Chapitre 2 : Limites de fonctions PDF

2 LIMITES DE FONCTIONS I. Généralités sur les fonctions. II. Limite d'une fonction. III. Limites et droites asymptotes. IV. Limites par comparaison. Augustin Cauchy (1789- 1857) La définition actuelle de la limite d'une fonction en un point l...

2 LIMITES DE FONCTIONS I. Généralités sur les fonctions. II. Limite d'une fonction. III. Limites et droites asymptotes. IV. Limites par comparaison. Augustin Cauchy (1789- 1857) La définition actuelle de la limite d'une fonction en un point lui doit beaucoup cours Chapitre 2 : Limites de fonctions I. Généralités sur les fonctions Activités préliminaires Activité 1: Ci-contre sont représentées les fonctions 1 x  x ; x  x2 ; x  ; x  x x 1) Indiquer la courbe de chacune d'elles. 2) Comparer ces fonctions. 3) Pour x ≥ 0 , démontrer que la courbe représentant la fonction f(x) = x2 est symétrique de la courbe représentant la fonction g ( x ) = x par rapport à la droite & : y = x. 4) Quels sont les autres éléments de symétries ? Activité 2: Chaque question comporte une et une seule réponse correcte, laquelle. 1) La fonction f définie sur IR par f ( x ) = x 5 ( x  1)3 est : paire impaire ni paire ni impaire. 2) La fonction g définie sur IR  1 # par : 3x + 4 est  $ g( x) =  2% 2x + 1 croissante décroissante ni croissante ni décroissante. 3) L'ensemble des solutions de l'équation f(x) = 0 est : {1; 0}  1; 0  {0;1} 0;1 Activité 3 : Cette courbe est la représentation graphique d'une fonction f définie sur  2;1. 1) Dresser le tableau de variation de f. 2) Lire graphiquement les valeurs de f (-1) ; f (0) ; f ( 1 ). 3) Avec la précision permise par le dessin, résoudre 2 les équations : f(x) = -1 ; f(x) = x. Activités de découverte Activité 1 : On considére les fonctions { } f : 0;1; 2; 3;...;10  IR x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 et { } f(x) 0 2 3 5 7 10 3 4 7 5 3 g : 0;1; 2; 3;....;10  IR g(x) 0 1 1 2 3 1 4 2 5 3 8 définies par le tableau ci-contre. f(g(x)) Compléter ce tableau. g(f(x)) 27 cours Chapitre Chapitre 22 :: Limites Limites de de fonctions fonctions Activité 2: Deux fonctions f et g définies sur l'intervalle  3; 4  , sont représentées ci-contre. Représenter les fonctions : -f ; 3f ; f +g ; f - g. Activité 3: Une fonction définie sur  3; 4  est représentée graphiquement ci-contre. Pour chacune des fonctions suivantes : f1(x) = -f(x) , f2(x) = f (- x), f3 (x) = -f (- x) , f 4 ( x ) = f ( x ) , f5 (x) = f (x + 2) f6 (x) = f (x) +1, f7 (x) = 3f (x), f8 (x) = f (2x). 1) Déterminer son ensemble de définition. 2) La représenter graphiquement. Activité 4: On donne ci-dessous le tableau de variation de deux fonctions f et g définies sur IR. ∞ En déduire le tableau de variations de la fonction fog sur IR. Composée de deux fonctions Définition Soit f une fonction dont l'ensemble de définition est D et g une fonction dont l'ensemble de définition est f(D). On appelle fonction composée de f et g, la fonction notée g o f et définie pour tout x D , par : ( gof ) (x) = g ( f ( x)) Remarque : fog est généralement différente de gof. Sens de variation d'une composée Soit f une fonction définie sur un intervalle I et g une fonction définie sur l'ensemble f (I) = {f(x), où x I }. Théorème Si f et g ont même sens de variation, alors gof est croissante sur I. Si f et g ont des sens de variation contraires, alors gof est décroissante sur I. Fonctions associées Théorème admis Soit C f la représentation graphique d'une fonction f dans un repère orthogonal  ( O; i , j ) 28  Chapitre 2 : Limites de fonctions. La courbe Cg représentant la fonction g définie par g ( x ) = f ( x) + k , k réel, est l'i- mage de Cf par tk j.. La courbe Ch représentant la fonction h définie par h( x ) = f ( x + ' ) , ' réel, est l'i- mage de Cf par t '.i. La courbe Ck représentant la fonction k définie par k ( x ) =  f ( x ) est l'image de Cf par la symétrie par rapport à l'axe des abscisses.. La courbe Cl représentant la fonction l définie par l ( x ) = f (  x ) est l'image de Cf par la symétrie par rapport à l'axe des ordonnées. 