Многочлены и их свойства
28 Questions
0 Views

Многочлены и их свойства

Created by
@SmoothestIndigo

Podcast Beta

Play an AI-generated podcast conversation about this lesson

Questions and Answers

Как складываются многочлены?

  • Складываются подобные слагаемые. (correct)
  • Складываются все термины.
  • Складываются только константы.
  • Складываются только с одинаковыми коэффициентами.

    • При сложении многочленов все термины складываются независимо от степени.

    False

    Что происходит с коэффициентами при одинаковых степенях многочленов?

    Они складываются.

    При сложении многочленов коэффициенты при одинаковых степенях __________.

    <p>складываются</p> Signup and view all the answers

    Соотнесите типы многочленов с их примерами:

    <p>Линейный = 2x + 3 Квадратичный = x^2 - 4x + 4 Кубический = x^3 + 2x^2 - x + 1 Константный = 5</p> Signup and view all the answers

    Какой из следующих компонентов является старшим коэффициентом многочлена?

    <p>𝑎𝑛</p> Signup and view all the answers

    Многочлен может содержать степень 𝑛 с отрицательными коэффициентами.

    <p>True</p> Signup and view all the answers

    Запишите формулу многочлена степени 𝑛.

    <p>Pn(z) = an<em>z^n + an-1</em>z^(n-1) + ... + a1*z + a0</p> Signup and view all the answers

    Многочлен степени 𝑛 обычно обозначается как _____ (𝑧).

    <p>𝑃𝑛</p> Signup and view all the answers

    Сопоставьте компоненты многочлена с их определениями:

    <p>𝑎𝑛 = Старший коэффициент 𝑎0 = Свободный член 𝑛 = Степень многочлена ℂ = Множество комплексных чисел</p> Signup and view all the answers

    Какой из следующих многочленов разложен на линейные множители?

    <p>𝑃(𝑧) = (𝑧 + 1)(𝑧 − 2)(𝑧 − (−2 − 3𝑖 ))(𝑧 − (−2 + 3𝑖 ))</p> Signup and view all the answers

    Квадратичные множители всегда имеют действительные коэффициенты.

    <p>False</p> Signup and view all the answers

    Какую форму имеет многочлен 𝑃(𝑧), содержащий квадратичные множители с действительными коэффициентами?

    <p>𝑃(z) = (𝑧 + 1)(𝑧 − 2)(𝑧^2 + 4𝑧 + 13)</p> Signup and view all the answers

    Многочлен 𝑃(𝑧) с квадратичными множителями имеет вид: (𝑧 + 1)(𝑧 − 2)(𝑧^2 + _____ + 13)

    <p>4𝑧</p> Signup and view all the answers

    Сопоставьте многочлены с их раскладкой:

    <p>𝑃(𝑧) = (𝑧 + 1)(𝑧 − 2)(𝑧 − (−2 − 3𝑖 ))(𝑧 − (−2 + 3𝑖 )) = Линейные множители 𝑃(𝑧) = (𝑧 + 1)(𝑧 − 2)(𝑧^2 + 4𝑧 + 13) = Линейные и квадратичные с действительными коэффициентами</p> Signup and view all the answers

    Что можно сказать о числе p в отношении делимости на q?

    <p>p не делится на q</p> Signup and view all the answers

    Если число p делится на q, то дробь является сокращаемой.

    <p>True</p> Signup and view all the answers

    На какое число делится 𝑎𝑛?

    <p>q</p> Signup and view all the answers

    Если 𝑎0 делится на p, то это значит, что _______ делится на p.

    <p>𝑎0</p> Signup and view all the answers

    Составьте соответствия между терминами и их описаниями:

    <p>sokratimaya drob = дробь, в которой числитель и знаменатель делятся на одно и то же число p = число, которое не делится на q q = число, на которое делится 𝑎𝑛 teorema = математическое утверждение, требующее доказательства</p> Signup and view all the answers

    Какое преобразование применено к уравнению $z^4 - 2z^2 + 4 = 0$?

    <p>Замена $z^2$ на $t$</p> Signup and view all the answers

    Корень уравнения $t^2 - 2t + 4 = 0$ является действительным числом.

