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Modelo cinemático directo Robótica Industrial y Autómatas Grado en Inga . Eléctrica y Electrónica, 7o semestre Módulo de Tecnología Especifica de Electrónica Industrial (TEEI) Iñaki Arocena Elorza José Basilio Galván Herrera Dept. Automática y Computación Universidad Pública de Navarra 1 / 33 Mo...

Modelo cinemático directo Robótica Industrial y Autómatas Grado en Inga . Eléctrica y Electrónica, 7o semestre Módulo de Tecnología Especifica de Electrónica Industrial (TEEI) Iñaki Arocena Elorza José Basilio Galván Herrera Dept. Automática y Computación Universidad Pública de Navarra 1 / 33 Modelo cinemático directo Índice 1 Modelo cinemático directo Método de Denavit-Hartenberg 2 / 33 Modelo cinemático directo Método de Denavit-Hartenberg Modelo Cinemático Directo Procedimiento general Se asigna un sistema coordenado a cada eslabón para establecer la posición y orientación entre eslabones adyacentes. x4 y4 < oi , xi , yi , zi > sistema coordenado del eslabón-i, i = 1, . . . , n. i−1A y3 matrices de transf. homogéneas. o2 2 q2 e n bó 1 sla A y1 abó eslab ón 3 x2 y2 i A4 esl q3 n4 o4 3 o3 x3 2 A3 q4 y0 2 x1 0 A1 o1 e slab ón q1 1 o0 x0 4 / 33 Modelo cinemático directo Método de Denavit-Hartenberg Modelo Cinemático Directo Procedimiento general Variables y ligaduras entre entre sistemas coordenados. Se requieren 6 coordenadas (3 posición más 3 orientación) para establecer un sistema coordenado. Con articulaciones de 1 g.d.l. hay una única variable independiente entre dos sistemas coordenados consecutivos, el resto son ligaduras (5). Una asignación arbitraria de sistemas de referencia no garantiza un conjunto mínimo de parámetros ni utiliza los parámetros de los eslabones. 5 / 33 Modelo cinemático directo Método de Denavit-Hartenberg Método de Denavit-Hartenberg Procedimiento sistemático Denavit y Hartenberg (1956) establecieron un método de asignación de sistemas coordenados para la obtención del modelo cinemático directo Asigna los ejes x y z: 1 ejes-z asignados a los ejes articulares 2 ejes-x alineados con las normales comunes de los ejes articulares (ejes-z). El eje-y se establece automáticamente mediante el producto vectorial z × x (regla de mano derecha). Los sistemas coordenados resultantes se asignan así mediante los parámetros de los eslabones (longitud y ángulo de torsión). 6 / 33 Modelo cinemático directo Método de Denavit-Hartenberg Método de Denavit-Hartenberg Asignación de los ejes x y z eje articular i+1 eje articular i 1 Eje zi alineado con el eje articular i + 1. 2 Eje xi alineado con la normal común de zi−1 y zi 3 oi origen del sistema coordenado < x1 , yi , zi > zi zi-1 ón eslab i xi oi normal común zi-1 Þ zi 7 / 33 Modelo cinemático directo Método de Denavit-Hartenberg Método de Denavit-Hartenberg Método general Se requieren únicamente 3 parámetros y la variable articular La longitud, ai del eslabón El ángulo de torsión, αi , del eslabón. La variable articular, θi (giro) o di (prismática). La constante articular: la altura, di , entre eslabones para articulaciones de giro o el giro constante, θi , para prismáticas 8 / 33 Modelo cinemático directo Método de Denavit-Hartenberg Método de Denavit-Hartenberg Parámetros del eslabón para articulación de giro ai : longitud eslabón αi torsión eslabón articulación i+1 qi+1 qi eslab ón i1 ón i eslab ai di : altura cte. θi : variable articular ai o´i di=cte zi-1 eslabó n i+1 zi oi xi yi-1 oi-1 x i-1 qi 9 / 33 Modelo cinemático directo Método de Denavit-Hartenberg Método de Denavit-Hartenberg Parámetros del eslabón para articulación lineal ai : longitud eslabón αi torsión eslabón articulación i+1 qi+1 articulación i di eslab ó ni eslab ón i1 eslabón i+ 1 θi : giro cte. ai di : variable articular ai di