UE 106 - INVESTISSEMENTS ET MARCHÉS FINANCIERS - Partie 3 2022-2023 PDF

UE 106 - INVESTISSEMENTS ET MARCHÉS FINANCIERS Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena PARTIE 3 : ATTITUDE ENVERS LE RISQUE, ÉQUILIBRE DU MARCHÉ ET MODÈLES D'ÉVALUATION Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 3 Objectifs Savoir caractériser l'aversion pour le risque et comprendre la no...

UE 106 - INVESTISSEMENTS ET MARCHÉS FINANCIERS Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena PARTIE 3 : ATTITUDE ENVERS LE RISQUE, ÉQUILIBRE DU MARCHÉ ET MODÈLES D'ÉVALUATION Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 3 Objectifs Savoir caractériser l'aversion pour le risque et comprendre la notion de prime de risque Connaître les fonctions d'utilité usuelles et savoir les utiliser pour modéliser des choix en avenir incertain Comprendre les choix de portefeuille optimaux Comprendre l'incidence d'un actif sans risque pour l'ensemble des portefeuilles efficients et maîtriser la notion de portefeuille de tangence Connaître les hypothèses du CAPM, la relation du CAPM et sa signification Comprendre les limites du CAPM Comprendre la notion de modèle multifactoriel et en particulier le modèle de Fama et French (1992) Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 4 Plan de la partie Chapitre 1 : Attitude au risque 1. Le paradoxe de Saint Pétersbourg 2. Fonction d'utilité, aversion pour le risque et prime de risque 3. Fonctions d'utilité usuelles 4. Courbes d'indifférence et choix de portefeuille Chapitre 2 : Introduction de l'actif sans risque et théorème de séparation en 2 fonds 1. La notion d'actif sans risque 2. Expression de la frontière efficiente en présence d'actif sans risque 3. Le portefeuille de tangence 4. Le théorème de séparation en 2 fonds Chapitre 3 : Le CAPM (ou MEDAF) 1. Hypothèse du CAPM et portefeuille de marché 2. Expression du CAPM et signification Chapitre 3 : Au-delà du CAPM – Les modèles à facteurs 1. Tests du CAPM et anomalies 2. Le modèle à 3 facteurs de Fama et French (1992) Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 5 ATTITUDE ENVERS LE RISQUE Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena  6 Le paradoxe de Saint Pétersbourg L'objectif de ce paradoxe (Bernoulli, 1738) est de montrer l'insuffisance du critère de l'espérance mathématique pour valoriser un gain aléatoire Le jeu : – Un meneur lance une pièce non truquée : à chaque lancer il y a une même probabilité (½) que la pièce tombe sur pile ou face – Le jeu s'arrête lorsque la pièce tombe sur face pour la première fois et le joueur empoche alors 2! écus, où 𝑛 représente le numéro du lancer où apparaît face Question : combien un joueur devrait-il payer pour participer ? Selon le critère de l'espérance mathématique, le prix à payer est égal à la valeur du gain espéré soit : Problème : « Il n'y a point d'homme de bons sens qui voulût donner vingt écus ni même dix, pour acheter cette espérance », Buffon (1753, p 79) Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 7 Résolution du paradoxe Buffon (1753) : – "l’argent ne doit pas être estimé par sa quantité numérique" – "l’homme sensé comptera l’écu du pauvre pour un louis, et l’écu du financier pour un liard" Idée de Bernoulli : accorder une valeur "psychologique" marginale décroissante aux gains en appliquant une transformation logarithmique Le principe sera affiné et fera l'objet d'une axiomatisation complète par Von Neumann et Morgenstern en 1943, qui établiront le concept d'utilité espérée, qui sert de base à la décision en avenir incertain La notion d'utilité renvoie au niveau de satisfaction éprouvé par un individu vis-à-vis d'un gain. L'espérance d'utilité est la moyenne, pondérée par les probabilités