    <p>False</p> Signup and view all the answers

    Каковы основные решения уравнения $z^4 - 2z^2 + 4 = 0$?

    <p>z_0 = \frac{\sqrt{6}}{2} + i, z_1 = -\frac{\sqrt{6}}{2} - i, z_2 = -\frac{\sqrt{6}}{2} - i, z_3 = -\frac{\sqrt{6}}{2} + i</p> Signup and view all the answers

    Значение дискриминанта у уравнения $t^2 - 2t + 4 = 0$ равно _____ .

    <p>-12</p> Signup and view all the answers

    Соотнесите комплексные числа с их значениями в полярной форме:

    <p>z_0 = √2e^(πi/6) z_1 = √2e^(7πi/6) z_2 = √2e^(-πi/6) z_3 = √2e^(5πi/6)</p> Signup and view all the answers

    Какое значение $t$ соответствует корню $t_1 = 1 + √3i$?

    <p>2e^(πi/3)</p> Signup and view all the answers

    Все корни уравнения $z^4 - 2z^2 + 4 = 0$ являются действительными числами.

    <p>False</p> Signup and view all the answers

    Какое значение $k$ при использовании в выражении для $z_0$?

    <p>k=0 или k=1</p> Signup and view all the answers

    Study Notes

    Многочлены

    • Определение: Многочлен степени 𝑛 (𝑛𝜖ℕ) - это выражение вида 𝑃𝑛 (𝑧) = 𝑎𝑛 𝑧 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑧 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑧 + 𝑎0, где 𝑎𝑛 , 𝑎𝑛−1 , 𝑎1 , 𝑎0 ∈ ℂ, 𝑎𝑛 ≠ 0 - старший коэффициент, 𝑎0 - свободный член.
    • Обозначение: Многочлен n-ой степени обычно обозначается 𝑃𝑛 (𝑧).
    • Сложение многочленов: Многочлены складываются почленно, приводя подобные слагаемые. При этом коэффициенты при одинаковых степенях 𝑧 складываются.

    Разложение многочлена на множители

    • Пример разложения: 𝑃(𝑧) = (𝑧 + 1)(𝑧 − 2)(𝑧 − (−2 − 3𝑖 ))(𝑧 − (−2 + 3𝑖 )) - разложение на линейные множители; 𝑃 (𝑧) = (𝑧 + 1)(𝑧 − 2)(𝑧 2 + 4𝑧 + 13) - разложение на линейные и квадратичные множители с действительными коэффициентами.

    Теорема о делимости коэффициентов

    • Теорема: Если многочлен 𝑃𝑛 (𝑧) с целыми коэффициентами имеет рациональную корень 𝑝/𝑞 (𝑝, 𝑞 ∈ ℤ, 𝑞 ≠ 0), то число 𝑝 делится на свободный член 𝑎0, а число 𝑞 делится на старший коэффициент 𝑎𝑛.

    Решение уравнения 4-й степени

    • Пример: Решить уравнение 𝑧 4 − 2𝑧 2 + 4 = 0.
    • Решение: 1) Введем замену 𝑡=𝑧 2, получим квадратное уравнение 𝑡 2 − 2𝑡 + 4 = 0. 2) Решаем квадратное уравнение, получаем 𝑡1;2 = 1±√3i. 3) Подставляем значения 𝑡 в исходное уравнение и получаем 4 корня: 𝑧0,1 = √2𝑒 𝜋/3, 𝑧2,3 = √2𝑒 𝜋/3.
    • Формула корня: 𝑧 = √1 ± √3i.
    • Ответ: 𝑧0 = √6/2 + i/2, 𝑧1 = −√6/2 − i/2, 𝑧2 = −√6/2 − i/2, 𝑧3 = −√6/2 + i/2.

    Studying That Suits You

    Use AI to generate personalized quizzes and flashcards to suit your learning preferences.

    Quiz Team

    Related Documents

    Лекция 15 Многочлены и их корни PDF

    Description

    Этот тест охватывает основные понятия многочленов, включая их определение, сложение и разложение на множители. Также представлена теорема о делимости коэффициентов и пример решения уравнения 4-й степени. Проверьте свои знания о многочленах и их особенностях.

    More Like This

    Use Quizgecko on...
    Browser
    Open
    Browser
    Browser