Persamaan Diferensial Orde-2 PDF

oki neswan FMIPA-ITB Persamaan Di¤erensial Orde-2 Persamaan diferensial orde-n adalah persamaan yang melibatkan x; y; dan turunan-turunan y; dengan yang paling tinggi adalah turunan ke-n: F x; y; y 0 ; y 00 ; :...

oki neswan FMIPA-ITB Persamaan Di¤erensial Orde-2 Persamaan diferensial orde-n adalah persamaan yang melibatkan x; y; dan turunan-turunan y; dengan yang paling tinggi adalah turunan ke-n: F x; y; y 0 ; y 00 ; : : : ; y (n) = 0: (1) Contoh 2 (ln y) y 000 + (y 0 ) = ln x adalah persamaan linear orde-3. Masalah utama adalah menentukan solusi dari persamaan diferensial (1) ; yaitu fungsi y = g (x) yang memenuhi (1) ; yaitu jika disubstitusikan untuk y; maka persamaan ini dipenuhi, F x; g; g 0 ; g 00 ; : : : ; g (n) = 0: Persamaan diferensial yang akan dibahas adalah persamaan diferensial linear orde 2; p (x) y 00 + q (x) y 0 + r (x) y = s (x) (2) dengan p (x) ; q (x) ; r (x) ; dan s (x) kontinu pada suatu interval buka I = (a; b) : Jika s (x) = 0; p (x) y 00 + q (x) y 0 + r (x) y = 0; (3) maka persamaan diferensial dikatakan homogen. Persamaan diferensial ini selalu punya solusi karena y (x) = 0 pasti merupakan solusi. Solusi ini disebut solusi trivial. Notasi operator: Misalkan y (n) ditulis sebagai Dn y: Maka (2) dapat ditulis sebagai p (x) D2 + q (x) D + r (x) y = s (x) atau Ly = s (x) : | {z } L Juga diasumsikan bahwa p (x) tidak pernah nol pada I: Secara umum, a0 (x) y (n) + a1 (x) y (n 1) + + an 1 (x) y 0 + an (x) y = k (x) (4) dapat ditulis sebagai a0 (x) Dn + a1 (x) Dn 1 + + an 1 (x) D + an (x) y = k (x) | {z } L Ly = k (x) Dari sifat kelinearan turunan, kita peroleh bahwa L (cy) = cLy dan L (y1 + y2 ) = Ly1 + Ly2 Jika u1 (x) dan u2 (x) adalah dua penyelesaian dari PD homogen L (y) = 0; yaitu Lu1 = 0 dan Lu2 = 0; maka untuk tiap c1 dan c2 bilangan real, berlaku L (c1 u1 + c2 u2 ) = c1 L (u1 ) + c2 L (u2 ) = 0 Theorem 1 (Prinsip Superposisi) Jika u1 (x) dan u2 (x) adalah dua penyelesaian dari persamaan difer- ensial linear homogen a0 (x) y (n) + a1 (x) y (n 1) + + an 1 (x) y 0 + an (x) y = 0 dan c1 ; c2 dua bilangan real, maka kombinasi linear y (x) = c1 u1 (x) + c2 u2 (x) juga merupakan solusi persamaan diferensial tersebut. 1 Theorem 2 Jika p (x) ; q (x) ; dan r (x) kontinu pada interval buka I; p (x) 6= 0 untuk tiap x 2 I; maka persamaan diferensial linear homogen p (x) y 00 + q (x) y 0 + r (x) y = 0; mempunyai dua solusi u1 (x) dan u2 (x) yang bebas linear. Selain itu, untuk tiap solusi u1 (x) dan u2 (x) yang bebas linear, maka untuk tiap solusi y (x) ; terdapat c1 dan c2 sehingga y (x) = c1 u1 (x) + c2 u2 (x) : Catatan: dua solusi y1 dan y2 disebut bebas linear jika satu adalah kelipatan