d'occurrence, de l'utilité des gains réalisables dans les différents scénarios aléatoires existants Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena  8 Fonction d'utilité et aversion pour le risque Définition : La fonction d’utilité U associe à un tout montant monétaire c une valeur perçue de ce montant par un individu U(c). – On note que U est croissante (car plus est préféré à moins) Supposez qu’on demande à un individu de choisir entre deux jeux: 1. Soit remporter de façon certaine une somme 𝑐̅ → U(𝑐)̅ ̃ 𝑐̅ + ℎ( (variable aléatoire) t.q. : 2. Soit participer à une loterie dont le gain est 𝑐= Avec probabilité p, 𝑐̅ + ℎ! > 𝑐̅ → U(𝑐̅ + ℎ! ) Avec probabilité 1- p, 𝑐̅ − ℎ" < 𝑐̅ → U(𝑐̅ − ℎ" ) On fait l’hypothèse que 𝐸[ℎ] + = 0; donc 𝐸[𝑐]̃ = 𝑐̅ Espérance de l’utilité des gains de la loterie → E[U(𝑐)]=(1-p)U( ̃ 𝑐̅ − ℎ" )+pU(𝑐̅ + ℎ! ) Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena  9 Fonction d'utilité et aversion pour le risque Définition : Un individu est averse au risque s’il préfère obtenir l’espérance de gain de la loterie plutôt que de participer à la loterie, donc que U(𝑐)̅ > E[U(𝑐)]. ̃ Comme 𝐸[𝑐]̃ = 𝑐,̅ on a U(𝑐)=U(𝐸[ ̅ 𝑐])= ̃ U((1−p)(𝑐̅ − ℎ! )+p(𝑐̅ + ℎ" )) Donc, la fonction d’utilité pour individu averse au risque est concave. – En effet, U((1-p)(𝑐̅ − ℎ")+p(𝑐̅ + ℎ#))> (1-p)U(𝑐̅ − ℎ")+pU(𝑐̅ + ℎ#). Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 10 Représentation graphique Avec différentes valeurs de probabilité p, on parcourt toute la courbe orange et toute la droite bleue. Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 11 Représentation graphique Considérez le niveau d’utilité espérée associé à la loterie 𝐸 𝑈 𝑐̃ , le niveau de gain 𝑐̃ est donné par l’antécédent par 𝐸 𝑈. Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 12 Représentation graphique L’antécédent de 𝐸 𝑈 𝑐̃ par 𝑈 𝐸. nous donne un gain certain équivalent. Π = 𝑐̃ − 𝐸𝐶(𝑐)̃ Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 13 Equivalent certain et prime de risque Définition: L’équivalent certain est le montant certain 𝐸𝐶(𝑐)̃ tel qu’un l’individu averse au risque est indifférent entre participer à la loterie 𝑐̃ et recevoir ce montant. Il satisfait U(𝐸𝐶(𝑐))̃ = E[U(𝑐)]̃ Comme l’utilité d’un agent averse au risque est concave,𝐸𝐶$̃ < 𝑐.̅ Définition: La prime de risque Π correspond à la perte certaine qu'est prêt à supporter un individu pour ne pas être exposé à un risque (cf. assurance). Elle satisfait U(𝑐̅ − Π) = E[U(𝑐)] ̃ Remarque: Π augmente avec l’aversion pour le risque Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 14 Prime de risque (II) Problème : on ne souhaite pas spécifier la fonction 𝑈 outre le fait qu'elle est croissante et concave → développement de Taylor Rappel : développement de Taylor au voisinage d'un point 𝑥% On considèrera un petit risque, i.e. ℎ4 ≃ 0, de sorte que π ≃ 0 ̅ Π𝑈 $ 𝑐̅ (membre de gauche de la précédente égalité) U(𝑐̅ − Π) = 𝑈(𝑐)- E[U 𝑐̅ + ℎ( ] = 𝐸[𝑈(𝑐)+ ( $ 𝑐̅ + # ℎ( "𝑈 $$ 𝑐̅ ]= 𝑈(𝑐)̅ + # 𝜎%" 𝑈 $$ 𝑐̅ (membre de droite) ̅ ℎ𝑈 " " Rq : Que se passe-t-il si développement de Taylor du membre de droite à l’ordre 1? ( Rq (2) : 𝜎%"= 𝜎&", car tout le risque de la loterie vient de la variable aléatoire ℎ. On en déduit l’approximation de la prime de risque de Arrow et Pratt: Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 15 Analyse de la prime de risque 𝜋 positive si agent averse au risque 2 composantes dans la prime de risque – Une composante objective : 𝜎$! – Une composante subjective : La composante porte le nom d'aversion absolue pour le risque (ARA) Plus l'aversion absolue pour le risque est élevée, plus la courbure de la fonction d'utilité est forte et plus la prime 𝜋 est importante Cas particuliers : – 𝑈 linéaire : situation de neutralité au