1 Soit f et f deux fonctions définies par f = x2 - 1 et f ( x ) = x 1 2 1 2 1) Déterminer les domaines de définition de f1 et f2. 2) a) Calculer, lorsque c'est possible : f1 of2 (3) ; f2 o f1 (3) ; f1 of2 (0) ; f2 o f1 (0) f1 of2 (-2) ; f2 o f1 (-2). b) Les domaines de définition de f1 of2 et f2 o f1 peuvent ils être identiques? 3) Déterminer les domaines de définition de f1 of2 et f2 o f1 , ainsi q'une expression de ces fonctions. 2 Démontrer que la composée de deux fonctions affines est une fonction affine. 3 Ecrire la fonction f comme composée de deux fonctions connues et en déduire son sens de variation dans chacun des cas suivants : a) f définie sur IR par f ( x ) = 1 ; b) f définie sur  2; 2  par f ( x ) =. 4  x 2 x2 + 1 4 Soit f ( x ) = 3x  1 définie sur IR 1. Vérifier que f ( x ) = 3 + 2 x 1 {} x 1. En déduire le tableau de variation de la fonction f. Préciser la transformation utilisée. 5 Soient f et g les fonctions définies sur IR par : f ( x ) = 2 x 2  1 et g ( x ) = 4 x  3x. 3 Vérifier que l'on a : ( fog )( x ) = ( gof )(.x ) 6 Soit f la fonction définie par : f ( x ) = x pour x IR + et C f sa courbe représentative  dans un repére (O; i, j ). Représenter dans le même repère les fonctions suivantes : g( x) = x + 3 ; h( x ) = x  2 ; k ( x ) =  x 29 cours Chapitre 2 : Limites de fonctions II. Limite d'une fonction. Activités préliminaires Activité 1 1) Déterminer la limite des fonctions suivantes quand x tend vers + : x  x ; x  x; x  x2; x  xn (n IN *) 2) Déterminer la limite des fonctions suivantes quand x tend vers + 1 ; 1 ; 1 1 x x x  2 ; x  n ( n IN *)) x x x x 3) Donner un exemple de fonction qui n'admet pas de limite en + Activité 2: Etudier la limite de la fonction f en l'endroit indiqué : x2  1 a) f(x) = 8x3 + 2x2 +1 en + ;  et 0. b) f ( x ) = en + ;  et 1. x 1 Activité 3: Déterminer les limites suivantes (on justifiera les réponses). a) lim ( 1 + 2 x + 3) b) lim (3 x + x 2 ) c) lim ( 5 + x 2 ) x + x x + x  x d) lim ( 1 + 3x 2  2) e) lim ( 3 + 5x + 7 ) f) lim ( 2 + 1 ) x  0+ x x  2+ x  2 x  2+ x + 2 2 Activité 4:   Dans chaque cas, tracer dans un repère orthonormé (O, i , j ) , une courbe représentant une fonction f vérifiant les conditions suivantes : 1) f est définie sur  1; +  ; lim f ( x ) = 0 ; lim f ( x ) = + ; f (0) = 3 x + x 1+ 2) f est définie sur 0; 3 et sur 3;+  ; f(0) =2 ; lim f ( x ) =  ; lim f ( x ) = + ; lim f ( x ) = 0 x3 x3+ x + Activités de découverte Activité 1: 1) Les théorèmes vus, permettent-ils de calculer : lim ( x  x ) ? x +  1  Montrer que, pour tout x > 0, x  x = x  1   , en déduire cette limite.  x 2) Déterminer la limite éventuelle de f(x) au point a , après avoir éventuellement simplifié. 