Уравнения в целых числах и методы их решения PDF

**Уравнения в целых числах и методы их решения** **Уравнения в целых числах** --- это алгебраические уравнения с двумя или более неизвестными переменными и целыми коэффициентами. (https://nsportal.ru/shkola/algebra/library/2016/04/19/olimpiadnye-zadaniya-reshenie-uravneniy-v-tselyh-chislah) Решения...

**Уравнения в целых числах и методы их решения** **Уравнения в целых числах** --- это алгебраические уравнения с двумя или более неизвестными переменными и целыми коэффициентами. (https://nsportal.ru/shkola/algebra/library/2016/04/19/olimpiadnye-zadaniya-reshenie-uravneniy-v-tselyh-chislah) Решениями таких уравнений являются целые числа. (https://reshutest.ru/theory/7?theory_id=227) Также такие уравнения называют **диофантовыми**, в честь древнегреческого математика Диофанта Александрийского, который исследовал некоторые типы таких уравнений ещё до нашей эры.  Решение уравнений в целых числах Линейные уравнения 1. Метод прямого перебора Пример 1. В клетке сидят кролики и фазаны. Всего у них 18 ног. Узнать сколько в клетке тех и других. Укажите все решения. Решение. Пусть x -- количество кроликов, у -- количество фазанов, тогда имеем уравнение 18= 2y +4x или 9.= y +2x Если 1,=x то 7.=y Если 2,=x то 5.=y Если 3,=x то 3.=y Если 4,=x то 1.=y При 5=x получаем 9.\>10 =5 ⋅2 Ответ: (1;7), (2;5), (3;3), (4;1). 2. Использование неравенств Пример 2. Решите в натуральных 39.=8y +числах уравнение 5x Решение. Для уменьшения перебора вариантов рассмотрим неравенства    ≥ − = ≥ − = 8 39 5 0 5 39 8 0, y x x y ⇔    ≤ ≤ 7. 4, x y Проведем перебор по неизвестной у. Если 1,=y то 6,2=x не является натуральным числом. Если 2,=y то 4,6=x не является натуральным числом. Если 3, то=y 3.=x Если 4,=y то 1,4=x не является натуральным числом. Ответ: (3; 3). 3. Использование отношения делимости Пример 3. Имеются контейнеры двух видов: по 130 кг и 160 кг. Сколько было контейнеров первого и сколько второго вида, если вместе они весят 3 тонны? Указать все решения. Решение. Обозначим количество контейнеров первого вида через x , второго -- через у. Получаем уравнение 3000=160y +130x или 300.=16y +13x Далее имеем 1,+ 23⋅13= 3y +13y +13x y).− x −13(23=1 −3y Отсюда следует, что разность 1−3y делится на 13. Если 0,=1 −3y то у не является натуральным числом. Если 13,=1 −3y то у не является натуральным числом. Если 26,=1 −3y то 9=y и 12.=x Если 39,=1 −3y то у не является натуральным числом. Если 52,=1 −3y то у не является натуральным числом. Если 65,=1 −3y то 22,=y но 300.\> 352 =22 ⋅16 Ответ: 12 контейнеров по 130 кг и 9 по 160 кг. 4. Выделение целой части Пример 4. У осьминога 8 ног, а у морской звезды 5. Сколько в аквариуме тех и других, если всего у них 39 ног? Решение. Пусть x -- количество осьминогов, у -- количество морских звезд, тогда получаем уравнение 39= 5y +8x. Выразим у из уравнения и выделим целую часть:. 5 3 4 7 5 −39 8 − − = − = x x x y Отсюда следует, что разность 4−3x делится на 5. Если 0,= 4 −3x то x не является натуральным числом. Если 5,= 4 −3x то 3=x и 3.=y Если 10,= 4 −3x то x не является натуральным числом. Если 15,= 4 −3x то x не является натуральным числом. Если 20,= 4 −3x то 8,=x но 39.