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UNIVERSIDAD DE ORIENTE FACULTAD DE CIENCIAS Y HUMANIDADES CARRERA: PROFESORADO EN MATEMATICA ASIGNATURA: GEOMETRIA II DOCENTE: LICDA, MAF. MARIA ELVIRENA VELASQUEZ DE VALENCIA  AGENDA ❖ SALUDO Y BIENVENIDA ❖ASISTENCIA ❖FILOSOFIA INSTITUCIONAL ❖NORMAS DE CONVIVENCI...

UNIVERSIDAD DE ORIENTE FACULTAD DE CIENCIAS Y HUMANIDADES CARRERA: PROFESORADO EN MATEMATICA ASIGNATURA: GEOMETRIA II DOCENTE: LICDA, MAF. MARIA ELVIRENA VELASQUEZ DE VALENCIA  AGENDA ❖ SALUDO Y BIENVENIDA ❖ASISTENCIA ❖FILOSOFIA INSTITUCIONAL ❖NORMAS DE CONVIVENCIA ❖PROGRAMA DE LA ASIGNATURA ❖PRESENTAR PROPUESTA DE EVALUACION ❖EVALUACION DIAGNOSTICA ❖INICIO DE UNIDAD UNO ❖CIERRE ASISTENCIA  FILOSOFIA UNIVO Misión Formar personas con altos niveles de competencia e innovación que los convierta en agentes de cambio con sentido humano, comprometidos con el desarrollo y sostenibilidad global. Visión Ser una institución reconocida a nivel nacional e internacional como un ecosistema educativo con estándares de calidad e innovación en la formación integral de personas con responsabilidad social. Valores Responsabilidad, Justicia, Transparencia, Equidad, Solidaridad  NORMAS DE CONVIVENCIA ❖Responsable con el horario de clases. ❖Participación activa en clases. ❖Cuando trabajamos en equipo dejamos los muebles ordenados. ❖Trato cordial con todos. ❖Celulares en silencio. ❖Solicitar la palabra para participar. ❖Consumir los alimentos fuera del aula. PROGRAMA DE GEOMETRIA II PROPUESTA DE EVALUACION Solucion de ejercicios en la clase. Solucion de guias de ejercicios. Examenes escritos. Parciales EVALUACION DIAGNOSTICA  ASPECTOS HISTÓRICOS DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA. UN VIAJE A TRAVÉS DEL TIEMPO Y EL ESPACIO MATEMÁTICO  Aspectos históricos de la geometría analítica. La geometría analítica, también conocida como geometría cartesiana, es una rama de las matemáticas que utiliza el álgebra para describir y analizar las propiedades de las figuras geométricas. Esta disciplina ha revolucionado la forma en que entendemos el espacio y las formas, permitiendo avances significativos en diversas áreas de la ciencia y la ingeniería.  Orígenes y Desarrollo. René Descartes y la invención de la geometría cartesiana en el siglo XVII. Pierre de Fermat y sus contribuciones al desarrollo de la geometría analítica. El impacto de la geometría analítica en el cálculo y otras ramas de las matemáticas.  Figuras Clave y Contribuciones. René Descartes: Introducción del sistema de coordenadas cartesianas. Pierre de Fermat: Desarrollo de métodos para encontrar máximos y mínimos de funciones. Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz: Aplicaciones de la geometría analítica en el cálculo. El sistema de coordenadas cartesianas  El Plano Cartesiano y las Coordenadas El plano cartesiano es un sistema de coordenadas que permite representar puntos en el espacio bidimensional. Cada punto se identifica por dos coordenadas: su abscisa (x) y su ordenada (y).  