QCM de Mathématiques - Lille - Partie 2 - PDF

Exo7 Année 2020 QCM DE MATHÉMATIQUES - LILLE - PARTIE 2 Répondre en cochant la ou les cases correspondant à des assertions vraies (et seulem...

Exo7 Année 2020 QCM DE MATHÉMATIQUES - LILLE - PARTIE 2 Répondre en cochant la ou les cases correspondant à des assertions vraies (et seulement celles-ci). Ces questions ont été écrites par Abdellah Hanani et Mohamed Mzari de l’université de Lille. Ce travail a été effectué en 2019 dans le cadre d’un projet Liscinum porté par l’université de Lille et Unisciel. Ce document est diffusé sous la licence Creative Commons – BY-NC-SA – 4.0 FR. Sur le site Exo7 vous pouvez récupérer les fichiers sources. 1 Table des matières I Algèbre 4 1 Systèmes d’équations linéaires 4 1.1 Systèmes d’équations linéaires | Niveau 1...................... 4 1.2 Systèmes d’équations linéaires | Niveau 2...................... 6 1.3 Systèmes d’équations linéaires | Niveau 3...................... 7 1.4 Systèmes d’équations linéaires | Niveau 4...................... 12 2 Espaces vectoriels 14 2.1 Espaces vectoriels | Niveau 1.............................. 14 2.2 Espaces vectoriels | Niveau 2.............................. 15 2.3 Espaces vectoriels | Niveau 3.............................. 16 2.4 Espaces vectoriels | Niveau 4.............................. 17 2.5 Base et dimension | Niveau 1.............................. 20 2.6 Base et dimension | Niveau 2.............................. 20 2.7 Base et dimension | Niveau 3.............................. 22 2.8 Base et dimension | Niveau 4.............................. 25 2.9 Espaces vectoriels supplémentaires | Niveau 1................... 25 2.10 Espaces vectoriels supplémentaires | Niveau 2................... 26 2.11 Espaces vectoriels supplémentaires | Niveau 3................... 27 3 Applications linéaires 28 3.1 Applications linéaires | Niveau 1............................ 28 3.2 Applications linéaires | Niveau 2............................ 29 3.3 Applications linéaires | Niveau 3............................ 30 3.4 Applications linéaires | Niveau 4............................ 31 3.5 Noyau et image | Niveau 1............................... 31 3.6 Noyau et image | Niveau 2............................... 32 3.7 Noyau et image | Niveau 3............................... 33 3.8 Noyau et image | Niveau 4............................... 35 4 Calcul matriciel 37 4.1 Calcul matriciel | Niveau 1............................... 37 4.2 Calcul matriciel | Niveau 2............................... 39 4.3 Calcul matriciel | Niveau 3............................... 41 4.4 Calcul matriciel | Niveau 4............................... 42 4.5 Inverse d’une matrice | Niveau 1........................... 44 4.6 Inverse d’une matrice | Niveau 2........................... 44 4.7 Inverse d’une matrice | Niveau 3........................... 45 4.8 Inverse d’une matrice | Niveau 4........................... 47 5 Applications linéaires et matrices 48 5.1 Matrice d’une application linéaire | Niveau 1.................... 48 5.2 Matrice d’une application linéaire | Niveau 2.................... 51 5.3 Matrice d’une application linéaire | Niveau 3.................... 54 5.4 Matrice d’une application linéaire | Niveau 4.................... 58 2 II Analyse 62 6 Primitives des fonctions réelles 62 6.1 Primitives | Niveau 1................................... 62 6.2 Primitives | Niveau 2................................... 65 6.3 Primitives | Niveau 3................................... 69 6.4 Primitives | Niveau 4................................... 73 7 Calculs d’intégrales 77 7.1 Calculs d’intégrales | Niveau 1............................. 77 7.2 Calculs d’intégrales | Niveau 2............................. 79 7.3 Calculs d’intégrales | Niveau 3............................. 81 7.4 Calculs d’intégrales | Niveau 4............................. 87 8 Développements limités 89 8.1 Opérations sur les DL | Niveau 1............................ 89 8.2 Opérations sur les DL | Niveau 2............................ 91 8.3 Opérations sur les DL | Niveau 3............................ 92 8.4 Opérations sur les DL | Niveau 4............................ 96 8.5 Applications des DL | Niveau 1............................. 97 8.6 Applications des DL | Niveau 2............................. 98 8.7 Applications des DL | Niveau 3............................. 100 8.8 Applications des DL | Niveau 4............................. 101 9 Equations différentielles 103 9.1 Equations du premier ordre | Niveau 1........................ 103 9.2 Equations du premier ordre | Niveau 2........................ 104 9.3 Equations du premier ordre | Niveau 3........................ 105 9.4 Equations du premier ordre | Niveau 4........................ 106 9.5 Equations du second ordre | Niveau 1........................ 108 9.6 Equations du second ordre | Niveau 2........................ 109 9.7 Equations du second ordre | Niveau 3........................ 110 9.8 Equations du second ordre | Niveau 4........................ 112 10 Courbes paramétrées 112 10.1 Courbes paramétrées | Niveau 1............................ 112 10.2 Courbes paramétrées | Niveau 2............................ 113 10.3 Courbes paramétrées | Niveau 3............................ 114 10.4 Courbes paramétrées | Niveau 4............................ 115 3 Première partie Algèbre Systèmes d’équations linéaires Abdellah Hanani, Mohamed Mzari 1 Systèmes d’équations linéaires 1.1 Systèmes d’équations linéaires | Niveau 1 Question 1 On considère le système d’équations, d’inconnue (x, y, z) ∈ R3 :   x − y +z = 0 (S) x − y −z = 0  3x + 2 y + z = 0. Quelles sont les assertions vraies ?   x − y +z = 0 ƒ (S) ⇔ 5 y − 2z = 0  z = 0. ƒ (S) admet une infinité de solutions. ƒ (S) n’admet pas de solution. ƒ (S) admet une unique solution. Question 2 On considère le système d’équations, d’inconnue (x, y, z) ∈ R3 :   x + 2y + z = 0 (S) −x + z = 0  x + y = 0. Quelles sont les assertions vraies ? y = −x § ƒ (S) ⇔ z = x. ƒ L’ensemble des solutions de (S) est une droite. ƒ (S) n’admet pas de solution. ƒ (S) admet une unique solution. 4 Question 3 On considère le système d’équations, d’inconnue (x, y, z) ∈ R3 :   x − y + 2z = 1 (S) −2x + 2 y − 4z = −2  3x − 3 y + 6z = 3. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ (S) ⇔ x − y + 2z = 1. ƒ L’ensemble des solutions de (S) est un plan. ƒ (S) n’admet pas de solution. ƒ (S) admet une unique solution. Question 4 On considère le système d’équations, d’inconnue (x, y, z) ∈ R3 :   x + y −z = 2 (S) −x + y + z = 0  2x + z = −1. Quelles sont les assertions vraies ?   x + y −z = 2 ƒ (S) ⇔ y = 1  z = −1. ƒ (S) admet une infinité de solutions. ƒ (S) n’admet pas de solution. ƒ (S) admet une unique solution. Question 5 On considère le système d’équations, d’inconnue (x, y, z) ∈ R3 :   x − y +z = 1 (S) 2x − 3 y + 4z = 1  y + z = 1. Quelles sont les assertions vraies ?   x − y +z = 1 ƒ (S) ⇔ y − 2z = 1  z = 0. 5  ƒ Les équations de (S) sont celles de trois plans. ƒ (S) admet une unique solution. ƒ (S) n’admet pas de solution. Question 6 On considère le système d’équations, d’inconnue (x, y, z) ∈ R3 :   x − y +z = 1 (S) 2x − 3 y + 4z = 1  x − 2 y + 3z = 1. Quelles sont les assertions vraies ? x − y +z = 1 § ƒ (S) ⇔ y − 2z = 1. ƒ (S) admet une infinité de solutions. ƒ (S) admet une unique solution. ƒ (S) n’admet pas de solution. 1.2 Systèmes d’équations linéaires | Niveau 2 Question 7 On considère le système d’équations, d’inconnue (x, y, z) ∈ R3 :   x + y +z = 1 (S) xy +z = 0  x − y = −1. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ (S) est un système d’équations linéaires.   z = −2x ƒ (S) ⇔ y = 1+ x  xy +z = 0. ƒ (S) admet une unique solution. ƒ (S) admet deux solutions distinctes. Question 8 On considère le système d’équations, d’inconnue (x, y, z) ∈ R3 : x + y +z = 1   2x + y − z = −1  (S)  3x + y − 3z = −3 x − 2z = −2.  Quelles sont les assertions vraies ? 6  x + y +z = 1 § ƒ (S) ⇔ y + 3z = 3. ƒ L’ensemble des solutions de (S) est une droite. ƒ (S) n’admet pas de solution. ƒ (S) admet une unique solution. 1.3 Systèmes d’équations linéaires | Niveau 3 Question 9 On considère le système d’équations, d’inconnue (x, y, z, t) ∈ R4 et de paramètres des réels a, b, c et d : x+y = a   y +z = b  (S)  z+t = c t + x = d.  Quelles sont les assertions vraies ?   