dari yang lain, y1 = cy2 atau y2 = dy1 : Persamaan Diferensial Linear Orde-2 dengan Koe…sien Konstan Persamaan diferensial orde-2 dengan koe…sien konstan adalah persamaan (2) dengan p (x) ; q (x) ; dan r (x) adalah fungsi konstan, sebut p (x) = r; q (x) = q; dan r (x) = r: Jadi, py" + qy 0 + ry = s (x) : Karena p 6= 0; maka persamaan ini dapat ditulis sebagai y" + ay 0 + by = s (x) : Kita akan mulai dengan solusi jika s (x) = 0 atau versi homogen Persamaan Diferensial Linear Homogen Orde-2 dengan Koe…sien Konstan Diberikan persamaan difenresial y" + ay 0 + by = 0; a 6= 0: (5) 2 D + aD + b y = 0; a 6= 0: Bila Dy = ry; maka D2 y = D (Dy) = D (ry) = rDy = r2 y Solusi umum dari Dy = ry adalah y (x) = Aerx : Solusi yang paling sederhana adalah y (x) = erx : Jika y adalah solusi persamaan diferensial orde-1 Dy = ry; maka D2 + aD + b y = D2 y + aDy + by = r2 y + ary + by = r2 + ar + b y: Maka dapat disimpulkan bahwa jika r2 + ar + b = 0; (6) rx maka y (x) = e juga solusi dari (5) : Persamaan (6) disebut persamaan bantu (auxilliary equation), dan g (r) = r2 + ar + b disebut polinom karakteristik dari (5).. Misalkan = a2 4b adalah diskriminan dari persamaan bantu. terdapat diga kasus: > 0; = 0; dan < 0: Case 3 ( > 0) Polinom karakteristik memiliki dua akar tunggal berbeda, sebut r1 dan r2 ; r1 6= r2 : Diper- oleh dua akar yang bebas linear.u1 (x) = er1 x dan u2 (x) = er2 x : Maka menurut Teorema di atas, y (x) = c1 er1 x + c2 er2 x adalah solusi umum (5). Case 4 ( = 0) Karena = a2 4b = 0; a2 a 2 r2 + ar + b = r2 + ar + = r+ =0 4 2 2 Maka polinom karakteristik mempunyai akar ganda, a r= 2 Diperoleh satu solusi yaitu u (x) = erx : Teorema di atas memberikan bahwa terdapat dua solusi yang bebas linear. Solusi kedua v (x) 6= u (x) : Misalkan v (x) = xu (x) = xerx : Maka Dv = erx + rxerx = (1 + rx) erx D2 v = D (1 + rx) erx = rerx + (1 + rx) rerx = r2 x + 2r erx Maka D2 + aD + b v = D2 v + aDv + bv = r2 x + 2r + a (1 + rx) + bx erx = ( r2 + ar + b x + (a + 2r)erx = 0 | {z } | {z } 0 0 Jadi, v (x) = xerx juga merupakan solusi, u (x) dan v (x) bebas linear. Maka solusi umum (5) berbentuk y (x) = c1 erx + c2 xerx = (c1 + c2 x) erx Case 5 ( < 0) Dalam hal ini, = a2 4b < 0: Maka akar-akar adalah dua bilangan kompleks yang saling konjugat p p a a2 4b a 4b a2 r1;2 = = +i ; dengan i2 = 1: 2 2 2 p a 4b a2 Misalkan = 2 dan = 2 dan r1 = +i dan r2 = i : Ini memberikan dua solusi bebas linear y~1 (x) = er1 x = e( +i )x =e x (cos + i sin ) y~2 (x) = er2 x = e( i )x =e x (cos i sin ) Tetapi kedua solusi ini bernilai kompleks. Dengan menggunakan Prinsip Superposisi di atas, 1 1 y1 (x) = y~1 (x) + y~2 (x) = e x cos 2 2 1 1 y2 (x) = y~1 (x) y~2 (x) = e x sin 2i 2i juga