Matematiğin Temelleri - Olasılık (PDF)

MATEMATİĞİN TEMELLERİ OLASILIK  OLASILIK  Günlük hayatta pek çok tahminlerde bulunuruz. Aldığımız kararlarda, yaptığımız ihtimaller hesabının doğruluğuna bağlı olarak başarılı olmak için umudumuz olur. Okula zamanında yetişecek miyim? Otobüs, durağa zamanında gel...

MATEMATİĞİN TEMELLERİ OLASILIK  OLASILIK  Günlük hayatta pek çok tahminlerde bulunuruz. Aldığımız kararlarda, yaptığımız ihtimaller hesabının doğruluğuna bağlı olarak başarılı olmak için umudumuz olur. Okula zamanında yetişecek miyim? Otobüs, durağa zamanında gelecek mi? Trafikte yoğunluk olacak mı? Yağmur yağacak mı? Bu tür tahmin gerektiren sorular günlük etkisi olan problemlerdir. Bununla birlikte, hayatımızı sonuna kadar etkileyecek problemler ve bunların alt problemleri de olabilir. Bir ülkenin geleceğinin planlanması da olasılık kavramı üzerinde şekillenir. Ülkede hangi meslek gruplarında ne kadar elemana ihtiyaç vardır? Buna bağlı olarak, üniversitelerde hangi bölümlere ne kadar öğrenci yerleştirilmelidir? Hangi üretim hangi bölgelerde yapılırsa, hem maliyet hem de o bölgeye verilen zarar en az ya da fayda en çok olur? İhtiyaçlar nelerdir? Neler yapılabilir? Ne olabilir? Bunlar gibi geleceğin planlanması ile ilgili sorular olasılığı da kullanarak ele alınabilir. Her yeni yaklaşım, ihtiyaçlarla başlar, ihtiyaçlar, soruları getirir, bu sorulara bağlı olarak çeşitli analizler yapılır ve analizlerle karşılaşılacak olumsuzluklara karşı çeşitli önlemler alınarak yaklaşımlar genişletilir. Bunun için de veri, gözlem, deney ve olay lazımdır. Bu bölümde, olasılığın temel kavramlarını (deney, deneme, sonuç, ağaç diyagramı, örnek uzay, örnek nokta), olay ve olayların sınıflandırılmasını, olasılık aksiyomlarını, olasılık uzayı ve olasılığın kısa bir tarihçesini tanıtacağız.  Olasılık Nedir? Olasılık en geniş anlamda bir olayın gerçekleşme yüzdesidir. Olasılık 0 ile 1 arasında değerler alır. 0, bir olayın gerçekleşme ihtimalinin olmadığını, 1 ise bir olayın %100 ihtimalle gerçekleşeceğini bize söyler. Havaya madeni bir para attığımızda yazı ya da tura gelme olasılığı vardır ve bu durumda iki seçenekten birisi gerçekleşir (Dik geldiği durumlar istisnadır ve istisnalar kaideyi bozmaz). Yani iki eşit ihtimal vardır, ya yazı veya tura gelecektir. Fakat bir zar atıldığında bu ihtimal düşecek ve altıda bir olacaktır.  Çünkü zarın atılışında altı eşit ihtimal vardır (1,2, 3, 4, 5, 6). Fakat zar atıldığında 1 gelme ihtimali yazı-tura olayında örneğin yazı gelme ihtimaline göre daha düşüktür. Bununla birlikte bir torbaya 5 mavi 2 kırmızı bilye konulsa ve torbadan bir bilye çekilse her bilyenin çekilme ihtimali eşit olmasına karşın, mavi bilye çekilme olasılığı diğerlerine göre daha fazladır. Yazı- tura atıldığında, zar atıldığında veya torbadan bilye çekildiğinde ne geleceğini önceden bilemeyiz. Olasılık hesabı işte tam burada devreye girmektedir. Olasılık, önceden sonucu kesin olarak belli olmayan olgunun sonucunu tahmin etmektir. Ancak, olguların istenen sonuçlarının ne olabileceği konusunda tahminlerde bulunmak mümkündür. Çoğu zaman, şans oyunlarında çok sık kullanılan madeni para ile yazı tura atılması deneyinde olduğu gibi, gözlenen iki önemli olgu vardır: birisi paranın kesin olarak yere düşeceğinin bilinmesi, diğeri ise para yere düştüğünde üst yüze neyin geleceğinin önceden bilinmemesidir. Bir olgunun kesin olarak belirlenmesi olanaksız da olsa, bu tür olgular yeterince gözlendiklerinde belirli bir düzene sahip oldukları görülür.  