o´i zi-1 zi oi xi yi-1 oi-1 x i-1 qi=cte. 10 / 33 Modelo cinemático directo Método de Denavit-Hartenberg Método de Denavit-Hartenberg Ejes articulares paralelos zi−1 y zi son paralelos, hay infinitas normales comunes. oi podría ir en cualquier punto a largo de zi o zi−1 . El origen oi puede establecerse en cualquier punto a largo de zi o zi−1 . xi se sitúa generalmente sobre la normal común que pase por oi−1 fijando oi sobre el eje zi . zi-1 zi oi-1 oi xi xi-1 11 / 33 Modelo cinemático directo Método de Denavit-Hartenberg Método de Denavit-Hartenberg Ejes articulares colineales zi−1 y zi son colineales. Es un caso particular de ejes paralelos. Ocurre normalmente con ejes de giro y prismáticos. xi es ortogonal a zi−1 y zi . Puede “girar” alrededor de ambos, xi puede adquirir cualquier dirección. Generalmente se asigna la misma orientación que xi−1 zi zi-1 posible orientación de xi alrededor de zi/zi- oi-1 oi xi-1 xi 12 / 33 Modelo cinemático directo Método de Denavit-Hartenberg Método de Denavit-Hartenberg Intersección de ejes zi−1 y zi intersectan. Ocurre con eslabones de longitud 0. zi-1 El origen oi se sitúa en el punto de intersección. zi oi-1 oi xi /xi-1 ortogonales al plano zi -zi-1 xi-1 xi 13 / 33 Modelo cinemático directo Método de Denavit-Hartenberg Método de Denavit-Hartenberg No unicidad El método de D-H no conduce a un conjunto de sistemas coordenados único Arbitrariedad en los casos de ejes paralelos y colineales Elección de la dirección positiva de las articulaciones, establecida mediante la dirección de los ejes zi Elección de la dirección positiva de los ejes xi No obstante, el modelo cinemático resultante es único 14 / 33 Modelo cinemático directo Método de Denavit-Hartenberg Método de Denavit-Hartenberg Obtención de las matrices de transformación homogéneas La posición y orientación del sistema coordenado-i se obtiene mediante la siguiente secuencia de transformaciones respecto de {i − 1} 1 Rotación θi en torno al eje zi−1 → Tzi−1 ,θi . θi es el ángulo formado entre los ejes xi−1 y xi 2 Traslación di a lo largo del eje zi−1 → Tzi−1 ,di , desde oi−1 hasta el punto de intersección de la normal común con zi−1 3 Traslación ai a lo largo de la normal común (xi ) → Txi ,ai hasta oi 4 Rotación αi en torno al eje xi : Txi ,αi para rotar zi−1 hacia zi . 15 / 33 Modelo cinemático directo Método de Denavit-Hartenberg Método de Denavit-Hartenberg Secuencia de transformaciones de D-H. 1 Tzi−1 ,θi 2 Tzi−1 ,di 3 Txi ,ai 4 Txi ,αi articulación i+1 qi+1 qi eslab ó n i-1 T xi,a i 3 2 Tz i-1,di eslabó n ón i eslab ai o´i zi-1 zi 4 i+1 Tx i,ai oi xi yi-1 oi-1 x i-1 1 Tz i-1,qi 16 / 33 Modelo cinemático directo Método de Denavit-Hartenberg Método de Denavit-Hartenberg Secuencia de transformaciones de D-H La posición y orientación final entre dos sistemas coordenados consecutivos i−1Ai , i = 1, . . . , n, es i−1 Ai = Tzi−1 ,θi Tzi−1 ,di Txi ,ai Txi ,αi Sustituyendo las matrices de transformación básicas  cos θi − sin θi 0  sin θi cos θi 0 i−1 Ai =   0 0 1 0 0 0  1 0 0 0 cos αi − sin αi  0 sin αi cos αi 0 0 0  0 1  0  0 0 0 1 0  0 0  0 1 0 0 1 0 0 1 0 0  0 1 0 0  di  0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0  ai 0  0 1 17 / 33 Modelo cinemático directo Método de Denavit-Hartenberg Método de Denavit-Hartenberg Matriz de transformación resultante de D-H La posición y orientación final entre dos sistemas coordenados consecutivos viene dada por la matriz:  cos θi  sin θi i−1 Ai =   0 0 − cos αi sin θi cos αi cos θi sin α 0 sin αi sin θi − sin αi cos θi cos α 0  ai cos θi ai sin θi   di  1 Se aplica a cualquier robot independientemente del tipo de articulación. Deberá ser de 1 g.d.l. Con articulaciones de giro θi es variable y di constante y al revés para prismáticas. 