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II. 1 CAPITOLO II DIODI A GIUNZIONE p-n 2.1 - Introduzione...

II. 1 CAPITOLO II DIODI A GIUNZIONE p-n 2.1 - Introduzione giunzione Il comportamento delle giunzioni fra metallurgica I materiali semiconduttori di differenti caratteristiche di conducibilità riveste importanza fondamentale per lo studio dei a) p n dispositivi a semiconduttore. Il più semplice di tali dispositivi, il diodo a giunzione p-n, è + - costituito, come indicato schematicamente in V fig. 1.a), da una barretta di semiconduttore di cui una parte è di tipo p, l’altra di tipo n; agli estremi della barretta vengono saldati due b) contatti metallici, attraverso i quali il diodo può venire collegato ad un circuito esterno. In fig. 1.b) è riportato il simbolo impiegato per Fig. 1 rappresentare negli schemi elettrici il diodo a giunzione. Questo dispositivo riveste un ruolo importante in elettronica non solo perché nelle applicazioni si fa largo uso di diodi, ma soprattutto perché il suo studio consente la comprensione del funzionamento di molti I [mA] altri dispositivi elettronici. Esaminando sperimentalmente la dipendenza tra la 100 corrente I che scorre nel diodo e la tensione 50 applicata V, si può ricavare per punti la -200 caratteristica del diodo, che per un tipico V [V] Vγ 1 diodo al silicio ha l’aspetto indicato in fig.2. Si vede da tale figura che la conduzione avviene facilmente, cioè si ha una corrente notevole, la corrente diretta, con bassi valori di tensione applicata (con V > Vγ, detta tensione di soglia), per il caso di Fig. 2 (Gennaio 2009)  II. 2 polarizzazione diretta, in cui il potenziale del terminale collegato alla regione p è superiore a quello del terminale collegato alla regione n. Nel tratto della caratteristica corrispondente alla polarizzazione inversa, invece, la corrente inversa è estremamente piccola (non rilevabile alla stessa scala usata per la corrente diretta) per un vasto campo di valori della tensione inversa applicata, fino ad arrivare ad una tensione inversa di rottura oltre la quale la corrente cresce rapidamente. Questo comportamento, almeno in parte, è prevedibile intuitivamente in base a semplici ragionamenti sulla disponibilità di cariche mobili nelle due zone del diodo. Nel caso di polarizzazione diretta la corrente è grande perché dovuta alle abbondanti cariche maggioritarie delle due zone che si dirigono verso la giunzione e vengono spinte ad attraversarla, mentre la polarizzazione inversa tende ad allontanare le cariche maggioritarie dalla giunzione ed in questo caso la corrente può essere dovuta soltanto alle cariche minoritarie, cioè alle poche lacune pn presenti nella zona n ed agli elettroni np presenti nella zona p. Va sottolineato in conclusione di questo paragrafo introduttivo che la giunzione p-n è un dispositivo non lineare; è sufficiente per questo confrontare la sua caratteristica I = f(V) di fig. 2 con quella di una resistenza lineare, rappresentata da una retta passante per l’origine. Inoltre la caratteristica di fig. 2 è simile alla caratteristica di un diodo ideale che svolga la funzione di un interruttore ideale, in quanto nel diodo ideale la corrente scorre facilmente in una direzione senza caduta ai suoi capi (interruttore chiuso) e la blocca in direzione opposta (interruttore aperto). L’unica differenza è che l’interruttore ideale funziona indipendentemente dalla tensione ai suoi capi e dal verso della corrente. 2.2 - Giunzione p-n in condizioni di equilibrio (assenza di polarizzazione) Per esaminare più in dettaglio i fenomeni che avvengono in vicinanza della giunzione, consideriamo dapprima la p n situazione in regime di equilibrio, cioè quando al diodo non è applicata alcuna sollecitazione esterna (tensione, corrente, luce, ecc.), come Fig. 3 mostrato in fig. 3. Si vede facilmente che è indifferente considerare il caso di circuito  II. 3 chiuso o aperto: a circuito chiuso non può passare alcuna corrente, poiché non vi sono sorgenti di energia nel sistema; dunque la differenza di potenziale fra i terminali deve essere nulla anche a circuito aperto e l’apertura o chiusura dell’interruttore non ha alcuna influenza sulla situazione. Da un punto di vista puramente concettuale, si può pensare di costruire un diodo portando a contatto due barrette di semiconduttore, di tipo p ed n rispettivamente, inizialmente separate (fig. 4). A contatto eseguito, si ha una diffusione di cariche p ed n attraverso la giunzione dovuta alla brusca variazione delle