Комплексные числа PDF

Комплексные числа Содержание §1 История комплексных чисел 1 §2 Поле комплексных чисел 2 §3 Формы комплексных чисел 5 §1. История...

Комплексные числа Содержание §1 История комплексных чисел 1 §2 Поле комплексных чисел 2 §3 Формы комплексных чисел 5 §1. История комплексных чисел Прежде формального определения понятия "комплексное число"обратимся к тому как этот объект появился исторически. Рассмотрим кубическое уравне- ние: x3 = 15x + 4 Из формул Кардано для уравнений такого типа следует, что решение может быть найдено в виде: r r 3 b 3 b p p x= + Q+ − Q, 2 2
2
3 где Q = 2b − k3 , а числа b и k соответствуют коэффициентам в уравнении более общего вида x3 = kx + b При подстановке чисел из примера, получаем Q = −121 и тогда √ √ q q 3 3 x = 2 + −121 + 2 − −121 Попробуем не смутиться тем, что под квадратным корнем находится отрица- тельное число и найдем результат извлечения кубического корня. Предположим следующее √ √ q 3 2 ± −121 = 2 ± −1 Давайте убедимся в этом, проверив равенство со знаком "+". √ √ √ √ √ (2 + −1)3 = 23 + 3 · 22 −1 + 3 · 2( −1)2 + ( −1)3 = 2 + 11 −1 Второе равенство, со знаком "−" доказывается аналогично. Тогда для ре- шения исходного уравнения получаем, что 1  √
√
x= 2+ −1 + 2 − −1 = 4 Результатом суммы двух таких "странных" корней стало обычное действи- тельное число, которое мы и желали получить. В этом можно убедиться, постро- ив графики кубической параболы и прямой, стоящей в правой части уравнения из примера. Такие числа, числа с корнями из отрицательных чисел, с подачи Декарта начали называть мнимыми (лат. imaginarius). Позднее Эйлером было введено специальное обозначение, к которому мы в дальнейшем придем. √ −1 = i §2. Поле комплексных чисел Опр. 2.1. Комплексным числом называется элемент z декартова произве- дения R × R: z = (a, b), a, b ∈ R, снабженного двумя операциями, индуцированными из R: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d); (a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc); NtB 2.1. Для множества комплексных чисел имеется специальное обозначение: C = {(a, b) : a, b ∈ R}. NtB 2.2. Для всех комплексных чисел выполняется свойство z1 = z2 ⇔ a1 = a2 , b 1 = b2. NtB 2.3. В дальнейшем будем предполагать, что множество вещественных чи- сел R вложено в C. Для этого мы утверждаем, что комплексное число вида (a, 0) ∈ C однозначно соответствует числу a ∈ R. Перечислим свойства операций сложения и умножения комплексных чисел: (а) Ассоциативность сложения. ((a, b) + (c, d)) + (e, f ) = (a, b) + ((c, d) + (e, f )) (б) Коммутативность сложения. (a, b) + (c, d) = (c, d) + (a, b) 2 (в) Существование нулевого элемента. Нулевым элементом называют та- кой элемент, который не изменяет другой при операции сложения. В мно- жестве комплексных чисел таковым является (0, 0). Действительно, ∃ (α, β) : (a, b) + (0, 0) = (a, b) (г) Существование противоположного элемента. Противоположным эле- ментом к элементу (a, b) называют такой элемент, который в сумме c (a, b) дает нулевой элемент. ∃ (α, β) : (a, b) + (α, β) = (0, 0) Из этого требования следует, что α = −a и β = −b. Следовательно проти- воположным элементом к (a, b) будем называть элемент (−a, −b). Можно заметить, что он получается путем умножения комплексного числа (a, b) на число −1. Это позволяет определить операцию разности родственную сложению как (a, b) − (c, d) = (a, b) + (−1)(c, d) = (a, b) + (−c, −d) = (a − c, b − d) (д) Ассоциативность относительно операции умножения. ((a, b) · (c, d)) · (e, f ) = (a, b) · ((c, d) · (e, f )) (е) Коммутативность относительно операции умножения. (a, b) · (c, d) = (c, d) · (a, b) (ж) Существование единицы. Единичным элементом, единицей, называют такой элемент, который не меняет комплексное число при умножении на него. ∃ (α, β) : (a, b) · (α, β) = (a, b) Можно предположить, что по аналогии с нулевым элементом, единичным будет (1, 1), но можно также предположить, что это будет вещественная единица 1 ↔ (1, 0). Воспользуемся определением произведения двух чисел. (a, b) · (α, β) = (aα − bβ, aβ + bα) = (a, b) Это равенство эквивалентно системе ( aα − bβ = a aβ + bα = b Эта система имеет единственное решение α = 1 и β = 0 в предположении, что a и b ненулевые. Соответственно единичным элементом множества комплексных чисел является элемент (1, 0). 