Ecuaciones Lineales - Álgebra y Geometría Analítica - PDF
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Universidad Tecnológica Nacional - Facultad Regional Rosario
2013
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Estos apuntes explican sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo conceptos como rango de una matriz, operaciones elementales y métodos de resolución como el método de Gauss. El documento está dirigido a estudiantes de la Universidad Tecnológica Nacional, Facultad Regional Rosario, para un curso de Álgebra y Geometría Analítica.
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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL ROSARIO Álgebra y Geometría Analítica Sistemas de ecuaciones lineales Año 2013 FACULTAD REGIONAL ROSARIO UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL Álgebra y...
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL ROSARIO Álgebra y Geometría Analítica Sistemas de ecuaciones lineales Año 2013 FACULTAD REGIONAL ROSARIO UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL Álgebra y Geometría Analítica – Sistemas de ecuaciones lineales Contenido Rango de una matriz............................................................................................................................ 3 1.1 Definición:.................................................................................................................................. 3 1.2 Matriz escalón o escalonada. Pivotes................................................................................... 4 1.2.1 Cálculo del rango de una matriz escalón..................................................................... 4 1.3 Operaciones elementales por fila en una matriz................................................................. 6 Operaciones elementales por filas en una matriz...................................................................... 6 1.3.1 Matrices equivalentes..................................................................................................... 6 1.4 Cálculo del rango de una matriz aplicando operaciones elementales por filas.............. 7 Método de Gauss:........................................................................................................................... 7 1.5 Una propiedad de las operaciones elementales por filas en una matriz...................... 13 2.Sistemas de ecuaciones lineales.................................................................................................. 15 2.1 Introducción:............................................................................................................................ 15 2.2 Generalidades......................................................................................................................... 18 2.2.1 Matrices asociadas a un sistema de ecuaciones lineales...................................... 19 2.2.2 Notación matricial de un sistema de ecuaciones lineales....................................... 19 2.2.3 Solución matricial para un caso particular................................................................. 20 2.2.4 Representación de un sistema de ecuaciones lineales mediante su matriz ampliada................................................................................................................................... 20 2.3 Sistemas triangulares. Sustitución hacia atrás.................................................................. 21 2.4 Sistemas equivalentes........................................................................................................... 22 2.5 Operaciones elementales en un sistema de ecuaciones lineales.................................. 22 2.5.1 Obtención de sistemas equivalentes por aplicación de operaciones elementales.................................................................................................................................................... 23 2.6 Método de eliminación de Gauss......................................................................................... 23 2.7 Teorema de Rouché.............................................................................................................. 30 2.8 Sistemas homogéneos: Solución trivial.............................................................................. 31 2.8.1 Soluciones no triviales o autosoluciones de un sistema de ecuaciones lineales homogéneo............................................................................................................................... 32 2.8.2 Condición necesaria y suficiente para que un sistema homogéneo admita soluciones no triviales (además de la trivial)....................................................................... 32 1 FACULTAD REGIONAL ROSARIO UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL Álgebra y Geometría Analítica – Sistemas de ecuaciones lineales 2.8.3 Un caso particular. Sistemas homogéneos de igual número de ecuaciones que incógnitas. Existencia de soluciones no triviales................................................................ 33 2. 9 Cálculo de la matriz inversa de una matriz cuadrada regular utilizando sistemas de ecuaciones lineales simultáneos................................................................................................ 36 Ejercicios:............................................................................................................................................. 39 Autoevaluación.................................................................................................................................... 41 Respuestas.......................................................................................................................................... 43 APÉNDICE........................................................................................................................................... 44 2 FACULTAD REGIONAL ROSARIO UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL Álgebra y Geometría Analítica – Sistemas de ecuaciones lineales Rango de una matriz 1.1 Definición: Dada una matriz Amxn diremos que r N0 , es el rango de A si y sólo si: a) r es el orden máximo de las submatrices cuadradas de A, cuyos determinantes no sean todos nulos, para A 0 b) r = 0, para A = 0 Notación: r (A) = r Observaciones a la definición: 1) Si A 0 , y r (A) = r, A podrá tener submatrices cuadradas de orden r singulares, pero A debe contener al menos una submatriz cuadrada de orden r, regular. Además, toda submatriz cuadrada de A, si existen, de orden superior a r, deben ser singulares. 2) Si Amxn 0 , entonces r (A) min (m,n) Ejemplo Nº 1: sea 4 0 0 0 A = 1 0 3 0 será r(A) 3 2 0 0 0 Por simple inspección se llega a que r (A) = 2 pués, por ejemplo, la submatriz cuadrada 4 0 de orden dos es regular, (su determinante no es nulo) y además todas las 1 3 submatrices de orden superior a dos, en este caso las de orden tres, son singulares (sus determinantes son nulos) Hay que advertir que, por lo general, no se puede calcular el rango de una matriz no nula por simple inspección. Lo que sigue nos llevará a sistematizar el cálculo del rango de cualquier matriz no nula. Actividad Nº 1: Aplicando la definición, calcula el rango de las siguientes matrices: 3 FACULTAD REGIONAL ROSARIO UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL Álgebra y Geometría Analítica – Sistemas de ecuaciones lineales 1 2 4 1 2 1 0 2 0 0 1 3 A = ; B = 0 2 5 ; C = 1 0 0 0 1 3 4 3 7 2 5 6 1.2 Matriz escalón o escalonada. Pivotes Recordemos que una matriz A = {aij}mxn es una matriz escalón o escalonada si y solo si cumple estas dos condiciones: 1. Todas las filas que contienen sólo ceros (si existen) aparecen en la parte inferior de la matriz. 