Kelompok 8_GEOMETRI PROYEKTIF.docx.pdf

MAKALAH GEOMETRI SURVEY GEOMETRI PROYEKTIF Dosen Pengampu: Achmad Muhtadin, S.Pd, M.Pd. Disusun Oleh Kelompok 8: 1. Bhatari Yustisia (2205046011) 2. Diva Fitria Ali (2205046014) 3. Duratun Fahirah (220504...

MAKALAH GEOMETRI SURVEY GEOMETRI PROYEKTIF Dosen Pengampu: Achmad Muhtadin, S.Pd, M.Pd. Disusun Oleh Kelompok 8: 1. Bhatari Yustisia (2205046011) 2. Diva Fitria Ali (2205046014) 3. Duratun Fahirah (2205046015) 4. Noor’ Abidah Maisarroh (2205046019) 5. Fatimah Azhara (2205046028) 6. Ismail (2205046033) FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA UNIVERSITAS MULAWARMAN SAMARINDA 2024  KATA PENGANTAR Puji syukur atas kehadirat Allah Swt. yang telah memberikan rahmat dan karunia-Nya, sehingga kami dapat menyelesaikan penulisan makalah dengan judul “Geometri Proyektif” untuk memenuhi tugas mata kuliah Geometri Survey tepat pada waktunya. Kami menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari kata sempurna dikarenakan terbatasnya pengalaman dan pengetahuan yang kami miliki. Oleh karena itu, kami sangat terbuka dalam menerima kritik dan saran dari pembaca makalah ini agar ke depannya kami dapat memperbaiki segala bentuk kesalahan yang terdapat di dalam makalah ini. Kami mengucapkan terima kasih kepada pihak-pihak yang telah berkontribusi dalam penyusunan makalah ini. Semoga kita semua selalu diberikan kesehatan, kelimpahan rezeki, dan diberikan kelancaran dalam melakukan segala aktivitas, serta dalam kehidupan kita sehari-hari. Semoga makalah ini bisa turut andil dalam mencerdaskan generasi muda bangsa, serta dapat menambah wawasan bagi kita semua. Samarinda, 29 Agustus 2024 Penulis i  DAFTAR ISI KATA PENGANTAR............................................................................................. i DAFTAR ISI........................................................................................................... ii BAB I PENDAHULUAN....................................................................................... 1 A. Latar Belakang............................................................................................. 1 B. Rumusan Masalah........................................................................................ 1 C. Tujuan.......................................................................................................... 1 BAB II PEMBAHASAN........................................................................................ 2 A. Sejarah dan Tokoh-Tokoh Geometri Proyektif............................................ 2 B. Definisi Geometri Proyektif......................................................................... 4 C. Teorema dan Aksioma Geometri Proyektif................................................. 5 BAB III PENUTUP............................................................................................... 14 A. Kesimpulan................................................................................................ 