Aplicaciones y usos del sistema de coordenadas cartesianas Ciencias Cartografía Diseño Informática En ciencias, las coordenadas La cartografía utiliza las El sistema de coordenadas En informática, se utilizan para cartesianas se utilizan para coordenadas cartesianas para cartesianas se utiliza en software representar la posición de los representar el movimiento de representar la posición de puntos de diseño para crear gráficos y elementos en la pantalla de un objetos, la posición de partículas geográficos en mapas. dibujos. ordenador. y para realizar análisis espaciales. Navegación Computación Gráfica Construcción Sistemas GPS y aplicaciones de Los videojuegos, la animación y El sistema de coordenadas mapas utilizan las coordenadas otras formas de computación cartesianas se utiliza para la cartesianas para determinar la gráfica utilizan las coordenadas planificación y construcción de posición de un vehículo o cartesianas para representar edificios, carreteras y puentes. dispositivo. objetos en el espacio 3D. Cada punto en el plano corresponde a un par ordenado (𝑥, 𝑦) de números reales y llamados coordenadas del punto. La coordenada 𝑥 representa la distancia dirigida desde el eje al punto y la coordenada 𝑦 representa la distancia dirigida desde el eje al punto.  Ejemplo: Ubicar los pares ordenados siguientes en el plano cartesiano. A(0,1),B(1,0), C(-1,0),D(0,0), E(0,-2),F(3,2),G(-3,3), H(-2,-3),I(4,-4) Ejercicios de clases: Ubicar los pares ordenados siguientes en el plano cartesiano. A(3,-1),B(4,3), C(0,2),D(3,0), E(-1,2),F(4,5),G(2,-3), H(-3,2),I(2,-3), J(1, 4), K(4, 2)  Distancia entre dos puntos dados. En geometría, la distancia entre dos puntos es una medida fundamental que describe la separación entre ellos. Este concepto es esencial en muchas áreas de la matemática, la física y la ingeniería. Definición de distancia La distancia entre dos puntos es la longitud del segmento de recta que los une. Es un valor positivo que representa la separación mínima entre los puntos. 𝑑𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑃1 𝑋1 , 𝑌1 𝑦 𝑃2 𝑋2 , 𝑌2 , 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜, la distancia entre ellos se determina de la siguiente forma: En el triángulo 𝑃1 Q 𝑃2 , por el teorema de Pitágoras. 𝑃1 𝑃2 2 = 𝑃1 𝑄 2 + 𝑃2 𝑄 2 𝑃𝑒𝑟𝑜 𝑃1 𝑃2 = 𝑑, 𝑄𝑃1 = 𝑋2 − 𝑋1 𝑦 𝑄𝑃2 = 𝑌2 − 𝑌1 Ejercicios de clase.  Ejercicios de clase. Asistencia y uso del campus semana 1 Actividad Colocar puntos en el plano cartesiano y calcular la distancia. Objetivo Comprender y utilizar conceptos, algoritmos y formulas propias de la geometría analítica para resolver problemas relacionados con las rectas en el plano cartesiano. Evidencia a Archivo de GeoGebra con el formato de nombre siguiente: Nombre_Tarea, entregar por ejemplo Maria_Elvirena_Velasquez_Asistencia_usocampus1 Apropiación Individual IndicacionesUtilizando Después de resolver GeoGebra los los resuelve ejercicios de forma ejercicios y subamanual utilizando los el archivo conceptos al espacio y formulas respectivo discutidas en clases, crear un documento en en el campus. GeoGebra y resolver los ejercicios. Fecha de Domingo al final de semana 1. entrega  UNIVERSIDAD DE ORIENTE FACULTAD DE CIENCIAS Y HUMANIDADES CARRERA: PROFESORADO EN MATEMATICA ASIGNATURA: GEOMETRIA II DOCENTE: M.A.F. MARIA ELVIRENA VELASQUEZ DE VALENCIA  AGENDA ❖ SALUDO ❖ASISTENCIA ❖DESARROLLO DE CONTENIDOS ❖DISCUSION DE EJERCICIOS ❖INICIO DE UNIDAD UNO ❖CIERRE 1. Definiciones 1. Inclinación de una recta. Es el ángulo que una recta forma con el eje X positivo, el cual se representa con el símbolo θ, este ángulo se mide a partir del eje X y girando en sentido opuesto a las manecillas del reloj. 