2. El número de elementos nulos, situados a la izquierda del primer elemento no nulo, crece al pasar de una fila a la siguiente. Es decir en cada fila, que no contiene sólo ceros, el primer elemento no nulo siempre está a la derecha del primer elemento no nulo de la fila anterior. Las matrices siguientes son matrices escalón. 1 2 3 1 1 2 3 2 3 0 4 A = 0 1 2 ; B = 0 2 2 0 ; C = 0 0 0 5 0 0 5 0 0 0 4 0 0 0 0 Al primer elemento no nulo en una fila (si existe) se lo llama pivote para esa fila. Los pivotes de A son: -1; 1; 5. Los de B son: 1; 2; 4 y los de C son: 2; 5. La fila y la columna a la que pertenece cada pivote se llaman fila pivote y columna pivote, respectivamente Las filas pivote de la matriz C son la 1º y la 2º. Las columnas pivote de C son la 1º y la 4º. Actividad Nº 2: Indica las filas y columnas pivote de las matrices A y B. 1.2.1 Cálculo del rango de una matriz escalón Es fácil calcular, aplicando la definición, el rango de una matriz escalón. Es más, veremos que se puede determinar por simple inspección. Consideremos la submatriz formada por las r filas y r columnas pivote de la matriz escalón. Resulta ser una matriz cuadrada triangular de orden r, cuyo determinante es el 4 FACULTAD REGIONAL ROSARIO UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL Álgebra y Geometría Analítica – Sistemas de ecuaciones lineales producto de sus elementos diagonales. Por ejemplo: sean las matrices A, B y C anteriores. Para la matriz A, dicha submatriz es ella misma, es decir triangular de orden tres con determinante no nulo y como no existen submatrices cuadradas de orden mayor, será r(A) = 3. Observemos que A tiene 3 pivotes. En el caso de la matriz B la submatriz formada por las filas y las columnas pivote es 1 1 3 0 2 0 también triangular de orden 3, con determinante no nulo. Como submatrices 0 0 4 cuadradas de orden mayor no hay, será r (B) = 3. Notemos que B, tiene 3 columnas pivote. 2 4 Para la matriz C, la submatriz formada por las filas y columnas pivote es matriz 0 5 triangular de orden dos, con determinante no nulo. Como las submatrices de C, de orden tres, todas tienen determinante nulo, porque la última fila de C, tiene todos sus elementos cero, es r (C ) = 2. Observemos que C, tiene 2 filas pivote. Actividad Nº 3: Calcula el rango de las siguientes matrices escalón, por simple inspección: 4 1 3 0 5 0 0 2 0 1 5 0 3 0 0 7 2 0 M= 0 0 3 7 ; N= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 3 0 0 0 0 0 0 4 Conclusión: Si una matriz escalonada A = aij mxn tiene r pivotes (es decir r filas o columnas pivote) entonces r (A) = r El rango r se obtiene entonces, por simple inspección, contando los pivotes (o la cantidad de filas o columnas pivote). 5 FACULTAD REGIONAL ROSARIO UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL Álgebra y Geometría Analítica – Sistemas de ecuaciones lineales 1.3 Operaciones elementales por fila en una matriz Ya hemos dicho que dada una matriz A = a ij mxn ,no nula, en general el rango no se puede obtener en forma directa, pero si la matriz es escalón, se lo puede obtener de inmediato. La idea es entonces, pasar de la matriz A a otra matriz B escalón con la condición de r (A) = r (B). Para ello establecemos la siguiente definición: Operaciones elementales por filas en una matriz a) intercambiar dos filas entre sí b) multiplicar una fila por una constante no nula c) sumar a una fila otra fila multiplicada por una constante Para estas operaciones vale la siguiente propiedad: El rango de una matriz no varía, si en la misma se efectúan operaciones elementales por filas. La demostración de esta propiedad se puede ver en el Apéndice. 1.3.1 Matrices equivalentes Definición: Dos matrices son equivalentes (por filas) si una puede obtenerse de la otra mediante una sucesión finita de operaciones elementales por filas. Notación: A B , y se lee “la matriz A es equivalente a B” Por la propiedad anterior podemos afirmar que: Matrices equivalentes tienen el mismo rango 6 FACULTAD REGIONAL ROSARIO UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL Álgebra y Geometría Analítica – Sistemas de ecuaciones lineales 1.4 Cálculo del rango de una matriz aplicando operaciones elementales por filas Método de Gauss: Dada una matriz A mxn , obtendremos aplicando operaciones elementales por filas, una matriz B mxn escalón. Será A B, por lo que r (A) = r (B) = r, donde r es el número de pivotes de B. A fin de sistematizar la obtención de la matriz escalón introduciremos estas notaciones: Fi c Fi y c 0 , quiere decir: “reemplaza la fila i por esa misma fila multiplicada por c 0” (Para multiplicar la fila i por c se multiplica cada elemento de esa fila por c). Fj Fj + c Fi , significa: “sustituye la fila j por la suma de la fila j más la fila i multiplica por c”. Fi Fj , quiere decir: “intercambia las filas i y j A B , significa: “pasamos de la matriz A a la matriz equivalente B”. El método de Gauss se basa en el hecho siguiente: Toda matriz puede ser transformada en una matriz equivalente escalón, utilizando un número finito de operaciones elementales por filas. Los pasos a seguir son los siguientes: Paso 1: Buscar en la matriz dada la primera columna, desde la izquierda, con algún elemento no nulo. Dicho elemento no nulo, lo tomamos como pivote de la primer columna. Paso 2: Si el pivote no está en la primera fila, intercambiamos adecuadamente filas para que esté en esa posición. Si el pivote está en la primera fila, este paso se saltea. Paso 3: Anular, si es necesario, todos los elementos restantes de la primera columna debajo del pivote, utilizando operaciones elementales entre la primera fila y las demás. Paso 4: Repetir, si es necesario, los pasos 1 al 3 ignorando la primera fila. Es probable que haya que repetir este Paso 4, varias veces, ignorando cada vez las filas donde acabamos de encontrar los pivotes y efectuando entonces los pasos 2 y 3. Así llegamos a obtener la matriz escalón buscada. Ejemplo Nº 2: Hallar el rango de la siguiente matriz. 7 FACULTAD REGIONAL ROSARIO UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL Álgebra y Geometría Analítica – Sistemas de ecuaciones lineales 0 2 3 4 1 2 5 10 A = 2 6 7 15 F1 F3 2 6 7 15 F2 F2 – 2 F1 1 2 5 10 0 2 3 4 pivote Primera columna no nula desde la izquierda 1 2 5 10 1 2 5 10 0 2 3 5 F3 F3 + F2 0 2 3 5 B 0 2 4 0 0 0 1 3 pivote pivote Primera columna no nula desde la izquierda La matriz B es una matriz escalón, tal que A B. Entonces r (A) = r (B) = 3 El método de Gauss se puede sistematizar mediante un cuadro. Para ello a la matriz A, de partida le agregamos una columna de control cuyos elementos se obtienen sumando los elementos de cada fila de A. Con la columna control se opera como si fuera otra columna más de A. El control consiste en que, en cada etapa, cada elemento de dicha columna debe ser igual a la suma de los restantes elementos de la respectiva fila. La justificación de la columna control se puede ver en el Apéndice. Los elementos de las sucesivas matrices equivalentes, cuando anulamos los que están debajo de cada pivote en el cuadro, se obtienen sistemáticamente calculando sólo determinantes de 2º orden. Esto se debe a la elección y al orden de las operaciones por filas aplicadas. 