x+y = a ƒ (S) ⇔ y +z = b  z + t = c. ƒ (S) admet une solution si et seulement si a + c = b + d. ƒ (S) admet une solution si et seulement si a + b = c + d. ƒ Le rang de (S) est 3. Question 10 On considère le système d’équations, d’inconnue (x, y, z) ∈ R3 et de paramètres des réels non nuls et distincts a, b et c :   ax + a y + bz = b (S) bx + b y + cz = c  c x + c y + az = a. Quelles sont les assertions vraies ?   ax + a y + bz = b ƒ (S) ⇔ (ac − b )z = ac − b2 2  (a2 − bc)z = a2 − bc. ƒ (S) n’admet pas de solution. ƒ (S) admet une solution si et seulement si a2 6= bc. ƒ (S) admet une infinité de solutions. 7 Question 11 On considère le système d’équations, d’inconnue (x, y, z) ∈ R3 et de paramètre un réel m :   x + y + z = −1 (S) x + 2 y + 3z = 1  2x + 3 y + 4z = m. Quelles sont les assertions vraies ? x + y + z = −1 § ƒ (S) ⇔ y + 2z = m. ƒ Pour tout réel m, (S) admet une solution. ƒ Si m = 1, (S) n’admet pas de solution. ƒ Si m = 0, l’ensemble des solutions de (S) est une droite. Question 12 On considère le système d’équations, d’inconnue (x, y, z) ∈ R3 et de paramètre un réel m :   x − y −z = 1 (S) −x + 2 y − mz = −3  2x − y + (m − 1)z = 2m + 2. Quelles sont les assertions vraies ?   x − y −z = 1 ƒ (S) ⇔ y − (m + 1)z = −2  (m + 1)z = m + 1. ƒ Pour tout réel m, (S) admet une infinité de solutions. ƒ Si m = −1, (S) n’admet pas de solution. ƒ Si m 6= −1, (S) admet une unique solution. Question 13 On considère le système d’équations, d’inconnue (x, y, z, t) ∈ R4 et de paramètres des réels a et m : x −z− t = 0    −x + y + z = a   (S) 2x + y − z = m    x − mz − t = a x + y + t = m.  Quelles sont les assertions vraies ? x −z− t =   0 y−t = a  ƒ (S) ⇔ z + 3t = m − a  (1 − m)z =  a. 8  ƒ Si m = 1 et a = 0, (S) admet une unique solution. ƒ Si m 6= 1 et a un réel quelconque, (S) admet une unique solution. 6 1 et a 6= 0, (S) admet une infinité de solutions. ƒ Si m = Question 14 On considère le système d’équations, d’inconnue (x, y, z) ∈ R3 et de paramètre un réel m :   x + y + mz = 1 (S) x + my + z = 1  mx + y + z = 1. Quelles sont les assertions vraies ?   x + y + mz = 1 ƒ (S) ⇔ (m − 1) y + (1 − m)z = 0  (1 − m)z = 1 − m. ƒ Si m = 1, (S) admet une infinité de solutions. ƒ Si m = −2, (S) n’admet pas de solution. 6 1, (S) admet une unique solution. ƒ Si m = Question 15 On considère le système d’équations, d’inconnue (x, y, z, t) ∈ R4 et de paramètre un réel m: x + y + z + mt = 1   x + y + mz + t = 1  (S)  x + my + z + t = 1 mx + y + z + t = 1.  Quelles sont les assertions vraies ? x + y + z + mt =   1 (m − 1) y + (1 − m)t = 0  ƒ (S) ⇔ (m − 1)z + (1 − m)t = 0  (1 − m)(3 + m)t = 1 − m.  ƒ Si m = 1, (S) admet une infinité de solutions. ƒ Si m = −3, (S) admet une unique solution. ƒ Si m 6= 1, (S) admet une unique solution. Question 16 On considère le système d’équations, d’inconnue (x, y, z) ∈ R3 et de paramètres des réels a, b et c :   x + a y + a2 z = 0 (S) x + b y + b2 z = 0  x + c y + c 2 z = 0. Quelles sont les assertions vraies ? 9    x + a y + a2 z = 0 ƒ (S) ⇔ (b − a) y + (b2 − a2 )z = 0  (c − a) y + (c 2 − a2 )z = 0. ƒ Si a, b et c sont des réels deux à deux distincts, (S) admet une infinité de solutions. ƒ Si a = b et a 6= c, (S) admet une unique solution. ƒ b = c et a 6= c, (S) n’admet pas de solution. Question 17 On considère le système d’équations, d’inconnue (x, y, z, t) ∈ R4 et de paramètres des réels m et a : x + y + z + mt = 1   x + y + mz + t = a  (S)  x + m y + z + t = a2 mx + y + z + t = a3.  Quelles sont les assertions vraies ? x + y + z + mt =   1 (m − 1) y + (1 − m)t = 2 a −1  ƒ (S) ⇔ (m − 1)z + (1 − m)t = a−1  (1 − m)(3 + m)t = a + a + a − m − 2. 3 2  ƒ Si m = 1, (S) admet une infinité de solutions. ƒ Si m 6= 1, (S) admet une unique solution. ƒ Si m = −3 et a 6= −1, (S) n’admet pas de solution. Question 18 On considère le système d’équations, d’inconnue (x, y, z) ∈ R3 et de paramètres des réels a et m : 2x + y − z =   2 x − y +z = 4  (S)  3x + 3 y − z = 4m mx − y + z = 2a + 2.  Quelles sont les assertions vraies ? x − y +z =   4 y −z = −2  ƒ (S) ⇔ z = 2m  0 = m − a.  ƒ Si m = 1 et a = −1, (S) admet une unique solution. ƒ Si m = a, (S) admet une infinité de solutions. 6 a, (S) n’admet pas de solution. ƒ Si m = 10 Question 19 Soit (S) un système à 3 équations linéaires et 2 inconnues et (SH ) le système homogène associé. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ (SH ) admet au moins une solution. ƒ (S) admet au moins une solution. ƒ Si X 1 et X 2 sont des solutions de (S), alors X 1 + X 2 est une solution de (S). ƒ (S) admet une infinité de solutions si et seulement si les équations de (S) sont celles de trois droites confondues. Question 20 Soit (S) un système à 3 équations linéaires et 3 inconnues et (SH ) le système homogène associé. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ (SH ) admet une infinité de solutions. ƒ (S) admet une unique solution. ƒ Si X 1 et X 2 sont des solutions de (S), alors X 1 − X 2 est une solution de (SH ). ƒ (S) admet une infinité de solutions si et seulement si les équations de (S) sont celles de 3 plans confondus. Question 21 Soit (S) un système d’équations linéaires et (S E ) un système échelonné obtenu par la mé- thode de résolution du pivot de Gauss. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ (S) admet une infinité de solutions si et seulement si toute équation de (SE ) dont le premier membre est nul a aussi son second membre nul. ƒ (S) n’admet pas de solution si et seulement s’il existe une équation de (SE ) ayant un premier membre nul et un second membre non nul. ƒ (S) admet une unique solution si et seulement si le nombre d’équations de (SE ) dont le premier membre est non nul est égal au nombre d’inconnues. ƒ Si le nombre d’équations de (SE ) dont le premier membre est non nul est strictement inférieur au nombre d’inconnues et les équations ayant un premier membre nul ad- mettent aussi le second membre nul, alors (S) admet une infinité de solutions. Question 22 Soit (S) un système à 4 équations et 3 inconnues, (S E ) un système échelonné obtenu par la méthode de résolution du pivot de Gauss et r le rang du système (S), c.à.d le nombre d’équations de (S E ) ayant un premier membre non nul. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ Si r = 1, alors (S) admet une infinité de solutions. ƒ Si r = 2 et les équations ayant un premier membre nul admettent aussi le second membre nul, alors (S) admet une infinité de solutions. 11  ƒ Si r = 3 et l’équation ayant un premier membre nul admet aussi le second membre nul, alors (S) admet une unique solution. ƒ Si r = 3, alors (S) admet une unique solution. Question 23 Soit P un polynôme à coefficients réels de degré ¶ 3 vérifiant les conditions : P(1) = 1, P(0) = 1, P(−1) = −1 et P 0 (1) = 3. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ Un tel polynôme P n’existe pas. ƒ Il existe une infinité de polynômes P vérifiant ces conditions. ƒ Il existe un unique polynôme P vérifiant ces conditions. ƒ Si P est un polynôme qui vérifie ces conditions, alors P(2) = 2. 1.4 Systèmes d’équations linéaires | Niveau 4 Question 24 On considère le système d’équations, d’inconnue (x 1 , x 2 ,... , x n ) ∈ Rn , n ¾ 2 : x 1 + x 2 + · · · + x n−2 + x n−1 + ax n = 1    x 1 + x 2 + · · · + x n−2 + ax n−1 + x n = 1    (S) x 1 + x 2 + · · · + ax n−2 + x n−1 + x n = 1 ......   ... ax 1 + x 2 + · · · + x n−2 + x n−1 + x n = 1,  où a est un paramètre réel. Quelles sont les assertions vraies ?   x 1 + x 2 + · · · + x n−2 + x n−1 + ax n  = 1 (a − 1)[x n−1 − x n ] = 0    (a − 1)[x n−2 − x n ] =   0 ƒ (S) ⇔......  ... (a − 1)[x − x ] = 0     2 n  (1 − a)[x + · · · + x 2 n−2 + x n−1 + (1 + a)x n ] = 1 − a. ƒ Si a = 1, (S) admet une infinité de solutions. ƒ Si a 6= 1, (S) admet une unique solution. ƒ a = 1 − n, (S) n’admet pas de solution. Question 25 On considère le système d’équations, d’inconnue (x 1 , x 2 ,... , x n ) ∈ Rn , n ¾ 2 : et de para- 12 mètre des réels a, b : x1 + x2 + x3 +... · · · + x n =   1 1 + bx 2 + bx 3 + · · · + bx n =     ax 1 (S) ax 1 + ax 2 + bx 3 + · · · + bx n = 1 ......   ... ax 1 + · · · + ax n−1 + bx n = 1,  où a et b sont des paramètre réels. Quelles sont les assertions vraies ? x1 + x2 + x3 + · · · + x n =   1 (b + + + ] =     − a)[x 2 x 3 · · · x n 1 − a ƒ (S) ⇔ (b − a)[x 3 + · · · + x n ] = 1 − a ......   ... (b − a)x n = 1 − a.  