solusi dan keduanya bebas linear. Jadi, solusi umum (5) adalah x y (x) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) = e (c1 cos + c2 sin ) Theorem 6 Diberikan persamaan diferensial linear homogen orde-2 dengan koe…sien konstan. y" + ay 0 + by = 0; a 6= 0 (7) 1. Jika persamaan karakteristik mempunyai dua akar berbeda r1 dan r2 ; maka solusi umum (7) adalah y (x) = c1 er1 x + c2 er2 x : a 2. Jika persamaan karakteristik mempunyai hanya satu akar r = 2 ; maka solusi umum (7) adalah y (x) = c1 erx + c2 xerx : 3. Jika persamaan p karakteristik mempunyai dua akar kompleks r1 = +i dan r2 = i ; dengan a 4b a2 = 2 ; = 2 ; maka solusi umum (7) adalah x y (x) = e (c1 cos + c2 sin ) : 3 Persamaan Diferensial Linear Nonhomogen Orde-2 dengan Koe…sien Konstan Misalkan kita akan menentukan solusi persamaan diferensial orde-2 linear nonhomogen y" + ay 0 + by = s (x) : (8) dengan s (x) kontinu pada suatu interval buka I: Misalkan yp (x) adalah salah satu solusi dari (8) : Misalkan y (x) adalah sebarang solusi lain dari (8) dan yh (x) = y (x) yp (x) : Maka yp " + ayp0 + byp = s (x) dan y" + ay 0 + by = s (x) dan diperoleh (y 00 + ay 0 + by) yp00 + ayp0 + byp = s (x) s (x) = 0 00 y yp00 + ay 0 ayp0 + by byp = 0 00 y yp00 +a y 0 yp0 + b (y yp ) = 0 00 0 (y yp ) + a (y yp ) + b (y yp ) = 0 yh00 + ayh0 + byh = 0 Dengan demikian yh (x) = y (x) yp (x) adalah solusi dari versi homogen (8) : y" + ay 0 + by = 0 (9) Maka, dapat disimpulkan bahwa setiap solusi y (x) dari (8) berbentuk y (x) = yh (x) + yp (x) : Theorem 7 Solusi umum persamaan diferensial (8) berbentuk y (x) = yh (x) + yp (x) dengan yh (x) adalah solusi versi homogen (9) dan yp (x) adalah solusi khusus (partikular) dari (8) : Menentukan Solusi Khusus (Partikular) Bagaimana menentukan solusi khusus atau solusi partikular? Dua metode yang akan dibahas adalah Metode Koe…sien Tak Tentu dan Metoda Variasi Parameter. Metode Koe…sien Tak Tentu Metoda ini berlaku untuk kasus-kasus khusus dari s (x) ; yaitu jika s (x) adalah merupakan polinom atau hasil kali polinom p (x) dengan fungsi eksponensial atau dengan fungsi sinus atau kosinus, yaitu p (x) ; p (x) erx ; p (x) sin kx; p (x) cos kx; p (x) erx sin kx; p (x) erx cos kx atau jumlah dari fungsi-fungsi seperti di atas. Contoh bentuk-bentuk s (x) 1 + x; e2x ; xe2x ; e2x + cos 2x Example 8 Tentukan solusi umum persamaan diferensial nonhomogen y 00 + 2y 0 3y = 1 + x2 : Solution 9 Persamaan versi homogennya adalah y 00 + 2y 0 3y = 0: Bentuk karakteristiknya adalah r2 + 2r 3 = 0 r2 + 2r 3 = (r + 3) (r 1) = 0: Persamaan karakteristik memiliki dua akar yaitu r = 1 dan r = 3: Maka solusi homogen adalah yh (x) = c1 ex + c2 e 3x : 4 Karena s (x) = 1 + x2 adalah