14 B. Saran........................................................................................................... 14 DAFTAR PUSTAKA........................................................................................... 15 ii  BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Geometri adalah cabang matematika yang bersangkutan dengan bentuk. Geometri berfokus pada pengukuran, pernyataan terkait bentuk, posisi relatif sebuah gambar, pandang ruang, dan lain sebagainya. Geometri dimulai sebagai ilmu untuk mengukur bumi dan benda-benda fisik lainnya, yang kemudian berkembang menjadi cabang matematika yang lebih abstrak dan kompleks. Ada berbagai jenis geometri, salah satunya adalah geometri proyektif. Geometri proyektif adalah cabang matematika yang mempelajari hubungan antara figur geometris dan gambar yang dihasilkan dari desain (pemetaan). Geometri proyektif penting dipahami karena memiliki peran penting dalam teknologi visualisasi komputer, seperti dalam grafik komputer. B. Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang yang telah dipaparkan, maka dikemukakan masalah sebagai berikut: 1. Bagaimana sejarah geometri proyektif? 2. Apa definisi geometri proyektif? 3. Apa saja teorema geometri proyektif? C. Tujuan Berdasarkan rumusan masalah yang telah disebutkan, tujuan penulisan ini, yaitu: 1. Mengetahui sejarah geometri proyektif 2. Mengetahui definisi geometri proyektif 3. Mengetahui apa saja teorema geometri proyektif 1  BAB I PEMBAHASAN A. Sejarah dan Tokoh-Tokoh Geometri Proyektif (Yunani Kuno: γεωμετρία, geo-"bumi",-metron "pengukuran") adalah cabang matematika yang bersangkutan dengan pertanyaan bentuk, ukuran, posisi relatif gambar, dan sifat ruang. Seorang ahli matematika yang bekerja di bidang geometri disebut ahli ilmu ukur. Geometri muncul secara independen di sejumlah budaya awal sebagai ilmu pengetahuan praktis tentang panjang, luas, dan volume, dengan unsur-unsur dari ilmu matematika formal yang muncul di Barat sedini Thales (abad 6 SM). Pada abad ke-3 SM geometri dimasukkan ke dalam bentuk aksiomatik oleh Euclid, yang dibantu oleh geometri Euclid, menjadi standar selama berabad-abad. Archimedes mengembangkan teknik cerdik untuk menghitung luas dan isi, dalam banyak cara mengantisipasi kalkulus integral yang modern. Bidang astronomi, terutama memetakan posisi bintang dan planet pada falak dan menggambarkan hubungan antara gerakan benda langit, menjabat sebagai sumber penting masalah geometrik selama satu berikutnya dan setengah milenium. Kedua geometri dan astronomi dianggap di dunia klasik untuk menjadi bagian dari Quadrivium tersebut, subset dari tujuh seni liberal dianggap penting untuk warga negara bebas untuk menguasai (Fathun,2020). Pengenalan koordinat oleh René Descartes dan perkembangan bersamaan aljabar menandai tahap baru untuk geometri, karena tokoh geometris, seperti kurva pesawat, sekarang bisa diwakili analitis, yakni dengan fungsi dan persamaan. Hal ini memainkan peran penting dalam munculnya kalkulus pada abad ke-17. Selanjutnya, teori perspektif menunjukkan bahwa ada lebih banyak geometri dari sekadar sifat metrik angka perspektif adalah asal geometri proyektif. Subyek geometri selanjutnya diperkaya oleh studi struktur intrinsik benda geometris yang berasal dengan Euler dan Gauss dan menyebabkan penciptaan topologi dan geometri diferensial (Fathun,2020). 