8 FACULTAD REGIONAL ROSARIO UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL Álgebra y Geometría Analítica – Sistemas de ecuaciones lineales Renglón Nº Columna control 1 0 2 3 4 9 Paso 1 2 2 -6 7 15 18 3 1 -2 5 10 14 4 1 -2 5 10 14 Paso 2 5 2 -6 7 15 18 6 0 2 3 4 9 7 0 -2 -3 -5 -10 Paso 3 8 0 2 3 4 9 9 0 0 0 2 2 Paso 4 Los ceros marcados con negrita en el cuadro, se acostumbra a no escribirlos pues se sobrentienden. La matriz escalón equivalente se puede obtener con las filas recuadradas ( renglones 4, 7 y 9), es decir: 1 2 5 10 C = 0 2 3 5 0 0 2 0 Veamos cómo se obtienen fácilmente los elementos cuando anulamos los que se hallan debajo del primer pivote:1. Se trata de calcular los siguientes determinantes de 2º orden: 9 FACULTAD REGIONAL ROSARIO UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL Álgebra y Geometría Analítica – Sistemas de ecuaciones lineales Renglón 7 -2= 1 -2 ;-3= 1 5 ;-5= 1 10 ;-10= 1 14 =-2-3-5 2 -6 2 7 2 15 2 18 (control) Renglón 8 2= 1 -2 ; 3= 1 5 ; 4= 1 10 ; 9= 1 14 = 2+3+4 0 2 0 3 0 4 0 9 (control) Igualmente cuando anulamos los elementos debajo del 2º pivote –2, se tiene: Renglón 9 0= -2 -3 ; 2= -2 -5 ; 2= -2 -10 = 0 +2 (control) 2 3 2 4 2 9 Hemos obtenido la matriz C equivalente a A, r (C) = r (A) = 3 Al comienzo del ejemplo 2 habíamos obtenido la matriz B A, que difiere de C en el último elemento. Esto muestra que una matriz A, puede ser equivalente a varias matrices escalón. Ello se debe a la forma de elegir y el orden en que se aplican las operaciones elementales, pero las matrices escalón obtenidas mantienen el rango. El número de pivotes es el mismo y además se encuentran en las mismas posiciones. Se debe evitar al aplicar operaciones elementales, introducir fracciones. En el ejemplo siguiente las operaciones elementales se aplicaron de forma tal de obtener la misma matriz escalón equivalente, que la que obtendremos en forma sistemática a través del cuadro. Ejemplo Nº 3: Aplicando operaciones elementales determinar el rango de la matriz siguiente: 2 2 1 32 2 2 1 3 2 F2 2 F2 F2 F2 - 3 F1 3 3 1 13 6 6 2 2 6 A= 4 0 3 2 2 F3 2 F3 8 0 6 4 4 F3 F3 - 4 F1 3 7 6 5 9 6 14 12 10 18 F4 2 F4 F4 F4 - 3 F1 10 FACULTAD REGIONAL ROSARIO UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL Álgebra y Geometría Analítica – Sistemas de ecuaciones lineales 2 2 1 3 2 2 2 1 3 2 2 2 1 3 2 0 0 1 7 0 0 8 10 8 12 0 4 5 4 6 0 8 10 8 12 F2 F3 0 0 1 7 0 F2 ½ F2 0 0 1 7 0 0 8 9 1 12 0 8 9 1 12 0 8 9 1 12 para trabajar con números menores 2 2 1 3 2 2 2 1 3 2 2 2 1 3 2 0 4 5 4 6 0 4 5 4 6 0 4 5 4 6 F4(-4)F4 F4F4–8F2 F4F4+4F3 0 0 1 7 0 0 0 1 7 0 0 0 1 7 0 0 32 36 4 48 0 0 4 28 0 0 0 0 0 0 Es r (A) = r (B) = 3 Aplicamos el cuadro, que sistematiza el proceso. Renglón Nº Columna control 1 2 2 -1 3 2 8 2 3 3 -1 1 3 9 3 4 0 3 2 -2 7 4 3 7 -6 5 9 18 5 0 1 -7 0 -6 6 -8 10 -8 -12 -18 7 8 -9 1 12 12 8 -8 10 -8 -12 -18 9 0 1 -7 0 -6 11 FACULTAD REGIONAL ROSARIO UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL Álgebra y Geometría Analítica – Sistemas de ecuaciones lineales 10 8 -9 1 12 12 11 -4 5 -4 -6 -9 12 0 1 -7 0 -6 13 8 -9 1 12 12 14 1 -7 0 -6 15 -4 28 0 24 16 0 0 0 La matriz escalón B tiene sus filas en los renglones 1, 11, 14 y 16 2 2 1 3 2 0 4 5 4 6 B= 0 0 1 7 0 0 0 0 0 0 En el cuadro no se han escrito los ceros debajo de cada pivote. Repasemos como se obtienen fácilmente algunos elementos de B cuando anulamos los que se hallan debajo del 1º pivote: 2 En el Renglón 5: 0= 2 2 ; 1= 2 -1 ; -7= 2 3 ;0= 2 2 ; -6= 2 8 = 0 +1 – 7 + 0 3 3 3 -1 3 1 3 3 3 9 (control) En el Renglón 6: -8 = 2 2 ; 10 = 2 -1 ; -8= 2 3 ; -12 = 2 2 ; -18 = 2 8 = -8+10 –8–12 4 0 4 3 4 2 4 -2 4 7 (control) En el Renglón 7: 8= 2 2 ; -9 = 2 -1 ; 1= 2 3 ; 12= 2 2 ; 12 = 2 8 = 8 –9 +1 +12 3 7 3 -6 3 5 3 9 3 18 (control) 12 FACULTAD REGIONAL ROSARIO UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL Álgebra y Geometría Analítica – Sistemas de ecuaciones lineales El renglón 11 se obtiene del 8 multiplicando sus elementos por ½. Así mismo, cuando anulamos los elementos debajo del 2º pivote –4 se obtiene: el renglón 14 coincide con el 12 pues en este ya había un cero debajo del pivote -4. En el: Renglón 15: -4 = -4 5 ; 28= -4 -4 ; 0= -4 -6 ; 24= -4 -9 = -4 + 28 +0 8 -9 8 1 8 12 8 12 (control) Análogamente cuando anulamos los elementos debajo del tercer pivote 1. Se obtiene en el Renglón 16: 0= 1 -7 ;0= 1 0 ;0= 1 -6 =0+0 -4 28 -4 0 -4 24 (control) Actividad Nº 4: 1 2 2 3 4 Dada la matriz A = 2 4 5 6 5 calcula r(A) 1 2 0 3 10 Utiliza el cuadro que sistematiza la obtención de la matriz escalón equivalente. 1.5 Una propiedad de las operaciones elementales por filas en una matriz. Supongamos la matriz A, a la que le efectuamos las operaciones elementales indicadas 1 2 1 3 4 2 1 2 1 A = F1 F2 F2 F1 = A 3 4 2 1 2 1 3 4 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 A = F2 2 F2 F2 ½ F2 = A 3 4 2 6 8 4 3 4 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 A = F2 F2 + 3 F1 F2 F2 - 3 F1 = A 3 4 2 0 10 1 3 4 2 13 FACULTAD REGIONAL ROSARIO UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL Álgebra y Geometría Analítica – Sistemas de ecuaciones lineales Es decir: Las operaciones elementales por filas en una matriz son reversibles. Este hecho es importante en el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales. 1.6 Matriz escalón reducida por filas Hay una forma más exigente de matriz escalón llamada matriz escalonada reducida por filas. En la misma cada pivote debe ser igual a uno no sólo un número distinto de cero y los demás elementos de cada columna pivote deben ser cero ( no sólo los de abajo del pivote). Para cada matriz esta forma escalonada reducida es única, pero es muy laboriosa obtenerla a mano, no pudiéndose aplicar además el cuadro que sistematiza el cálculo. Sin embargo en programas computacionales cuando se necesita una matriz escalón, se la obtiene en forma reducida. 14 FACULTAD REGIONAL ROSARIO UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL Álgebra y Geometría Analítica – Sistemas de ecuaciones lineales 2.Sistemas de ecuaciones lineales. 2.1 Introducción: Ya se sabe que para resolver el problema de la intersección de dos rectas en el plano algebraicamente, debemos plantear un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas x e y. a11x a21 y b1 (r1 ) S) a 21 x a22 y b2 (r2 ) Hemos visto también, que pueden presentarse estos casos: En el primer gráfico el sistema S) se dice que es Compatible determinado con única solución. En el segundo gráfico el sistema S) se dice que es Incompatible o que no tiene solución. En el tercer gráfico el sistema S) se dice que es Compatible indeterminado o con infinitas soluciones. 