Exame Nacional de Matemática A 2024 (PDF)

Exame Final Nacional de Matemática A Prova 635 | 1.ª Fase | Ensino Secundário | 2024 12.º Ano de Escolaridade Decreto-Lei n.º 55/2018, de 6 de julho | Decreto-Lei n.º 62/2023, de 25 de julho Duração da Prova: 150 minutos. | Tolerância: 30 minutos. 8 Página...

Exame Final Nacional de Matemática A Prova 635 | 1.ª Fase | Ensino Secundário | 2024 12.º Ano de Escolaridade Decreto-Lei n.º 55/2018, de 6 de julho | Decreto-Lei n.º 62/2023, de 25 de julho Duração da Prova: 150 minutos. | Tolerância: 30 minutos. 8 Páginas A prova inclui 12 itens, devidamente identificados no enunciado, cujas respostas contribuem obrigatoriamente para a classificação final. Dos restantes 6 itens da prova, apenas contribuem para a classificação final os 3 itens cujas respostas obtenham melhor pontuação. Para cada resposta, identifique o item. Utilize apenas caneta ou esferográfica de tinta azul ou preta. Não é permitido o uso de corretor. Risque aquilo que pretende que não seja classificado. É permitido o uso de régua, compasso, esquadro, transferidor e calculadora gráfica. Apresente apenas uma resposta para cada item. As cotações dos itens encontram-se no final do enunciado da prova. A prova inclui um formulário. Nas respostas aos itens de escolha múltipla, selecione a opção correta. Escreva, na folha de respostas, o número do item e a letra que identifica a opção escolhida. Nas respostas aos restantes itens, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o valor exato. Prova 635/1.ª F. Página 1/ 8 Formulário Geometria Regras de derivação Comprimento de um arco de circunferência: ^u + vhl = ul + vl ar ^a - amplitude, em radianos, do ângulo ao centro; r - raioh ^u vhl = ul v + u vl `vj = u l ul v - u vl Área de um polígono regular: Semiperímetro # Apótema v2 Área de um sector circular: ^u nhl = n u n - 1 ul ^n ! R h ^sen uhl = ul cos u ar2 ^a - amplitude, em radianos, do ângulo ao centro; r - raioh 2 ^cos uhl = - ul sen u ^tg uhl = ul Área lateral de um cone: r r g ^r - raio da base; g - geratrizh cos2 u ^euhl = ul eu Área de uma superfície esférica: 4 rr2 ^r - raioh ^auhl = ul au ln a ^a ! R+ "1 ,h ^ln uhl = ul Volume de uma pirâmide: 1 # Área da base # Altura u 3 ^log a uhl = ul ^a ! R+ "1 ,h Volume de um cone: 1 # Área da base # Altura u ln a 3 Volume de uma esfera: 4 r r3 ^r - raioh 3 Limites notáveis lim b1 + 1 l = e ^n ! Nh n Progressões n Soma dos n primeiros termos de uma progressão _un i : lim sen x = 1 x"0 x u1 + un x Progressão aritmética: 2 #n lim e - 1 = 1 x"0 x n Progressão geométrica: u1 # 1 - r lim ln x = 0 1- r x "+3 x lim e p = + 3 ^ p ! R h x Trigonometria x "+3x sen ]a + bg = sen a cos b + sen b cos a cos ]a + bg = cos a cos b - sen a sen b Complexos ^ t eii hn = t n eini ^k ! !0, f , n - 1 + e n ! Nh i + 2 kr n t eii = n t ei n Prova 635/1.ª F. Página 2/ 8 1. Seja f uma função de domínio R e contradomínio 6− 1, 3@. Qual é o contradomínio da função g , de domínio R , definida por g ] xg  f ^ x  2h  1 ? (A) 6− 3, 1@ (B) 6− 2, 2@ (C) 60, 4@ (D) 61, 5@ 2. Uma orquestra está a realizar audições para novos instrumentistas. 2.1. No primeiro dia das audições, participaram apenas candidatos a flautistas e a violinistas. Sabe-se que: 3 dos candidatos eram violinistas; 5 o número de candidatos estrangeiros era igual ao número de candidatos portugueses; 3 dos candidatos estrangeiros eram flautistas. 10 Seleciona-se, ao acaso, um dos candidatos que participaram no primeiro dia das audições. Determine a probabilidade de esse candidato ser português, sabendo-se que é violinista. Apresente o resultado na forma de fração irredutível. 