concentrazioni in corrispondenza della giunzione: si ricordino le equazioni (24) e (25) del cap. I. Le lacune, diffondendo nella zona n, si ricombinano con gli elettroni ivi presenti in grande quantità, e similmente gli elettroni diffondendo nella zona p “riempiono” le lacune ivi presenti. Ciò dà luogo, nelle immediate vicinanze della giunzione, a due W regioni in cui la concentrazione totale delle p n cariche mobili (cioè n + p) è minore del valore + + + (*) - - - - di equilibrio. + + + - - - - + + + Nella zona di svuotamento di - - - - + + + larghezza W si ha una densità di carica spaziale (Coulomb⋅cm-3) diversa da zero, E NA ND perché le cariche fisse (ioni donatori nella zona n, con concentrazione ND , ioni accettori 0 x nella zona p, con concentrazione NA) non sono più completamente neutralizzate da Fig. 4 (**) elettroni e lacune mobili. La presenza di due zone di carica spaziale di segno contrario (positiva nella zona n, negativa nella zona p) determina la nascita di un campo elettrico E perpendicolare al piano della giunzione di verso tale da contrastare i flussi delle cariche mobili dovuti alla diffusione. In equilibrio, in tutti i punti della zona di carica spaziale l'effetto del campo elettrico compensa esattamente quello delle variazioni di concentrazione, e ambedue i flussi totali delle cariche mobili sono nulli: Fp = Fn = 0. Ricordando quanto detto nel capitolo precedente, possiamo scrivere per le lacune: (*) La relazione pn = ni2 continua però a valere in tutti i punti del semiconduttore ed anche nella zona svuotata, finché non sono applicati campi esterni: si ricordi che tale relazione è stata ricavata in base alla distribuzione statistica di Fermi-Dirac, che vale sempre in condizioni di equilibrio. (**) Per maggiore chiarezza, da questo punto in poi, con NA si indicherà la concentrazione drogante della zona p e con ND quella della zona n. Si ricordi che nel cap. 1 si è accennato alla possibilità di due drogaggi NA e ND nella stessa zona di semiconduttore.  II. 4 dp (1) Fp = − Dp +µp E p=0 dx dove è  E i −E F  dp d   p  dE i dE F  (2) = dx dx  n i e kT  = kT  dx − dx       Osserviamo a questo punto che la presenza del campo elettrico nella zona di svuotamento, cioè la presenza di una forza agente sugli elettroni, determina una inclinazione dei margini delle bande, EC (x) ed EV (x); il diagramma dei livelli di energia si viene quindi a deformare, mantenendo però inalterata l'altezza della banda proibita EC - EV in ogni punto. Precisamente, in base alla definizione di energia potenziale, avremo: dE C dE V dE i (3) = = =qE dx dx dx essendo -q la carica dell’elettrone. Tenendo conto della (2) e della (3), la (1) diventa  p dE F p  D p  − qE +µp E p=0   kT dx kT  Quest’ultima relazione si semplifica facendo uso della relazione di Einstein Dp = µp k T/q [formule (26) del cap. 1] e si ottiene: E dE F E p n (4) =0 EC dx qΦ Ei cioè il livello di Fermi, in condizioni di EF EF equilibrio, è costante con x attraversando Ei EV l’intera giunzione p-n. Alla stessa conclusione si sarebbe arrivati, come è ovvio, imponendo la condizione Fn = 0. Si conclude quindi che in condizioni di W x equilibrio gli andamenti degli estremi delle bande e la posizione del livello di Fermi Fig. 5  II. 5 attraverso la giunzione è quella riportata in fig. 5. Lontano dalla giunzione le concentrazioni p ed n e quindi la posizione del livello di Fermi rispetto ad Ei, sono praticamente eguali ai valori di equilibrio per un semiconduttore omogeneo di lunghezza infinita; nelle vicinanze della giunzione invece le concentrazioni dei portatori mobili cambiano in modo drastico, passando da una alta concentrazione di lacune nella zona p ad una alta concentrazione di elettroni nella zona n. La larghezza W della zona di transizione (chiamata anche zona svuotata o zona di carica spaziale) può essere determinata con buona approssimazione considerando la zona stessa come completamente priva di cariche mobili. Infatti quando il livello di Fermi intrinseco Ei si avvicina a quello effettivo EF, n e p diventano dello stesso ordine di grandezza (e quando i 2 andamenti di n(x) e di p(x) si intersecano, le concentrazioni dei W portatori mobili diventano eguali e pari ad ni). p n In queste condizioni il numero complessivo - - - - + + + delle cariche mobili n + p diventa trascurabile + + + - - - - + + + rispetto a NA o a ND se le intensità dei due - - - - + + + drogaggi non sono troppo basse. Anche all’inizio della zona di transizione, ad esempio ρ nella parte p, è sufficiente