Wykład 14, 29.11.2024 PDF

## Uwaga 4.72. Ważne granice: $\lim_{x \to 0} \frac{sin x}{x} = 1$ $\lim_{x \to 0} \frac{1 - cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$ $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ $\lim_{x \to \infty} (1+ \frac{a}{x})^x = e^a, a \in R$, $\lim_{x \to \infty} (1- \frac{a}{x})^x = e^{-a}, a \in R$, $\lim_{x \to 0} \f...

## Uwaga 4.72. Ważne granice: $\lim_{x \to 0} \frac{sin x}{x} = 1$ $\lim_{x \to 0} \frac{1 - cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$ $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ $\lim_{x \to \infty} (1+ \frac{a}{x})^x = e^a, a \in R$, $\lim_{x \to \infty} (1- \frac{a}{x})^x = e^{-a}, a \in R$, $\lim_{x \to 0} \frac{ln(x+1)}{x} = 1$ $\lim_{x \to \infty} \frac{ln M}{x^{\alpha}} = 0, M, \alpha > 0$ $\lim_{x \to \infty} \frac{x^M}{e^{\alpha x}} = 0, M, \alpha > 0$ ## CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE ## CIĄGI FUNKCYJNE **Definicja 4.1.** Niech $A \subset R$ i niech dany będzie ciąg funkcji $f_n: A \to R$. Mówimy, że ciąg $f_n$ jest zbieżny punktowo do funkcji $f: A \to R$, gdy $\forall x \in A \ f_n(x) \to f(x).$ ## Przykład 4.2. a) $f_n(x) = 1+\frac{x}{n}, x \in R$ zbiega punktowo do funkcji $f(x)=1$. b) $g_n(x) = \sqrt[n]{x}, x \geq 0$ zbiega punktowo do funkcji $g(x) = sgn(x).$ c) $f_n(x)=1+\frac{x}{n} \ \ \Rightarrow \ \ f_n: I \to R \to 0$ Ustalmy $x \in R \ \ f_n(x) = 1 + \frac{x}{n} \ \ \Rightarrow \ \ 1 \ \ \ n \to \infty$ b) $g_n(x) = \sqrt[n]{x} \ \ \Rightarrow \ \ 1 \ \ \ n \to \infty$ x = 0 x > 0 ## Uwaqa 4.3. Badając fn(x) możemy: - ustalić n i mamy wtedy funkcję $f_n$, - ustalić x i rozważać ciąg $a_n = f_n(x)$. ## Definicja 4.4. Niech $A \subset R$ i niech dany będzie ciąg funkcji $f_n: A \to R$. Mówimy, że ciąg $f_n$ jest zbieżny jednostajnie do funkcji $f: A \to R$, gdy $\forall \epsilon > 0 \ \exists N \ \forall n > N \ \forall x \in A \ |f_n(x)-f(x)| < \epsilon$. Piszemy wtedy $f_n \rightrightarrows f$ na A. ## Uwaqa 4.5. Dla porównania - zbieżność punktowa oznacza: $\forall x \in A \ \forall \epsilon >0 \ \exists N \ \forall n > N \ |f_n(x) - f(x)| < \epsilon$. Jeśli ciąg funkcyjny zbiega jednostajnie, to zbiega punktowo (do tej samej funkcji). ## Uwaqa 4.6. Zbieżność jednostajna oznacza, że w pasie o szerokości $2 \epsilon$ wokół funkcji f znajdują się prawie wszystkie funkcje $f_n$. ## Przykład 4.7. Funkcje $f_n(x) = x^n$ na [0,1] zbiegają punktowo, ale zbieżność nie jest jednostajna. Natomiast na przedziale [0,t], t < 1, zbieżność jest jednostajna. Zbieżność punktowa: $x \in [0,1] \ \lim_{n \to \infty} f_n(x) = \begin{cases} 0 & x \in (0,1)\\ 1 & x=1 \end{cases} $ $f_n \not\rightrightarrows f$ na $[0,1]$, bo dla $\epsilon = \frac{1}{3}$ musiałoby $\exists N \ \forall n>N \ \forall x \in (0, 1) \ |f_n(x)-f(x)| < \frac{1}{3}$ a dla $x = \sqrt[n]{\frac{1}{2}} \in (0,1) \ \forall k \ J_{x_k} f_k^2(x_k) = \frac{1}{2^k} \Rightarrow \ \frac{1}{2^k} \geq \frac{1}{3}$. $f_n: [0, t] \to R $ $f_n(x) \to 0 $ dla $x \in [0, t]$ $|f_n(x) - f(x)| = |x^n - 0| = x^n \le t^n \le \epsilon$ dla $n$ dostatecznie dużych $x \in [0, t]$. ## Przykład 4.8. Niech wykres $f_n:[0,1] \to R$ będzie łamaną łączącą punkty: (0,0), (1/n, 1), (2/n, 0), (1, 0). Wtedy $f_n$ zbiega punktowo do funkcji zerowej, ale zbieżność nie jest jednostajna. - $f_n$ ciągle: $f_n(x) = \begin{cases} \frac{nx}{2-nx} & x \in [0, \frac{2}{n}] \\ 1 & x \in [\frac{2}{n}, \frac{1}{n}] \\ 0 & x \in [\frac{1}{n}, 1] \end{cases}$ - granice punktowa: $ x \in (0,1] \ \ f_n(x) = 0 $ dla $ n > \frac{2}{x} \Rightarrow \frac{2}{n}<x$ $ x = 0 \ \ f_n(x) = 0 \ \ f_n(x) \to 0 $ dla $x \in (0, 1]$ - granice jednostajne: dla $\epsilon = \frac{1}{2} \ \exists n \in N \ \ f_n(\frac{1}{n})-0| = 1 > \frac{1}{2}$ dla dowolnego $n \in N$ $f_n \not\rightrightarrows 0$ na $[0,1]$. ## Twierdzenie 4.9. Dany jest ciąg $f_n: A \to R$ funkcji ciągłych zbieżny jednostajnie do funkcji f na A. Wtedy f jest funkcją ciągłą na A. d-d Załóż, że $f_n \rightrightarrows f$ na $A \ (X)$. Pokażmy ciągłość f w punkcie $x_0 \in A$. Ustalmy $\epsilon>0$. Z $(*)$ $\exists N \ \forall n \geq N \ \forall x \in A \ | f_n(x) - f(x)| < \frac{\epsilon}{3} \ \ (X)$. Czyli $ \forall x \in A \ |f_n(x) - f(x)| < \frac{\epsilon}{3}$. (*) Z ciągłości $f_N$: $\exists \delta > 0 \ \forall x \in A \ (|x-x_0| < \delta \Rightarrow |f_N(x)-f_N(x_0)| < \frac{\epsilon}{3}) \ (*)$ Zatem dla $|x-x_0| < \delta$: $|f(x)-f(x_0)| \le |f(x)-f_N(x)| + |f_N(x)-f_N(x_0)| + |f_N(x_0)-f(x_0)|$ $\le \frac{\epsilon}{3} + \frac{\epsilon}{3} + \frac{\epsilon}{3} = \epsilon $ ## Wniosek 4.10. Jeśli ciąg funkcji ciągłych $f_n$ jest zbieżny punktowo do funkcji nieciągłej f, to ciąg $f_n$ nie jest zbieżny jednostajnie do f. $f_n: [0, 1] \to R$ $f_n(x) = x^n$ - $f_n$ ciągle: $f_n \to f(x) = \begin{cases} 0 & x \in (0,1)\\ 1 & x = 1 \end{cases}$ punktowo $ \Rightarrow \ f_n \not\rightrightarrows f$ na $[0,1]$ - f nieciągła ## Twierdzenie 4.11. Załóżmy, że istnieje ciąg $a_n \to 0$, taki że: $sup_{x \in A} |f_n(x) - f(x)| \le a_n \ (*)$ Wtedy ciąg funkcyjny $f_n$ zbiega jednostajnie do f na zbiorze A. d-d Niech $\epsilon > 0$. Ustalmy N, t.i.e. $\forall n \geq N \ a_n \le \epsilon \ \ (*)$ Wtedy dla $n \geq N$ oraz $x \in A $ mamy $|f_n(x) - f(x)| \le a_n < \epsilon$. ## Przykład 4.12. a) $f_n(x) = \frac{x}{1+nx}, x \geq 0$, b) $g_n(x) = \frac{x}{1+nx^2}, x \geq 0$, c) $h_n(x) = x^n - x^{n+1}, \ x \in [0,1]$. a) - $f_n(x) \to 0$ punktowo - $|f_n(x) - 0| = \frac{x}{1+nx} \le \frac{x}{nx} = \frac{1}{n} \to 