Cours Expression Littérale PDF

EXPRESSION LITTERALE – PRODUIRE, TRANSFORMER, TESTER Objectif 1 : Obtenir une expression littérale à partir d’une situation donnée Différentes expressions mathématiques...

EXPRESSION LITTERALE – PRODUIRE, TRANSFORMER, TESTER Objectif 1 : Obtenir une expression littérale à partir d’une situation donnée Différentes expressions mathématiques A = 2 × 𝑥 − 5 × (5 × 𝑦 − 2)² A = 2 − 5 × (5 − 2)² Expression littérale Expression numérique -> avec des lettres représentant des variables Expression littérale et géométrie Cette figure est composée d’un carré et d’un demi-cercle. Définition : Je dois calculer son périmètre. Dans une expression littérale, les lettres, appelées variables, peuvent représenter Comme la dimension du côté du carré m’est inconnue. n’importe quel nombre. Je vais l’appeler « 𝑐 » et je vais pouvoir donner l’expression Si une même lettre figure plusieurs fois littérale du périmètre 𝑃. dans la même expression, elle y 𝑃 =3×𝑐+ 𝜋×𝑐 représente le même nombre. Si le côté du carré est de 5 cm, le périmètre sera calculé en remplaçant tous les « c » par « 5 » dans l’expression. 𝑃 = 3 × 5 + 𝜋 × 5 = 15 + 3,14 × 5 = 30,7 Expression littérale et programme de calcul On appelle 𝑥 le nombre choisi. "𝑥" peut être n’importe quel nombre. Expression littérale et énoncé - choisir un nombre, Un bouquet est composé de tulipes et de roses. - prendre son double, Le prix d’une tulipe est de 50 centimes, le prix - ajouter cinq au résultat. d’une rose est de 1,50€. On sait que l’on a 5 tulipes dans un bouquet mais on ne connait pas On reconstruit pas à pas l’expression littérale : le nombre de roses. Donner le prix d’un bouquet en fonction du nombre de roses dans le bouquet. 𝐵 = 5 × 0,5 + 1,5 × 𝑥 Le résultat est la somme du produit de 2 par 𝑥 et de 5 𝑃 = 2×𝑥+5 Séquence 8 – 4eme Mme Prépin Page 1 sur 6  Objectif 2 : Expression littérale pour une valeur donnée Méthode : Pour obtenir la valeur numérique d’une expression littérale, il suffit de remplacer chaque variable par la valeur proposée. Ne pas oublier ensuite d’appliquer les règles de priorité des calculs. - Calculer l’expression A = 2 × 𝑎 + 9 lorsque 𝑎 = 2 - Calculer l’expression B = 3 × 𝑥 + 2 pour 𝑥 = −5 A=2×2+9 B = 3 × (−5) + 2 A=4+9 B = −15 + 2 A = 13 B = −13 - Calculer l’expression C = 2 × 𝑥 + 𝑦 − 3 lorsque 𝑥 = 3 et 𝑦 = −2 C = 2 × 3 + (−2) − 3 → priorité à la parenthèse C =2×3−2−3 → priorité à la multiplication C =6−2−3 → additionner les nombres de même signe C =6−5 C =1 Une égalité est constituée de deux membres séparés par un signe « = ». Tester une égalité, c’est vérifier si les deux membres ont la même valeur. L’égalité est alors dite vraie. Exemple 1 : On veut tester l’égalité −6 × 𝑥 = 3 × 𝑥 + 9 pour 𝑥 = −1. ▪ L’égalité est-elle vraie pour 𝑥 = −1 ? On remplace 𝑥 par −1 dans le membre de gauche : On remplace 𝑥 par −1 dans le membre de droite : A = −6 × (−1) B = 3 × (−1) + 9 A=6 B = −3 + 9 B=6 On conclut : Les résultats des deux membres sont identiques donc l’égalité −6 × 𝑥 = 3 × 𝑥 + 9 est vraie pour 𝑥 = −1. Exemple 2 : On veut tester l’égalité 3 × 𝑥 − 4 = 5 × 𝑥 − 8 pour 𝑥 = 6. ▪ L’égalité est-elle vraie pour 𝑥 = 6 ? On remplace 𝑥 par 6 dans le membre de gauche : On remplace 𝑥 par 6 dans le membre de droite : A=3×6−4 B= 5×6−8 A = 14 B = 30 − 8 B = 22 On conclut : 14 ≠ 22 Donc l’égalité 3 × 𝑥 − 4 = 5 × 𝑥 − 8 est fausse pour 𝑥 = 6. Séquence 8 – 4eme Mme Prépin Page 2 sur 6 Objectif 3 : Simplifier, réduire une expression littérale Exemples : Pour SIMPLIFIER l’écriture d’une expression littérale 5 × 𝑎 × 4 = 5 × 4 × 𝑎 = 20 𝑎 On peut supprimer le signe × lorsqu’il est placé : 𝑎×5=5𝑎 (et non 𝑎 5) 𝑘×𝑥 =𝑘𝑥 devant ou derrière une lettre 5 × (𝑠 + 1) = 5 (𝑠 + 1) devant ou derrière une parenthèse (𝑠 + 1) × 5 = 5 (𝑠 + 1) (et non (𝑠 + 1) 5 ) 𝑛 × (𝑛 + 1) = 𝑛 (𝑛 + 1) Remarque : on peut modifier l’ordre des facteurs (𝑦 − 3) × (𝑦 − 1) = (𝑦 − 3)(𝑦 − 1) Exemples : Pour REDUIRE une expression littérale Il faut regrouper les TERMES par famille. 𝐴 = 𝑥 2 − 4𝑥 + 2𝑥 2 + 7𝑥 + 6 + 3𝑥 + 8 La famille des 𝒙², 𝐴 = 𝑥 2 + 2𝑥 2 + 3𝑥 + 7𝑥 − 4𝑥 + 6 + 8 la famille des 𝒙 𝐴 = 3𝑥 2 + 6𝑥 + 14 et la famille des nombres. Un seul terme par famille. Et ensuite additionner les quantités de la même famille. Il ne restera plus qu’un terme par famille. 𝐵 = 3𝑡 − 5 + 6𝑦 − 7𝑡 + 2𝑦 − 𝑦 2 + 3 𝐵 = 3𝑡 − 7𝑡 − 5 + 3 + 6𝑦 + 2𝑦 − 𝑦 2 𝐵 = −4𝑡 − 2 + 8𝑦 − 𝑦 2 Un seul terme par famille. Rôle des nombres 𝟑𝑥 + 𝟕 3 : Coefficient 7 : Constante (facteur) (terme) Application : Simplifier et réduire 𝐶 =5×𝑥+3×𝑦−5+4×𝑥×3−𝑦×8 𝐷 = −21 − 4 × 𝑥 × 4 × 𝑥 + 13 × 𝑥 + 15 × 𝑥² 𝐶 = 5 𝑥 + 3 𝑦 − 5 + 12 𝑥 − 8 𝑦 𝐷 = −21 − 16 𝑥 2 + 13 𝑥 + 15 𝑥² 𝐶 = 5 𝑥 + 12 𝑥 + 3 𝑦 − 8 𝑦 − 5 𝐷 = −16 𝑥 2 + 15 𝑥² + 13 𝑥 − 21 𝐶 = 17 𝑥 − 5 𝑦 − 5 𝐷 = −𝑥 2 + 13 𝑥 − 21 Un seul terme par famille. Un seul terme par famille. 