Matematiğin Temelleri Ders-2: Doğru ve Doğru Parçaları PDF

MATEMATİĞİN TEMELLERİ Ders-2 N O K T A , D O Ğ R U, D O Ğ R U PA R Ç A S I , I Ş I N, D Ü Z L E M V E U Z A Y K AV R A M L A R I  Doğru Kavramı ve Matematiksel Analizi Geometrinin temel elemanlarından bir diğeri de doğrudur. Tanım olarak doğru tam düz, sons...

MATEMATİĞİN TEMELLERİ Ders-2 N O K T A , D O Ğ R U, D O Ğ R U PA R Ç A S I , I Ş I N, D Ü Z L E M V E U Z A Y K AV R A M L A R I  Doğru Kavramı ve Matematiksel Analizi Geometrinin temel elemanlarından bir diğeri de doğrudur. Tanım olarak doğru tam düz, sonsuz uzunlukta, en ve yüksekliğe sahip olmayan geometrik bir nesnedir. Bu tanım Öklid geometrisinde doğruya ait özellikleri kapsamaktadır. Bunlar;  Doğrusaldır (eğrilik yoktur)  Genişliği ve kalınlığı (eni) yoktur ve  Her iki uç yönünde de sonsuza gider. Yani uçlarının sonu (başlangıç ve bitiş noktası) yoktur. Sezgisel olarak, düz bir biçimde sonsuz tane nokta koyarak her iki ucundan da sonsuza kadar uzatıldığı varsayılan şekil doğruyu çağrıştırabilir. Doğru, açıklanan bu şekli ile her iki yönde de sonsuza giden noktalar kümesidir. Bu sebeple aynı doğru üzerinde bulunan noktalara doğrusal (doğrudaş) noktalar denir. Doğru, Öklid geometrisi anlamında, tek boyutludur. Doğrunun tek boyutlu olması ölçülebilen bir uzunluğa sahip olabileceğini ancak bir genişlik ve kalınlığa sahip olmadığını gösterir. Bir kalemle düz bir çizgi çizerseniz, bir mikroskop ile incelendiğinde kalemin izinin ölçülebilir bir genişliğe sahip olduğu görülecektir. Fakat geometride, bir doğrunun genişliği ve kalınlığı yoktur. Doğrular genellikle ya üzerindeki herhangi iki nokta ile (AB gibi) ya da bir küçük harf ile (l gibi) ile gösterilir. İkinci gösterini doğru üzerinde en az iki farklı nokta tanımlanmadığı zaman kullanılır. Doğru, birçok aksiyom ve özelliklerle Öklid geometrisi için farklı oluşum ve nitelikler belirler. Örneğin, iki noktadan sadece bir doğru geçer, bir tek noktadan sonsuz çoklukta doğra geçer gibi. Bir doğru, koordinat sisteminde basit olarak y = mx + b denklemi ile gösterilir. Burada x ve y doğru üzerindeki herhangi bir noktanın koordinatlarını, m eğimi, b doğrunun y eksenini kestiği noktayı belirtir. Özel olarak x “apsis”, y “ordinat'' olarak isimlendirilir. Bu şekildeki bir denklem derecesi 2 veya daha çok olan bir terim barındırmaz ve her zaman bir doğru belirttiği için doğrusal denklem olarak bilinir. Bu denklem iki temel amaç için kullanılır. Birincisi, bir doğruyu en basit formda tanımlar. Böylece, denklem sayesinde ifade edilmek istenen doğru en basit formu ile ancak kesin bir şekilde tanımlanmış olur. İkincisi, bu denklem doğru üzerindeki tüm noktaları belirleme imkânına sahiptir. Örneğin, y = 3x+4 doğrusunda apsisi 2 olan bir nokta denklemde yerine konularak ordinatı 10 olarak bulunur. Böylece bulmak istediğimiz nokta (2,10) olarak belirlenir. Üzerinde bir noktası (x0, y0) ve eğimi (m) verilen doğru için denklem olur. Verilen iki noktadan geçen doğrunun Kartezyen koordinat sistemine göre denklemi şeklindedir. Uzayda bir doğrunun denklemi iki şekilde verilebilir. İlki () ve () gibi iki farklı noktası verilen doğrunun denklemi şeklindedir. İkincisi ise, ) noktası ve l, m, n doğrultmanları verilmiş olmak şartı ile şeklindedir. Doğrular eğim dikkate alındığında üç farklı durumda bulunabilir: Yatay, dikey veya eğik olarak. Yatay ve dikey kavramları kendi özel durumları için kullanılır. Fakat bir doğru özel olarak yatay veya dikey değilse eğiktir. Yatay doğrular sıfır eğime (m = 0) sahiptir. Dikey doğruların eğimi sonsuzdur. Bu durumlar