Meccanica del Volo Dispensa PDF

Dispensa Volo Nicolas Gaudenzi 14 March 2023 Contents 1 Modellazione...

Dispensa Volo Nicolas Gaudenzi 14 March 2023 Contents 1 Modellazione 3 1.1 Aeroplano................................................. 3 1.2 Terra.................................................... 4 1.3 Atmosfera................................................. 4 2 Sistemi di Riferimento 5 2.1 Terra Fissa................................................ 5 2.2 Orizzonte Locale............................................. 5 2.3 Corpo................................................... 6 2.4 Vento................................................... 8 3 Dinamica del Velivolo 9 3.1 Tipi di Volo................................................ 9 3.2 Equazioni Cardinali........................................... 9 3.3 Caratterizzazione Forzanti Aerodinamiche............................... 9 3.4 Caratterizzazione Coefficienti Aerodinamici.............................. 10 3.4.1 Caso 2D.............................................. 10 3.4.2 Caso 3D.............................................. 13 3.5 Equazioni del Moto............................................ 14 3.5.1 Volo Simmetrico nel Piano Verticale.............................. 14 3.5.2 Volo Stazionario......................................... 16 3.5.3 Volo non Simmetrico, Orizzontale, Rettilineo, Uniforme................... 16 3.6 Studio Soluzione all’Equilibrio...................................... 19 4 Stabilità Statica 22 4.1 Longitudinale............................................... 22 4.1.1 Configurazione Ala Volante................................... 22 4.1.2 Configurazione Tradizionale................................... 23 4.2 Direzionale................................................ 27 4.3 Laterale.................................................. 27 5 Prestazioni in VORU 29 5.1 Spinta Necessaria............................................. 29 5.2 Caratterizzazione della Risolvente.................................... 29 5.3 Analisi del Diagramma di Penaud.................................... 30 5.4 Modelli.................................................. 31 5.4.1 Polare Analitica......................................... 31 5.4.2 Spinta e Potenza Analtiche................................... 32 5.5 Studio Soluzione VORU......................................... 33 5.5.1 Motore a Getto J......................................... 33 5.5.2 Motore a Elica P......................................... 33 5.6 Effetto della Variazione dei Parametri sul Diagramma di Penaud.................. 34 5.6.1 Variazione della Manetta δT................................... 34 5.6.2 Variazione del Peso W...................................... 34 5.6.3 Variazione della Quota ρ..................................... 35 5.7 Stabilità Propulsiva in Equilibrio.................................... 36 5.8 Quota di Tangenza............................................ 37 5.9 Inviluppo di Volo in Crociera...................................... 37 1 6 Prestazioni in Salita 38 6.1 Ottimizzazione delle Prestazioni..................................... 38 6.2 Inviluppo di Volo in Salita........................................ 40 7 Prestazioni Integrali 41 7.1 Prestazioni Integrali in Salita...................................... 41 7.1.1 Ottimizzazione Tempo di Salita τC............................... 41 7.1.2 Ottimizzazione Spazio di Salita SC............................... 42 7.1.3 Ottimizzazione Combustibile necessario alla Salita wfC................... 43 7.2 Prestazioni Integrali in Crociera..................................... 43 7.2.1 Motore a Getto.......................................... 43 7.2.2 Motore a Elica.......................................... 44 8 Riassunto Ottimi Prestazionali 45 9 Volo in Manovra 46 9.1 Fattore di Carico............................................. 46 9.1.1 Diagramma n-v.......................................... 46 9.2 Virata................................................... 46 9.2.1 Virata Corretta Sostenuta.................................... 47 10 Manovre Terminali 50 10.1 Decollo.................................................. 50 10.1.1 Velocità.............................................. 51 10.1.2 Modello Matematico....................................... 51 10.2 Atterraggio................................................ 52 2 1 Modellazione Caratterizziamo un aeroplano in volo con 3 modelli: Aeroplano Terra Atmosfera 1.1 Aeroplano Possiamo avere diversi modelli che descrivono il nostro aeroplano: Punto materiale Occorre assegnare 3 GdL per definirne la posizione. Permette di descrivere molto bene la traiettoria dell’aeroplano. Verrà utilizzato per lo studio delle prestazioni (VORU, virata, range, endurance,...). Le sue caratteristiche sono: non ha un’estensione nello spazio 3D e le forzanti vengono applicate al punto come risultanti. Le forzanti, però, dipendono dall’estensione 3D, in particolare le forzanti aerodinamiche dipendono dall’atteggiamento del corpo rispetto al fluido in cui è immerso. Allora parleremo di punto materiale orientato, ovvero il punto materiale corredato di una terna di assi di riferimento solidale con il punto stesso. Corpo rigido Occorre assegnare 6 GdL che definiscono la posizione e l’orientazione nello spazio. Serve per caratterizzare la dinamica (studio dei modi propri, simulatori, design dei sistemi di controllo). Un caso particolare di questo modello di cui faremo uso è il corpo rigido nel piano: questo modello utilizza solamente 3 GdL (2 per la posizione e 1 per la rotazione), viene utilizzato per lo studio della stabilità statica longitudinale e latero-direzionale. Corpo flessibile Occorre assegnare ∞ GdL (nella teoria, nella partica N) viene utilizzato per problemi di aero-elasticità (implicazioni nella progettazione strutturale, determinazione della fatica). Ritorniamo al concetto di punto materiale orientato. Per descriverne la traiettoria, e più in generale il moto, si introducono le quantità cinematiche: x(t) : Re → Re3 , posizione ẋ(t) : velocità ẍ(t) : accelerazione dove t è il tempo, variabile indipendente. Alternativamente è possibile misurare la traiettoria attraverso l’ascissa curvilinea, ovvero tramite la misura della distanza percorsa lungo la traiettoria: Z t1 dif f erenziale dx ∆s = |ẋ(t)|dt −−−−−−−−−→ ds = |ẋ(t)|dt = dt = |dx| (1) t0 dt Definiamo la terna intrinseca: et = dx ds = x′ (s) versore tangente alla traiettoria x′′ (s) en = |x′′ (s)| versore normale alla traiettoria dove R = 1 |x′′ (s)| è il raggio di curvatura della traiettoria eb = et × en versore binormale alla traiettoria, ovvero versore normale al piano della traiettoria 3 Ora definiamo la traiettoria attraverso i versori della terna intrinseca: velocità: ẋ(t) = dx dt = dx ds · ds dt = et · ṡ = ṡ · et = ṡ · x′ (s) 2 accelerazione: ẍ(t) = s̈ · et + ṡ · de ′′ ṡ dt = s̈ · et + ṡ · ṡ · x (s) = s̈ · et + R · en. Allora chiamiamo ω = t ṡ R velocità 2 angolare. Allora avremo: ẍ(t) = s̈ · et + ω R · en 1.2 Terra Ci occuperemo del volo atmosferico, ovvero in prossimità della superficie terrestre, in cui la quota è un valore infinitesimo rispetto alle dimensioni del raggio terrestre. Utilizzeremo il modello di Terra piatta, le cui caratteristiche sono: il campo gravitazionale g è uniforme (non centrale); le traiettorie sono a quote costanti (rettilinee); la terra non ruota, ovvero è un sistema di riferimento inerziale. 