Sistema Vibrante a 1 GdL PDF

Sistema vibrante a 1 GdL Abbiamo un corpo rigido che si può muovere lungo un'unica coordinata, la coordinata x. Togliamo l'ipotesi di rigidità...

Sistema vibrante a 1 GdL Abbiamo un corpo rigido che si può muovere lungo un'unica coordinata, la coordinata x. Togliamo l'ipotesi di rigidità al sistema, cioè ipotizziamo che il collegamento verso terra del sistema sia fatto mediante una molla e uno smorzatore. Molla Per generare un allungamento della molla, bisogna applicare una forza nella direzione dell'allungamento. Se la condizione di molla scarica si ha quando x = 0, allora sulla massa la forza elastica vale F = Kx, e va nel verso opposto rispetto al movimento x, dove il verso di x rappresenta l'allungamento positivo. Smorzatore Lo smorzatore reagisce alla velocità, non alla variazione di posizione. Lo smorzatore esercita forze solo durante lo spostamento, una volta che lo spostamento è avvenuto, lo smorzatore smette di esercitare forze. Sulla massa il verso della forza è opposto rispetto alla velocità x, dove il verso di x rappresenta l'allungamento positivo. Scrivendo l'equilibrio delle forze: è la proiezione del numero complesso vettore rotante forza d'inerzia È un'equazione del secondo ordine lineare a coefficienti costanti. L'incognita è È lineare perché l'incognita, la sua derivata prima e la sua derivata seconda sono lineari, sono moltiplicate solo per una costante. Document shared on https://www.docsity.com/it/appunti-completi-del-corso-meccanica-applicata-alle-macchine/8902866/ Downloaded by: marjorie-olivar ([email protected]) Scrivendo l'equazione di Lagrange, si sarebbe ottenuta la stessa equazione: (stiamo utilizzando x e non Δl, perché abbiamo deciso che x = 0 vuol dire allungamento nullo) il secondo termine è nullo perché l'energia cinetica non dipende dalla posizione x, ma solo dalla velocità x Cerchiamo di capire adesso come vibra. Sistema in moto libero Scriviamo il comportamento di moto libero, cioè spegniamo la forzante esterna: Questo è quello che accade: è l'effetto smorzante comportamento del sistema senza smorzatore comportamento del sistema con smorzatore Ma il periodo del sistema non smorzato è lo stesso del sistema smorzato? No, quello del sistema smorzato è leggermente superiore. Vediamo adesso i conti: La soluzione generale dell'equazione differenziale del secondo ordine a coefficienti costanti è del tipo: _ dove λ e x sono costanti complesse, e λ vale: (l'utilizzo dei complessi porta a una scrittura semplificata delle derivate, senza l'utilizzo di seni e coseni; quindi la soluzione matematica è nel dominio complesso) Sostituendo x e le sue derivate nell'equazione del moto libero: Quindi è la soluzione del problema, purché il polinomio caratteristico sia nullo: Document shared on https://www.docsity.com/it/appunti-completi-del-corso-meccanica-applicata-alle-macchine/8902866/ Downloaded by: marjorie-olivar ([email protected])  con Definiamo alcuni parametri: - Frequenza propria di oscillazione del sistema non smorzato: - Smorzamento critico: (è il valore critico del parametro di smorzamento dello smorzatore, se R è superiore a questo valore, il sistema smette di oscillare) - Rapporto di smorzamento critico: (indica quanto è smorzato il sistema) Scriviamo anche il rapporto R/m: Quindi si può riscrivere il polinomio caratteristico: Caso senza smorzamento Iniziamo studiando il sistema senza smorzamento, quindi con: Il polinomio caratteristico in questo caso è semplicemente: Dato che è un numero reale strettamente maggiore di zero, le due radici saranno immaginarie: La soluzione nel dominio del tempo quindi è: _ Il numero complesso x1 avrà un modulo e una fase: (ruota in senso orario) e il suo prodotto con sarà un vettore con lo stesso modulo, ruotato di Per fare in modo che la somma dei due termini dia (ruota in senso antiorario) origine a un numero reale, bisogna che ci sia anche un secondo vettore contro rotante che annulli la parte immaginaria del primo. Cioè i due vettori devono essere "complessi coniugati". Document shared on https://www.docsity.com/it/appunti-completi-del-corso-meccanica-applicata-alle-macchine/8902866/ Downloaded by: marjorie-olivar ([email protected]) Quindi la condizione di realtà è che e siano complessi coniugati. Questi significa dire che le costanti _ _arbitrarie libere del problema sono 2 e non 4. Per ogni costante complessa x1 e x2 ci sarebbero due arbitrarietà, modulo e fase, ma dato che sono complesse coniugate, basta determinare modulo e fase di una delle due. Per determinare queste costanti sono necessarie le condizioni iniziali, che devono essere note. Bisogna fornire lo stato del sistema in un dato istante di tempo: I moduli sono gli stessi, le fasi sono opposte: Quindi scrivendo l'equazione generale abbiamo: La soluzione si può vedere come: cioè la parte reale di un vettore rotante con velocità ω0 Quindi abbiamo