doğrunun cebirsel denklemi olan y = mx + b formundan kolayca bunabilir. Şekil 11-15’de verilen doğrulardan Şekil 11 ve 12’de yer alan doğrular yatay, Şekil 13, 14 ve 15’de yer alan doğrular ise eğiktirler. Özel olarak, Kartezyen koordinat siteminde y-ekseni x- eksenine diktir. Bir düzlemde birden fazla doğru bulunması durumunda farklı ilişkiler ortaya çıkar. Muhtemel iki doğru arasında dört farklı ilişki vardır. Doğrular birbirleri ile aynı (eş), birbirleriyle kesişiyor, birbirine paralel veya aykırı olabilirler. Eş doğrular tamamen örtüştükleri için aynı doğrulardır. İkinci durum çok açıktır; Kesişen doğrular ortak tek bir noktaya sahiptirler. Özel olarak 90 derecelik bir açı oluşturacak şekilde bir noktada kesişen doğrulara dik doğrular denir. Paralel doğrular aynı düzlem üzerinde bulunurlar ancak asla kesişmezler. İki paralel doğru arasındaki mesafe hep sabittir ve eğimleri aynıdır. Aykırı doğrular sadece uzayda vardır. Aykırı doğrular aynı düzlemi paylaşmazlar ve asla da kesişmezler. Paralel doğruların aksine, her zaman aralarında sabit bir mesafe yoktur ve de her zaman aynı yönde gitmezler. Bu durumun örnekleri için Şekil 16,17 ve 18 incelenebilir.  Doğru Parçası ve Matematiksel Analizi Eğer bir doğru üzerindeki farklı herhangi iki nokta ile sınırlandırılırsa buna doğru parçası” denir. Bu hali ile doğru parçası kavramı bir bütünün parçası olmayı çağrıştırmaktadır. Bu anlamda bir doğru parçası kendisini taşıyan doğrunun bir kısmıdır. Doğruya benzer şekilde doğru parçası da;  Doğrusaldır (eğrilik yoktur)  Eni (kalınlığı) yoktur ancak  Bir başlangıç ve bitiş noktasına sahiptir. Yani her iki ucu da sonsuza gitmez. Bir kâğıt üzerine cetvel ile başlangıç ve bitişi belli olan düz bir çizgi çizmek doğru parçasını çağrıştırabilir. Bir doğru parçasının uçları doğruda olduğunun aksine sonsuza kadar uzamaz yani uçlarının yeri (konumu) kesin olarak bellidir. Böylece, doğruda olduğu gibi doğru parçası da Öklid anlamında tek boyutludur. Doğru parçası da bir en ve yüksekliğe sahip değildir, ancak ölçülebilen bir uzunluğa sahiptir. Bir doğru parçası yardımıyla bir düzlem üzerinde herhangi iki nokta arasındaki en kısa mesafe belirlenebilir. Doğru parçaları da genellikle ya başlangıç ve bitiş noktaları ile [AB] (veya AB) ya da bir küçük harf ile (d) gösterilir ve “AB doğru parçası” olarak okunur. İkinci gösterim genellikle doğru parçası bir çokgen veya geometrik nesnenin kenarlarına ait ise tercih edilir.  Işın Kavramı ve Matematiksel Analizi  Bir doğru üzerinde alınan bir noktanın sadece bir tarafında alınan noktaların kümesine ışın denir. Bir ışının başlangıç noktası vardır (bellidir), üzerindeki bir başka noktadan geçer ve sonsuza kadar devam eder. Bu hali ile bir ışın belli bir noktadan başlayan diğer tarafı sonsuza kadar giden düz bir çizgi olarak düşünülebilir. Ya da herhangi bir yerinden kesik (sonlu) olan bir doğru bize ışını verir. Doğru ve doğru parçasına benzer şekilde ışın da;  Doğrusaldır (eğrilik yoktur)  Eni (kalınlığı) yoktur  Bir başlangıç noktasına sahiptir, ikinci bir noktadan geçer, fakat bitiş noktasına sahip değildir.  Işın oluşturmak için de iki noktaya ihtiyaç vardır. Bunlardan bir tanesi başlangıç noktası, İkincisi ise geçtiği (geçip gittiği) noktadır. Doğru ve doğru parçasında olduğu gibi ışın da tek boyutludur. Sonsuz bir uzunluğa sahip ancak bir en ve yüksekliğe sahip değildir. Işınlar da başlangıç ve geçtiği iki nokta [AB (veya AB) ya da bir küçük harf (l) ile gösterilir. İkinci gösterim genellikle ışının başlangıç ve geçtiği nokta belirtilmediği durumlarda tercih edilir.