2  Geometri proyektif memiliki sejarah yang sangat kompleks. Geometri ini mulai terkenal dan dijadikan sebagai bentuk perkembangan formal pada abad 19 dan ini merupakan hasil perkembangan dari geometri Euclid. Jika ditelusuri lebih lanjut berdasarkan konsep-konsep dasarnya maka geometri ini muncul pada abad ke-14. Dan temuan ini juga hampir sama dengan Euclid’s Elements yang diletakkan para ahli sebagai fondasi geometri proyektif di abad 17. Disinilah sejarah geometri proyektif menjadi menarik dimana di abad 17 geometri ini tidak popular dikalangan matematikawan. Dan pada abad 19 geometri proyektif menjadi terkenal dan menjadi sorotan bagi semua matematikawan. Gemetri proyektif didefinisikan secara sederhana sebagai sifat- sifat angka yang tetap atau tidak berubah (invariant) dalam proyeksi. Geometri proyeksi adalah studi tentang sifat dari garis-garis yang diproyeksikan. Pada abad ke-17 barulah ada seorang matematikawan Perancis yang berusaha untuk mempelajari geometri proyektif, Gerard Desargues (1591 – 1661) dianggap sebagai penemu sejati dari geometri proyektif. Desargues adalah seorang insinyur dan arsitektur yang tertarik pada konsep proyeksi (Fathun,2020). Pada umur 13 tahun, Pascal P menemukan segitiga Pascal. Umur 14 tahun disertakan sebagai anggota kelompok diskusi di rumah Mersenne di dekat Paris. Saat itulah, Pascal bertemu dan berdiskusi dengan para pemikir tersohor seperti Descartes, Fermat, Roberval, dan beberapa lagi lainnya. Mersenne sebenarnya hanyalah teman sekolah Descartes, namun posisinya di dekat raja dan mempunyai kegemaran akan matematika membuat dia menyediakan tempat dan waktu untuk pertemuan pakar dan terutama matematikawan pada zaman itu. Ketertarikan Mersenne akan ilmu pengetahuan ini membuat dia-dengan dukungan negara, mendirikan Akademi Sains Perancis (French Academy of Sciences). Ide Mersenne ini, kemudian ditiru oleh Inggris dengan mendirikan lembaga serupa, Royal Society. Umur 16 tahun, Pascal menemukan theorema Pascal: "Titik- titik singgung pada sisi-sisi sebuah segi enam/heksagon pada sebuah kerucut terletak pada suatu titik." Umur 17 tahun, Pascal menggunakan theorema ini untuk menjabarkan lebih dari 400 preposisi pada buku tentang 3  kerucut. Selain itu theorema ini menjadi salah satu theorema dasar pada geometri proyektif (Suhaeni,2019). Geometri proyektif sudah ada sejak dulu, tapi lewat sentuhan Pascal dan Desargues diubah menjadi studi formal. Artis dapat menggunakan cara ini untuk membuat lukisan yang menggambarkan ilusi tiga dimensi- tinggi, lebar dan panjang. Lukisan Perjamuan Terakhir (Last Supper) karya Leonardo da Vinci adalah salah contoh penggunaan perspektif atau geometri proyektif. Keduanya mempelajari geometri