2.2. Enquanto aguardam as audições, quatro violinistas, um violoncelista e três contrabaixistas vão sentar-se nas duas primeiras filas de uma plateia, tendo cada fila quatro lugares numerados de 1 a 4. Qual das expressões seguintes representa o número de maneiras diferentes de dispor os oito músicos, ficando os três contrabaixistas numa fila? (A) 4C3 # 3! # 5! (B) 2 # 4A3 # 5! (C) 2 # 4C3 # 5! (D) 4A3 # 3 # 5! 2.3. Para se preparar para a audição de violino, a Constança praticou durante m dias. Sabe-se que a Constança praticou: em cada dia, exceto no primeiro, sempre mais 10 minutos do que no dia anterior; 60 minutos no quarto dia; 2970 minutos no total dos m dias. Determine o valor de m. Prova 635/1.ª F. Página 3/ 8 3. Na Figura 1, está representado, em referencial o.n. Oxyz , o prisma reto z [ABCDEFGH] , de bases [ABCD] e [EFGH]. G Sabe-se que: H as bases do prisma são trapézios retângulos;  ponto A tem coordenadas ^4, − 4, − 3h , e o ponto o B tem a ordenada E igual ao dobro da abcissa; F C uma equação da reta BC é ^ x, y, zh  ]3, 5, 1g  k ]2, 3, 6g, k ! R. D O y 3.1. Qual das equações seguintes é uma equação do plano ABF ? A (A) 2 x  3 y  6 z  22  0 (B) 2 x  3 y  6 z  20  0 B x (C) 3 x  2 y  20  0 (D) 3 x  2 y  22  0 Figura 1 3.2. D  etermine, sem recorrer à calculadora, a não ser para efetuar eventuais cálculos numéricos, a amplitude do ângulo convexo AOB. Apresente o resultado em graus, arredondado às unidades. 3.3. Selecionam-se, ao acaso, dois vértices de cada uma das bases do prisma. Determine a probabilidade de os quatro vértices selecionados não pertencerem a uma mesma face lateral do prisma. Apresente o resultado na forma de fração irredutível. 4. Resolva este item sem recorrer à calculadora. Determine o conjunto dos números reais que verificam a condição ln 2 x − ln x − 2 1 0. Apresente a sua resposta na forma de intervalo ou de reunião de intervalos de números reais. 5. Considere, para um certo valor de k real, a função g , de domínio R , definida por Z 1 x ] x 1  exk se x 11 ]e 1 g ] xg  [ ]] 2 \ x  3 x  2 ln x se x $1 Resolva os itens 5.1. e 5.2. sem recorrer à calculadora. 5.1. Estude, no intervalo @1, + 3 6 , a função g quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos, e determine, caso existam, esses extremos. Na sua resposta, apresente o(s) intervalo(s) de monotonia. 5.2. Sabe-se que a função g é contínua em x = 1. Determine o valor de k. Prova 635/1.ª F. Página 4/ 8 6. O gráfico da Figura 2 apresenta a distribuição das classificações finais, em valores, na disciplina de Português, dos 20 alunos de uma turma. Classificações finais na disciplina de Português 30% 25% Frequências relativas 20% 15% 10% 5% 0% 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Classificações (em valores) Figura 2 Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço, de acordo com os dados representados no gráfico da Figura 2. Escreva, na folha de respostas, apenas cada um dos números, I, II, III e IV, seguido da opção, a), b) ou c), selecionada. A cada espaço corresponde uma só opção. Na turma, há I alunos com classificação final inferior a 13 valores na disciplina de Português. A mediana da distribuição das classificações finais na disciplina de Português é II valores. A classificação média final na disciplina de Português é III valores, e o desvio padrão desta distribuição, arredondado às décimas, é IV valores. I II III IV a) 4 a) 12,5 a) 13,4 a) 2,9 b) 6 b) 13 b) 13,6 b) 3,8 c) 10 c) 13,5 c) 13,8 c) 4,1 Prova 635/1.ª F. Página 5/ 8 7. Resolva este item sem recorrer à calculadora. Considere a função f , de domínio R \ "0 , , definida por f ] xg  1  cos x x 4 Estude a função f quanto à existência de assíntotas verticais ao seu gráfico e, caso existam, escreva as respetivas equações. 