\> 64 =8 ⋅8 Ответ: 3 и 3. Замечание. В двух последних примерах использовано отношение делимости, при этом уравнения приводились к разному виду. 5. Метод остатков Пример 5. Решить в целых числах уравнение 1.= 4y −3x 2 Решение. Перепишем уравнение в виде 1.+ 4y =3x Поскольку левая часть уравнения делится на 3, то должна делиться на 3 и правая часть. Рассмотрим три случая. 1. Если 3m,=y где Z,∈m то 1+12m =1 +4y не делится на 3. 2. Если 1, то+ 3m =y 5+12m =1 +1) + 4(3m =1 +4y не делится на 3. 3. Если 2,+ 3m =y то 9+12m =1 + 2) + 4(3m =1 +4y делится на 3, поэтому 9,+12m =3x 3.+ 4m=x Ответ: 2,+ 3m = 3, y + 4m =x где Z.∈m 6. Метод «спуска» Пример 6. Решить в целых числах уравнение 3.= 7y −5x Решение. Выразим из уравнения то неизвестное, коэффициент при котором меньше по модулю:. 5 2 3 5 +7 3 + = + = y y y x Дробь 5 3+2y должна быть равна целому числу. Положим , 5 2 3 z y = + где z -- целое число. Тогда 5z.= 3 +2y Из последнего уравнения выразим то неизвестное, коэффициент при котором меньше по модулю, и проделаем аналогичные преобразования:. 2 3 3 2 +5 3 − = − = z z z y Дробь 2 3+z должна быть целым числом. Обозначим , 2 3 t z = + где t -- целое число. Отсюда 3.− 2t =z Последовательно возвращаемся к неизвестным х и у: 9,− 5t =t −3) − 3(2t =y 12.− 7t = 3 − 2t + 9 − 5t = z + y =x Ответ: 9,− 5t =12, y − 7t =x где Z.∈t 7. Метод последовательного уменьшения коэффициентов по модулю Пример 7. Решить в целых числах уравнение 1.= 23x −79y Решение. Проведем деление с остатком 10+3⋅ 23=79 и перепишем исходное уравнение в виде 1,−10y + 69y =1− 79y =23x 1.−10y = 69y −23x Левая часть последнего уравнения делится нацело на 23, поэтому и правая часть должна делиться на 23. Имеем 23t,=1−10y где Z.∈t Для полученного нового уравнения повторим процедуру уменьшения коэффициентов. 1;+ 3)t +10⋅ (2=1+ 23t =10y 10u,=1+1; 3t + 3t = 20t −10y где Z.∈u Проведем еще раз процедуру уменьшения коэффициентов. 1;− u =9u −1)u; 3t +3⋅ (3=10u =1+3t Z.∈ 3n, n=1−u Выразим х и у через n. Так как 1,+ 3n =u то 9;+ 30n =1−1) +10(3n =1−10u =3t 3.+10n=t 70;+ 230n =1 + 3) + 23(10n =1 + 23t =10y 7.+ 23n =y 552;+23n ⋅ 79=1− 7) + 79(23n =1− 79y =23x 24.+ 79n=x Ответ: 7,+ 23n = 24; y + 79n =x где Z.∈n Замечание. В последних двух примерах применен метод последовательного уменьшения коэффициентов по модулю, при этом уравнения приводились к разному виду. 3 8. Использование формул Теорема 9. Уравнение a1 a2+x1 an+\... +x2 xn b= разрешимо в целых числах тогда и только тогда, когда d \| b, где d=НОД ( , ,\..., ). a1 a2 an Любое уравнение, которое требуется решить в целых числах, называют диофантовым уравнением. Простейшими из них являются линейные диофантовы уравнения вида ,= +ax by c где Z.∈a, b, c Его решение пара целых чисел.−( , ) x y При решении этого уравнения используется следующая теорема. Теорема 10. Линейное диофантово уравнение ,= +ax by c где Z,∈a, b, c имеет решение тогда и только тогда, когда c делится на НОД чисел a и b. Если = = = НОД( , ), 1 1 1 a ad b bd c cd =d a b , , и x0( ; y0 некоторое решение−) уравнения ,= +ax by c то все решения задаются формулами , ,− = + =0 1 0 1 x x b t y y a t (1) где произвольное целое число.−t Доказательство. Пусть НОД( , ),=d a b т.е. существуют такие числа a1 и 1 b , что =1 a a d , =1 b b d. Тогда уравнение преобразуется к виду = +a dx b dy c 1 1 или.)