Thai Math Past Paper PDF 2020-21

คณิตศาสตร์เพิ่ม4 ค32205 ม.5 ครูเณริศา พรหมวิลัย ชื่อ...............................ม.5/.......เลขที่......... 1 คณิตศาสตร์เพิ่ม4 ======================================================================================...

คณิตศาสตร์เพิ่ม4 ค32205 ม.5 ครูเณริศา พรหมวิลัย ชื่อ...............................ม.5/.......เลขที่......... 1 คณิตศาสตร์เพิ่ม4 ====================================================================================== ค32205 ชั้นมัธยมศึกษาป ที่ 5 ภาคเรียนที่ 2 ป การศึกษา 2561 ชื่อ........................................ชั้น ม.5/.......เลขที… ่ … ครูเณริศา พรหมวิลัย โรงเรียนสตรีภูเก็ต  คณิตศาสตร์เพิ่ม4 ค32205 ม.5 ครูเณริศา พรหมวิลัย ชื่อ...............................ม.5/.......เลขที่......... 2 ====================================================================================== จํานวนเชิงซ้อน (complex number) เกิดขึ้นเนื่องจากความพยายามของนักคณิตศาสตร์ในการแก้สมการ x 2 + 1 = 0 ซึ่งจะเห็นได้ว่าเราไม่สามารถหาจํานวนจริงใด ๆ ที่แทนใน x แล้วทําให้สมการเป นจริง นักคณิตศาสตร์จึงสร้าง บทนิยาม จํานวนเชิงซ้อน คือจํานวนซึ่งเขียนในรูปของคูอ ่ ันดับ (a, b) เมื่อ a , b เป นจํานวนจริงใดๆ มีการ เท่ากัน การบวก และการคูณของจํานวนเชิงซ้อนดังนี้ เมื่อ (a,b) และ (c,d) เป นจํานวนเชิงซ้อนสองจํานวน 1. การเท่ากัน (a, b) = (c, d) ก็ต่อเมื่อ a = c และ b = d 2. การบวก (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) 3. การคูณ (a, b)(c, d) = (ac – bd, ad + bc) ระบบจํานวนขึ้นมาใหม่ เรียกว่า “ระบบจํานวนเชิงซ้อน” ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลบวกและผลคูณของจํานวนเชิงซ้อน (3,-2) และ (1,4) วิธีทํา จากบทนิยาม (3,-2) + (1,4) = (3+1 , -2+4) = (4, 2) (3,-2) (1,4) = (3(1) – (-2)4 , 3(4) + (-2)1) = ( 3+8 , 12-2) = (11 , 10) ตัวอย่างที่ 2 จงหาจํานวนจริง a และ b ที่ทําให้ (a,b) + (2,3) = (3,1) วิธี่ทํา จาก (a,b) + (2,3) = (3,1) ดังนั้น (a+2 , b+3) = (3,1) จากบทนิยาม ได้ a + 2 = 3 และ b + 3 = 1 ได้ a = 1 และ b = - 2 ดังนั้น (a,b) + (2,3) = (3,1) เมื่อ a = 1 และ b = - 2 จํานวนเชิงซ้อน (a,b) เมื่อ b = 0 คือ จํานวนจริง a จํานวนเชิงซ้อน (a,b) เมื่อ b ≠0 เรียกว่า จํานวนจินตภาพ จํานวนเชิงซ้อน (0,b) เมื่อ b ≠ 0 เรียกว่า จํานวนจินตภาพแท้  คณิตศาสตร์เพิ่ม4 ค32205 ม.5 ครูเณริศา พรหมวิลัย ชื่อ...............................ม.5/.......เลขที่......... 3 ====================================================================================== พิจารณา ผลคูณของจํานวนจินตภาพแท้สองจํานวน (0,b) และ (0,d) จะได้ (0,b) (0,d) = ( (0)0 - bd , (0)d + b(0) ) = ( - bd , 0) = - bd จะเห็นว่า ผลคูณของจํานวนจินตภาพแท้สองจํานวนได้ผลลัพธ์เป น จํานวนจริงเสมอ ถ้าแทนจํานวนเชิงซ้อน (0,1) ด้วย i จะได้ i2 = (0,1)(0,1) = ( 0(0) – 1(1) , 0(1) +1(0) ) = ( -1 , 0) = -1 จะได้ i 2 = -1 i = −1 พิจารณา จะเห็นว่า ค่า i n เมือ ่ n เป นจํานวนเต็มบวกจะมีคา่ ที่แตกต่างกันเพียง 4 ค่าคือ i, -1, -i, 1 ทั้งนี้ขน ึ้ อยู่กับค่า n ดังนั้นการหาค่า i n สามารถหาได้โดยการหาร n ด้วย 4 แล้วดูเศษการหารดังนี้ i1 = i เมื่อ r = 1 2 i = −1 เมื่อ r = 2 in = 3 i = −i เมื่อ r = 3 i0 = i4 = 1 เมื่อ r = 0 เช่น i 45 = i 4 (11)+1i1 = i ลองทําดู จงหาค่าของแต่ละข้อต่อไปนี้ 1) i 35 =………………………………….. 2) i 78 =………………………………….. 3) i 99 =………………………………….. 4) i 226 =………………………………….. 5) i1740 =………………………………….. 6) i 2553 =………………………………….. 2 3 4 5 58 7. จงหาค่าของ i + i + i + i + i +... + i (-1+i) 8. จงหาค่าของ 2i(i 3 + i 4 + i 5 +... + i 61 ) (2i)  คณิตศาสตร์เพิ่ม4 ค32205 ม.5 ครูเณริศา พรหมวิลัย ชื่อ...............................ม.5/.......เลขที่......... 