ƒ Si a = b, (S) admet une infinité de solutions. ƒ Si a 6= b, (S) n’admet pas de solution. ƒ (S) admet une infinité de solutions si et seulement si a = b = 1. Question 26 Soit P un polynôme à coefficients réels de degré ¶ 11 vérifiant les conditions : P(1) = 1!, P 0 (1) = 2!, P 00 (1) = 3!,... , P (10) (1) = 11!. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ Un tel polynôme P n’existe pas. ƒ Il existe une infnité de polynômes P vérifiant ces conditions. ƒ Il existe un unique polynôme P vérifiant ces conditions. ƒ Si P est un polynôme qui vérifie ces conditions, alors P(X ) = 1 + 2(X − 1) + 3(X − 1)2 + · · · + 11(X − 1)10 + 12(X − 1)11. yste Espaces vectoriels Abdellah Hanani, Mohamed Mzari 13 2 Espaces vectoriels 2.1 Espaces vectoriels | Niveau 1 Question 27 Soit E = {(x, y) ∈ R2 ; x + y = 1}, muni des opérations usuelles. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ E est un espace vectoriel, car E est un sous-ensemble de l’espace vectoriel R2. ƒ E n’est pas un espace vectoriel, car (0, 0) ∈ / E. ƒ E n’est pas un espace vectoriel, car (1, 0) ∈ E, mais (−1, 0) ∈ / E. ƒ E n’est pas un espace vectoriel, car (1, 0) ∈ E et (0, 1) ∈ E, mais (1, 1) ∈ / E. Question 28 Soit E = {(x, y, z) ∈ R3 ; x − y + z = 0}, muni des opérations usuelles. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ (0, 0, 0) ∈ E. ƒ E n’est pas stable par addition. ƒ E est stable par multiplication par un scalaire. ƒ E est un espace vectoriel. Question 29 Soit E = {(x, y) ∈ R2 ; x − y ¾ 0}, muni des opérations usuelles. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ E est non vide. ƒ E est stable par addition. ƒ E est stable par multiplication par un scalaire. ƒ E est un sous-espace vectoriel de R2. Question 30 Soit E = {(x, y, z) ∈ R3 ; x − y + z = x + y − 3z = 0}, muni des opérations usuelles. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ E est non vide. ƒ E n’est pas stable par addition. ƒ E est un espace vectoriel. ƒ E = {(x, 2x, x) ; x ∈ R}. 14 2.2 Espaces vectoriels | Niveau 2 Question 31 Soit E = {(x, y, z) ∈ R3 ; x y + xz + yz = 0}, muni des opérations usuelles. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ (0, 0, 0) ∈ E. ƒ E n’est pas stable par addition. ƒ E est stable par multiplication par un scalaire. ƒ E est un sous-espace vectoriel de R3. Question 32 Soit E = {(x, y, z) ∈ R3 ; (x + y)(x + z) = 0}, muni des opérations usuelles. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ E = {(x, y, z) ∈ R3 ; x + y = x + z = 0}. ƒ E = {(x, y, z) ∈ R3 ; x + y = 0} ∩ {(x, y, z) ∈ R3 ; x + z = 0}. ƒ E = {(x, y, z) ∈ R3 ; x + y = 0} ∪ {(x, y, z) ∈ R3 ; x + z = 0}. ƒ E n’est pas un espace vectoriel, car E n’est pas stable par addition. Question 33 Soit E = {(x, y) ∈ R2 ; e x e y = 0}, muni des opérations usuelles. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ E = {(x, y) ∈ R2 ; x = y}. ƒ E = {(x, y) ∈ R2 ; x = − y}. ƒ E = {(0, 0)}. ƒ E n’est pas un espace vectoriel. Question 34 Soit E = {(x, y) ∈ R2 ; e x e y = 1}, muni des opérations usuelles. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ E = {(x, y) ∈ R2 ; x = y}. ƒ E = {(x, y) ∈ R2 ; x = − y}. ƒ E est vide. ƒ E est un espace vectoriel. Question 35 Soit E = {(x, y) ∈ R2 ; e x −e y = 0}, muni des opérations usuelles. Quelles sont les assertions vraies ? 15  ƒ E = {(0, 0)}. ƒ E = {(x, y) ∈ R2 ; x = y ¾ 0}. ƒ E = {(x, x) ; x ∈ R}. ƒ E est un espace vectoriel. Question 36 Soit E un espace vectoriel. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ L’intersection de deux sous-espaces vectoriels de E peut être vide. ƒ Si F est un sous-espace vectoriel de E, alors F contient toute combinaison linéaire d’éléments de E. ƒ Il existe un sous-espace vectoriel de E qui contient un seul élément. ƒ Si F est un sous-ensemble non vide de E qui contient toute combinaison linéaire de deux vecteurs de F , alors F est un sous-espace vectoriel de E. Question 37 Soit E un R-espace vectoriel non nul et F et G deux sous-espaces vectoriels de E tels que F * G et G * F. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ F + G = {x + y ; x ∈ F et y ∈ G} est un sous-espace vectoriel de E. ƒ F ∩ G est sous-espace vectoriel de E. ƒ F ∪ G est sous-espace vectoriel de E. ƒ F × G = {(x, y) ; x ∈ F et y ∈ G} est un sous-espace vectoriel de E × E. Question 38 Quelles sont les assertions vraies ? ƒ Les sous-espaces vectoriels de R2 sont les droites vectorielles. ƒ Les sous-espaces vectoriels non nuls de R2 sont les droites vectorielles et R2. ƒ Les sous-espaces vectoriels de R3 sont les plans vectoriels. ƒ Les sous-espaces vectoriels non nuls de R3 qui sont strictement inclus dans R3 sont les droites vectorielles et les plans vectoriels. 2.3 Espaces vectoriels | Niveau 3 Question 39 Soit R2 [X ] l’espace des polynômes à coefficients réels, de degré inférieur ou égal à 2, muni des opérations usuelles et E = {P ∈ R2 [X ] ; P(1) = 1}. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ E est vide. 16  ƒ E est stable par addition. ƒ E n’est pas stable par multiplication par un scalaire. ƒ E n’est pas un espace vectoriel. Question 40 Soit n un entier ¾ 1 et E = {P ∈ R[X ] ; deg P = n}, muni des opérations usuelles. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ 0 ∈ E. ƒ E est stable par addition. ƒ E est stable par multiplication par un scalaire. ƒ E n’est pas un espace vectoriel. Question 41 Soit n un entier ¾ 1 et E = {P ∈ R[X ] ; deg P < n}, muni des opérations usuelles. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ / E. 0∈ ƒ E est stable par addition. ƒ E est stable par multiplication par un scalaire. ƒ E n’est pas un espace vectoriel. 2.4 Espaces vectoriels | Niveau 4 Question 42 Soit E = { f : R → R ; f est croissante sur R}. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ La fonction nulle appartient à E. ƒ E est stable par addition. ƒ E est stable par multiplication par un scalaire. ƒ E est un espace vectoriel. Question 43 Soit E = { f : R → R ; f est bornée sur R}. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ La fonction nulle n’appartient pas à E. ƒ E est stable par addition. ƒ E est stable par multiplication par un scalaire. ƒ E n’est pas un espace vectoriel. 17 Question 44 Soit E = { f : R → R ; f est dérivable sur R et f 0 (1) = 1}. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ La fonction nulle n’appartient pas à E. ƒ E est stable par addition. ƒ E est stable par multiplication par un scalaire. ƒ E n’est pas un espace vectoriel. Question 45 Soit F = { f : R → R ; f est dérivable sur R et f 0 (1) = 0}. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ La fonction nulle appartient à E. ƒ E est stable par addition. ƒ E est stable par multiplication par un scalaire. ƒ E n’est pas un espace vectoriel. Question¨46 1 Z « Soit E = f : [0, 1] → R ; f est continue sur [0, 1] et f (t) d t = 1. Quelles sont les as- 0 sertions vraies ? ƒ La fonction nulle appartient à E. ƒ E est stable par addition. ƒ E est stable par multiplication par un scalaire. ƒ E n’est pas un espace vectoriel. Question¨47 1 Z « Soit E = f : [0, 1] → R ; f est continue sur [0, 1] et f (t) d t = 0. Quelles sont les as- 0 sertions vraies ? ƒ La fonction nulle appartient à E. ƒ E est stable par addition. ƒ E n’est pas stable par multiplication par un scalaire. ƒ E est un espace vectoriel. 18 Question 48 On considère E = (R∗ )2 muni de l’addition et la multiplication par un réel suivantes : (x, y) + (x 0 , y 0 ) = (x x 0 , y y 0 ) et λ.(x, y) = (λx, λ y). Quelles sont les assertions vraies ? ƒ E est stable par multiplication par un scalaire. ƒ L’élément neutre pour l’addition est (0, 0). 1 1  ‹ ƒ L’inverse, pour l’addition, de (x, y) est ,. x y ƒ E est un R-espace vectoriel. Question 49 On considère R2 muni de l’addition et la multiplication par un réel suivantes : (x, y) + (x 0 , y 0 ) = (x + y 0 , x 0 + y) et λ.(x, y) = (λx, λ y). Quelles sont les assertions vraies ? ƒ E est stable par addition et par multiplication par un scalaire. ƒ L’addition est commutative. ƒ L’élément neutre pour l’addition est (0, 0). ƒ E est un R-espace vectoriel. Question 50 On considère R2 muni de l’addition et la multiplication par un réel suivantes : (x, y) + (x 0 , y 0 ) = (x + x 0 , y + y 0 ) et λ.