proyektif, bukan untuk karya seni, tetapi menemukan bahwa potongan kerucut-ellips, hiperbola, parabola adalah proyeksi dari suatu lingkaran apabila dilihat dari suatu titik pada kerucut (Suhaeni,2019). B. Definisi Geometri Proyektif Geometri proyektif adalah cabang matematika yang mempelajari hubungan antara figur geometris dan gambar yang dihasilkan dari desain (pemetaan). Proyeksi dapat berupa film, peta permukaan bumi, atau bayangan objek. Salah satu contohnya, yaitu jika seseorang berdiri di tengah-tengah rel kereta api yang lurus, rel tampak bertemu pada suatu titik di cakrawala. Selain itu, jika menggunakan kamera, gambar yang dihasilkan akan menunjukkan fenomena yang sama (Frank, 1967). Geometri proyektif telah berevolusi dari kebutuhan untuk memahami perspektif dalam menggambar dan melukis. Setiap titik objek yang diproyeksikan dan titik yang sesuai dengan gambarnya harus berada pada jari- jari proyektor, sebuah garis yang melewati pusat proyeksi. Geometri proyektif modern menekankan pada sifat-sifat matematis (seperti kontinuitas garis dan titik perpotongan) yang dipertahankan dalam proyeksi meskipun terdapat distorsi panjang, sudut dan kontur. Geometri proyektif adalah bidang geometri yang memperlakukan figur geometris dari sudut pandang perspektif dan garis cakrawala, figur yang dianggap tidak berubah oleh proyeksi (Petrescu, 2019). 4 C. Teorema dan Aksioma Geometri Proyektif Teorema-teorema yang ada pada geometri proyektif adalah sebagai berikut. 1. Dualitas dan bidang proyektif yang terbatas Menurut Essential Concepts of Projective Geomtry (2007) Kita akan mengilustrasikan kegunaan dualitas dengan membuktikan beberapa hasil yang sederhana namun memiliki jangkauan yang luas pada bidang proyektif yang hanya mengandung banyak titik yang tak terbatas. Kita telah mencatat bahwa untuk setiap bilangan prima p ada sebuah bidang proyektif yang sesuai ℤ𝑝 𝕡2. Berdasarkan Teorema 9, dapat disimpulkan bahwa sebuah bidang proyektif adalah terbatas jika dan hanya jika bidang gandanya terbatas. Bahkan, kita dapat menarik kesimpulan yang lebih kuat. Teorema IV.11. Misalkan P adalah sebuah bidang proyektif berhingga. Maka semua garis-garis di P mengandung tepat jumlah titik yang sama. Bukti. Misalkan L dan M adalah garis-garisnya. Karena ada empat titik, tidak ada tiga titik yang kolinier, pasti ada titik p yang bukan milik L atau M. Definisikan sebuah peta 𝑓 ∶ 𝐿 → 𝑀 dengan mengirimkan 𝑥 ∈ 𝐿 ke titik f(x) di mana px memenuhi M. Ini adalah mudah untuk memverifikasi bahwa f adalah fungsi satu stau dan onto. Dengan menggandakan penjelasan sebelumnya, kami memperoleh kesimpulan sebagai berikut. Teorema IV.12. Misalkan P adalah sebuah bidang proyektif terbatas. Maka semua titik-titik dalam P termuat dalam tepat jumlah garis yang sama. 5 Perhatikan bahwa hasil berikutnya adalah self-dual; dengan kata lain, pernyataan ganda secara logis setara dengan pernyataan asli. Teorema IV.13. Misalkan P adalah sebuah bidang proyektif berhingga. Maka jumlah titik-titik pada setiap garis