1.3 Atmosfera Nella realtà è un sistema estremamente complesso, noi utilizzeremo il modello di Atmosfera Standard. Sono necessarie diverse ipotesi: 2 gas perfetto → p = ρRT con R = 287.05 Ks m 2 gas in quiete → dP dh = −ρg (equazione dell’idrostatica) K  (  λ = −6.5 km T (h) = T0 + λh per h ≤ hS  T = 288.15 K 0 temperatura in funzione della quota → dove T (h) = Ts per h > hS  hs = 11000 m  Ts = 216.65 K  Da questo possiamo ricavare le funzioni di P e ρ:  − g P = P0 1 + λh Rλ per h ≤ hS   T0 dove P0 = 101325 P a (2) P = P · e− RTg s (h−hs ) per h > h  s S  −(1+ Rλ g )  ρ = ρ T  per h ≤ hS kg 0 T0 dove ρ0 = 1, 225 3 (3)  g m ρ = ρs · e− RTs (h−hs ) per h > hS  A bordo di un velivolo la misurazione della quota avviene attraverso una misura differenziale di pressione. La pressione di riferimento può essere settata in diversi modi: QNH: impostata al valore della pressione sul livello del mare in una specifica posizione geografica in un specifico istante di tempo (per esempio oggi). Si parla di distanza verticale dalla ”quota mare” locale. Viene usata tipicamente per il volo a bassa quota, in manovre terminali, anche per velivoli che volano sotto alla quota di transizione in crociera , per garantire la distanza da terra; QNE: impostata al valore di pressione standard P0. Si parla di distanza verticale da una isolinea di pressioni pari a P0. Viene usata sopra la quota di transizione per garantire separazione tra le varie rotte aeree; QFE: impostata al valore della pressione dell’aeroporto. Si parla di distanza verticale dall’aeroporto. Viene usata tipicamente per l’atterraggio. 4 2 Sistemi di Riferimento Matematicamente un sistema di riferimento è un ente geometrico. E’ caratterizzato da: origine, ovvero un punto nello spazio terna di vettori linearmente indipendenti, nella pratica è pero una terna di versori ortonormali (caso particolare della definizione generale) Ora verranno introdotti i principali sistemi utilizzati. 2.1 Terra Fissa (Navigational Frame) F E E’ necessaria l’ipotesi di terra piatta, per permetterci di considerare il sistema come un sistema inerziale. Caratterizzato da: origine solidale con il centro della terra ( xe , ye definiscono il piano della terra ze è il vettore normale al piano della terra Questo sistema di riferimento verrà utilizzato per esprimere la velocità del velivolo rispetto al suolo. Questa si chiama Velocità Ground Speed (VGS ) e viene misurata solitamente con il GPS. La possiamo definire come ẋ(t) = VGS = VAS + VW S dove VAS sta per air speed, ovvero velocità dell’aereo rispetto al vento ed è responsabile delle forze risultanti, VW S sta per wind speed, ovvero velocità del vento rispetto al suolo. Possiamo fare l’ipotesi di aria calma (still air), ovvero VW S = 0 allora, VGS = VAS = V Possiamo scegliere diverse unità di misura per la velocità: m s unità di misura del SI (Sistema Internazionale) 1 nm (miglio nautico) kn o kts, sono i nodi, 1 kts = 1h = 1852 m 3600 s km h , deriva abbastanza direttamente dai m s , infatti 1 m km s = 3.6 h 1 mi (miglio statuario) mph, miglia orarie, 1 mph = 1h = 1.609 km 1h La misura della velocità avviene attraverso misure di pressione, due in particolare, la pressione totale Ptot e la pressione statica Pstatica , e queste sono legate da questa relazione: s 1 2 2 · (Ptot − Pstatica ) kg Ptot = Pstatica + ρv =⇒ v = dove ρ = ρ0 = 1.225 3 (4) 2 ρ m 2.2 Orizzonte Locale (Local Horizon Frame, NED North-East-Down) F H E’ caratterizzato da: origine solidale con il baricentro dell’aeroplano ( xh , yh definiscono un piano parallelo all’orizzonte, diciamo che xh punta verso Nord e yh verso Est zh perpendicolare a tale piano e diretto verso il basso (Down) 5 Può essere utilizzato per determinare la quota di volo telemetrica, che dipende dal riferimento utilizzato. Può inoltre essere utilizzato per definire la velocità dell’aereo. Riguardo a questo è necessario definire questi angoli di traiettoria: γ angolo di rampa, è l’inclinazione del vettore velocità rispetto al piano dell’orizzonte locale. Avremo che: γ = −asen v·z |v| ed è tale per cui è positiva se è a salire ed è negativa se è a scendere h χ angolo di rotta, è l’angolo tra la proiezione della velocità sul piano dell’orizzonte locale e il Nord. v·yh Avremo che: χ = atan v·x h ed è tale che è uguale a 0 se v è verso Nord oppure a π2 se v è verso Est. Ora, avendo dato queste definizioni, posso definire la velocità: v = v cos γ cos χ · xh + v cos γ sen χ · yh + v sen γ · zh (5) p E inoltre definiamo: ω = γ̇ 2 + χ̇2 cos2 γ 2.3 Corpo (Body Reference) F B Caratterizzato da: origine solidale con il baricentro dell’aeroplano ( xb (rollio), zb (imbardata) definiscono il piano di simmetria materiale, xb è allineato con la fusoliera yb (beccheggio) è diretto lungo la semi-ala destra Possiamo definire gli angoli di assetto (le definizioni sono valide per piccoli valori): θ angolo di beccheggio → θ = −asen(xb ·zh ) →inclinazione dell’asse longitudinale rispetto all’orizzonte locale 6  Φ angolo di rollio → Φ = asen(yb · zh ) → inclinazione versore ala destra rispetto all’orizzonte locale ψ angolo di imbardata → ψ = asen(xb · yh ) Possiamo anche definire la velocità in assi corpo usando la definizione di due angoli, detti angoli aerodinamici: β angolo di deriva (sideslip), ha lo stesso status geometrico di γ, indica lo scarroccio del piano di simmetria. Avremo che: β = asen v·y |v| b α angolo di incidenza (angle of attack), angolo tra la direzione di v e xb. Avremo che: α = atan v·x v·zb b Ora posso scrivere: v = v cos α cos β · xb + v sen β · yb + v sen α cos β · zb = u · xb + v · yb + w · zb (6) Allora: v w senβ = e tanα = (7) |v| u E’ necessario fare un’ipotesi semplificativa (che però per esempio non vale per l’elicottero): ( u >> v l′ aereo andrebbe anche in laterale w ′ =⇒ |v| ≈ u =⇒ tan α = (8) u >> w l aereo stallerebbe |v| 7 2.4 Vento (Wind Frame, Aerodinamico) F A Caratterizzato da: origine solidale con il baricentro dell’aeroplano ( xa allineato con v =⇒ ya è ottenuto con il prodotto vettoriale za sta nel piano di simmetria del velivolo (xb , zb ) Questo sistema di riferimento è utilizzato per definire le forzanti aerodinamiche come Portanza (perpendicolare a v) e Resistenza (parallela a v) 8 3 Dinamica del Velivolo Ora vogliamo cercare di analizzare meglio quella che è la dinamica di un qualsiasi velivolo in volo. 3.1 Caratterizzazione dei Tipi di Volo Grazie a definizioni date in precedenza possiamo definire in modo matematico e analitico tutti i tipi di volo: Volo Uniforme → |v| = costante =⇒ |v̇| = 