(x, y) = (λx, y). Quelles sont les assertions vraies ? ƒ E est stable par addition et multiplication par un scalaire. ƒ L’élément neutre pour l’addition est (0, 0). ƒ La multiplication par un scalaire est distributive par rapport à l’addition. ƒ E est un R-espace vectoriel. Question 51 On considère R2 muni de l’addition et la multiplication par un réel suivantes : (x, y) + (x 0 , y 0 ) = (x + x 0 , y + y 0 ) et λ.(x, y) = (λ2 x, λ2 y). Quelles sont les assertions vraies ? ƒ L’élément neutre pour l’addition est (0, 0). ƒ La multiplication par un scalaire est distributive par rapport à l’addition. ƒ L’addition dans R est distributive par rapport à la multiplication définie ci-dessus. ƒ E est un R-espace vectoriel. 19 2.5 Base et dimension | Niveau 1 Question 52 Dans R3 , on considère les vecteurs u1 = (1, 1, 0), u2 = (0, 1, −1) et u3 = (−1, 0, −1). Quelles sont les assertions vraies ? ƒ {u1 , u2 , u3 } est une famille libre. ƒ {u1 , u2 , u3 } est une famille génératrice de R3. ƒ u3 est une combinaison linéaire de u1 et u2. ƒ {u1 , u2 , u3 } est une base de R3. Question 53 Dans R3 , on considère les vecteurs u1 = (1, 1, 1), u2 = (0, 1, 1) et u3 = (−1, 1, 0). Quelles sont les assertions vraies ? ƒ {u1 , u2 , u3 } est une famille libre. ƒ {u1 , u2 , u3 } est une famille génératrice de R3. ƒ u2 est une combinaison linéaire de u1 et u3. ƒ {u1 , u2 , u3 } n’est pas une base de R3. Question 54 Soit E = {(x, y, z) ∈ R3 ; x − y − z = 0}. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ dim E = 3. ƒ dim E = 2. ƒ dim E = 1. ƒ {(1, 0, 1), (1, 1, 0)} est une base de E. 2.6 Base et dimension | Niveau 2 Question 55 Dans R3 , on considère les vecteurs u1 = (−1, 1, 2), u2 = (0, 1, 1), u3 = (−1, 0, 1), u4 = (0, 2, 1). Quelles sont les assertions vraies ? ƒ Le rang de la famille {u1 , u2 } est 2. ƒ Le rang de la famille {u1 , u2 , u3 } est 3. ƒ Le rang de la famille {u1 , u2 , u3 , u4 } est 4. ƒ Le rang de la famille {u1 , u2 , u4 } est 3. 20 Question 56 Dans R4 , on considère les vecteurs u1 = (1, 1, −1, 0), u2 = (0, 1, 1, 1) et u3 = (1, −1, a, b), où a et b sont des réels. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ / Vect{u1 , u2 }. ∀ a, b ∈ R, u3 ∈ ƒ ∃ a, b ∈ R, u3 ∈ Vect{u1 , u2 }. ƒ u3 ∈ Vect{u1 , u2 } si et seulement si a = −3 et b = −2. ƒ ∀ a, b ∈ R, {u1 , u2 , u3 } est libre. Question 57 Dans R1 [X ], l’ensemble des polynômes à coefficients réels de degré ¶ 1, on considère les polynômes P1 = X + 1, P2 = X − 1, P3 = 1. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ {P1 , P2 , P3 } est une famille libre. ƒ {P1 , P2 , P3 } est une famille génératrice de R1 [X ]. ƒ {P1 , P2 , P3 } est une base de R1 [X ]. ƒ {P2 , P3 } est une base de R1 [X ]. Question 58 Dans R2 [X ], l’ensemble des polynômes à coefficients réels de degré ¶ 2, on considère les polynômes P1 = X , P2 = X (X + 1), P3 = (X + 1)2. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ {P1 , P2 , P3 } est une famille libre. ƒ {P1 + P2 , P3 } est une famille génératrice de R2 [X ]. ƒ {P1 , P2 , P3 } est une base de R2 [X ]. ƒ {P2 , P3 } est une base de R2 [X ]. Question 59 Dans R2 [X ], l’ensemble des polynômes à coefficients réels de degré ¶ 2, on considère les polynômes P1 = 1 − X , P2 = 1 + X , P3 = X 2 et P4 = 1 + X 2. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ Le rang de la famille {P4 } est 4. ƒ Le rang de la famille {P3 , P4 } est 2. ƒ Le rang de la famille {P2 , P3 , P4 } est 2. ƒ Le rang de la famille {P1 , P2 , P3 , P4 } est 3. Question 60 Soit E{(x, y, z, t) ∈ R4 ; x 2 + y 2 + z 2 + t 2 = 0}. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ E est un espace vectoriel de dimension 0. 21  ƒ E est un espace vectoriel de dimension 1. ƒ E est un espace vectoriel de dimension 2. ƒ E n’est pas un espace vectoriel. Question 61 Soit E = {(x, y, z, t) ∈ R4 ; |x + y|ez+t = 0}. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ E est un espace vectoriel de dimension 1. ƒ E est un espace vectoriel de dimension 2. ƒ E est un espace vectoriel de dimension 3. ƒ E n’est pas un espace vectoriel. Question 62 Soit E = {(x, y, z) ∈ R3 ; y − x + z = 0 et x = 2 y}. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ {(2, 1, 1)} est une base de E. ƒ dim E = 3. ƒ E est un plan. ƒ E = Vect{(2, 1, 1)}. Question 63 Soit E = {(x + z, z, z) ; x, z ∈ R}. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ {(1, 1, 1), (1, 0, 0), (0, 1, 1)} est une base de E. ƒ {(1, 1, 1), (1, 0, 0)} est une base de E. ƒ {(1, 0, 0), (0, 1, 1)} est une base de E. ƒ dim E = 3. 2.7 Base et dimension | Niveau 3 Question 64 Dans R3 [X ], l’ensemble des polynômes à coefficients réels de degré ¶ 3, on considère les polynômes P1 = X 3 + 1, P2 = P10 (la dérivée de P1 ) et P3 = P100 (la dérivée seconde de P1 ). Quelles sont les assertions vraies ? ƒ Le rang de la famille {P1 , P3 } est 3. ƒ {P1 , P2 , P3 } est une famille génératrice de R3 [X ]. ƒ {P1 , P2 , P3 } est une famille libre de R3 [X ]. ƒ Le rang de la famille {P1 , P2 , P3 } est 3. 22 Question 65 Soit E un espace vectoriel sur R de dimension 3 etv1 , v2 , v3 des vecteurs linéairement indé- pendants de E. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ {v1 , v2 , v3 } est une famille génératrice de E. ƒ {v1 , v2 , v1 + v3 } est une base de E. ƒ {v1 − v2 , v1 + v3 } est une base de E. ƒ {v1 − v2 , v1 + v3 } est famille libre de E. Question 66 Soit E{(x, y, z, t) ∈ R4 ; (x 2 + y 2 )(z 2 + t 2 ) = 0}. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ E est un espace vectoriel de dimension 0. ƒ E est un espace vectoriel de dimension 1. ƒ E est un espace vectoriel de dimension 2. ƒ E n’est pas un espace vectoriel. Question 67 Soit n un entier ¾ 3 et E = {(x 1 , x 2 ,... , x n ) ∈ Rn ; x 1 = x 2 = · · · = x n }. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ dim E = n − 1. ƒ dim E = n. ƒ dim E = 1. ƒ E = R. Question 68 Dans l’espace vectoriel R3 , on pose u1 = (1, 0, 1), u2 = (−1, 1, 1), u3 = (1, −1, 0) et on considère les sous-espaces vectoriels E = Vect{u1 , u2 } et F = Vect{u3 }. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ E est un plan vectoriel. ƒ Une équation cartésienne de E est x + 2 y + z = 0. ƒ F est une droite vectorielle. ƒ Une équation cartésienne de F est z = 0. 23 Question 69 On note R2 [X ] l’ensemble des polynômes à coefficients réels de degré ¶ 2. Soit E = {P ∈ R2 [X ] ; P(1) = P 0 (1) = 0}, où P 0 est la dérivée de P. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ {X − 1} est une base de E. ƒ {(X − 1)2 } est une base de E. ƒ dim E = 2. ƒ dim E = 1. Question 70 Soit E = {P = aX 3 + b(X 3 − 1) ; a, b ∈ R}. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ dim E = 3. ƒ {1, X 3 } est une base de E. ƒ {X 3 − 1} est une base de E. ƒ dim E = 1. Question 71 Quelles sont les assertions vraies ? ƒ {1} est une base de R comme R-espace vectoriel. p ƒ { 2} est une base de R comme R-espace vectoriel. p ƒ {1, 2} est une base de R comme R-espace vectoriel. p ƒ {1, 2} est une base de R comme Q-espace vectoriel. Question 72 Quelles sont les assertions vraies ? ƒ {1} est une base de C comme R-espace vectoriel. ƒ {i} est une base de C comme C-espace vectoriel. ƒ {i, 1 + i} est une base de C comme R-espace vectoriel. ƒ 1 et i sont C linéairement indépendants. Question 73 Quelles sont les assertions vraies ? ƒ {(1, 0), (1, 1)} est une base de C2 comme C-espace vectoriel. ƒ La dimension de C2 comme R-espace vectoriel est 4. ƒ {(1, 0), (0, i), (i, 0), (0, 1)} est une base de C2 comme R-espace vectoriel. ƒ La dimension de C2 comme R-espace vectoriel est 2. 24 2.8 Base et dimension | Niveau 4 Question 74 Soit n et p deux entiers tels que n > p ¾ 1, E un espace vectoriel sur R de dimension n, et v1 , v2 ,... , vp des vecteurs linéairement indépendants de E. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ {v1 , v2 ,... , vp } est une base de E. ƒ Il existe des vecteurs u1 ,... , uk de E tels que {v1 , v2 ,... , vp , u1 ,... , uk } soit une base de E. ƒ {v1 , v2 ,... , vp−1 } est une famille libre de E. ƒ {v1 , v2 ,... , vp } est une famille génératrice de E. Question 75 On considère les fonctions réelles f1 , f2 et f3 définies par : f1 (x) = sin x, f2 (x) = cos x, f3 (x) = sin x cos x et E l’espace engendré par ces fonctions. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ { f1 , f2 } est une base de E. ƒ { f1 , f3 } est une base de E. ƒ dim E = 2. ƒ dim E = 3. Question 76 Soit n un entier ¾ 2. On considère les fonctions réelles f1 , f2 ,... , f n , définies par : f1 (x) = e x , f2 (x) = e2x ,..., f n (x) = e nx et E l’espace vectoriel engendré par ces fonctions. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ E est un espace vectoriel de dimension n − 2. ƒ E est un espace vectoriel de dimension n − 1. ƒ E est un espace vectoriel de dimension n. ƒ E est un espace vectoriel de dimension infinie. 2.9 Espaces vectoriels supplémentaires | Niveau 1 Question 77 On considère les deux sous-espaces vectoriels de R4 : E = vect{u1 , u2 , u3 }, où u1 = (1, −1, 0, 1), u2 = (1, 0, 1, 0), u3 = (3, −1, 1, 2) et F = {(x, y, z, t) ∈ R4 ; x + y − z = 0 et y + z = 0}. Quelles sont les assertions vraies ? 25  ƒ dim E = 3. ƒ dim E ∩ F = 1. ƒ E + F = R4. ƒ E et F sont supplémentaires dans R4. Question 78 On considère les deux sous-espaces vectoriels de R4 : E = {(x, y, z, t) ∈ R4 ; x + y = y + z = 0} et F = {(x, y, z, t) ∈ R4 ; x + y + z + t = 0}. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ dim E = 1. ƒ dim F = 3. ƒ dim E ∩ F = 1. ƒ E et F sont supplémentaires dans R4. Question 79 On considère les deux sous-espaces vectoriels de R4 : E = {(x, y, z, t) ∈ R4 ; x − y = y − z = t = 0} et F = {(x, y, z, t) ∈ R4 ; z = x + y}. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ dim E = 1. ƒ dim F = 2. ƒ dim E ∩ F = 1. ƒ E et F sont supplémentaires dans R4. 2.10 Espaces vectoriels supplémentaires | Niveau 2 Question 80 Dans R3 [X ], l’espace des polynômes à coefficients réels de degré ¶ 3, on considère les deux sous-espaces vectoriels : E = {P ∈ R3 [X ] ; P(0) = P(1) = 0} et F = {(P ∈ R3 [X ] ; P 0 (0) = P 00 (0) = 0}, où P 0 (resp. P 00 ) est la dérivée première (resp. seconde) de P. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ dim E = 3. ƒ dim F = 1. ƒ E + F = R3 [X ]. 26  ƒ E et F sont supplémentaires dans R3 [X ]. Question 81 Dans R3 [X ], l’espace des polynômes à coefficients réels de degré ¶ 3, on considère les deux sous-espaces vectoriels : E = {P = a(X − 1)2 + b(X − 1) + c ; a, b, c ∈ R} et F = {P = aX 3 + bX 2 ; a, b ∈ R}. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ dim E = 2. ƒ dim E ∩ F = 1. ƒ E et F sont supplémentaires dans R3 [X ]. ƒ E + F = R3 [X ]. 2.11 Espaces vectoriels supplémentaires | Niveau 3 Question 82 Dans R3 [X ], l’espace des polynômes à coefficients réels de degré ¶ 3, on considère les deux sous-espaces vectoriels : E = {P ∈ R3 [X ] ; P(−X ) = P(X )} et F = {P ∈ R3 [X ] ; P(−X ) = −P(X )}. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ dim E = 2. ƒ dim F = 3. ƒ dim E ∩ F = 1. ƒ E et F sont supplémentaires dans R3 [X ]. Applications linéaires Abdellah Hanani, Mohamed Mzari 27 3 Applications linéaires 3.1 Applications linéaires | Niveau 1 Question 83 On considère les deux applications suivantes : f : R → R g: R2 → R2 et x → sin x (x, y) → ( y, x). Quelles sont les assertions vraies ? ƒ f (0) = 0. ƒ f est une application linéaire. ƒ g(x, y) = g( y, x), pour tout (x, y) ∈ R2. ƒ g est une application linéaire. Question 84 On considère les deux applications suivantes : f : R2 → R2 g: R2 → R2 et (x, y) → (x, y 2 ) (x, y) → (x, −x). Quelles sont les assertions vraies ? ƒ f (0, 2) = (0, 4). ƒ f est une application linéaire. ƒ g(0, 0) = (0, 0). ƒ g est une application linéaire. Question 85 On considère les deux applications suivantes : f : R3 → R2 g: R3 → R2 et (x, y, z) → (x + y, x − z) (x, y, z) → (x y, xz). Quelles sont les assertions vraies ? ƒ f (0, 0, 0) = (0, 0). ƒ f est une application linéaire. ƒ g(1, 1, 0) = g(1, 0, 0) + g(0, 1, 0). ƒ g est une application linéaire. 28 3.2 Applications linéaires | Niveau 2 Question 86 On note Rn [X ] l’espace des polynômes à coefficients réels de degré ¶ n, n ∈ N. On considère les deux applications suivantes : f : R3 [X ] → R g : R3 [X ] → R2 [X ] et P → P(0) + P 0 (0) P → 1 + P 0 + X P 00 , où P 0 (resp. P 00 ) est la dérivée première (resp. seconde) de P. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ f (0) = 1. ƒ f est une application linéaire. ƒ g(0) = 1. ƒ g est une application linéaire. Question 87 On considère les applications suivantes : f : C → C g: C → C et z → Re(z) z → Im(z), où Re(z) (resp. Im(z)) est la partie réelle (resp. imaginaire) de z. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ f est C-linéaire. ƒ f est R-linéaire. ƒ g est R-linéaire. ƒ g est C-linéaire. Question 88 On considère les applications suivantes : f : C → C g: C → C et z → |z| z → z, où |z| (resp. z) est le module (resp. le conjugué) de z. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ f est C-linéaire. ƒ f est R-linéaire. ƒ g est R-linéaire. ƒ g est C-linéaire. 29 3.3 Applications linéaires | Niveau 3 Question 89 On considère les deux applications suivantes : f : R2 → R g: R2 → R2 et (x, y) → |x + y|
(x, y) → max(x, y) , min(x, y). Quelles sont les assertions vraies ? ƒ f (1, −1) = 0. ƒ f est une application linéaire. ƒ g(0, 0) = (0, 0). ƒ g est une application linéaire. Question 90 On considère les applications suivantes : f : R3 → R2 g: R3 → R et (x, y, z) → (x − y, y + 2z + a) (x, y, z) → (ax + b)(x + y). où a et b sont des réels. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ Pour tout a ∈ R, f est une application linéaire. ƒ f est une application linéaire si et seulement si a = 0. ƒ g est une application linéaire si et seulement si a = b = 0. ƒ g est une application linéaire si et seulement si a = 0. Question 91 On considère les applications suivantes : f : R3 → R2 g: R3 → R3 et (x, y, z) → (z, x + ax 2 ) (x, y, z) → (z + a sin x, y + be x , c|x| + 1). où a, b et c sont des réels. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ Pour tout a ∈ R, f est une application linéaire. ƒ f est une application linéaire si et seulement si a = 0. ƒ g est une application linéaire si et seulement si a = b = c = 0. ƒ Pour tous a, b, c ∈ R, g n’est pas une application linéaire. Question 92 On note Rn [X ] l’espace des polynômes à coefficients réels de degré ¶ n, n ∈ N. On considère les deux applications suivantes : f : R3 [X ] → R2 [X ] g : R3 [X ] → R2 [X ] et P → R P → Q, 30 où R (resp. Q) est le reste (resp. le quotient) de la division euclidienne de P par X 3 + 1. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ f (0) = 0. ƒ f est une application linéaire. ƒ g(0) = 0. ƒ g n’est pas une application linéaire. 3.4 Applications linéaires | Niveau 4 Question 93 Quelles sont les assertions vraies ? ƒ Une application f : R → R est linéaire si et seulement s’il existe un réel a tel que f (x) = ax, pour tout x ∈ R. ƒ Une application f : R2 → R2 est linéaire si et seulement s’il existe des réels a et b tels que f (x, y) = (ax, b y), pour tout (x, y) ∈ R2. ƒ Une application f : R2 → R2 est linéaire si et seulement s’il existe des réels a, b, c et d tels que f (x, y) = (ax + b y, c x + d y), pour tout (x, y) ∈ R2. ƒ Une application f : R3 → R3 est linéaire si et seulement s’il existe des réels a, b et c tels que f (x, y, z) = (ax, b y, cz), pour tout (x, y, z) ∈ R3. 3.5 Noyau et image | Niveau 1 Question 94 Soit E et F deux espaces vectoriels et f : E → F une application linéaire. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ ker f peut-être vide. ƒ ker f est un sous-espace vectoriel de E. ƒ 0 E ∈ Im f. ƒ Im f est un sous-espace vectoriel de F. Question 95 Soit E et F deux espaces vectoriels et f : E → F une application linéaire. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ f est injective si et seulement si ker f est vide. ƒ f est injective si et seulement si ker f est une droite vectorielle. ƒ f est surjective si et seulement si Im f = F. ƒ f est bijective si et seulement si Im f = F. 31 3.6 Noyau et image | Niveau 2 Question 96 Soit f une application linéaire de R3 dans R5. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ Si ker f = {(0, 0, 0)}, alors f est surjective. ƒ Si ker f est une droite vectorielle, alors Im f est un plan vectoriel. ƒ f est injective si seulement si dim Im f = 3. ƒ f est bijective si et seulement si ker f = {(0, 0, 0)}. Question 97 On considère l’ application linéaire : f : R3 → R3 (x, y, z) → (x − z, y + z, x + y). Quelles sont les assertions vraies ? ƒ {(1, −1, 1)} est une base de ker f. ƒ f est injective. ƒ {(1, 0, 1), (0, 1, 1)} est une base de Im f. ƒ f est surjective. Question 98 On considère l’ application linéaire : f : R3 → R3 (x, y, z) → (x − y, y − z, x + z). Quelles sont les assertions vraies ? ƒ dim ker f = 1. ƒ f est injective. ƒ dim Im f = 3. ƒ f n’est pas bijective. Question 99 On considère l’ application linéaire : f : R3 → R2 (x, y, z) → (x + y + z, x + y − z). Quelles sont les assertions vraies ? ƒ dim ker f = 1. 