30  Chapitre2 : Limites de fonction 3x  8 x 2 3 x + 5x + 6 2 a) f ( x ) = , a=0 , b) f ( x ) = , a = 2 x2 x+2 x2 + 1  1 x c) f ( x ) = , a=0 d) f ( x ) = , a=0 x x+3 x x 3  27 e) f ( x ) = , a=3 f) f ( x ) = x  x 2 + 1 a, = + x3 Activité 2 : 1) Ecrire u : x  1 + x + x 2 sous la forme gof , puis déduire lim u( x ). x + 2) Déterminer la limite éventuelle de f au point considéré. x+3 1 a) f ( x ) = en + ; b) f ( x ) = sin en + ; x 1 x 3) Plus généralement, a, b, l sont chacun un réel ou l'un des symboles + ou  , si lim f ( x ) = b et lim g ( y ) = l , quelle conjecture peut-on faire à propos de lim gof ( x ) ? x a yb x a Limite finie en a (a réel) Définitions 1) Considérons une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant a (sauf peut - être en a) et L un réel. Une fonction f a pour limite L lorsque x tend vers a, si pour tout intervalle ouvert J contenant L , il existe un intervalle ouvert I contenant a tel que si x I a , f (x) {} J. On note lim f ( x ) = L ou lim f = L x a a 2) Considérons une fonction définie sur un intervalle ouvert de la forme  a, b  et L un réel. Une fonction f a pour limite L à droite en a si pour tout intervalle ouvert J contenant L, il existe un réel  > a tel que si x  a, , f(x) J On note lim+ f ( x ) = L ou lim+ f =L x a a 3) Considérons une fonctions définie sur un intervalle ouvert de la forme  b, a  et L un réel. Une fonction f a pour limite L à gauche en a si pour tout intervalle ouvert J contenant L, il existe un réel  < a tel que si x  , a , f (x) J. On note lim f ( x ) = L ou lim f =L x  a  a Remarques. Si une fonction admet une limite en a, cette limite est unique. ( lim+ f ( x ) = lim f ( x ) = L) ! ( lim f ( x ) = L) x a x a x a 31 cours Théorème Chapitre 2 : Limites de fonctions 1) f étant une fonction polynôme ou l'une des fonctions x  x , x  cos x , x  sin x , ou encore la somme, le produit, le quotient ou la valeur absolue de telles fonctions, si f est définie en a , alors lim f ( x ) = f ( a ) où a est un réel. x a 2) Si, pour x  a, f (x) = g(x), où g est une fonction définie en a et telle que lim g ( x ) = g ( a ) alors f admet une limite en a, et lim f ( x ) = g ( a ). x a x a Limite en + ou  Théorème A l'infini, une fonction polynôme a même limite que son terme du plus haut degré. A l’infini, une fonction rationnelle a même limite que le quotient simplifié de ses termes du plus haut degré. Opérations sur les limites Nous rappelons ci-dessous les résultats algébriques qui nous renseignent, dans certains cas, sur la limite d'une somme, d'un produit ou d'un quotient. Dans chaque cas, il s'agit de limites au même point a (a réel ou + ou  ). Théorème lim g x a 1) Limite d'une somme lim f ' +  Les fonctions f et g ayant une limite x a (finie ou infinie) en a , la fonction f + g admet une limite dans chacun l  + ' +  des cas décrits par le tableau ci-contre. + + + ?   ?  lim g x a 2) Limite d'un produit '  0 +  lim f Les fonctions f et g ayant une limite x a (finie ou infinie) en a , la fonction f.g admet une limite dans chacun des cas 0 ' ± ± décrits par le tableau ci-contre. + ± +   ±  + Remarque Si lim f ( x ) = 0 et lim g ( x ) = ± on ne peut conclure. x a x a 32  Chapitre 2 : Limites de fonctions lim g 3) Limite d'un quotient x a '  0 +  Les fonctions f et g ayant une limite (finie lim f x a f ou infinie) en a, la fonction admet une  g l 0 0 limite dans chacun des cas décrits par le ' + ± ? ? tableau ci-contre.  ± ? ? Remarque Si ' = 0 , on ne peut conclure que lorsque g garde un signe constant au voisinage de a. Les situations marquées ? sont appelées formes indéterminées. Limite d'une fonction composée : Théorème a, b, l sont chacun un réel ou l'un des symboles + ou  Si lim f ( x ) = b et lim g ( y ) = l , alors lim gof ( x ) = l x a yb x a 1 Cocher la seule bonne réponse 1  a) lim ( x  3  ) = + 0 x + x 2 b) lim (  x + 4 + ) + 0  x0 x 2x  7  c) lim + 0 2 x3 x  3 + 2 On a lim f ( x ) = 0, avec f ( x ) > 0; lim g ( x ) =  et lim h( x ) = 2. Alors x + x + x + a) lim ( f ( x ) + g ( x )) = +  0 on peut pas le savoir. x + b) lim f ( x ) × g ( x ) = +  0 on peut pas le savoir. x + c) lim h( x ) × g ( x ) = +  2 on peut pas le savoir. x + h( x ) d) lim = +  0 -2 x + f ( x) 33 cours 3 Trouver toutes les bonnes réponses. Chapitre 2 : Limites de fonctions Les fonctions u et g sont connues par les tableaux suivants. x  -2 5 + x  -2 5 2 3 + + 2 + + u(x) g(x) 0 1 3 0 -1   On considère la fonction f = g  u Soit la fonction u dont le tableau des variations est donnée ci-dessous. f ( 2) = 0 f ( 2) = 1 f (5) = 1 f ( 2) = 0 lim f ( x ) = 0 lim f ( x ) =  lim f ( x ) = + x + x  x  5+ 4 Etablir le tableau des variations complet de la fonction 1. Pourquoi peut-on dire que le u point E (2 ; 0) est exclu de la courbe de la fonction 1. u 5 On considére la fonction u définie sur 0; 6  et représentée par la courbe C ci-contre. Le minimum de u est 0,5 pour x = 3. 1) Dresser le tableau des variations de la fonction u. 2) Etudier le sens de variation de la fonction f = gou et dresser son tableau des variations où g est la fonction 1 x x 34  Chapitre 2 : Limites de fonctions III. Limites et droites asymptotes. Activités préliminaires Activité 1 :ctivités 1: 1) Réduire au même dénominateur en indiquant les valeurs interdites. b) 2 x  1 + x  1 , 3 1 4 1 2 a) 2  + , c) x  3 + , d)  +1 x x2 x2 x 1 2 x 1 x + 2 4x2  9x c 2) Déterminer a ,b et c tels que, pour tout x {} IR \ 2 ; x2 = ax + b + x2  x 3 + 3x 2  x  1 3) Soit f la fonction définie sur IR par f ( x ) = x2 + 1 c Déterminer les réels a,b et c tels que : f ( x ) = ax + b + 2 x +1 Activité 2 : Chaque courbe ci-dessous est celle d'une fonction f 1) Pour chaque fonction, lire son ensemble de définition, son tableau de variation. 2) Compléter le tableau obtenue par les limites aux bornes de l'ensemble de définition Activités de découverte Activité 1 : Soit f une fonction ayant le tableau des variations ci-contre. Interpréter, graphiquement, chaque limite et tracer une allure possible de la courbe représentant cette fonction. Activité 2 :  x3 + 2x2  x  2 Soit f la fonction définie sur 1;+  par f ( x ) =. x2  1 Soit D la droite d'équation y =  x + 2 , et C la courbe représentative de la fonction f. 1) Calculer lim ( f ( x ) + x  2). En donner une interprétation graphique. x + 2) Etudier la position relative de C par rapport à D sur l'intervalle 1;+  3) Etudier la limite de f en 1. En donner une interprétation graphique. 35 cours Chapitre 2 : Limites de fonctions Asymptote verticale Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert de borne a et C sa courbe représentative. Définition Si lim+ f ( x ) = ± ou lim f ( x ) = ± alors la droite d'équation x = a x a x a est une asymptote verticale pour la courbe C Asymptote horizontale Soit f une fonction définie sur un intervalle de borne + ou  et C sa courbe représentative. Définition : Si la limite de f(x) est un nombre L, quand x tend vers + , (ou  ), alors la droite d'équation y = L est asymptote horizontale à C en + ( ou  ) 36  Chapitre 2 : Limite de fonction Asymptote oblique Soit f une fonction définie sur un intervalle de borne + ou  , C sa courbe représentative et D une droite d'équation y = ax + b dans un repère ( a  0 ) Définition : Si la limite de la différence f(x)-(ax+b) est nulle quand x tend vers + (ou  ) alors la droite d'équation y = ax + b est asymptote oblique à C en + (ou  ). Méthode 1) Pour avoir une asymptote verticale, la valeur interdite ne suffit pas : il faut aussi que, en cette valeur, la limite à droite ou à gauche soit infinie. 