Conjuntos Numéricos (Parte 1) PDF

Unidad 1 / Escenario 1 Lectura fundamental Conjuntos numéricos (parte 1) Contenido 1 Números naturales 1 2 Números enteros...

Unidad 1 / Escenario 1 Lectura fundamental Conjuntos numéricos (parte 1) Contenido 1 Números naturales 1 2 Números enteros 5 3 Resolviendo problemas 9 4 Ejercicios de refuerzo 12 Palabras Claves: número, números reales, números naturales, números enteros, resolución de problemas. 1. Números naturales 1.1. ¿Qué es contar?, ¿cómo se representan cantidades? A menudo, en actividades diarias se hace uso de los números para representar cantidades y se operan para calcular resultados necesarios y dar respuesta a una pregunta especı́fica. Por ejemplo, al pagar el valor de un recorrido en taxi se debe hacer una resta de la cantidad que vale el recorrido y la que se paga; si el viaje tiene un costo de $7,500 pesos, se sabe que no se puede pagar con un billete de $5,000 pesos y también se sabe que al pagar con un billete de $10,000 pesos se va a recibir un dinero a cambio. Como esta, existen muchas situaciones cotidianas; actividades en familia o el trabajo, salida con amigos, una cena en un restaurante, organizar paseos o salidas recreacionales, entre otras. Los números siempre están allı́ como una herramienta para desenvolverse exitosamente. Nuestros antepasados, los primeros hombres con la capacidad para racionar, se tuvieron que preguntar en algún momento ¿Cuántos hay?, en un principio la respuesta podrı́a ser muy simple, por ejemplo, uno o muchos, pero a medida que las culturas florecieron y las necesidades básicas de la sociedad se tornaban cada vez más complejas, la palabra “muchos” no respondı́a plenamente a la pregunta planteada. Quizás es por esto que se tuvo la necesidad de contar, y a su vez, asignar un sı́mbolo a lo que se está contando; es decir, se necesitaba de un número para identificar un conjunto de elementos que se está contando. Los restos históricos muestran que diferentes civilizaciones utilizaban diferentes números para llevar las cuentas, ya sea de cosechas, o medición de tiempo: culturas como los mayas, egipcios, chinos y árabes adoptaron diferentes formas de contar y representar números. Pasó mucho tiempo para que se formalizara la notación que se conoce en la actualidad que utiliza los dı́gitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 para representar cantidades y asignar un número a determinada cantidad de objetos. Figura 1. Algunas representaciones numéricas Fuente: Bello (2008) 1 1.2. ¿Qué son los números naturales? Los números naturales son aquellos que se utilizan para contar, es decir, para asignar un sı́mbolo a un conjunto de objetos; por ejemplo, si una familia consta de la madre, padre y tres hijos, el conjunto tiene cinco elementos y se le asigna el número 5. En la infancia, toda persona se enfrenta a un mundo lleno de precios, orden, cantidades, etc, es decir, lleno de números, quizá sea esta la razón por la cual desde la escuela nos enseñan cómo escribirlos, que representan y cómo operarlos. Los números naturales son aquellos que se utilizan para contar y representar cantidades, el conjunto de los números naturales se representa con la letra N y son: Figura 2. Recta de los números naturales Fuente: elaboración propia 1.3. Operaciones y propiedades de los números naturales 1.3.1. Adición La adición, o suma, de números naturales se puede explicar mediante el proceso de contar, por ejemplo, la adición de 5 y 2 es lo mismo que: 2+5 Es decir, a un conjunto de 5 elementos se le adiciona uno de 2 elementos, al unir los dos conjuntos y contar el conjunto resultante da 7 elementos, es decir: 5+2=7 La adición se denomina una operación en los números naturales, y se denota por (N, +) , cumple algunas propiedades que facilita su uso, estas son: 2  Tabla 