Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali PDF

Fondamenti di comunicazioni: elaborazione dei segnali 4. Rappresentazione in frequenza  Contenuti n Rappresentazione in frequenza di segnali n Segnali periodici e serie di Fourier ¨ Calcolo dei coefficienti ¨ Spettri in ampiezza e fase ¨ Proprietà della serie di Fourier...

Fondamenti di comunicazioni: elaborazione dei segnali 4. Rappresentazione in frequenza  Contenuti n Rappresentazione in frequenza di segnali n Segnali periodici e serie di Fourier ¨ Calcolo dei coefficienti ¨ Spettri in ampiezza e fase ¨ Proprietà della serie di Fourier ¨ Esempi di calcolo dello spettro ¨ Fenomeno di Gibbs ¨ Calcolo della potenza nel dominio della serie Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 22  Concetto di frequenza nei segnali n In fisica, il concetto di frequenza è tipicamente associato a eventi periodici (es. le oscillazioni di un pendolo) n Nei segnali il concetto è in qualche modo più ampio: vogliamo definire il contenuto frequenziale di un segnale non periodico n Le alte frequenze sono associate a segnali che: ¨ presentano variazioni più intense per unità di tempo (simile alla periodicità) ¨ presentano variazioni più brusche (meno intuitivo) xl(t) xh(t) t t xl(t) basse frequenze xh(t) alte t t Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 3  Concetto di frequenza nei segnali: esempi n Il contenuto in frequenza di un segnale audio è maggiore nei segnali acuti rispetto a quelli gravi: ¨ Il piatto di una batteria avrà un numero di oscillazioni nell’unità di tempo molto maggiore di quello di un violoncello n Il contenuto in frequenza di un’immagine è maggiore in presenza di contorni ad alto contrasto ¨ Una variazione repentina della funzione luminosità genera frequenze più elevate di una sfumatura Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 4  Ma… come misurare il contenuto in frequenza? n La definizione data è di tipo ‘qualitativo’ n Occorre spesso calcolare in maniera più precisa (quantitativa) il contenuto frequenziale di un segnale Esempio: qual è il contenuto frequenziale di questo segnale? Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 5  Misurare le frequenze di un segnale n Poiché il concetto di frequenza è perfettamente noto in una sinusoide, sarebbe bello poter rappresentare un segnale qualsiasi in termini di sinusoidi ¨ Il matematico francese Fourier definì un metodo matematico che consente di fare esattamente questa cosa Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 6  Serie di Fourier n Prima di arrivare alla rappresentazione di Fourier per segnali generici, partiamo da un caso particolare: i segnali periodici ¨ Abbiamo definito i segnali periodici all’inizio del corso come segnali che si ripetono uguali a sé stessi ad ogni intervallo di tempo T, detto periodo n Le sinusoidi sono casi particolari (e semplici) di segnali periodici ¨ Fourier dimostrò nel 1807 che qualsiasi segnale periodico può essere decomposto in una sommatoria infinita di seni e coseni Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 7  Serie di Fourier: definizione n Un generico segnale periodico di periodo T0 può essere sviluppato mediante la seguente serie (serie di Fourier): % 2𝜋𝑘𝑡 𝑥 𝑡 = 𝑎! + & 𝑎" 𝑐𝑜𝑠 + 𝜗" 𝑇! "#$ ¨ Si noti che le oscillazioni della serie hanno frequenza multipla della frequenza f0 = 1/T0, detta frequenza fondamentale ¨ Il termine k-esimo della serie è detto armonica di ordine k ¨ Il termine a0 (a frequenza nulla) è detto componente continua Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 88  Serie di Fourier: interpretazione n Nell’espressione vista: ¨ Le frequenze delle sinusoidi vengono fuori direttamente dalla conoscenza della frequenza fondamentale (è una proprietà del segnale periodico 𝑥 𝑡 ) ¨ L’unica cosa che occorre calcolare per definire completamente la serie sono quindi i valori dei coefficienti 𝑎" e 𝜗" n I coefficienti 𝑎! rappresentano le ampiezze dei vari termini sinusoidali n I coefficienti 𝜗! rappresentano gli sfasamenti dei vari termini sinusoidali Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 99  Condizioni di esistenza n In realtà la serie può essere applicata solo se il segnale è continuo e sommabile sul periodo ¨ In pratica, x(t) deve essere integrabile nell’intervallo (0,T) e l’integrale deve avere valore finito ¨ In realtà la funzione può anche contenere discontinuità purché nei punti di discontinuità possieda derivate da sinistra e da destra ¨ Queste condizioni sono tipicamente soddisfatte dai segnali reali con i quali abbiamo a che fare nella pratica, quindi le diamo per verificate Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 10  Serie di Fourier: considerazioni n L’espressione definita per la serie di Fourier sottende due importanti considerazioni: ¨ Un segnale periodico qualsiasi (ad esempio un’onda quadra) può essere ottenuto sommando infinite sinusoidi, con opportune ampiezze e sfasamenti ¨ Tali sinusoidi non assumono frequenze qualsiasi, ma solo i multipli della frequenza del segnale originale NB. il primo punto è tutt’altro che scontato: grandi matematici dell’epoca come Legendre, Poisson e Lagrange rifiutarono per anni la teoria di Fourier, ritenendo impossibile che si potesse ricostruire un segnale discontinuo a partire dalla somma di segnali continui Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 11  Calcolo dei coefficienti della serie n Abbiamo detto che per ottenere la serie occorre calcolare i coefficienti 𝑎! e i relativi sfasamenti 𝜗! n Il calcolo è più agevole se rappresentiamo i coefficienti nel dominio complesso (in pratica, i coefficienti diventano numeri complessi di cui 𝑎! e 𝜗! rappresentano modulo e fase) ¨ Ricordiamo che, per Eulero: 𝑒 #(%&!'!()*" ) + 𝑒 ,#(%&!'!()*" ) cos 2𝜋𝑘𝑓" 𝑡 + 𝜗! = 2 ¨ Per cui possiamo riscrivere la serie di Fourier come: &! &! 𝑥 𝑡 = 𝑎! + ∑% "#$ 𝑒 ()! 𝑒 ('*"+" , + ∑% "#$ 𝑒 -()! 𝑒 -('*"+" , ' ' Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 12  Calcolo dei coefficienti della serie ¨ Per cui possiamo riscrivere la serie di Fourier come: / 𝑥 𝑡 = 𝑎" + / 𝑎! 𝑐𝑜𝑠 2𝜋𝑘𝑓" 𝑡 + 𝜗! = !-. / 𝑒 #(%&!'!()*" ) + 𝑒 ,#(%&!'!()*" ) = 𝑎" + / 𝑎! = 2 !-. / / 𝑎! #* #%&!' ( 𝑎! ,#* ,#%&!' ( = 𝑎" + / 𝑒 " 𝑒 ! +/ 𝑒 " 𝑒 ! 2 2 !-. !-. Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 13  Calcolo dei coefficienti della serie ¨ A questo punto riscriviamo in maniera più compatta come: )/ 𝑥 𝑡 = / 𝑋𝑛 𝑒 #%&0'!( 0-,/ ¨ dove: 𝑎0 #* 𝑒 # 𝑛>0 2 𝑋0 = 𝑎,0 #*$# 𝑒 𝑛