2) a- Pour montrer qu'une droite donnée d'équation y = ax+b (avec a  0 ) est asymptote oblique ; on calcule la différence d(x) = f(x) - (ax + b); on étudie la limite à l'infini de d(x) et on doit trouver 0. b- Pour étudier la position relative de C et de D, on étudie le signe de d(x). 37 cours Chapitre 2 : Limites de fonctions 1 Soit f une fonction ayant le tableau des variations ci-aprés. Interpréter, graphiquement, chaque limite et tracer une allure possible de la courbe de f.  x2 + 2x + 7 Soit f la fonction définie sur  1; +  par f ( x ) = et D la droite d'équation y = - x+3 x + 1 1) Montrer que D est asymptote à C représentant f en +. 2) Etudier la position relative de C par rapport à D 2 IV. Limites par comparaison. Activité 1: Activités de découverte 1 + x2 1 Soit g ( x ) =. Démontrer que, pour tout réel x, g ( x ). x 2 x2 Peut-on, alors, calculer la limite de g en 0 ? Activité 2: Considérons une fonction croissante sur un intervalle I =  a; b . Montrer que, pour tout x de I on a : f ( a ) f ( x ) f ( b). En déduire que f est bornée sur I. Activité 3: Soient f, u et v des fonctions définies sur un intervalle du type  a;+  (a IR ). 1) Démontrer que, si pour tout réel x assez grand, on a f ( x ) u( x ) et si lim u( x ) = + x + alors lim f ( x ) = + x + 2) Démontrer que, si pour tout si pour tout réel x assez grand, on a f(x ) ≤ v (x) et si lim v ( x ) =  alors lim f ( x ) =  x + x + Activité 4: Soient f et u deux fonctions définies sur un intervalle du type  a;+  (a réel). Démontrer que, si pour tout réel x assez grand, on a f ( x )   u( x ) et si lim u( x ) = 0 x + alors lim f ( x ) =  x + 38  Chapitre 2 : Limites de fonctions Théorème 1 Soient f et g deux fonctions définies sur le même intervalle I. Si lim g ( x ) = + x a et si pour tout x I, f (x) ≥ g(x) alors lim f ( x ).= + x a Théorème 2 Soient f, u et v des fonctions admettant des limites en un réel a. Si pour tout réel x assez proche de a , on a : u(x) ≤ f(x) ≤ v(x) et si lim u( x ) = lim v ( x ) =  alors la fonction f admet une limite en a et x a x a lim f ( x ) =  x a Conséquence Soient f et g deux fonctions définies sur le même intervalle I. Si lim g ( x ) = 0 x a et si pour tout x I, f ( x )   g ( x ) alors lim f ( x ) =  x a Ces résultats s’étendent aux limites en  , + , a+ et a- 1 Soit h : x  1 + x  x 1) Démontrer que, pour tout réel x strictement positif :  1  h( x ) = x  + 1  1 ; pouvez-vous en déduire lim h( x ) ?  x  x + 2) Vérifier que les trois relations suivantes sont vraies pour tout x de IR*+ 1 1 0 < h(x) < x + 1 ; h( x ) = ; 0 < h(x) < x +1 + x x Dire celles qui permettent de déterminer lim h( x ); déterminez cette limite x + 2 Déterminer la limite en + et  de la fonction définie sur IR par : f ( x ) = x + sin x 1 3 Déterminer la limite en 0 de la fonction définie sur IR*+ par f ( x ) = x sin 3x + 4 1 x 4 Une fonction f est telle que, sur 0;+ , on a : f ( x ) < 3 +   x+2 x Déterminer la limite de f en +. 5 Corriger les réponses fausses. Les fonctions h et g sont données par leurs courbes respectives C et C'. On donne des informations sur la fonction f. a) Si f(x) ≤ h(x) sur0;+ , alors lim f ( x ) =  x + b) Si f(x) ≤ g(x) sur0;+ , alors lim+ f ( x ) =  x0 c) Si f(x) ≥ g(x) sur  ;0 , alors lim f ( x ) = + x  d) Si g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) sur   ;0 alors lim f ( x ) = 0 x  e) Si f(x) ≥ g(x) sur 0;+  , alors lim f ( x ) = + x + 39  Chapitre 2 : Limites de fonctions Situation 1 : Etudier la limite en + et en  de la fonction f : x  x 2 + x  x. Point méthode Dans le cas de telles fonctions, il est parfois efficace d'utiliser la technique de multiplication par l'expres- sion conjuguée, lorsque les théorèmes usuels ne permettent pas de conclure directement x 1 Vérifier que, pour x > 0 ,f ( x ) = puis f ( x ) = ; déduire, alors lim f ( x ) x2 + x + x 1 x + 1+ + 1 x et l'interpréter graphiquement. Le théoréme sur les limites des fonctions composées et le théoréme donnant la limite d'une somme donnent lim f ( x ) = +.Par ailleurs, f ( x ) + 2 x = x. Achever ce calcul et x  trouver l'asymptote au voisinage de  x +xx 2 Situation 2 : f est la fonction définie sur IR par f ( x ) = 2 x 2 + x + 1 , C est la courbe représentative de f dans un repère donné. Démontrer que, C admet une asymptote oblique au voisinage de +. Une solution repose sur la remarque suivante : ce qui gène, c'est la présence de x, car si , f ( x ) = 2 x 2 + 1 intuitivement, « pour les grandes valeurs de x, f(x) se comporte comme 2 x 2 = ( 2 ) x et donc y = 2 x est asymptote ». prouvez-le. L'idée, alors, est d'écrire f sous la forme : aX 2 + b. Pour cela : écrire le trinome 2x2 + x + 1 sous la forme canonique, puis 1 2 7 déduire que, pour tout x f ( x ) = 2( x + ) +. 4 8 1 Prouver, enfin, que la droite d'équation y = 2 ( x + ) est asymptote à C. 4 Situation 3 : x +1  2 f est la fonction définie par f ( x ) = 2 x + 19  5 1) Déterminer le domaine de définition D de f. 2) Etudier la limite de f en 3. Conclure. Vers une solution 2 x + 19 + 5 2) Montrer que pour tout x de D, f ( x ) = ( ) (on multiplie le numérateur et le 2 x +1 + 2 dénominateur de f(x) par l'expression conjuguée x + 1  2 puis par l'expression conjuguée ( 2 x + 19  5 ). 40  Chapitre 2 : Limites de fonction Fonction composée et limites sous GEOPLAN 3 On considère la fonction définie sur 0;+  par u( x ) =  + 3 de courbe Cu dans x un repère du plan. Travail sur papier Soit la fonction g définie sur IR par g(x) = 4 - x2 de courbe Cg et f = g  u. Sans calculer f(x) , établir le sens de variation de f sur 0;+  à l'aide des fonctions composées. Création et interprétation de la figure sous GEOPLAN a) Créer la fonction u et la fonction g ainsi que leurs courbes Cu et Cg et les points A, B et M dans le repère Roxy. b) Déplacer le point M par : et utiliser les fléches du clavier. Vérifier que la composée est bien définie sur 0; 3. c) Où se trouve le point A quand x = 3 ? Donner les coordonnées de A, de B et de M quand x =1 ; puis quand x = 2. d) Quand x est proche de 0, que devient l'ordonnée de A ? L'ordonnée de B ? L'ordonnée de M ? Pour aller plus loin Modifier la fonction u en cliquant sur puis u ; entrer u(x) = 11 - x2. On modifie les bornes du tracé de la courbe Cu : on modifie le réel x : x et choisir les mêmes bornes a) Par lecture graphique, donner le tableau complet des variations de la composée g  u b) Démontrer tous les éléments du tableau trouvé. 41  Chapitre 2 : Limites de fonction 1 Q.C.M. Trouver toutes les bonnes réponses. et f n ( x ) = f0  f n 1 ( x )  pour n   {1; 2; 3; 4...} {} Une fonction f est définie sur IR \ 2. Soit C   représentative dans un repère sa courbe calculer f 2007 ( 2007 ) (O ; i, j ) On connait son tableau de variation. 5 Ci-dessous les courbes représentants les fonctions : f ( x ) = 1 + x 2 et g ( x ) = x On a construit la courbe représentant leur composée h. Reconnaitre cette fonction et a) Pour tout réel x de   ;2  ,f ( x ) 2. préciser son sens de variation. b) Dans  1;1 , l'équation admet une unique solution.f ( x ) = 1 c) f(0) > 0 ; f(5) < 0. d) La droite d'équation x = 0 est asymptote à C. 1 e) lim f ( x) = + ; f) lim = x  x + f ( x) 1 g) lim f ( x ) = + ; h) lim =+ x2 x 1 x >1 f ( x) 6 La courbe C donnée ci-dessous est la 2 Les fonctions f et g de la variable réelle x sont courbe représentative d'une fonction f défi- toutes deux croissantes sur l'intervalle  1;1 nie sur l'intervalle 3; + . 1) Est-il vrai que la somme f +g de ces deux Dresser le tableau des variations de cette fonctions est également croissante ? fonction Si oui, le démontrer ; si non, donner un contre- exemple. 2) Est-il vrai que le produit f x g de ces deux fonctions est également croissante ? Si oui, le démontrer ; si non, donner un contre- exemple. 3 Deux fonctions f et g sont définies sur IR , f est croissante sur IR et g est décroissante sur IR Peut-on déduire le sens de variation sur IR de : 7 On considére les fonctions f, g et h a) la fonction g o f ? connues par leurs courbes représentatives b) la fonction f x g ? si la réponse est oui, ci-dessous. énoncer puis démontrer le résultat. Si la réponse est non, expliquer pourquoi en s'ap- puyant éventuellement sur un contre exemple. { } 1 4 On pose f0 ( x ) = 1  pour x IR  0;1 x 42  Chapitre 2 : Limites de fonction 1) Préciser les limites de f (x), g(x) et 2) a)Justifier que la composée f = gou est h (x) quand x tend vers +. définie sur :   ; 3 * 5; + . 2) Lorsque cela est possible, donner les limites b) Etudier le sens de variation de f. en + de: f + g ; f + h ; g + h ; c) Déterminer ( gou )( 2) et ( gou )(0). f x g ; f x h ; g x h. 3) a) Lire graphiquement les limites suivan- 3) Donner les limites en  et, si elle existent, teslim u( x ) lim g ( x ) x + x 0 de : f + g ; g + h ; f x g ; f x h ; g x h. et 4) Déterminer les limites en + et en  , si lim u( x ) lim g ( x ) x  3 x 2 cela est possible, de f ; h ; f ; 3 + 1 ; et 1 g g h f lim u( x ) lim g ( x ) 2h x  5+ x 2 et ; g lim u( x ) et lim g ( x ) x  x + 8 Etudier les limites des fonctions suivantes au point considéré. b)Que peut-on prévoir pour les limites de f ? a) f : x  x  x + 1 en + 10 Etudier les limites en + des fonctions: x b) g : x  en 0 x+9 3 3 + 2x a) f : x  2 x  5x 3 ; b) g : x  c) h : x  x 2 + x + 1  x en + x2  3 9 x3  x + 1 x + 2x c) h : x  ; d) k : x  8x 2  1 1  5x 11 Une fonction u est donnée par la courbe C. 1) a) Résoudre l'équation u (x) = - x +4. b) Résoudre l'inéquation u (x) < 0. c) Dresser le tableau des variations de On considère les fonctions u et g représentées cette fonction et indiquer le signe de u (x). ci-dessus par les courbes Cu et Cg. 2) On considère la fonction g connue par 1) Dresser le tableau des variations de u et g. son tableau des variations : 43  Chapitre 2 : Limites de fonctions c) C a une asymptote horizontale en  d'équation y = -1. d- f est croissante sur   ;2  et sur 2;+  e) L'équation f (x) =0 a pour ensemble de { } solutions 0; 5 Déterminer le sens de variation de la composée f = gou définie sur   ;5. 15 Une courbe C est la représentation d'une bx + c fonction définie sur IR par: f ( x ) = a + 12 On pose f ( x ) = (50 + x )  2500 20 2 x2 + 4 x 20 la courbe C passe par les points A(0; 1) et a) A l'aide de la calculatrice, donner une valeur B(1;1). Au point A, la tangente à C est approchée de (50 + x 20 )2, puis de f ( x ) pour : paralléle à la droite D d'équation y =  x. x = 0, 6 ; 0,5 ; 0,4 ; 0,3 ; 0,2 ; 0,1 et 0,01. 1) Déterminer les réels a, b et c. Peut-on conjecturer la limite de f en 0 ? 2) Déterminer la limite de f en + et en  b) En développant (50 + x 20 )2 , simplifier l'ex- En donner une interprétation graphique. pression de f ( x ) , pour x  0. Calculer alors la 3) Résoudre l'équation f ( x ) = 0. limite de f en 0. c) Vaincre la tentation de se débarrasser de la calculatrice. 16 Soit f la fonction définie sur IR {2} 1 13 Soit f la fonction définie sur 2;+  par par f ( x) = x  1 + x2  x 2 + 3x 1) Déterminer les limites aux bornes des f ( x) = intervalles de son domaine de définition. x2 2) Préciser les asymptotes à la courbe C a) Déterminer la limite de f en +. représentant f dans un repére orthonormé b) Déterminer les réels a , b et c tels que,sur   c (O , i , j )  2;+  : f ( x ) = ax + b + x2 3) Montrer que le point ,( 2;1) est un centre Déduire que la courbe C représentant la    de symétrie de C. Donner l'équation de la fonction f , admet la droite D d'équation courbe C dans le repère (,, i , j ) puis la y =  x + 1 comme asymptote oblique en +. construire. c) Déterminer la limite de f en 2. En donner une interprétation graphique 17 On considére les deux fonctions f et g 14 Dans un repère orthonormé, tracer une allure { } définies sur IR \ 2, 0 par : de la courbe C d'une fonction f définie sur IR 2 {} 1 f ( x) = + 1 1 et g ( x ) =  1 telle que : x x+2 x x+2 a) C a une asymptote verticale d'équation 1) Etudier les limites de f et de g aux bornes x = 2. de leur ensemble de définition. En déduire b) C a une asymptote horizontale en + que les courbes représentatives Cf et Cg ont d'équation y = 3. les mêmes asymptotes. 44  Chapitre 2 : Limites de fonction  2) Soit Ω(-1;0)dans un repère (O; i, j ) , montrer   4) Tracer sur un même repère les représen- que Ω est un centre de symétrie de Cf et (,, j ) tations graphiques de f et g sur l'intervalle axe de symétrie de Cg  1; +  3) Ecrire  les équations de Cf et Cg dans le repère 5) Comparer les nombres suivants :  (,, i , j ) A = 1, 0000002 et B = 1, 0000004 18 C et C' sont les courbes respectives de deux 20 1) Quel est le plus grand des deux fonctions f et g définies sur IR. nombres 1, 0000002 0, 9999996 suivants : A = et B = 1, 0000004 0, 9999998 2) Soient f et g les fonctions définies par : 1 + 2x 1  4x f ( x) = et g ( x ) = 1 + 4x 1  2x a) Que vaut f (107 ) etg(107 ) ? 1 1 b) Démontrer que pour x  et x  , 1) Si h est une fonction définie sur IR telle que, 2 4 pour tout réel x, on a h( x ) f (, x ) que peut-on 12 x 2 en déduire pour les limites de h en + et  ? f ( x )  g ( x ) = 2) Si k est une fonction définie sur IR telle que, (1 + 4 x )(1  2 x ) pour tout réel x, on a k ( x ) g ( x ) , peut-on en c) Résoudre l'inéquation : f ( x )  g ( x ) > 0. déduire les limites de k en + et  ? Si oui, Quel est, alors, le signe de: les donner. f (107 )  g (107 ) ? 3) Comparer les nombres A et B. 19 On considére les fonctions f et g définies sur l'intervalle  1; +  par : f ( x ) = 1 + x et x g( x) = 1 + 2 1) Montrer que f ( x ) 0 et g ( x ) 0 pour x  1; +  2) Calculer ( f ( x ))2 et ( g ( x ))2 puis comparer ( f ( x ))2 et ( g ( x ))2 pour tout x  1; +  3) Déduire une comparaison de f et g sur l'intervalle  1; +. 45  Chapitre 2 : Limites de fonctions L'asymptote : une notion en évolution Donner une définition du mot asymptote n'est pas une chose simple. Les premières rencontres avec la notion en soulignent le caractére à priori paradoxal. Dans les Essais (II, 2), Montaigne rapporte ainsi les travaux de Jacques Peletier (1517 - 1582), un érudit proche de Ronsard et de la Pléiade : «Jacques Peletier me disait chez moi qu'il avait trouvé deux lignes s'ache- Michel Eyquem de minant l'une vers l'autre pour se joindre, Montaigne qu'il vérifiait toutefois ne pouvoir jamais, «Les Essais» de Montaigne jusques à l'infinité, arriver à se toucher.» L'interdiction du contact ayant progressivement disparu, l'idée géné- rale qui subsiste de nos jours est celle de proximité locale entre deux courbes. 46