1. Propiedades de la adición en los números naturales Fuente: elaboración propia 1.3.2. Multiplicación La multiplicación, o producto, de números naturales se puede explicar mediante el proceso de sumar repetidas veces, por ejemplo, la multiplicación de 5 y 3 es lo mismo que: 5+5+5 Es decir, el 5 se está sumando a si mismo tres veces, por tanto: 5 ⋅ 3 = 15 La multiplicación se denomina una operación en los números naturales, y se denota por (N, ⋅), también tiene propiedades útiles que facilitan su uso, estas son: 3  Tabla 2. Propiedades de la multiplicación en los números naturales Fuente: elaboración propia 1.3.3. Sustracción y división La sustracción es el proceso inverso a la adición, es decir que: Si a − b = c, entonces a = c + b El proceso de restar tiene aplicaciones directas en el intercambio o préstamo de cantidades, de allı́ surge la necesidad de quitar una cantidad a otra. En los números naturales no siempre se puede realizar este proceso; por ejemplo: restar 15 unidades a 45 si es posible: 45 − 15 = 30, da como resultado 30 unidades, por el contrario, restar 45 a 15 no es posible; no existe algún número natural para este resultado. 4 De manera similar, la división es el proceso inverso a la multiplicación, es decir que: Si a ÷ b = c, entonces a = cb El proceso de dividir tiene aplicaciones directas la partición de partes iguales y porcentajes (entre otros), por ejemplo, heren- cias o descuentos. En los números naturales no siempre se puede realizar este proceso; por ejemplo: dividir 15 unidades en 5 partes iguales si es posible: 15 ÷ 5 = 3, significa que cada parte queda con 3 unidades, por el contrario, dividir 5 en 15 partes no es posible; no existe algún número natural para este resultado. 2. Números enteros 2.1. ¿Se necesita realmente los números negativos? Los números negativos aparecen en situaciones cotidianas, por ejemplo, representar deudas, temperaturas o distancias. Des- afortunadamente, se utiliza el sı́mbolo de menos para su representación (ejemplo: negativo 5 se representa con −5) y esto hace que el número negativo se confunda con una resta. Históricamente, estos números no fueron aceptados como conjunto en sus inicios y pasaron muchos años hasta que se definieron y aceptaron en la comunidad matemática. 2.2. ¿Qué son los números enteros? Cuando se habla de una temperatura de 7 grados bajo cero, la representación matemática es un entero negativo: −7, de ma- nera similar, hablar del sótano 2 se representa con −2, o sumergirse a una profundidad de 67 metros bajo el nivel del mar se 5 representa con −67; los enteros negativos están en muchas situaciones sin escribirse necesariamente con el signo negativo. El conjunto de los números enteros se representa con la letra Z; es la unión de los números opuestos a los números naturales (llamados enteros negativos), el cero (punto de referencia) y los números naturales: Figura 3. Recta de los números enteros Fuente: elaboración propia 2.3. Operaciones y propiedades de los números enteros 2.3.1. Adición (y sustracción) Para sumar correctamente números enteros se debe saber el sentido en que se cuenta, por ejemplo, la adición: 5 + (−2) Significa que al ubicarse en la recta numérica en 5, se debe mover a la izquierda 2 unidades: el signo negativo del número “−2” simboliza moverse en sentido negativo (izquierda), por tanto: 5 + (−2) = 3 La suma: −15 + (−10), significa que al ubicarse en la recta numérica en −15, se debe mover a la izquierda 10 unidades: −15 + (−10) = −25 La suma: −7 + 8, significa que al ubicarse en la recta numérica en −7, se debe mover a la derecha 8 unidades: −7 + 8 = 1 En el conjunto de los números naturales no es posible realizar algunas sustracciones, por ejemplo, quitar 14 de 5: 5 − 14. En el conjunto de los números enteros todas las sustracciones son posibles y tienen solución, la sustracción es una adición escrita de diferente forma: 5 − 14 = 5 + (−14) = −9 6 Las propiedades de la adición en los números enteros (Z, +) son: Tabla 3. Propiedades de la adición en los números enteros Fuente: elaboración propia Tenga en cuenta que se cumplen las mismas propiedades que la adición de los números naturales y adicionalmente se tienen dos más, relacionadas con el elemento opuesto. 