trovato che nel moto libero il sistema oscilla con frequenza propria ω0. Un'alternativa di scrivere la soluzione è: (anche in questo caso si hanno due variabili dove indipendenti, A e B invece di modulo e fase) E utilizzando le formule di prostaferesi sulla scrittura precedente risulta: Dato che sono uguali, devono essere uguali anche i rapporti dei due termini: Document shared on https://www.docsity.com/it/appunti-completi-del-corso-meccanica-applicata-alle-macchine/8902866/ Downloaded by: marjorie-olivar ([email protected]) Introduciamo adesso le condizioni iniziali, in questo caso è più comodo scrivere la relazione con A e B: E comodo perché i seni si semplificano quando t = 0. Rappresentazione della generica funzione: Ampiezza: Caso con smorzamento Reintroduciamo adesso lo smorzamento: Le due radici sono: La radice può essere sia positiva che negativa, a seconda del valore di h, quindi il rapporto di smorzamento è proprio ciò che discrimina se la soluzione è oscillatoria o smorzata. - Se lo smorzamento è superiore allo smorzamento critico: h > 1 Le soluzioni sono proprio: e sono due numeri reali negativi. - Se lo smorzamento è inferiore allo smorzamento critico: h < 1 Le soluzioni sono: e sono due numeri complessi coniugati. Chiamiamo questo termine ω: Quindi la frequenza propria del sistema smorzato ( h < 1 ) è minore di quella del sistema non smorzato. ( Con h > 1 invece il sistema è talmente smorzato che non oscilla proprio ) Esempio: Un sistema di questo tipo ha rapporto di smorzamento: La frequenza propria però è poco più bassa della frequenza del sistema non smorzato, cambia del 5% ° Quindi, a parte per valori di h vicini all'unità, la frequenza propria è di poco più bassa di quella del sistema non smorzato. Più h è grande, più il sistema è smorzato. Document shared on https://www.docsity.com/it/appunti-completi-del-corso-meccanica-applicata-alle-macchine/8902866/ Downloaded by: marjorie-olivar ([email protected]) Vediamo nel dettaglio i vari casi: Analizziamo adesso con attenzione l'ultimo caso: _ _ dato che x1 e x2 sono complessi coniugati: e dato che: _ Le variabili da determinare con le condizioni iniziali sono sempre modulo x e fase φ. Rispetto al caso non smorzato, qua c'è il termine esponenziale che modula le oscillazioni. Qua però la frequenza di oscillazione non è più ω0, ma è ω. Anche in questo caso ci sono modi alternativi di scrivere la soluzione: Document shared on https://www.docsity.com/it/appunti-completi-del-corso-meccanica-applicata-alle-macchine/8902866/ Downloaded by: marjorie-olivar ([email protected]) Calcoliamo il modulo delle radici: Quindi il luogo delle radici è una circonferenza. All'aumentare di h, le soluzioni seguono la circonferenza, e infine collassano a -ω0 per h = 1. Da notare che in ogni punto della circonferenza il modulo del numero complesso corrispondente è sempre ω0. Per h > 1 le soluzioni si muovono sull'asse reale, e si allontanano da -ω0. Al tendere di h a infinto, a sinistra i valori vanno all'infinito, a destra tendono a zero. Per questo motivo quando si ha uno smorzamento molto elevato, quindi h è molto grande, si ha un comportamento strano, perché si ha la sovrapposizione di un movimento molto smorzato, e di un movimento molto poco smorzato. Se si ha uno smorzamento minore di 0, quindi h < 0, quindi lo smorzatore introduce energia nel sistema, il sistema invece di avere un comportamento smorzante, ha un comportamento espansivo, e il grafico è perfettamente speculare. Spesso però poi il sistema diventa non lineare, e quindi raggiunge un limite, quindi l'ampiezza non aumentata all'infinito. Quando si ha -1 < h < 0 il comportamento è quello sopra, quando invece si ha h < -1 il sistema diverge: Document shared on https://www.docsity.com/it/appunti-completi-del-corso-meccanica-applicata-alle-macchine/8902866/ Downloaded by: marjorie-olivar ([email protected]) Vediamo come determinare il parametro h dall'andamento del decadimento (per 0 < h < 1) Facciamo il logaritmo del rapporto delle ampiezze di due cicli: Decremento logaritmico: è trascurabile per smorzamenti 0 < h < 1 Esempio: prendiamo un sistema che dimezza la sua ampiezza ad ogni ciclo: Per trovare h invece che andare a calcolare la differenza di ampiezza tra due picchi, basta andare a vedere quanti cicli ci vogliono affinché l'ampiezza si dimezzi, e dividere il risultato di questo esempio per il numero di cicli: Il punto che si prende per determinare l'ampiezza dovrebbe essere il punto di tangenza con l'esponenziale. Affinché rimanga solo l'esponenziale (per poterlo inserire nel logaritmo dei rapporti), il coseno deve essere 1. Lo scostamento dal valore di picco però è talmente piccolo che non si considera mai questa trattazione. Document shared on https://www.docsity.com/it/appunti-completi-del-corso-meccanica-applicata-alle-macchine/8902866/ Downloaded by: marjorie-olivar ([email protected])