32  ƒ f est injective. ƒ rg( f ) = 1. ƒ f n’est pas bijective. Question 100 On considère R3 muni de la base canonique B = {e1 , e2 , e3 } et f l’endomorphisme de R3 défini par f (e1 ) = e3 , f (e2 ) = e1 + e2 , f (e3 ) = e1 + e2 + e3. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ {e1 + e2 − e3 } est une base de Im f. ƒ dim Im f = 2. ƒ {e1 + e2 − e3 } est une base de ker f. ƒ dim ker f = 2. 3.7 Noyau et image | Niveau 3 Question 101 On considère l’ application linéaire : f : R2 [X ] → R2 [X ] P → P 0, où R2 [X ] est l’ensemble des polynômes à coefficients réels de degré ¶ 2 et P 0 est la dérivée de P. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ {1} est une base de ker f. ƒ {1, X } est une base de Im f. ƒ {0, 1, X } est une base de Im f. ƒ f est surjective. Question 102 On considère l’application linéaire : f : R2 [X ] → R2 [X ] P → X P 0 − X 2 P 00 , où R2 [X ] est l’ensemble des polynômes à coefficients réels de degré ¶ 2 et P 0 (resp. P 00 ) est la dérivée première (resp. seconde) de P. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ {1 + X 2 } est une base de ker f. ƒ {1, X 2 } est une base de ker f. ƒ {1 + X } est une base de Im f. ƒ rg( f ) = 1. 33 Question 103 On note Rn [X ] l’espace des polynômes à coefficients réels de degré ¶ n, n ∈ N. On considère l’application linéaire : f : R3 [X ] → R2 [X ] P → R, où R est le reste de la division euclidienne de P par (X + 1)3. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ {X 3 } est une base de ker f. ƒ dim ker f = 1. ƒ {1 + X + X 2 } est une base de Im f. ƒ rg( f ) = 3. Question 104 On considère R3 [X ], l’espace des polynômes à coefficients réels de degré ¶ 3, muni de sa base canonique B = {1, X , X 2 , X 3 } et f l’endomorphisme de R3 [X ] défini par : f (1) = X , f (X ) = 1 + X , f (X 2 ) = (X − 1)2 , f (X 3 ) = (X − 1)3. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ dim ker f = 1. ƒ f est injective. ƒ f n’est pas injective. ƒ rg( f ) = 4. Question 105 Soit E et F deux R-espaces vectoriels de dimensions finies et f une application linéaire de E dans F. On pose dim E = n et dim F = m. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ Si f est injective, alors n ¶ m. ƒ Si n ¶ m, alors f est injective. ƒ Si f est surjective, alors n ¾ m. ƒ Si n ¾ m, alors f est surjective. Question 106 Soit E et F deux R-espaces vectoriels de dimensions finies tels que dim E = dim F = n et f une application linéaire de E dans F. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ Si dim ker f = 0, alors dim Im f < n. ƒ si f est injective, alors f est surjective. ƒ Si dim Im f < n, alors dim ker f > 0. 34  ƒ si f est surjective, alors f est injective. Question 107 Soit E et F deux R-espaces vectoriels de dimensions finies et f une application linéaire de E dans F. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ Si f est injective, alors f est surjective. ƒ Si f est surjective, alors f est injective. ƒ Si dim E = dim F , alors f est bijective. ƒ Si f est bijective, alors dim E = dim F. Question 108 Soit E et F deux R-espaces vectoriels et f une application linéaire de E dans F. Soit k ∈ N∗ , F = {u1 , u2 ,... , uk } une famille de vecteurs de E et F 0 = { f (u1 ), f (u2 ),... , f (uk )}. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ Si F est une famille libre, alors F 0 est une famille libre. ƒ Si F est une famille libre et f est injective, alors F 0 est une famille libre. ƒ Si F est une famille génératrice de E, alors F 0 est une famille génératrice de F. ƒ Si F est une famille génératrice de E et f est surjective, alors F 0 est une famille génératrice de F. 3.8 Noyau et image | Niveau 4 Question 109 On considère E un R-espace vectoriel et f un endomorphisme de E tel que : f 2 + f + I d = 0, où I d est l’application identité de E. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ dim ker f = 1. ƒ f est injective. ƒ f est bijective et f −1 = f 2. ƒ f est bijective et f −1 = − f − I d. Question 110 Soit E un espace vectoriel, F et G deux sous-espaces supplémentaires dans E et f l’applica- tion de E dans E définie par : f : E = F ⊕G → E x = x 1 + x 2 , (x 1 ∈ F, x 2 ∈ G) → x 1. f est appelée la projection vectorielle de E sur F parallèlement à G. Quelles sont les asser- tions vraies ? 35  ƒ f est un endomorphisme de E. ƒ f 2 = 0. ƒ f2= f. ƒ F = Im f et G = ker f. Question 111 Soit E un espace vectoriel, F et G deux sous-espaces supplémentaires dans E et f l’applica- tion de E dans E définie par : f : E = F ⊕G → E x = x 1 + x 2 , (x 1 ∈ F, x 2 ∈ G) → x 1 − x 2. f est appelée la symétrie vectorielle de E par rapport à F parallèlement à G. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ f est un endomorphisme de E. ƒ f2= f. ƒ f 2 = I d, où I d est l’identité de E. ƒ F = {x ∈ E ; f (x) = x} et G = {x ∈ E ; f (x) = −x}. Question 112 Soit E un espace vectoriel et f un projecteur de E, c.à.d. un endomorphisme de E tel que f 2 = f. On notera I d l’identité de E. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ f est injective. ƒ I d − f est un projecteur de E. ƒ E = ker f ⊕ Im f. ƒ Im f = ker(I d − f ). Question 113 Soit E un espace vectoriel et f un endomorphisme nilpotent de E, c.à.d. un endomorphisme non nul de E tel qu’il existe un entier n ¾ 2, vérifiant f n = 0. On notera I d l’identité de E. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ f est injective. ƒ f est surjective. ƒ I d − f est injective. ƒ I d − f est bijective. Question 114 Soit E un espace vectoriel et f un endomorphisme involutif de E, c.à.d. un endomorphisme non nul de E tel que f 2 = I d, où I d est l’identité de E. Quelles sont les assertions vraies ? 36  ƒ f est bijective. ƒ Im(I d + f ) ∩ Im(I d − f ) = E. ƒ E = Im(I d + f ) + Im(I d − f ). ƒ Im(I d + f ) et Im(I d − f ) ne sont pas supplémentaires dans E. Question 115 Soit E un espace vectoriel et f un endomorphisme de E. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ Si f 2 = 0, alors f = 0. ƒ Si f 2 = 0, alors f est bijective. ƒ Si f 2 = 0, alors Im f ⊂ ker f. ƒ Si Im f ⊂ ker f , alors f 2 = 0. Question 116 Soit E un R-espace vectoriel de dimension finie et f un endomorphisme de E. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ E = ker f ⊕ Im f. ƒ Si ker f = ker f 2 , alors E = ker f ⊕ Im f. ƒ Si Im f = Im f 2 , alors ker f = ker f 2. ƒ Si E = ker f ⊕ Im f , alors ker f = ker f 2. Calcul matriciel Abdellah Hanani, Mohamed Mzari 4 Calcul matriciel 4.1 Calcul matriciel | Niveau 1 Question 117 Soit A et B deux matrices. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ Si la matrice A + B est définie, alors B + A est définie. ƒ Si la matrice A + B est définie, alors AB est définie. ƒ Si la matrice AB est définie, alors BA est définie. 37  ƒ Si la matrice A+B est définie, alors At B est définie, où t B est la transposée de la matrice B. Question 118 On considère les matrices :  ‹  ‹  ‹  ‹  ‹ 1 2 1 1 1 3 3 −1 4 6 A= , B= ,C= , D= et E =. 3 4 1 −1 5 9 7 −1 −2 2 Quelles sont les assertions vraies ? ƒ 2A − B = C. ƒ AB = D. ƒ BA = E. ƒ AB = BA. Question 119 On considère les matrices :     1  ‹ 0 1  ‹
1 3 1 5 −1 A = 1 1 2 , B = −1 , C =   , D = 1 −1   et E =. 1 1 1 3 1 1 2 1 Quelles sont les assertions vraies ? ƒ A + B = B.
ƒ AB = 2.  ‹ 6 ƒ CA = 2. ƒ C D = E. Question 120 On considère Mn,m (R) l’ensemble des matrices à n lignes et m colonnes, à coefficients dans R, muni de l’addition usuelle et la multiplication par un scalaire. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ Mn,m (R) est un espace vectoriel. ƒ dim Mn,m (R) = mn. ƒ dim Mn,m (R) = m + n. ƒ Mn,m (R) est un espace vectoriel de dimension infinie. 38 4.2 Calcul matriciel | Niveau 2 Question 121 On considère les matrices :     1 1 2 1 1 −1 A =  −1 0 2  et B =  1 1 3 . 1 −1 1 −1 1 0 Quelles sont les assertions vraies ?   5 5 1 ƒ 2A + 3B =  1 3 13 . −1 1 2   0 0 3 ƒ A − B =  −2 −1 1 . 2 −2 1   0 4 2 ƒ AB =  −3 1 1 . −1 1 4   −1 2 3 ƒ BA =  3 −2 7 . −2 −1 0 Question 122 On considère les matrices :     0  ‹ 1 −1 0
1 −1 1 A= 1 2 4 , B= 1  , C = et D =  2 1 1 . 0 0 1 −1 0 2 1 On notera t M la transposée d’une matrice M. Quelles sont les assertions vraies ?
