Bài tập toán A1 PDF

BÀI TẬP TOÁN A1 √ 2014 1 Bài 1 Tìm phần thực và phần ảo của số phức z = (1 + 3i) + √ (1 + 3i)2014 Bài 2 Giải các phương trình sau trên tập...

BÀI TẬP TOÁN A1 √ 2014 1 Bài 1 Tìm phần thực và phần ảo của số phức z = (1 + 3i) + √ (1 + 3i)2014 Bài 2 Giải các phương trình sau trên tập số phức: √ 1) z 3 − 1 + 3i = 0 2) z 4 + z = 0 z 22=+z1)(z 2 + i) = i 4) z 2 − (2 + i)z − (1 + 5) (z 3) √ Bài 3 Giải phương trình z 2 + 2 3z + 4 = 0 trên tập số phức. Gọi z1 , z2 là 2 nghiệm của phương trình trên, hãy tính z12014 + z22014 √ Bài 4 Tìm luỹ thừa bậc 6 và các căn bậc 3 của số phức z = 3 − i Bài 5 Tính các giới hạn: 1 πx [1 − (cos x)sin x ] tan 1) lim 2) lim (cos x) sin x 3) lim (2 − x) 2 x→0 x3 x→0 x→0 x2 1 cos(2x) − 1 e −1 sin x 2 4) lim 5) lim 6) lim ( )x x→0 arctan4 x x→0 ln cos(2x) x→0 x 1 cos(x2 ) − 1 x + 1 2x 7) lim (1 + sin 2x) 3x 8) lim 4 9) lim ( ) x→0 x→0 tan x x→∞ x 1 x2 2 √ x − sin x cos x − e 2 10) lim (1 + tan x) 3x 11) lim 12) lim x→0 2 x→∞ x + sin x x→0 sin4 x x x e − cos x e −x−1 e − e2x 5x 13) lim 14) lim 15) lim x→0 sin2 x x→0 tan2 x x→0 ln(1 + 2x) 2 ln(1 + x) − x 16) lim x2 (1 − cos[ )] 17lim 18) lim (1 + sin 2x)tan x x→∞ x x→0 x2 x→0 2 etan 5x − etan 3x ln(1 + x) − x ex − cos x 19) lim 20) lim 2 21) lim x→0 ln(1 + 3x) x→0 esin x − 1 √ x→0 1 − cos x x 2 √ 3 e − cos x 1 + 2x − 1 + 3x 1 22) lim 2 23) lim 2 24) lim ( 2 − cot2 x) x→0 sin x x→0 x x→0 x ln(1 + x3 ) ln x − 1 x2 − 4 25) lim 26) lim 27) lim x→0 tan x − x x→e x − e x→−2 tan(x + 2) √ √ 1 + tan x − 1 − tan x x − sin x 1 − (cos x)sin x 28)lim 29) lim 30)lim x→0 sin x x→∞ x + sin x x→0 x3 ) x 1 e − ex 31) lim [x − x2 ln(1 + )] 32)lim x→∞ x x→1 (1 − x) ln x  e − e−x  x , khi x 6= 0 Bài 6 Xác định a để hàm số f (x) = sin 3x liên tục tại x = 0. a , khi x = 0 1  ( ax2 + 1 , khi x > 1 Bài 7 Xác định a để hàm số f (x) = liên tục trên R. −x , khi x ≤ 1   (x − 1)3 , x ≤ 0 Bài 8 Xác định a, b để hàm số f (x) = ax + b , 0 < x < 1 liên tục trên R.  √ x ,x ≥ 1  2  ln x , khi x > 0, x 6= 1 Bài 9 Tính đạo hàm của hàm số f (x) = x − 1 0 , khi x = 1  ( e2x , khi x 6= 0 Bài 10 Cho hàm số f (x) =. Tính f 0 (x). 1 , khi x = 0   ln x , khi x > 1 Bài 11 Cho hàm số f (x) = x − 1. 