0 ( |v| χ = costante Volo Rettilineo → R = ∞ =⇒ R = ω = 0 =⇒ → gli angoli sono fissi γ = costante |v| Volo Orizzontale → γ = 0 =⇒ R = ω = χ̇ → mi sto muovendo nel piano Volo nel Piano Verticale → χ = costante =⇒ χ̇ = 0 =⇒ ω = γ̇ ( ( γ̇ > 0 richiamata (pull − up) χ̇ > 0 virata positiva Manovra Curvilinea → oppure γ̇ < 0 af f ondata (dive) χ̇ < 0 virata negativa Volo in Salita → γ > 0 → non dipende da γ̇ Volo in Discesa → γ < 0 → non dipende da γ̇ Volo Simmetrico → β = 0 → v costante nel piano di simmetria materiale Volo Livellato → ϕ = 0 → asse yb parallelo al piano dell’orizzonte locale Possiamo unire alcune di queste definizione per dare vita a due casi particolarmente importanti:  β = 0  Volo Simmetrico + Piano Orizzontale → γ = 0  ω = χ̇   |v̇| = 0  Volo Orizzontale Rettilineo Uniforme (VORU) → R = ∞ → può essere asimmetrico  γ=0  3.2 Equazioni Cardinali per il Velivolo Le Equazioni Cardinali per il velivolo sono: dQ 1. dt (derivata della quantita di moto) = F (f orza aerodinamica) + T (spinta) + W (f orza peso) dHP 2. dt = MP (momento f orza aerodinamica) + ΓP (momento spinta) + ΣP (momento f orza peso) dHp dove dt è la derivata del momento delle quantita di moto Possiamo fare subito una semplificazione immediata: P ≡ G =⇒ ΣP = ΣG = 0 Occorre adesso capire da che cosa dipendono le varie forzanti, al fine di caratterizzare il problema, integrare la traiettoria,... 3.3 Caratterizzazione delle Forzanti Aerodinamiche La Forzante Aerodinamica F è dovuta all’interazione tra fluido e superficie. Il principio fisico R base si basa sullo sforzo τ , allora F è il campo vettoriale definito all’interfaccia tra fluido e superficie: F = S τ dA. Definiamo τ : τ = p̃ · n (sf orzo normale a S) + f (sf orzo tangenziale a S) 9 Nella definizione di τ è presente un informazione legata a S, ovvero il campo vettoriale di versori normali alla superficie n che definisce la superficie dell’aereo. Allora avremo che: τ = τ (p, v, µ, S, f orma). F si ottiene dall’integrazione di τ. Allora avremo: leggi di bilancio F = F (p, v, µ, S, f orma) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ F = F (p∞ , v∞ , µ∞ , S, f orma) lego i valori locali a valori asintotici legge dei gas perf etti F = F (p∞ , v∞ , µ∞ , S, f orma) −−−−−−−−−−−−−→ F = F (ρ∞ , T∞ , v∞ , µ∞ , S, f orma) f lusso isoentropico F = F (ρ∞ , T∞ , v∞ , µ∞ , S, f orma) −−−−−−−−−−−−−−−−√ −−−−→ F = F (ρ∞ , a∞ , v∞ , µ∞ , S, f orma) celerita del suono a∞ = γRT∞ v∞ =v∞ (v∞ ,α,β) F = F (ρ∞ , a∞ , v∞ , µ∞ , S, f orma) −−−−−−−−−−−→ F = F (ρ∞ , a∞ , v∞ , α, β, µ∞ , S, f orma) Ora rendiamo esplicito questo legame implicito scrivendo l’equazione più generale per F , per il modulo abbiamo: |F | = F = k(α, β, f orma) · ρeρ · aea · µeµ · v ev · S eS (9) Ora scriviamo il Teorema di Buckingham: Ogni equazione fisica dipendente da n variabili fisiche qi esprimibili in termini di k quantità fisiche fondamentali è rappresentabile come funzione di (n-k) variabili adimensionali costruite moltiplicando tra loro combinazioni delle variabili fisiche originali. f = f (q1 , q2 ,..., qn ) → g = g(π1 , π2 ,...πn−k ) (10) Ritorniamo al nostro caso, avremo 5 qi che sono ρ, a, µ, v, S e sono funzioni di 3 quantità fisiche fondamentali [M, L, T ]. Allora per il Teorema di Buckingham avremo 2 gruppi adimensionali. Facciamo l’analisi dimensionale per la nostra forzante F: [N ] = [M · L · T −2 ] = [M · L−3 ]eρ · [L · T −1 ]ea · [M · L−1 · T −1 ]eµ · [L · T −1 ]ev · [L2 ]eS (11)   M : 1 = e ρ + e µ  eρ = 1 − eµ  L : 1 = −3eρ + ea − eµ + ev + 2eS → Il sistema non è risolvibile =⇒ ev = 2 − eµ − ea (12) eS = 1 − 12 eµ   T : −2 = −ea − eµ − ev   Sostituendo in F otteniamo: 1− 12 eµ F = k(α, β,h  ea · ρ f orma) 1−eµ · aea · µ eµ · v 2−eµ −e i ·S a eµ F = ρv 2 S · av (= M1a ) · ρvµ√S 1 (= Re ) · k(α, β, f orma) ˆ CF = 2 CF 1 ˜ F = ρv 2 S · CˆF (M a−ea , Re−eµ , k(α, β, f orma)) −−−−− −→ F = ρv 2 S · 12 C˜F (M a−ea , Re−eµ , k(α, β, f orma)) ea ed eµ af f ogate F = 12 ρv 2 S · C˜F (M a−ea , Re−eµ , k(α, β, f orma)) −−−−−−−−−−−−−−−→ F = 12 · ρ · v 2 · S · CF (M a, Re, α, β, f orma) nella def inizione di CF Nel CF M a e Re rappresentano le caratteristiche del fluido, α e β l’assetto del velivolo e ”forma” appunto la forma della superficie aerodinamica considerata. Notiamo che è possibile fare un procedimento analogo per caratterizzare MP. Allora avremo che: MP = 12 · ρ · v 2 · S · c · CF (M a, Re, α, β, f orma) dove c è la corda media del profilo. Ora possiamo scrivere le componenti della forza aerodinamica:  1 2 D = −xa · F = 2 ρv SCD → Resistenza (Drag)  assi vento → Q = −ya · F = 2 ρv SCQ → Devianza 1 2 =⇒ F = −(D · xa + Q · ya + L · za ) 1  2 L = −za · F = 2 ρv SCL → Portanza (Lift)   1 2 X = xb · F = 2 ρv SCx → Forza Longitudinale  assi corpo → Y = yb · F = 2 ρv SCy → Forza Laterale 1 2 =⇒ F = (X · xb + Y · yb + Z · zb ) 1  2 Z = zb · F = 2 ρv SCz → Forza Trasversale   1 2 LP = xb · MP = 2 ρv SbCLP → Momento di Rollio  1 Dalla definzione di assi corpo possiamo definire: MP = yb · MP = 2 ρv 2 ScCMP → Momento di Beccheggio NP = zb · MP = 12 ρv 2 SbCNP → Momento di Imbardata   Dove b è l’apertura alare e c è la corda media aerodinamice del profilo 3.4 Caratterizzazione dei Coefficienti Aerodinamici 3.4.1 Caso 2D Consideriamo il caso 2D, quindi il caso del profilo aerodinamico di apertura indefinita, che ci consente di trascurare gli effetti di bordo. β = 0 è un risultato dello studio dell’aerodinamica 2D. 10 Coefficiente di Portanza CL Possiamo ricavare una curva sperimentale, che è modellabile attraverso una retta CL = CL0 + CLα · α. Dato che è un modello, questo vale solo in certi intervalli (dominio di validità). Per il 1 modello avremo che: CLα = 5 : 6 rad nel dominio di validità α = [−5 : 12] deg. Nella nostra curva sperimentale possiamo individuare alcuni punti importanti: αZL → angolo di incidenza in cui la portanza L è 0 (ZL sta per ”zero lift”) CL0 → coefficiente quando l’angolo di incidenza è 0 αstallo → angolo di incidenza in cui la portanza inizia a diminuire e abbiamo lo stallo del profilo Definiamo l’incidenza assoluta: α = αZL =⇒ CL = 0 = CL0 +CLα ·αZL =⇒ CL = CLα ·(α−αZL ) = CLα ·αa Questa è una ridefinizione in forma omogenea (ovvero senza termini noti) del modello lineare. Dal disegno del profilo è possibile definire anche una ZLL ovvero una ”Zero Lift Line”, ovvero la linea di riferimento per αa. Ovvero avremo che: CL = 0 ⇐⇒ v // ZLL, ovvero quando la corda media del profilo coincide con la ZLL. Nella trattazione dei problemi si è soliti sottointendere che α ≡ αa Coefficiente di Resistenza CD Il coefficiente di resistenza è legato a due effetti: CDf → legato all’attrito, è legato al fatto che la velocità dello strato limite tende a 0, non dipende da α CDp → legato alla pressione, è legato alla separazione della scia, dipende da α Allora possiamo caratterizzare il coefficiente come: CD (α) = CDf + CDp (α). Nella curva sperimentale possiamo notare il punto minCD ovvero il punto a resistenza minima. 