risque (cf. évaluation d'options) – 𝑈 convexe : situation de goût pour le risque et prime de risque négative Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 16 Analyse de la prime de risque Approximation d’Arrow-Pratt: fiable pour un faible risque. Alors, comportement de l’agent ne dépend plus que de la moyenne et de variance du risque sous-jacent. Si risque plus important, prendre en compte d’autres moments (asymétrie, aplatissement), i.e. développement de Taylor à un plus grand ordre. Alors, deux risques avec même moyenne et écart-type mais qui diffèrent pour moment d’ordre supérieur n’auront pas la même prime de risque. Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 17 Fonctions d'utilité usuelles (I) Fonction d'utilité logarithmique : – 𝑈 𝑐 = ln c , c > 0 " – Aversion absolue pour le risque (ARA) : $ – L'aversion absolue est décroissante avec la richesse, ce qui correspond à un comportement normal de consommation – Intérêt de la fonction d'utilité logarithmique : l'utilité marginale devient infinie lorsque 𝑐 → 0, ce qui évite d'imposer une contrainte de non-négativité sur 𝑐 et facilite donc la modélisation Exercice : combien est valorisé le jeu décrit dans le Paradoxe de Saint Pétersbourg par un joueur caractérisé par une fonction d'utilité logarithmique ? Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 19 Fonctions d'utilité usuelles (II) Fonction d'utilité quadratique : – 𝑈 𝑐 = 𝑐 − 𝑎𝑐 ! , 𝑎 > 𝑂 – 𝑈 & 𝑐 = 1 − 2𝑎𝑐 ⇒ 𝑐 < 1/2𝑎 pour que 𝑈 soit croissante – 𝑈 && 𝑐 = −2𝑎 !' – ARA : "(!'$ – L'aversion absolue est une fonction croissante de la consommation, ce qui n'est pas conforme au comportement vraisemblable d'un individu – Intérêt de la fonction quadratique : 𝐸 𝑈 𝑐 = 𝐸 𝑐 − 𝑎 𝐸 c ! − 𝑎 𝑉𝑎𝑟(𝑐). L'espérance d'utilité s'exprime donc aisément à partir des 2 premiers moments de la consommation, ce qui simplifie considérablement l'analyse des choix de portefeuilles (cf. infra) Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 20 Fonctions d'utilité usuelles (III) Fonction d'utilité exponentielle négative – 𝑈 𝑐 = − exp −𝑎𝑐 , a ≥ 0 – 𝑈 & (𝑐) = 𝑎 exp −𝑎𝑐 – 𝑈 && (𝑐) = −𝑎! exp −𝑎𝑐 – ARA : 𝑎 – La fonction d'utilité exponentielle entraîne donc une aversion absolue pour le risque constante : fonction CARA (Constant Absolute Risk Aversion) – Intérêts de la fonction exponentielle : Permet de contrôler directement le niveau d'aversion absolue pour le risque d'un individu à l'aide du paramètre 𝑎 Dans le cas où la consommation est normalement distribuée, i.e. 𝑐~𝒩(𝜇$ , 𝜎$ ) il est équivalent de maximiser 𝐸 𝑈 𝑐 ou ' ! '' ! 𝜇$ − 𝜎 du fait que 𝐸 𝑈 𝑐 = −𝑒𝑥𝑝 −𝑎𝜇$ + 𝜎 ! $ ! $ Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 21 Exercice Un individu dispose d'un montant de cash 𝑚% qu'il peut investir pour acheter 𝑞 unités d'un actif risqué dont le prix est égal à 𝑃%. Le taux de rentabilité mensuel discret de l'actif est aléatoire et est distribué selon une loi normale avec 𝑟)̃ ~𝒩(𝜇) , 𝜎) ). Le taux de rentabilité sur le cash 𝑚 non investi est supposé nul. L'investisseur est caractérisé par une fonction d'utilité CARA et son aversion absolue pour le risque est égale à 𝑎. Questions : – Ecrire la contrainte budgétaire de l'investisseur et en déduire l'expression de 𝑚. – Etablir l'expression de la richesse aléatoire de l'investisseur dans 1 mois. – Calculer l'espérance et la variance de la richesse finale – En déduire le nombre d'unités d'actif risqué acheté par l'investisseur et commenter l'expression obtenue Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 23 Courbes d'indifférence (I) Les courbes d'indifférence constituent une représentation alternative des préférences d'un individu Une courbe d'indifférence relie tous les paniers de biens – ici tous les actifs