15 FACULTAD REGIONAL ROSARIO UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL Álgebra y Geometría Analítica – Sistemas de ecuaciones lineales A resultados análogos se arriba cuando se estudia la intersección de tres plano en el espacio pues esto equivale a plantear el siguiente sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas: x, y , z. a1x b1 y c1z d1 0 a2 x b2 y c2 z d 2 0 a x b y c z d 0 3 3 3 3 1 , 2 y 3 se cortan 1 , 2 y 3 no se 1 , 2 y 3 se cortan entre sí en una recta. cortan. en un punto. (S) tiene infinitas (S) carece de solución. (S) tiene solución soluciones (los puntos (S) es incompatible. única. de la recta). (S) es compatible (S) es compatible determinado. indeterminado. Además, recordemos que una recta en el espacio puede darse como intersección de dos planos no paralelos, ni coincidentes, lo que nos conduce a considerar sistemas de dos ecuaciones lineales con tres incógnitas. a1 x b1 y c1 z d1 0 a2 x b2 y c2 z d 2 0 16 FACULTAD REGIONAL ROSARIO UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL Álgebra y Geometría Analítica – Sistemas de ecuaciones lineales Nos proponemos estudiar ahora los sistemas de ecuaciones lineales en general. 17 FACULTAD REGIONAL ROSARIO UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL Álgebra y Geometría Analítica – Sistemas de ecuaciones lineales 2.2 Generalidades. Definiciones: Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas (m, y, n) naturales tiene el aspecto siguiente: a11x1 a12 x2 ....... a1n xn b1 a x a x ....... a2 n xn b2 21 1 22 2 (1) .............................................. am1 x1 am 2 x2 ........ amn xn bm Las incógnitas son: x1, x2,........xn , y están todas elevadas a la potencia de exponente uno. i 1,2,....., m Los números reales (o complejos ) aij son los coeficientes del sistema. j 1,2,......, n El primer índice i nos indica en qué ecuación del sistema se encuentra, y el segundo índice j señala a qué incógnita multiplica. Por ejemplo, a21 es el coeficiente de x1 en la segunda ecuación. Los números reales (o complejos) bi ( i = 1, 2,......, m) se llaman términos independientes. Se llama solución del sistema a todo conjunto de n números reales (o complejos) ordenados (o n-upla) : (x0 1 , x0 2 ,........., x0 n ) que tiene la propiedad siguiente: reemplazando, en todas las ecuaciones del sistema, x1 por x0 1 ; x2 por x0 2 ;......., xn por x0 n , aquéllas deben quedar verificadas o satisfechas simultáneamente, lo que significa que se deben obtener m identidades numéricas. El sistema S), se dice que es compatible si y solo si admite al menos una solución. Si admite una única solución, entonces S) se dice que es compatible determinado y el conjunto solución tiene un único elemento: la n-upla. Si S) admite infinitas soluciones diremos que es compatible indeterminado. Si el sistema S) no admite ninguna solución diremos que es incompatible. El conjunto solución es el conjunto vacío. Si todos los términos independientes bi (i = 1, 2,......., m) son nulos el sistema se llama homogéneo. En caso contrario, se suele decir que es no homogéneo. Observamos finalmente que podrá ser m n En lo que sigue obtendremos algunas conclusiones para resolver sistemas de ecuaciones lineales, lo que significa determinar todas las soluciones de los mismos, en el caso de ser compatible o establecer que son incompatibles. 18 FACULTAD REGIONAL ROSARIO UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL Álgebra y Geometría Analítica – Sistemas de ecuaciones lineales 2.2.1 Matrices asociadas a un sistema de ecuaciones lineales Sea el sistema (1) de m ecuaciones lineales con n incógnitas (m n ). Son de interés las siguientes matrices pues permiten una mejor comprensión de las relaciones matemáticas involucradas en un problema y facilitan el uso del computador. a11 a12...... a1n a21 a22...... a2 n A= ..... es la matriz de los coeficientes del sistema.................. a m1 am 2...... amn a11 a12..... a1n b1 M = a21 a22..... a2 n b2 es la matriz ampliada del sistema a amn bm m1 am 2...... x1 b1 x2 . b2 . X= . es el vector incógnita ; B =detérminos es el vector . independientes . . . b x m n A la matriz ampliada se la suele simbolizar: M = (A | B) 2.2.2 Notación matricial de un sistema de ecuaciones lineales. Es fácil comprobar que el sistema (1) puede expresarse en forma mucho más compacta mediante la siguiente ecuación matricial: (2) AX = B donde las matrices que aparecen son las definidas en el punto anterior. Actividad N º 5: Comprueba el resultado enunciado. 19 FACULTAD REGIONAL ROSARIO UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL Álgebra y Geometría Analítica – Sistemas de ecuaciones lineales 2.2.3 Solución matricial para un caso particular. Se trata de la expresión matricial de un sistema de ecuaciones lineales: AX = B. Si A es cuadrada no singular (regular), existe A-1. Premultiplicando ambos miembros por A-1 queda: A-1. A. X = A-1. B I.X = A-1. B X = A-1. B X es única pues A-1 es única y por lo tanto A-1. B es única Verificamos la solución obtenida: en el sistema dado AX = B, sustituimos X = A 1 B. Se obtiene A (A 1 B) = (AA 1 )B = IB = B 2.2.4 Representación de un sistema de ecuaciones lineales mediante su matriz ampliada Si consideramos el sistema 2x 3y z 4 7x y 3 3 x 2 y 9 z 0 sabemos que su matriz ampliada es: 2 3 1 4 M= 7 1 0 3 y representa unívocamente al sistema en forma 3 2 9 0 más simple. Debe tenerse presente cuando se escribe esta matriz, que las incógnitas deben ser escritas en el mismo orden en todas las ecuaciones del sistema y mantener ese orden en todo el proceso posterior. Además en la matriz deben colocarse ceros cuando no figuran incógnitas en alguna ecuación del sistema (en este caso en la segunda ecuación). Obsérvese además que las tres primeras columnas de M, en este caso, constituyen la matriz A de los coeficientes del sistema. 20 FACULTAD REGIONAL ROSARIO UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL Álgebra y Geometría Analítica – Sistemas de ecuaciones lineales Actividad Nº 6: Se dan las siguientes matrices ampliadas y las incógnitas respectivas a) x 1 0 2 3 4 x2 M = 0 0 1 3 0 x= 2 1 0 5 3 x 3 x 4 b) 2 3 4 5 0 x 1 0 2 0 3 y M = 0 1 2 5 1 x= z 0 0 1 3 4 w 0 0 0 0 0 c) 2 1 0 5 x 0 2 1 1 M= x = y 0 0 3 4 z 0 0 0 0 Escribe los sistemas correspondientes e identifica sus respectivas matrices de coeficientes. 2.3 Sistemas triangulares. Sustitución hacia atrás Consideremos el sistema: 2 x 3 y 2 z 7 3y 2z 3 5 z 15 Geométricamente se trata de la intersección de tres planos. Este tipo de sistema se llama triangular o escalonado (por filas), por el aspecto que tienen los primeros miembros de las ecuaciones. Un sistema de este tipo, se lo puede resolver fácilmente con el proceso llamado sustitución hacia atrás. El proceso es el siguiente. 21 FACULTAD REGIONAL ROSARIO UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL Álgebra y Geometría Analítica – Sistemas de ecuaciones lineales 1) Se resuelve la última ecuación para la incógnita z: 5z = 15 z = 3 2) Sustituimos este valor de z en la segunda ecuación y despejamos el valor de y: 3y + 2(3) = 3 3y = -3 y = -1 3) Sustituimos los valores hallados de y y z en la primera ecuación y despejamos la incógnita x: 2x + 3 (-1) – 2(3) = -7 2x – 3 – 6 = -7 2x = 2 x = 1 Luego la solución del sistema es la terna ordenada: (x, y, z) = (1, -1, 3) veremos que los sistemas triangulares más grandes pueden ser resueltos con facilidad. 