11 Curva Polare CL (CD ) La curva polare consiste nel mettere insieme punto a punto le informazioni di CL e CD. L CL Possiamo introdurre l’efficienza E = D = C D e corrisponde alla pendenza del puntatore sulla curva polare. Dal grafico è possibile ricavare il punto ad efficienza massima (ovvero quello con la pendenza massima), ovvero il punto che corrisponde all’assetto migliore e corrisponde a una coppia di valori CLEM AX , CDEM AX e di conseguenza ad un angolo di incidenza αEM AX. Questo punto è una caratteristica propria del profilo. Inoltre, un profilo ”aerodinamico” è carettarizzato da un range di valori di E molto alti. Coefficiente di Momento di Beccheggio CMP Come si relaziona alla forza aerodinamica? Abbiamo che: MP = (S − P ) × F + MS dove MS = mS · yb ; F = −(D · xa + L · za ); (S − P ) = (xS − xP ) · xb + (zS − zP ) · zb Allora definiamo la rotazione 2D vento-corpo: ( xa = cosα · xb + senα · zb =⇒ F = (−Dcosα + Lsenα) · xb + (−Dsenα − Lcosα) · zb (13) za = −senα · xb + cosα · zb Ora possiamo fare il prodotto vettore, allora abbiamo: MP = (−Dzcosα+Dxsenα+Lzsenα+Lxcosα+mS )·yb dove x = xS − xP e z = zS − zP. Allora diciamo che MP = mP · yb , poi manipoliamo l’espressione di mP e scriviamo: mP = (Lcosα(−( E1 − tanα)z + (1 + tanα E )x) + ms ). Questa espressione è semplificabile attraverso due ipotesi: ( ( α o(1) ≈ 10 ( E − tanα) 0 posso gestire vv e v̇ 15 3.5.2 Volo Stazionario (VORU) Ripartiamo dalle equazioni agli stati e annulliamo le derivate:  v̇ = 0 volo uniforme  γ̇ = 0 volo rettilineo (sulla base delle ipotesi χ̇ = 0) (22)  q̇ = 0 volo centrato (θ̇ è costante, esiste il caso di particolare interesse in cui θ è costante)  v v̇ Inoltre, abbiamo definito che Ḣ = ḣ + g = ḣ = vv = SEP , allora abbiamo che:   T = D + W · senγ  T = D equivalente a SEP = 0 oppure Pa = Pr  volo orizzontale γ=0 L = W · cosγ −−−−−−−−−−−−−−→ L = W (23)   mG = 0 mG = 0   L’ultimo sistema che abbiamo scritto rappresenta appunto il VORU (Volo Orizzontale Rettilineo Uniforme) 3.5.3 Volo non Simmetrico, Orizzontale, Rettilineo, Uniforme In questo caso alcune quantità che prima si erano annullate per β = 0 non saranno più nulle, quindi risultano ulteriori legami costitutivi da studiare. I legami costitutivi sono i seguenti: Q = Q(β, δr ), δr è la deflessione del rudder (timone direzionale) LP = LP (β, δa , δr ), δa deflessione ailerons (alettoni) NP = NP (β, δa , δr ) Esplicitamente si ipotizza che tali legami abbiano forma lineare: Q = Qβ β + Qδr δr LP = LPβ β + LPδr δr + LPδa δa NP = NPβ β + NPδr δr + NPδa δa In questi legami non ci sono termini noti (si dice che il legame è omogeneo) per via del fatto che l’aeroplano è simmetrico rispetto al piano verticale se: δa , δr sono nulli (simmetria materiale) e se β è nullo (simmetria aerodinamica). Ora analizziamo due casi particolari (soluzioni equilibrate) di Volo non Simmetrico: 16 1. Volo in Derapata Abbiamo due sistemi di equazioni disaccoppiati:   T = D  Q = W senϕ  mG = 0 Equazioni identiche al VORU LG = 0 No Rollio Sistema Latero-Direzionale   L = W cosϕ NG = 0 No Imbardata   (24) Il secondo sistema è un sistema in 3 equazioni e 4 incognite, allora il problema dell’equilibrio può essere risolto solamente in maniera parametrica, ovvero fisso una delle 4 quantità e ricavo le altre 3. Le incognite sono: β, δr , δa , ϕ. Esplicitiamo la δr utilizzando la prima equazione e otteniamo: W senϕ Qβ β δr = − = δr0 (ϕ) + δr1 (β) (25) Qδr Qδr. Successivamente rimaniamo con un sistema di due equazioni in 3 incognite: ( LGβ β + LGδr [δr0 (ϕ) + δr1 (β)] + LGδa δa = 0 (26) NGβ β + NGδr [δr0 (ϕ) + δr1 (β)] + NGδa δa = 0 La soluzione si ottiene per esempio assegnando β = β, ricavando ϕ e δa , poi successivamente δr 2. Asimmetria di Trazione Questa situazione si presenta quando uno dei due motori si guasta, quindi io vorrei mantenere la traiettoria che avevo prima del guasto e sono quindi forzato ad avere un’asimmetria per farlo. La rottura mi genera un momento di imbardata ΓG = (yG − yJ l )T l che devo controbilanciare. Il sistema all’equilibrio di prima diventa:  Q = W senϕ  LG = 0 (27)  NG + ΓG = 0  Anche in questo caso abbiamo un sistema di 3 equazioni in 4 incognite, quindi lo risolviamo in maniera parametrica, scegliendo di operare con β = 0, perché in tale condizione la resistenza è minima (perché riduco la vela), questo è molto importante perché ho perso un motore e comunque la ϕ sarà comunque non nulla. 17 Le incognite sono sempre: β, δr , δa , ϕ. Esplicitiamo la δr utilizzando la prima equazione e otteniamo: W senϕ δr = = δr0 (ϕ) (28) Qδr. Successivamente rimaniamo con un sistema di due equazioni in 2 incognite: L  δa = − Gδr · W senϕ ( LGδr δr0 (ϕ) + LGδa δa = 0 risolvendo LGδ Qδr −−−−−−−→ a (29) NGδr δr0 (ϕ) + NGδa δa = −ΓG senϕ = Qδr · ΓG · LGδa − NGδa LGδr W NG LG δr δa Osserviamo che la soluzione di ϕ dipende da una serie di derivate di controllo. Per studiare la relazione occorre capire il segno delle quantità che vi compaiono: Qδr < 0 NGδr < 0 LGδa < 0 NGδa > 0 18  LGδr > 0 LGδa e NGδr sono detti effetti diretti (primari) e sono molto grandi. Invece LGδr e NGδa sono detti effetti incrociati (secondari) e sono molto piccoli. Ora studiamo il segno della soluzione: Qδr LGδ senϕ = W · (yJ l − yG )T l · a NGδ LGδ −NGδ LGδ 0 – (yJ l − yG ) < 0 perché sta a sinistra del baricentro (sicuramente negativo) – Tl > 0 – LGδa < 0 – NGδr LGδa − NGδa LGδr > 0 tipicamente (per un aeroplano di configurazione classica gli effetti diretti sono più intensi degli effetti incrociati) (ricavato da relazioni sopra) Possiamo concludere che l’aeroplano sarà voltato verso sinistra, sarà quindi necessario schiacciare sotto il piano dell’orizzonte il motore che funziona per mantenere la configurazione desiderata. LG δa = − LGδr · W senϕ Qδr >0 δa – LGδr > 0 – LGδa < 0 – W >0 – senϕ < 0 – Qδr < 0 Possiamo concludere che il pilota girerà il volante verso sinistra, quindi abbassando l’alettone destro e alzando quello sinistro. δr = W senϕ Qδr >0 – W >0 – senϕ < 0 – Qδr < 0 Possiamo concludere che il pilota schiaccerà il pedale sinistro, ruotando verso sinistra il rudder. La soluzione dell’aero vista da dietro è la seguente: 3.6 Studio Soluzione all’Equilibrio Vogliamo concentrarci sulla soluzione dell’equilibrio (statico) in VORU, i termini che compaiono sono: β=0 e f orma nota D = 21 ρv 2 SCD (M a, Re, α, β, f orma) −−−−−−−−−−−→ D = 12 ρv 2 SCD (α) = D(ρ, v, α) M a,Re assegnati L = L(ρ, v, α) 19  mG = mG (ρ, v, α) T = T (ρ, v, α, δT ) dove δT è il ”grado di ammissione”, ovvero la percentuale di manetta Questi legami possono essere ulteriormente semplificati attraverso l’introduzione q della definizione di velocità ρ equivalente VEAS , che è tale che: 21 ρv 2 = 12 ρ0 vEAS 2 =⇒ vEAS = ρ0 v. Allora grazie a vEAS possiamo esprimere tutto in funzione esclusivamente di vEAS e non di v e ρ: D = D(vEAS , α) L = L(vEAS , α) mG = mG (vEAS , α) T = T (vEAS , α, δT ) Sostituiamo il tutto nelle equazioni dell’equilibrio in VORU, avremo:  D(vEAS , α) = T (vEAS , α, δT )  L(vEAS , α) = W (30)  