Madeni para, birbirinden bağımsız olarak 1000 defa havaya atıldığında, tüm atışlar sonunda gözlenen toplam yazı sayısının toplam atış sayısına oranının 1/2 sayısına yaklaştığı görülür. Sonucu kesin belli olmayan bir olgunun düzeninin matematiksel ifadesini elde etmek, olguların gerçekleşmesine ilişkin yargılarımızı ve önermelerimizi sayısallaştırmak ancak olasılık teorisinin sunduğu araçlarla olanaklıdır. Diğer bir deyişle olasılık, basit anlamda, bir olgunun olmasının veya olmamasının matematiksel olarak olabilirlik yüzdesidir. Olasılık, günlük hayatımızda da, sık kullandığımız bir kelimedir. Meteorolo- j ide, günlük hava durumu tahminleri verilirken (örneğin, belirli bir olasılıkla yarın hava yağışlı olacaktır) ya da herhangi bir dersten girilen bir sınav sonucunda sınavın iyi ya da kötü geçmesi durumuna göre “büyük olasılıkla bu dersten geçerim” ya da “bu dersten kalırım” gibi yorumlar, öğrenciler tarafından sık sık kullanılmaktadır. Olasılık konusu, matematikçilerin devreye girmesi ile şekillendiğine göre matematiksel olasılık tanımından kaçamayız. Olasılık kavramının daha iyi anlaşılması için olasılıkta yararlanılan ve olasılığa anlam veren deney, deneme, sonuç (çıktı), ağaç diyagramı, örnek uzay, örnek nokta ve olay gibi temel bazı kavramların tanımlarının kısaca açıklanması gerekmektedir. Aşağıda bu temel kavramlara ilave olarak olasılık aksiyomları ve olasılık uzayı kavramları da ele alınmış ve bu şekilde olasılığın genel olarak ne anlama geldiği açıklanmaya çalışılmıştır.  Deney ve Deneme  Sonucu kesin olarak bilinmeyen olgulara ilişkin bir gözlem yapma ve veri toplama sürecine deney denir. Örneğin, bir madeni paranın 2 kez atılmasında kaç kez tura geleceğini önceden bilemeyiz. Paranın 2 kez atılması deneydir ve deney denemelerden oluşur - burada her bir atış bir denemedir. Bir atölyeden, üretilen ürünün yüzde kaçının defolu üretildiğini önceden belirlemek amacıyla, rastgele 100 tane ürün seçilmesi ve kontrol edilmesi deney, 100 tane parçadan kaç tanesinin hatalı olup olmadığının incelenmesi için her parçanın kontrolü ise bir denemedir. Deney, tek bir denemeden oluşuyorsa “deney denemeye denktir” denir.  Sonuç (Çıktı) Bir denemede elde edilecek sonuçların her birine sonuç veya çıktı denir. Sonuçlar “evet” ya da “hayır” şeklinde cevaplar olabileceği gibi sayısal değerler de olabilir. Bir zar atıldığında, gelebilecek 1, 2, 3, 4, 5 ve 6 rakamlarının her biri bir sonuçtur. Hamile bir annenin doğacak çocuğunun “kız” ya da “erkek” olması da birer sonuçtur.  Ağaç Diyagramı Bir deneyin farklı yollardan mümkün olan tüm sonuçlarının yollarını ve sayısını ağacın dallarına benzeyen şemayla gösteren basit ve etkin yönteme ağaç diyagramı denir. Örneğin bir madeni paranın 2 kez atılmasında sonuçları ve sonuçlara giden yolları gösteren ağaç diyagramı aşağıdaki şekilde gösterilebilir.  Görüldüğü gibi, ağacın her bir dalı karşılaşacağımız bir sonucu göstermektedir. Ağaç diyagramındaki oklardan çıkan her bir harfin bileşimi dikkate alınarak, karşılaşılabilecek tüm sonuçları içeren A kümesi  A = {TT, TY, YT, YY}’dir. A kümesi bir madeni paranın 2 kez ardı ardına atılmasında elde edilen tüm sonuçları göstermektedir. Ağaç diyagramı örnek uzayın listelenmesinde yardımcı olmaktadır.