2. Pendiente de una recta. Se define como la tangente del ángulo de inclinación que tiene una recta y se representa con la letra m. Donde 𝒎 = 𝐭𝐚𝐧 𝜽 𝜽 = 𝐭𝐚𝐧−𝟏 (𝒎) ✓ 𝒔𝒊 𝒎 > 𝟎, 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝟎° ≤ 𝜽 ≤ 𝟗𝟎° ✓ 𝒔𝒊 𝒎 < 𝟎, 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝟗𝟎° ≤ 𝜽 ≤ 𝟏𝟖𝟎° 𝒄 ✓ 𝒔𝒊 𝒎 = , 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒆𝒍 𝒂𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐 𝒆𝒔 𝒓𝒆𝒄𝒕𝒐. 𝟎 ✓ 𝒔𝒊 𝒎 = 𝟎, 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒆𝒍 𝒂𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐 𝒆𝒔 𝒍𝒍𝒂𝒏𝒐. 3. La pendiente es una medida que describe la inclinación de una línea recta o una curva. Se define como la relación entre el cambio vertical (aumento o descenso) y el cambio horizontal (distancia recorrida) entre dos puntos. 2. Formula para el cálculo de la Pendiente La pendiente se calcula utilizando la fórmula: pendiente = (cambio vertical) / (cambio horizontal). 𝑦2 − 𝑦1 𝑚= 𝑥2 − 𝑥1 Ejemplo 1 Ejemplo 2 Si la línea sube (cambio vertical) 3 unidades y Avanza Si la línea baja 2 unidades y avanza 5 unidades, la (cambio horizontal) 4 unidades, la pendiente es 3/4. pendiente es -2/5. Calculo de la pendiente que pasa por dos puntos. Calcula la pendiente y el Angulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos. a) A(2, 1) B(4, 3) b) A(4, 1) B(0, 3) c) A(1, 1) B(1, 3) d) A(0, -1) B(2, -1) Tipos de Pendiente Hay diferentes tipos de pendiente, dependiendo de la dirección y la inclinación de la línea. 1 Pendiente Positiva 2 Pendiente Negativa La línea se inclina hacia arriba de izquierda a derecha. La línea se inclina hacia abajo de izquierda a derecha. 3 Pendiente Cero 4 Pendiente Indefinida La línea es horizontal, sin inclinación. La línea es vertical, con una inclinación infinita. Interpretación de la Pendiente La pendiente proporciona información sobre la inclinación y la dirección de la línea. Una pendiente más grande significa una inclinación más pronunciada. Pendiente Positiva La línea sube de izquierda a derecha, lo que indica un aumento. Pendiente Negativa La línea baja de izquierda a derecha, lo que indica una disminución. Pendiente Cero La línea es horizontal, sin cambio. Importancia de la Pendiente La pendiente es fundamental en diversas áreas, como la ingeniería, la física y la arquitectura. Ingeniería Física Para el diseño de carreteras, Para analizar el movimiento puentes y edificios. de objetos y calcular la velocidad. Arquitectura Para determinar la inclinación de techos y rampas. Aplicaciones de la Pendiente La pendiente tiene aplicaciones prácticas en diferentes ámbitos. Cartografía Para representar la topografía y el relieve del terreno. Geología Para estudiar la formación de capas de roca y determinar la edad de las mismas. Meteorología Para analizar la dirección y la velocidad del viento. Factores que Afectan la Pendiente La pendiente puede verse afectada por diferentes factores. Terreno Clima La naturaleza del terreno, como la La lluvia y la erosión pueden presencia de montañas, colinas o modificar la pendiente del terreno. valles. Actividad Tectónica Actividad Humana Los terremotos y otros movimientos La construcción de carreteras, tectónicos pueden causar cambios edificios y otras estructuras puede en la pendiente. afectar la pendiente del terreno. Consideraciones al Trabajar con Pendientes Es importante tener en cuenta ciertas consideraciones al trabajar con pendientes. Seguridad 1 En terrenos con pendientes pronunciadas, se debe tener precaución para evitar caídas o accidentes. 