2.4 Sistemas equivalentes Dos sistemas son equivalentes si y sólo sí toda solución de uno de ellos es solución del otro y recíprocamente. 2.5 Operaciones elementales en un sistema de ecuaciones lineales Sea el sistema: a11 x1 a12 x 2 ......... a1n x n b1 a x a 22 x 2 ......... a 2 n x n b2 21 1 S = ................................................. a x am 2 x2 ......... a mn x n bm m1 1 con su matriz de coeficientes: a11 a12......... a1n a11 a12......... a1n | b1 a21 a22.......... a2 n a21 a22.......... a2 n | b2 A= y matriz ampliada M = ..................................................................... |... a a amn | bm m1 a m2.......... a mn m1 am 2.......... 22 FACULTAD REGIONAL ROSARIO UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL Álgebra y Geometría Analítica – Sistemas de ecuaciones lineales Si determinamos M’ , matriz escalón equivalente a M, por operaciones elementales por filas simultáneamente queda determinada la matriz escalón A’ A, pues según hemos observado las primeras n columnas de M forman la matriz A. Como las ecuaciones de un sistema se corresponden con las filas de su matriz ampliada, se puede afirmar que a cada operación elemental por filas realizada en M, le corresponde una operación en el sistema S) que llamaremos la correspondiente operación elemental en S) y recíprocamente. Tendremos: Operación elemental por filas realizada Correspondiente operación elemental en M que se produce en S) Fi c Fi ; c 0 Ei c Ei ; c 0 ; (reemplaza la ecuación i , por ella misma multiplicados sus dos miembros por la constante c 0 Fj Fj + c Fi Ej Ej + c Ei (sustituye la ecuación j , por la suma de ella más otra ecuación multiplicada por una constante. Fi Fj Ei Ej (intercambia las ecuaciones i y j 2.5.1 Obtención de sistemas equivalentes por aplicación de operaciones elementales Propiedad: Si sobre un sistema de ecuaciones lineales S) o su matriz ampliada M, se efectúan operaciones elementales por filas, se obtiene un sistema S’) equivalente al dado. En efecto, según el párrafo 1.5, las operaciones elementales por filas son reversibles, por lo tanto cuando se aplican a un sistema S) o a su matriz ampliada M, no se pierde ni se agrega ninguna solución al nuevo sistema S’) obtenido. Es decir, toda solución de S) es de S’) y recíprocamente. Ambos sistemas son equivalentes. De igual forma resulta que si S) es incompatible, también lo será S’). 2.6 Método de eliminación de Gauss Dado el sistema S), con sus matrices A y M del párrafo 2.5, el método de eliminación de Gauss, aplica sistemáticamente operaciones elementales por filas hasta obtener un sistema S’ del tipo triangular o escalonado. Este último resulta equivalente al dado, por la propiedad anterior. Las matrices de coeficientes y ampliada de S’, son respectivamente A’ A; M’ M ambas matrices escalón. 23 FACULTAD REGIONAL ROSARIO UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL Álgebra y Geometría Analítica – Sistemas de ecuaciones lineales Ejemplo Nº 4: Resolver el sistema S): Sistema lineal Matriz ampliada correspondiente 3y 2z 7 0 3 2 | 7 S) x 4 y 4z 3 ; m 3 ; n 3 ; M = 1 4 4 | 3 3x 3 y 8 z 1 3 3 8 | 1 Geométricamente significa plantearse la intersección de tres planos E1 E2 F1 F2 x 4 y 4z 3 1 4 4 3 3y 2z 7 ; 0 3 2 7 3x 3 y 8 z 1 3 3 8 1 Eliminamos la incógnita x entre la 1º y 3º ecuación E3 E3 – 3 E1 F3 F3 – 3 F1 x 4y 4z 3 1 4 4 |3 3y 2z 7 ; 0 3 2 |7 9y 20 z 8 0 9 | 8 20 Ahora eliminamos la incógnita z entre 2º y 3º ecuación E3 E3 + 3 E2 F3 F3 + 3 F2 x 4 y 4z 3 1 4 4 | 3 S’)= 3y 2z 7 ; M’ = 0 3 2 |7 26 z 13 0 0 26 | 13 Si trabajamos sólo con la matriz M llegamos a obtener la matriz escalón M’ M. Debemos escribir el sistema S’) cuya matriz ampliada es M’ , que resulta ser un sistema triangular equivalente a S), que se resuelve por sustitución hacia atrás obteniéndose la solución: (x, y, z) = (-3, 2, ½ ). 24 FACULTAD REGIONAL ROSARIO UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL Álgebra y Geometría Analítica – Sistemas de ecuaciones lineales Observación: Resulta r (M) = r (M’) = 3 = r(A) = r (A’), es decir r (A) = r (M) = 3 = n (nº de incógnitas). Sistema compatible determinado. En lo sucesivo trabajaremos con la matriz ampliada M de cada sistema. Para obtener la matriz M’ escalón, tal que M’ M utilizaremos el cuadro que sistematiza los cálculos. Ejemplo Nº 5: Resolver el sistema: 3x 2y 2z 3 2x 3y 3z 4 m=5 2 x 4y 2z 3 5x 2y 4z 2 n=3 3x 4y 2z 3 Se trata de hallar, si existe, la intersección de 5 planos Planteamos el cuadro para obtener M’ M, automáticamente obtendremos A’ A. Renglón nº x y z Térm. Indep. Col. control 1. 3 2 -2 3 6 2. 2 3 -3 4 6 3. -2 4 2 3 7 4. 5 -2 4 2 9 5. 3 4 2 3 12 6. 5 -5 6 6 7. 16 2 15 33 8. -16 22 -9 -3 9. 6 12 0 18 10. 90 -21 69 11. 30 51 81 12. 90 -36 54 13. 30 -7 23 14. 10 17 27 15. 5 -2 3 16. 580 580 25 FACULTAD REGIONAL ROSARIO UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL Álgebra y Geometría Analítica – Sistemas de ecuaciones lineales 17. -25 -25 18. 0 0 Observación: El renglón 13 se obtuvo del 10 multiplicado por 1/3. El renglón 14 se obtuvo del 11 multiplicado por 1/3. El renglón 15 se obtuvo del 12 multiplicado por 1/18. Así se consigue trabajar con números menores. 3 2 2 | 3 0 5 5 | 6 M’ = 0 0 30 | 7 r (A) = r (A’) = 3 ; r (M) = r (M’) = 4 0 0 0 | 580 0 0 0 0 | El sistema S’) equivalente a S), cuyas matrices ampliadas y de coeficientes son M’ y A’ respectivamente, es: 3x 2 y 2z 3 5y 5z 6 30 z 7 S’) = 0 x 0 y 0 z 580 0 x 0 y 0z 0 La última ecuación se verifica x , y , z por lo tanto es trivial y se conviene en no escribirla Por lo tanto: 3x 2 y 2 z 3 5 y 5z 6 30 z 7 S’) 0 z 580 S’) resulta incompatible pues la cuarta ecuación es incompatible. 26 FACULTAD REGIONAL ROSARIO UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL Álgebra y Geometría Analítica – Sistemas de ecuaciones lineales Por lo tanto S) es incompatible. Observemos que r (A) r (M) Ejemplo Nº 6: Resolver el sistema e interpretarlo geométricamente. 3x y 5 (r1 ) m=3 S) x 4y 9 (r2 ) 9 x 14 y 37 (r3 ) n=2 Se trata de estudiar la intersección de tres rectas. Puede suceder que las tres rectas se corten en un punto P0 (x0 y0 ), en ese caso será S) compatible determinado, podrá ser compatible indeterminado o aún incompatible. Vamos a determinar la solución de S), si existe, para resolver el problema. Renglón nº x y Término Col. control Indep 3 1 5 9 1. 1 4 9 14 2. 9 14 37 60 3. 11 22 33 4. 33 66 99 5. 1 2 3 6. 1 2 3 7. 0 0 8. Observación: Para trabajar con números menores, por comodidad, se obtuvo el renglón 6 multiplicando el renglón 4 por 1/11 y el renglón 7 se obtuvo multiplicando por 1/33 al renglón 5. Resulta: 27 FACULTAD REGIONAL ROSARIO UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL Álgebra y Geometría Analítica – Sistemas de ecuaciones lineales 3 1| 5 M’ = 0 1| 2 r (A) = r (A’) = 2 ; r (M) = r (M’) = 2 0 0| 0 A' El sistema S’) equivalente a S) y cuyas matrices son M’ y A’ respectivamente es: 3x y 5 S’) y 2 0y 0 La última ecuación la eliminamos por ser trivial (se verifica x , y ), luego: 3x y 5 S’) y 2 De la última y =2, reemplazando en la 1º resulta x =1, la solución de S’) y por lo tanto de S) es del par ordenado (1, 2). S) es compatible determinado, luego las tres rectas pasan por el punto P0 (1,2) Observación: r (A) = r (A’) = 2 r (M) = r (M’) = es 2 decir r (A) = r (M) = n = 2 nº de incógnitas y el sistema S) es compatible determinado. Ejemplo Nº 7: Resolver el sistema: x1 2 x2 2 x3 3x4 4 x5 3 m=3 S) 2 x1 4 x2 5 x3 6 x4 5 x5 1 n=5 x 2 x 3x4 11x5 15 1 2 28 FACULTAD REGIONAL ROSARIO UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL Álgebra y Geometría Analítica – Sistemas de ecuaciones lineales x1 x2 x3 x4 x5 Términos Col. Control Indep. 