4 ====================================================================================== i2 = -1 ดังนั้น i = − 1 9. จงหาค่าของ (5 + − 4 ) − (2 − − 25 ) (3 + 7i) บทนิยาม สําหรับจํานวนเชิงซ้อน z = (a, b) เมื่อ a และ b เป นจํานวนจริง จะได้ (a, b) = a + bi เรียก a ว่า ส่วนจริง (real part)ของ z และเขียนแทนด้วย Re(z) เรียก b ว่า ส่วนจินตภาพ (imaginary part) ของ z และเขียนแทนด้วย Im(z) ตัวอย่างที่ 3 จงหาผลบวก และผลคูณของ 5 + 3i และ 4 – 2i วิธีทํา (5 + 3i) + (4 – 2i ) = (5+ 4) + (3i – 2i) = 9+i (5 + 3i) (4 – 2i) = 20 + 12i – 10i – 6i2 = 20 + 12i – 10i + 6 = 26 + 2i จะเห็นว่า การบวกและการคูณ มีสมบัติเช่นเดียวกับการบวกและการคูณ ของจํานวนจริง ========================================================================== แบบฝ กทักษะ ============================================================================= 1. จงหา ส่วนจริง Re(z) และ ส่วนจินตภาพ Im(z)ของจํานวนเชิงซ้อนต่อไปนี้ ตัวอย่าง 1 + 2i Re(z) คือ 1 Im(z) คือ 2 1.1 -3 + 4i Re(z) คือ ……………… Im(z) คือ ……………. 1.2 2- i Re(z) คือ ……………… Im(z) คือ ……………. 1.3 4+ 5 Re(z) คือ ……………… Im(z) คือ ……………. 1.4 5i Re(z)คือ ……………… Im(z) คือ ……………. 1.5 ( 1 + 2i) 2 (กระจายกําลังสองสมบูรณ์ ทําให้เป นผลสําเร็จจะได้ค่า ส่วนจริงและส่วนจินตภาพ ) ………………………………………. Re(z) คือ………………. ………………………………………. Im(z) คือ……………… ………………………………………. 1.6 i2 = ……………. ได้ Re(z) คือ ……………. Im(z) คือ ………..  คณิตศาสตร์เพิ่ม4 ค32205 ม.5 ครูเณริศา พรหมวิลัย ชื่อ...............................ม.5/.......เลขที่......... 5 ====================================================================================== 2. จงหาผลบวกของจํานวนเชิงซ้อนต่อไปนี้ ตัวอย่าง (2,1) + (-3,4) = ( 2+(-3) , 1+4 ) = ( - 1, 5 ) 2.1 (3,-2) + ( -2, 1) = ………………………… 2.2 (4, -2 ) + (-3, 1) = ………………………… 2.3 (2, -5) + (3, 5) = ………………………… 2.4 (2, 3 ) + (1, 4) = ………………………… 2.5 (2, 3 ) + (-1, 3 ) = ………………………… 2.6 (4, 0 ) + ( π , π ) = ………………………… 2.7 ( 2 , 3) + (1, 2) = ………………………… 2.8 (1,-2) + ( 3,-4) + (-5,2) = …………………………………………………….. 2.9 ( 2 , 2 ) + (- 2 , - 2 ) + (0, 3 ) =………………………………………………… 3. จงหาผลคูณของจํานวนเชิงซ้อนต่อไปนี้ ตัวอย่าง ( 3 + 2i ) (4 + 7i) = (3)(4) + (2i)(7i) + (2i)(4) + (3)(7i) = 12 + 14i2 + 8i +21i = - 2 + 29 i 3.1 (3 – 2i) (5 + 4i) = ……………………………………………………………………….. = ………………………………………………………………………. 3.2 (-3 + 2i) (5 - 4i) = ……………………………………………………………………….. = ………………………………………………………………………. 3.3 (8 + 2 i) (1 + 3 i) = ……………………………………………………………………….. = ………………………………………………………………………. 3.4 (x - yi) (x + yi) = ……………………………………………………………………….. = ………………………………………………………………………. 3.5 (2 + 3i) (3 - 2i) (6 - 4i) = ……………………………………………………………………….. = ………………………………………………………………………. = ………………………………………………………………………. 3.6 ( 2 – i )3 = ……………………………………………………………………….. = ………………………………………………………………………. 3.7 i(4+i) (4-i) = ……………………………………………………………………….. = ………………………………………………………………………. 3.8 (2+i) (3-2i) (2-i) (3+2i) = ……………………………………………………………………….. = ………………………………………………………………………. = ……………………………………………………………………….. กําหนด z1 = 1 + 2i, z 2 = 2 − i, z 3 = 4 + 5i 1) 3z1 − z 2 + 2z 3 2) z 2 2 + 2z 3  คณิตศาสตร์เพิ่ม4 ค32205 ม.5 ครูเณริศา พรหมวิลัย ชื่อ...............................ม.5/.......เลขที่......... 6 ====================================================================================== เอกลักษณ์และอินเวอร์สการบวก เนื่องจาก (a,b) + (0,0) = (a,b) = (0,0) + (a,b) ดังนั้น เอกลักษณ์การบวกคือ = (0,0) จะเห็นว่า (- a,- b) + (a,b) = ( 0,0) = ( a,b) + (- a, - b) ดังนั้น อินเวอร์ส การบวกของ (a,b) คือ (- a ,- b) หรือ อินเวอร์ส การบวกของ a + bi คือ - a – bi แบบฝ กทักษะ จงหาอินเวอร์สการบวกของจํานวนเชิงซ้อนต่อไปนี้ ตัวอย่าง ( 4, -5) อินเวอร์สการบวก คือ (-4, 5) 1. (-2, 3) อินเวอร์สการบวก คือ ………………….. 2. (-1, - 4) อินเวอร์สการบวก คือ ………………….. 3. (0, 3) อินเวอร์สการบวก คือ ………………….. 4. 2 + 4i อินเวอร์สการบวก คือ ………………….. 5. -6 – i อินเวอร์สการบวก คือ ………………….. เอกลักษณ์และอินเวอร์สการคูณ เอกลักษณ์การคูณ ในระบบจํานวนเชิง ซ้อ น คือ ( 1 , 0 ) a b อินเวอรสการคูณของ(z-1)ของ (a,b) คือ ( 2 2 , − 2 ) a +b a + b2 a b หรือ อินเวอรสการคูณ(z-1) ของ a + bi คือ 2 2 − 2 i a +b a + b2 1 z ⋅ z −1 = z ⋅ = 1 z 4 3 ตัวอย่าง อินเวอร์สการคูณของ (4,-3) คือ ……………………………….