2.3.2. Multiplicación Para multiplicar correctamente números enteros se puede seguir las siguientes reglas: 7  Tabla 4. Reglas de la multiplicación con números enteros Fuente: elaboración propia Las propiedades de la multiplicación en los números enteros (Z, +) son las mismas que las propiedades que la multiplicación en números naturales, estas son: Tabla 5. Propiedades de la multiplicación en los números enteros Fuente: elaboración propia Por ejemplo, el producto: −15(−10), da como resultado un número positivo: −15(−10) = 150 y el producto: −3(2), da como resultado un número negativo: −3(2) = −6. 8 2.3.3. ¿y la división?... Desafortunadamente, la división en número enteros no se puede realizar siempre; por ejemplo: dividir 15 unidades en 5 partes iguales si es posible: 15 ÷ 5 = 3, pero, dividir 5 en 15 partes no lo es; no existe algún número entero para este resultado (situaciones como estas se abordan en el siguiente escenario donde se estudian los números racionales). 2.4. El orden de las operaciones en números enteros Observe la siguiente expresión (−2 + (−5))2 − 5(2 − 3)(−2) + 5 Para encontrar el resultado, es necesario entender el cómo se lee la expresión y cuales operaciones se realizan primero, de lo contrario se pueden encontrar resultados diferentes: Tabla 6. Orden de las operaciones Fuente: elaboración propia Siempre que se desee operar más de dos expresiones, tenga en cuenta lo siguiente: Operar primero las expresiones que estén contenidas en paréntesis. Las potencias se realizan primero que las multiplicaciones. Las multiplicaciones y divisiones se realizan primero que las sumas o restas. Las sumas o restas son las últimas operaciones. 3. Resolviendo problemas A continuación, se muestran algunos problemas que involucran operaciones con números enteros, se espera que evidencie los pasos necesarios para plantear una vı́a de solución y comprobar si esta tiene sentido Ejemplo 1 La torre Colpatria (Bogotá, Colombia) fue el edifico más alto de Colombia, superado el 19 de abril del 2015 por la estructura del edifico BD Bacatá. Su construcción comenzó en 1973 y se inauguró 5 años después. ¿Cuántos años lleva en uso desde su 9 inauguración hasta el 2017? Solución: Se sabe que la construcción comenzó en el año 1973 y duró 5 años, 1973 + 5 = 1978, por tanto, la torre Colpatria se inauguró en el año 1978. 2017 − 1978 = 39; esto quiere decir que la torre lleva 39 años en uso desde su inauguración. ∎ Ejemplo 2 La ayuda financiera entre una beca y el subsidio de manutención es de $3800000, si el dinero del subsidio es $750000 menos que el de la beca. ¿Cuál es el monto de ayuda para la beca y el subsidio? Solución: La ayuda financiera es la suma del dinero de la beca y el subsidio, esto es: 3800000 = beca + subsidio Por otro lado, el dinero del subsidio es $750000 menos que el de la beca, es decir: subsidio = beca − 750000 al sustituir esta expresión en la inicial se tiene que: 3800000 = beca + (beca − 750000) 3800000 = beca + beca − 750000 3800000 = 2(beca) − 750000 3800000 + 750000 = 2(beca) 4550000 = 2(beca) Es decir, dos veces la beca equivale a $4550000, por tanto, la beca es la mitad de este valor: 4550000 = beca 2 beca = 2275000 ahora, se puede encontrar el valor del subsidio: subsidio = beca − 750000 subsidio = 2275000 − 750000 subsidio = 1525000 El monto de la beca es de $2275000 y del subsidio es de $1525000. Queda como