polinom orde 2, maka yp juga merupakan polinom orde 2, sebab jika y (x) adalah polinom orde 2, maka y 00 + 2y 0 3y juga polinom orde 2. Misalkan yp (x) = Ax2 + Bx + C: Maka y 0 = 2Ax + B dan y 00 = 2A: Jadi, y 00 + 2y 0 3y = 2A + 2 (2Ax + B) 3 Ax2 + Bx + C = 1 + x2 Jadi, ( 3A) x2 + (4A 3B) x + (2A + 2B 3C) = 1 + x2 yang memberikan 3A = 1; 4A 3B = 0; 2A + 2B 3C = 1 2A + 2B 3C = 1 4A 3B = 0 3A = 1 1 4 23 Solusinya adalah A = 3; B = 9; C = 27 : Jadi, x2 4x 23 yp (x) = : 3 9 27 Maka, solusi umum adalah x2 4x 23 y (x) = yp (x) + yh (x) = + c1 ex + c2 e 3x : 3 9 27 Example 10 Tentukan solusi khusus dari y 00 y 0 = 3 cos 2x: Solution 11 Karena s (x) = 2 cos x; maka kita mencoba yp (x) = A cos 2x + B sin 2x: Dengan demikian yp0 = 2A sin 2x + 2B cos 2x yp00 = 4A cos 2x 4B sin 2x yp00 yp0 = ( 4A cos 2x 4B sin 2x) ( 2A sin 2x + 2B cos 2x) = ( 4A 2B) cos 2x + (2A 4B) sin 2x Sebagai solusi, yp00 yp0 = 3 cos 2x: Maka ( 4A 2B) cos 2x + (2A 4B) sin 2x = 3 cos 2x: Maka haruslah 4A 2B = 3 dan 2A 4B = 0 yang memberikan 3 3 A= ;B = : 5 10 Maka solusi khususnya adalah 3 3 yp (x) = cos 2x sin 2x: 5 10 Example 12 Tentukan solusi khusus persamaan diferensial y 00 + 2y 0 3y = 4e 3x : Solution 13 Karena s (x) = 4e=3x ; maka kita mungkin mencoba yp = Ae 3x : Tetapi, yp00 + 2yp0 3yp = 9Ae3x 6e3x 3A3x = 0 Jadi, 3x 0 = 4e 5 Ini tidak mungkin karena fungsi eksponensial tidak pernah nol. Hal ini karena persamaan karakteristik persamaan diferensial ini adalah r2 + 2r 3 = (r + 3) (r 1) = 0 3x Jadi, r = 3 adalah akarnya dan oleh karena itu e adalah solusi homogen. Maka tidak mungkin yp = Ae 3x : Maka coba 3x yp = Axe : yp0 = Ae 3x 3Axe 3x = (1 3x) Ae 3x yp00 = 3Ae 3x + ( 3) (1 3x) Ae 3x = (9x 6) Ae 3x Substitusi pada persamaan memberikan yp00 + 2yp0 3yp = (9x 6) Ae 3x + 2 (1 3x) Ae 3x 3Axe 3x := 4Ae 3x Maka 3x 3x 4Ae = 4e Jadi, A = 1: Diperoleh 3x yp (x) = e : Example 14 Tentukan solusi khusus persamaan diferensial y 00 + 4y 0 + 4y = 8e 2x : Solution 15 Persamaan diferensial y 00 + 4y 0 + 4y = 8e 2x memiliki persamaan karakteristik 2 r2 + 4r + 4 = (r + 2) = 0: Jadi, diperoleh hanya satu akar, r = 2: Maka solusi homogen adalah 2x 2x 2x yh (x) = c1 e + c2 xe = (c1 + c2 x) e : Maka yp = Ae 2x maupun yp = Axe 2x akan memberikan yp00 + 2yp0 3yp = 0: Kita harus memodi…kasi lebih jauh lagi, yaitu yp (x) = Ax2 e 2x : Jadi yp0 (x) = 2Axe 2x 2Ax2 e 2x = 2 Ax Ax2 e 2x yp00 (x) = 2 (A 2Ax) e 2x 4 Ax Ax2 e 2x = 4x + 2x2 + 1 2Ae 2x Maka 2x 8e = yp00 + 4yp0 + 4yp = 4x + 2x2 + 1 2Ae 2x + 4 2 Ax Ax2 e 2x + 4Ax2 e 2x 2x = 2Ae Maka A = 4: Jadi, yp (x) = 4x2 e 2x : Example 16 Tentukan solusi umum persamaan diferensial y 00 5y 0 6y = e x 2 cos x Solution 17 Persamaan karakteristik ini adalah 0 = r2 5r 6 = (r 6) (r + 1) : Maka r = 6 dan r = 1: Jadi, yh (x) = c1 e6x + c2 e x : x Karena e adalah solusi homogen, maka x yp (x) = Cxe + A cos x + B sin x: 6 Maka, yp0 (x) = Ce x Cxe x + B cos x A sin x = C (1 x) e x + B cos x A sin x yp00 (x) = Ce x C (1 x) e x B sin x A cos x = (x 2) Ce x B sin x A cos x Jadi, x e 7 cos x = yp00 5yp0 6yp x x = (x 2) Ce B sin x A cos x 5 (1 x) Ce + B cos x A sin x x 6 Cxe + A cos x + B sin x x = 7Ce + ( 7A 5B) cos x + (5A 7B) sin x Maka 7C = 1 7A 5B = 2 5A 7B = 0 1 7 5 Diperoleh bahwa C = 7 ;A = 37 ; B = 37 : Maka 1 x 7 5 yp (x) = xe + cos x + sin x 7 37 37 Maka solusi umum adalah 1 x 7 5 y (x) = xe + cos x + sin x + c1 e6x + c2 e x : 7 37 37 Berikut adalah tabel penentuan yp (x) persamaan diferensial y 00 + ay 0 + by = s (x) Metode Variasi Parameter Metode ini, sifatnya lebih umum, digunakan untuk menentukan solusi khusus dari y" + ay 0 + by = s (x) (10) dengan menggunakan solusi umum homogennya. Misalkan u1 (x) dan u2 (x) adalah dua solusi homogen yang bebas linear. Pada metode ini kita mengganti c1 dan c2 pada solusi homogen dengan fungsi v1 (x) dan v2 (x) y (x) = v1 (x) u1 (x) + v2 (x) u2 (x) atau singkatnya y = v1 u1 + v2 u2 7 Kita tambahkan satu syarat yaitu v10 u1 + v20 u2 = 0 (11) Maka y 0 = v1 u01 + v2 u02 y 00 = v1 u001 + v2 u002 + v10 u01 + v20 u02 Substitusikan pada (10) v1 u001 + v2 u002 + v10 u01 + v20 u02 + a (v1 u01 + v2 u02 ) + b (v1 u1 + v2 u2 ) = s (x) v1 (u001 + au01 + bu1 ) +v2 (u002 + au02 + bu2 ) + (v10 u01 + v20 u02 ) = s (x) | {z } | {z } 0 0 Karena u1 dan u2 solusi homogen, maka dua suku pertama adalah nol. Jadi v10 u01 + v20 u02 = s (x) (12) Maka dari (11) dan (12) ; kita harus menyelesaikan sistem persamaan linear dalam v10 dan v20 v10 u1 + v20 u2 = 0 (13) v10 u01 + v20 u02 = s (x) Solusi dalam v10 dan v20 adalah u2 s u1 s v10 = ; v20 = u02 u1 u01 u2 u02 u1 u01 u2 Maka v1 dan v2 ditentukan dengan integral. Example 18 Tentukan solusi umum y 00 + y = tan x Solution 19 Persamaan karakteristik adalah r2 + 1 = 0 dengan akar-akar kompleks r1 = i dan r2 = i: Maka solusi umum homogen adalah yh (x) = c1 cos x + c2 sin x: Dengan u1 = cos x dan u2 = sin x; persamaan (13) memberikan v10 cos x + v20 sin x = 0 v10 ( sin x) + v20 cos x = tan x Jadi, sin x tan x sin2 x v10 = = sin x tan x = cos x cos x + sin x sin x cos x cos x tan x v20 = = sin x cos x cos x + sin x sin x Dengan integral Z Z Z sin2 x 1 cos2 x v1 (x) = dx = dx = (sec x cos x) dx cos x cos x = ln jsec x tan xj + sin x + C1 Z v2 (x) = sin xdx = cos x + C2 Maka, yp (x) = ( ln jsec x + tan xj + sin x) cos x + ( cos x) sin x = (cos x) ln jsec x + tan xj dan solusi umum adalah y (x) = c1 cos x + c2 sin x (cos x) ln jsec x + tan xj 8