financiers – qui offrent la même espérance d'utilité dans le plan (espérance de rentabilité x volatilité) Les courbes d'indifférence d'un individu hostile au risque sont croissantes et convexes : – Croissantes : une augmentation du risque doit être compensée par un supplément de rentabilité espérée – Convexes : le taux marginal de substitution est croissant, i.e. chaque unité supplémentaire de risque doit être compensée par un taux de rentabilité espérée plus fort que l'unité précédente Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 24 Courbes d'indifférence (II) Illustration dans le cas de la fonction d’utilité quadratique Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 25 Aversion pour le risque et choix de portefeuille (I) Un individu rationnel a pour objectif de maximiser son espérance d’utilité, i.e. de se placer sur sa courbe d’indifférence la plus haute possible Il est contraint dans ses choix par l’univers des actifs disponibles, i.e. par l’ensemble des portefeuilles faisables La maximisation de l’utilité espérée combinée à l’existence d’un ensemble faisable conduit « naturellement » un investisseur à sélectionner un portefeuille qui figure sur la frontière efficiente Le choix optimal se situe au point de tangence L’aversion pour le risque d’un investisseur détermine le niveau de risque du portefeuille choisi Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 26 Aversion pour le risque et choix de portefeuille (II) Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 27 INTRODUCTION DE L'ACTIF SANS RISQUE ET THÉORÈME DE SÉPARATION EN 2 FONDS Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 28 L'actif sans risque L'analyse a été menée jusqu'à présent en considérant uniquement des actifs risqués On doit à Tobin (1958) l'idée d'introduire un actif sans risque – Existe-il réellement ? – Traditionnellement obligations d'Etat, mais peut-on encore parler d'actif sans risque ? L'introduction de l'actif sans risque modifie radicalement la forme de la frontière efficiente et conduit aux notions de portefeuille de tangence et de théorème de séparation en deux fonds L'actif sans risque est en outre une étape cruciale dans l'établissement du CAPM (Capital Asset Pricing Model) ou du MEDAF (Modèle d'Equilibre des Actifs Financiers) Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 29 Notations L'ajout de l'actif sans risque porte le nombre total d'actifs présents dans l'économie à 𝑛 + 1 , 𝑖 = 0, 1, ⋯ , 𝑛 Par convention, l'actif 0 désignera l'actif sans risque et l'on notera son taux de rentabilité 𝑟% ou 𝑟* On définit 𝐸)∗ = 𝐸) − 𝑟% le taux de rentabilité espéré de l'actif 𝑖 en excès du taux sans risque et l'on notera 𝑬∗ le vecteur colonne à 𝑛 éléments des taux de rentabilité en excès des 𝑛 actifs risqués La richesse d'un investisseur sera répartie entre les (𝑛 + 1) actifs avec des poids respectifs notés 𝑤% , 𝑤" , ⋯ , 𝑤, En notant 𝒘 le vecteur de poids associé aux actifs 𝑖 = 1, ⋯ , 𝑛, il vient que correspond au poids associé à l'actif sans risque Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 30 Espérance de rentabilité et variance Pour un portefeuille 𝑝 donné le taux de rentabilité espéré en excès (du taux sans risque) s'exprime : Puisque l'actif sans risque ne comporte pas de risque la variance du portefeuille 𝑝 s'exprime : Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 31 Programme d'optimisation Nouveau programme pour un portefeuille de variance minimale : Le lagrangien associé s'exprime : D'où les conditions de premier ordre : Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 32 Résolution A partir de (1) on tire : En remplaçant 𝒘′ dans (2) par l'expression trouvée en (3) il vient : De manière équivalente, en utilisant les taux de rentabilité