……….= ( , ) 25 25 3 2 อินเวอร์สการคูณของ - 3 + 2i คือ............................................= − − i 13 13  คณิตศาสตร์เพิ่ม4 ค32205 ม.5 ครูเณริศา พรหมวิลัย ชื่อ...............................ม.5/.......เลขที่......... 7 ====================================================================================== แบบฝ กทักษะ จงหาอินเวอร์สการคูณ(z-1) เมื่อกําหนดค่า z ต่อไปนี้ 2 3 2 3 ตัวอย่าง z= (2,3) อินเวอร์สการคูณ(z-1) คือ ( , − 2 )= ( ,− ) 2 2 +3 2 2 + 32 13 13 1. z= ( 3 ,4 ) z-1 = ………………………………………. = ………………………………………….. 2. z= ( 1, 3 ) z-1 = …………………………………………= ………………………………………….. 3. z= 2 + i z-1 = …………………………………………= ………………………………………….. 4. z= 3i z-1 = …………………………………………= ………………………………………….. 5. z= - 2 z-1 = …………………………………………= ………………………………………….. การลบจํานวนเชิงซ้อน บทนิยาม (a, b) – (c, d) = (a, b) + ( - c,- d) ตัวอย่างที่ 5 จงหาค่าของ (3 + 2i) - (4 - 3i) วิธีทํา (3 + 2i ) – (4 – 3i) = (3 + 2i) + (-4 – (-3i)) = ( 3+2i) + (-4+3i) = 3 – 4 + 2i + 3i = - 1 + 5i แบบฝ กทักษะ จงหาผลลบของจํานวนเชิงซ้อนต่อไปนี้ ตัวอย่าง ( 7 –10i) – ( 2 + 3i ) = …………………………………..=……………………………… 1. ( 5 – 4i ) – ( -2 + 3i ) = …………………….…….. = ………………………………. 2. ( 3-i)–3 2 i = …………………………… = ……………………………… 3. ( 1 – i) – 3i – (2 +4i) = ……………………………. = ……………………………… = ……………………………. = …………………………….. 4. 3i – 5i – 8i – i 3 7 8 65 = ……………………………. = ……………………………..  คณิตศาสตร์เพิ่ม4 ค32205 ม.5 ครูเณริศา พรหมวิลัย ชื่อ...............................ม.5/.......เลขที่......... 8 ====================================================================================== การหารจํานวนเชิงซ้อน c −d บทนิยาม ( a, b) ÷ ( c, d ) = ( a, b ) ( , 2 ) เมื่อ (c,d) ≠ (0,0) c + d c + d2 2 2 3 + 2i ตัวอย่างที่ 6 จงหาค่าของ 4 + 3i 3 + 2i 4 3 วิธีทํา = ( 3 + 2i ) ( − i) 4 + 3i 25 25 12 6 8 9 = + + ( − )i 25 25 25 25 18 1 = - i 25 25 แบบฝ กทักษะ จงหาผลหารของจํานวนเชิงซ้อนต่อไปนี้ ในรูปของ a + bi โดยใช้วิธีเปลี่ยนตัวหารเป นอินเวอร์สการคูณ 2−i 1. = ……………………………………………………………………………………………………….. 2+i = ………………………………..……………………….…………………………………….………. = ………………………………..……………………….…………………………………….………. 3 + 4i 2. = ……………………………………………………………………………………………………….. 2 − 3i = ………………………………..……………………….…………………………………….………. = ………………………………..……………………….…………………………………….………. 2i 3. = ……………………………………………………………………………………………………….. 3 + 5i = ………………………………..……………………….…………………………………….………. = ………………………………..……………………….…………………………………….………. 7−i 4. = ……………………………………………………………………………………………………….. 3i = ………………………………..……………………….…………………………………….………. = ………………………………..……………………….…………………………………….………. 1 5. = ……………………………………………………………………………………………………….. (4 − 5i) 2 = ………………………………..……………………….…………………………………….………. = ………………………………..……………………….…………………………………….………. = ………………………………..……………………….…………………………………….……….  คณิตศาสตร์เพิ่ม4 ค32205 ม.5 ครูเณริศา พรหมวิลัย ชื่อ...............................ม.5/.......เลขที่......... 9 ====================================================================================== สังยุคของจํานวนเชิงซ้อน บทนิยาม สังยุค (conjugate) ของจํานวนเชิงซ้อน a + bi คือจํานวนเชิงซ้อน a – bi เขียนแทนสังยุคของจํานวนเชิงซ้อน a + bi ด้วย a + bi จากบทนิยาม จะได้ a + bi = a – bi ตัวอย่าง สังยุคของ 3 + 4i คือ 3 – 4i สังยุคของ 2 คือ 2 สังยุคของ - 2 – i คือ -2 + i สังยุคของ 3i คือ -3i พิจารณา ผลคูณของจํานวนเชิงซ้อน a + bi กับสังยุคของจํานวนเชิงซ้อน a + bi จะได้ (a + bi) (a - bi) = a2 + b2 – abi + abi = a2 + b2 จะได้ว่า ผลคูณ ของจํานวนเชิง ซ้อนใดกับ สัง ยุคของจํานวนเชิง ซ้อนนั้น เป นจํานวนจริง ทฤษฎีบท ให้ z , z1 , z2 เป นจํานวนเชิงซ้อน จะได้ z  z1 1. z1 + z 2 = z1 + z 2 4.  1  = , z2 ≠ 0  z2  z2 2. z1 − z 2 = z1 - z 2 5. ( z −1 ) = (z )−1 3. z1 ⋅ z 2 = z1. z 2 6. z = z แบบฝ กทักษะ จงหาสังยุคของจํานวนเชิงซ้อนต่อไปนี้ ตัวอย่าง (3 , 4) สังยุค คือ (3,- 4) 2 – 3i สังยุค คือ 2 − 3i = 2 + 3i 1. (4,-2) สังยุค คือ ………………….. 