Aplicaciones del Álgebra Vectorial a la Geometría Analítica PDF

Álgebra y Geometrı́a Analı́tica Aplicaciones del Álgebra Vectorial a la Geometrı́a Analı́tica Aplicaciones del Álgebra Vectorial a la Geometrı́a Analı́tica. Introducción: No es una tarea sencilla abstraerse de la realidad para comprender el plano y el espacio....

Álgebra y Geometrı́a Analı́tica Aplicaciones del Álgebra Vectorial a la Geometrı́a Analı́tica Aplicaciones del Álgebra Vectorial a la Geometrı́a Analı́tica. Introducción: No es una tarea sencilla abstraerse de la realidad para comprender el plano y el espacio. Las actividades propuestas en este capitulo tienen por objeto facilitar la apropiación de conceptos y resolver problemas de aplicación que despierten el interés por aprender los contenidos teóricos. La Geometrı́a Analı́tica fue iniciada por el gran matemático y filósofo francés Rene Descartes en su ensayo titulado “La Geometrie”, publicado en 1637. La Geometrı́a Analı́tica estudia los lugares geométricos del plano y del espacio. Provee de méto- dos para transformar los problemas geométricos en problemas algebraicos, resolverlos analı́ticamente e interpretar geométricamente los resultados. La relación entre el álgebra, y la geometrı́a, se establece a través de los sistemas de coordenadas. Los dos problemas fundamentales de la geometrı́a analı́tica son: Dada una ecuación hallar el lugar geométrico que representa. Dado el lugar geométrico, definido por ciertas condiciones, hallar su ecuación matemática. Descartes Nació: 31 de Marzo de 1596 en La Haye, Touraine, Francia Falleció: 11 de Febrero de 1650 en Estocolmo, Suecia. Filosofo y Matemático, fue uno de los intelectuales más grande de los que contribuyeron a crear la llamada Edad de la Razón Mg. I. Lomas - Mg. E. Fernández FACET - UNT 1 Álgebra y Geometrı́a Analı́tica Aplicaciones del Álgebra Vectorial a la Geometrı́a Analı́tica Rectas en Rn Definición 1 (Rectas en Rn ).. Dados un vector A ∈ Rn − {θ} y un punto P0 ∈ Rn , llamamos recta que pasa por P0 en la dirección de A, al conjunto r = {X ∈ Rn / X = P0 + tA, t ∈ R}. Observaciones:. De la definición observamos que cada punto de la recta se obtiene asignándole un valor, en el conjunto de los reales, al parámetro t. La ecuación vectorial de la recta que pasa por P0 en la dirección del vector A es X = P0 + tA , t ∈ R. IMPORTANTE Dada r = {X ∈ Rn / X = P0 + tA , t ∈ R} Cuando escribimos r : X = P0 + tA , t ∈ R, estamos diciendo la recta r cuya ecuación vectorial es X = P0 + tA, t ∈ R. A cada punto X ∈ r le corresponde un único t ∈ R y a cada t ∈ R, le corresponde un único punto X ∈ r. Una recta queda unı́vocamente determinada conocido un punto de paso y un vector dirección de la recta. Punto de paso es cualquier punto que pertenezca a la recta. La dirección de la recta está dada por la dirección del vector que la define o cualquiera paralelo a él. Mg. I. Lomas - Mg. E. Fernández FACET - UNT 2 Álgebra y Geometrı́a Analı́tica Aplicaciones del Álgebra Vectorial a la Geometrı́a Analı́tica Definición 2 (Punto perteneciente a una recta).. Dada en Rn la recta r : X = P0 + tA, t ∈ R. Decimos que el punto Q pertenece a la recta r si y solamente sı́ existe tQ ∈ R tal que Q = P0 + tQ A. Ejemplos.. Dada la recta r que pasa por P0 = (2, −3, 1) en la dirección A = (1, 1, 2): La ecuación vectorial de r es: X = P0 + tA, t ∈ R reemplazando los datos se puede expresar, r : X = (2, −3, 1) + t (1, 1, 2) , t ∈ R. Determinemos los puntos de la recta correspondientes a los siguientes parámetros: a t1 = 2 le corresponde un punto P1 de la recta P1 = P0 + t1 A = (2, −3, 1) + 2 (1, 1, 2) = (2, −3, 1) + (2, 2, 4) = (4, −1, 5) (∗) (∗) reemplazando t1 = 2. a t2 = −3 le corresponde un punto P2 de la recta P2 = P0 + t2 A = (2, −3, 1) + (−3) (1, 1, 2) = (2, −3, 1) + (−3, −3, −6) = (−1, −6, −5). Respuesta: Al valor del parámetro t1 = 2, le corresponde el punto P1 = (4, −1, 5) ∈ r. Al valor del parámetro t2 = −3, le corresponde el punto P2 = (−1, −6, −5) ∈ r. Averigüemos ahora si el punto Q = (−2, −7, −7) pertenece a la recta. Para eso utilizaremos la definición: Q ∈ r ⇔ ∃ tQ ∈ R : Q = P0 + tQ A (−2, −7, −7) = (2, −3, 1) + tQ (1, 1, 2), ecuación de la recta particularizada para el punto Q, resolviendo las operaciones indicadas: (−2, −7, −7) = (2 + tQ , −3 + tQ , 1 + 2tQ ) por igualdad de vectores: Mg. I. Lomas - Mg. E. Fernández FACET - UNT 3 Álgebra y Geometrı́a Analı́tica Aplicaciones del Álgebra Vectorial a la Geometrı́a Analı́tica   −2 = 2 + tQ tQ = −4             −7 = −3 + tQ ⇔ tQ = −4 el sistema tiene solución, tQ = −4.         −7  = 1 + 2tQ tQ = −4  Respuesta: ∃ tQ = −4 ∈ R tal que Q = P0 + tQ A por lo tanto el punto Q ∈ r. Averigüemos ahora si el punto P = (2, 2, 1) pertenece a la recta. P ∈ r ⇔ ∃ tP ∈ R : P = P0 + tP A (2, 2, 1) = (2, −3, 1) + tP (1, 1, 2) resolviendo las operaciones indicadas: (2, 2, 1) = (2 + tP , −3 + tP , 1 + 2tP ) por igualdad de vectores:   2 = 2 + tP tP = 0              2 = −3 + tP ⇔ tP = 5 el sistema no tiene solución       1 = 1 + 2tP  tP = 0  Respuesta: no existe tP ∈ R tal que P = P0 + tP A, por lo tanto el punto P ∈ / r. Recta por dos puntos Sabemos por los axiomas de Euclides, que dos puntos diferentes determinan una única recta a la cual pertenecen. Dados dos puntos P1 y P2 , P1 6= P2 , para determinar la ecuación de la recta r a la cual pertenecen, es suficiente encontrar un vector A, dirección de la recta. La ecuación de la recta, si elegimos a P1 como punto de paso, es: r: X = P1 + tA , t ∈ R como P2 ∈ r, verifica la ecuación y por lo tanto existe un t2 ∈ R tal que: P2 = P1 + t2 A Mg. I. Lomas - Mg. E. Fernández FACET - UNT 4 Álgebra y Geometrı́a Analı́tica Aplicaciones del Álgebra Vectorial a la Geometrı́a Analı́tica P2 − P1 = t2 A −−−→ P1 P2 = t2 A −−−→ como P1 6= P2 ⇒ P1 P2 6= θ ⇒ t2 6= 0 por la definición de vectores paralelos −−−→ −−−→ ∃ t2 ∈ R − {0} : P1 P2 = t2 A ⇒ P1 P2 || A como sólo nos interesa la dirección (no importa ni el módulo ni el sentido del vector) podemos elegir −−−→ a P1 P2 para la dirección de la recta. Por lo tanto la ecuación de la recta que pasa por P1 y P2 es: −−−→ X = P1 + λ P1 P2 , λ ∈ R OBSERVACIÓN: diremos que tres o más puntos, están alineados si pertenecen a una misma recta. Segmento determinado por dos puntos diferentes Dados P1 , P2 ∈ Rn P1 6= P2. El segmento determinado por P1 y P2 es el conjunto: −−−→ P1 P2 = {X ∈ Rn : X = P1 + t P1 P2 , 0 ≤ t ≤ 1}. 1 El punto medio entre P1 yP2 se calcula PM = (P1 + P2 ) 2 Definición 3 (ángulo determinado por dos rectas).. Dadas en Rn las rectas r1 : X = P1 + tA1 , t ∈ R y r2 : X = P2 + λA2 , λ ∈ R, el ángulo que determinan r1 y r2 , que denotamos α = ^(r1 , r2 ), es el que cumple: π |A1 · A2 | i) 0 ≤ α ≤ 2 ii) cos α =. kA1 k kA2 k Graficamente Rectas que se intersectan. Rectas que no se intersectan Mg. I. Lomas - Mg. E. Fernández FACET - UNT 5 Álgebra y Geometrı́a Analı́tica Aplicaciones del Álgebra Vectorial a la Geometrı́a Analı́tica Definición 4 (Rectas paralelas y rectas perpendiculares).. Dadas en Rn las rectas r1 : X = P1 + tA1 , t ∈ R y r2 : X = P2 + λA2 , λ ∈ R, 1. Rectas paralelas (Notación: k) r1 k r2 ⇔ A1 k A2 2. Rectas perpendiculares (Notación: ⊥) r1 ⊥ r2 ⇔ A1 ⊥ A2 Equivalencia de la definición de rectas paralelas Dadas en Rn las rectas r1 : X = P1 + tA1 , t ∈ R y r2 : X = P2 + λA2 , λ ∈ R, se puede probar: r1 k r2 ⇔ ^(r1 , r2 ) = 0 Demostración. Si α = ^(r1 , r2 ) |A1 · A2 | r1 k r2 ⇔ A1 k A2 ⇔ |A1 · A2 | = kA1 k kA2 k ⇔ =1 ⇔ cos α = 1 ⇔ (∗1) (∗2) (∗3) kA1 k kA2 k (∗4) (∗5) α = 0 por lo tanto : r1 k r2 ⇔ α = ^(r1 , r2 ) = 0 (*1) Por la definición de rectas paralelas. (*2) (⇒) Por la desigualdad de C-S. (⇐) Como A1 6= θ y A2 6= θ por la desigualdad de C-S A1 k A2. (*3) por Como A1 6= θ y A2 6= θ kA1 k = 6 0, kA2 k = 6 0 lo que implica que kA1 k.kA2 k = 6 0 y por lo tanto podemos dividir en kA1 k.kA2 k. |A1 · A2 | (*4) como α = ^(r1 , r2 ), por la definición de ángulo entre rectas cos α =. kA1 k kA2 k π (*5) como 0 ≤ α ≤ 2, por ser ángulo entre rectas, entonces: cos α = 1 ⇔ α = 0. Equivalencia de la definición de rectas perpendiculares Dadas en Rn las rectas r1 : X = P1 + tA1 , t ∈ R y r2 : X = P2 + λA2 , λ ∈ R, se puede probar: π r1 ⊥ r2 ⇔ ^(r1 , r2 ) = 2 Demostración.. Queda como ejercicio. Mg. I. Lomas - Mg. E. Fernández FACET - UNT 6 Álgebra y Geometrı́a Analı́tica Aplicaciones del Álgebra Vectorial a la Geometrı́a Analı́tica Rectas en R2 Dada en R2 la recta que pasa por el punto P0 en la dirección del vector A, por definición de recta en Rn , la ecuación vectorial de la recta es: X = P0 + tA , t ∈ R. Trabajando con las componentes: X = (x, y), P0 = (x0 , y0 ), A = (a1 , a2 ) la ecuación de la recta se puede expresar: (x, y) = (x0 , y0 ) + t (a1 , a2 ) , t∈R Ecuación vectorial de la recta en R2 , que pasa por P0 = (x0 , y0 ), en la dirección del vector A = (a1 , a2 ). Resolviendo las operaciones del segundo miembro de la ecuación: (x, y) = (x0 + ta1 , y0 + ta2 ) t ∈R Por la igualdad de vectores obtenemos:  x = x0 + ta1  ; t∈R Ecuación paramétrica cartesiana de la recta en R2 , que pasa  y = y + ta 0 2 por P0 = (x0 , y0 ), en la dirección del vector A = (a1 , a2 ).  x − x0 = ta1  De la ecuación anterior: ; t∈R y − y = ta  0 2 para despejar el parámetro t es necesario que a1 6= 0 y a2 6= 0 Entonces, si a1 6= 0 y a2 6= 0   x − x0 t =  a1 , t∈R  y − y0 t =  a2 Mg. I. Lomas - Mg. E. Fernández FACET - UNT 7 Álgebra y Geometrı́a Analı́tica Aplicaciones del Álgebra Vectorial a la Geometrı́a Analı́tica por igualdad: x − x0 y − y0 = Ecuación cartesiana continua de la recta en R2 , a1 a2 que pasa por el punto P0 = (x0 , y0 ), en la dirección del vector A = (a1 , a2 ) con a1 6= 0 y a2 6= 0. Determinamos tres formas diferentes (siempre que se pueda) de expresar la ecuación de una recta en R2 , conocidos un punto de paso y un vector dirección. Pero la ecuación de la recta en R2 también se puede expresar en las formas que ya conocemos: la ecuación general o implı́cita ax + by + c = 0 y en el caso de ser posible, la ecuación explı́cita y = mx + n Evidentemente se puede de cada una de las formas de la ecuación, obtener (siempre que se den las condiciones) las otras de manera sencilla. Analizaremos tres casos. 1) De la ecuación paramétrica cartesiana obtendremos la ecuación implı́cita. La ecuación paramétrica cartesiana de la recta que pasa por el punto P0 = (x0 , y0 ), en la dirección del vector A = (a1 , a2 ) es:  x = x0 + ta1  r: , t∈R  y = y + ta 0 2 Como A = (a1 , a2 ) 6= θ ( por ser dirección de la recta), se cumple que a1 6= 0 o a2 6= 0 Supongamos que a1 6= 0, (no se pierde generalidad en la obtención de la ecuación, pues si a1 = 0 entonces a2 6= 0 y podemos trabajar con a2 de manera equivalente) x − x0  t =  r: a1 t∈R  y = y + ta 0 2 Mg. I. Lomas - Mg. E. Fernández FACET - UNT 8 Álgebra y Geometrı́a Analı́tica Aplicaciones del Álgebra Vectorial a la Geometrı́a Analı́tica reemplazando el valor de t en la segunda ecuación x − x0 y = y0 + a2 a1 x − x0 y − y0 = a2 a1 multiplicando ambos miembros por a1 6= 0 a1 (y − y0 ) = a2 (x − x0 ) de donde a2 (x − x0 ) − a1 (y − y0 ) = 0 aplicando propiedad distributiva del producto respecto de la suma en R a2 x − a2 x0 − a1 y + a1 y0 = 0 las variables de la ecuación son x e y, aplicando propiedad conmutativa de la suma en R a2 x − a1 y − a2 x0 + a1 y0 = 0 aplicando propiedad asociativa a2 x + (−a1 )y + (a1 y0 − a2 x0 ) = 0 Si llamamos a = a2 , b = −a1 y c = a1 y0 − a2 x0 (*1) la ecuación de la recta se puede escribir: ax + by + c = 0 Ecuación implı́cita de la recta. Ahora bien, por todo lo desarrollado, de la ecuación implı́cita r : ax + by + c = 0 ¿como determinamos la dirección y un punto de paso de la recta?. Sabemos que la dirección de r es A = (a1 , a2 ) y de (*1) obtenemos A = (a1 , a2 ) = (−b, a) Para determinar un punto de paso asignamos un valor conveniente a una de las variables y obtenemos la otra de manera que se verifique la ecuación. Mg. I. Lomas - Mg. E. Fernández FACET - UNT 9 Álgebra y Geometrı́a Analı́tica Aplicaciones del Álgebra Vectorial a la Geometrı́a Analı́tica En conclusión: Dada la recta de ecuación r : ax + by + c = 0 Si determinamos un punto de paso P0 = (x0 , y0 ) de la recta, como la dirección es la del vector A = (−b, a), la ecuación vectorial de la recta es r : (x, y) = (x0 , y0 ) + t(−b, a); t∈R Como en R2 hay una única dirección perpendicular a A = (−b, a) y el vector N = (a, b) es perpendicular a A entonces la dirección de N = (a, b) es perpendicular a la dirección de la recta. 