en excès : D'où l'on tire : Soit l'expression du vecteur de poids du portefeuille de variance minimale de rentabilité espérée 𝐸- : Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 33 Portefeuille de risque minimal et nouvelle frontière efficiente La variance d'un portefeuille étant donnée par 𝒘& 𝑽𝒘, en remplaçant 𝒘 par l'expression trouvée précédemment il vient : On en tire donc : Conclusion : l'ensemble des portefeuilles de risque minimal, dans le plan (𝜎, 𝐸) correspond à 2 demi-droites d'origine 𝑟% Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 34 Portefeuille de tangence Le nouvel ensemble est tangent à l'ensemble des portefeuilles de variance minimale composé uniquement d'actifs risqués au point où Soit 𝒘𝑻 le vecteur de poids associé au portefeuille de tangence et son taux de rentabilité en excès. En utilisant (4) il vient : On en déduit donc le taux de rentabilité en excès du portefeuille de tangence : Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 35 Position du portefeuille de tangence Le numérateur de (5) est positif dans la mesure où la matrice 𝑉 est définie-positive Rappel : poids du portefeuille de variance minimale globale : L'espérance de rentabilité en excès du taux sans risque du portefeuille de variance globale s'exprime: Le dénominateur de (5) étant égal au numérateur de (6), le taux de rentabilité espéré du portefeuille de tangence 𝑇 en excès du taux 𝑟% de l'actif sans risque est donc donné par le signe de 𝐸/01( − 𝑟% Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 36 Illustration graphique Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 37 Exemple 3 titres (I) Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 38 Exemple 3 titres (II) Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 39 Choix optimal de portefeuille >100% portefeuille de tangence, < 0% r0 < 100% portefeuille de tangence, > 0% r0 Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 40 Théorème de séparation en 2 fonds (I) En présence d'un actif sans risque, la nouvelle frontière efficiente se transforme en une demi-droite d'origine 𝑟% tangente en un point 𝑇 à la frontière efficiente uniquement composée d'actifs risqués En notant 𝐸2 l'espérance de rentabilité du portefeuille de tangence et 𝜎2 sa volatilité, l'équation de la frontière efficiente s'exprime : On en déduit donc : Conclusion : la nouvelle frontière efficiente peut être générée en combinant 2 actifs ou 2 fonds, l'actif sans risque et le portefeuille de tangence Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 41 Théorème de séparation en 2 fonds (II) Puisqu'un individu rationnel hostile au risque choisit un portefeuille sur la nouvelle frontière, son choix peut être analysé comme une combinaison de l'actif sans risque et du portefeuille de tangence Il y a séparation entre les préférences des individus (leur aversion pour le risque) et le choix de l'actif risqué sélectionné, qui est in fine le portefeuille de tangence Les préférences, i.e. le degré d'aversion pour le risque jouent uniquement sur le mix entre actif sans risque et portefeuille de tangence Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 42 LE CAPM (OU MEDAF) Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 43 Les hypothèses du CAPM Absence de coûts de transaction et de fiscalité Possibilité de prêter ou d'emprunter au taux sans risque sans limitation et taux prêteur égal au taux emprunteur Les investisseurs sont preneurs de prix Les investisseurs sont rationnels et détiennent uniquement une combinaison de l'actif sans risque et du portefeuille de tangence Les investisseurs ont des anticipations homogènes sur le vecteur des rentabilités espérés et la matrice de variances-covariances des titres risqués Sous ces hypothèses, le portefeuille de tangence est identique pour tous les investisseurs et correspond au portefeuille de marché, i.e. le portefeuille composé de l'ensemble des titres négociés. Qui plus est, le portefeuille de marché est efficient. Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 44 Le concept de portefeuille de marché Le portefeuille de marché contient l'ensemble des actifs cotés (et en théorie non cotés) Supposons que le marché ne soit constitué que des titres Accor, AF KLM et Havas. Dans ce cas la capitalisation du portefeuille de marché est égale à la somme des capitalisations des 3 titres. Le poids de chaque titre dans le portefeuille est égal au rapport de sa capitalisation boursière sur la somme des capitalisations Le théorème de séparation en deux fonds continue à s'appliquer : tout individu détient donc une combinaison de l'actif sans risque et du portefeuille de marché, i.e. une fraction de l'ensemble des titres Le poids 𝑥 du portefeuille de marché par rapport au poids (1 − 𝑥) de l'actif sans risque dans le portefeuille global d'un individu dépend uniquement de son aversion pour le risque Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 45 Expression du CAPM (I) Rappel sur la condition d'efficience d'un portefeuille 𝑝 : Appliqué au portefeuille de marché : 𝜇 représente le taux de rentabilité attendu d'un actif ayant une covariance nulle avec 𝑚. L'actif sans risque étant non corrélé à 𝑚 on peut poser que 𝜇 = 𝑟% = 𝑟* , soit : La relation étant vraie pour tout actif 𝑖, elle est également vraie pour tout portefeuille 𝑝 et donc pour le portefeuille 𝑚, d'où : Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 46 Expression du CAPM (II) On en déduit ainsi l'expression de 𝜃 : Et en remplaçant 𝜃 par son expression, on obtient l'expression du CAPM : Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 47 La formule du CAPM (I) Le CAPM est une relation sur les taux de rentabilité espérés ou requis par les investisseurs, non sur les taux de rentabilité réalisés Le taux de rentabilité exigé est fonction de : – 𝑟* : le taux sans risque, qui correspond à la rémunération pour le temps – 𝛽) 𝐸 𝑟3 ̃ − 𝑟* : la prime de risque La prime de risque est fonction du risque de l'actif, mesuré à travers son 𝛽 → le risque spécifique n'est pas rémunéré à l'équilibre car il a été diversifié $45(7̃ ) ,7* ̃ ) Puisque 𝛽) = ' , le 𝛽 d'un titre correspond également à la :* contribution du titre au risque du marché, par unité de risque du marché. Plus cette contribution est forte, plus la rentabilité attendue sera élevée. Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 48 La formule du CAPM (II) La composante 𝐸 𝑟3 ̃ − 𝑟* est également appelée prime de risque (de marché). Elle fluctue dans le temps, notamment en raison des variations de l'aversion pour le risque des individus (cf. crise) Quand la prime de risque est forte, les taux de rentabilité exigés des actifs augmentent et les prix de ceux-ci baissent (d'autant plus que leur 𝛽 est élevé) Le mécanisme peut être compris à partir de la formule de Gordon- Shapiro : Le 𝑘) de la formule correspond au taux de rentabilité exigé par l'actionnaire, i.e. le 𝐸(𝑟)̃ ) du CAPM. Plus 𝑘) est élevé et plus 𝑃),% est faible Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 49 AU-DELÀ DU CAPM : LES MODÈLES MULTIFACTORIELS Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 50 Le CAPM est-il un bon modèle ? Le CAPM débouche sur plusieurs prédictions testables : – Les individus devraient tous détenir un pourcentage du portefeuille de marché : en réalité, les individus sont massivement sous-diversifiés. Problème dans le CAPM ou ignorance des investisseurs ? – Le portefeuille de marché doit être de variance minimale – Les titres doivent