2. (3 , 0 ) สังยุค คือ ………………….. 3. 3 + 2i สังยุค คือ ………………….. 4. 4i สังยุค คือ ………………….. 5. 5 สังยุค คือ …………………..  คณิตศาสตร์เพิ่ม4 ค32205 ม.5 ครูเณริศา พรหมวิลัย ชื่อ...............................ม.5/.......เลขที่......... 10 ====================================================================================== การหาผลหารโดยการนําสังยุคของตัวหารมาคูณทั้งตัวตั้งและตัวหาร 3 + 2i ตัวอย่างที่1 จงหาค่าของ 4 + 3i 3 + 2i วิธีทํา = ……………………………………………………………………………………………………….. 4 + 3i = ……………………………………………………………………………………………………….. 7 − 2i ตัวอย่างที่2 จงหาผลหาร 3i 7 − 2i วิธีทํา = …………………………………………………………………………………………………….. 3i = ……………………………………………………………………………………………………. แบบฝ กทักษะ 1. จงหาผลหารโดยตอบในรูป a + bi 2+i 3 4 3 + 4i 11 2 1) ( + i) 2) ( − i) 2−i 5 5 1 + 2i 5 5 2 − 2i 8 2 7−i 1 7 3) ( − i) 4) (− − i) 3 − 2i 11 11 3i 3 3 −5i 25 15 1 3 1 3 5) (− − i) 6) กําหนด z −1 = − i จงหา z ( − i) 3 + 5i 34 34 5 5 2 2  คณิตศาสตร์เพิ่ม4 ค32205 ม.5 ครูเณริศา พรหมวิลัย ชื่อ...............................ม.5/.......เลขที่......... 11 ====================================================================================== 1 8 1 1 3 7) จงหาค่าของ 1 + ( + i) 8) ให้ z= − i จงหาจํานวนเชิงซ้อนที่นํามา 1 5 5 4 4 1+ 1+ i คูณกับ z แล้วได้ผลลัพธ์เป น 1 ( 1+ 3i ) กราฟของจํานวนเชิงซ้อน ระนาบเชิงซ้อน คือ ระนาบในระบบแกนมุมฉาก อันประกอบด้วยแกนนอน เรียกว่า แกนจริง และ แกนตั้ง เรียกว่า แกนจินตภาพ เช่น จํานวนเชิงซ้อน 2+ 3i แทนได้ด้วย จุด (2,3) หรือแทนได้ด้วยเวกเตอร์ทม ี่ ีจุด (0,0) เป นจุดเริ่มต้น และมีจุด (2,3) เป นจุดสิ้นสุด ดังรูป แกนจินตภาพ แกนจินตภาพ หรือ (2,3) (2,3) 0 แกนจริง 0 แกนจริง  คณิตศาสตร์เพิ่ม4 ค32205 ม.5 ครูเณริศา พรหมวิลัย ชื่อ...............................ม.5/.......เลขที่......... 12 ====================================================================================== แบบฝ กทักษะ =========================================================================== 1. จงเขียนจุดซึ่งแทนจํานวนเชิงซ้อนต่อไปนี้ในระนาบเชิงซ้อน 1.1 ( 1 ,4 ) 1.2 (- 3, 1) แกนจินตภาพ แกนจินตภาพ แกนจริง แกนจริง O O 1.3 - 2 – 3i 1.4 3 – 4i แกนจินตภาพ แกนจินตภาพ แกนจริง แกนจริง O O 1.5 3i 1.6 -2 แกนจินตภาพ แกนจินตภาพ แกนจริง แกนจริง O O  คณิตศาสตร์เพิ่ม4 ค32205 ม.5 ครูเณริศา พรหมวิลัย ชื่อ...............................ม.5/.......เลขที่......... 13 ====================================================================================== 2. จงเขียนเวกเตอร์แทนจํานวนเชิงซ้อนต่อไปนี้ในระนาบเชิงซ้อน 2.1 ( 1 ,4 ) 2.2 (- 3, 1) แกนจินตภาพ แกนจินตภาพ แกนจริง แกนจริง O O 2.3 - 2 – 3i 2.4 3 – 4i แกนจินตภาพ แกนจินตภาพ แกนจริง แกนจริง O O 2.5 3i 2.6 -2 แกนจินตภาพ แกนจินตภาพ แกนจริง แกนจริง O O 3. จงเขียนเวกเตอร์แทนจํานวน 3 + 2i และ 5 + i และผลบวกของจํานวนทั้งสอง โดยวิธีเวกเตอร์ แกนจินตภาพ แกนจริง O  คณิตศาสตร์เพิ่ม4 ค32205 ม.5 ครูเณริศา พรหมวิลัย ชื่อ...............................ม.5/.......เลขที่......... 14 ====================================================================================== ค่าสัมบูรณ์ของจํานวนเชิงซ้อน บทนิยาม ค่าสัมบูรณ์ของจํานวนเชิงซ้อน a + bi แทนด้วยสัญลักษณ์ |a + bi| โดยที่ |a + bi| = a2 + b2 ( ซึ่ง คือ ระยะทางจากจุดกําเนิดถึง a + bi นั่นเอง ) ตัวอย่าง ค่าสัมบูรณ์ของ 3 + 2i คือ |3 + 2i| = 32 + 2 2 = 13 ค่าสัมบูรณ์ของ 3i คือ |3i| = 0 2 + 32 = 3 ค่าสัมบูรณ์ของ -4 คือ |-4| = ( −4) 2 + 0 2 = 4 ทฤษฎีบท ให้ z , z1 , z2 เป นจํานวนเชิงซ้อนจะได้ 1. |z| 2 = z. z 2. |z| = |-z| 3. |z| = |z | 4. |z1.z2| = |z1|. |z2| z1 5. |z-1| = |z| -1 6. | | = | z1 | z2 | z2 | *7. |z1+ z2| ≤ |z1| + |z2| *8. |z1- z2| ≥ |z1| - |z2| แบบฝ กทักษะ 1. จงหาค่าสมบูรณ์ของจํานวนเชิงซ้อนต่อไปนี้ ตัวอย่าง 1 + 2i ค่าสมบูรณ์ คือ | 1 + 2i | = 12 + 2 2 = 5 1. 4 + 3i ค่าสัมบูรณ์ คือ ………………………………………………………………………… 2. 