= + 1 1 (d a x b y c Отсюда следует, уравнение имеет решение в целых числах тогда и только тогда, когда c делится на d, т.е. 1 =c c d. Переписывая уравнения в виде )= + 1 1 1 (d a x b y c d и сокращая на d, получим уравнение ,= +1 1 1 a x b y c (2) где =1 1 ( , ) 1, a b т.е. числа 1 a и 1 b взаимно просты. Пусть теперь некоторое−0 0 ( , ) x y решение этого уравнения. Рассмотрим пару чисел, заданных формулами (1) и покажем, что эта пара также является решением уравнения (2). Подставив их в уравнение (2), получим = − + +1 0 1 1 0 1 1 a x b t b y a t c ( ) ( ) или 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 , c a x b y a b t b a t c = = = − + + т.е. равенство верно при любом t. Пусть также решение−( \*, \*) x y уравнения ,= +1 1 1 a x b y c т.е. = +a x b y c 1 1 1 \* \*. Вычитая из левой и правой частей этого равенства соответственно левую и правую части равенства ,= +1 0 1 0 1 a x b y c получим ) ( ) = − + − \* \* 0. (a x x b y y 1 0 1 0 Заметим, что при ≠1 1 a b, 0, если 0 ≠x x \* , то и \* , 0 ≠y y и наоборот. Так как =1 1 ( , ) 1, a b то b k x x 1 0 ) \* ( − = и a t y y 1 0 ) \* ,( − = (3) где Z∈k, t. Тогда имеем ) () ( ) () 0 0 0 0 = − − + − − \* \* \* \* 0 (t y y x x k x x y y или ) () \* \* 0, 0 0 () = − − −t k y y x x ( т.е. =k t. Отсюда из (3) получаем формулы (1). Теорема доказана. Замечание. Теорема 10 утверждает, что если линейное диофантово уравнения имеет решения, то их все можно представить в виде (1), однако для этого нужно знать некоторое решение 0 0) ( x ; y. Пример 8. (МГУ, 1969). Остаток от деления некоторого натурального числа n на 6 равен 4, остаток от деления n на 15 равен 7. Чему равен остаток от деления n на 30? Решение. Из условия задачи следует, что существует натуральное число k такое, что 4.+ 6k =n Аналогично имеем 7,+15l =n где N.∈l Исключая из этих двух равенств n, получим уравнение 1.=5l −2k (\*) Для решения этого уравнения найдем какое-нибудь частное решение в целых 4 (не обязательно неотрицательных) числах. Подбором в качестве такого частного решения можно взять, например, 1.− =2, l − =k Согласно следствия уравнение (\*) имеет решения 2t,+1− =5t, l +2 − =k где Z.∈t Чтобы числа k и l были неотрицательными, параметр t должен принимать натуральные значения. Теперь имеем 22.+1) − 30(t =8 − 30t = 4 + 2) − 6(5t =n Ответ: 22. Пример 9. Решить в целых числах уравнение 14.= 25y −147x Решение. Числа 147 и --25 взаимно просты, следовательно, уравнение разрешимо в Z. Найдем одно частное решение: = 22 ⋅6 −  91⋅7 =)91−  22(⋅6 −  91= 6⋅ 3−19 = 1.1+6⋅3= 19,3 +1⋅19= 22 ,91+)2−(⋅ 22= 25− ,22 +)5−(⋅25)− (=147 = 22 ⋅8 +)52−(⋅7 = 22 ⋅6 −))2−(⋅22 −52−(⋅ 7 = =))52−(⋅5 +741(⋅8+)52−(⋅ 7 =.)52−(⋅74 +741⋅8= Итак,.74 ⋅)52−( + 8⋅147=1 Следовательно,.856⋅52 −211⋅147=14 Значит, пара чисел (112; 658) образует частное решение данного уравнения. Следовательно, общее решение    + = + = 658 147 , 112 25 y t x t где Z.∈t 9. Использование конечных цепных дробей Пример 10. Решить в целых числах уравнение 0.=1+ 52y −127x Решение. Преобразуем отношение коэффициентов при неизвестных. Прежде всего, выделим целую часть неправильной дроби 52 127 ; 52 23 2 52 127.+ = Правильную дробь 52 23 заменим равной ей дробью 23 52 1. Тогда получим 23 52 1 2 52 127.