Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali PDF

Fondamenti di comunicazioni: elaborazione dei segnali 2. Richiami di teoria e proprietà dei segnali Contenuti Numeri complessi e funzioni complesse Proprietà dei segnali Funzioni (forme d’onda) particolari Funzioni generalizzate Manipolazione di segnali Statistiche dei segnali Fondame...

Fondamenti di comunicazioni: elaborazione dei segnali 2. Richiami di teoria e proprietà dei segnali Contenuti Numeri complessi e funzioni complesse Proprietà dei segnali Funzioni (forme d’onda) particolari Funzioni generalizzate Manipolazione di segnali Statistiche dei segnali Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 2 Premessa In questa sezione vedremo alcuni richiami teorici che ci saranno utili nel seguito, e introdurremo alcune proprietà dei segnali Per semplicità faremo riferimento a segnali monodimensionali scalari, ma tutto ciò che vedremo è estendibile a segnali multi- dimensionali/vettoriali Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 3 Numeri complessi Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 44 Numeri complessi rappresentazione in coordinate polari Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 55 Funzioni complesse Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 6 Simmetria La simmetria è una caratteristica molto comune in natura Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 7 Funzioni simmetriche Simmetria pari e dispari  Una funzione ha simmetria pari nel dominio Dx se: x (t )  x  t  t  D x  Ha invece simmetria dispari se: x ( t )   x  t  t  D x  Altrimenti la funzione non ha proprietà di simmetria Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 88 Causalità Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 9 Segnali causali: esempio Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 10 Funzioni particolari r(t) A funzione a tratti reale a simmetria pari t -T/2 0 T/2 Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 1111 Funzioni particolari u(t) 1 t funzione a tratti reale 0 s(t) 1 funzione a tratti reale t a simmetria dispari -1 Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 1212 Funzioni particolari r(t) A t -T/2 0 T/2 Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 13 Funzioni particolari NB. nella nostra definizione includiamo il termine  nell’argomento del seno e a denominatore Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 1414 Funzioni generalizzate Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 15 Funzioni generalizzate pT(t) Lo rappresentiamo (t) con una freccia. Vale infinito in zero e zero altrove, ma l’area rimane unitaria t t Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 1616 Delta di Dirac: nota Un comportamento impulsivo ideale nella realtà non può esistere  corrisponderebbe a un valore infinito di una qualche grandezza fisica, ad esempio una tensione  distruggerebbe qualsiasi sistema… Tuttavia, la delta di Dirac serve a modellare matematicamente il comportamento ideale di alcuni sistemi e ci sarà pertanto molto utile Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 17 Manipolazione di segnali Dato un segnale x(t) è possibile manipolarlo tramite l’applicazione di alcune semplici operazioni matematiche Vedremo:  Traslazione temporale  Riscalamento temporale  Fattore di guadagno  Derivazione e integrazione Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 18 Traslazione temporale Si tratta di introdurre un anticipo o un ritardo del segnale agendo sull’asse temporale  Negli schemi a blocchi di sistemi lo rappresenteremo come un blocco rettangolare associato ad un intervallo di tempo x(t) t x(t-t)  Notare che il valore t viene sottratto alla variabile temporale: t > 0  introduco un ritardo t < 0  introduco un anticipo Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 19 Traslazione temporale: esempio su funzione impulsiva (t-t) t t (t+|t|) t t Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 20 Riscalamento temporale Si tratta di introdurre una compressione o una espansione del segnale agendo sull’asse temporale  Negli schemi a blocchi di sistemi lo rappresenteremo con un blocco rettangolare contenente una freccia verso il basso e un fattore di scala k > 0 x(t) ↓k x(kt)  Notare che il valore k viene moltiplicato per la variabile temporale Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 21 Riscalamento temporale: esempio su segnale rettangolare A A(t/T) A(kt/T) t -T/2 -T/2 T/2 T/2k k A A(kt/T) A(t/T) t -T/2 -T/2 T/2k T/2 k Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 22 Ribaltamento temporale del segnale Se il fattore k diventa negativo, oltre alla eventuale compressione o espansione, avrò un ribaltamento del segnale (specularizzazione rispetto all’asse y) In pratica, è come se invertissi l’asse temporale  ESEMPIO - l’applicazione di un fattore k=-1 lascia invariata la durata del segnale ma lo specularizza rispetto all’origine: r(t)  r(-t) r(t) A r(-t) t Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 23 Fattore di guadagno Si tratta di introdurre una amplificazione o una attenuazione agendo sull’ampiezza del segnale  Negli schemi a blocchi di sistemi lo rappresenteremo con un blocco triangolare associato ad un fattore di guadagno g>0 x(t) g g. x(t)  Notare che il valore g viene moltiplicato per la funzione x(t) Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 24 Fattore di guadagno:
esempio su segnale rettangolare gA gA(t/T) A A(t/T) -T/2 t T/2 A A(t/T) gA gA(t/T) -T/2 T/2 t Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 25 Inversione del segnale In questo caso, se il fattore g diventa negativo avremo anche una inversione del segnale (specularizzazione rispetto all’asse x)  ESEMPIO - l’applicazione di un fattore g=-1 lascia invariata l’escursione del segnale ma lo inverte: r(t)  -r(t) r(t) A t -r(t) -A Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 26 Integrazione e derivazione I segnali reali sono descrivibili come funzioni e pertanto possono essere integrati e derivati nel modo consueto  Negli schemi a blocchi di sistemi rappresenteremo tali operazioni con blocchi rettangolari associati ai tradizionali simboli matematici x(t) x(t) DERIVATA INTEGRALE Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 27 Integrazione e derivazione A x(t) T/2 Ad esempio: t -T/2 0 y(t) y(t) x(t) A Ad esempio: t -T/2 T/2 Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 28 Integrazione e derivazione Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 29 Statistiche dei segnali Solitamente siamo abituati a calcolare misure statistiche su segnali di natura aleatoria (medie statistiche o expectation) E’ tuttavia possibile calcolare alcuni valori statistici interessanti anche a partire da segnali deterministici, valutando alcuni andamenti del segnale nel proprio dominio (es. medie temporali) In casi particolari le due cose coincidono (processi ergodici) Definiremo:  Valor medio  Valore quadratico medio e varianza  Autocorrelazione e cross-correlazione  Energia e potenza Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 30 Valor medio Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 31 Valore quadratico medio e varianza Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 32 Significato della varianza  Queste due immagini hanno lo stesso valor medio ma diversa varianza (la seconda ha varianza zero)  Una varianza elevata è legata a variazioni significative del segnale, tipicamente associate ad un più elevato contenuto informativo Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 33 Energia di un segnale Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 34 Potenza media di un segnale N.B. COINCIDE CON IL VALORE QUADRATICO MEDIO! Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 35 Segnali di potenza e di energia Come abbiamo visto, occorre distinguere tra segnali di energia e segnali di potenza La proprietà è mutuamente esclusiva (un segnale può essere di energia o di potenza, non entrambi), infatti:  I segnali di energia hanno sempre potenza media nulla Esempio: sono segnali di energia tutti i segnali deterministici a durata finita  I segnali di potenza hanno sempre energia infinita Esempio: sono segnali di potenza i segnali periodici, i segnali a valor medio non nullo, i segnali aleatori Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 36 Segnali di energia e di potenza: esempi x(t) x(t) A A 0 t t -T0/2 0 T0/2 -A ENERGIA POTENZA Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 37 Significato di Energia e Potenza media Entrambe le misure sono in qualche modo legate al contenuto informativo del segnale  Prendendo un segnale a valor medio nullo, la potenza media coincide con la varianza che, come abbiamo detto, è un indice del contenuto informativo (variazioni) di un segnale  Per i segnali di energia, anche la varianza portata al limite sarà nulla, ma se limitiamo il calcolo all’intervallo temporale in cui il segnale è definitivo, il significato è analogo  Il calcolo di energia/ potenza è anche utile per confrontare segnali dal punto di vista della ‘forza’ (es. quanto un segnale prevale su un rumore o viceversa)  rapporto segnale/rumore Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 38 Cross-correlazione Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 39 Cross-correlazione Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 40 Significato della cross-correlazione La cross-correlazione è in grado di rilevare pattern simili in segnali diversi, ad es. per  Ricercare un certo suono, una parola, una forma di cui è disponibile un template (detection, template matching)  Misurare il ritardo di un segnale rispetto ad un altro, ad es. l’eco di un’onda acustica o elettromagnetica (sonar , radar)  Verificare se due segnali hanno caratteristiche simili tra loro, ad es. appartengono alla stessa classe (classificazione) Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 41 Cross-correlazione: esempio Nell’esempio, vogliamo capire se i due segnali acustici rappresentati in alto contengono qualche pattern acustico simile (ad esempio un suono). La cross-correlazione (in basso) ci dice che, per uno shift di 0.1 msec, c’è un picco di somiglianza (tra i due pattern evidenziati) Sparling, C. et al (2016). Scottish Government Demonstration Strategy. Technical Report 10.7489/1759-1 Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 42 Autocorrelazione Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 43 Significato dell’autocorrelazione Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 44 Autocorrelazione: esempio Misurando l’autocorrelazione lungo l’asse x di queste immagini di tessitura, osserviamo che, ad es., la texture 2 ha meno ‘memoria’, ovvero varia in maniera più veloce e imprevedibile o, detto in altro modo, la sua auto-somiglianza decade più rapidamente. Distante A., Distante C. (2020) Texture Analysis. In: Handbook of Image Processing and Computer Vision, Springer Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 45