mG (vEAS , α) = 0  Le ultime due equazioni del sistema formano un sistema 2x2 disaccoppiato, dal quale è possibile ricavare vEAS e α, entrare nella prima equazione e ricavare δT. Analizziamo il sistema disaccoppiato: ( Lα αa = W (31) mG = mAC − (xG − xAC )Lα αa = 0 Ora dividiamo la seconda equazione per c, che è la corda media aerodinamica, e otteniamo: (ξG − ξAC ) = 1 2 2 ρ0 vEAS ScCmAC C C Wc = mWAC · 12 ρ0 vEAS 2 = mWAC · 12 ρv 2 e questo è attuabile per i deltaplani, in cui il pilota si S S sposta e quindi permette il cambio di posizione del baricentro, oppure attraverso un cambio della curvatura del profilo e quindi di CmAC. Inoltre, osserviamo che avendo considerato legami costitutivi per le forze aerodinamiche tipici di corpi rigidi senza articolazioni (ovvero senza considerare, per esempio, gli angoli di attacco dei piani di coda) si ottiene una soluzione paradossale dell’equilibrio. Al fine di modellare il caso più tipico in cui si dispone di superfici di governo, occorre rivedere i legami costitutivi, introducendo un grado di libertà di controllo δe , ovvero la misura dell’angolo di deflessione dell’equilibratore di coda. Allora avremo: D = D(vEAS , α, δe ) L = L(vEAS , α, δe ) mG = mG (vEAS , α, δe ) Allora i legami costitutivi, attraverso l’ipotesi di linearità, in forma esplicita diventeranno: ( L = Lα α + Lδe δe + L0 forma non omogenea (non ottengo zero per valori nulli degli angoli) mG = mGα α + mGδe δe + mG0 ( L = Lα (α − α0 ) + Lδe (δe − δe0 ) forma omogenea mG = mGα (α − α0 ) + mGδe (δe − δe0 ) Il legame tra le due formulazioni è cosı̀ esprimibile attraverso l’uso delle matrici:      Lα Lδe α0 −L0 = (32) mGα mGδe δe0 −mG0 Ora torniamo al sistema all’equilibrio: ( (      L=W Lα (α − α0 ) + Lδe (δe − δe0 ) = W Lα Lδe α − α0 W → → = (33) mG = 0 mGα (α − α0 ) + mGδe (δe − δe0 ) = 0 mGα mGδe δ e − δ e0 0 Ricerchiamo la soluzione di questo sistema:    mGδ  α − α0 e W = ∆G mGα (34) δe − δe0 − ∆G W 20 dove ∆G = Lα · mGδe − Lδe · mGα. Allora esplicitiamo ulteriormente:  W CmG  δe S ·  12 ρ0 vEAS 2 ˆ   ∆G α − α0  ˆ = CL · Cm =  dove ∆G − CLδe · CmGα (35) δ e − δ e0  W CmG  α Gδ e − 1 ρ v2 S · ∆Gˆ α 2 0 EAS Ora proporremo delle ulteriori scritture del legame costitutivo e di conseguenza anche delle soluzioni del sistema all’equilibrio in VORU: 1. Introduciamo prima di tutte due definizioni: Punto Neutro N CmNα = 0 deriviamo mPα mN = mP − (xN − xP )L −−−−−−−−→ mNα = mPα − (xN − xP )Lα = 0 =⇒ xN − xP = Lα rispetto ad α Punto di Controllo C CmCδ = 0 e deriviamo mPδ mC = mP − (xC − xP )L −−−−−−−−→ mCδe = mPδe − (xC − xP )Lδe = 0 =⇒ xC − xP = Lδe e rispetto ad δe Inseriamo queste definizioni nel legame costitutivo e nell’equilibrio: ( ( mPα = (xN − xP )Lα L = Lα (α − α0 ) + Lδe (δe − δe0 ) =⇒ (36) mPδe = (xC − xP )Lδe mP = (xN − xP )Lα (α − α0 ) + (xC − xP )Lδe (δe − δe0 ) In queste equazioni sono scomparsi i momenti, risultano quindi essere molto più carine e comode. Inoltre facciamo anche questa osservazione: ∆P = Lα · mPδe − Lδe · mPα = Lα Lδe (xC − xN ) = ∆ che è appunto un invariante dell’aeroplano. Ora, vediamo la soluzione dell’equilibrio in VORU con questi legami:   Lδe    xC −xG W  xC −xN · 12 ρ0 vEAS xC −xG xC −xG W  Lα Lδe · xC −xN · W xC −xN · Lα  α − α0 2 SCLα  =  =   =    (37) −xG xN −xG δ e − δ e0 −xG − L LLα · xxN −x ·W − xxN C −xN · W Lδ − xC −xN · 1 ρ v 2 0 EAS W SC Lδ α δe C N e 2 e 2. Definiamo: Portanza di Incidenza La = Lα (α − α0 ) Portanza di Controllo Lc = Lδe (δe − δe0 ) Inseriamo queste definizioni nei legami costitutivi e otteniamo: L = La + Lc mP = (xN − xP )La + (xC − xP )Lc Allora sostituiamo nell’equilibrio in VORU: ( ( L=W La + Lc = W =⇒ (38) mG = 0 (xN − xG )La + (xC − xG )Lc = 0 Abbiamo un sistema 2x2, noti W, xC , xN , xG , possiamo risolvere il sistema e ricavare La , Lc. Dobbiamo notare che tutta l’aerodinamica del sistema aereo insiste esclusivamente sui punti Neutro e di Controllo. Quindi non ci sono più le coppie, che restano intrinseche. Per affinare ancora di più la soluzione è necessario utilizzare la Formulazione di Borri, introducendone i parametri (c è la corda media aerodinamica): e = xG −x c N = ξG − ξN margine di stabilità longitudinale d= xN −xC c = ξN − ξC lunghezza aerodinamica ϵ= de Allora inseriamo queste definizioni nell’equilibrio in VORU: ( ( La + Lc = W La = (1 + ϵ)W a c → (39) eL + (e + d)L = 0 Lc = −ϵW 21 4 Stabilità Statica 4.1 Stabilità Longitudinale Ci limitiamo per ora ad analizzare la stabilità della soluzione dell’equilibrio in VORU, questo verrà fatto nella pratica partendo da una condizione di equilibrio, perturbandola. Nel problema in esame verrà perturbato α, ovvero l’angolo di attacco: ∆α > 0 allora per stabilità il profilo deve picchiare ∆CmG < 0 ∆α < 0 allora per stabilità il profilo deve cabrare ∆CmG > 0 ∆C mG Da questo ne deriva il criterio di stabilità statica longitudinale: ∆α < 0 → CmGα < 0. Considero G perché parto dall’equilibrio per studiare la stabilità, e in equilibrio CmGα = 0 (è la condizione di equilibrio in cui studio la stabilità). Una prima implicazione del criterio di stabilità deriva dal legame costitutivo: mG = Lα (α − α0 )(xN − xG ) + deriviamo stabilita L >0 Lδe (δe − δe0 )(xC − xG ) −−−−−−−−→ mGα = Lα (xN − xG ) −−−−−→ Lα (xN − xG ) < 0 −−α−−→ xN − xG < 0 =⇒ rispetto ad α mGα xN. Notiamo che sparisce la componente di controllo, allora la stabilità e il controllo sono separati (l’aereo stabile riassorbe in modo autonomo la perturbazione, quindi è più facile da pilotare). Inoltre, la stabilità è legata al posizionamento reciproco tra baricentro e punto neutro e questo implica dei limiti che il pilota conosce bene. Ora analizzeremo diversi casi di configurazioni e analisi. 4.1.1 Configurazione Ala Volante Applichiamo il criterio di stabilità statica longitudinale al caso particolare dell’ala volante, ovvero con assenza dell’impennaggio orizzontale. NB: Per ala volante xN è coincidente con xAC Equilibrio (VORU): mG = 0 = mAC − (xG − xN )L =⇒ xG − xN = mW AC Stabilità: mGα < 0 =⇒ xN − xG < 0 Ora concentriamoci su mAC , che è un numero caratteristico del profilo, e per profili concavi (ovvero quelli classici) è minore di 0. Allora (xG − xN ) < 0. Questo è in contraddizione con la richiesta di stabilità. 22 La soluzione adottata tipicamente per ottenere una soluzione stabile è quella di utilizzare un profilo autostabile (profili a doppia concavità), ovvero un profilo che presenta una stabilità intrinseca e mAC > 0. Sono profili con prestazioni abbastanza scadenti, presentano una stabilità marginale. Presentano dei vantaggi a causa del non utilizzo degli impennaggi di coda che causano una riduzione della portanza e un aumento della resistenza. 