2 Diseño En proyectos de construcción o ingeniería, la pendiente debe ser diseñada de manera adecuada para garantizar la Mantenimiento 3 estabilidad y la funcionalidad. Es necesario realizar un mantenimiento regular para evitar la erosión y otros problemas que pueden afectar la pendiente. Recarga energías en tu espacio laboral mediante las “pausas activas” – Hospital del Niño Dr. José Renán Esquivel  Ejercicios de clases para laboratorio: Determina la pendiente y el ángulo de una recta que pasa por los puntos siguientes: 1. (1, 2) y (4, 8). 2. (-2, 1) y (4, 4) 3. (-3,-2) y (1, -10) 4. (-1, 3) y (6, -4). 5. (-3, -2) y (2, -7).  1.3 Angulo entre dos rectas. El ángulo entre dos rectas es un concepto fundamental en geometría, que describe la inclinación relativa de las rectas en un espacio. Este ángulo se define como el ángulo más pequeño formado por las rectas al intersectarse. 1.4 Determinación del ángulo que se forma entre dos rectas. Para encontrar el ángulo θ formado por las rectas 𝒍𝟏 𝒚 𝒍𝟐 se utiliza la formula: 𝒎𝟐 − 𝒎𝟏 tan 𝜽 = 𝟏 + 𝒎𝟏 ∗ 𝒎𝟐 𝒎𝟐 − 𝒎𝟏 𝜃= tan−𝟏 𝟏 + 𝒎𝟏 ∗ 𝒎𝟐  1.4 Ejemplos: Determinación del ángulo entre dos rectas. a) Determina la medida del ángulo agudo que forman las rectas con 𝟏 𝟒 pendientes: 𝒎𝟏 = y 𝒎𝟐 = − 𝟑 𝟓 b) Al cortarse dos rectas forman un ángulo de 150°, si la recta final tiene 𝟑 pendiente , calcula la pendiente de la recta inicial. 𝟓 𝟑 c) Al cortarse dos rectas forman un ángulo de 45°, la recta inicial pasa por los puntos A(-1, 3) y B(-4, 5) y la recta final pasa por el punto C(3, 2) y por el punto D, cuya ordenada es (y=3). determina el valor de la abscisa(x) de D. d) ¿Cuál es la pendiente de la recta que forma un ángulo de 135°, con la recta que pasa por los puntos de coordenadas A(-3, 5) y B(0, 1)? Definición y concepto de la línea recta. Representación gráfica de la línea recta que pasa por un punto y una pendiente. Representación gráfica de la línea recta que pasa por un punto y una pendiente. Representación gráfica de la línea recta que pasa por un punto y una pendiente. Ejercicios de clases Ejercicios de clases  Participación en campus. Asistencia y uso del campus semana 2 Actividad Foro colaborativo Objetivo Deduce y emplea correctamente la fórmula para calcular la pendiente de una recta y del ángulo entre dos rectas, valorando su aplicación en situaciones concretas de la vida cotidiana de forma individual. Evidencia a Participación en foro sobre consulta indicada. entregar Apropiación Individual Indicaciones Después Utilizando de haberresuelve GeoGebra resueltolos ejercicios y analizar ejercicios y suba ellaarchivo teoría, comentar en un total derespectivo al espacio 50 palabras en sobre las clases y ejercicios de semana 2. el campus. Fecha de Domingo al final de semana 2. entrega  UNIVERSIDAD DE ORIENTE FACULTAD DE CIENCIAS Y HUMANIDADES CARRERA: PROFESORADO EN MATEMATICA ASIGNATURA: GEOMETRIA II DOCENTE: M.A.F. MARIA ELVIRENA VELASQUEZ DE VALENCIA  AGENDA ❖ SALUDO ❖ASISTENCIA ❖DESARROLLO DE CONTENIDOS ❖DISCUSION DE EJERCICIOS ❖INICIO DE UNIDAD UNO ❖CIERRE 1. Definiciones 1. Inclinación de una recta. Es el ángulo que una recta forma con el eje X positivo, el cual se representa con el símbolo θ, este ángulo se mide a partir del eje X y girando en sentido opuesto a las manecillas del reloj. 