ƒ A+ tB = 1 3 3.   0 0 0 ƒ B t B =  0 1 −1 . 0 −1 1
ƒ AtC = 3 4 0.  ‹ 2 2 −1 ƒ C D= 0 1 1. t Question 123 Soit A, B et C des matrices d’ordre n ¾ 1. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ AB = 0 ⇒ A = 0 ou B = 0. 39  ƒ A(BC) = (AC)B. ƒ A(B + C) = AC + AB. ƒ (A + B)2 = A2 + 2AB + B 2. Question124 ‹  ‹ 1 1 1 0 Soit A = et I = , la matrice identité. Quelles sont les assertions vraies ? 1 1 0 1 ƒ A2 = 2A. ƒ An = 2n A, pour tout entier n ¾ 1. ƒ (A − I)2n = I, pour tout entier n ¾ 1. ƒ (A − I)2n+1 = A + I, pour tout entier n ¾ 1. Question 125 On considère les matrices :      
2 −4 1 0 0 1 0 1 A = 1 0 1 , B =  1 −2  , C = 1 1 1  et D =  1 1 0 . 0 0 0 1 2 0 1 −1 Quelles sont les assertions vraies ? ƒ Le rang de A est 3. ƒ Le rang de B est 1. ƒ Le rang de C est 3. ƒ Le rang de D est 3. Question 126  ‹ ¦ a b © Soit E = M = | a, b ∈ R. Quelles sont les assertions vraies ? 0 a ƒ E n’est pas un espace vectoriel. ƒ E est un esapce vectoriel de dimension 1. ƒ E est un esapce vectoriel de dimension 4. ƒ E est un esapce vectoriel de dimension 2. Question 127  ‹ ¦ a−b a−c © Soit E = M = | a, b, c ∈ R. Quelles sont les assertions vraies ? b−c b−a ƒ E n’est pas un espace vectoriel. 40  ƒ E est un espace vectoriel de dimension 3. ƒ E est un espace vectoriel de dimension 2. ƒ E est un espace vectoriel de dimension 4. Question 128 Soit M2 (R) l’ensemble des matrices carrées d’ordre 2 à coefficients réels et f l’application définie par : f : M2 (R) → M2 (R)  ‹  ‹ a b a c M= → M= t , c d b d où t M est la transposée de M. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ f est une application linéaire. ƒ dim ker f = 1. ƒ dim ker f = 0. ƒ dim Im f = 3. 4.3 Calcul matriciel | Niveau 3 Question 129 Soit A une matrice de rang r. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ A admet r vecteurs colonnes linéairement indépendants. ƒ A admet r vecteurs lignes linéairement indépendants. ƒ Toute famille contenant r vecteurs colonnes de A est libre. ƒ Toute famille contenant r vecteurs lignes de A est libre. Question 130  ‹ ¦ a b © Soit E = M = | a, b ∈ R. Quelles sont les assertions vraies ? 0 a ƒ E est stable par addition. ƒ E est stable par multiplication de matrices. ƒ la multiplication de matrices de E n’est pas commutative. ƒ Soit M ∈ R2 (R). Si M M 0 = M 0 M , ∀M 0 ∈ E, alors M ∈ E. Question 131 Soit M2 (R) l’ensemble des matrices carrées d’ordre 2 à coefficients réels et f l’application définie par : f : M2 (R) → R  ‹ a b M= → tr(M ) = a + d, c d 41 le réel tr(M ) est appelée la trace de M. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ f est une application linéaire. ƒ dim ker f = 3. ƒ dim Im f = 2. ƒ Im f = R. Question 132 Soit M2 (R) l’ensemble des matrices carrées d’ordre 2 à coefficients réels et f l’application définie par : f : M2 (R) → M (R)  ‹ 2 ‹ a b 0 b−c M= → M− M= t , c d c−b 0 t M est la transposée de M. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ f est une application linéaire. ƒ dim ker f = 3. ƒ dim Im f = 2. ƒ dim Im f = 3. 4.4 Calcul matriciel | Niveau 4 Question 133    a 1 b 1 0 0 Soit a, b ∈ R, A =  0 a 2  et N = A − aI, où I =  0 1 0 . Quelles sont les 0 0 a 0 0 1 assertions vraies ? ƒ N k = 0, pour tout entier k ¾ 3. ƒ On ne peut pas appliquer la formule du binôme pour le calcul de An. n(n − 1) n−2 2 ƒ Pour tout entier n ¾ 2, An = a n I + na n−1 N + a N. 2   a n na n−1 na n−1 b + n(n − 1)a n−2 ƒ Pour tout entier n ¾ 2, An =  0 an 2na n−1 . n 0 0 a Question134    1 2 3 1 0 0 Soit A =  0 1 2  et N = A − I, où I =  0 1 0 . 0 0 1 0 0 1 42 On considère 3 suites récurrentes (un )n¾0 , (vn )n¾0 et (w n )n¾0 définies par u0 , v0 , w0 des réels donnés et pour n ¾ 1 :   un = un−1 + 2vn−1 + 3w n−1 (S) vn = vn−1 + 2w n−1  w = w n−1. n Quelles sont les assertions vraies ? ƒ N k = 0, pour tout entier k ¾ 2. ƒ Pour tout entier n ¾ 2, An = I + nN + n(n−1) 2 N 2. ƒ Pour tout entier n ¾ 0,   un = u0 + 2nv0 + 3nw0 (S) vn = v0 + 2nw0  w = w0. n ƒ Pour tout entier n ¾ 0,   un = u0 + 2nv0 + n(2n + 1)w0 (S) vn = v0 + 2nw0  w = w0. n Question 135 On note M2 (R) l’espace des matrices carrées d’ordre 2 à coefficients réels. Soit E = {M ∈ M2 (R) | t M = M } et F = {M ∈ M2 (R) ; t M = −M }, où t M désigne la transposée de M. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ E est un espace vectoriel de dimension 3. ƒ E est un espace vectoriel de dimension 2. ƒ F est un espace vectoriel de dimension 1. ƒ E et F sont supplémentaires dans M2 (R). Question 136 Dans M2 (R) l’espace vectoriel des matrices carrées d’ordre 2 à coefficients réels, on considère la famille B 0 = {B1 , B2 , B3 , B4 }, où  ‹  ‹  ‹  ‹ 1 1 0 1 0 0 1 0 B1 = , B2 = , B3 = , B4 =. 0 0 0 1 1 1 1 0 Quelles sont les assertions vraies ? ƒ B 0 est une famille libre de M2 (R). ƒ B 0 est une base de M2 (R). 43  ƒ VectB 0 = M2 (R). ƒ dim VectB 0 = 3. Question 137 ‹ M2 (R) l’ensemble des matrices carrées d’ordre 2 à coefficients réels, On considère  0 1 A= et f l’ application linéaire définie par : 1 0 f : M2 (R) → M2 (R) M → AM − M A. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ dim ker f = 2. ƒ f est injective. ƒ rg( f ) = 2. ƒ f est surjective. 4.5 Inverse d’une matrice | Niveau 1 Question 138 Soit A une matrice carrée d’ordre n à coefficients réels et I la matrice identité. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ A est inversible si et seulement s’il existe une matrice B telle que AB = I. ƒ A est inversible si et seulement s’il existe une matrice B telle que BA = I. ƒ A est inversible si et seulement si les coefficients de A sont inversibles pour la multi- plication dans R. ƒ A est inversible si et seulement si pour toute matrice Y à une colonne et n lignes, il existe une matrice X à une colonne et n lignes telle que AX = Y. 4.6 Inverse d’une matrice | Niveau 2 Question 139 On considère les matrices     1 1 1 −1 2 1 1  ‹ 1 2 A= , B =  2 0 1 , C =  3 −2 1 . 3 5 4 1 1 −1 2 0 2 Quelles sont les assertions vraies ? ƒ A est inversible. ƒ B est inversible. 44  ƒ B est inversible et B −1 = C. ƒ C est inversible. Question 140 On considère les matrices :      ‹ 1 1 1 −1 1 −2
1 −2 A= 5 , B= , C =  1 0 −1  , D= 1 1 0 . 2 −4 1 1 0 2 −1 3 Quelles sont les assertions vraies ? ƒ A est inversible. ƒ B est inversible. ƒ C est inversible. ƒ D est inversible. Question 141 Soit A une matrice inversible. On notera t A la transposée de A. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ 3A est inversible. t ƒ A est inversible. ƒ At A est inversible. ƒ A + t A est inversible. Question 142 Soit Mn (R) l’ensemble des matrices carrées d’ordre n à coefficients réels et I la matrice identité. Soit A ∈ Mn (R) telle qu’il existe un entier m ¾ 1 vérifiant Am = I. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ A est inversible et A−1 = Am−1. ƒ Le rang de A est n. ƒ A n’est pas inversible. ƒ Si m = 2, A est inversible et A−1 = A. 4.7 Inverse d’une matrice | Niveau 3 Question 143   1 −1 −2 On considère la matrice : A =  0 1 1 . Quelles sont les assertions vraies ? −1 1 2 45  ƒ A est inversible. ƒ A2 est inversible. ƒ A3 + A2 est inversible. ƒ A + t A est inversible, où t A est la transposée de A. Question 144 Soit A = (ai, j ) une matrice carrée. On rappelle les définitions suivantes :. A est dite diagonale si tous les coefficients ai, j , avec i 6= j sont nuls.. A est dite symétrique si pour tous i, j, ai, j = a j,i.. A est dite triangulaire inférieurement (resp. supérieurement) si pour tous i < j, ai, j = 0 (resp. pour tous i > j, ai, j = 0). Quelles sont les assertions vraies ? ƒ Si A est diagonale, A est inversible si et seulement s’il existe un coefficient ai,i non nul. ƒ Si A est diagonale, A est inversible si et seulement si tous les coefficients ai,i sont non nuls. ƒ A est symétrique si t A = A, où t A est la transposée de A. ƒ Si A est triangulaire inférieurement, A est inversible. Question 145 Soit A et B deux matrices carrées d’ordre n ¾ 1. On notera t A la transposée de A et rg (A) le rang de A. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ rg(A) = rg( t A). ƒ Si A est inversible, rg(A) = rg(A−1 ).