+ = Проделаем такие же преобразования с полученной в знаменателе неправильной дробью 23 52. Теперь исходная дробь примет вид: 6 23 1 2 1 2 52 127 +.+ = Повторяя те же рассуждения для дроби 6 23 , получим 5 6 1 3 1 2 1 2 52 127 + +.+ = Выделяя целую часть неправильной дроби 5 6 , придем к окончательному результату: 5 1 1 1 3 1 2 1 2 52 127 + + + + = Мы получили выражение, которое называется конечной цепной или непрерывной дробью. Отбросив последнее звено этой цепной дроби -- одну пятую, превратим получающуюся при этом новую цепную дробь в простую и вычтем ее из исходной дроби 52 127 : 5 9 22 9 4 2 4 1 2 1 = + =2 + ,+ 52 9 1 52 9 1143 1144 9 22 52 127 ⋅ − = ⋅ −.= − Приведем полученное выражение к общему знаменателю и отбросим его, тогда 0.=1+ 22 ⋅ 52− 9 ⋅127 Из сопоставления полученного равенства с уравнением 0=1 + 52y −127x следует, что 22= 9, y =x будет решением этого уравнения, и согласно теореме все его решения будут содержаться в формулах 52t ,+ 9 =x 127t+ 22 =y , где Z.∈t Ответ: 127t+ 22 = 52t , y + 9 =x , где Z.∈t Нелинейные уравнения 1. Метод разложения на множители а) вынесение общих множителей за скобку Пример 11. Решить в целых числах уравнение 2 7 0 3.= − xy +x Решение. Приведем данное уравнение к виду (2 ) 7. 2 = y +x x Так как 1),−(⋅7− =7) −(⋅1− =1⋅ 7=7 ⋅1=7 то рассмотрим четыре системы 1)    = + = 2 7. 1, 2 x y x 2)    = + = 2 1. 7, 2 x y x 3)    − = + − = 2 7. 1, 2 x y x 4)    − = + − = 2 1. 7, 2 x y x Из каждой системы получаем решения. Ответ: 99).−7;− 97); (− 9); (7;−1;−(1;5); ( б) применение формул сокращенного умножения Пример 12. Найти все пары натуральных чисел, разность квадратов которых равна 55. Решение. Запишем условие задачи в виде уравнения 55 2 2 = k −n или 55.= k) + k)(n −(n Поскольку k+ n \< k −n и 11,⋅ 5=55 ⋅1=55 то возможны два случая    = + = − 55 1 n k n k или    = + = − 11 5 n k n k Решая эти уравнения, получим два ответа: 27 и= 28, k =n 3.= 8, k =n Ответ: (28;27); (8;3). в) способ группировки Пример 13. Решить в целых числах уравнение 6.= y − 3x +xy Решение. Запишем уравнение в виде 3= 3) + (y − 3) +x(y или 3.= 3) +1)(y −(x 6 Так как 1),−(⋅3− =3) −(⋅1− =1⋅ 3=3 ⋅1=3 то рассмотрим четыре системы 1)    = + = − 3 3. 1 1, y x 2)    = + = − 3 1. 1 3, y x 3)    − = + − = − 3 3. 1 1, y x 4)    − = + − = − 3 1. 1 3, y x Из каждой системы получаем решения. Ответ: 6).− 4); (2;0); (0;−2;− 2); (−(4; г) разложение квадратного трехчлена Пример 14. Решить в целых числах уравнение 3 2 11 2 2.= y + xy −x Решение. Решим уравнение 3 2 0 2 2 = y + xy −x относительно неизвестной х: y 1=x и 2. 2 y=x Тогда получаем 11.= 2y) − y)(x −(x Так как =11) −(⋅1− =1 ⋅11=11⋅1=11 1)−(⋅11− = , то рассмотрим четыре системы 1)    = − = − 2 11. 1, x y x y 2)    = − = − 2 1. 11, x y x y 3)    − = − − = − 2 11. 1, x y x y 4)    − = − − = − 2 1. 11, x y x y Из каждой системы получаем решения. Ответ: 10); (9;10).−21;−10); (−9;−(21;10); ( д) использование параметра Пример 15. Решить в целых числах уравнение 2 2 9 2 2.= y + x + xy −x Решение. Перепишем уравнение в виде a= a + 2 − y + 9) − x(2y −2x 2 и разложим левую часть уравнения на множители как квадратный трехчлен относительно х. Находим дискриминант 4 44 97 8. a− + y − y =2 D Очевидно, если 121,=8a −97 то дискриминант будет полным квадратом. При этом 3− =a и. 4 11)− (2 ±9 −2 = y y x Отсюда 0,5=x1 и 5− y =x2. Уравнение принимает вид 3.