Chapitre 8 Oscillation Amorties En Régime Libre PDF

CHAPITRE 8 : OSCILLATION AMORTIS EN RÉGIME LIBRE I) Mise en équation 1) Oscillateur mécanique Point M de masse m, attaché a un ressort dont l’autre extrémité est xé. m peut glisser horizontalement fo...

CHAPITRE 8 : OSCILLATION AMORTIS EN RÉGIME LIBRE I) Mise en équation 1) Oscillateur mécanique Point M de masse m, attaché a un ressort dont l’autre extrémité est xé. m peut glisser horizontalement fo > h > e Observation expérimentale : l'amplitude des oscillations diminue et la masse finit par s'immobiliser. Modélisation : Presence d'une force de frottements : T = - · X : constante de frottement fluide. · signe- : force opposé à la vitesse Système : masse m Référentiel terrestre supposé galiléen > - Bilan des forces : Force de Rappel du Ressort : Fr = -k(1-1) = - k(x 1) - réaction de support : P = Rz Poids m =mgu : P = > - frottement fluides J : = - o Loi de la quantité de mouvement : ma =+n + + avec Selon : 0 = Rn-mg Selon : mie = -k(x lo) - - xx et Ex = + La position d'équilibre ece verifie : ? i(e) = 0 je (e) , = 0  0 + 0 + ko et x Exe = Les frottement n'influencent pas la position d'équilibre On étudie l'écart à la position d'équilibre. On pose u = e-xe on a x = u + De i = i = j Alors : +i+(+ xe) = On a oce = to donc : i +i + bu = 0 Forme canonique e: + Vot w avec wo = I pulsation propre C'est la pulsation du mut en l'absence du frottement Q : facteur de qualité sam dimension On a : En = Q Q faible E) amortissement fort Q élevé ( amortissement faible On retrouve l'oscillateur harmonique pour Q + - 2 - Circuit RL) sérié Le condensateur est chargé initialement q(t 0) = = 90 [u Loi des mailles : Un + u + Ur = 0 C &+ + R =0 1 E d = 0 * avewe UR 2 Forme canonique : w = 0 Q facteur de qualité on a : = Application : Ona Quo donc a et L = 112mt Cu? 3- Analogie électromécanique # Oscillateur harmonique d'équilibre 2 Constante Les 2 systèmes partagent le même type d'équation différentielle II Régime libre 1- Généralité Equation différentielle : i + wo i + w = ① Rappel mathématique soit l'équation différentielle a f" bf' cf + + = 0 Equation caractéristique : a r2 + br + c = 0 D = b2 - Jac · Si 10 , les 2 rayons sont réelle : Rr , 2 =- f(t) Aekt + Bert = SiDTR T · · Si D/0 les 2 racines sont complexe R1 , 2 = - bij x + [B = 2a f(t) (1-cas(Bt) = + Bsin(B()) ext = Xp casBt + 4) ect Remarque : j D tel que je = -1 ⑪ Oscillation amorti Soit ici : R + Wortwo A= ( A = w(-1) Q determine le régime et la forme des solutions 2 régime pseudo périodique ⑳ Expression de la solution A(0 - () Q Amortissement faible Racine complexes de l'équation caractéristiques : Reiz = - avec w = 2wo 1 - % Re , 2- j  On pose 6- alors Mi = -j 2 = wo1 - fet (cas(t) Brinfzt))é = u = u(t) Umcas(2t 9)e + au = + (A B) (Um 4) les contentes d'integration avec , ou. Application 2U(O) : = 0 E i(t) Azcas(t)e - Azsin(t) ( E)e- = = +. = i(t) Aze /2 (t) Esin(rt) = - i (0) = No = Az () Az = No B Étude de la solution nu(t) limu(t) I Ume = -- -Um · - Une Le facteur Un e décrit la décroissance des oscillations. C'est l'enveloppe T : temps caracteristique d'amortissement des Oscillations. &. plus Q est grand plus , les oscillations durente Y'amplitude diminue donc on parle d'oscillation pseudo periodique - et la pseudopulsation - wo : Le système oscille mains vite que le système non amartie. (Si Q est très et w grand ,i Pseudo periode. Et T To La tangente à l'origine à l'enveloppe coupe l'abaisse en t = T  C Decrement logarithmique o & In (UCUO) avec vo = t- 0 lint Si voo & meure l'atténuation des oscillations pendant une pseudoperiode & est indépendant , Plus S est grand plus l'attenuation , est importante On a : u(t + T) = Um cas (r(t +T)+ 4) - = Umcas(2t + rT + y)é- - - = Um cas(2t + y)e. e d'air d = In) = In() = E & diminue quand 7 augmente Es faible alternation quand l'amortissement est faible Jet Q sont directement relié = 3 Régime apériodique ② Expression de la solution Dole Amortissement fort Racine réelle de l'équation Caracteristique. R1 , 2 = -to wo a titArt Bert A, B constante d'integration ↓ Etude de la solution R1