1 - 3i ค่าสัมบูรณ์ คือ ………………………………………………………………………… 3. - 5 + 12i ค่าสัมบูรณ์ คือ ………………………………………………………………………… 4. 5i ค่าสัมบูรณ์ คือ ………………………………………………………………………… 5. 4 ค่าสัมบูรณ์ คือ ………………………………………………………………………… 2. จงหา |z| เมื่อกําหนด z ดังต่อไปนี้ 2.1 z = 5 + 4i ( 41 ) 2.2 z = 1 − 2 2i (3)  คณิตศาสตร์เพิ่ม4 ค32205 ม.5 ครูเณริศา พรหมวิลัย ชื่อ...............................ม.5/.......เลขที่......... 15 ====================================================================================== 2.3 z = 2 − 3 i ( 5) 2.4 z = (4 + 3i) + (2 + 5i) (10) 2.5 z = (4 − 5i) − ( −1 + 7i) (13) 2.6 z = (4 − 3i)(4 + 3i) (25) 2 2 + 3i 13 2.7 z = (1 + i) −1 ( ) 2.8 z = ( ) 2 1 + 2i 5  คณิตศาสตร์เพิ่ม4 ค32205 ม.5 ครูเณริศา พรหมวิลัย ชื่อ...............................ม.5/.......เลขที่......... 16 ====================================================================================== จํานวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว ถ้า z = a + bi เป นจํานวนเชิงซ้อนเราสามารถเขียนแทน z ด้วยเวกเตอร์ บนระนาบเชิงซ้อนได้ดังนี้ Y b z (a,b) r b θ 0 a X เมื่อกําหนด θ เป นมุมบวกทีเ่ ล็กที่สด ุ ที่วัดทวนเข็มนา ิกาจากแกน X ไปยัง OZ และให้ r = | OZ | จะได้ r = |z| = a2 + b2 b ในการหาค่า θ ให้หาจากการใช้ tan θ = a b sin θ = ดังนั้น b = rsin θ r a cos θ = ดังนั้น a = rcos θ r จาก Z = a + bi = r cos θ + r i sin θ = r ( cos θ + i sin θ ) เรียก r ( cos θ + i sin θ ) ว่า รูป เชิง ขั้ว ( Polar Form) ตัวอย่างที่ 10 จงเขียนจํานวนเชิงซ้อน 2 + 2i ในรูปเชิงขั้ว วิธีทํา ดังนั้น จํานวนเชิงซ้อน 2 + 2i ในรูปเชิงขั้ว คือ 2 2 ( cos 45° + i sin 45° ) ตัวอย่างที่ 11 จงเขียนจํานวนเชิงซ้อน 3 ในรูปเชิงขั้ว วิธีทํา ดังนั้น จํานวนเชิงซ้อน 3 i ในรูปเชิงขั้ว คือ 3 ( cos 0° + i sin 0° )  คณิตศาสตร์เพิ่ม4 ค32205 ม.5 ครูเณริศา พรหมวิลัย ชื่อ...............................ม.5/.......เลขที่......... 17 ====================================================================================== ตัวอย่างที่ 12 จงเขียนจํานวนเชิงซ้อน - 4 - 4 3 i ในรูปเชิงขั้ว วิธีทํา ดังนั้น จํานวนเชิงซ้อน - 4 - 4 3 i ในรูปเชิงขั้ว คือ 8( cos 240° + i sin 240° ) แบบฝ กทักษะ 1. จงเขียนจํานวนเชิงซ้อนต่อไปนี้ในรูปเชิงขั้ว 1.1 z = 1 + i 1.2 z = -1 + 3i …………………………………………………… ……………………………………………………… …………………………………………………… ……………………………………………………… …………………………………………………… ……………………………………………………… …………………………………………………… ……………………………………………………… …………………………………………………… ……………………………………………………… …………………………………………………… ………………………………………………………. 1.3 z = 4 1.4 z = 3 - 3i …………………………………………………… ……………………………………………………… …………………………………………………… ……………………………………………………… …………………………………………………… ……………………………………………………… …………………………………………………… ……………………………………………………… …………………………………………………… ……………………………………………………… …………………………………………………… ……………………………………………………… 1.5 i เฉลย …………………………………………………… 1. 2 (cos 45o + i sin 45o ) …………………………………………………… 2. 2(cos 120 o + i sin 120 o ) …………………………………………………… 3. 4(cos 0 o + i sin 0 o ) …………………………………………………… 4. 3 2 (cos 315o + i sin 315o ) …………………………………………………… 5. cos 90 o + i sin 90 o ……………………………………………………  คณิตศาสตร์เพิ่ม4 ค32205 ม.5 ครูเณริศา พรหมวิลัย ชื่อ...............................ม.5/.......เลขที่......... 18 ====================================================================================== 2. จงเขียนจํานวนเชิงซ้อนต่อไปนี้ในรูปของ a + bi 2.1 4(cos 45° + isin 45° ) 2.2 6(cos 120° + isin 120° ) …………………………………………………… ……………………………………………………… …………………………………………………… ……………………………………………………… …………………………………………………… ……………………………………………………… …………………………………………………… ……………………………………………………… …………………………………………………… ……………………………………………………… ( 2 2 + 2 2i ) ( − 3 + 3 3i ) การคูณและการหารจํานวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขัว้ ทฤษฎีบท ให้ z , z1 และ z2 เป นจํานวนเชิงซ้อน โดยที่ z = r( cos θ + i sin θ ), z1 = r1( cos θ1 + i sin θ1 ) , z2 = r2 ( cos θ2 + i sin θ2 ) จะได้ 1. z1z2 = r1r2 [ cos( θ1 + θ2 ) + i sin( θ1 + θ2 )] z1 r1 2. = [ cos( θ1 - θ2 ) + i sin( θ1 - θ2 )] เมื่อ z2 ≠ 0 z2 r2 1 1 3. z-1 = = [cos θ − i sin θ] z r 4. z n = r n [cos(nθ) + i sin( nθ)] ตัวอย่างที่ 13 จงเขียนจํานวนเชิงซ้อน [2 3 (cos 330° + isin 330° )][4(cos 240° + isin 240° )]ให้อยู่ในรูป a + bi วิธีทํา ให้ z1 = 2 3 (cos 330° + isin 330° ) , z2 = 4(cos 240° +i sin 240° ) ดังนั้น z1z2 = = = = -12 - 4 3 i  คณิตศาสตร์เพิ่ม4 ค32205 ม.5 ครูเณริศา พรหมวิลัย ชื่อ...............................