− = 5) + y −1)(x −(2x Рассмотрите самостоятельно решение последнего уравнения. 1;3); (2;8); (0;2).−Ответ: (1;9); ( 2. Метод решения относительно одной переменной а) выделение целой части Пример 16. (МГУ, 1997). Найти все пары целых чисел х и у, удовлетворяющие уравнению 0.= 71+17y +14x +3xy Решение. Выразим из данного уравнения у через x :. 3 17 14 71 + + − = x x y При этом следует отметить, что величина 0≠17 +3x (так как x -- целое число). Выделим из дроби в правой части этого равенства правильную алгебраическую дробь (у которой степень числителя меньше степени знаменателя):. 3 17 2 3 4 3 17 4(3 17) 2 3 + + − − = + + + + − = x x x x x y Умножим обе части последнего равенства на 3: 3 17 25 12 2 3 17 6 9 3 12 + + − − = + + − − = x x x y или. 3 17 25 3 14 + = + x y Поскольку числа 3у и 14 -- целые, то 17+3x должно быть делителем числа 25: 25 -- всего 6± 5; ±1; ± =17 +3x возможностей. Отсюда для x получаем три возможных значения: --4, --6, --14 (в остальных трех случаях x не является целым). Соответствующие значения у равны --3, --13, --5. Ответ: 5).−14;−13); (−6;− 3); (−4;−( Замечание. В решении был использован прием домножения обеих частей равенства на коэффициент при x в знаменателе. Этот прием домножения 7 также удобно использовать при решении уравнений методом разложения на множители. б) использование дискриминанта (неотрицательность) Пример 17. Решить в целых числах уравнение 3(x xy y ) x 8y 2 2.+ = + + Решение. Рассмотрим уравнение, как квадратное относительно x : 3 (3 1) 3 8 0. 2 2 = y − y + x − y +x Найдем дискриминант D этого уравнения 27 90 1. Данное+ y + y − =2 D уравнение имеет корни, если 0,≥D т.е. 27 90 1 0. 2 ≥ + y + y − Так как Z,∈y то получаем 3.≤ y ≤0 Перебирая эти значения, получим, что исходное уравнение в целых числах имеет решения (0;0) и (1;1). Ответ: (0;0); (1;1). в) использование дискриминанта (полный квадрат) Пример 18. Решить в целых числах уравнение y+ x = y + xy −x 2 2. Решение. Рассмотрим уравнение, как квадратное относительно x : ( 1) 0. 2 2 = y − y + x + y −x Его дискриминант t=1+ 6y +3y − =2 2 D должен быть квадратом некоторого целого числа t. Получаем новое уравнение 3 6 1 0; 2 2 = t + − y −y 3( 1) 4. 2 2 = t + −y Из последнего уравнения следует, что 4, 2 ≤t т.е. 2.≤\| t \| 1. Если 0, 2 =t то уравнение 3( 1) 4 2 = −y не имеет целого решения у. 2. Если 1, 2 =t то уравнение 3( 1) 3 2 = −y имеет целые решения 2=y1 и 0=y2. При 2=y получаем квадратное уравнение 3 2 0 2 = + x −x с корнями 1=x или 2=x. При 0=y получаем квадратное уравнение 0 2 = x −x с корнями 0=x или 1.=x 3. Если 4, 2 =t то уравнение 3( 1) 0 2 = −y имеет одно целое решение 1=y. При 1=y получаем квадратное уравнение 2 0 2 = x −x с корнями 0=x или =x 2. Ответ: (1;2); (2;2); (0;0); (1;0), (0;1); (2;1) 3. Метод оценки а) использование известных неравенств Пример 19. Решить в натуральных числах уравнение 2 1 1 1 = + x y. Решение. Пусть для определенности y.≤x Проведем перебор для первых значений неизвестной х. 1. Если 1,=x то получаем неверное равенство , 2 1 1 = +1 y так как 1 1 \> +1 y при любых натуральных у. 2. Если 2,=x то получаем неверное равенство , 2 1 1 2 1 = + y так как 2 1 1 2 1 \> + y при любых натуральных у. 3. Если 3,=x то получаем , 2 1 1 3 1 = + y , 6 1 1 = y 6.