adalah sama dengan banyaknya garis yang memuat setiap titik. Bukti. Misalkan L adalah sebuah garis di P dan misalkan 𝑥 ∈ 𝐿. Definisikan sebuah peta dari garis-garis yang melalui x ke titik-titik di L dengan mengirimkan sebuah garis M dengan 𝑥 ∈ 𝑀 ke titik perpotongannya yang unik dengan L. Definisi. Urutan bidang proyektif berhingga adalah bilangan bulat positif 𝑛 ≥ 2 sehingga setiap garis berisi 𝑛 + 1 titik dan setiap titik terletak pada 𝑛 + 1 garis. Alasan untuk mengurangkan satu dari bilangan umum adalah sebagai berikut: Jika F adalah sebuah bidang berhingga dengan q elemen, maka ordo dari 𝔽ℙ2 juga akan sama dengan q. Hasil di atas menghasilkan pembatasan yang menarik dan signifikan pada jumlah titik pada bidang proyektif yang terbatas: Teorema IV.14. Misalkan P adalah suatu bidang proyektif berhingga dengan ordo n. Maka P memuat tepat 𝑛2 + 𝑛 + 1 titik. Secara khusus, untuk sebagian besar bilangan bulat positif m, tidak mungkin untuk membuat sebuah bidang proyektif dengan tepat m titik. Lebih lanjut akan dijelaskan mengenai kemungkinan-kemungkinan untuk m di bawah ini. Bukti. Kita tahu bahwa 𝑛 + 1 adalah banyaknya titik pada setiap garis dan banyaknya garis yang melalui setiap titik. Misalkan 𝑥 ∈ 𝑃. Jika kita menghitung semua pasangan (𝑦, 𝐿) sedemikian hingga L adalah sebuah garis yang melalui x dan 𝑦 ∈ 𝐿, maka kita melihat bahwa ada tepat (𝑛 + 1)2 pasangan tersebut. Dalam menghitung pasangan-pasangan tersebut, beberapa titik seperti x dapat muncul lebih dari satu kali. Akan tetapi, x adalah satu- satunya titik yang muncul, karena 𝑦 ≠ 𝑥 mengimplikasikan bahwa hanya ada satu garis yang memuat kedua titik tersebut. Lebih jauh lagi, dari hasil sebelumnya kita tahu bahwa x muncul tepat sebanyak 𝑛 + 1 kali. Oleh karena 6  itu, jumlah titik-titik yang tepat di P diberikan dengan mengurangkan n (bukan 𝑛 + 1) dari jumlah pasangan terurut, dan ini berarti bahwa P benar (𝑛 + 1)2 − 𝑛 = 𝑛2 + 𝑛 + 1 titik yang berbeda. Teorema berikut segera mengikuti dualitas Teorema IV.15. Misalkan P adalah suatu bidang proyektif berhingga berorde n. Maka P memuat tepat 𝑛2 + 𝑛 + 1 garis.garis. Keterangan lebih lanjut tentang bidang proyeksi terbatas. Sekarang kita akan membahas dua masalah yang telah dibahas pada pembahasan sebelumnya: (1)Urutan yang mungkin dari bidang proyektif berhingga. (2)Penggunaan matematis dan non matematis dari bidang proyektif berhingga. Orde-orde bidang proyektif berhingga. Teori bidang berhingga telah dipahami secara lengkap dan disajikan di hampir semua buku teks aljabar tingkat pascasarjana. Untuk tujuan kita, cukuplah untuk mencatat bahwa untuk setiap bilangan prima p dan setiap bilangan bulat positif n, ada sebuah bidang dengan tepat 𝑞 = 𝑝𝑛 elemen. Oleh karena itu, setiap pangkat prima merupakan urutan dari suatu bidang proyektif. 