Лекция 15 Многочлены и их корни PDF

РТУ МИРЭА КАФЕДРА ВМ-2 Лекция 15 Многочлены и их корни. Многочлены. Действия над многочленами. Теорема Безу. Корни многочлена и их кратность. Основная теорема алгебры. Разложение многочленов на множители. Многочлены с действ...

РТУ МИРЭА КАФЕДРА ВМ-2 Лекция 15 Многочлены и их корни. Многочлены. Действия над многочленами. Теорема Безу. Корни многочлена и их кратность. Основная теорема алгебры. Разложение многочленов на множители. Многочлены с действительными коэффициентами, свойство их комплексных корней и разложение на множители. Определение. Многочленом степени 𝑛 (𝑛𝜖ℕ) называется выражение вида: 𝑃𝑛 (𝑧) = 𝑎𝑛 𝑧 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑧 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑧 + 𝑎0 , где 𝑎𝑛 , 𝑎𝑛−1 , 𝑎1 , 𝑎0 ∈ ℂ, 𝑎𝑛 ≠ 0 − старший коэффициент, 𝑎0 − свободный член. Обычно многочлен n-ой степени обозначается 𝑃𝑛 (𝑧). Тогда, например, выражение 𝑃2 (𝑧) = 𝑎𝑧 2 + 𝑏𝑧 + 𝑐 – многочлен второй степени, а всякое, отличное от нуля, комплексное число a принято считать многочленом нулевой степени. 1  РТУ МИРЭА КАФЕДРА ВМ-2 Действия над многочленами. 1) Равенство многочленов. Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их степени и равны коэффициенты при одинаковых степенях переменной. 𝑛=𝑚 ( ) 𝑃𝑛 𝑧 = 𝑄𝑚 (𝑧) ⇔ {𝑎 = 𝑏 , 𝑘 = 𝑛, 𝑛 − 1, … 1,0. 𝑘 𝑘 2) Сложение. Многочлены можно складывать почленно, приводя подобные слагаемые, при этом коэффициенты при одинаковых степенях 𝑧 складываются. 𝑃𝑛 (𝑧) + 𝑄𝑛 (𝑧) = = (𝑎𝑛 𝑧 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑧 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑧 + 𝑎0 ) + (𝑏𝑛 𝑧 𝑛 + 𝑏𝑛−1 𝑧 𝑛−1 + ⋯ + 𝑏1 𝑧 + 𝑏0 ) = (𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 )𝑧 𝑛 + (𝑎𝑛−1 + 𝑏𝑛−1 )𝑧 𝑛−1 + ⋯ + (𝑎1 + 𝑏1 )𝑧 + (𝑎0 + 𝑏0 ). 2  РТУ МИРЭА КАФЕДРА ВМ-2 3) Умножение многочленов осуществляется с помощью раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых. Пример: 𝑝(𝑧) ∙ 𝑞(𝑧) = (3𝑧 3 − 5𝑧 2 + 1) ∙ (2𝑧 2 + 𝑧 − 7) = = 6𝑧 5 + 3𝑧 4 − 21𝑧 3 − 10𝑧 4 − 5𝑧 3 + 35𝑧 2 + 2𝑧 2 + 𝑧 − 7 = = 6𝑧 5 − 7𝑧 4 − 26𝑧 3 + 37𝑧 2 + 𝑧 − 7. 4) Деление многочленов. Если даны два многочлена 𝑃𝑛 (𝑧)и 𝑄𝑚 (𝑧) такие, что их степени 𝑚 ≤ 𝑛, то можно подобрать многочлены 𝑇𝑛−𝑚 (𝑧)и 𝑟𝑠 (𝑧), s 0 ⟹ корни действительные: −1 𝑧1,2 = 1 ± √9 = [. 2 17  РТУ МИРЭА КАФЕДРА ВМ-2 Разложим на множители соответственно требованиям задачи: 1) линейные множители: 𝑃(𝑧) = (𝑧 + 1)(𝑧 − 2)(𝑧 − (−2 − 3𝑖 ))(𝑧 − (−2 + 3𝑖 )), 2) линейные и квадратичные с действительными коэффициентами: 𝑃 (𝑧) = (𝑧 + 1)(𝑧 − 2)(𝑧 2 + 4𝑧 + 13). 