1 , khi x ≤ 1 1. Xét tính liên tục của hàm số. 2. Tính đạo hàm của hàm số tại những điểm hàm số có đạo hàm.  xα sin( 1 ) , khi x 6= 0 Bài 12 Xét tính khả vi của hàm số f (x) = x tại x = 0 0 , khi x = 0 π − arctanx Bài 13 Cho hàm số f (x) = 2 1 ln(1 + ) x 1. Tính f 0 (x). 2. Tính lim f (x) x→∞ ( ex , khi x 6= 0 Bài 14 Cho hàm số f (x) = a , khi x = 0 1. Tìm a để hàm số liên tục tại x = 0. 2. Với a = 1, tính f 0 (0). 2    sin x − x , khi x 6= 0 Bài 15 Cho hàm số f (x) = 6x2 a + 1 , khi x = 0 1. Tìm a để hàm số liên tục tại x = 0. 2. Với giá trị a vừa tìm được, xét tính khả vi của hàm số tại x = 0 và tính f 0 (0) nếu có.   ln(1 + 5x2 ) , khi x 6= 0 Bài 16 Tìm a để hàm số f (x) = 2 tan2 x liên tục tại x = 0 a , khi x = 0  x + x2 cos( 1 ) , khi x 6= 0 Bài 17 Cho hàm số f (x) = x2 a , khi x = 0 1. Tìm a để hàm số liên tục tại x = 0. 2. Với giá trị a tìm được ở trên, hàm số f (x) có khả vi tại x = 0 không? Tại sao? Bài 18 Tính đạo hàm cấp một các hàm số sau: 1 1. y = x x , (x > 0) Z cos x 2. y = cos(t2 )dt sin x x 3. y = ex 4. y = (x2 + 1)2x 5. y = (x + ex )−x p √ 2 0 π Bài 19 Cho hàm số y = cos x. Tìm miền xác định và tính y ( ) 12 Bài 20 Cho hàm số y = f (x3 ) với f là hàm khả vi. Tìm y 00 Bài 21 Viết khai triển Maclaurin đến cấp n của hàm số f (x) = xe3x+1. Tính f(2014) (0). sin x Bài 22 Cho hàm số f (x) =. Viết khai triển Maclaurin của hàm số f (x) đến số 1+x hạng chứa x5 3  2 Bài 23 Viết công thức khai triển Maclaurin của hàm số f (x) = ex+x đến số hạng chứa x3 với phần dư Peano. Bài 24 Viết công thức khai triển Maclaurin của hàm số f (x) = ln(x2 + 3x + 2) Bài 25 Viết công thức khai triển Maclaurin của hàm số f (x) = ex sin x đến x5. Dựa vào khai triển đó tính f (5) (0) 1 Bài 26 Viết khai triển Maclaurin của hàm số f (x) = 2x + 3 Bài 27 Viết công thức khai triển Maclaurin của hàm f (x) = sin x−cos x. Tính f (2014) (0) 1+x 4 Bài 28 Dùng khai triển Maclaurin của hàm số y = 3 để tính tổng S = 1 + + (1 − x) 2 n2... + +... 2n−1 ( 0 , khi x < 0 Bài 29 Cho hàm số f (x) = 8(1 − e−2x ) , khi x ≥ 0 1. Chứng minh rằng hàm số liên tục tại x = 0. 2. Khảo sát sự biền thiên và vẽ đồ thị hàm số trên ( x = 2t − t2 Bài 30 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số của hàm cho theo tham số: y = 3t − t3 Bài 31 Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau trong hệ toạ độ cực: 1. r = 3 − 2 cos 2ϕ π 2. r = sin(ϕ + ) 2 3. r = 5 − 3 sin 6ϕ 4. r = 2 + 3 sin 3ϕ Bài 32 Cho r = 2(1 + cos ϕ) 1. Vẽ đường cong trong hệ toạ độ cực 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi phần trong của đường cong trên và miền x2 + y 2 ≥ 9 4 Bài 33 Cho r = a sin 3ϕ(a > 0) 1. Vẽ đường cong trong hệ toạ độ cực 2. Tính diện tích miền D giới hạn bởi đường cong trên. Bài 34 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: x2 1. y = x2 , y = , y = 2x 2 2. y 2 = 2x, y = 4 − x 3. xy = 1, xy = 2, y = x, x > 0, y > 0 4. y = 2, y = x, y = 0, y = (x − 4)2 5. y = 2x − x2 , x + y = 0 6. y = x2 , y = x, x = 2 1 + ex Bài 35 Cho hàm số y = ln( ) ex − 1 1. Tìm dy 2. Tính độ dài cung khi x biến thiên từ 1 đến 2 ( x + 1 , khi x ≤ 1 Bài 36 Cho hàm số f (x) = x2 , khi x > 1 1. Xét tính liên tục của hàm số tại x = 1 Z 2 2. Tính f (x)dx 0 Bài 37 Tính các tích phân suy rộng: Z +∞ Z +∞ Z +∞ xdx dx 1) 2 2 2) 3 3) e−x dx Z1 +∞ (2 + x ) Z0 2 1 + x2 Z0 +∞ x x 4) √ dx 5) √ dx 6) xe−x dx x 2+1 x 2 − 1 ln(x) 1 Z +∞ 1 Z e Z1 5 dx dx xdx 7) 2 2 8) √ 9) √ 1 (1 + x ) Z1 9x ln x 1 1−x 1 2 2−x Z Z dx x+5 10) √ 11) √ 3 dx 12) √ dx 0 Z +∞ x + x Z +∞ 1 x − 1 Z e 0 x 2−1 arctan x dx dx 13) 2 dx 2 1 x 1 x (x2 + 1) 2 0 x(1 + ln x) 5 Bài 38 Xét sự hội tụ của các tích phân suy rộng: Z 1 Z 1 Z +∞ dx dx dx 1) 2) 3) √ Z0 1 x − sin x Z0 +∞ tan x − sin x Z0 1 x + x3 ln x ln x xn 4) 2 dx 5) 2 dx 6) √ dx(n ∈ N, n > 1) 1+x Z0 2014 Z0 +∞ 1 + x Z 02014 1 − x 4 dx 2 + sin x dx 7) √ 8) 2 dx 9) √ √ 4 Z0 +∞ x − 2014 4 Z1 +∞ x 0Z 3 x + 2 4 x + x3 2 x + sin x ex − e 10) 2−x dx 11) e−x dx 12) p dx x (x 2 − 1)3 Z2 2 Z0 2 1 Z 1 x+1 dx x 13) √ dx 14) √ dx 15) dx 1 x 3 + x + 5 0 16 − x 4 0 sin x − tan x sin( x1 ) Z +∞ Z +∞ Z +∞ cos x + 2 sin x | sin x| 16) dx 17) dx 18) √ √ dx x x2 x+ 3x Z1 +∞ 1 Z0 +∞ Z1 +∞ ex − 1 dx 19) √ dx 20) 2+ √ 21) e−x dx 1 Z π x − x 1 Z +∞ x x Z0 2 2 x 2 e2 − 1 22) tan xdx 23) e− 2 dx 24) dx Z0 2 2 Z0 1 √ Z0 1 (1 − cos√ x)2 x 1−x ln(1 + 3 x) 25) dx 26) dx 27) dx 1 ln x 0 x 0 esin x − 1 Z +∞ Bài 39 Xác định a để ae|x| dx = 1 −∞ R x e2t Z +∞ 2x e 1 t2 dx Bài 40 Chứng minh rằng tích phân dx phân kỳ ra +∞. Tính lim 1 x2 x→+∞ e2x Bài 41 Xét sự hội tụ của các chuỗi số: ∞ ∞ ∞ X 1 1 X n! X cos na 1) (−1)n sin( √ ) tan( ) 2) 3) n=1 n n n=1 nn n=1 n2 ∞ ∞ ∞ X 1+n X1 1 X ln(n3 ) 4) (1 − ) 5) sin( ) 6) n=1 n3 n=2 n ln n n=1 2n ∞ ∞ ∞ X √ X nn 2 X n + 3 n2 +1 7) ( n2 + 1 − n) 8) (−1) n 9) ( ) n=1 n=1 2 n=1 n+4 ∞ ∞ ∞ X n2 π + π X n 4 (n + 1)! X n+1 10) sin( ) 11) 12) (−1)n 2 n=1 n n=1 (3n)! n=1 √ 2n − 5 ∞ X n2 ∞ X n2 + n + 1 X 3n+1−√ ∞ 3 n 13) 14) ln( 2 ) 15) n=1 n! n=1 n +n−1 n=1 n 6  ∞ √ √ ∞ ∞ X n+1− n−1 X 3n + 1 n X n! 16) 17) ( ) 18) n=1 n n=1 2n − 1 n=1 nn ∞ ∞ ∞ X 1 X 1 X n3 19) n2 tan( ) 20) (−1)n+1 √ 21) n=1 2n n=1 2n + 1 n=1 2n ∞ ∞ ∞ X n2 2n X n n+1 n X n4n 22) 23) 2 ( ) 24) n=1 3n n=1 2n + 1 n=1 32n + n Bài 42 Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm: ∞ ∞ ∞ X 7n n! X 3n + (−2)n X cos nx 1) (x − e)n 2) xn 3) √ n=1 nn n=1 n n=1 n n + cosn x ∞ ∞ ∞ X n! X xn+2 X xn 4) 5) 6) n=1 (2nx)n n=0 (n + 1)(n + 2) n=1 n2n ∞ ∞ ∞ X 1 1−x n X 2n + 3n X xn 7) ( ) 8) n+1 n+1 xn 9) n=2 2n + 1 1 + x n=2 2 +3 n=1 2n + 3n ∞ ∞ ∞ X (−1)n X (−1)n xn X (x − 4)n 10) 11) √ 12) √ n=1 n(2x)n n=1 3 n n=1 n ∞ ∞ ∞ X xn X (−1)n x n X 32n 13) 14) √ ( ) 15) xn n=2 n ln2 n n=2 2 n+1 3−x n n=1 n! ∞ ∞ ∞ X 7n n! X (−1)n+1 X n+1 n 16) n (x − e)n 17) 18) 2 (x − 3)n n=1 n n=1 n3n (x − 5)n n=1 ∞ ∞ ∞ X xn X 1 X 1 19) 20) (3x − 1)n 21) √ (2x − 1)n n=1 2n + 1 n=3 n ln n n=1 3+ n x3 Bài 43 Khai triển hàm số f (x) = thành chuỗi luỹ thừa cùa x 1 + 2x2 Bài 44 Khai triển hàm số f (x) = ln(x + 3) thành chuỗi luỹ thừa cùa (x − 3) Bài 45 Khai triển hàm số f (x) = ln(x + 5) thành chuỗi luỹ thừa cùa (x − 1) Bài 46 Khai triển thành chuỗi Fourier các hàm số sau, biết chúng là hàm tuần hoàn với chu kì T = 2π: ( ( 1 , khi − π ≤ x < 0 sin(2t) , khi 0 ≤ t < π 1) f (x) = 2) f (x) = 2 , khi0 ≤ x ≤ π 0 , khiπ ≤ t ≤ 2π ( ( 2π + x , khi − π ≤ x < 0 π , khi − π ≤ x < 0 3) f (x) = 4) f (x) = 0 , khi0 ≤ x ≤ π π − x , khi0 ≤ x ≤ π 7  0 , khi − π ≤ x < 0, π ≤ x ≤ π  5) f (x) = 2 1 , khi0 ≤ x ≤ π 2 ( −1 , khi − π ≤ x < 0 Bài 47 Khai triển thành chuỗi Fourier hàm số f (x) =. Sử 1 , khi0 ≤ x ≤ π +∞ X (−1)n dụng khai triển này để tính tổng n=0 2n + 1 ( π − x , khi 0 ≤ x ≤ π Bài 48 Khai triển thành chuỗi Fourier hàm số f (x) =. Áp 0 , khiπ < x < 2π ∞ X (−1)n+1 dụng khai triển đó để tính tổng S = n=1 2n − 1 Bài 49 Khai triển thành chuỗi Fourier hàm số f (x) = sin x trên đoạn [−π; π]. Áp dụng 1 1 1 khai triển đó để tính tổng S = + + +... 1.3 3.5 5.7 8