2. Pendiente de una recta. Se define como la tangente del ángulo de inclinación que tiene una recta y se representa con la letra m. Donde 𝒎 = 𝐭𝐚𝐧 𝜽 𝜽 = 𝐭𝐚𝐧−𝟏 (𝒎) ✓ 𝒔𝒊 𝒎 > 𝟎, 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝟎° ≤ 𝜽 ≤ 𝟗𝟎° ✓ 𝒔𝒊 𝒎 < 𝟎, 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝟗𝟎° ≤ 𝜽 ≤ 𝟏𝟖𝟎° 𝒄 ✓ 𝒔𝒊 𝒎 = , 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒆𝒍 𝒂𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐 𝒆𝒔 𝒓𝒆𝒄𝒕𝒐. 𝟎 ✓ 𝒔𝒊 𝒎 = 𝟎, 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒆𝒍 𝒂𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐 𝒆𝒔 𝒍𝒍𝒂𝒏𝒐. 3. La pendiente es una medida que describe la inclinación de una línea recta o una curva. Se define como la relación entre el cambio vertical (aumento o descenso) y el cambio horizontal (distancia recorrida) entre dos puntos. 2. Formula para el cálculo de la Pendiente La pendiente se calcula utilizando la fórmula: pendiente = (cambio vertical) / (cambio horizontal). 𝑦2 − 𝑦1 𝑚= 𝑥2 − 𝑥1 Ejemplo 1 Ejemplo 2 Si la línea sube (cambio vertical) 3 unidades y Avanza Si la línea baja 2 unidades y avanza 5 unidades, la (cambio horizontal) 4 unidades, la pendiente es 3/4. pendiente es -2/5. Calculo de la pendiente que pasa por dos puntos. Calcula la pendiente y el Angulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos. a) A(2, 1) B(4, 3) b) A(4, 1) B(0, 3) c) A(1, 1) B(1, 3) d) A(0, -1) B(2, -1) Tipos de Pendiente Hay diferentes tipos de pendiente, dependiendo de la dirección y la inclinación de la línea. 1 Pendiente Positiva 2 Pendiente Negativa La línea se inclina hacia arriba de izquierda a derecha. La línea se inclina hacia abajo de izquierda a derecha. 3 Pendiente Cero 4 Pendiente Indefinida La línea es horizontal, sin inclinación. La línea es vertical, con una inclinación infinita. Interpretación de la Pendiente La pendiente proporciona información sobre la inclinación y la dirección de la línea. Una pendiente más grande significa una inclinación más pronunciada. Pendiente Positiva La línea sube de izquierda a derecha, lo que indica un aumento. Pendiente Negativa La línea baja de izquierda a derecha, lo que indica una disminución. Pendiente Cero La línea es horizontal, sin cambio. Importancia de la Pendiente La pendiente es fundamental en diversas áreas, como la ingeniería, la física y la arquitectura. Ingeniería Física Para el diseño de carreteras, Para analizar el movimiento puentes y edificios. de objetos y calcular la velocidad. Arquitectura Para determinar la inclinación de techos y rampas. Aplicaciones de la Pendiente La pendiente tiene aplicaciones prácticas en diferentes ámbitos. Cartografía Para representar la topografía y el relieve del terreno. Geología Para estudiar la formación de capas de roca y determinar la edad de las mismas. Meteorología Para analizar la dirección y la velocidad del viento. Factores que Afectan la Pendiente La pendiente puede verse afectada por diferentes factores. Terreno Clima La naturaleza del terreno, como la La lluvia y la erosión pueden presencia de montañas, colinas o modificar la pendiente del terreno. valles. Actividad Tectónica Actividad Humana Los terremotos y otros movimientos La construcción de carreteras, tectónicos pueden causar cambios edificios y otras estructuras puede en la pendiente. afectar la pendiente del terreno. Consideraciones al Trabajar con Pendientes Es importante tener en cuenta ciertas consideraciones al trabajar con pendientes. Seguridad 1 En terrenos con pendientes pronunciadas, se debe tener precaución para evitar caídas o accidentes. 