4.1.2 Configurazione Tradizionale Adesso, applichiamo il criterio di stabilità longitudinale a velivoli a configurazione tradizionale, ovvero con impennaggio orizzontale in coda, cioè velivoli a due superfici. L’impennaggio in coda si inserisce allo scopo di stabilizzare l’ala. Il modello a due superfici consente lo studio di questa configurazione, e dimostra analiticamente l’effetto stabilizzante della coda. Introduciamo alcuni angoli: iw angolo di calettamento ala (incidence), it angolo di calettamento coda, ϵ angolo di downwash. Allora avremo che: αaw = α + iw → αw incidenza assoluta dell’ala e αat = α + it − ϵ → αt incidenza assoluta della coda. Avremo che v t , che è la velocità che sente la coda, è diversa da v, che è la velocità che sente l’ala, perché la coda vede un flusso diverso da quello che vede l’ala, allora definiamo: 1 t2 qt 2 rho v intensità ridotta η = q = 1 rho v 2 < 1 rapporto tra le pressioni dinamiche su coda e ala 2 direzione differente ϵ = ϵ0 + ϵα α, dove ϵ0 ed ϵα sono funzioni di come è fatto l’aeroplano, quindi sono elementi noti (questo è un modello lineare non omogeneo rispetto ad α, inoltre maggiore sarà α maggiore sarà ϵ) St σ= S rapporto tra la superficie di coda e dell’ala Per arrivare allo studio della stabilità occorre studiare prima il legame costitutivo, facciamo prima alcune ipotesi (da un punto di vista modellistico all’ala non frega nulla di quello che succede sulla coda, anche se estenrnamente questo influisce, ovvero l’aereo ha una risposta diversa): q = q w pressione dinamica di riferimento, S = S w superficie di riferimento, Lw w δ = mPδ = 0 matematicamente significa che il GdL di controllo è fisicamente sulla coda, CLα = a, CLδ = b. 23 Legami Costitutivi I legami costitutivi diventano: Portanza L - Lw = q w S w aw αw = qSaw (α + iw ) = Lw w α α + L0 - Lt = q t S t (at αt + bt δe ) = ησqS(at (α + it − ϵ) + bt δe ) = ησqS(at (1 − ϵα )α + at (it − ϵ0 ) + bt δe ) = Ltα α + Ltδ δe + Lt0 La portanza complessiva risulta essere: L = Lw + Lt = Lα α + Lδ δe + L0. Passando ai coefficienti (adimensionalizzando rispetto a qS), otteniamo: – CLα = aw + ησ(1 − ϵα )at – CLδ = ησbt = ησb – CL0 = aw iw + ησat (it − ϵ0 ) Allora il coefficiente di portanza complessivo sarà: CL = CLα α + CLδ δe + CL0 Momento m - mw w w w w w w w w w P = mAC − (xP − xAC )L = mAC − (xP − xAC )(Lα α + L0 ) = mPα α + mP0 dove + mw w w t w Pα = (xAC − xP )Lα = qSa (xAC − xP ) + mw w w w w w w w P0 = mAC + (xAC − xP )L0 = mAC + (xAC − xP )qSa i - mtP = mtAC − (xP − xtAC )Lt = mtAC − (xP − xtAC )(Ltα α + Ltδ δe + Lt0 ) = mtPα α + mtPδ δe + mtP0 dove + mtPα = (xtAC − xP )Ltα = ησqSat (1 − ϵα )(xtAC − xP ) + mtPδ = mtACδ + (xtAC − xP )Ltδ = ησqSct C\ t t t mAC + ησqSb (xAC − xP )δ + mtP0 = mtAC + (xtAC − xP )Lt0 = ησqSct C \ t mAC + ησqSat (xtAC − xP )(it − ϵ0 ) Il momento complessivo risulta essere: mP = mw t P + mP = mPα α + mPδ δe + mP0. Passando ai coefficienti (adimensionalizzando rispetto a qSc), otteniamo: w – CmPα = (ξAC − ξP )aw + (ξAC t − ξP )ησ(1 − ϵα )at t t t t ct – CmPδ = ησ(ξAC mAC = ησ(ξAC − ξP ) + CmAC con k = − ξP ) + ησk C\ c δ δ w w – CmP0 = Cm AC + (ξAC − ξP )aw iw + (ξAC t − ξP )at (it − ϵ0 ) + ησk C \ t mAC w Verifichiamo il contributo stabilizzante della coda: CmGα < 0 → CmGα = (ξAC −ξG )aw +(ξAC t −ξG )ησ(1−ϵα )at. Il primo termine è maggiore di zero, il secondo termine è minore di zero. Il contributo di coda, essendo minore di zero, potrebbe produrre un coefficiente totale minore di zero e quindi fornire una configurazione stabile. t L’intensità del termine di coda è proporzionale a: (ξAC − ξG ) distanza baricentro coda, che, una volta fissato il baricentro, è proporzionale all’arretramento della coda; σ proporzionale alla dimensione della coda (parametri di progetto); η, ϵα , at dipendenti da caratteristiche aerodinamiche poco variabili e ”controllabili”. Inoltre il CmP deriva anche da corpi non portanti, come per esempio la fusoliera, che dà quindi un contributo alla stabilità, un contributo instabilizzante. Modello a Due Superfici Ora, sfruttiamo il modello a due superfici per ”ripercorrere” il legame costitutivo nelle forme già introdotte, con ulteriori cenni sulla stabilità: Punto Neutro N CmP w (ξAC −ξP )aw +(ξAC t −ξP )at ησat (1−ϵα ) t Sappiamo che (ξN − ξP ) = CLα = α aw +ησ(1−ϵα )at. Definiamo τ = ησ(1 − ϵα ) aaw , w t (ξAC −ξP )+(ξAC −ξP )τ ξ w +τ ξ t allora (ξN − ξP ) = 1+τ. Isolando ξN otteniamo ξN = AC1+τ AC. Allora possiamo dire che ξN dipende dalle posizioni dei centri aerodinamici di ala e coda. Inoltre il punto neutro è definito t dalla configurazione (geometria, è infatti un punto materiale). Proviamo a scegliere ξP = ξAC allora t 1 w t 1 t w t (ξN − ξAC ) = 1+τ (ξAC − ξAC ). Dal momento che 1+τ < 1 allora abbiamo che (ξN − ξAC ) < (ξAC − ξAC ). 24  Punto di Controllo C t t CmP (ξAC −ξP )ησb+ησkC\ m Sappiamo che (ξC − ξP ) = CLδ δ = ησb AC δ t = (ξAC − ξP ) + kb C\ t mAC. Per aeroplani poco δ t t mAC δ ≈ 0 =⇒ ξAC = manovarabili dove l’equilibratore è piccolo rispetto allo stabilizzatore avremo che C\ ξC Formulazione di Borri Ora, nuovamente, rivediamo lo stesso scenario con la Formulazione di Borri, allora la stabilità è data se e > 0. Analizziamo le diverse combinazioni possibli: Velivolo Stabile di Configurazione Tradizionale ( La > W Stabile se e > 0 e configurazione tradizionale se d > 0 =⇒ ϵ > 0 =⇒ Lc < 0 Velivolo Instabile di Configurazione Tradizionale ( La < W Instabile se e < 0 e configurazione tradizionale se d > 0 =⇒ ϵ < 0 =⇒ Lc > 0 Velivolo Stabile di Configurazione Canard ( La < W Stabile se e > 0 e configurazione canard se d < 0 =⇒ ϵ < 0 =⇒ esattamente come il Lc > 0 velivolo instabile di configurazione tradizionale Portanza e Polare Trimmata Prendiamo l’equazione del centraggio, ovvero quella di equilibrio ai momenti in VORU: mG = 0 → mG (vEAS , α, δe ) = 0. Questa equazione la posso ulteriormente riscrivere esplicitando δe = δe∗ (vEAS , α). Allora sostituisco questa relazione nei legami costitutivi di L e D e avremo: L = L(vEAS , α, δe ) = L(vEAS , α, δe∗ (vEAS , α)) = L∗ (vEAS , α) che si chiama Portanza Trimmata D = D(vEAS , α, δe ) = D(vEAS , α, δe∗ (vEAS , α)) = D∗ (vEAS , α) che si chiama Resistenza Trimmata Consideriamo L = L∗ (vEAS , α), ora la inverto per ottenere α = α∗ (vEAS , L∗ ), successivamente sostituiamo in D = D∗ (vEAS , α) e otteniamo D = D∗ (vEAS , α∗ (vEAS , L∗ )) = D∗ (vEAS , L∗ ). Per adimensionalizzazione D∗ diventa CD ∗ , allora avremo CD = CD ∗ (CL∗ ), che viene chiamata Polare Trimmata. Ora, esplicitiamo questo ragionamento sulla base dei legami costitutivi precedentemente utilizzati: mG = mGα (α − α0 ) + mGδ (δe − δe0 ) m Equilibrio: mG = 0 =⇒ (δe − δe0 ) = − mGGα (α − α0 ) (equazione di vincolo) δ 25  m Sostituzione in L: L = Lα (α − α0 ) + Lδ (δe − δe0 ) =⇒ L = Lα (α − α0 ) − Lδ mGGα (α − α0 ) = δ −xN = Lα 1 − xxG
G −xC (α − α0 ) tenendo conto delle definizioni di N e C Passaggio ai Coefficienti: CL∗ = CLα 1 − xxG −xN (α − α0 ) = xxN −xC

G −xC G −xC CLα (α − α0 ) Definiamo CL∗ α = xxN −xC
G −xC CLα esprime l’effetto del posizionamento di G su CLα che influenza l’incidenza di equilibrio Ora, vogliamo esplicitare la scrittura della polare trimmata. Prima di tutto, è necessario scrivere la resistenza per il velivolo a due superfici: D = Dw + Dt = qSCD w + q t S t Cct D (ricavato rispetto a quantità adimensionali della w t w ct w c t coda) = qS(CD + ησ Cc D ), passando ai coefficienti CD = CD + ησ CD. Ci chiediamo come modelliamo CD , CD , utilizziamo il modello della polare parabolica (analitica), allora avremo: CD w w = CD 0 + k w CLw 2 = CD w 0 + k w [aw (α + iw )]2 t t2 Cct t t t t t t D = CD0 + k CL = CD0 + k [a (α + i − ϵ) + b δe ] 2 Ora sostituendo nell’equazione scritta sopra della polare del velivolo completo allora otteniamo CD = CD (α, δe ). Ipotizzando di usufruire dell’equazione di centraggio CmG = 0 → δe = δe∗ (α), che sostituita nel CD fornisce ∗ CD = CD (α). La polare trimmata assume la seguente forma (viene costruita punto per punto e non si passa direttamente dal coefficiente di resistenza in funzione di α): Facciamo un’osservazione sull’escursione del baricentro. Per la stabilità longitudinale xG > xN (ξG > ξN ). Il −xN limite anteriore è dato da: Lc = −ϵW = − de W = − xxG N −xC W in condizioni di equilibrio. Se xG aumenta allora anche |Lc | aumenta, allora anche |δe | aumenta. Questo aumento non è ovviamente illimitato, perché interviene lo stallo dell’equilibratore. 26 Inoltre, è possibile utilizzare ( la formulazione di Borri per un’ulteriore scrittura della pendenza della curva di c L = −ϵW ϵ portanza trimmata: , soluzione equilibrio in VORU, Lc = − 1+ϵ La. La portanza complessiva La = (1 + ϵ)W è L = La + Lc = La ( 1+ϵ 1 1 ) = 1+ϵ Lα (α − α0 ) = L∗α (α − α0 ) ovvero ai coefficienti(dividendo per la pressione dinamica q e la superficie alare S) CL∗ α = 1+ϵ1 CLα. 4.2 Stabilità Direzionale Si parla di stabilità direzionale quando si vuole cercare di mantenere stabile l’aereo intorno all’asse di imbardata. Il criterio per studiare la stabilità direzionale si realizza perturbando β e poi studiando il comportamento di ∆NG. Visualizzando l’aereo dall’alto, la punta dell’aereo deve allinearsi con la direzione della velocità, allora se ∆β > 0 → ∆NG > 0 e se ∆β < 0 → ∆NG < 0. Allora il criterio deve essere ∆N ∆β > 0 =⇒ NGβ > 0 G Analizziamo l’effetto stabilizzante della deriva verticale: ∆NG = (xG −xAC v )∆Q (posizione centro aerodinamico deriva verticale, solitamente 41 della corda). Sappiamo che ∆Q > 0, allora se la coda è dietro ((xG − xAC v ) > 0) ∆NG > 0 per un ∆β > 0, allora NGβ > 0. Questo è il motivo per cui la deriva verticale viene messa dietro, perché ha un effetto stabilizzante. 4.3 Stabilità Laterale Si parla di stabilità laterale quando si vuole cercare di mantenere stabile l’aereo intorno all’asse di rollio. Il criterio per studiare la stabilità laterale consiste nel perturbare β (questo significa imporre una componente di velocità laterale, si parla di scarroccio laterale) e poi successivamente si studia il comportamento di ∆LG. Allora, per un ∆β > 0 avremo un ∆v > 0, ovvero una componenente laterale di velocità positiva, cosı̀ avremo un ∆LG < 0, ovvero verso sinistra, per un ∆β < 0 avremo un ∆v < 0, ovvero una componente laterale di velocità negativa, cosı̀ avremo un ∆LG > 0, ovvero verso destra. Allora il criterio deve essere ∆L ∆β < 0 =⇒ LGβ < 0. G 27 Ora, analizziamo diversi effetti stabilizzanti: Deriva Verticale Poiché arriva vento da sinistra si genera una componente ∆Q+ che a sua volta genera una componente ∆LG < 0, allora dato che ∆β > 0 avremo che LGβ < 0, allora la deriva verticale ha un effetto stabilizzante Diedro Alare Analizzando la figura possiamo osservare che a causa dell’incremento di v (∆v > 0) a destra abbiamo l’ala che ”scende”, quindi ho un ∆α+ che implica un ∆L+ e un ∆D+ , a sinistra abbiamo l’ala che ”sale”, quindi ho un ∆α− che implica un ∆L− e un ∆D− , questo differenziale di L nelle due ali porta ad avere un ∆LG < 0 allora dato che ∆β > 0 avremo che LGβ < 0, allora il diedro alare ha un effetto stabilizzante Ala Alta Analizzando la figura possiamo osservare che a causa dell’incremento di v (∆v > 0) a destra abbiamo aria che viene sotto l’ala, quindi ho un ∆α+ che implica un ∆L+ , a sinistra abbiamo aria che va via da sotto l’ala, quindi ho un ∆α− che implica un ∆L− , questo differenziale di L nelle due ali porta ad avere un ∆LG < 0 allora dato che ∆β > 0 avremo che LGβ < 0, allora l’ala alta ha un effetto stabilizzante. Nella realtà solitamente si realizzano aerei ad ala bassa, che sono meno stabili, ma mi permettono di controllare maggiormente il velivolo. 28 5 Prestazioni in VORU 5.1 Spinta Necessaria Ritorniamo all’equilibrio in VORU, per un volo simmetrico:  T = D  mG = 0 (40)  L=W  Allora caratterizziamo queste equazioni, ovvero esprimiamo da cosa dipendono queste quantità: T = T (ρ, v, δT ) assegnata attraverso curve sperimentali D = D(ρ, v, α, δe ) L = L(ρ, v, α, δe ) mG = mG (ρ, v, α, δe ) Ora ripercorriamo i passaggi già visti, mG = 0 =⇒ δe = δe∗ (ρ, v, α), inseriamo questo risultato nei legami costitutivi e otteniamo la resistenza trimmata e la portanza trimmata, D = D(ρ, v, α) e L = L(ρ, v, α), ricaviamo α dalla portanza trimmata α = α(L, ρ, v), sostituiamo in D e otteniamo la polare trimmata D = D(ρ, v, L). Il passaggio ulteriore che facciamo adesso è quello di sostituire L con W , allora otteniamo l’equazione risolvente del sistema in VORU, T = D(ρ, v, W ). La risolvente stabilisce il valore della spinta che deve essere erogata per garantire il VORU. Tale spinta deve equivalere ad un valore di resistenza, calcolata sulla base del peso, e della polare trimmata, quindi contiene le informazioni definite dalle equazioni utilizzate. Tale resistenza prende il nome di Spinta Necessaria. 5.2 Caratterizzazione della Risolvente Ritorniamo all’equazione risolvente T = T (ρ, v, δt ) = D(ρ, v, W ). Questa è 1 equazione in 4 incognite, è necessario quindi attuare una soluzione parametrica fissando tre parametri e ricavando il quarto. Vediamo le possibili soluzioni parametriche: (ρ, v, W ) sono noti e costanti → caso tipico per il pilota W δT è incognita, D = 21 ρv 2 SCD (CL ), CL = 1 ρv 2 S allora D è nota, T (ρ, v, δT ) = D possiamo ricavare δT 2 (ρ, v, δT ) sono noti e costanti → caso di interesse per il progettista W è incognita, T (ρ, v, δT ) è nota, allora T = D = 21 ρv 2 SCD (CL ), ricavo CD (CL ), attraverso la polare ricavo CL e poi ricavo W = 12 ρv 2 SCL (ρ, W, δT ) sono noti e costanti v è incognita, in questo caso la soluzione è ricavata in maniera grafica attraverso i Diagrammi di Penaud (diagrammi nel piano (T, D) × v). Inoltre è necessario fare un’osservazione: T (ρ, v, δT ) = T (v) e D(ρ, v, W ) = D(v). E’ possibile distinguere tre casi: 1. Il problema ha una e una sola soluzione, detta v di equilibrio 2. Il problema ha due soluzioni, la maggiore è stabile, la minore è instabile 29  3. Il problema non ha nessuna soluzione Dopo questa trattazione possiamo fare un’osservazione, la spinta necessaria dipende da una serie di parametri: bontà della polare, quota, peso, velocità. 5.3 Analisi del Diagramma di Penaud Analizziamo il diagramma di Penaud, i legami costitutivi sono T = T (v), D = D(v) = 12 ρv 2 SCD ( 1 ρv W 2 S ), da 2 cui possiamo ricavare diverse cose interessanti: vS velocità di stallo in VORU, q L = W in VORU, allora possiamo ricavare la velocità q di equilibrio, 1 2 W W 2 ρv SCL = W =⇒ v = 1 ρSC , con CL = CLM AX avremo v = vstall , ovvero vstall = 2 L 1 ρSC. 2 LM AX Questa cosa istituisce un legame biunivoco tra v e CL , anche chiamato ”assetto”. vminD velocità di minima spinta necessaria, si studia partendo da E = D L , in equilibrio in VORU abbiamo W W W L = W , allora E = D , allora avremo che D = E , allora min D = max E , allora min D ⇐⇒ max E. r W Allora per EM AX si ha un CLEM AX e quindi di conseguenza una vEM AX = 1 ρSC 2 LE M AX Ora, vogliamo cercare di analizzare il diagramma di Penaud in potenza, vediamo come ricavarlo: moltiplichiamo T = D −−−−−−−−−−−−−−−→ T · v = D · v → Pa = Pr dove Pa è la Potenza Disponibile (Avalaible) e Pr è entrambi i membri per v la Potenza Necessaria (Requested). Allora avremo: Pr = 12 ρv 3 SCD (CL ) = 1 3 2 ρv SCD ( 1 W 2 ) → Pr = Pr (v) 2 ρv S perché ρ, W, S sono noti. Vediamo le situazioni viste sopra: stallo: Prstall = 12 ρvstall 3 SCD (CLM AX ) = Dstall · vstall spinta necessaria minima: Pr = f (v), allora per una retta uscente dall’origine avremo Pr = k · v, inoltre la fisica mi dice che Pr = D · v, allora una retta uscente dall’origine è associata a una D costante. Quindi possiamo dire che la tangenza tra la curva di Pr di un aeroplano in VORU e la curva di livello di D si realizza per un certo valore di D. Dal grafico possiamo vedere come tale valore è il più basso possibile, allora avremo tangenza per D = DM IN q potenza necessaria minima: E = D L L·v = D·v → Ev = PWr =⇒ Pr = WE·v e v = 1 W ρSC per equilibio, allora 2 L r W W· 1 ρSC 2 L W√ 2 3 √ Pr = E = √. Allora introduciamo un ulteriore parametro F = E CL , poi ragionando E CL 12 ρS 3 W√ 2 se fisso il CL allora fisso anche E nella polare, allora avremo che min Pr = 1 =⇒ min Pr ⇐⇒ max F 2 ρS r W max F. Questa condizione è associata a CLFM AX allora vFM AX = 1 ρSC. Inoltre, facciamo questa 2 LF M AX osservazione CLFM AX > CLEM AX 30 Notiamo che il diagramma di Penaud in potenza è più ricco di informazioni rispetto a quello in spinta. 5.4 Modelli Per lo studio analitico diretto della soluzione del VORU nel caso in cui l’incognita sia la v occorre sapere esplicitamente come sono fatte la polare e la spinta. 5.4.1 Polare Analitica (Parabolica) La polare analitica, o anche parabolica per come è scritta la formula, viene definita in questo modo: ( CD = CD0 + kCL2 polare parabolica (41) max CL = CLM AX limite del modello Nel modello è stato necessario imporre un limite perché altrimenti il modello si sarebbe allontanato molto dalla realtà. Infatti a CL alti i valori reali sono più bassi dei valori del modello. Attraverso l’uso della polare analitica è possibile definire analiticamente alcuni assetti notevoli: EM AX CL CL E= C D = 2. Il CLEM AX si recupera semplicemente annullando la derivata rispetto a CL , ovvero CD0 +kCL 2 q ∂E ∂E CD0 +kCL −2kCL ·CL CD0 ∂CL = 0. Analizziamo: ∂CL = (CD0 +kCL2 )2 = 0 =⇒ C LEM AX = k. Allora dalla polare 1 avremo CDEM AX = 2CD0 e l’efficienza sarà EM AX = √ 2 kCD0 FM AX √ √ CL CL F = E CL = 2. CD0 +kCL Il CLFM AX si recupera semplicemente annullando la derivata rispetto a CL , 3 √ 2 √ 3 q ∂F ∂F 2 CL (CD0 +kCL )− CL (2kCL ) 3CD0 ovvero ∂CL = 0. Analizziamo: ∂C L = 2 (CD +kC )2 = 0 =⇒ C LFM AX = k. Allora 0 L √ 3 dalla polare avremo CDFM AX = 4CD0 e l’efficienza sarà EFM AX = √ 4 kCD0 GM AX √E CL √1. Introduciamo un altro parametro G. La sua definizione è G = CL = 2 CD0 +kCL · CL Il CLGM AX si ∂G ∂G recupera semplicemente annullando la derivata rispetto a CL , ovvero = 0. Analizziamo: ∂C ∂CL L = 2 √ √1 (CD0 +kCL )− CL (2kCL ) q 2 CL CD0 4 (CD +kC 2 )2 = 0 =⇒ CLGM AX = 3k. Allora dalla polare avremo CDGM AX = 3 CD0 e 0 L √ 3 l’efficienza sarà EGM AX = √ = EFM AX 4 kCD0 31 Verifichiamo dalla polare le condizioni di EM AX , FM AX , GM AX : Inoltre, la Polare Analitica permette di indagare facilmente la forma della curva di spinta necessaria: 1 2 W 1 1 W D= ρv SCD ( 1 2 ) = ρv 2 SCD0 + ρv 2 Sk( 1 2 )2 = Dp + Di (42) 2 2 ρv S 2 2 2 ρv S Dp è la resistenza parassita, è direttamente proporzionale a v 2 , comprende la resistenza di forma (profilo) e la resistenza di attrito, quindi è attribuita alla viscosità. Di è la resistenza indotta, è inversamente proporzionale a v 2 , è causata dalla presenza di vortici all’estremità dell’ala, che si generano naturalmente. E’ possibile ottenere simili contributi con l’uso della polare analitica nella potenza necessaria Pr 5.4.2 Spinta e Potenza Analtiche Abbiamo due casi differenti a seconda del motore utilizzato: Motore a Getto J La caratteristica del motore a getto è che la spinta disponibile non varia in funzione della velocità, ovvero ∂T ∂v = 0, quindi T = T (ρ, δT ) è costante. Invece per quando riguarda la potenza disponibile Pa = T · v, la curva è una retta uscente dall’origine, dato che T è costante. Motore ad Elica a Passo Variabile P La caratteristica del motore a elica è che la potenza disponibile è costante in funzione della velocità, ovvero ∂P ∂v = 0, quindi Pa = Pa (ρ, δT ) è costante. Invece per quanto a Pa riguarda la spinta disponibile T = v è un iperbole, dato che Pa è costante 32 5.5 Studio Analitico della Soluzione in VORU Utilizziamo i modelli appena descritti, analizzando a seconda del motore. 5.5.1 Motore a Getto J L’equazione risolvente è la seguente: ( dove T = costante T = D −−−→ 2 =⇒ CD0 (ρS)2 v 4 − 2(ρS)T v 2 + 4kW 2 = 0 (43) D = 21 ρv 2 SCD0 + k 1 W ρv 2 S 2 Questa è l’equazione risolvente biquadratica in v, chiamata cosı̀ perché compaiono termini in v elevato a esponenti pari (4,2,0). Questo tipo di equazioni è risolvibile in forma chiusa, attraverso l’utilizzo di un cambio di variabile. Allora avremo: p 2 2 2 2 ρST ± (ρST )2 − 4kCD0 W 2 (ρS)2 η = v =⇒ CD0 (ρS) η − 2(ρS)T η + 4kW = 0 =⇒ η = (44) (ρS)2 CD0 Allora la soluzione sarà: v u  s  2 u T W v= 1 ± 1 − 4kCD0 (45) t ρSCD0 T Nella soluzione intervengono delle quantità che dipendono esclusivamente dal design dell’aereo come kCD0 , l’inverso del rapporto spinta-peso. Questo ci porta a pensare che potrebbero non esserci soluzioni. Il risultato per v non può essere v < vstall perché non sarebbe accettabile, allora le corrispondenti s soluzioni saranno scartate.  q
2 Inoltre osserviamo che DM IN = EMWAX = W ·2 kCD0 , allora la soluzione sarà v = ρSC T 1 − DMTIN p D 1 ± 0 5.5.2 Motore a Elica P L’equazione risolvente è la seguente: ( dove Pa = costante Pa = Pr −−−→ 2 =⇒ CD0 (ρS)2 v 4 − 2(ρS)Pr v + 4kW 2 = 0 (46) Pr = 21 ρv 3 SCD0 + k 1W ρvS 2 Questa è l’equazione risolvente, purtroppo non è biquadratica in v, quindi non è risolvibile in forma chiusa. Per risolverla viene utilizzato un semplice metodo iterativo basato sulla fisica (ce ne sono anche altri): Iterazione 1 Ipotizzo che la potenza necessaria indotta q sia trascurabile (ovvero nulla), allora avremo: Pa stimo il (1) kW 2 Pr = Prp = 21 ρv(1) 3 SCD0 = Pa =⇒ v(1) = 3 1 ρSC −−−−−−−−→ Pri = 1 ρv S