2. Teorema Desargues Menurut Essential Concepts of Projective Geomtry (2007) pada bagian ini kita akan membuktikan versi sintetis dari hasil fundamental geometri bidang menurut G. Desargues (1591-1661). Perumusan dan pembuktian Teorema Desargues menunjukkan bahwa geometri proyektif menyediakan kerangka kerja yang efektif untuk membuktikan teorema geometri nontrivial. Teorema IV.5. (Teorema Desargues) Misalkan P adalah sebuah ruang kejadian proyektif berdimensi paling sedikit tiga, dan misalkan {𝐴, 𝐵, 𝐶} dan {𝐴′, 𝐵′, 𝐶′} adalah tiga buah titik yang tidak saling berkolinier sedemikian sehingga garis 𝐴𝐴′, 𝐵𝐵′ dan 𝐶𝐶′ bersinggungan pada suatu titik X yang tidak termasuk dalam salah satu dari {𝐴, 𝐵, 𝐶} dan {𝐴′, 𝐵′, 𝐶′}. Kemudian titik-titik 𝐷 ∈ 𝐵𝐶 ∩ 𝐵′𝐶′ 7  𝐸 ∈ 𝐴𝐶 ∩ 𝐴′𝐶′ 𝐹 ∈ 𝐴𝐵 ∩ 𝐴′𝐵′ Adalah kolinear. Pembuktian. Pembuktiannya terbagi menjadi dua kasus, tergantung pada apakah himpunan {𝐴, 𝐵, 𝐶} dan {𝐴′, 𝐵′, 𝐶′}. adalah koplanar atau tidak. Salah satu fitur dari pembuktian ini yang mungkin terlihat berlawanan dengan intuisi adalah bahwa kasus nonkoplanar adalah kasus yang lebih mudah. Faktanya, kita akan menurunkan kasus koplanar dengan menggunakan validitas dari hasil pada kasus nonkoplanar. KASUS 1. Misalkan bidang-bidang yang ditentukan oleh {𝐴, 𝐵, 𝐶} dan {𝐴′, 𝐵′, 𝐶′} berbeda. Maka titik X yang terletak pada 𝐴𝐴′, 𝐵𝐵′ dan 𝐶𝐶′ tidak dapat terletak pada salah satu bidang tersebut. Di sisi lain, dapat disimpulkan bahwa titik-titik {𝐴′, 𝐵′, 𝐶′} terletak pada 3 ruang 𝑆 yang ditentukan oleh {𝑋, 𝐴, 𝐵, 𝐶}, dan oleh karena itu kita juga mengetahui bahwa bidang 𝐴𝐵𝐶 dan 𝐴′𝐵′𝐶′ terkandung dalam S. Kedua bidang ini berbeda (jika tidak, dua rangkap tiga dari titik-titik yang tidak berkolinier akan sama), dan oleh karena itu perpotongannya adalah sebuah garis. Menurut definisi, ketiga titik 𝐷, 𝐸, 𝐹 semuanya terletak pada perpotongan kedua bidang, dan oleh karena itu semuanya terletak pada garis perpotongan kedua bidang. KASUS 2. Misalkan bidang-bidang yang ditentukan oleh {A, B, C} dan {𝐴′, 𝐵′, 𝐶′} adalah identik. Idenya adalah untuk merealisasikan konfigurasi yang diberikan sebagai proyeksi fotografis dari konfigurasi noncoplanar yang serupa pada bidang yang sama. Karena proyeksi fotografis pada bidang 8 umum mempertahankan kolinearitas, realisasi seperti ini akan mengimplikasikan bahwa tiga titik asli 𝐷, 𝐸, 𝐹 semuanya kolinear. Di bawah hipotesis Kasus 2, semua titik yang dipertimbangkan terletak pada satu bidang yang akan kita sebut 𝑃. Misalkan 𝑌 adalah sebuah titik yang tidak terletak pada 𝑃, dan misalkan 𝑍 ∈ 𝐴𝑌 adalah titik yang lain. Perhatikan garis 𝐴′𝑍; karena 𝐴′ dan 𝑍 keduanya terletak pada bidang 𝐴𝑋𝑌 , maka seluruh garis 𝐴′𝑍 terletak pada 𝐴𝑋𝑌. Dengan demikian 𝐴′𝑍 dan 𝑋𝑌 bertemu di sebuah titik yang akan kita sebut 𝑄. Perhatikan tiga pasangan segitiga noncoplanar berikut ini: (i) 𝐶′𝑄𝐵′ dan 𝐶𝑌𝐵. (ii) 𝐶′𝑄𝐴′ dan 𝐶𝑌𝐴. (iii) 𝐵′𝑄𝐴′ dan 𝐵𝑌𝐴. Karena 𝐴𝐴′, 𝐵𝐵′ dan 𝐶𝐶′ semuanya bertemu di 𝑋, maka kasus nonplanar dari teorema ini berlaku untuk ketiga kasus tersebut. Misalkan 𝐺 ∈ 𝐵𝑌 ∩ 𝐵′𝑄 dan 𝐻 ∈ 𝐶𝑌 ∩ 𝐶′𝑄, dan perhatikan bahwa 𝑍 ∈ 𝐴𝑅 ∩ 𝐴′𝑄. Maka kebenaran dari teorema ini dalam kasus non-koplanar mengimplikasikan bahwa setiap tripel {𝐷, 𝐻, 𝐺 }, {𝐹, 𝑌, 𝐺 }, {𝐸, 𝐻, 𝑍} Adalah kolinear. Misalkan 𝑃′ adalah bidang 𝐷𝐹𝑍. Maka 𝐺 ∈ 𝑃′ oleh kolinearitas rangkap dua, dan karenanya 𝐻 ∈ 𝑃′ oleh kolinearitas rangkap satu. Karena 𝑍, 𝐻 ∈ 𝑃′, kita memiliki 𝐸 ∈ 𝑃′ oleh kolinearitas tripel ketiga. Semua ini menyiratkan bahwa 𝐸 ∈ 𝑃′ ∩ 𝑃 = 𝐷𝐹 yang menunjukkan bahwa himpunan {𝐷, 𝐸, 𝐹} adalah kolinier. 