ejercicio probar que estos valores cumplen las condiciones del problema. ∎ 10 Ejemplo 3 En cierta ciudad, se registró una temperatura de 5°C bajo cero en la madrugada y de 22°C al medio dı́a, ¿Cuál fue el incre- mento de la temperatura? Solución: El incremento de la temperatura desde -5 hasta 22 se expresa mediante la operación: 22 − (−5) Por tanto, la distancia entre -5 y 22 es: 22 − (−5) = 27 El incremento de la temperatura desde la madrugada hasta el medio dı́a fue de 27°C. ∎ Ejemplo 4 Juan estaciona su carro en el sótano 3 y vive en el piso 5, él siempre sube por las escaleras de su edifico y una vez contó que cada piso consta de 18 escalones. ¿Cuántos escalones sube desde el sótano 3 hasta su apartamento? Solución: Acorde a la definición de distancia vista en el punto anterior, la distancia desde el sótano 3 hasta el piso 5 está dada por la expresión: 5 − (−3) = 8 En total Juan sube 8 pisos, como cada uno tiene 18 escalones, 8(18) = 144, en total sube 144 escalones. ∎ 11 4. Ejercicios de refuerzo 4.1. Ejercicios procedimentales 1. Sobre una recta numérica localice los opuestos de 2, −5, 9, −3. 2. Simplifique las siguientes expresiones a. 2 − 3(−5 − 3)(−2) + (−5) − (−2)3 b. (−2)(−5)(−3) 3. ¿Cuál es el número entero, menor que −15, mayor a −23 y múltiplo de 7 y 3? 4.2. Problemas de aplicación 1. Exprese el número −10 como la suma de cuatro enteros, ninguno de ellos puede ser cero. 2. ¿Cuál es el signo del producto de 50 números enteros, si la mitad de ellos son negativos? 3. Camilo debe invertir $100 dólares en la bolsa durante un dı́a. Si el movimiento de su cuenta fue el siguiente: 12  ¿Cuál es el saldo al final del dı́a? 4. Manuel ha invertido $127,000 pesos en la bolsa, la primera semana ganó $12,000 pesos, la segunda semana perdió $115,000, la tercera semana ganó $17,000 pesos y la cuarta semana perdió $70,000 pesos. ¿Cuál es la utilidad de Manuel es esta inversión? (la utilidad puede ser positiva, negativa o cero, que hace referencia a ganancias, pérdidas o el punto de equilibrio). 5. Juan compró un apartamento en $212,000,000 pesos, invirtió $12,500,000 pesos en la remodelación y $1,550,000 pesos en el impuesto, si quiere una ganancia de $25,000,000 pesos, ¿en cuánto debe vender el apartamento? 6. En cierto paı́s el comparendo por adelantar en carretera con demarcación de doble lı́nea continua es de $737,800 pesos. Si durante los cinco siguientes dı́as hábiles se hace un curso sobre de pedagogı́a ciudadana, se puede acceder a un descuento del 50 % (la mitad del valor del comparendo). El valor del curso es de $98,500 los cuales se pagan en el momento de realizarlo y se restan del valor del comparendo, el valor restante se debe consignar en una cuenta bancaria. Suponiendo que se hace el curso y se tiene el descuento, ¿cuánto dinero se debe consignar? 13 Referencias Bello, I. (2008). Matemáticas básicas universitarias. 1a. ed. McGraw-Hill Interamericana. Tomado de: http://www. ebooks7-24.com. Chappe, A., Zambrano, M., y Arévalo D. (2012). Introducción a las Matemáticas. 1a. ed. Institución Universitaria Politécnico Grancolombiano. Jaimes, N. (2013). Sistema de los números reales - Cartilla. Bogotá, Colombia: Politécnico Gran Colombiano - Educación Virtual. Stewart. I. (2012). Historia de las Matemáticas en los últimos 10.000 años. Crı́tica, España. 14 INFORMACIÓN TÉCNICA Módulo: Matemáticas Unidad 1: Conjuntos numéricos Escenario 1: Conjuntos numéricos (parte 1) Autor: Camilo Andrés Ramı́rez Asesor Pedagógico: Judy Fernanda Villanueva. Diseñador Gráfico: Yinet Rodriguez y Camilo Andrés Ramı́rez. Corrector de estilo: Sonia Truque. Asistente: Ginna Quiroga. Este material pertenece al Politécnico Grancolombiano. Por ende, es de uso exclusivo de las Instituciones adscritas a la Red Ilumno. Prohibida su reproducción total o parcial. 15