18  РТУ МИРЭА КАФЕДРА ВМ-2 Теорема о рациональном корне. Если в разложении 𝑃𝑛 (𝑧) = 𝑎𝑛 (𝑧 − 𝑧1 )𝑘1 (𝑧 − 𝑧2 )𝑘2 … (𝑧 − 𝑧𝑚 )𝑘𝑚 раскрыть скобки, то свободный член равен произведению коэффициента при старшей степени на корни многочлена. Поэтому справедлива следующая теорема. Теорема. Если многочлен с целыми коэффициентами 𝑃𝑛 (𝑧) = 𝑎𝑛 𝑧 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑧 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑧 + 𝑎0 , 𝑎𝑘 ∈ ℤ 𝑝 имеет рациональный корень , то числитель p является делителем 𝑞 свободного коэффициента 𝑎0 , а знаменатель q - делителем старшего коэффициента 𝑎𝑛. 19  РТУ МИРЭА КАФЕДРА ВМ-2 𝑝 Доказательство: Пусть 𝑧 = – несократимая дробь -рациональный корень 𝑞 𝑝 𝑃𝑛 (𝑧). Тогда 𝑃𝑛 ( )=0. 𝑞 𝑝 𝑛 𝑝 𝑛−1 𝑝 𝑎𝑛 ( ) + 𝑎𝑛−1 ( ) + ⋯ + 𝑎1 ( ) + 𝑎0 = 0 𝑞 𝑞 𝑞 Умножим выражение на 𝑞 𝑛 : 𝑎𝑛 𝑝𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑝𝑛−1 𝑞 + ⋯ + 𝑎1 𝑝𝑞 𝑛−1 + 𝑎0 𝑞 𝑛 = 0  𝑎𝑛 𝑝𝑛 = −𝑞(𝑎𝑛−1 𝑝𝑛−1 + 𝑎𝑛−2 𝑝𝑛−2 𝑞 … + 𝑎1 𝑝𝑞 𝑛−2 + 𝑎0 𝑞 𝑛−1 ) Очевидно, что правая часть данного выражения делится на q, следовательно 𝑝 и левая часть делится на q. Число p не делится на q, иначе была бы 𝑞 сократимой дробью => 𝑎𝑛 делится на q. Аналогично доказывается, что 𝑎0 делится на p. Теорема доказана. 20  РТУ МИРЭА КАФЕДРА ВМ-2 Пример. Разложить 𝑃(𝑧) = 𝑧 3 − 𝑧 2 − 4𝑧 − 6 на множители, подобрав вещественный корень. Делители свободного члена: 1;-1;2;-2;3;-3;6;-6 P(1)= -10; P(-1)= -4; P(2)= -10; P(-2)= -10; P(3)=0, следовательно 𝑧0 = 3 – корень уравнения. 𝑧 3 − 𝑧 2 − 4𝑧 − 6 |z-3 𝑧 3 − 3𝑧 2 z 2 + 2𝑧 + 2 2𝑧 2 − 4𝑧 2z 2 − 6z 2𝑧 − 6 2z − 6 0 21  РТУ МИРЭА КАФЕДРА ВМ-2 𝑧 2 + 2𝑧 + 2 = 0 −2±√−4 𝑡1;2 = = -1±𝑖 2 𝑧 3 − 𝑧 2 − 4𝑧 − 6 = ( z 2 + 2𝑧 + 2)(z-3)=(z-3)(z-(-1-i))(z-(-1+i)) 22  РТУ МИРЭА КАФЕДРА ВМ-2 23  РТУ МИРЭА КАФЕДРА ВМ-2 24  РТУ МИРЭА КАФЕДРА ВМ-2 25  РТУ МИРЭА КАФЕДРА ВМ-2 26  РТУ МИРЭА КАФЕДРА ВМ-2 Пример. 3𝑧 3 − 7𝑧 2 + 3𝑧 − 7= 𝑧 2 (3𝑧 − 7) + (3𝑧 − 7) = (3𝑧 − 7)(𝑧 2 + 1) Три корня: один действительный 𝑧 = 7/3 и два комплексных 𝑧 = ±𝑖. Пример. Решить уравнение. 𝑧 4 − 2𝑧 2 + 4 = 0 Решение. t=𝑧 2 ; 𝑡 2 − 2𝑡 + 4 = 0; 2±√4−16 𝑡1;2 = = 1±√3i; z=√1 ± √3i 2 𝜋 𝜋 𝑖 𝑖( +2𝜋𝑘)/2 𝑡1 =1 + √3i=2𝑒 ; 𝑧0,1 = √2𝑒 3 3 ; k=0;1 27  РТУ МИРЭА КАФЕДРА ВМ-2 𝜋 𝑖( ) 𝜋 𝜋 √6 1 𝑧0 = √2𝑒 6 =√2(𝑐𝑜𝑠 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛 )= +i 6 6 2 2 𝜋 𝑖( ) 7𝜋 7𝜋 √6 1 𝑧1 = √2𝑒 6 =√2(𝑐𝑜𝑠 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛 )=− −i 6 6 2 2 𝜋 𝜋 𝑖 𝑖(− +2𝜋𝑘)/2 𝑡2 =1 − √3i=2𝑒 ; 𝑧2,3 = √2𝑒 3 3 ; k=0;1 𝜋 𝑖(− ) 𝜋 𝜋 √6 1 𝑧2 = √2𝑒 6 =√2(cos (− ) + 𝑖 sin (− ))= −i 6 6 2 2 𝜋 𝑖( ) 5𝜋 5𝜋 √6 1 𝑧3 = √2𝑒 6 =√2(𝑐𝑜𝑠 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛 )=− +i 6 6 2 2 √6 1 √6 1 √6 1 √6 1 Ответ: z0 = +i ; z =− − i ; z2 = − i ; z3 = − +i 2 2 1 2 2 2 2 2 2 28  РТУ МИРЭА КАФЕДРА ВМ-2 Пример. Решить уравнение 𝑧 2 + (2𝑖 − 3)𝑧 + 5 − 𝑖 = 0. Результат изобразить на комплексной плоскости. Решение. Найдём корни квадратного уравнения 𝐷 = (2𝑖 − 3)2 − 4(5 − 𝑖 ) = −4 − 12𝑖 + 9 − 20 + 4𝑖 = = −15 − 8𝑖 =1−8𝑖 − 16 = (1 − 4𝑖 )2 ⇒ 3 − 2𝑖 ± √(1 − 4𝑖 )2 3 − 1𝑖 ± (1 − 4𝑖) 2 − 3𝑖 𝑧1,2 = = =[ 2 2 1+𝑖 29