2) Dada la ecuación explicita de una recta determinaremos la ecuación vectorial. Dada y = mx + n ecuación explı́cita de la recta (∗2) donde m es la pendiente de la recta. n es la ordenada al origen, por lo tanto un punto de paso de la recta es P0 = (0, n) de (*2) mx − y + n = 0 ecuación implı́cita de la recta, donde a = m y b = −1 como vimos en el caso anterior, la dirección de la recta, ax + by + c = 0, es el vector A = (−b, a) = (−(−1), m) = (1, m) Conocido el punto de paso P0 = (0, n) y la dirección de la recta A = (1, m) la ecuación vectorial de la recta es: (x, y) = (0, n) + λ(1, m), λ∈R Mg. I. Lomas - Mg. E. Fernández FACET - UNT 10 Álgebra y Geometrı́a Analı́tica Aplicaciones del Álgebra Vectorial a la Geometrı́a Analı́tica Recuerde que la pendiente de una recta es la tangente del ángulo α que forma la recta con la dirección positiva del eje de la abscisas, m = tg α. 3) Si la recta es vertical su ecuación es x=k y no admite ecuación en forma explicita. Su ecuación implı́cita es x−k =0 Queda para el alumno determinar, aplicando lo que estudiamos, punto de paso y vector dirección. Relación entre las pendientes de dos rectas en R2 Dadas en R2 las rectas r1 : y = m1 x + n1 y r2 : y = m2 x + n2. r1 tiene dirección A1 = (1, m1 ), r2 tiene dirección A2 = (1, m2 ). Si las rectas son paralelas. r1 kr2 , por definición de rectas paralelas se tiene que:  1 = λ  (1, m1 )k(1, m2 ) ⇔ ∃λ ∈ R − {0}, (1, m1 ) = λ(1, m2 ) ⇔ ⇔ m1 = m2  m = λm 1 2 r1 kr2 ⇔ m1 = m2 Si las rectas son perpendiculares. r1 ⊥ r2 , por definición de rectas perpendiculares se tiene que: (1, m1 ) ⊥ (1, m2 ) ⇔ (1, m1 ).(1, m2 ) = 0 ⇔ 1 + m1.m2 = 0 ⇔ m1.m2 = −1 r1 ⊥ r2 ⇔ m1.m2 = −1. Mg. I. Lomas - Mg. E. Fernández FACET - UNT 11 Álgebra y Geometrı́a Analı́tica Aplicaciones del Álgebra Vectorial a la Geometrı́a Analı́tica Rectas en R3 Dada en R3 la recta que pasa por el punto P0 , en la dirección A, por definición en Rn , la ecuación vectorial de la recta es: X = P0 + tA , t ∈ R trabajando con componentes: X = (x, y, z), P0 = (x0 , y0 , z0 ), A = (a1 , a2 , a3 ) se puede expresar: (x, y, z) = (x0 , y0 , z0 ) + t (a1 , a2 , a3 ) , t∈R Ecuación vectorial de la recta en R3 , que pasa por P0 = (x0 , y0 , z0 ) en la dirección de A = (a1 , a2 , a3 ). Resolviendo las operaciones del segundo miembro de la ecuación: (x, y, z) = (x0 + ta1 , y0 + ta2 , z0 + ta3 ) t∈R Por la igualdad de vectores obtenemos:  x = x0 + ta1       y = y0 + ta2 ; t∈R Ecuación paramétrica cartesiana de la recta,     z = z0 + ta3  que pasa por P0 = (x0 , y0 , z0 ) en la dirección del vector A = (a1 , a2 , a3 ).  x − x0 = ta1       De la ecuación anterior: y − y0 = ta2 , t∈R ;     z − z0 = ta3  queremos despejar el parámetro t en el sistema, para eso es necesario que : a1 6= 0 , a2 6= 0 y a3 6= 0 Entonces, si a1 6= 0 , a2 6= 0 y a3 6= 0 Mg. I. Lomas - Mg. E. Fernández FACET - UNT 12 Álgebra y Geometrı́a Analı́tica Aplicaciones del Álgebra Vectorial a la Geometrı́a Analı́tica   x − x0  t=    a1 y − y0  t= , t∈R   a2 z − z0    t =  a3 igualando: x − x0 y − y0 z − z0 = = Ecuación cartesiana continua de la recta en R3 , a1 a2 a3 que pasa por P0 = (x0 , y0 , z0 ) en la dirección del vector A = (a1 , a2 , a3 ) con: a1 6= 0, a2 6= 0 y a3 6= 0 Definición 5 (Rectas alabeadas).. Dos rectas r1 y r2 en R3 son alabeadas si y solamente si no son paralelas y tienen intersección vacı́a. IMPORTANTE No existe plano que contenga dos rectas alabeadas. Mg. I. Lomas - Mg. E. Fernández FACET - UNT 13 Álgebra y Geometrı́a Analı́tica Aplicaciones del Álgebra Vectorial a la Geometrı́a Analı́tica Plano Definición 6 (Plano).. Dados en R3 un punto P0 y un vector N 6= θ. Llamamos plano que pasa por P0 y cuya dirección normal es N , al conjunto: −−→ π = {X ∈ R3 : P0 X ⊥ N }. Graficamente Obtengamos la ecuación del plano que pasa por P0 y cuya dirección normal es N. De la definición los