ม.5/.......เลขที่......... 19 ====================================================================================== 2(cos 30° + i sin 30°) ตัวอย่างที่ 14 จงเขียนจํานวนเชิงซ้อน ให้อยู่ในรูป a + bi 8(cos 240° + i sin 240°) วิธีทํา ให้ z1 = 2(cos 30° + i sin 30° ) , z2 = 8 (cos 240° + i sin 240° ) z1 ดังนั้น = z2 = = = − 3 1 + i 8 8 ============================================================================= แบบฝ กทักษะ จงเขียนจํานวนเชิงซ้อนต่อไปนี้ในรูป a + bi 1. (3(cos 15 o + i sin 15 o )) (2(cos 75 o + i sin 75 o )) (6i) …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 2. (4(cos 40 o + i sin 40 o )) (5(cos 20 o + i sin 20 o )) ( 10 + 10 3 i ) ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 3. (20(cos 83 o + i sin 83 o )) ÷ (5(cos 23 o + i sin 23 o )) (2+2 3i ) ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 9 3 3 **4. (6 3 (cos 40 o + i sin 40 o )) ÷ (5(cos 190 o + i sin 190 o )) − i) (− 5 5 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..  คณิตศาสตร์เพิ่ม4 ค32205 ม.5 ครูเณริศา พรหมวิลัย ชื่อ...............................ม.5/.......เลขที่......... 20 ====================================================================================== ทฤษฎีบท ถ้า z = r ( cos θ + i sin θ ) และ n เป นจํานวนเต็ม จะได้ zn = rn ( cos n θ + i sin n θ ) π π ตัวอย่าง 15 กําหนดให้ z1 = 2 (cos 20° + i sin 20° ) , z2 = 2 ( cos + i sin ) 4 4 จงหา z16 และ z25 วิธีทํา จะได้ z16 = 26[ cos( 6 ⋅ 20° ) + i sin( 6 ⋅ 20° ) ] = …………………………………………………………………………………………. = …………………………………………………………………………………………. = …………………………………………………………………………………………. 5π 5π z25 = ( 2 ) 5 [cos ( ) + i sin( )] 4 4 I’m De Moivre = …………………………………………………………………………………………. Abraham = …………………………………………………………………………………………. = …………………………………………………………………………………………. ======================================================== แบบฝ กทักษะ π π π π 1. กําหนด z1 = 2(cos + i sin ) และ z 2 = 3(cos + i sin ) จงหา 3 3 6 6 9 9 3 1.1 z 2 2 + i) 1.2 z 14 ( ( − 8 − 8 3i ) 2 2 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..…… 1 1 3 1.3 z 2 −4 ( หรือ ) (− − i) z24 162 162 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..…  คณิตศาสตร์เพิ่ม4 ค32205 ม.5 ครูเณริศา พรหมวิลัย ชื่อ...............................ม.5/.......เลขที่......... 21 ====================================================================================== 2. จงเขียนจํานวนเชิงซ้อนต่อไปนี้ในรูป a + bi 5 2.1 ( -1 + i)10 (-32i) 2.2 ( −1 + 3i) (-16-16 3i ) …………………………………………………… ……………………………………………………… …………………………………………………… ……………………………………………………… …………………………………………………… ……………………………………………………… …………………………………………………… ……………………………………………………… …………………………………………………… ……………………………………………………… …………………………………………………… ……………………………………………………… …………………………………………………… ……………………………………………………… …………………………………………………… ……………………………………………………… เทคนิคการยกกําลังมาก ๆ โดยไม่ต้องใช้เชิงขั้ว 1. ยกกําลังเลขคู่ 2. ยกกําลังเลขคี่ ( -1 + i)10 ( -1 + i)11 …………………………………………………… ……………………………………………………… …………………………………………………… ……………………………………………………… …………………………………………………… ……………………………………………………… …………………………………………………… ……………………………………………………… 1 3 2.3 (cos 10° + i sin 10° )]-6 ( − i) 2 2 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 2.4 ถ้า z = −2 + 2 3i แล้ว z17 อยู่ในจตุภาคใด (ตอบ จตุภาค 3) ………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….  