Cours d'Analyse 3 : Suites et Compacts - PDF

Quelques éléments topologiques : IV - Suites, Compacts. Equipe pédagogique du module Analyse 3: Pr. B. AZEROUAL et Pr. M. CHERKAOUI Ecole Nationale des Sciences Appliquées de Tétouan COURS - 2AP2...

Quelques éléments topologiques : IV - Suites, Compacts. Equipe pédagogique du module Analyse 3: Pr. B. AZEROUAL et Pr. M. CHERKAOUI Ecole Nationale des Sciences Appliquées de Tétouan COURS - 2AP2 DLT 2020 1/1 Suites Définition (1.11) Soit (E, d) un espace métrique. Si (xn ) ⊂ E une suite et x ∈ E, alors par définition xn → x ((xn ) converge vers x) si et seulement si d (xn , x) → 0. n→+∞ n→+∞ Une suite (xn ) est convergente s’il existe un x ∈ E tel que xn → x. on écrit alors x = lim xn. n→+∞ n→+∞ Suites Définition (1.11) Soit (E, d) un espace métrique. Si (xn ) ⊂ E une suite et x ∈ E, alors par définition xn → x ((xn ) converge vers x) si et seulement si d (xn , x) → 0. n→+∞ n→+∞ Une suite (xn ) est convergente s’il existe un x ∈ E tel que xn → x. on écrit alors x = lim xn. n→+∞ n→+∞ Suites Définition (1.11) Soit (E, d) un espace métrique. Si (xn ) ⊂ E une suite et x ∈ E, alors par définition xn → x ((xn ) converge vers x) si et seulement si d (xn , x) → 0. n→+∞ n→+∞ Une suite (xn ) est convergente s’il existe un x ∈ E tel que xn → x. on écrit alors x = lim xn. n→+∞ n→+∞ Suites Définition (1.11) Soit (E, d) un espace métrique. Si (xn ) ⊂ E une suite et x ∈ E, alors par définition xn → x ((xn ) converge vers x) si et seulement si d (xn , x) → 0. n→+∞ n→+∞ Une suite (xn ) est convergente s’il existe un x ∈ E tel que xn → x. on écrit alors x = lim xn. n→+∞ n→+∞ Suites Définition (1.11) Soit (E, d) un espace métrique. Si (xn ) ⊂ E une suite et x ∈ E, alors par définition xn → x ((xn ) converge vers x) si et seulement si d (xn , x) → 0. n→+∞ n→+∞ Une suite (xn ) est convergente s’il existe un x ∈ E tel que xn → x. on écrit alors x = lim xn. n→+∞ n→+∞ Suites Extraites et Valeurs d’Adhérences. Remarque (1.4)   Soit xϕ(n) une suite extraite de (xn ). Si xn → x alors xϕ(n) → x. n→+∞ n→+∞ Définition (1.12) Soit (E, d) un espace métrique. Si (xn ) ⊂ E une suite et x ∈ E, alors par définition x valeur d’adhérence   de (xn ) s’il existe une suite extraite xϕ(n) telle que xϕ(n) → x. n→+∞ Suites Extraites et Valeurs d’Adhérences. Remarque (1.4)   Soit xϕ(n) une suite extraite de (xn ). Si xn → x alors xϕ(n) → x. n→+∞ n→+∞ Définition (1.12) Soit (E, d) un espace métrique. Si (xn ) ⊂ E une suite et x ∈ E, alors par définition x valeur d’adhérence   de (xn ) s’il existe une suite extraite xϕ(n) telle que xϕ(n) → x. n→+∞ Suites Extraites et Valeurs d’Adhérences. Remarque (1.4)   Soit xϕ(n) une suite extraite de (xn ). Si xn → x alors xϕ(n) → x. n→+∞ n→+∞ Définition (1.12) Soit (E, d) un espace métrique. Si (xn ) ⊂ E une suite et x ∈ E, alors par définition x valeur d’adhérence   