Limit Calculation PDF

**Giải:** \ [lim *u*~*n*~]{.math.display}\ **Bước 1:** Xét bậc của tử số và mẫu số. \ [*n*]{.math.display}\ \ [*n*^2^ + 1]{.math.display}\ \ [*n*]{.math.display}\ A. Bậc của mẫu số nhỏ hơn bậc của tử số. B. Bậc của mẫu số bằng bậc của tử số. C. Bậc của mẫu số lớn hơn bậc của tử số. D. Không...

**Giải:** \ [lim *u*~*n*~]{.math.display}\ **Bước 1:** Xét bậc của tử số và mẫu số. \ [*n*]{.math.display}\ \ [*n*^2^ + 1]{.math.display}\ \ [*n*]{.math.display}\ A. Bậc của mẫu số nhỏ hơn bậc của tử số. B. Bậc của mẫu số bằng bậc của tử số. C. Bậc của mẫu số lớn hơn bậc của tử số. D. Không thể so sánh bậc của tử số và mẫu số. **Đáp án đúng:** C. Bậc của mẫu số lớn hơn bậc của tử số. **Giải thích:** Tử số có bậc 1, mẫu số có bậc 2, nên bậc của mẫu số lớn hơn bậc của tử số. \ [*n*^2^]{.math.display}\ \ [\$\$\\mathit{u}\_{\\mathit{n}} = \\frac{\\mathit{n}}{\\mathit{n}\^{2} + 1} = \\frac{\\frac{\\mathit{n}}{\\mathit{n}\^{2}}}{\\frac{\\mathit{n}\^{2} + 1}{\\mathit{n}\^{2}}} = \\frac{\\frac{1}{\\mathit{n}}}{1 + \\frac{1}{\\mathit{n}\^{2}}}\$\$]{.math.display}\ \ [*n* → ∞]{.math.display}\ A. Cả hai đều tiến tới 0. B. Cả hai đều tiến tới vô cùng. \ [\$\$\\frac{1}{\\mathit{n}}\$\$]{.math.display}\ \ [\$\$\\frac{1}{\\mathit{n}}\$\$]{.math.display}\ **Đáp án đúng:** A. Cả hai đều tiến tới 0. \ [*n* → ∞]{.math.display}\ \ [*u*~*n*~]{.math.display}\ \ [\$\$\\lim\_{\\mathit{n} \\rightarrow \\infty}\\mspace{2mu}\\mathit{u}\_{\\mathit{n}} = \\lim\_{\\mathit{n} \\rightarrow \\infty}\\mspace{2mu}\\frac{\\frac{1}{\\mathit{n}}}{1 + \\frac{1}{\\mathit{n}\^{2}}} = \\frac{0}{1 + 0} = 0\$\$]{.math.display}\ \ [lim~*n* → ∞~ *u*~*n*~ = 0]{.math.display}\ \ [lim *v*~*n*~ = 0]{.math.display}\ **Cách 1: Sử dụng bất đẳng thức** **Bước 1:** Sử dụng tính chất của hàm cosin: \ [\$\$- 1 \\leq \\cos\\frac{\\mathit{\\pi}}{\\mathit{n}} \\leq 1\$\$]{.math.display}\ \ [cos *x*]{.math.display}\ \ [ − 1 ≤ cos *x* ≤ 1]{.math.display}\ \ [0 ≤ cos *x* ≤ 1]{.math.display}\ \ [ − 1 ≤ cos *x* ≤ 0]{.math.display}\ \ [cos *x* ≥ 1]{.math.display}\ \ [ − 1 ≤ cos *x* ≤ 1]{.math.display}\ \ [ − 1]{.math.display}\ \ [\$\$\\frac{\\mathit{n}}{\\mathit{n}\^{2} + 1}\$\$]{.math.display}\ \ [\$\$- \\frac{\\mathit{n}}{\\mathit{n}\^{2} + 1} \\leq \\mathit{v}\_{\\mathit{n}} \\leq \\frac{\\mathit{n}}{\\mathit{n}\^{2} + 1}\$\$]{.math.display}\ \ [\$\$\\lim\_{\\mathit{n} \\rightarrow \\infty}\\mspace{2mu}\\frac{\\mathit{n}}{\\mathit{n}\^{2} + 1} = 0\$\$]{.math.display}\ A. 1 B. 0 \ [ − 1]{.math.display}\ D. Không tồn tại **Đáp án đúng:** B. 0 \ [*a*~*n*~ ≤ *b*~*n*~ ≤ *c*~*n*~]{.math.display}\ \ [lim~*n* → ∞~ *v*~*n*~ = 0]{.math.display}\ **Cách 2: Sử dụng khai triển Taylor** \ [*x* = 0]{.math.display}\ \ [\$\$\\cos\\mathit{x} = 1 - \\frac{\\mathit{x}\^{2}}{2} + \\mathit{o}(\\mathit{x}\^{2})\$\$]{.math.display}\ \ [cos *x*]{.math.display}\ \ [\$\$- \\frac{\\mathit{x}}{2}\$\$]{.math.display}\ \ [\$\$- \\frac{\\mathit{x}\^{2}}{2}\$\$]{.math.display}\ \ [\$\$\\frac{\\mathit{x}\^{3}}{6}\$\$]{.math.display}\ \ [\$\$- \\frac{\\mathit{x}\^{4}}{24}\$\$]{.math.display}\ \ [\$\$- \\frac{\\mathit{x}\^{2}}{2}\$\$]{.math.display}\ \ [cos *x*]{.math.display}\ \ [\$\$\\cos\\mathit{x} = 1 - \\frac{\\mathit{x}\^{2}}{2} + \\frac{\\mathit{x}\^{4}}{24} - \\cdots\$\$]{.math.display}\ \ [\$\$- \\frac{\\mathit{x}\^{2}}{2}\$\$]{.math.display}\ \ [\$\$\\mathit{x} = \\frac{\\mathit{\\pi}}{\\mathit{n}}\$\$]{.math.display}\ \ [\$\$\\cos\\frac{\\mathit{\\pi}}{\\mathit{n}} = 1 - \\frac{\\left( \\frac{\\mathit{\\pi}}{\\mathit{n}} \\right)\^{2}}{2} + \\mathit{o}\\left( \\frac{1}{\\mathit{n}\^{2}} \\right)\$\$]{.math.display}\ \ [*v*~*n*~]{.math.display}\ \ [\$\$\\mathit{v}\_{\\mathit{n}} = \\frac{\\mathit{n}\\left( 1 - \\frac{\\mathit{\\pi}\^{2}}{2\\mathit{n}\^{2}} + \\mathit{o}\\left( \\frac{1}{\\mathit{n}\^{2}} \\right) \\right)}{\\mathit{n}\^{2} + 1}\$\$]{.math.display}\ \ [\$\$\\frac{\\mathit{n}}{\\mathit{n}\^{2} + 1}\$\$]{.math.display}\ \ [\$\$\\frac{1}{\\mathit{n}}\$\$]{.math.display}\ \ [\$\$\\frac{1}{\\mathit{n}\^{2}}\$\$]{.math.display}\ \ [*n*]{.math.display}\ D. 1 \ [\$\$\\frac{1}{\\mathit{n}}\$\$]{.math.display}\ \ [*n*]{.math.display}\ \ [\$\$\\frac{\\mathit{n}}{\\mathit{n}\^{2} + 1} \\approx \\frac{\\mathit{n}}{\\mathit{n}\^{2}} = \\frac{1}{\\mathit{n}}\$\$]{.math.display}\ \ [*v*~*n*~]{.math.display}\ \ [\$\$\\mathit{v}\_{\\mathit{n}} = \\frac{\\mathit{n}}{\\mathit{n}\^{2} + 1}\\left( 1 - \\frac{\\mathit{\\pi}\^{2}}{2\\mathit{n}\^{2}} + \\mathit{o}\\left( \\frac{1}{\\mathit{n}\^{2}} \\right) \\right)\$\$]{.math.display}\ \ [\$\$= \\left( \\frac{1}{\\mathit{n}} \\right)\\left( 1 - \\frac{\\mathit{\\pi}\^{2}}{2\\mathit{n}\^{2}} + \\mathit{o}\\left( \\frac{1}{\\mathit{n}\^{2}} \\right) \\right)\$\$]{.math.display}\ \ [\$\$= \\frac{1}{\\mathit{n}} - \\frac{\\mathit{\\pi}\^{2}}{2\\mathit{n}\^{3}} + \\mathit{o}\\left( \\frac{1}{\\mathit{n}\^{3}} \\right)\$\$]{.math.display}\ \ [*v*~*n*~]{.math.display}\ \ [\$\$\\lim\_{\\mathit{n} \\rightarrow \\infty}\\mspace{2mu}\\mathit{v}\_{\\mathit{n}} = \\lim\_{\\mathit{n} \\rightarrow \\infty}\\mspace{2mu}\\left( \\frac{1}{\\mathit{n}} - \\frac{\\mathit{\\pi}\^{2}}{2\\mathit{n}\^{3}} + \\mathit{o}\\left( \\frac{1}{\\mathit{n}\^{3}} \\right) \\right) = 0\$\$]{.math.display}\ \ [*n* → ∞]{.math.display}\ A. Cả ba đều tiến tới 0. B. Cả ba đều tiến tới vô cùng. \ [\$\$\\frac{1}{\\mathit{n}}\$\$]{.math.display}\ \ [\$\$\\mathit{o}\\left( \\frac{1}{\\mathit{n}\^{3}} \\right)\$\$]{.math.display}\ **Đáp án đúng:** A. Cả ba đều tiến tới 0. \ [*n* → ∞]{.math.display}\ \ [lim~*n* → ∞~ *v*~*n*~ = 0]{.math.display}\ **Tóm lại:** \ [lim~*n* → ∞~ *u*~*n*~ = 0]{.math.display}\ \ [lim~*n* → ∞~ *v*~*n*~ = 0]{.math.display}\ \ [*v*~*n*~]{.math.display}\