18 / 33 Modelo cinemático directo Método de Denavit-Hartenberg Método de Denavit-Hartenberg Secuencias alternativas de ¿es la secuencia i−1A i i−1A i = Tzi−1 ,θi Tzi−1 ,di Txi ,ai Txi ,αi única? ¿se pueden intercambiar traslaciones puras?, ¿podría ser por ejemplo alguna de estas otras? i−1 Ai Ai i−1 Ai i−1 Ai i−1 = Tzi−1 ,θi Txi ,αi Tzi−1 ,di Txi ,ai = Txi ,αi Tzi−1 ,θi Tzi−1 ,di Txi ,ai = Tzi−1 ,θi Tzi−1 ,di Txi ,αi Txi ,ai = Tzi−1 ,di Txi ,ai Txi ,αi Tzi−1 ,θi ¿se pueden intercambiar por lo general traslaciones y rotaciones arbitrarias? por ej. Tzi−1 ,di Txi ,ai Tzi−1 ,θi y Tzi−1 ,θi Tzi−1 ,di Txi ,ai . ¿por qué entonces Tzi−1 ,di Tzi−1 ,θi = Tzi−1 ,θi Tzi−1 ,di ? 19 / 33 Modelo cinemático directo Método de Denavit-Hartenberg Método de Denavit-Hartenberg Obtención del modelo cinemático directo Se obtienen todas las matrices i−1Ai para i = 1, . . . , n y se obtiene la secuencia de transformaciones. La posición y orientación final 0An se obtiene postmultiplicando todas las matrices i−1Ai , desde la base, i = 0, hasta el efector final, i = n: 0 Tn = 0A1 1A2 . . . n−1An donde n es el número de g.d.l. del robot. 0T n expresa la posición y orientación del sistema coordenado del efector final respecto de la base en función de las variables articulares y de los parámetros del robot 20 / 33 Modelo cinemático directo Método de Denavit-Hartenberg Método de Denavit-Hartenberg Algoritmo de Denavit-Hartenberg Algoritmo recursivo de Denavit-Hartenberg para la obtención del modelo cinemático directo 1 2 3 4 Localizar y numerar los eslabones: desde la base del robot, eslabón 0, hasta el efector final, eslabón n. n + 1 eslabones en total. Localizar y numerar los ejes articulares: desde la articulación 1 (base) hasta la articulación n Establecer el sistema coordenado de la base < o0 x0 y0 z0 >: se alineará el eje z0 con el eje articular 1. Establecer, caso de haberlo, el sistema coordenado de la mano < on xn yn zn >, con zn (a), alineado con zn−1 y apuntando hacia afuera; xn (n) normal a zn y zn−1 e yn = zn × xn (s) 21 / 33 Modelo cinemático directo Método de Denavit-Hartenberg Método de Denavit-Hartenberg Algoritmo de Denavit-Hartenberg 4 Para i = 1, . . . , n − 1 repetir los pasos siguientes: Establecer los ejes zi alineando cada eje zi con la articulación i + 1 (nótese el decalaje entre ambos índices). Establecer los orígenes de los sistemas coordenados < oi xi yi zi >: en la intersección del eje zi con la normal común de zi−1 y zi Establecer los eje xi en la normal común a zi−1 y zi que pase por oi o, si se cortaran, en la dirección normal al plano formado por zi−1 y zi , es decir, xi = ±(zi−1 × zi )/kzi−1 × zi k Establecer el eje yi , para completar un sistema dextrógiro, de forma que yi = zi × xi /kzi−1 × zi k. Este paso puede ser obviado. 22 / 33 Modelo cinemático directo Método de Denavit-Hartenberg Método de Denavit-Hartenberg Algoritmo de Denavit-Hartenberg Asignados los sistemas coordenados se obtienen las ecuaciones del modelo 1 Obtener los parámetros de Denavit-Hartenberg: para i = 1, . . . , n, obtener para cada eslabón: θi : ángulo en torno al eje zi−1 para alinear el eje xi−1 con xi . di : desplazamiento a lo largo del eje zi−1 desde el origen oi−1 hasta el punto de intersección con la normal común, eje xi . ai : distancia a lo largo de la normal común, eje xi , hasta oi . αi : ángulo de rotación respecto al eje xi para alinear el eje zi−1 con zi . 