1 2 -2 3 -4 -3 -3 2 4 -5 6 -5 -1 1 -1 -2 0 -3 11 15 20 0 -1 0 3 5 7 0 -2 0 7 12 17 0 -1 -2 -3 Columnas pivote 1 2 2 3 4 3 r(A) = r(A’) = 3 M’ = 0 0 1 0 3 5 0 0 0 0 1 2 r(M) = r(M’) =3 A' Veremos que el sistema S) es compatible indeterminado. El sistema S’), equivalente a S) es: x1 2 x2 2 x3 3x4 4 x5 3 S’) x3 3x5 5 x5 2 Ahora debemos introducir definiciones nuevas. Notemos que hay más incógnitas que ecuaciones. Las incógnitas x1 , x2 , x5 corresponden a las columnas pivote de M’. Es más, sus coeficientes son los pivotes de M’. Llamaremos incógnitas principales de S) o S’) a: x1 ; x3 ; x5. A las restantes las llamaremos incógnitas libres o secundarias: x2 , x4. Escribimos el sistema S’) dejando en el 1er miembro las incógnitas principales y pasando al 2do miembro las incógnitas secundarias o libres: x1 2 x3 4 x5 3 2 x2 3x4 S’) x3 3x5 5 x5 2 Demos valores arbitrarios, llamados parámetros, a las incógnitas secundarias: 29 FACULTAD REGIONAL ROSARIO UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL Álgebra y Geometría Analítica – Sistemas de ecuaciones lineales x2 = ; x4 = x1 2 x3 4 x5 3 2 3 S’) x3 3x5 5 x5 2 Se obtiene así un sistema en la forma triangular en las incógnitas x1 ; x3 ; x5 , como en el ejemplo nº 4, de modo que puede ser resuelto por sustitución hacia atrás, en la manera usual, conservando los parámetros y . En realidad S’) y por lo tanto S) tienen infinitas soluciones (sistema compatible indeterminado) las que se obtienen dando valores arbitrarios a las incógnitas secundarias o libres. De la última ecuación de S’) x5 = 2; reemplazando en la segunda ecuación se tiene x3 =1 y reemplazando ambos en la primera ecuación se obtiene x1 = 7 - 2 - 3. La solución general de S’) y por lo tanto de S) es la siguiente: (x1 ; x2 ; x3 ; x4 ; x5) tal que: x1 = 7 - 2 - 3 ; x2 = ; x3 = 1 ; x4 = ; x5 = 2 Por ejemplo, si = 0 ; = 1 se obtiene la siguiente solución particular: x1 = 4 ; x2 = 0 ; x3 = 1 ; x4 = 1 ; x5 = 2 Observación: En este ejemplo resultó r(A) = r(M) = 3 < n =5 (nº de incógnitas). Debemos tener en cuenta que la presencia de incógnitas libres, en un sistema, no garantiza que sea compatible indeterminado, pues puede ser incompatible. Resumamos ahora las observaciones hechas al final de los cuatro ejemplos anteriores. En ejemplo Nº 4: r(A) = r(M) =3 = nº de incógnitas. Sistema compatible determinado. En ejemplo Nº 5: r(A) r(M). Sistema incompatible. En ejemplo Nº 6: r(A) = r(M) = 2 = nº de incógnitas. Sistema compatible determinado. En ejemplo Nº 7: r(A) = r(M) = 3 < 5 = nº de incógnitas. Sistema compatible indeterminado. 2.7 Teorema de Rouché Generalizando las observaciones realizadas en los ejemplos 5, 6 y 7. Para ello vamos a dar un criterio, utilizando los rangos de las matrices de coeficientes: A y ampliada: M, que permite decidir cuando un sistema de ecuaciones lineales es compatible o incompatible. 30 FACULTAD REGIONAL ROSARIO UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL Álgebra y Geometría Analítica – Sistemas de ecuaciones lineales El teorema de Rouché dice así: Dado un sistema S) de m ecuaciones lineales con n incógnitas y con m n, entonces: I) S) es compatible r(A) = r(M) II) Siendo r(A) = r(M) = n, S) tiene única solución (compatible determinado) III) Siendo r(A) = r(M) = r < n, S) tiene infinitas soluciones (compatible indeterminado. La demostración de este teorema puede verse en el Apéndice. Actividad Nº 6: Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales: a) 2 x1 x2 x3 x4 1 S) 4 x1 2 x2 x3 2 x4 1 Respuesta: S) compatible indeterminado Solución general: x1 = / 2 - / 2 x3 = 1 x2 = x4 = b) x 2 z 2w 1 S) x y 2w 2 y 2z w 1 Respuesta: S) es incompatible. 2.8 Sistemas homogéneos: Solución trivial Recordemos que un sistema de ecuaciones lineales se llama homogéneo cuando todos los términos independientes son nulos. 31 FACULTAD REGIONAL ROSARIO UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL Álgebra y Geometría Analítica – Sistemas de ecuaciones lineales a11x1 a12 x2 .... a1n xn 0 a x a x .... a2 n xn 0 21 1 22 2 Sh ) ..................... am1 x1 am 2 x2 .... amn xn 0 Siendo: a11 a12... a1n a11 a12... a1n 0 a21 a22... a2 n a21 a22... a2 n 0 A= ; M= ............ ............ a... amn a... amn 0 m1 am 2 m1 am 2 Observación: Es evidente que siempre se verifica r(A) = r(M). Luego, por el teorema de Rouché, los sistemas homogéneos son siempre compatibles. Admiten, a simple vista, la solución trivial x10 0 ; x20 0 ;...... ; xn0 0 ; que en general no interesa. 2.8.1 Soluciones no triviales o autosoluciones de un sistema de ecuaciones lineales homogéneo Una solución de Sh ) es una autosolución o solución no trivial del mismo sí y sólo sí: x0 1 , x20 ;......... xn0 ( 0, 0,......., 0) Interesa saber bajo qué condiciones Sh ) admite soluciones no triviales. 2.8.2 Condición necesaria y suficiente para que un sistema homogéneo admita soluciones no triviales (además de la trivial) Teorema: Un sistema homogéneo Sh) admite soluciones no triviales r(A) < n (nº de incógnitas). Es una aplicación del teorema de Rouché. Observemos que, según lo dicho, se cumple la parte (I) de dicho teorema por ser r(A) = r(M) = r Demostración ) Sh) admite soluciones no triviales r(A) < n. Es equivalente a demostrar que: r(A) < n Sh admite sólo la solución trivial En efecto si r(A) < n r(A) = n Sh es compatible con única solución, que necesariamente, es la trivial. (parte II del teorema de Rouché). ) r(A) < n Sh admite autosoluciones. 32 FACULTAD REGIONAL ROSARIO UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL Álgebra y Geometría Analítica – Sistemas de ecuaciones lineales En efecto, r(A) = r < n Sh es compatible indeterminado, (parte III del teorema de Rouché) luego admite (además de la trivial) soluciones no triviales, las que se obtienen resolviendo el sistema equivalente S’h) , para las r incógnitas principales, cuyos coeficientes son los pivotes de A’. Las soluciones no triviales de S’h) (y de Sh) se obtienen pasando las incógnitas secundarias al 2do miembro y dándoles valores arbitrarios (parámetros) no todos nulos. 2.8.3 Un caso particular. Sistemas homogéneos de igual número de ecuaciones que incógnitas. Existencia de soluciones no triviales a11x1 a12 x2 ..... a1n xn 0 a21x1 a22 x2 ..... a2 n xn 0 Sh ........................ an1 x1 an 2 x2 ...... ann xn 0 a11... a1n A= ... a.... a n1 nn Sabemos que todo sistema homogéneo admite soluciones no triviales r(A) < n. Esto significa que si el sistema tiene igual número de ecuaciones que incógnitas, la condición r(A) < n equivale a decir, por definición de r(A), que det. A=0. Luego, un sistema homogéneo de igual número de ecuaciones que incógnitas admite soluciones no triviales det. A=0 Ejemplo Nº 8: Resolver el sistema: x1 2 x2 x3 0 m=3 Sh) 3x1 2 x2 6 x3 0 n=3 11x 2 x 16 x 0 1 2 3 Se construye el cuadro acostumbrado omitiendo la columna de términos independientes pues son todos nulos. 