierzchni pod wykresem funkcji wynosi P = ∫ab f(x)dx
• Jeśli f, g są funkcjami takimi, że f(x) >= g(x), to pole pomiędzy ich wykresami na przedziale [a,b] wynosi P = ∫ab f(x) – g(x) dx

Objętość

• Objętość bryłu powstałej z obrotu f(x) wokół osi OX z przedziału [a,b] V = π ∫ab f²(x)dx

Sprawdź swoją wiedzę z zakresu funkcji wykładniczych i logarytmicznych. Rozwiąż zadania dotyczące własności logarytmów, monotoniczności funkcji oraz dziedziny. Zmierz się z upraszczaniem wyrażeń i określaj złożenia funkcji.