de (xn ) s’il existe une suite extraite xϕ(n) telle que xϕ(n) → x. n→+∞ Suites Extraites et Valeurs d’Adhérences. Remarque (1.4)   Soit xϕ(n) une suite extraite de (xn ). Si xn → x alors xϕ(n) → x. n→+∞ n→+∞ Définition (1.12) Soit (E, d) un espace métrique. Si (xn ) ⊂ E une suite et x ∈ E, alors par définition x valeur d’adhérence   de (xn ) s’il existe une suite extraite xϕ(n) telle que xϕ(n) → x. n→+∞ Suites Extraites et Valeurs d’Adhérences. Remarque (1.4)   Soit xϕ(n) une suite extraite de (xn ). Si xn → x alors xϕ(n) → x. n→+∞ n→+∞ Définition (1.12) Soit (E, d) un espace métrique. Si (xn ) ⊂ E une suite et x ∈ E, alors par définition x valeur d’adhérence   de (xn ) s’il existe une suite extraite xϕ(n) telle que xϕ(n) → x. n→+∞ Proposition (1.11) Si xn → x alors x est la seule valeur d’adhérence de la suite (xn ). n→+∞ En particulier la limite d’une suite convergente est unique. Preuve. x est une valeur d’adhérence car la suite extraite (xn ) converge vers x. Soit y une autre valeur d’adhérence de (xn ). Il existe alors une suite   extraite xϕ(n) de (xn ) telle que xϕ(n) → y. n→+∞ On suppose par l’absurde que y 6= x. Alors d (x, y) > 0. Proposition (1.11) Si xn → x alors x est la seule valeur d’adhérence de la suite (xn ). n→+∞ En particulier la limite d’une suite convergente est unique. Preuve. x est une valeur d’adhérence car la suite extraite (xn ) converge vers x. Soit y une autre valeur d’adhérence de (xn ). Il existe alors une suite   extraite xϕ(n) de (xn ) telle que xϕ(n) → y. n→+∞ On suppose par l’absurde que y 6= x. Alors d (x, y) > 0. Proposition (1.11) Si xn → x alors x est la seule valeur d’adhérence de la suite (xn ). n→+∞ En particulier la limite d’une suite convergente est unique. Preuve. x est une valeur d’adhérence car la suite extraite (xn ) converge vers x. Soit y une autre valeur d’adhérence de (xn ). Il existe alors une suite   extraite xϕ(n) de (xn ) telle que xϕ(n) → y. n→+∞ On suppose par l’absurde que y 6= x. Alors d (x, y) > 0. Proposition (1.11) Si xn → x alors x est la seule valeur d’adhérence de la suite (xn ). n→+∞ En particulier la limite d’une suite convergente est unique. Preuve. x est une valeur d’adhérence car la suite extraite (xn ) converge vers x. Soit y une autre valeur d’adhérence de (xn ). Il existe alors une suite   extraite xϕ(n) de (xn ) telle que xϕ(n) → y. n→+∞ On suppose par l’absurde que y 6= x. Alors d (x, y) > 0. Proposition (1.11) Si xn → x alors x est la seule valeur d’adhérence de la suite (xn ). n→+∞ En particulier la limite d’une suite convergente est unique. Preuve. x est une valeur d’adhérence car la suite extraite (xn ) converge vers x. Soit y une autre valeur d’adhérence de (xn ). Il existe alors une suite   extraite xϕ(n) de (xn ) telle que xϕ(n) → y. n→+∞ On suppose par l’absurde que y 6= x. Alors d (x, y) > 0.  