คณิตศาสตร์เพิ่ม4 ค32205 ม.5 ครูเณริศา พรหมวิลัย ชื่อ...............................ม.5/.......เลขที่......... 22 ====================================================================================== 2.5 ให้ z1 = 2 (cos 3 o + i sin 3 o ) , z 2 = 3(cos 20 o + i sin 20 o ) , z 3 = 4(cos 22.5 o + i sin 22.5 o ) z 10 z 3 จงหาค่าของ 1 2 ( 27 2 + 27 2i ) z 32 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………. การหารากที่ n ของจํานวน บทนิยาม ให้ x และ z เป นจํานวนเชิงซ้อน และ n เป นจํานวนเต็มบวก x เป นรากที่ n ของ z ก็ต่อเมื่อ xn = z ทฤษฎีบทของเดอมัวพ์ ถ้า z = r ( cos θ + i sin θ ) แล้วรากที่ n ของ z มีทั้งหมด n รากที่แตกต่างกันคือ θ + 2 kπ θ + 2 kπ x = z k = n r [ cos ( ) + i sin ( )] (สูตรเรเดียน) n n θ + k ⋅ 360 o θ + k ⋅ 360 o x = z k = n r [ cos ( ) + i sin ( ) ] (สูตรองศา) n n เมื่อ k ∈ { 0 , 1 , 2 ,... , n – 1 } ตัวอย่าง 16 จงหารากที่ 4 ทั้งหมดของ z = 81 วิธีทํา เขียน z ในรูปเชิงขั้วได้ z = 81( cos 0 + isin 0 ) 0 + 2 kπ 0 + 2 kπ ดังนั้นรากที่ 4 ทั้งหมดของ z คือ zk = 4 81 [ cos ( ) + i sin ( )] 4 4 เมื่อ k = 0 , 1, 2 , 3 เพราะฉะนั้นรากที่ 4 ทั้งหมดของ z คือ z0 = 3 (cos 0 + i sin 0) = 3( 1+ 0 ) = 3 z1 = ………………………………………………………..=…………………………………=……………….. z2 = ………………………………………………………..=…………………………………=……………….. z3 = ………………………………………………………..=…………………………………=……………….. ดังนั้นรากที่ 4 ทั้งหมดของ z คือ ………………………………………  คณิตศาสตร์เพิ่ม4 ค32205 ม.5 ครูเณริศา พรหมวิลัย ชื่อ...............................ม.5/.......เลขที่......... 23 ====================================================================================== ตัวอย่างที่ 17 จงหารากที่ 4 ทั้งหมดของ z = -1+ 3i วิธีทํา เขียน z ในรูปเชิงขั้ว ได้ r = | z | = 1+ 3 = 2 b tan θ == ……………. = ……………….. a เนื่องจาก (-1, 3 ) เป นจุดในควอดรันต์ที่ ……………… ดังนั้น θ = ………………… ดังนั้น z = ……………………………………………………….. รากที่ 3 ทั้งหมดของ z คือ zk 4 [ cos ( 120° + k ⋅ 360° ) + i sin( 120° + k ⋅ 360° ) ] เมื่อ k = 0 , 1 , 2, 3 = 2 4 4 เพราะฉะนั้น รากที่ 4 ทั้งหมดของ z ได้แก่ z0 = ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. = ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. z1 = ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. = ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. z2 = ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. = ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. z3 = ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. = ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ลองทําดู จงแก้สมการ x 4 + 16 = 0 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………..  คณิตศาสตร์เพิ่ม4 ค32205 ม.5 ครูเณริศา พรหมวิลัย ชื่อ...............................ม.5/.......เลขที่......... 24 ====================================================================================== แบบฝ กทักษะ จงใช้ทฤษฎีบทของเดอมัวพ์ หาค่าของ 1. รากที่สองของ 16i ( 2 2 + 2 2 i, − 2 2 − 2 2 i ) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 1 3 3 1 3 1 2. รากที่สองของ + i ( + i, − − i) 2 2 2 2 2 2 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 1 3 1 3 3. รากที่สามของ 1 ( 1, − + i, − − i) 2 2 2 2 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………..  คณิตศาสตร์เพิ่ม4 ค32205 ม.5 ครูเณริศา พรหมวิลัย ชื่อ...............................ม.5/.......เลขที่......... 25 ====================================================================================== ***จงหาคําตอบทั้งหมดของสมการต่อไปนี้ 3 1 3 1 z 3 = (1 + i) 2 ( 3 2( + i), 3 2 (− + i), − 3 2i ) 2 2 2 2 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. รากที่ 2 ของจํานวนเชิงซ้อน โดยใช้สูตร เมื่อ r = | z | = a2 + b2 และให้ zk เป นรากที่ 2 ของ z  r+a r−a  จะได้ z k = ±  + i เมื่อ b ∈ R +  2 2   r+a r−a  และ z k = ±  − i เมื่อ b ∈ R −  2 2  ตัวอย่าง จงหารากที่ 2 ของ 5 + 12i ดังนั้น รากที่ 2 ของ 5 + 12i คือ 3 + 2i และ -3 - 2i ============================================================================= แบบฝ กหัด ============================================================================ 1. จงหารากที่ 2 ของ 5 – 12i ( 3 – 2i และ -3 + 2i)  คณิตศาสตร์เพิ่ม4 ค32205 ม.5 ครูเณริศา พรหมวิลัย ชื่อ...............................