33 FACULTAD REGIONAL ROSARIO UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL Álgebra y Geometría Analítica – Sistemas de ecuaciones lineales x1 x2 x3 Col. control 1 2 -1 2 3 -2 6 7 11 -2 16 25 -8 9 1 -24 27 3 0 0 columnas pivote 1 2 1 A = 0 8 9 1 0 0 0 r(A) = r(A’) = 2 < 3 = n El sistema admite soluciones no triviales. El sistema equivalente es: x1 2 x2 x3 0 Sh’) 8 x2 9 x3 0 Las incógnitas principales son x1 y x2 pues sus coeficientes son los pivotes de A’. La incógnita secundaria es x3 que pasamos al 2do miembro y damos un valor arbitrario . x1 2 x2 Sh’ 8x2 9 La solución general es: 5 9 x1 = - ; x2 = ; x3 = 4 8 Las soluciones no triviales particulares de S’) y de S), se obtienen dando valores arbitrarios no nulos al parámetro . 34 FACULTAD REGIONAL ROSARIO UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL Álgebra y Geometría Analítica – Sistemas de ecuaciones lineales Ejemplo Nº 9: Resolver el sistema x 2 y 3z 0 m=3 3x 2 y 6 z 0 n=3 5 x 2 y z 0 x y z Col. control 1 2 -3 0 1 2 3 3 -2 6 7 A’= 0 8 15 0 0 34 5 -2 -1 2 -8 15 7 -12 14 2 r(A) = r(A’) = 3 (nº de incógnitas) -8 15 7 -6 7 1 34 34 Admite sólo la solución trivial. x = 0 ; y = 0; z = 0 El sistema equivalente es: x 2 y 3z 0 Sh’) 8 y 15 z 0 34 z 0 Actividad Nº 7: Resolver el sistema Respuesta: el sistema tiene soluciones no triviales. La solución general es: x1 x2 x3 x4 0 2 x1 x2 x3 x4 0 2 Sh) x1 = 3 4 x1 5 x2 x3 8 x4 0 1 x2 = 3 x3 = ; x 4 = 0 35 FACULTAD REGIONAL ROSARIO UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL Álgebra y Geometría Analítica – Sistemas de ecuaciones lineales 2. 9 Cálculo de la matriz inversa de una matriz cuadrada regular utilizando sistemas de ecuaciones lineales simultáneos 1 Este método es más práctico que calcular A-1 = (adj A)T. ; sobre todo cuando el orden det A de A es grande. Sea: 2 1 0 A= 1 2 2 se trata de calcular, si existe A-1 1 1 3 Sabemos que, A-1 es también de orden 3, pero desconocemos sus elementos x11 x12 x13 A-1 = x21 x22 x23 x x33 31 x32 Además se deben cumplir A A-1 = A–1. A= I, es decir conocemos el resultado del producto. x11 x12 x13 x21 x22 x23 x x33 31 x32 2 1 0 1 0 0 1 2 2 0 1 0 1 1 3 0 0 1 Por cada columna de A-1 podemos plantear un sistema como sigue: Para la 1º columna de A-1 Para la 2º columna de A-1 Para la 3º columna de A-1 2 x1 x2 1 2 x1 x2 0 2 x1 x2 0 S1) x1 2 x2 2 x3 0 ; S2 ) x1 2 x2 2 x3 1 ; S3 ) x1 2 x2 2 x3 0 x 1x 3x 0 x 1x 3x 0 x 1x 3x 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 en los que se omite, obviamente, el 2do subíndice en las incógnitas. 36 FACULTAD REGIONAL ROSARIO UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL Álgebra y Geometría Analítica – Sistemas de ecuaciones lineales Estos sistemas tienen la particularidad de tener en común la misma matriz de coeficiente que es la matriz dada A, y sus términos independientes son las columnas de la matriz identidad I3. Esto hace que sea sencillo la resolución simultánea de los tres sistemas. Para ello se encara el siguiente cuadro (donde t1, t2 , t3 indican las respectivas columnas de términos independientes. Para la matriz A dada tendríamos: x1 x2 x3 t1 t2 t3 Col. control 2 -1 0 1 0 0 2 1 2 2 0 1 0 6 -1 1 3 0 0 1 4 5 4 -1 2 0 10 6 1 0 2 10 26 6 -2 10 40 2 1 0 A’ = 0 5 4 0 0 26 Los sistemas respectivamente equivalentes a los planteados son: 2 x1 x2 1 2 x1 x2 0 S’1 5 x2 4 x3 1 ; S’2 5 x2 4 x3 2 6 2 26 x3 26 x3 (para la 1º columna de A-1 ) (para la 2º columna de A-1 ) 2 x1 x2 0 S’3 5 x2 4 x3 0 (para la 3º columna de A-1 ) 26 x3 10 La solución de S’1) es 4 5 3 x1 = ; x2 = - ; x3 = 13 13 13 La solución de S’2) es 3 6 1 x1 = ; x2 = ; x3 = - 13 13 13 37 FACULTAD REGIONAL ROSARIO UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL Álgebra y Geometría Analítica – Sistemas de ecuaciones lineales La solución de S’3) es 5 2 4 x1 = - ; x2 = - ; x3 = 13 13 13 Entonces: 4 3 2 13 13 13 A-1 = 5 6 4 13 13 13 3 1 5 13 13 13 Como control podrá hacerse A A-1 = A-1 A = I3 38 FACULTAD REGIONAL ROSARIO UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL Álgebra y Geometría Analítica – Sistemas de ecuaciones lineales Sistema de Ecuaciones Lineales Ejercicios: 1- Analizar y resolver, si es posible, aplicando el método de eliminación gausiano. En cada caso explicitar el r(A), r(M) y relacionarlos con el número de incógnitas y el conjunto solución. x y z 1 2 x 2 y z 1 1 1 a) S = ;1; x y z 1 3 3 x y 2 z 4t 4w 7 2 x y 2 z 7t 8w 10 b) S= 15 4 ;2 2 ; ;6; ; R x 2 y 4 z 4t 4w 5 x y 2 z 3t 4w 1 x y z 2 c) 2 x 2 y z 3 S= x y 2z 8 x 2 y 4 z 4t 0 d) 2 x 4 y 5 z 8t 0 S= 2; ;0; ; R x z 2t 0 x yz 0 e) 2 x 2 y z 0 Solución trivial x y z 0 x 2y z 0 1 4 f) 3x y z 0 S= ; ; ; R 5 x 4 y 3z 0 7 7 2- Calcular , y siendo: 7 1 2 1 0 5 11 12 + + = 1 2 0 1 2 11 7 33 39 FACULTAD REGIONAL ROSARIO UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL Álgebra y Geometría Analítica – Sistemas de ecuaciones lineales Hallar el valor de c para que el sistemas tenga: a) solución única b) solución indeterminada c) ninguna solución siendo: x 2 y 4z 2 2x 3y z 1 3x y 2 z c 3- Si x1 = 3 , x2 = 16 y x3 = 5 es una solución particular de AX = B, hallar la solución general si: 2 1 11 1 0 2 A= ; {(-7+2 ; -19+7; ) ; R} 1 1 5 7 2 0 4- Una persona tiene un total de $420.000, invertidos en acciones tipo A, B y C. La tasa anual de los dividendos son 4%, 6% y 5% respectivamente, el rédito anual son $21.400. Si la suma de lo invertido en las acciones tipo A y B es el doble de lo invertido en las de tipo C. Encontrar el monto invertido en cada tipo de acción. Rta.: 120.000; 160.000 y 140.000 respectivamente. 5- Una herencia de $220.000 es dividida entre tres hijos. El mayor recibe 50% más que el segundo hijo y el menor $10.000 más que el segundo. ¿Qué monto corresponde a cada uno?. Rta.: el mayor 90.000; el segundo 60.000 y el menor 70.000 6- Un turista que fue a Europa, gastó $20 al día por hospedaje en Inglaterra, $20 al día en Francia y $20 al día en España. En cuanto a alimentos, el turista gastó $20 diarios en Inglaterra, $30 diarios en Francia y $20 diarios en España. Además, por conceptos varios el turista gastó $10 diarios en cada uno de los países mencionados. A su regreso, el registro de gastos del viajero indicaba un total de $340 por hospedaje, $320 por alimentos y $140 por gastos varios. Calcule el número de días que el viajero estuvo en cada uno de los tres países o bien muestre que el registro es incorrecto ya que las cantidades gastadas son incompatibles unas con otras. 