3  (з) Существование обратного элемента. Обратный элемент — это такой, который при умножении на исходное комплексное число дает единицу. ∃ (α, β) : (a, b) · (α, β) = (1, 0) Найдем обратный элемент. (a, b) · (α, β) = (aα − bβ, aβ + bα) = (1, 0) Приведем равенство комплексных чисел к равенству вещественных и мни- мых частей. ( aα − bβ = 1 aβ + bα = 0 Чтобы в самом начале не делать никаких предположений о числах a и b, которые необходимы для того чтобы выразить например a из второго уравнения, поступим следующим образом. Домножим первое уравнение на a, а второе на b и сложим их. a2 α + b2 α = a Следовательно, вещественная часть обратного комплексного числа равна a α= a2 + b2 Подставляя его во второе равенство для мнимой части, получаем −b β= a2 + b2 Мы получили общий вид для обратного элемента:   a −b (α, β) = , a2 + b2 a2 + b2 Здесь важно сделать несколько замечаний. Во-первых, мы не можем вы- числить обратный элемент для нулевого. Это следует напрямую из най- денного способа нахождения обратного элемента. Во-вторых, обратный элемент определяется единственным образом. Опр. 2.2. Множество вместе с введенными на нем операции и обладающее перечисленными выше свойствами, называется полем. NtB 2.4. Множество рациональных, действительных и, как было показано, комплексных чисел представляют собой примеры поля. 4  §3. Формы комплексных чисел Алгебраическая форма Опр. 3.1. Алгебраической формой комплексного числа z = (a, b) ∈ C на- зывается представление его в следующем виде: z = a + ib, где символ i называется мнимой единицей и обладает свойством i2 = −1 ∈ R. Опр. 3.2. Пусть z = a + ib ∈ C - комплексное число, тогда Re z ≜ a называется вещественной частью числа z; Im z ≜ b называется мнимой частью числа z; z = a − ib называется числом, комплексно сопряженным к z; N (z) ≜ zz = a2 + b2 называется нормой комплексного числа z; √ |z| = N (z) = a2 + b2 называется модулем комплексного числа. p Тригонометрическая форма Пример 3.1. Пару вещественных чисел (a, b), определяющих комплексное чис- ло z, можно интерпретировать как координаты некоторой точки на плоскости, которая называется комплексной плоскостью. Координаты на рассматриваемой плоскости - это вещественная Re и мнимая Im оси. Опр. 3.3. Аргументом комплексного числа z (обозначается arg(z)) называет- ся направленный угол от оси Re до луча Oz, откладываемый против часовой стрелки с величиной, берущейся по модулю 2πk. Пример 3.2. Альтернативно паре (a, b) можно использовать пару (ρ, ψ), опре- деляемую следующим образом: a = ρ cos ψ, b = ρ sin ψ, p ρ= a2 + b2 = |z|, cos ψ = a/|z|, sin ψ = b/|z|. Пара (ρ, ψ) отвечает координатам точки z в полярной системе координат. Опр. 3.4. Тригонометрической формой комплексного числа z ∈ C назы- вается представление его в следующем виде: z = (ρ cos ψ, ρ sin ψ) = ρ(cos ψ, sin ψ). Лемма 3.1. Имеют место свойства: |z1 z2 | = |z1 ||z2 |, arg(z1 z2 ) = arg(z1 ) + arg(z2 ). 5 Доказательство. Прямой проверкой убеждаемся, что ρ1 (cos ψ1 , sin ψ1 ) · ρ2 (cos ψ2 , sin ψ2 ) = ρ1 ρ2 (cos(ψ1 + ψ2 ), sin(ψ1 + ψ2 )). Теорема 3.1. (Формула Муавра) Пусть z ∈ C и n ∈ N, тогда |z n | = |z|n , arg(z n ) = n · arg(z). Доказательство. Доказательство проводится индукцией по n. 6