=y 4. Если 4,=x то получаем , 2 1 1 4 1 = + y , 4 1 1 = y 4.=y 5. Если 5,=x то получаем , 2 1 1 5 1 = + y , 10 1 3 = y. 3 10 N∉ =y Пусть 6.≥x По условию x,≥y следовательно, 6.≥y Тогда 8 , 6 1 1 ≤ x , 6 1 1 ≤ y а значит,. 2 1 3 1 1 1 \< ≤ + x y Таким образом, при 6≥x и x≥y исходное уравнение решений не имеет. Заметим, что в уравнении 2 1 1 1 = + x y неизвестные x и у равноправны, поэтому снимая условие x≥y , имеем еще одно решение (6;3). Кроме того, можно сделать вывод, что при 6≥x и 6≥y исходное уравнение не имеет решений. Ответ: (4;4); (6;3); (3;6). Пример 20. (ММО, 1963, 8 класс). Решить в целых числах уравнение 3.= + + y zx x yz z xy Решение. Можно вначале найти решения только в натуральных числах, так как если ( ; ; ) 0 0 0 x y z -- решение, то, изменив знак у любых двух чисел этой тройки, снова получим решение. Данное уравнение умножим на 2xyz и воспользуемся неравенством 2 ; 2 2 = + + = ab≥ b +a 2 2 2 2 2 2 6xyz 2x y 2x z 2y z ≥ ) + ( + ) + ( + ) + ( = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x z x y y z x z y z 2 2 2 2 ( ), 2 2 2 z+ y + xyz x = z xy + y xz + x yz ≥ откуда 3.≤ z + y +x Но x , у, z -- натуральные, поэтому 1= z = y =x единственное решение в натуральных числах. Остальные решения исходного уравнения таковы: 1).−1;1;−1); (−1;−1;1); (1;−1;−( 1).−1;1;−1); (−1;−1;1); (1;−1;−Ответ: (1;1;1); ( б) приведение к сумме неотрицательных выражений Пример 21. (ММО, 1941, 9-10 классы). Решить в целых числах уравнение. 2 2 y+ xy − x = y +x Решение. Приведем уравнение к виду ( 1) ( 1) ( ) 2. 2 2 2 = y − x + − y + −x Так как ( 1) 2, 2 ≤ −x то имеем ( 1) 0 2 = −x или ( 1) 1. 2 = −x Отсюда получаем три значения x : 1, 0, 2. Подставляя эти значения в исходное уравнение, найдем значения у. Ответ: (0;0);(1;0);(0;1);(2;1);(1;2);(2;2). 4. Метод остатков Пример 22. Решить в целых числах уравнение 3 7 2. m n = + Решение. 1. Если 0,\ 3 +2 k p то имеем единственный случай     = − = + 2 3 1. 2 3 7 k p k p Отсюда получаем 1= 2, p =k и 4.= 2, n =m Ответ: 4= 2, n =m или 3.= 0, n =m 5. Метод «спуска» а) конечного «спуска» Пример 23. Решить в целых числах уравнение 2 5 7 2 2.= y −x Решение. Так как 2 2x -- четное число, а 7 -- нечетное, то 2 5 y должно быть нечетным, т.е. у -- нечетное. Пусть Z∈1, z + 2z =y , тогда данное уравнение можно переписать в виде 10 10 6. 2 2 = z − z −x Отсюда видно, что x должно быть четным. Пусть 2m,=x тогда последнее уравнение примет вид 2 5 ( 1) 3, 2 = + z z −m что невозможно, так как число 1) --+z(z четно, а разность двух четных чисел не может быть равна нечетному числу. Таким образом, данное уравнение не имеет решений в целых числах. Ответ: нет решений. б) бесконечного «спуска» Пример 24. Решить в целых числах уравнение 2 5. 2 2 2 z= y −x Решение. Запишем уравнение в виде 2 5. 2 2 2 y= z −x Отсюда следует, что левая часть последнего уравнения кратна 5. Рассмотрим остатки при делении выражения 2 2 z−2x на 5. х 0 1 2 3 4 2 x 0 1 4 4 1 2 2x 0 2 3 3 2 Из таблицы видно, что для разрешимости в целых числах исходного уравнения числа x и z должны быть кратны 5. Предположим, что 5 , 1 x 5 ,=x 1 z=z тогда исходное уравнение (после сокращения на 5) примет вид 10 5. 