8. Seja f uma função de domínio R. Sabe-se que: para qualquer número real a , a ≠ 2 , lim f ] xg = f ]ag ; x"a lim f ] xg  f ^2 h , com f ^2 h 2 0 , e lim f ] xg   3 ; x " 2 x"2 f ^1h # f ^3h 1 0. Considere as proposições seguintes. I. O teorema de Bolzano-Cauchy permite afirmar que a função f tem, pelo menos, um zero no intervalo @1, 3 6. II. A reta de equação x = 2 é assíntota ao gráfico da função 1. f Justifique que as proposições I e II são falsas. Na sua resposta, apresente, para cada uma das proposições, uma razão que justifique a sua falsidade.  a Figura 3, estão representadas, em referencial o.n. Oxy , a 9. N y circunferência de centro em O e raio 2 e uma região sombreada composta pelo trapézio 6OBCD@ , retângulo em C e em D , e C B pelo sector circular correspondente ao ângulo orientado AOB , de amplitude a , em radianos, com a dD0, r : , e raio OA. 2 a Sabe-se que: D O A x o ponto A pertence à circunferência e ao semieixo positivo Ox ;  s pontos B e C pertencem à circunferência, sendo o C o simétrico de B , em relação ao eixo Oy. Mostre que a área da região sombreada é dada, em função de a, Figura 3 pela expressão 2 a + 3 sen ^2 ah Prova 635/1.ª F. Página 6/ 8 10. N  a Figura 4, está representada uma caixa que vai ser puxada ao longo de um plano horizontal, com recurso a uma haste rígida. Nesta figura, o segmento de reta [AB] representa a B haste rígida, o ponto A representa o ponto em que a haste está fixada à caixa, e o ponto B representa o ponto em que vai ser exercida a força que permite A i deslocar a caixa. Seja i a amplitude, em radianos, do ângulo que a Figura 4 força faz com a horizontal ci d :0, :m. r 2 Admita que, para cada valor de i , a intensidade mínima da força a aplicar no ponto B , para que se inicie o movimento da caixa, é dada, em newton, por F ^i h  4095 5 sen i  12 cos i  xistem dois valores distintos de i aos quais corresponde a mesma intensidade mínima da força, em E newton, a aplicar no ponto B , para que se inicie o movimento da caixa. Sabe-se que um desses valores é o dobro do outro. Seja i1 o menor desses valores ci1 dD0, r :m. 4 Determine, recorrendo à calculadora, o valor de i1. Apresente o resultado em radianos, arredondado às centésimas. Não justifique a validade do resultado obtido na calculadora. Na sua resposta: – apresente uma equação que lhe permita resolver o problema; – represente, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora e assinale o(s) ponto(s) relevante(s), que lhe permitem resolver a equação. 11. N  a Figura 5, está representado, no plano complexo, o triângulo Im(z) [ABC] , cujos vértices pertencem à circunferência de raio 2 centrada na origem do referencial, sendo o ponto A pertencente ao semieixo imaginário negativo. C B Os pontos A , B e C são os afixos das raízes cúbicas de um certo número complexo, w. O Re(z) Em qual das seguintes opções se apresenta w , escrito na forma trigonométrica? r 3r i i A (A) 2e 2 (B) 2e 2 r 3r Figura 5 i i (C) 8e 2 (D) 8e 2 Prova 635/1.ª F. Página 7/ 8 12. Resolva este item sem recorrer à calculadora. Em C , conjunto dos números complexos, considere o número complexo z  4  27. 1 i i Determine o número complexo w tal que o número complexo z # w tenha módulo 5 2 e afixo pertencente à bissetriz do terceiro quadrante. Apresente w na forma a + bi , com a , b ! R. 13. Para certos valores reais de b e de m , não nulos, a reta de equação y  mx  1 é tangente ao gráfico da função quadrática definida por f ] xg  2 x 2  bx  5 num ponto cuja abcissa é positiva. Determine a abcissa desse ponto. FIM COTAÇÕES As pontuações obtidas nas respostas a estes 12 itens da prova contribuem 1. 2.1. 2.2. 3.1. 3.2. 5.1. 5.2. 6. 8. 10. 11. 13. Subtotal obrigatoriamente para a classificação final. Cotação (em pontos) 12 14 12 12 14 14 14 12 14 14 12 14 158 Destes 6 itens, contribuem para a classificação final da 2.3. 3.3. 4. 7. 9. 12. Subtotal prova os 3 itens cujas respostas obtenham melhor pontuação. Cotação (em pontos) 3 × 14 pontos 42 TOTAL 200 Prova 635/1.ª F. Página 8/ 8