ƒ rg(A + B) = max rg(A), rg(B). ƒ rg(AB) = rg(BA). Question 146 On considère Mn (R) l’ensemble des matrices carrées d’ordre n à coefficients réels et A et B deux matrices non nulles telles que AB = 0. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ A = 0 ou B = 0. ƒ A est inversible. ƒ B est inversible. ƒ A n’est pas inversible. 46 Question 147 On considère Mn (R) l’ensemble des matrices carrées d’ordre n à coefficients réels et A, B et C trois matrices non nulles deux à deux distinctes telles que AB = AC. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ B = C. ƒ A = 0. ƒ A n’est pas inversible. ƒ Le rang de A est n. 4.8 Inverse d’une matrice | Niveau 4 Question 148  ‹ cos x − sin x On considère la matrice A = , x ∈ R. Quelles sont les assertions vraies ? sin x cos x ƒ Le rang de A est 1.  ‹ cos x sin x ƒ A est inversible et A = −1 − sin x cos x , x ∈ R. ƒ Pour tout n ∈ N, (A + A−1 )n = (2n cosn x)I, où I est la matrice identité.  ‹ cos(nx) − sin(nx) ƒ Pour tout n ∈ Z, A = n sin(nx) cos(nx). Question 149 Soit Mn (R) l’ensemble des matrices carrées d’ordre n à coefficients réels et I la matrice identité. Soit A ∈ Mn (R) telle qu’il existe un entier m ¾ 1 vérifiant : Am +Am−1 +· · ·+A+ I = 0. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ A est inversible et A−1 = Am. ƒ A est inversible et A−1 = −(Am−1 + · · · + A + I). ƒ Le rang de A est n. ƒ A n’est pas inversible. Question 150 Soit A une matrice nilpotente, c.à.d il existe un entier n ¾ 1 tel que An = 0. On notera I la matrice identité. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ A est inversible. ƒ A est inversible et A−1 = An−1. ƒ Il existe a ∈ R, tel que A − aI n’est pas inversible. ƒ Pour tout a ∈ R∗ , A − aI est inversible. 47  Applications linéaires et matrices Abdellah Hanani, Mohamed Mzari 5 Applications linéaires et matrices 5.1 Matrice d’une application linéaire | Niveau 1 Question 151 On considère R et R2 munis de leurs bases canoniques et f l’application linéaire définie par : f : R2 → R (x, y) → y − x. La matrice de f relativement aux bases canoniques est :
ƒ −1 1.  ‹ −1 ƒ. 1  ‹ −1 1 ƒ. 0 0  ‹ −1 0 ƒ. 1 0 Question 152 On considère R et R2 munis de leurs bases canoniques et f l’application linéaire définie par : f : R → R2 x → (x, −x). La matrice de f relativement aux bases canoniques est :
ƒ 1 −1.  ‹ 1 ƒ −1.  ‹ 1 −1 ƒ 0 0.  ‹ 1 0 ƒ −1 0. 48 Question 153 On considère R2 et R3 munis de leurs bases canoniques et f l’application linéaire définie par : f : R2 → R3 (x, y) → ( y, x, − y). La matrice de f relativement aux bases canoniques est :  ‹ 0 1 0 ƒ 1 0 −1.   0 1 0 ƒ  1 0 −1 . 0 0 0   0 1 ƒ  1 0 . 0 −1   0 1 0 ƒ  1 0 0 . 0 −1 0 Question 154 On considère R2 muni de sa base canonique et f l’application linéaire définie par : f : R2 → R2 (x, y) → (2x + y, 4x − 3 y). Quelles sont les assertions vraies ?  ‹ 2 4 ƒ La matrice de f dans la base canonique est : 1 −3.  ‹ 2 1 ƒ La matrice de f dans la base canonique est : 4 −3. ƒ f est injective. ƒ f est bijective. Question 155 On considère R3 muni de sa base canonique et f l’application linéaire définie par : f : R3 → R3 (x, y, z) → (x + y, x − z, y + z). Quelles sont les assertions vraies ?   1 1 0 ƒ La matrice de f dans la base canonique est :  1 0 −1 . 0 1 1 49    1 1 0 ƒ La matrice de f dans la base canonique est :  1 0 1 . 0 −1 1 ƒ Le rang de f est 2. ƒ Le rang de f est 3. Question 156 Dans R2 , on considère la base canonique B = {e1 , e2 } et la base B 0 = {u1 , u2 }, où u1 = (1, 1) et u2 = (2, 3). On notera P la matrice de passage de la base B à la base B 0 et Q la matrice de passage de la base B 0 à la base B. Définition : Soit E un espace vectoriel muni de deux bases B et B 0. La matrice de passage de la base B à la base B 0 est la matrice de l’identité de E de la base B 0 à la base B. Autrement dit, c’est la matrice dont la jième colonne est constituée des coordonnées du jième vecteur de la base B 0 dans la base B. Quelles sont les assertions vraies ?  ‹ 3 −2 ƒ P = −1 1.  ‹ 1 2 ƒ P= 1 3.  ‹ 3 −2 ƒ Q = −1 1.  ‹ 3 −2 ƒ P est inversible et P = −1 1. −1 Question 157 Dans R3 , on considère la base canonique B = {e1 , e2 , e3 } et la base B 0 = {u1 , u2 , u3 }, où u1 = (1, 1, −1), u2 = (0, 2, 1) et u3 = (0, 1, 1). On notera P la matrice de passage de la base B à la base B 0 et Q la matrice de passage de la base B 0 à la base B. Définition : Soit E un espace vectoriel muni de deux bases B et B 0. La matrice de passage de la base B à la base B 0 est la matrice de l’identité de E de la base B 0 à la base B. Autrement dit, c’est la matrice dont la jième colonne est constituée des coordonnées du jième vecteur de la base B 0 dans la base B. Quelles sont les assertions vraies ?   1 0 0 ƒ P =  1 2 1 . −1 1 1   1 0 0 ƒ Q =  1 2 1 . −1 1 1   1 0 0 ƒ Q =  −2 1 −1 . 3 −1 2 50    1 0 0 ƒ P est inversible et P −1 =  1 2 1 . −1 1 1 Question 158 Soit A une matrice inversible d’ordre n ¾ 1 et f : Rn → Rn l’application linéaire de matrice A dans la base canonique de Rn. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ f est bijective. ƒ Le noyau de f est une droite vectorielle. ƒ Le rang de f est n. ƒ Le rang de A est n. 5.2 Matrice d’une application linéaire | Niveau 2 Question 159 Dans R2 [X ], l’ensemble des polynômes à coefficients réels de degré ¶ 2, on considère la base canonique B = {1, X , X 2 } et la base B 0 = {P1 , P2 , P3 }, où P1 = X , P2 = 1− X et P3 = (1− X )2. On notera P la matrice de passage de la base B à la base B 0 et Q la matrice de passage de la base B 0 à la base B. Définition : Soit E un espace vectoriel muni de deux bases B et B 0. La matrice de passage de la base B à la base B 0 est la matrice de l’identité de E de la base B 0 à la base B. Autrement dit, c’est la matrice dont la jième colonne est constituée des coordonnées du jième vecteur de la base B 0 dans la base B. Quelles sont les assertions vraies ?   1 1 1 ƒ P =  1 0 −1 . 0 0 1   1 1 1 ƒ Q =  1 0 −1 . 0 0 1   0 1 1 ƒ Q =  1 −1 −2 . 0 0 1 ƒ La matrice de l’application identité de R2 [X ] de la base B 0 à la base B est :   0 1 1  1 −1 −2 . 0 0 1 51 Question 160 Soit u1 = (1, 0, 0), u2 = (1, 1, 0), u3 = (0, 1, 1), v1 = (1, 1), v2 = (1, −1) et f l’application linéaire définie par : f : R3 → R2 (x, y, z) → (x + y, x − z). Quelles sont les assertions vraies ? ƒ {u1 , u2 , u3 } est une base de R3. ƒ {v1 , v2 } est une base de R2.   2 0 1 ƒ La matrice de f par rapport aux bases {u1 , u2 , u3 } et {v1 , v2 } est :  3 1 . 2 0 2 ƒ La matrice de f par rapport aux bases {u1 , u2 , u3 } et {v1 , v2 } est : 1  ‹ 2 3 0. 2 0 1 2 Question 161 On considère R3 muni de sa base canonique notée B et f l’application linéaire définie par : f : R3 → R3 (x, y, z) → ( y + z, x + z, x + y). Soit B 0 = {u1 , u2 , u3 }, où u1 = (1, 0, 0), u2 = (1, 1, 0), u3 = (1, 1, 1). Quelles sont les asser- tions vraies ? ƒ B 0 est une base de R3.   0 1 1 ƒ La matrice de f dans la base B est :  1 0 1 . 1 1 1   0 1 2 ƒ La matrice de f de la base B 0 dans la base B est :  1 1 2 . 1 2 2   −1 0 0 0 ƒ La matrice de f dans la base B est :  0 −1 0 . 1 2 1 Question 162 On considère R3 muni de sa base canonique notée B et f l’application linéaire définie par : f : R3 → R3 (x, y, z) → (x + z, 2x + 2z, −x − z). Soit u1 = (0, 1, 0), u2 = (1, 2, −1) et u3 = (1, 0, 0). Quelles sont les assertions vraies ? 52  ƒ {u1 , u2 , u3 } est une base de R3. ƒ {u1 , u2 } est une base de ker f. ƒ ker f et Im f sont supplémentaires dans R3.   0 0 0 ƒ La matrice de f dans la base {u1 , u2 , u3 } est :  0 0 1 . 0 0 0 Question 163 Soit R2 [X ] l’ensemble des polynômes à coefficients réels de degré ¶ 2, muni de sa base canonique B = {1, X , X 2 } et f l’application linéaire définie par : f : R2 [X ] → R2 [X ] P → X P 0, où P 0 est la dérivée de P. Soit B 0 = {P1 , P2 , P3 }, où P1 = 1 + X , P2 = 1 − X , P3 = (1 + X )2. Quelles sont les assertions vraies ? ƒ B 0 est une base de R2 [X ].  0 0 0 ƒ La matrice de f dans la base B est :  0 1 0 . 0 0 2   0 0 0 ƒ La matrice de f de la base B 0 dans la base B est :  1 −1 2 . 0 0 2   1 −1 −4 0 1 ƒ La matrice de f dans la base B est :  −1 2 1 4 . 0 0 4 Question 164 Soit f l’endomorphisme de R2 dont la matrice dans la base canonique B = {e1 , e2 } est :  ‹ 1 3 A=. 1 −1 Soit B 0 = {u1 , u2 }, où u1 = (3, 1), u2 = (1, −1), une base de R2. On note P la matrice de passage de la base B à la base B 0 et B La matrice de f dans la base B 0. Définition : Soit E un espace vectoriel muni de deux bases B et B 0. La matrice de passage de la base B à la base B 0 est la matrice de l’identité de E de la base B 0 à la base B. Autrement dit, c’est la matrice dont la jième colonne est constituée des coordonnées du jième vecteur de la base B 0 dans la base B. Quelles sont les assertions vraies ?  ‹ 3 1 ƒ P = 1 −1. 53   ‹ 3 1 ƒ P = −1. 1 −1  ‹ −2 0 ƒ B=. 0 2 3 + (−1)n 3 − 3(−1)n  ‹ ƒ A =2 n n−2 , pour tout entier n ¾ 1. 1 − (−1)n 1 + 3(−1)n 5.3 Matrice d’une application linéaire | Niveau 3 Question 165 On considère R3 [X ], l’ensemble des polynômes à coefficients réels de degré ¶ 3, muni de sa base canonique notée B et f l’application linéaire définie par : f : R3 [X ] → R3 [X ] P → R, où R est le reste de la division euclidienne de P par (X − 1)2. Soit B 0 = {P1 , P2 , P3 , P4 }, où P1 = 1, P2 = 1 − X , P3 = (1 − X )2 et P4 = X (1 − X )2. Quelles sont les assertions vraies ? 1 0 −1 −2    0 1 2 3  ƒ La matrice de f dans la base B est :  0 0 0 0 . 0 0 0 0 ƒ B 0 est une base de R3 [X ]. 0 0 1 0  ?