2 3 Obtener las matrices de transformación homogéneas para i = 1, . . . , n i−1A i Obtener la matriz final 0Tn = 0A1 1A2 . . . n−1An 23 / 33 Modelo cinemático directo Método de Denavit-Hartenberg Método de Denavit-Hartenberg Sistemas de referencia intermedios En ocasiones puede ocurrir que las restricciones del método de D-H no consigan obtener cierta orientación deseada debido por ejemplo a la geometría de la herramienta. Ocurre cuando zn−1 y zn no están alineados y se requieran traslaciones a lo largo de zn−1 y xn . El problema puede resolverse mediante un sistema coordenado intermedio < on0 xn0 yn0 zn0 > entre {n − 1} y {n} fijo al eslabón n (herramienta). zn0 y zn con la misma orientación. xn0 y el origen on0 se obtienen por aplicación del método de D-H. 24 / 33 Modelo cinemático directo Método de Denavit-Hartenberg Método de Denavit-Hartenberg Obtención de la configuración “casa” Dos posibles configuraciones de inicio: la del fabricante y la deseada por el usuario. La configuración de inicio de fábrica es la resultante de la calibración de los sensores de posición articulares: q = 0. Todos los ejes xi , i = 0, . . . , n, están alineados. Generalmente no coincide con la configuración “casa”, qcasa , deseada por el usuario. Para el usuario en dicha configuración qcasa = 0. Para ello debemos sumar al vector q absoluto, medido entre xi y xi−1 , unas constantes u offsets articulares, qconst , de forma que q = qcasa + qconst . 25 / 33 Modelo cinemático directo Método de Denavit-Hartenberg Método de Denavit-Hartenberg Ejemplo: Robot Minimover en configuración “casa” sin offsets Configuración obtenida con todos los ejes xi , i = 0, . . . , n, alineados. z5 (a) q5 x5 (n) l2 l3 l5 l1 x1 q2 z0 q3 x2 q4 x3 x4 q1 x0 26 / 33 Modelo cinemático directo Método de Denavit-Hartenberg Método de Denavit-Hartenberg Sistemas de referencia intermedios para efectores finales {n0 } sistema coordenado auxiliar. ln {n0 } y¢n El sistema está fijo respecto de {n} . yn x¢n zn z¢n i n0 n 0 θi θn + π/2 −π/2 di ln−1 ln ai 0 0 αi π/2 0 eslabón n zn-1 eslabón n-1 xn ln-1 yn-1 n0 Tn = 0A1 1A2 . . . n−1An0 An xn-1 qn 27 / 33 Modelo cinemático directo Método de Denavit-Hartenberg Método de Denavit-Hartenberg Ejercicio 1: Robot cilíndrico de 4 g.d.l. Asignen los sistemas coordenados según el método de DenavitHartenberg y obtengan la tabla de parámetros de D-H. d3+d30 l4 s (y4) #2 #3 #4 d2+d20 l1 #1 q1 q4 a (z4) n (x4) desde −→ a 0 −→ 1 1 −→ 2 2 −→ 3 3 −→ 4 i 1 2 3 4 θi di ai αi y0 z0 #0 x0 28 / 33 Modelo cinemático directo Método de Denavit-Hartenberg Método de Denavit-Hartenberg Ejercicio 1: Robot cilíndrico de 4 g.d.l. Eslabones aislados con sus sistemas coordenados z0 z1 y0 #0 x0 #1 x1 (b) Eslabón 1 (a) Eslabón 0 y2 s (y4) y3 x2 #2 y1 z2 (c) Eslabón 2 #3 z3 x3 (d) Eslabón 3 a (z4) #4 n (x4) (e) Eslabón 4 29 / 33 Modelo cinemático directo Método de Denavit-Hartenberg Método de Denavit-Hartenberg Ejercicio 2: Robot Minimover de 5 g.d.l. Asignen los sistemas coordenados según el método de DenavitHartenberg y obtengan la tabla de parámetros de D-H. l5 l3 s a q5 q4 q3 n l2 q2 l1 z0 y0 q1 x0 30 / 33 Modelo cinemático directo Método de Denavit-Hartenberg Método de Denavit-Hartenberg Ejercicio 3: Robot de Stanford de 6 g.d.l. Asignen los sistemas coordenados según el método de DenavitHartenberg y obtengan la tabla de parámetros de D-H. l6 y6 z6 q6 x6 d3 +d 30 q5 l2 q4 q2 q1 z0 l1 x0 y0 31 / 33 Modelo cinemático directo Método de Denavit-Hartenberg Método de Denavit-Hartenberg Ejercicio 4: Robot PUMA de 6 g.d.l. Asignen los sistemas coordenados según el método de DenavitHartenberg y obtengan la tabla de parámetros de D-H. normal común q2 q4 l3 esl l4 q3 z0 q1 l6 q4 l1 q6 q5 x0 l4 l5 l2 y0 q3 x3 z3 Eje 4 Eje 3 abó n-3 muñeca y6 (s) o6 z6 (a) x6 (n) Robot PUMA en configuración “casa”. q4 Detalle de normal la común en el antebrazo. 32 / 33 Modelo cinemático directo Método de Denavit-Hartenberg Método de Denavit-Hartenberg Ejercicio 4: Robot de 6 g.d.l. IRB-6400 de ASEA Asignen los sistemas coordenados según el método de DenavitHartenberg y obtengan la tabla de parámetros de D-H. l3 l4 q4 l2 q5 q3 y6 q6 x6 z6 q2 l1 x0 y0 z0 q1 33 / 33