9  Definisi. Sebuah bidang proyektif P dikatakan Desarguian jika Teorema 5 selalu berlaku pada 𝑃. Dengan Teorema 5, setiap bidang proyektif yang isomorfis dengan sebuah bidang di ruang proyektif berdimensi lebih tinggi adalah Desarguian. Secara khusus, jika 𝔽adalah sebuah bidang miring, maka 𝔽ℙ2 adalah Desarguian karena 𝔽ℙ2 isomorfis dengan bidang di 𝔽ℙ3 yang terdiri dari semua titik-titik yang memiliki koordinat homogen di 𝔽4 dengan bentuk (𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 0). Pada Bagian 4 kita akan melihat bahwa, sebaliknya, setiap bidang Desarguian isomorfis dengan sebuah bidang dalam ruang 3 proyektif. Sebuah contoh bidang proyektif non-Desarguian (𝑏𝑖𝑑𝑎𝑛𝑔 𝑀𝑜𝑢𝑙𝑡𝑜𝑛)1 dapat diberikan dengan mengambil bidang proyektif nyata ℝℙ2 sebagai himpunan titik-titik yang mendasarinya, dan memodifikasi definisi garis sebagai berikut: Garis-garis baru akan mencakup garis di tak terhingga, semua garis yang memiliki kemiringan ≤ 0 atau sejajar dengan sumbu 𝑦, dan garis-garis terputus yang didefinisikan oleh persamaan 𝑦 = 𝑚 (𝑥 − 𝑎 ) , 𝑥 ≤ 𝑎(𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑠𝑦𝑎𝑟𝑎𝑡 𝑦 ≤ 0) 1 𝑦 = 𝑚 (𝑥 − 𝑎 ) , 𝑥 ≥ 𝑎(𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑠𝑦𝑎𝑟𝑎𝑡 𝑦 ≥ 0) 2 di mana 𝑚 > 0. Sebagai titik-titik pada garis-garis tak hingga dari garis-garis yang terakhir, kita ambil titik-titik yang termasuk ke dalam 𝑦 = 𝑚(𝑥 − 𝑎). Sebuah argumen langsung menunjukkan bahwa aksioma-aksioma untuk bidang proyektif terpenuhi. Namun, seperti yang ditunjukkan oleh Gambar, Teorema Desargues salah dalam bidang ini. 3. Teorema Pappus’ 10  Misalkan {A1, A2, A3} dan {B1, B2, B3} adalah dua rangkap tiga koplanar yang tidak kolinier dalam bidang proyektif nyata atau 3-ruang. Asumsikan dua garis dan enam titik adalah berbeda. Kemudian titik-titik perpotongan silang 𝑋 ∈ 𝐴2 𝐵3 ∩ 𝐴3 𝐵2 𝑌 ∈ 𝐴1 𝐵3 ∩ 𝐴3 𝐵1 𝑍 ∈ 𝐴1 𝐵2 ∩ 𝐴2 𝐵1 adalah kolinear. 4. Teorema Pascal Misalkan Γ adalah sebuah kerucut nonsingular di 𝔽ℙ2 dan misalkan segi enam sederhana 𝐴1 … 𝐴6 dituliskan dalam Γ (dengan kata lain, 𝐴𝑖 ∈ Γ untuk semua i). Misalkan 𝑋 ∈ 𝐴1 𝐵2 ∩ 𝐴4 𝐵5 , 𝑌 ∈ 𝐴2 𝐵3 ∩ 𝐴5 𝐵6 , 𝑍 ∈ 𝐴3 𝐵4 ∩ 𝐴6 𝐵1 Maka, X, Y, dan Z adalah kolinier. Garis yang berisi tiga titik ini disebut garis Pascal dari segi enam. Bukti: Berdasarkan Teorema Steiner, ada sebuah proyeksi kolinier Φ sedemikian sehingga Φ(𝐴1 ) = 𝐴5 dan Φ juga memiliki sifat-sifat berikut: Φ[𝐴1 𝐴4 ] = 𝐴5 𝐴4 Φ[𝐴1 𝐴2 ] = 𝐴5 𝐴2 Φ[𝐴1 𝐴3 ] = 𝐴5 𝐴3 11  Φ[𝐴1 𝑍 = 𝐴1 𝐴6 ] = 𝐴5 𝐴6 = 𝐴5 𝑌 Seperti yang terlihat pada gambar, kita mendefinisikan 𝐵1 sebagai titik di mana 𝐴2 𝐴3 bertemu dengan 𝐴4 𝐴5 , dan kita mendefinisikan 𝐵2 sebagai titik di mana 𝐴3 𝐴4 bertemu dengan 𝐴1 𝐴2. Karena Φ adalah sebuah koliniasi proyektif, maka kita memiliki persamaan rasio silang berikut: XR (𝐴1 𝐴4 , 𝐴1 