d(x,y) Posons ε = 2 > 0. xn → x, ⇒ xϕ(n) → x, et ∃N1 t. q. n→+∞ n→+∞   d xϕ(n) , x < ε si ϕ(n) ≥ N1. De même, du fait que xϕ(n) → y, ∃N2 t. q. n→+∞   d xϕ(n) , y < ε si ϕ(n) ≥ N2. Pour ϕ(n) ≥ N = max (N1 , N2 ), on a     d(x, y) ≤ d xϕ(n) , x + d xϕ(n) , y < 2ε = d (x, y). Ce qui est absurde.  d(x,y) Posons ε = 2 > 0. xn → x, ⇒ xϕ(n) → x, et ∃N1 t. q. n→+∞ n→+∞   d xϕ(n) , x < ε si ϕ(n) ≥ N1. De même, du fait que xϕ(n) → y, ∃N2 t. q. n→+∞   d xϕ(n) , y < ε si ϕ(n) ≥ N2. Pour ϕ(n) ≥ N = max (N1 , N2 ), on a     d(x, y) ≤ d xϕ(n) , x + d xϕ(n) , y < 2ε = d (x, y). Ce qui est absurde.  d(x,y) Posons ε = 2 > 0. xn → x, ⇒ xϕ(n) → x, et ∃N1 t. q. n→+∞ n→+∞   d xϕ(n) , x < ε si ϕ(n) ≥ N1. De même, du fait que xϕ(n) → y, ∃N2 t. q. n→+∞   d xϕ(n) , y < ε si ϕ(n) ≥ N2. Pour ϕ(n) ≥ N = max (N1 , N2 ), on a     d(x, y) ≤ d xϕ(n) , x + d xϕ(n) , y < 2ε = d (x, y). Ce qui est absurde.  d(x,y) Posons ε = 2 > 0. xn → x, ⇒ xϕ(n) → x, et ∃N1 t. q. n→+∞ n→+∞   d xϕ(n) , x < ε si ϕ(n) ≥ N1. De même, du fait que xϕ(n) → y, ∃N2 t. q. n→+∞   d xϕ(n) , y < ε si ϕ(n) ≥ N2. Pour ϕ(n) ≥ N = max (N1 , N2 ), on a     d(x, y) ≤ d xϕ(n) , x + d xϕ(n) , y < 2ε = d (x, y). Ce qui est absurde.  d(x,y) Posons ε = 2 > 0. xn → x, ⇒ xϕ(n) → x, et ∃N1 t. q. n→+∞ n→+∞   d xϕ(n) , x < ε si ϕ(n) ≥ N1. De même, du fait que xϕ(n) → y, ∃N2 t. q. n→+∞   d xϕ(n) , y < ε si ϕ(n) ≥ N2. Pour ϕ(n) ≥ N = max (N1 , N2 ), on a     d(x, y) ≤ d xϕ(n) , x + d xϕ(n) , y < 2ε = d (x, y). Ce qui est absurde.  d(x,y) Posons ε = 2 > 0. xn → x, ⇒ xϕ(n) → x, et ∃N1 t. q. n→+∞ n→+∞   d xϕ(n) , x < ε si ϕ(n) ≥ N1. De même, du fait que xϕ(n) → y, ∃N2 t. q. n→+∞   d xϕ(n) , y < ε si ϕ(n) ≥ N2. Pour ϕ(n) ≥ N = max (N1 , N2 ), on a     d(x, y) ≤ d xϕ(n) , x + d xϕ(n) , y < 2ε = d (x, y). Ce qui est absurde.  d(x,y) Posons ε = 2 > 0. xn → x, ⇒ xϕ(n) → x, et ∃N1 t. q. n→+∞ n→+∞   d xϕ(n) , x < ε si ϕ(n) ≥ N1. De même, du fait que xϕ(n) → y, ∃N2 t. q. n→+∞   d xϕ(n) , y < ε si ϕ(n) ≥ N2. Pour ϕ(n) ≥ N = max (N1 , N2 ), on a     d(x, y) ≤ d xϕ(n) , x + d xϕ(n) , y < 2ε = d (x, y). Ce qui est absurde. Théorème (1.1 (Théorème de Bolzano-Weierstrass.)) Toute suite bornée d’éléments dans Rn possède au moins une valeur d’adhérence. Caractérisation des ensembles à l’aide des suites Proposition (1.12) Soit (E, d) un espace métrique. On a   F = x ∈ E / ∃ (xn ) ⊂ F t. q. xn → x n→+∞ Théorème (1.1 (Théorème de Bolzano-Weierstrass.)) Toute suite bornée d’éléments dans Rn possède au moins une valeur d’adhérence. Caractérisation des ensembles à l’aide des suites Proposition (1.12) Soit (E, d) un espace métrique. On a   F = x ∈ E / ∃ (xn ) ⊂ F t. q. xn → x n→+∞ Théorème (1.1 (Théorème de Bolzano-Weierstrass.)) Toute suite bornée d’éléments dans Rn possède au moins une valeur d’adhérence. Caractérisation des ensembles à l’aide des suites Proposition (1.12) Soit (E, d) un espace métrique. On a   F = x ∈ E / ∃ (xn ) ⊂ F t. q. xn → x n→+∞ Théorème (1.1 (Théorème de Bolzano-Weierstrass.)) Toute suite bornée d’éléments dans Rn possède au moins une valeur d’adhérence. Caractérisation des ensembles à l’aide des suites Proposition (1.12) Soit (E, d) un espace métrique. On a   F = x ∈ E / ∃ (xn ) ⊂ F t. q. xn → x n→+∞ Preuve. Montrons la double inclusion.   ? Soit x ∈ x ∈ E / ∃ (xn ) ⊂ F t. q. xn → x. n→+∞ Soit ε > 0, ∃n0 t. q. d (xn , x) < ε, ∀n ≥ n0. ⇒ xn0 ∈ B (x, ε) ∩ F ⇒ B (x, ε) ∩ F 6= ∅. Proposition 1.8 ⇒ x ∈ F. Preuve. Montrons la double inclusion.   ? Soit x ∈ x ∈ E / ∃ (xn ) ⊂ F t. q. xn → x. n→+∞ Soit ε > 0, ∃n0 t. q. d (xn , x) < ε, ∀n ≥ n0. ⇒ xn0 ∈ B (x, ε) ∩ F ⇒ B (x, ε) ∩ F 6= ∅. Proposition 1.8 ⇒ x ∈ F. Preuve. Montrons la double inclusion.   ? Soit x ∈ x ∈ E / ∃ (xn ) ⊂ F t. q. xn → x. n→+∞ Soit ε > 0, ∃n0 t. q. d (xn , x) < ε, ∀n ≥ n0. ⇒ xn0 ∈ B (x, ε) ∩ F ⇒ B (x, ε) ∩ F 6= ∅. Proposition 1.8 ⇒ x ∈ F. Preuve. Montrons la double inclusion.   ? Soit x ∈ x ∈ E / ∃ (xn ) ⊂ F t. q. xn → x. n→+∞ Soit ε > 0, ∃n0 t. q. d (xn , x) < ε, ∀n ≥ n0. ⇒ xn0 ∈ B (x, ε) ∩ F ⇒ B (x, ε) ∩ F 6= ∅. Proposition 1.8 ⇒ x ∈ F. ? Soit x ∈ F. Pour n ∈ N, d’après la proposition (1.8), on considère un   1 xn ∈ F ∩ B x, n+1 (6= ∅), 1 alors (xn ) ⊂ F et d (xn , x) < n+1 ⇒ xn → x. n→+∞ Proposition (1.13) Soit (E, d) un espace métrique. F est un fermé ⇔ ∀ (xn ) ⊂ F convergente, on a lim xn ∈ F. n→+∞ ? Soit x ∈ F. Pour n ∈ N, d’après la proposition (1.8), on considère un   1 xn ∈ F ∩ B x, n+1 (6= ∅), 1 alors (xn ) ⊂ F et d (xn , x) < n+1 ⇒ xn → x. n→+∞ Proposition (1.13) Soit (E, d) un espace métrique. F est un fermé ⇔ ∀ (xn ) ⊂ F convergente, on a lim xn ∈ F. n→+∞ ? Soit x ∈ F. Pour n ∈ N, d’après la proposition (1.8), on considère un   1 xn ∈ F ∩ B x, n+1 (6= ∅), 1 alors (xn ) ⊂ F et d (xn , x) < n+1 ⇒ xn → x. n→+∞ Proposition (1.13) Soit (E, d) un espace métrique. F est un fermé ⇔ ∀ (xn ) ⊂ F convergente, on a lim xn ∈ F. n→+∞ ? Soit x ∈ F. Pour n ∈ N, d’après la proposition (1.8), on considère un   1 xn ∈ F ∩ B x, n+1 (6= ∅), 1 alors (xn ) ⊂ F et d (xn , x) < n+1 ⇒ xn → x. n→+∞ Proposition (1.13) Soit (E, d) un espace métrique. F est un fermé ⇔ ∀ (xn ) ⊂ F convergente, on a lim xn ∈ F. n→+∞ Preuve. ⇒) Si x tel que (xn ) ⊂ F avec xn → x alors lim xn = x ∈ F = F n→+∞ n→+∞ (car F est fermé) ⇐) Soit x ∈ F , alors ∃ (xn ) ⊂ F t.q. xn → x. Or lim xn = x ∈ F n→+∞ n→+∞ et donc F ⊂ F. On a toujours F ⊂ F. D’où F est un fermé. Preuve. ⇒) Si x tel que (xn ) ⊂ F avec xn → x alors lim xn = x ∈ F = F n→+∞ n→+∞ (car F est fermé) ⇐) Soit x ∈ F , alors ∃ (xn ) ⊂ F t.q. xn → x. Or lim xn = x ∈ F n→+∞ n→+∞ et donc F ⊂ F. On a toujours F ⊂ F. D’où F est un fermé. Preuve. ⇒) Si x tel que (xn ) ⊂ F avec xn → x alors lim xn = x ∈ F = F n→+∞ n→+∞ (car F est fermé) ⇐) Soit x ∈ F , alors ∃ (xn ) ⊂ F t.q. xn → x. Or lim xn = x ∈ F n→+∞ n→+∞ et donc F ⊂ F. On a toujours F ⊂ F. D’où F est un fermé. PARTIE COMPACTE Définition (1.13) Une partie K 6= ∅ d’un espace métrique (E, d) est dite compacte si de toute suite (xn ) de points de K on peut extraire une sous-suite convergente vers un élément de K (la propriété de Bolzano-Weierstrass). Proposition (1.13) Toute partie compacte de E est fermée et bornée. PARTIE COMPACTE Définition (1.13) Une partie K 6= ∅ d’un espace métrique (E, d) est dite compacte si de toute suite (xn ) de points de K on peut extraire une sous-suite convergente vers un élément de K (la propriété de Bolzano-Weierstrass). Proposition (1.13) Toute partie compacte de E est fermée et bornée. PARTIE COMPACTE Définition (1.13) Une partie K 6= ∅ d’un espace métrique (E, d) est dite compacte si de toute suite (xn ) de points de K on peut extraire une sous-suite convergente vers un élément de K (la propriété de Bolzano-Weierstrass). Proposition (1.13) Toute partie compacte de E est fermée et bornée. PARTIE COMPACTE Définition (1.13) Une partie K 6= ∅ d’un espace métrique (E, d) est dite compacte si de toute suite (xn ) de points de K on peut extraire une sous-suite convergente vers un élément de K (la propriété de Bolzano-Weierstrass). Proposition (1.13) Toute partie compacte de E est fermée et bornée. Exemple (1.5) - Une partie finie d’un espace métrique est compacte. - R muni de la distance usuelle, n’est pas compact ; puisque la suite xn = n, n’admet pas de valeur d’adhérence. Corollaire (1.3) Un sous-ensemble fermé d’une partie compacte est aussi compacte. Exemple (1.5) - Une partie finie d’un espace métrique est compacte. - R muni de la distance usuelle, n’est pas compact ; puisque la suite xn = n, n’admet pas de valeur d’adhérence. Corollaire (1.3) Un sous-ensemble fermé d’une partie compacte est aussi compacte. Exemple (1.5) - Une partie finie d’un espace métrique est compacte. - R muni de la distance usuelle, n’est pas compact ; puisque la suite xn = n, n’admet pas de valeur d’adhérence. Corollaire (1.3) Un sous-ensemble fermé d’une partie compacte est aussi compacte. Démonstration. Il suffit d’appliquer la définition de la compacité et la caractérisation séquentielle d’un fermé. Théorème (1.2, Théorème de Borel-Lebesgue.) K compacte de Rn ⇔ K est un fermé et borné. Exemple (1.6) Qn Le pavé i=1 [ai , bi ] est un compact de Rn. Démonstration. Il suffit d’appliquer la définition de la compacité et la caractérisation séquentielle d’un fermé. Théorème (1.2, Théorème de Borel-Lebesgue.) K compacte de Rn ⇔ K est un fermé et borné. Exemple (1.6) Qn Le pavé i=1 [ai , bi ] est un compact de Rn. Démonstration. Il suffit d’appliquer la définition de la compacité et la caractérisation séquentielle d’un fermé. Théorème (1.2, Théorème de Borel-Lebesgue.) K compacte de Rn ⇔ K est un fermé et borné. Exemple (1.6) Qn Le pavé i=1 [ai , bi ] est un compact de Rn.