2 Diseño En proyectos de construcción o ingeniería, la pendiente debe ser diseñada de manera adecuada para garantizar la Mantenimiento 3 estabilidad y la funcionalidad. Es necesario realizar un mantenimiento regular para evitar la erosión y otros problemas que pueden afectar la pendiente. Recarga energías en tu espacio laboral mediante las “pausas activas” – Hospital del Niño Dr. José Renán Esquivel  Ejercicios de clases para laboratorio: Determina la pendiente y el ángulo de una recta que pasa por los puntos siguientes: 1. (1, 2) y (4, 8). 2. (-2, 1) y (4, 4) 3. (-3,-2) y (1, -10) 4. (-1, 3) y (6, -4). 5. (-3, -2) y (2, -7).  1.3 Angulo entre dos rectas. El ángulo entre dos rectas es un concepto fundamental en geometría, que describe la inclinación relativa de las rectas en un espacio. Este ángulo se define como el ángulo más pequeño formado por las rectas al intersectarse. 1.4 Determinación del ángulo que se forma entre dos rectas. Para encontrar el ángulo θ formado por las rectas 𝒍𝟏 𝒚 𝒍𝟐 se utiliza la formula: 𝒎𝟐 − 𝒎𝟏 tan 𝜽 = 𝟏 + 𝒎𝟏 ∗ 𝒎𝟐 𝒎𝟐 − 𝒎𝟏 𝜃= tan−𝟏 𝟏 + 𝒎𝟏 ∗ 𝒎𝟐  1.4 Ejemplos: Determinación del ángulo entre dos rectas. a) Determina la medida del ángulo agudo que forman las rectas con 𝟏 𝟒 pendientes: 𝒎𝟏 = y 𝒎𝟐 = − 𝟑 𝟓 b) Al cortarse dos rectas forman un ángulo de 150°, si la recta final tiene 𝟑 pendiente , calcula la pendiente de la recta inicial. 𝟓 𝟑 c) Al cortarse dos rectas forman un ángulo de 45°, la recta inicial pasa por los puntos A(-1, 3) y B(-4, 5) y la recta final pasa por el punto C(3, 2) y por el punto D, cuya ordenada es (y=3). determina el valor de la abscisa(x) de D. d) ¿Cuál es la pendiente de la recta que forma un ángulo de 135°, con la recta que pasa por los puntos de coordenadas A(-3, 5) y B(0, 1)? Definición y concepto de la línea recta. Representación gráfica de la línea recta que pasa por un punto y una pendiente. Representación gráfica de la línea recta que pasa por un punto y una pendiente. Representación gráfica de la línea recta que pasa por un punto y una pendiente. Ejercicios de clases Ejercicios de clases  Ejercicios de clases En cada ejercicio escriba la ecuación de la recta que pasa por los dos puntos siguientes: 1. (1, 2) y (4, 8). 2. (-2, 1) y (4, 4) 3. (-3,-2) y (1, -10) 4. (-1, 3) y (6, -4). 5. (-3, -2) y (2, -7). Familias de Rectas y Aplicaciones Intersección entre rectas. Familias de Rectas y Aplicaciones Rectas paralelas. Familias de Rectas y Aplicaciones Rectas perpendiculares. Familias de Rectas y Aplicaciones Distancia de un punto a una recta.  UNIVERSIDAD DE ORIENTE FACULTAD DE CIENCIAS Y HUMANIDADES CARRERA: PROFESORADO EN MATEMATICA ASIGNATURA: GEOMETRIA II DOCENTE: M.A.F. MARIA ELVIRENA VELASQUEZ DE VALENCIA Familias de Rectas y Aplicaciones Intersección entre rectas. Familias de Rectas y Aplicaciones Rectas paralelas. Familias de Rectas y Aplicaciones Rectas perpendiculares. Familias de Rectas y Aplicaciones Distancia de un punto a una recta.