puntos del plano son los −−→ X ∈ R3 : P0 X ⊥ N luego, por definición de vectores perpendiculares −−→ P0 X · N = 0, usando la definición de vector localizado, la ecuación del plano es: (X − P0 ) · N = 0 con P0 ∈ R3 un punto del plano y N ∈ R3 − {θ} un vector normal al plano. Trabajando con componentes: X = (x, y, z), P0 = (x0 , y0 , z0 ) y N = (a, b, c) (X − P0 ) · N = 0 X · N − P0 · N = 0 (x, y, z) · (a, b, c) − (x0 , y0 , z0 ) · (a, b, c) = 0 ax + by + cz + (−ax0 − by0 − cz0 ) = 0 | {z } d ax + by + cz + d = 0 ax + by + cz + d = 0 Ecuación general del plano normal a N = (a, b, c). Mg. I. Lomas - Mg. E. Fernández FACET - UNT 14 Álgebra y Geometrı́a Analı́tica Aplicaciones del Álgebra Vectorial a la Geometrı́a Analı́tica Plano según los datos 1. Tres puntos no alineados en R3 , determinan un único plano al cual pertenecen. Obtención de la ecuación: Sean P1 , P2 , P3 ∈ R3 tres puntos no alineados, es- to permite asegurar que los puntos son diferentes y determinan dos vectores no paralelos, es decir: −−−→ −−−→ −−−→ −−−→ P1 P2 6= θ, P1 P3 6= θ y P1 P2 ∦ P1 P3 (1) a) Por propiedad del producto vectorial y (1) −−−→ −−−→ P1 P2 × P1 P3 6= θ. b) Consideremos a P1 como punto de paso del plano, −−−→ P2 ∈ π ⇒ P1 P2 ⊥ N por la definición de plano, −−−→ P3 ∈ π ⇒ P1 P3 ⊥ N por la definición de plano, −−−→ −−−→ por (1), P1 P2 , P1 P3 son direcciones diferentes, y como en R3 hay una única dirección per- pendicular a dos direcciones diferentes, usando propiedad del producto vectorial, −−−→ −−−→ N k P1 P2 × P1 P3. Luego como sólo interesa la dirección del vector N , de a) y b), considero −−−→ −−−→ N = P1 P2 × P1 P3 6= θ −−→ Determinado N y elegido a P1 como punto de paso, usando la ecuación del plano, P1 X · N = 0 obtenemos: −−→ −−−→ −−−→ P1 X · (P1 P2 × P1 P3 ) = 0 Ecuación del plano que pasa por P1 , P2 y P3 , puntos no alineados. Mg. I. Lomas - Mg. E. Fernández FACET - UNT 15 Álgebra y Geometrı́a Analı́tica Aplicaciones del Álgebra Vectorial a la Geometrı́a Analı́tica 2. Una recta y un punto, que no pertenece a la recta, en R3 , determinan un único plano al cual pertenecen. 3. Dos rectas en R3 , paralelas no coincidentes, determinan un único plano que las contiene. 4. Dos rectas en R3 que se intersectan en un único punto, determinan un único plano que las contiene. Los tres últimos casos se estudiaran en el trabajo práctico. Ejercicios de final. Mg. I. Lomas - Mg. E. Fernández FACET - UNT 16 Álgebra y Geometrı́a Analı́tica Aplicaciones del Álgebra Vectorial a la Geometrı́a Analı́tica Definición 7 (Ángulo entre planos).. Dados en R3 los planos π1 : (X − P1 ) · N1 = 0 y π2 : (X − P2 ) · N2 = 0. El ángulo que determinan π1 y π2 , que denotamos ϕ = ^(π1 , π2 ), es el que cumple: π |N1 · N2 | (a) 06ϕ6 y (b) cosϕ =. 2 kN1 k kN2 k Graficamente Definición 8 (Planos paralelos y planos perpendiculares).. Dados en R3 los planos π1 : (X − P1 ) · N1 = 0 y π2 : (X − P2 ) · N2 = 0. a) π1 k π2 ⇔ N1 k N2 b) π1 ⊥ π2 ⇔ N1 ⊥ N2 Equivalencia de la definición de planos paralelos Dados en R3 los planos π1 y π2. π1 k π2 ⇔ ^(π1 , π2 ) = 0 La demostración queda para el alumno. Equivalencia de la definición de planos perpendiculares Dados en R3 los planos π1 y π2. π π1 ⊥ π2 ⇔ ^(π1 , π2 ) = 2 La demostración queda para el alumno. Mg. I. Lomas - Mg. E. Fernández FACET - UNT 17 Álgebra y Geometrı́a Analı́tica Aplicaciones del Álgebra Vectorial a la Geometrı́a Analı́tica Definición 9 (Ángulo entre recta y plano).. Dados en R3 la recta r : X = P1 + tA, t ∈ R y el plano π : (X − P2 ) · N = 0. El ángulo que determinan r y π , que denotamos ϕ = ^(r, π), es el que cumple: Graficamente π (a) 0 6 ϕ 6 2 |A · N | (b) sen ϕ =. kAk kN k Definición 10 (Recta paralela y recta perpendicular a un plano).. Dados en R3 la recta r : X = P1 + tA, t ∈ R y el plano π : (X − P2 ) · N = 0. a) r k π ⇔ A ⊥ N. b) r ⊥ π ⇔ A k N. Equivalencia de la definición de recta paralela a un plano y recta perpendicular a un plano Dados en R3 el plano π la recta r, a) r k π ⇔ ^(r, π) = 0. π b) r ⊥ π ⇔ ^(r, π) =. 