Algebra Och Geometri Exam 2024-11-05 PDF

ALGEBRA OCH GEOMETRI MAG031, 2024-11-05 Eugen Smolkin Anna Wahlbeck Telefonnumer +46 26-64 86 65 Kom ihåg att motivera dina lösningar noggrant. Tentan består av två delar, del A och del B. För att få godkänt på tentan så måste man dels få minst 17 poäng på del A och minst 6 poäng på del...

ALGEBRA OCH GEOMETRI MAG031, 2024-11-05 Eugen Smolkin Anna Wahlbeck Telefonnumer +46 26-64 86 65 Kom ihåg att motivera dina lösningar noggrant. Tentan består av två delar, del A och del B. För att få godkänt på tentan så måste man dels få minst 17 poäng på del A och minst 6 poäng på del B. För att få högre betyg så måste man få 17 poäng på del A och√6/9/11/14/17 på del B (för E/D/C/B/A). Om inget annat anges så ska svaren ges exakt, d.v.s. 𝑥 = 1 + 2 snarare än 𝑥 ≈ 2.414. Inga hjälpmedel. DEL A 1. (Denna uppgift behöver du inte göra om du fått godkänt på inlämningsuppgift och quiz 1) (a) Beräkna SGD(180, 240). 1.5p (b) Skriv talet 145 i talbas 8. 1.5p (c) Låt 𝑔(𝑥) = cos2 (𝑥) − sin2 (𝑥). Bestäm om 𝑔 är injektiv eller inte. 2p 2. (Denna uppgift behöver du inte göra om du fått godkänt på inlämningsuppgift och quiz 2) Hitta alla lösningar till ekvationen 𝑧4 = 1 + 𝑖. Svaret ska anges på exponentialform. 5p 3. (Denna uppgift behöver du inte göra om du fått godkänt på inlämningsuppgift och quiz 3) (a) Bestäm ett reellt polynom (vars grad är ≥ 1) så att både 𝑖 och −1 är rötter. 2p (b) Lös olikheten 𝑥 3 − 1 > 1 − 𝑥 2. 3p 4. (Denna uppgift behöver du inte göra om du fått godkänt på inlämningsuppgift och quiz 4) Bestäm avståndet mellan planen 15𝑥 + 15𝑦 + 6𝑧 = −12 och 5𝑥 + 5𝑦 + 2𝑧 = 8. 5p 5. För följande frågor ska enbart svar anges. Rätt svar ger 1p och fel svar ger 0p. 𝜋 (a) Vi vet att det komplexa talet 𝑧 har argumentet. Bestäm argumentet för −𝑧. 9 (b) Beräkna cos (13𝜋). (c) Primtalsfaktorisera 133. 3𝑥 + 5 (d) Hur många okända konstanter finns det i partialbråksuppdelningsansatsen till ? 𝑥 3 (𝑥 + 4) 2 (𝑥 2 + 3) (e) Bestäm normalen för planet 2𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 12. SE ÄVEN BAKSIDAN! 6. Följande påståenden ska besvaras med sant eller falskt. Rätt svar ger 1p och fel svar ger -1p (inget svar ger 0p). Totalt så kan man inte få mindre än 0p på denna uppgift. (a) Om 𝑎, 𝑏, 𝑐 är heltal sådana att 𝑎|𝑏 och 𝑎|𝑐 så gäller det att 𝑎 2 |𝑏𝑐. (b) Det finns oändligt många vektorer 𝑣 i planet så att ||𝑣|| = 1. (c) Om talet 𝑧 är givet på polär form 𝑧 = 𝑟 e𝑖𝜑 då gäller att 𝑧2 = 𝑟 2 e𝑖𝜑. (d) För att bestämma avståndet mellan två linjer så behöver man bara kunna linjernas respektiva normalvektorer. (e) För alla reella tal 𝑎, 𝑏, 𝑐 gäller följande påstående: om 𝑎 < 𝑏 < 𝑐, så vet vi 𝑎𝑐 < 𝑏𝑐. DEL B 1. Låt 𝑝(𝑧) = 𝑧 5 − 7𝑧4 + 28𝑧3 − 46𝑧 2 + 96𝑧 − 72. (a) Bestäm en reell rot till 𝑝(𝑧). 1p (b) Bestäm de rent imaginära rötterna till 𝑝(𝑧). 2p (c) Bestäm polynomets övriga rötter. 2p  𝑥−2 2−𝑦 𝑥 = 1 − 3𝑡 2. Låt 𝑙1 : 𝑥 − 𝑦 − 1 = 0, 𝑙 2 : = , 𝑙3 : , 𝑡 ∈ R och 𝑙4 : 𝑦 = 𝑥. 3 𝑎 𝑦 = 2 + 4𝑡 (a) Bestäm värdet på parametern 𝑎 så att linjerna 𝑙1 och 𝑙 2 blir parallella. 1.5p (b) Bestäm vinkeln (cosinus) mellan linjerna 𝑙3 och 𝑙 4 2p (c) Bestäm skärningspunkten mellan linjerna 𝑙1 och 𝑙3 1.5p √︁ 3. (a) Hitta alla reella lösningar till 𝑥 2 − 4 + 𝑥 2 + 2𝑥 + 1 = 1 − 2𝑥. 2.5p 1 (b) Hitta inversen till funktionen 𝑓 (𝑥) = 𝑝( 𝑝( 𝑝(𝑥))), där 𝑝(𝑥) =. 2.5p 1−𝑥 10  ∑︁  4. (a) Beräkna summan 5 𝑗 − 4 + 2 𝑗−3. Svaret ska anges som ett enda heltal. 2.5p 𝑗=3 (b) Hitta 𝑧6 om 3𝑧 − 𝑧 = −4 + 8𝑖. Svaret ska anges på rektangulär form. 2.5p