𝐴3 , 𝐴1 𝐵1 , 𝐴1 𝑍) = XR ( Φ[𝐴1 𝐴4 ], Φ[𝐴1 𝐴3 ], Φ[𝐴1 𝐵2 ], Φ[𝐴1 𝑍] )= XR (𝐴5 𝐵1 , 𝐴5 𝐴3 , 𝐴5 𝐴4 , 𝐴5 𝑌 ) Secara konstruksi, titik Z dan 𝐵2 berada pada 𝐴3 𝐴4 , dan titik Y dan 𝐵1 berada pada 𝐴2 𝐴3. Oleh karena itu, teorema sebelumnya mengimplikasikan bahwa rasio silang pertama dalam persamaan yang ditampilkan sama dengan XR(𝐴4 , 𝐴3 , 𝐵2 , Z) dan yang kedua sama dengan XR(𝐵1 , 𝐴3 , 𝐴2 , Y), sehingga XR(𝐴4 , 𝐴3 , 𝐵2 , Z) = XR(𝐵1 , 𝐴3 , 𝐴2 , Y) Karena 𝐴4 𝐵1 = 𝐴4 𝐴5 dan 𝐵2 𝐴2 = 𝐴1 𝐴2 , maka dapat disimpulkan bahwa X ∈ 𝐴4 𝐵1 ∩ 𝐴3 𝑋 ∩ 𝐵2 𝐴2. Dengan demikian kita juga memiliki XR(𝐵1 , 𝐴3 , 𝐴2 , Y) = XR(𝐴4 , 𝐴3 , 𝐵2 , W) dimana W ∈ 𝐴3 𝐴4 ∩ XY. Tetapi ruas kanan dari persamaan ini juga sama dengan rasio silang XR(𝐴4 , 𝐴3 , 𝐵2 , W), oleh karena itu W = Z. Secara khusus, hal ini mengimplikasikan bahwa Z ∈ 𝐴3 𝐴4 ∩ XY sehingga X, Y dan Z adalah kolinier. Aksioma-aksioma pada geometri proyektif adalah sebagai berikut. Aksioma 1: Terdapat sebuah titik dan sebuah garis yang tidak insiden Aksioma 2: Setiap garis insiden dengan minimal 3 titik berbeda Aksioma 3: Dua titik sebarang yang berbeda berinsiden hanya dengan 2 garis Aksioma 4: Jika A, B, C, D adalah 4 titik berbeda sedemikian hingga AB berpotongan dengan CD maka AC memotong BD Aksioma 5: Jika ABC adalah bidang maka terdapat paling sedikit 1 titik tidak berada pada bidang tersebut Aksioma 6: Dua bidang sebarang yang berbeda memiliki paling sedikit 2 titik potong 12 Aksioma 7: Tiga titik diagonal pada complete quadrangle tidak pernah kolinear Aksioma 8: Jika suatu proyeksi memproyeksikan tiga titik invarian yang segaris, maka hasil dari proyeksisetiap titik pada garis tersebut adalah titik invarian 13  BAB III PENUTUP A. Kesimpulan Dari pemaparan pada poin pembahasan sebelumnya, maka dapat disimpulkan: 1. Geometri proyektif memiliki sejarah yang sangat kompleks. Geometri ini mulai terkenal dan dijadikan sebagai bentuk perkembangan formal pada abad 19 dan ini merupakan hasil perkembangan dari geometri Euclid. 2. Geometri proyektif adalah cabang matematika yang mempelajari hubungan antara figur geometris dan gambar yang dihasilkan dari desain (pemetaan). 5. Teorema geometri proyektif antara lain yaitu Teorema Dualitas, Teorema Desargues, Teorema Pappus’, dan Teorema Pascal. B. Saran Berdasarkan kesimpulan yang telah dipaparkan, maka disarankan bagi pembaca untuk dapat memahami sejarah, definisi, dan teorema geometri proyektif. 14  DAFTAR PUSTAKA Essential Concepts of Projective Geomtry. 2007. United States: Purdue University Fathun. (2020). Gambar Teknik Otomatif Untuk SML/MAK Kelas X. Bandung:NILACAKRA. Frank Ayres Jr. (1967). Theory and Problems of Projective Geometry. New york: Schaum Publishing Co. Nazhifa, H. R, Elsa, F. 2022. GEOMETRI PROYEKTIF. Universitas Ahmad Dahlan: Yogyakarta Petrescu, R. V. V. (2019). Presents Some Aspects and Applications of Projective Geometry. Journal of Mechatronics and Robotics, 3(1). https://doi.org/10.3844/jmrsp.2019.389.43 Suhaeni, N. (2021). BLAISE PASCAL. Bandung:PENERBIT NUANSA CENDEKIA. 15