0$ - $f_n \rightrightarrows f $ na $[0, \infty)$ b) - $g_n(x) \to 0$ punktowo $\Rightarrow$ gdy $\frac{1}{\sqrt{n}} \le x$ $(x>0) \Rightarrow \frac{1}{nx^2} \le \frac{1}{n \frac{1}{n}} = 1$ $|g_n(x) - 0| = |g_n(x)| = \frac{x}{1+nx^2} \Rightarrow gdy$ $\frac{1}{\sqrt{n}} \le x \Rightarrow x^2 \ge \frac{1}{n} \Rightarrow \frac{1}{1+nx^2} \le \frac{1}{1+n\frac{1}{n}}= \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{x}{1+nx^2} \le \frac{x}{2}$. Zatem $|g_n(x)-0| \le \frac{1}{2n}$ dla $ x \in [\frac{1}{\sqrt{n}}, \infty)$ (x>0) Czyli $g_n \rightrightarrows 0$ na $[0, \infty)$. $ \Rightarrow $ średnie: $ g_n(x)-0| = \frac{x}{1+nx^2} \le \frac{x}{2nx^2} = \frac{1}{2nx} \le \frac{1}{2n}$ c) $x \in [0,1] \ \ h_n(x) =x^n(1-x)$ - punktowo $h_n(x) \to 0$ dla $x \in [0,1]$ - jednostajnie: badamy $|x^n - x^{n+1} - 0| = |x^n - x^{n+1}| = x^n(1-x)$ dla $x \in [0, 1] \ \ x^n(1-x) \le (1-\frac{1}{n})^n$ $\Rightarrow$ dla $x \in [\frac{1}{n}, 1] \ \ x^n(1-x) \le \frac{1}{n} \ \ \Rightarrow \ x^n(1-x) \le \frac{1}{n} \ \ \frac{1}{n^2} \le \frac{1}{n}$. $sup_{x \in [0, 1]} |h_n(x)-0| \le (1-\frac{1}{n})^n + \frac{1}{n} = a_n$ $h_n \to 0$ na $[0,1]$, bo $a_n \to 0$. ## Twierdzenie 4.13. [Warunek Cauchy'ego zbieżności jednostajnej) Ciąg funkcyjny $f_n$: $A \to R$ jest zbieżny jednostajnie na zbiorze A wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi następujący warunek: $\forall \epsilon > 0 \ \exists N \ \forall n, m > N \ \forall x \in A \ |f_n(x) - f_m(x)| < \epsilon. (JWC) $ d-d $(f_n \rightrightarrows f$ na $A) \Rightarrow (JWC)$ $|f_n(x)-f_m(x)| \le |f_n(x) - f(x)| + |f(x) - f_m(x)|$ Ze zb. jednost. oba składniki są mniejsze od $\frac{\epsilon}{2}$ od pewnego. Możliwe : $x \in A$. (podobnie jak w dowodzie zbieżności libauryckiej) $(JWC) \Rightarrow (f_n \rightrightarrows f$ na $A) $ $(JWC) \Rightarrow \forall x \in A$ ciąg $f_m(x)$ spełnia war. Cauchy'ego $\Rightarrow$ granice izgn $f(x) \to f(x) := lim_{n \to \infty} f_n(x)$ Rozwiązanie: $(JWC) \ \forall \epsilon > 0 \ \exists N \ \forall x \in A \ \forall n \geq N \forall m > N \ |f_n(x)-f_m(x)| \le \ epsilon \ \Rightarrow \ f(x)-f(x)| \le \epsilon$ ## Twierdzenie 4.14. [Kryterium Diniego zbieżności jednostajnej] Załóżmy, że ciąg funkcyjny $f_n : [a, b] \to R$ jest zbieżny punktowo do funkcji f oraz: - f oraz wszystkie funkcje $f_n$ są ciągłe, - $f_n$ jest ciągiem niemalejącym lub nierosnącym dla dowolnego $x \in [a, b]$. Wtedy $f_n$ zbiega jednostajnie do f na przedziale $[a, b]$. ## Przykład 4.16. $f_n: [0,1] \to R$, $ f_n(x) = x^n - x^{n+1}.$ - $f_n(x)$ ciągłe - $f_n(x) \to 0$ punktowo na $[0,1]$ - $f(x) = 0$ jest ciągłe - $f_{n+1}(x) = x^{n+1} (1-x) \le x^n(1-x) = f_n(x)$ $f_n \rightrightarrows 0$ na $[0,1]$ z kriterium Diniego.