2 La demostración queda para el alumno. Posición relativa Se denomina posición relativa a la ubicación de un objeto respecto de otro. Posición relativa entre dos rectas en R2 Dadas en R2 dos rectas r1 y r2 , la posición relativa que se puede dar entre las mismas es: 1. r1 kr2. En este caso pueden ser: a) Coincidentes: r1 ∩ r2 = r1 = r2 Mg. I. Lomas - Mg. E. Fernández FACET - UNT 18 Álgebra y Geometrı́a Analı́tica Aplicaciones del Álgebra Vectorial a la Geometrı́a Analı́tica b) No coincidentes: r1 ∩ r2 = ∅ 2. r1 y r2 se intercectan en un único punto, es decir existe un punto Q tal que r1 ∩ r2 = {Q} Posición relativa entre dos rectas en R3 Dadas en R3 dos rectas r1 y r2 , la posición relativa que se puede dar entre las mismas son tres: 1. r1 kr2. En este caso pueden ser: a) Coincidentes: r1 ∩ r2 = r1 = r2. b) No coincidentes: r1 ∩ r2 = ∅. Mg. I. Lomas - Mg. E. Fernández FACET - UNT 19 Álgebra y Geometrı́a Analı́tica Aplicaciones del Álgebra Vectorial a la Geometrı́a Analı́tica 2. r1 y r2 se intersectan en un único punto es decir existe un punto Q tal que r1 ∩ r2 = {Q} 3. r1 y r2 no son paralelas ni se intersectan, son las que definimos como rectas ALABEADAS. RECUERDA No existe plano que contenga dos rectas alabeadas. Posición relativa entre dos planos Dados en R3 dos planos π1 y π2 , la posición relativa que se puede dar entre los mismos son dos: 1. π1 kπ2. En este caso pueden ser: a) Coincidentes: π1 ∩ π2 = π1 = π2 Mg. I. Lomas - Mg. E. Fernández FACET - UNT 20 Álgebra y Geometrı́a Analı́tica Aplicaciones del Álgebra Vectorial a la Geometrı́a Analı́tica b) No coincidentes: π1 ∩ π2 = ∅ 2. π1 y π2 no son paralelos. Se intersectan en una recta Posición relativa entre una recta y un plano Dados en R3 una recta r y un plano π , la posición relativa que se puede dar entre los mismos son dos: 1. rkπ. En este caso puede ser: a) que la recta esté contenida en el plano r ∩ π = r Mg. I. Lomas - Mg. E. Fernández FACET - UNT 21 Álgebra y Geometrı́a Analı́tica Aplicaciones del Álgebra Vectorial a la Geometrı́a Analı́tica b) r ∩ π = ∅ 2. r y π no son paralelos. Se intersectan en un único punto. es decir existe un punto Q tal que r ∩ π = {Q}. Ecuación de una recta como intersección de dos planos no paralelos Sean π1 : (X − P1 ) · N1 = 0 y π2 : (X − P2 ) · N2 = 0, dos planos no paralelos (por posición relativa sabemos que se intersectan en una recta). La ecuación de la recta r como intersección de los dos planos dados es:  (X − P1 ) · N1 = 0  r: (X − P ) · N = 0  2 2 Veamos que debemos tener en cuenta para determinar un punto de paso y la dirección de la recta r. Para determinar un punto de paso P0 , cada punto que verifica las dos ecuaciones es punto de la recta, debemos asignar un valor conveniente a una de las variables y resolver el sistema resultante. Mg. I. Lomas - Mg. E. Fernández FACET - UNT 22 Álgebra y Geometrı́a Analı́tica Aplicaciones del Álgebra Vectorial a la Geometrı́a Analı́tica Para determinar la dirección A de la recta debemos tener en cuenta que: Como N1 y N2 son los vectores normales de los planos π1 y π2 , N1 6= θ y N2 6= θ, además, por hipótesis los planos no son paralelos, luego por definición N1 ∦ N2 , por lo tanto usando propiedad del producto vectorial, N1 × N2 6= θ Como la recta r es intersección de los dos planos   r ⊂ π1  A ⊥ N1    ⇒ ⇒ A k N1 × N2 (∗) r ⊂ π2  A ⊥ N2    Como sólo interesa la dirección de la recta podemos elegir A = N1 × N2 , o cualquier vector paralelo a N1 × N2 (∗) por propiedad del producto vectorial y porque en R3 hay una única dirección perpendicular a dos direcciones diferentes. Aclaramos Para determinar un punto de paso P0 , si la ecuación de la recta es :  a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0  r:  a x + b y + c z + d = 0 2 2 2 2 asigno un valor conveniente a una de las variables y resuelvo el sistema resultante. Mg. I. Lomas - Mg. E. Fernández FACET - UNT 23 Álgebra y Geometrı́a Analı́tica Aplicaciones del Álgebra Vectorial a la Geometrı́a Analı́tica Distancias Definición 11 (Distancia de un punto a una recta).. Dados en Rn un punto P1 y una recta r, la distancia de P1 a r, es el número: dist(P1 , r) = mı́nimo{ dist(P1 , X), con X ∈ r}. Observaciones: Por definición de distancia entre puntos −−→ dist(P1 , r) = mı́nimo{ kP1 Xk, con X ∈ r}. Si P1 ∈ r, dist(P1 , r) = 0 Si P1 ∈ / r, se puede probar que: −−→ −−→ ∀X ∈ r, kP1 Qk ≤ kP1 Xk siendo Q ∈ r, el pie de la perpendicular a r que pasa por P1. Por lo tanto −−→ dist(P1 , r) = kP1 Qk. −−→ Observemos que si P1 ∈ r entonces Q = P1 por lo tanto kP1 Qk = 0, luego en cualquiera de los casos anteriores −−→ dist(P1 , r) = kP1 Qk. Fórmula para calcular la distancia de un punto a una recta en R2 Dados en R2 la recta r : X = P0 + tA, t ∈ R y un punto P1. Como en R2 hay una sóla dirección perpendicular a una dada, consideremos N ∈ R2 − {θ} tal que A ⊥ N , siendo A dirección de la recta. De la definición de distancia de un punto a una recta −−→ dist(P1 , r) = kP1 Qk con Q el pie de la perpendicular a r trazada por P1. Mg. I. Lomas - Mg. E. Fernández FACET - UNT 24 Álgebra y Geometrı́a Analı́tica Aplicaciones del Álgebra Vectorial a la Geometrı́a Analı́tica Como no conocemos el punto Q conviene calcular la −−→ kP1 Qk de la siguiente manera −−→ kP1 Qk = kP− −−→ k P0 P1 ,N −−−→ | P0 P1 · N | dist(P1 , r) = kN k −−−→ | P0 P1 · N | dist(P1 , r) = kN k Fórmula equivalente de distancia de punto a recta en R2 Si la ecuación de la recta r es ax + by + c = 0 y queremos calcular la distancia de P1 (x1 , y1 ) a r, podemos aplicar la fórmula equivalente, que obtendremos a continuación. Sea P0 (x0 , y0 ) ∈ r, sabemos que la dirección de r es (−b, a) por lo tanto la dirección normal a la recta es N = (a, b). Aplicando la fórmula para calcular la distancia en R2 −−−→ | P0 P1 · N | dist(P1 , r) = kN k | (x1 − x0 , y1 − y0 ) · (a, b) | = √ a2 + b2 | a(x1 − x0 ) + b(y1 − y0 ) | = √ a2 + b2 | ax1 + by1 + (−ax0 − by0 ) | = √ a2 + b2 | ax1 + by1 + c | = √ por (*) a2 + b2 (*) como P0 (x0 , y0 ) ∈ r verifica su ecuación, es decir ax0 + by0 + c = 0 ⇒ c = −ax0 − by0. Por lo tanto, si r : ax + by + c = 0 y P1 (x1 , y1 ) conviene utilizar la fórmula: | ax1 + by1 + c | dist(P1 , r) = √. a2 + b2 Mg. I. Lomas - Mg. E. Fernández FACET - UNT 25 Álgebra y Geometrı́a Analı́tica Aplicaciones del Álgebra Vectorial a la Geometrı́a Analı́tica Fórmula para calcular la distancia de un punto a una recta en R3 Dados en R3 la recta r : X = P0 + tA, t ∈ R y un punto P1. −−−→ La distancia de P1 a r es la longitud de la altura, h, del paralelogramo de lados A y P1 P0 Como el Área del paralelogramo es longitud de la base por la longitud de la altura, aplicado propiedad del producto vectorial y norma de un vector tenemos: −−−→ kA × P1 P0 k = kAk · dist(P1 , r). Luego ( como A 6= θ entonces kAk = 6 0) −−−→ kA × P1 P0 k dist(P1 , r) = kAk Distancia entre dos rectas La distancia entre dos rectas es la menor de las distancias entre dos puntos correspondientes a cada una de las rectas. Para obtener este valor es necesario tener en cuenta la posición relativa entre ellas. Mg. I. Lomas - Mg. E. Fernández FACET - UNT 26 Álgebra y Geometrı́a Analı́tica Aplicaciones del Álgebra Vectorial a la Geometrı́a Analı́tica Fórmula para calcular la distancia entre dos rectas de R2 Para calcular la distancia entre las rectas r1 y r2 debemos tener en cuenta dos casos: 1. r1 kr2. dist(r1 , r2 ) = dist(P1 , r2 ) P1 ∈r1 o dist(r1 , r2 ) = dist(P2 , r1 ) P2 ∈r2 2. r1 no es paralela a r2 (r1 ∩ r2 = {Q}, con Q ∈ R2 ) dist(r1 , r2 ) = 0 Fórmula para calcular la distancia entre dos rectas de R3 Para calcular la distancia entre las rectas r1 y r2 debemos tener en cuenta tres casos: 1. r1 kr2. dist(r1 , r2 ) = dist(P1 , r2 ) P1 ∈r1 o dist(r1 , r2 ) = dist(P2 , r1 ) P2 ∈r2 2. r1 ∩ r2 = {Q}, con Q ∈ R3 dist(r1 , r2 ) = 0 Mg. I. Lomas - Mg. E. Fernández FACET - UNT 27 Álgebra y Geometrı́a Analı́tica Aplicaciones del Álgebra Vectorial a la Geometrı́a Analı́tica 3. r1 y r2 son alabeadas. r1 : X = P1 + λA1 , con λ ∈ R y r2 : X = P2 + tA2 , con t ∈ R La distancia de r1 a r2 es la longitud de la altura, h, del paralelepı́pedo de aristas A1 , A2 y −−−→ P1 P2. Como el volumen del paralelepı́pedo es igual al área de la base por la longitud de la altura −−−→ V ol (A1 , A2 , P1 P2 )= Área (A1 , A2 )· h aplicado propiedades del producto vectorial, del triple producto escalar y norma de un vector tenemos: −−−→ |(A1 A2 P1 P2 )| = kA1 × A2 k · dist(r1 , r2 ) Luego ( como kA1 × A2 k = 6 0 pues A1 6= θ, A2 6= θ y A1 ∦ A2 ) −−−→ |(A1 A2 P1 P2 )| dist(r1 , r2 ) = kA1 × A2 k por definición de triple producto escalar −−−→ |A1 × A2 · P1 P2 | dist(r1 , r2 ) =. kA1 × A2 k Observe que: −−−→ |A1 × A2 · P1 P2 | dist(r1 , r2 ) = = kP−−−→ P1 P2 ,A1 ×A2 k. kA1 × A2 k Mg. I. Lomas - Mg. E. Fernández FACET - UNT 28 Álgebra y Geometrı́a Analı́tica Aplicaciones del Álgebra Vectorial a la Geometrı́a Analı́tica Definición 12 (Distancia de punto a plano).. Dados en R3 un plano π y un punto P1 , la distancia de P1 a π, es el número: dist (P1 , π) = mı́nimo{dist (X, P1 ) , con X ∈ π}. Observaciones: Por definición de distancia entre punto y plano −−−→ dist (P1 , π) = mı́nimo{kP1 X k, con X ∈ π} Si P1 ∈ π, dist(P1 , π) = 0 Si P1 ∈ / π, se puede probar que: −−→ −−→ ∀X ∈ π, kP1 Qk ≤ kP1 Xk siendo Q ∈ π, el pie de la perpendicular a π trazada por P1. Por lo tanto −−→ dist(P1 , π) = kP1 Qk Q: pie de la perpendicular a π trazada por P1. Fórmula para calcular la distancia de un punto a un plano. −−→ Dados en R3 el plano π : P0 X · N = 0 y un punto P1 , queremos determinar una fórmula equivalente, más directa, para calcular la distancia de P1 a π. De la definición de distancia de un punto a un plano −−→ dist(P1 , π) = kP1 Qk Como no conocemos el punto Q conviene calcular la −−→ kP1 Qk de la siguiente manera −−→ kP1 Qk = kP− −−→ k P0 P1 ,N −−−→ | P0 P1 · N | dist(P1 , r) = kN k −−−→ | P0 P1 · N | dist(P1 , r) =. kN k Mg. I. Lomas - Mg. E. Fernández FACET - UNT 29 Álgebra y Geometrı́a Analı́tica Aplicaciones del Álgebra Vectorial a la Geometrı́a Analı́tica IMPORTANTE Si la ecuación del plano está en su forma general π : ax + by + cz + d = 0 y P1 = (x1 , y1 , z1 ) −−−→ P0 P1 · N , no es otra cosa que el primer miembro de la ecuación del plano particularizada para el punto P1 , por eso en forma práctica |ax1 + by1 + cz1 + d| dist(P1 , π) = √. a2 + b2 + c2 Distancia entre dos planos. La distancia entre dos planos es la menor de las distancias entre dos puntos correspondientes a cada uno de los planos. Para obtener este valor es necesario tener en cuenta la posición relativa entre ellos. Al calcular la distancia entre los planos π1 y π2 debemos tener en cuenta dos casos: 1. π1 kπ2 dist(π1 , π2 ) = dist(P1 , π2 ) P1 ∈π1 o dist(π1 , π2 ) = dist(P2 , π1 ) P2 ∈π2 2. π1 no es paralela a π2 (se intersectan en una recta) dist(π1 , π2 ) = 0 Distancia entre una recta y un plano. La distancia entre una recta y un plano es la menor de las distancias entre dos puntos correspon- dientes a cada uno de ellos. Para obtener este valor es necesario tener en cuenta la posición relativa entre ellos. Mg. I. Lomas - Mg. E. Fernández FACET - UNT 30 Álgebra y Geometrı́a Analı́tica Aplicaciones del Álgebra Vectorial a la Geometrı́a Analı́tica Al calcular la distancia entre la recta r y el plano π debemos tener en cuenta dos casos: 1. rkπ dist(r, π) = (P1 , π) P1 ∈ r 2. r no es paralela a π (se intersectan en un punto) dist(r, π) = 0 Ejemplo..  x=1+t       Sea la recta r :  y = −1 + 2t ; t ∈ R y los planos π1 : 2x + y + 3z − 10 = 0 y π2 : z − 10 = 0,    z = 0  para calcular la distancia entre ellos, veamos sus posiciones relativas: P0 = (1, −1, 0) y A = (1, 2, 0) punto de paso y vector dirección de r N1 = (2, 1, 3) vector normal de π1 N2 = (0, 0, 1) vector normal de π2 Como A · N1 = (1, 2, 0) · (2, 1, 3) = 4 6= 0 entonces r no es paralela a π1 , luego dist(r, π1 ) = 0. Como A · N2 = (1, 2, 0) · (0, 0, 1) = 0 entonces rkπ1 , luego |0 − 10| dist(r, π2 ) = dist(P0 , π2 ) = √ = 10. 0+0+1 Como N1 × N2 = (2, 1, 3) × (0, 0, 1) = (1, −2, 0) 6= θ entonces, por propiedad del producto vectorial, N1 no es paralelo a N2 (los planos se intersectan en una recta), luego dist(π1 , π2 ) = 0. Ejercicios teóricos de integración 2. 1. A partir del caso 1 de Planos según los datos, demuestre los casos 2, 3 y 4. Mg. I. Lomas - Mg. E. Fernández FACET - UNT 31