2 1 2 2 1 z= y −x Отсюда следует, что значения у кратны 5, т.е. 5. 1 y=y Последнее уравнение (после сокращения на 5) примет тот же вид 2 5 , 2 1 2 1 2 1 z= y −x что и исходное уравнение. Из приведенных рассуждений следует, что числа x, y и z должны быть кратными 5, далее числа 1 1 1 x , y , z , т.е. , 5 x , 5 y 5 z также кратны 5. Итак, оказалось, что числа, удовлетворяющие исходному уравнению, должны делиться на 5, и сколько бы раз не делили эти числа, будем получать новые числа, которые также делятся на 5 и удовлетворяют уравнению. Единственное число, обладающее этим свойством, есть нуль. Следовательно, уравнение 2 2 2 z= 5y −2x имеет единственное решение в целых числах (0;0;0). Ответ: (0;0;0). 6. Метод от противного Пример 25. Доказать, что уравнение x y z 2xyz 2 2 2 = + + неразрешимо в натуральных числах. Решение. Предположим, что данное уравнение разрешимо в натуральных числах. Тогда так как его правая часть делится на 2, то и левая часть также должна делиться на 2. Это возможно, если либо одно из них четное, а два других нечетные, либо четные−x, y, z числа. Рассмотрим эти случаи. 10 1. Пусть, например, 2 , 1 x=x 1+ 2z1 = z + y1 =2 1, y. Подставляя эти числа в исходное уравнение, получим: = 2 + 4 1 + 4 + 4 + 4 +4 2 1 1 2 1 2 1 x y y z z x1=4 (2 1)(2 1).+ z1 +y1 После сокращения на 2, получаем =1 + 2 1 + 2 + 2 + 2 +2 2 1 1 2 1 2 1 x y y z z x1=2 (2 1)(2 1).+ z1 +y1 В последнем уравнении правая часть -- четное число, а левая -- нечетное число. Следовательно, решений нет. 2. Пусть четные числа, т.е.−x, y, z 1 1 2 1 z= 2y , z = 2x , y =x. Подставляя эти числа в исходное уравнение, получим: 1 1 1 2 1 2 1 2 4x y z.= z + y +x1 Применяя к полученному уравнению те же рассуждения, что и для исходного уравнения, находим 2 , 2 , 1 2 1 2 y= x y =x 1 2 2 z=z. Тогда 2 2 2 2 2 2 2 2 8x y z= z + y +x2 и т.д. На каждом шаге выполняется условие 1 1 2 1 2 , 2 , + k= k + k= k + k=k x x y y z z. В итоге получаем, например, для x бесконечную последовательность 0.\> \... \>1 + xk\> xk \> \... \> x2 \> x1 \>x Но эта последовательность натуральных чисел должна быть конечной. Получаем противоречие. Следовательно, исходное уравнение неразрешимо в натуральных числах. Замечание. В данном примере использован метод бесконечного спуска, заключающийся в построении алгоритма, приводящего к созданию бесконечной последовательности убывающих целых положительных чисел. Поскольку убывающая последовательность целых положительных чисел имеет лишь конечное число членов, то получается противоречие. 7. Параметризация уравнения Пример 26. Решите уравнение 2 3 3 3 в целых числах.= z + y +x b,+ a =Решение. Положим x b.− a =y Так как 2 6 , 3 3 3 2 ab+ a = y +x то исходное уравнение принимает вид 2 6 2. 3 2 3 = z + ab +a Положив 1,=a получим 6. 3 2 b− =z Считаем теперь 6. 3 t=b Отсюда 1 6 , 3 t 1 6 ,+ =x 3 t 6.− =y 2 t− =z Таким образом, получено бесконечное множество решений исходного уравнения, соответствующих целочисленным значениям параметра t. Ответ: 1 6 , 3 t 1 6 ,+ =x 3 t− =y 6 , 2 t− =z где Z.∈t 8. Функционально-графический метод Пример 27. (2010). Найдите все пары натуральных k и n таких, что n\ x =f x 2. , 1 ln ( ) 2 x x f x − ′ = поэтому 0≤(x) ′f при e≥x и 0≥(x) ′f при e.≤ x \