𝐸 = 7 × 𝑥 × 𝑥 − 8 × 𝑦 − 𝑥 2 × 7 − 44 + 𝑦 × 9 𝐸 = 7 𝑥 2 − 8 𝑦 − 7 𝑥 2 − 44 + 9 𝑦 𝐸 = 7 𝑥 2 − 7 𝑥 2 − 8 𝑦 + 9 𝑦 − 44 𝐸 = 𝑦 − 44 Un seul terme par famille. Séquence 8 – 4eme Mme Prépin Page 3 sur 6 Objectif 4 : Développer ou factoriser une expression littérale Une expression factorisée est une Une expression développée est une expression mathématique écrite sous expression mathématique écrite sous la forme d’un produit de facteurs. la forme d’une somme de termes. Exemples : A = 𝑘 × (𝑎 + 𝑏) Exemple : A = 𝑎 + 𝑏 𝑐 − 𝑑 Facteur 𝑘 et facteur (𝑎 + 𝑏) expression de trois termes B = 𝑘 × (𝑎 − 𝑏) terme + 𝑎 Facteur 𝑘 et facteur (𝑎 − 𝑏) terme + 𝑏 𝑐 C = (𝑎 + 𝑏) × (𝑐 + 𝑑) terme − 𝑑 Facteur (𝑎 + 𝑏) et facteur (𝑎 − 𝑏) Pour développer, on utilise la propriété de distributivité de la multiplication pour distribuer le facteur 𝒌 à chaque terme 𝑎 et à 𝑏 et obtenir une somme de termes. DEVELOPPER -> DISTRIBUER LE FACTEUR 𝒌 FACTORISER -> IDENTIFIER UN FACTEUR COMMUN 𝒌 𝑘𝑘(𝑎(𝑎++𝑏) 𝑏) = 𝑘𝑘𝑎𝑎++𝑘𝑘𝑏 𝑏 𝑘𝑎+𝑘𝑏 = 𝑘 (𝑎 + 𝑏) 𝑘......................... × (𝑎 + 𝑏) =........................ 𝑘×𝑎+𝑘×𝑏 𝑘×𝑎+𝑘×𝑏 = 𝑘 × (𝑎 + 𝑏) Mettre k en facteur et recopier le reste 𝑘𝑘(𝑎(𝑎−−𝑏) 𝑏) = = 𝑘𝑘𝑎𝑎−−𝑘𝑘𝑏 𝑏 𝑘𝑎−𝑘𝑏 = 𝑘 (𝑎 − 𝑏) 𝑘......................... × (𝑎 − 𝑏) =........................ 𝑘×𝑎−𝑘×𝑏 𝑘×𝑎−𝑘×𝑏 = 𝑘 × (𝑎 − 𝑏) Forme développée Forme factorisée Pour factoriser, faire apparaître le facteur commun de chacun des termes et le ressortir en le positionnant comme facteur à distribuer. Séquence 8 – 4eme Mme Prépin Page 4 sur 6 Exemples : Développer les expressions A = 3 (𝑥 + 𝑦) B = 5 𝑥 (2 𝑥 − 4) C = −2 (𝑦 + 7) D = −5 (𝑥 − 3) A=3× 𝑥+3×𝑦 B = 5 𝑥 × 2 𝑥 + 5 𝑥 × (−4) C = (−2) × 𝑦 + (−2) × 7 D = (−5) × 𝑥 + (−5) × (−3) A = 3𝑥 + 3𝑦 B = 10 𝑥 2 − 20 𝑥 C = −2 𝑦 − 14 D = −5 𝑥 + (+15) D = −5 𝑥 + 15 Exemples : Factoriser les expressions. Le facteur commun peut être : 1) Un nombre Exemples : 𝐴 = 3𝑥 + 12 𝐵 = 16 − 2𝑥 Somme du terme "3𝑥" et du terme "12" Différence du terme "16" et du terme "2𝑥" 𝐴=3×𝑥+3×4 𝐵 =2×8−2×𝑥 3 est le facteur commun aux deux termes 2 est le facteur commun aux deux termes 𝐴 = 3 × (𝑥 + 4) 𝐵 = 2 × (8 − 𝑥) Forme factorisée. Produit de 3 par (𝑥 + 4) Forme factorisée. Produit de 2 par (8 − 𝑥) 2) Une variable Exemples : 𝐶 = 2𝑥 + 3𝑥 𝐷 = 3𝑥 2 + 7𝑥 𝐶 =2×𝑥+3×𝑥 𝑥 est le facteur commun de chaque terme 𝐶 = 𝑥 × (2 + 3) 𝐷 =3×𝑥×𝑥+7×𝑥 𝐶 = 5𝑥 terme 1 terme 2 Ici, factoriser revient à compter les termes en 𝐷 = 𝑥 × (3𝑥 + 7) «x» Forme factorisée de D. Exemples : 𝐸 = 4𝑥𝑦 − 4𝑦 2 𝐹 = 5𝑥 2 − 𝑥 𝑦 est le facteur commun de chaque terme 𝑥 est le facteur commun de chaque terme 𝐸 =4×𝑥×𝑦−4×𝑦×𝑦 𝐹 = 5𝑥 × 𝑥 − 𝑥 × 1 terme 1 terme 2 terme 1 terme 2 𝐸 = 4𝑦 × (𝑥 − 𝑦) 𝐹 = 𝑥 × (5𝑥 − 1) Forme factorisée de E. Forme factorisée de F. L’intérêt de factoriser ou de développer est, selon les situations de simplifier les calculs ou de mener plus facilement des calculs mentaux. Exemples : intérêt pour « développer » Exemples : intérêt pour « factoriser » A = 12 × 110 B = 25 × 990 C = 137 × 5,62 + 137 × 4,38 D = 125 × 8 – 125 × 7,99 A = 12 (10 + 100) B = 25 (1000 – 10) C = 137 (5,62 + 4,38) D = 125 (8 – 7,99) A = 12 × 10 + 12 × 100 B = 25 × 1000 – 25 × 10 C = 137 × 10 D = 125 × 0,01 A = 120 + 1200 B = 25 000 – 250 C = 1370 D = 1,25 A = 1320 B = 24 750 Séquence 8 – 4eme Mme Prépin Page 5 sur 6  Simplifier 𝑨 = −(−𝟗 × 𝒙 + 𝟕) Expression littérale avec des parenthèses Méthode 1 Lorsqu'une parenthèse est précédée d'un signe +, On met en évidence le facteur (−𝟏) que l'on distribue à chaque terme on peut utiliser la distributivité en distribuant le dans les parenthèses. facteur (+1), l’expression ne change pas. 𝐴 = −(−9 × 𝑥 + 7) Lorsqu'une parenthèse est précédée d'un signe −, = (−1) × (−9 × 𝑥 + 7) on peut utiliser la distributivité en distribuant le = (−1) × (−9 × 𝑥) + (−1) × 7 facteur (−1), tous les signes des ternes changent. = (+9 × 𝑥) + (−7) =9𝑥−7 Méthode 2 Propriété : Soustraire une expression c’est Observer les termes de l’expression dans additionner l’opposé de chaque terme de les parenthèses l’expression. −𝟗 × 𝒙 et 𝟕 Prendre l’opposé de chaque terme – (𝒂 + 𝒃) = +(−𝒂) + (−𝒃) = −𝒂 − 𝒃 𝑨 = −(−𝟗 × 𝒙 + 𝟕) – (𝒂 − 𝒃) = +(−𝒂) + (+𝒃) = −𝒂 + 𝒃 𝐴 = +(+9 × 𝑥) + (−7) – (−𝒂 − 𝒃) = +(+𝒂) + (+𝒃) = +𝒂 + 𝒃 𝐴 = 9𝑥 − 7 Application : Réduire et simplifier 𝑨 = 𝟐𝒙 + 𝟓 + (𝟑𝒙 − 𝟕) 𝐴 = 2𝑥 + 5 + (+3𝑥) + (−7) 𝐴 = 2𝑥 + 5 + 3𝑥 − 7 𝐴 = 5𝑥 − 2 B = −(𝟖𝒙 + 𝟐) C = −(−𝟕𝒙 + 𝟑) 𝑫 = −(𝟗𝒙 − 𝟒) E = −(−𝟏𝟏𝒙 − 𝟓) B = −(+8𝑥 + 2) Addition de l’opposé D = −(+9𝑥 − 4) Addition de l’opposé Addition de l’opposé C = +(+7𝑥) + (−3) Addition de l’opposé E = +(+11𝑥) + (+5) B = +(−8𝑥) + (−2) C = 7𝑥 − 3 D = +(−9𝑥) + (+4) E = 11𝑥 + 5 B = −8𝑥 − 2 D = −9𝑥 + 4 F = 𝟕𝒙 + 𝟒 − (𝟑𝒙 − 𝟐) 𝑮 = 𝟓𝒙𝟐 − (𝟑𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 − 𝟒) − 𝟏𝟎 F = 7𝑥 + 4 − (+3𝑥 − 2) 𝐺 = 5𝑥 2 − (+3𝑥 2 + 7𝑥 − 4) − 10 Addition de l’opposé Addition de l’opposé F = 7𝑥 + 4 + (− 3𝑥) + (+2) 𝐺 = 5𝑥 2 + (−3𝑥 2 ) + (−7𝑥) + (+4) − 10 F = 7𝑥 + 4 − 3𝑥 + 2 𝐺 = 5𝑥 2 − 3𝑥 2 − 7𝑥 + 4 − 10 F = 7𝑥 − 3𝑥 + 4 + 2 = 4𝑥 + 6 𝐺 = 2𝑥² − 7𝑥 − 6 Séquence 8 – 4eme Mme Prépin Page 6 sur 6