figurer sur la Security Market Line (ou Droite de Marché des Titres – DDM) et le taux de rentabilité attendu d'un titre doit être expliqué par son seul 𝛽 SML Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 51 Comment tester le CAPM ? Procédure assez complexe, initiée par Fama et MacBeth (1973) – Le test doit être réalisé sur des rentabilités espérées (et non réalisées) – Le 𝛽 des titres n'est pas observable mais doit être estimé, avec erreur La méthode : – Etape 1 : estimation sur une période 1 des 𝛽 individuels puis classement des actifs en e.g. 10 portefeuilles avec les actifs correspondant au décile de 𝛽 les plus faibles (forts) dans le portefeuille 1 (10). – Etape 2 : ré-estimation sur une période 2 des 𝛽 des portefeuilles (pour minimiser les erreurs d'estimation) – Etape 3 : régression en coupe transversale, chaque mois d'une période 3, des taux de rentabilité des portefeuilles sur leur 𝛽 estimé sur la période 2 (pour avoir des 𝛽 qui sont bien prédictifs des taux de rentabilités futurs) – Etape 4 : récupération du coefficient de régression obtenu chaque mois, qui correspond à la prime de risque 𝐸 𝑟! ̃ − 𝑟" , et test de la significativité de cette prime (qui doit être positive) Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 52 Test du CAPM et anomalies (II) Dès les premiers tests, apparitions d'anomalies, i.e. des divergences entre les prédictions du CAPM et les résultats observés. Existence d'un effet taille et d'un effet book-to-market (valeur comptable des capitaux propres / valeur de marché) Source : Fama et French (1996), table 1 Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 53 Test du CAPM et anomalies (II) La variation des rentabilités espérées est-elle expliquée par le 𝛽 ? Excess Return of Size Portfolios, 1926–2008 Excess Return of Book-to-Market Portfolios, 1926–2008 Source : Kenneth French Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 54 Pourquoi des anomalies ? Les anomalies devraient normalement disparaître une fois mises en évidence Exemple effet taille : si les entreprises de petite taille ont une espérance de rentabilité excessive, il faut les acheter. Les achats vont faire monter les prix et diminuer la rentabilité espérée jusqu'au point où le taux de rentabilité espéré sera cohérent avec le CAPM Mais l'anomalie est connue et persiste depuis des années. Pourquoi ? – Le portefeuille de marché n'est pas efficient et/ou le 𝛽 est mal calculé – Les investisseurs ne sont pas rationnels (explication comportementale) – Coûts de transaction plus forts pour les small caps (prime d'illiquidité) – Les small caps présentent un risque propre qui n'est pas capté par le 𝛽 Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 55 Modèles multi-factoriels Si le marché ne suffit pas à bien décrire les rentabilités espérées, il peut être pertinent d'introduire d'autres facteurs explicatifs – APT (Arbitrage Pricing Theory) de Ross (1976) – ICAPM (Intertemporal CAPM) de Merton (1973) Un seul facteur et une seule prime de risque dans le cas du CAPM Plusieurs facteurs et plusieurs primes de risque dans le cas des modèle multi-factoriels Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 56 Le modèle à 3 facteurs de Fama et French (I) Fama et French (1992) proposent d'ajouter au facteur marché les facteurs SMB (Small Minus Big) et HML (High Minus Low) Mode de calcul des facteurs et évolution temporelle Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 57 Le modèle à 3 facteurs de Fama et French (II) Le modèle de Fama et French (1992) s'exprime : Les nouveaux facteurs expliquent-ils les rentabilités espérées ? Très faible variation du 𝛽 : le pouvoir explicatif du CAPM est quasi-nul ! Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena