Analyse 1 H10a 2020 PDF - Getallenreeksen en Machtreeksen

GETALLENREEKSEN en MACHTREEKSEN Wiskundige basistechnieken, Calculus Prof. Dr. Dirk Keppens Bachelor 1 Industriële ingenieurswetenschappen KULeuven, FIIW, Technologiecampus Gent OVERZICHT Getallenrijen 10.2 Getallenreeksen 10.3 Machtreeksen...

GETALLENREEKSEN en MACHTREEKSEN Wiskundige basistechnieken, Calculus Prof. Dr. Dirk Keppens Bachelor 1 Industriële ingenieurswetenschappen KULeuven, FIIW, Technologiecampus Gent OVERZICHT Getallenrijen 10.2 Getallenreeksen 10.3 Machtreeksen 10.4 ANALYSE 1 HOOFDSTUK 10 2 10.2 Getallenrijen Getallenrijen Wat ? f : ! 0 → !, n ! f (n) Getallenrij = reëelwaardige functie met als domein de verzameling van de natuurlijke getallen (zonder nul) Notatie : f (1), f (2),..., f (n),... Of kortweg u1 , u2 ,..., un ,... Getallenrij met (un ) n∈! algemene term un 0 ANALYSE 1 HOOFDSTUK 10 33 10.2 Getallenrijen Getallenrijen Hoe bepalen ? Mogelijkheid 1 : door een functievoorschrift un = f ( n ) = 2n 2, 4, 6,..., 2n,... rij van de even natuurlijke getallen 1 1 1 1 un = f ( n ) = 1, , ,..., ,... n 2 3 n rij van de omgekeerden van de natuurlijke getallen = harmonische rij ANALYSE 1 HOOFDSTUK 10 44 10.2 Getallenrijen Mogelijkheid 1 : door een functievoorschrift 2𝑛 ! rij van Catalan 𝑢! = 𝑛 + 1 ! 𝑛! 1, 2, 5, 14, 42, 132, … Eugène Catalan (1814-1894) is het aantal verschillende manieren waarop n+1 factoren compleet tussen haakjes kunnen worden gezet is het aantal manieren waarop een convexe veelhoek met n+2 zijden in driehoeken kan worden verdeeld. ANALYSE 1 HOOFDSTUK 10 55 10.2 Getallenrijen Getallenrijen Hoe bepalen ? Mogelijkheid 2 : door een recursievergelijking un = un-1 + v vb.: 1, 4, 7,10,... rekenkundige rij (R.R.) un = un-1. q 1 1 1 vb.: 1, , , ,... 3 9 27 meetkundige rij (M.R.) ANALYSE 1 HOOFDSTUK 10 66 10.2 Getallenrijen Mogelijkheid 2: door recursievergelijking Rij van Fibonacci : u1 = 1 en u2 = 1 un = un-2 + un-1 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … ANALYSE 1 HOOFDSTUK 10 77 10.2 Getallenrijen Mogelijkheid 2: door recursievergelijking Rij van Recamán : 0, 1, 3, 6, 2, 7, 13, 20, 12, 21, 11, 22, 10,… On-line encyclopedia of integer sequences (OEIS) https://oeis.org/ ANALYSE 1 HOOFDSTUK 10 88 10.2 Getallenrijen Convergentie - divergentie : lim un = L ∈ ! n→+∞ rij (un ) is CONVERGENT #% ∞ lim un = $ n→+∞ %& bestaat niet rij (un ) is DIVERGENT ANALYSE 1 HOOFDSTUK 10 99 10.2 Getallenrijen Elke rekenkundige rij met v ¹ 0 is divergent 1, 3, 5, 7,... (v = 2) ® +¥ 2, - 1, - 4, - 7,...(v = -3) ® -¥ lim un = lim[u1 + (n -1)v] = ±¥ n®+¥ n®+¥ ANALYSE 1 HOOFDSTUK 10 10 10 10.2 Getallenrijen Elke meetkundige rij met | q | < 1 is convergent Elke meetkundige rij met | q | > 1 is divergent 1 1 1 1 1, , , ,... (q = ) ®0 3 9 27 3 2, - 4, 8, - 16,... (q = -2) ®? n -1 lim un = lim [u1.q ] = afhankelijk van q n ®+¥ n ®+¥ ANALYSE 1 HOOFDSTUK 10 11 11 10.2 Getallenrijen Rij van Fibonacci is divergent, maar rij van de verhoudingen is convergent un un−2 + un−1 L = lim = lim n→∞ u n→∞ un−1 n−1 un−2 1 = lim +1 = +1 n→∞ u L n−1 1+ 5 Þ L= » 1, 618 2 j = GULDEN SNEDE ANALYSE 1 HOOFDSTUK 10 12 12 10.2 Getallenrijen Gulden snede Luca Pacioli (15de eeuw) : De divina proportione Michael Maestlin (16de eeuw) : eerste decimale benadering Johannes Kepler (16de eeuw) : Die Geometrie birgt zwei große Schätze: der eine ist der Satz von Pythagoras, der andere der Goldene Schnitt. Den ersten können wir mit einem Scheffel Gold vergleichen, den zweiten können wir ein kostbares Juwel nennen. ANALYSE 1 HOOFDSTUK 10 13 13 10.2 Getallenrijen Gulden snede ANALYSE 1 HOOFDSTUK 10 14 14 10.2 Getallenrijen Gulden snede www.goldennumber.net ANALYSE 1 HOOFDSTUK 10 15 15 10.2 Getallenrijen Gulden snede ANALYSE 1 HOOFDSTUK 10 16 16 10.2 Getallenrijen Convergentie - divergentie : Een naar boven begrensde stijgende rij is convergent Voorbeeld : 2, 2 + 2 , 2 + 2 + 2 ,... recursief bepaald door u1 = 2 en un+1 = 2 + un Een naar onder begrensde dalende rij is convergent 1 1.3 1.3.5 1.3.5.!(2n −1) Voorbeeld : , , ,..., 2 2.4 2.4.6 2.4.6.!2n ANALYSE 1 HOOFDSTUK 10 17 17 10.3 Getallenreeksen Getallenreeksen Wat ? algemene term ∑u n = u1 + u2 +... + un +... Getallenreeks = optelling met “oneindig veel” termen Met elke reeks is een rij van partieelsommen geassocieerd s1 = u1 s2 = u1 + u2 ! sn = u1 + u2 +"+ un ANALYSE 1 HOOFDSTUK 10 18 18 10.3 Getallenreeksen ∑u n = u1 + u2 +... + un +... PROBLEEM : Wat is de “som” van een getallenreeks ? Twee mogelijkheden : EINDIGE som of NIET Convergente reeks Divergente reeks 1 1 1 1 1 1 1 + + + +... 1 + + + +... 4 9 16 2 3 4 ANALYSE 1 HOOFDSTUK 10 19 19 10.3 Getallenreeksen åu n = u1 + u2 +... + un +... lim un ∈ ! ∑u n convergent n→+∞ lim sn ∈ ! ∑u n convergent n→+∞ Convergentie van een reeks hangt samen met convergentie van haar rij van partieelsommen! ANALYSE 1 HOOFDSTUK 10 20 20 10.3 Getallenreeksen Meetkundige reeksen åu n n -1 met un = aq , dus a + aq + aq +... 2 a is convergent als | q |< 1 en heeft reekssom 1- q Voorbeelden : 1 + 3 + 9 + 27 +... is divergent (oneindige reekssom) 1 1 1 1 + + + +... is convergent (eindige reekssom =2) 2 4 8 ANALYSE 1 HOOFDSTUK 10 21 21 10.3 Getallenreeksen Harmonische reeks 1 1 1 1 å n = 1 + 2 + 3 + 4 +... is divergent (terwijl harmonische RIJ convergent is) Zeer veel bewijzen mogelijk, o.a. via integraaltest (zie verder) Oudste bewijs door Nicole d’Oresme (14de eeuw) ANALYSE 1 HOOFDSTUK 10 22 22 10.3 Getallenreeksen Kenmerken voor convergentie 1. Nodige voorwaarde voor convergentie åu n convergent Þ lim un = 0 n ®+¥ Of : lim un ¹ 0 Þ å un divergent n ®+¥ OPGELET lim un = 0 ⇒ ∑ un convergent n→+∞ ANALYSE 1 HOOFDSTUK 10 23 23 10.3 Getallenreeksen Kenmerken voor convergentie 2. Integraaltest +∞ ∑u n convergent ⇔ ∫ f (x) dx = r ∈ N un = f (n) niet negatief, continu en dalend vanaf n>N Opmerking : de reekssom is NIET de waarde r van de oneigenlijke integraal ! +∞ 1 Voorbeeld : hyperharmonische reeks ∑ p n=1 n ANALYSE 1 HOOFDSTUK 10 24 24 10.3 Getallenreeksen Harmonische reeks 1 1 1 1 å n = 1 + 2 + 3 + 4 +... is divergent +∞ 1 want ∫ dx = +∞ 1 x ANALYSE 1 HOOFDSTUK 10 25 25 10.3 Getallenreeksen Hyperharmonische 1 1 1 1 reeks (met p=2) ∑ n 2 = 1+ 4 + 9 + 16 +... Pietro Mengoli is convergent want +∞ 1 ∫ 2 dx = 1 1 x 2 1 π BASEL PROBLEEM ∑ n2 = 6 ANALYSE 1 HOOFDSTUK 10 26 26 10.3 Getallenreeksen Kenmerken voor convergentie 3. Ratiokenmerk van d’Alembert +∞ 1 Voorbeeld : ∑ n! n=1 ANALYSE 1 HOOFDSTUK 10 27 27 10.3 Getallenreeksen Kenmerken voor convergentie 4. Kenmerk van Leibniz voor wisselreeksen Voorbeeld : harmonische wisselreeks +¥ 1 1 1 1 (reekssom = ln2 å (-1) n =1 n +1 n = 1 - + - +... 2 3 4 zie later) ANALYSE 1 HOOFDSTUK 10 28 28 10.4 Machtreeksen Reeks +¥ van functies Wat ? åfn =1 n ( x ) elke term is een functie Voorbeelden: x + x + x + x +... + x +... 2 3 4 n 1 1 1 cos x + cos 2 x + cos3x +... + cos nx +... 2 3 n x - 1 + x - 2 + x - 3 +... + x - n +... 3 4 n +1 ANALYSE 1 HOOFDSTUK 10 29 10.4 Machtreeksen Bijzonder geval : machtreeks +¥ å a (x - x ) n =0 n 0 n meestal beginnen bij n=0 elke term is een machtfunctie 1 1 1 5 + ( x - 2) + ( x - 2) + ( x - 2) +... + 2 ( x - 2) +... 2 3 n 4 9 n = an = x0 ANALYSE 1 HOOFDSTUK 10 30 10.4 Machtreeksen +∞ n ∑ a (x − x ) n 0 n=0 x vervangen door getalwaarde in machtreeks geeft een getallenreeks Alle x-waarden waarvoor de bekomen getallenreeks convergeert, vormen de convergentieverzameling van de machtreeks (deze verzameling bevat steeds x0 want dat levert convergente nulreeks op ) ANALYSE 1 HOOFDSTUK 10 31 10.4 Machtreeksen Convergentie van machtreeksen 3 mogelijkheden : Stelling Cauchy-Hadamard +¥ å a (x - x ) n =0 n 0 n convergeert enkel voor x = x0 convergeert voor alle x convergeert voor x behorend tot ] x0 - R, x0 + R[ convergentiestraal ANALYSE 1 HOOFDSTUK 10 32 10.4 Machtreeksen +¥ å a (x - x ) n =0 n 0 n Berekening convergentiestraal an R = lim | | n ®¥ a n +1 3 mogelijkheden : R = 0, R = +¥ of R is een getal ¹ 0 ANALYSE 1 HOOFDSTUK 10 33 10.4 Machtreeksen 3 mogelijkheden (voorbeelden) +¥ å n!( x - 1) n =0 n R = lim | n! n ®+¥ (n + 1)! |= 0 enkel convergentie voor x=1 +¥ 1 1 å n =1 n ( x - 2) n R = lim | n ®+¥ n 1 |= 1 convergentie in [2-1,2+1[=[1,3[ 1 n +1 +¥ n x å n =0 n ! R = lim | n ®+¥ n ! |= +¥ 1 convergentie voor elke x (n + 1)! ANALYSE 1 HOOFDSTUK 10 34 10.4 Machtreeksen Termsgewijze afleiding en integratie +¥ å a (x - x ) n =0 n 0 n +¥ Þ å nan ( x - x0 ) n -1 termsgewijze afleiding d n =0 +¥ dx an Þ å n +1 n =0 n + 1 ( x - x0 ) termsgewijze integratie...dx ò Convergentiestraal verandert niet ANALYSE 1 HOOFDSTUK 10 35