ม.5/.......เลขที่......... 26 ====================================================================================== 2. จงหารากที่ 2 ของ 3 + 4i (2+i และ -2-i) 3. จงหารากที่ 2 ของ -15 –8i (1 – 4i และ -1+4i) 4. จงหารากที่ 2 ของ 18i (3+3i และ -3-3i) =========================================================================== กราฟค่าสัมบูรณ์อสมการของจํานวนเชิงซ้อน ถ้า a+bi เป นจํานวนเชิงซ้อน และ r เป นจํานวนจริงบวกแล้ว { z ∈ C| z − (a + bi) |≤ r } คือเซตของจุดทั้งหมด ในระนาบเชิงซ้อนทีม ่ ีระยะห่างจาก (a, b) น้อยกว่าหรือเท่ากับ r ซึ่งก็คือจุดทั้งหมดที่อยู่ภายในและบนวงกลมทีม ่ ี (a, b) เป น จุดศูนย์กลาง รัศมี r หน่วย ดังรูป Y (a,b) r X O  คณิตศาสตร์เพิ่ม4 ค32205 ม.5 ครูเณริศา พรหมวิลัย ชื่อ...............................ม.5/.......เลขที่......... 27 ====================================================================================== ลองทําดู จงเขียนกราฟของจุด z ทั้งหมดในระนาบเชิงซ้อนซึ่งสอดคล้องกับสมการหรืออสมการต่อไปนี้ 1. | z − 1| ≤ 1 2. | z − 1| = 2 จุดศุนย์กลาง......... รัศมียาว.........หน่วย จุดศุนย์กลาง......... รัศมียาว.........หน่วย Y Y 4 4 4 4 2 2 22 X X -5 -5 5 5 -5 -5 5 5 -2 -2 -2 -2 -4 -4 -4 -4 3. | z - 2 + 3i | < 3 4. | z − 1| > 2 จุดศุนย์กลาง......... รัศมียาว.........หน่วย จุดศุนย์กลาง......... รัศมียาว.........หน่วย Y Y 4 4 4 4 2 2 22 X X -5 -5 5 5 -5 -5 5 5 -2 -2 -2 -2 -4 -4 -4 -4 5. | z - 1 - 2i | ≤ 2 6. | z + 2 - 2i | ≤ 3 จุดศุนย์กลาง......... รัศมียาว.........หน่วย จุดศุนย์กลาง......... รัศมียาว.........หน่วย Y Y 4 4 4 4 2 2 22 X X -5 -5 5 5 -5 -5 5 5 -2 -2 -2 -2 -4 -4 -4 -4  คณิตศาสตร์เพิ่ม4 ค32205 ม.5 ครูเณริศา พรหมวิลัย ชื่อ...............................ม.5/.......เลขที่......... 28 ====================================================================================== แบบฝ กหัดประยุกต์ จงเขียนกราฟของจุด z ทั้งหมดในระนาบเชิงซ้อนซึ่งสอดคล้องกับสมการหรืออสมการในข้อต่อไปนี้ จง เขียนแสดงกราฟแสดงจุด z ทั้งหมดในระนาบเชิงซ้อนซึ่งสอดคล้องอสมการ | z |≥ 3 และสมการ | z − 2 |< 2 Y 4 4 22 X -5 -5 55 -2 -2 -4-4 การแยกตัวประกอบ พิจารณาการแยกตัวประกอบต่อไปนี้ คือ x 2 − 9 =.......................................... x 2 − 25 =........................................... x 2 − 7 =........................................... นําวิธีแยกตัวประกอบข้างต้นช่วยในการแยกตัวประกอบจํานวนเชิงซ้อนได้ โดยจัดรูปสมการให้อยู่ในรูปแบบคล้ายกัน เช่น 1) x2 + 1 =..................................................................... =..................................................................... 2) x 2 + 16 =..................................................................... =..................................................................... 4) 9x 2 + 16y 2 =..................................................................... =..................................................................... ***5) x 4 − 81 =..................................................................... =..................................................................... =..................................................................... 6) คําตอบของสมการ x 2 + 36 = 0 คือเท่าใด (6i, -6i)  คณิตศาสตร์เพิ่ม4 ค32205 ม.5 ครูเณริศา พรหมวิลัย ชื่อ...............................ม.5/.......เลขที่......... 29 ====================================================================================== สมการพนุนาม ทฤษฎีบท ทฤษฎีบทพีชคณิตเบื้องต้น สมการพหุนามกําลัง n เมื่อ n เ?