40 FACULTAD REGIONAL ROSARIO UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL Álgebra y Geometría Analítica – Sistemas de ecuaciones lineales Autoevaluación 1 1 0 1 – Sea A = 2 1 1 0 2 1 a) ¿Cuál es el r(A)? b) ¿A es inversible? c) El sistema AX = 0 ¿tiene soluciones no triviales?, ¿Por qué? [Ver Respuestas] b1 2 – Sea el sistema S) AX = B donde B = b2 y A es la matriz del ejercicio 1: b 3 a) Determinar el rango de la matriz de los coeficientes y el rango de la matriz ampliada b) Se puede asegurar de a) que S es compatible?, ¿por qué? 1 c) Obtener la solución general de S si B = 0 1 [Ver Respuestas] 3 – Encontrar, si existe, el conjunto solución de un sistema cuya matriz de coeficiente es: x 1 1 2 4 5 x2 2 1 2 7 8 x y el vector de términos A= , el vector de incógnitas X = 1 2 4 4 4 3 x4 1 1 2 5 8 x 5 7 10 B= 5 7 [Ver Respuestas] 41 FACULTAD REGIONAL ROSARIO UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL Álgebra y Geometría Analítica – Sistemas de ecuaciones lineales 4 – Resolver el sistema del punto 3 asignándole a b4 el valor 13. [Ver Respuestas] 5 – A partir de la solución general del sistema del ejercicio 4: a) Obtener 3 soluciones particulares distintas del sistema b) Determinar si (-3; 2; -1; 0; 2) y (-9; -1; 2; 3; 1) son soluciones del sistema. [Ver Respuestas] 6 – En un estadio cubierto se lleva a cabo un espectáculo deportivo. Las entradas tiene tres precios diferentes, según las ubicaciones, y su venta es anticipada. En el primer día de venta se recaudan los montos que describimos: - a la mañana $ 2.075 por 100 entradas de primera clase, 50 de segunda y 15 de tercera - a la tarde $ 2.250 por 50, 100 y 100 entradas de 1ra, 2da y 3ra clase, respectivamente. - a la noche $ 5.750 por la venta de 150, 100 y 500 entradas de 1ra, 2da y 3ra clase respectivamente. Hallar el precio de las entradas de cada clase. [Ver Respuestas] 42 FACULTAD REGIONAL ROSARIO UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL Álgebra y Geometría Analítica – Sistemas de ecuaciones lineales Respuestas 1– a) Sí b) No porque es compatible con única solución. 2– a) r(A) = r(M) = 3 b) Sí, porque r(A) = r(M) c) X = 0;1;1 3–S= 4- S= 15 6;2 2 ; ;6 3; ; R; R 5– b) (-3; -2; -1; 0 ; 2) S (-9; -1; 2; 3; 1) S 6– S= 15;10;5 43 FACULTAD REGIONAL ROSARIO UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL Álgebra y Geometría Analítica – Sistemas de ecuaciones lineales APÉNDICE Teorema: El rango de una matriz no varía si en la misma se efectúan transformaciones elementales por filas. D) Para transformaciones tipo a): es inmediato teniendo en cuenta la definición de rango y la propiedad de determinantes siguiente: si se intercambian en una matriz cuadrada dos filas entre sí, su determinante sólo cambia de signo. Para transformaciones tipo b): también es inmediata por definición de rango y porque al multiplicar una fila de una matriz cuadrada por una constante no nula, el determinante de la misma queda multiplicado por dicha constante. Para transformaciones tipo c): sea una matriz A supongamos que a los elementos de la fila i le sumamos los elementos correspondientes de la fila h multiplicadas por una constante c, es decir que obtendremos una nueva matriz B cuya fila i tiene por elementos: bij = aij + cahj , las demás filas son las mismas en ambas matrices. Pensemos en las submatrices cuadradas de A y B que se obtienen suprimiendo filas y/o columnas que ocupan la misma posición, tanto en A como en B. Para esas submatrices cuadradas correspondientes se pueden dar las situaciones siguientes: I) Si entre las filas que se suprimen en A y en B figura la fila i, ambas submatrices cuadradas son iguales y por tanto, sus determinantes son iguales. II) Si entre las filas que se suprimen en A y B no figura la fila i, ambas submatrices cuadradas tienen todas sus filas iguales, excepto la que ocupa la posición i tanto en A como en B y como es bij = aij + caih , recordando la propiedad respectiva de determinantes, llegamos nuevamente a que ambas submatrices tiene igual determinante. Teniendo en cuenta la definición de rango y los resultados I) y II), anteriores, se llega a que: r(A) = r(B) 44 FACULTAD REGIONAL ROSARIO UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL Álgebra y Geometría Analítica – Sistemas de ecuaciones lineales Justificación de la columna control del cuadro del Método de Gauss: Para simplicidad, pensemos en una matriz de tres columnas y n filas, de las que escribimos en el cuadro, las necesarias: Columna control a11 a12 a13 b14 = a11 + a12 + a13 a21 a22 a23 b24 = a21 + a22 + a23 0 a’22 a’23 b’24 = a’22 + a’23 Probaremos que b’24 obtenido de la misma forma que se obtienen a’22 y a’23 es decir: a11 b14 b’ 24 = es igual a la suma a’22 + a’23 a21 b24 a11 b14 a11 a11 a12 a13 En efecto: b’24 = = = a21 b24 (1) a21 a21 a22 a23 (2) a11 a11 a11 a12 a11 a13 = + + = 0 + a’22 +a’23 a21 a21 a21 a22 a21 a23 (3) (1) reemplazando b14 y b24 por su igual (2) por propiedad de determinantes (3) calculando cada determinante. Teorema de Rouché: Dado un sistema S) de m ecuaciones lineales con n incógnitas y con m > n, entonces; I) S) es compatible r(A) = r(M) II) Siendo r(A) = r(M) = n, S) tiene única solución (compatible determinado) III) Siendo r(A) = r(M) = r < n, S) es compatible indeterminado. Para demostrar el teorema se debe tener en cuenta si el sistema S) dado tiene matriz de coeficiente Amxn y matriz ampliada Mmxn + 1 por operaciones elementales se obtiene el sistema equivalente S’) cuyas matrices A’ y M’ son matrices escalón y tales que r(A) = r(A’); r(M) = r(M’). 45 FACULTAD REGIONAL ROSARIO UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL Álgebra y Geometría Analítica – Sistemas de ecuaciones lineales Demostración de la parte I: Primero debemos demostrar: S) compatible r(A) = r(M) Es equivalente demostrar: r(A) r(M) S) es incompatible. Partimos de: r(A) r(M) r(A’) r(M’) la última columna de M’ es columna pivote M’ tiene una fila de la forma (0 0... 0 b) con b 0 S’) tiene una ecuación de la forma 0x1 + ox2 +.... + 0xn = b; (b 0) que es incompatible S) es incompatible. Observa el sistema S’) del ejemplo 5. Completemos la demostración probando que r(A) = r(M) S) compatible. Si r(A) = r(M) = r r(A’) = r(M’) = r la última columna de M’ no es columna pivote M’ no tiene una fila de la forma (0 0... 0 b) con b 0 S’) no tiene una ecuación del tipo 0x1 + 0x2 +.... + 0xn = b con b 0 S’) tiene r ecuaciones con r n (nº de incógnitas) S’) es compatible (sus soluciones se obtienen por sustitución hacia atrás, (observa los sistemas S’) de los ejemplos 6 y 7) S es compatible. Observación: Si M’ tiene más filas que r, ellas son filas ceros que corresponden en S’) a ecuación del tipo 0x1 + 0x2 +.... + 0xn = 0, que son triviales y se dejan de lado. Demostración parte II: Debemos probar que r(A) = r(M) = r = n (nº de incógnitas) S es compatible determinado (tiene única solución). Partiendo de r(A) = r(M) = r = n r (A’) = r(M’) = r = n cada columna de M’, excepto la última, es columna pivote S’) no tiene incógnitas secundarias S’) es un sistema triangular de igual número de ecuaciones que incógnitas (es r = n) cuya única solución se obtiene por sustitución hacia atrás (observa el sistema S’) del ejemplo 4). Esto significa que S) equivalente a S’) es también compatible con única solución. Demostración parte III: Debemos probar que si r(A) = r(M) = r < n (nº de incógnitas) S) es compatible indeterminado (con infinitas soluciones). Si r(A) = r(M) = r < n r(A’) = r(M’) = r < n la última columna de M’ no es columna pivote y además M’ tiene r < n, columnas pivotes y (n-r) columnas que no son pivote S’) tiene r ecuaciones con r incógnitas principales, cuyos coeficientes son los pivotes de M’ S’) tendrá infinitas soluciones las que se obtienen por sustitución hacia atrás, pasando al segundo miembro las incógnitas secundarias y dándole valores atributos llamando parámetros a las mismas. Observa el sistema S’) del ejemplo 7) como S) es equivalente a S’) resulta el sistema S) compatible indeterminado. 46