che il livello Ei si ρn abbassi di qualche unità kT (0,026 eV a temperatura ambiente) perché p diventi molto x minore di NA ; da questo punto fino in ρp prossimità della fine della zona di transizione (nella parte n) le cariche presenti sono praticamente soltanto quelle degli atomi impurità ionizzati, in concentrazioni NA e ND E xp xn rispettivamente. Nell'analisi che segue ci x limiteremo a considerare il caso in cui NA e ND Ex sono costanti nelle rispettive zone: un tale tipo di giunzione prende il nome di giunzione a V gradino. Nell'approssimazione dello svuotamento Φ totale, le densità di carica a destra e a sinistra della giunzione sono costanti, ed è facile x ricavare una relazione tra la larghezza della Fig. 6  II. 6 zona svuotata W = xp + xn e l'altezza della barriera di potenziale Φ (fig.6) quest'ultima espressa in Volt. Come si vede dalla figura citata, q Φ rappresenta la variazione complessiva dell'altezza dei margini delle bande (EC, per esempio, o Ei o EV) attraverso la zona svuotata. Data la costanza del livello di Fermi, si ha evidentemente: (5) q Φ = Ei – EF p + EF – Ei n in cui I pedici p ed n si riferiscono alle regioni p ed n lontane dalla giunzione. Il campo elettrico E (fig. 6) soddisfa l’equazione di Poisson ∇ E = ρ / εs, che nel caso unidimensionale diventa dE ρ ( x ) (6) = dx εs dove con εs si è indicata la costante dielettrica del semiconduttore, pari a εo εr, e con ρ (x) la densità di carica totale. Attraverso una prima integrazione si trova l’andamento del campo elettrico. Il valore massimo di questo si ha in corrispondenza del piano della giunzione, ed è pari a: xp xn (7) Ex =ρp = ρn εs εs da cui  ρp  (8) W = x p + x n = x p 1 +   ρn    Essendo E = - dV / dx , la differenza di potenziale Φ attraverso la giunzione è data dall’area tratteggiata nel diagramma (E, x) di fig. 6, dato che l’integrale di E lungo x è proprio pari al salto di potenziale Φ. Pertanto si ha: W xp ρp W2 Φ =Ex =W ρ p = 2 2εs ρp 2εs 1+ ρn  II. 7 Le densità ρp e ρn (in valore assoluto) sono date, nell'ipotesi di svuotamento completo, da NA q e ND q rispettivamente; tenendo conto di ciò ed esprimendo W in funzione del potenziale di barriera Φ, si ha infine: 2ε s NA +ND (9) W = Φ q NA ND Riassumendo, in un diodo non polarizzato si determina una differenza di potenziale Φ attraverso la giunzione; in una zona di larghezza W = xp + xn a cavallo della giunzione non si hanno praticamente cariche mobili. Le cariche fisse danno origine ad un campo elettrico tale da bilanciare esattamente la tendenza delle cariche mobili a diffondere attraverso la giunzione. Esercizio: Per una giunzione p-n a gradino asimmetrica con NA > ND, ottenere l'espressione delle concentrazioni p ed n in funzione della variabile x in condizioni di equilibrio, usando l'andamento del potenziale relativo all'ipotesi dello svuotamento completo. (Si ponga l'origine dell'asse x sul margine sinistro della regione di svuotamento nella zona p). qV (x) q [V ( x )−Φ ] − − p(x )=NA e kT n(x )= ND e kT per x < 0 : V (x )= 0 q NA per 0 < x < xp : V (x )= x2 2ε s xp q ND x p2 per xp < x < W : V ( x ) = q (N A + ND )x − x 2 − q (N A + N D ) εs 2εs 2εs kT NA ND per x > W : V ( x ) =Φ = ln q n i2  II. 8 Esercizio: Usando l'andamento del ρ p n potenziale, in condizioni di  1 q ND  1 −  equilibrio, calcolato prece-  e qND dentemente, verificare la validità dell'ipotesi dello ∆xp svuotamento completo.  1 ∆xn x Calcolare le larghezze delle q N A 1 −  qNA  e due zone, ∆xp e ∆xn, in cui lo svuotamento non può considerarsi completo, e Fig. 7 confrontare ∆xp e ∆xn con xp e xn rispettivamente: fig.7 (Le quantità ∆xp e ∆xn vengono talvolta chiamate come “lunghezze estrinseche di Debye”).      ∆ xp = N A + ND ∆ xn = N A + ND   x N N xn N N   p N D ln A 2 D N A ln A 2 D   ni ni  Esercizio: Per la giunzione considerata negli esercizi precedenti, determinare l'ascissa xi del punto in cui, in condizioni di equilibrio, il livello Ei incrocia il livello di Fermi EF.  2 kT ε s ND   xi = W − ln   q 2 N n   D i  2.3 - Giunzione p-n in polarizzazione inversa e capacità di barriera. Applicando al diodo una tensione (esterna) inversa, cioè rendendo il terminale della zona p negativo rispetto a quello della zona n (fig. 8.a), non si ha praticamente passaggio di corrente. In queste condizioni, lontano dalla giunzione, le concentrazioni p ed n sono ancora quelle di equilibrio, mentre nella zona di svuotamento le cariche mobili generate  II. 9 termicamente o provenienti per diffusione dalle zone neutre, vengono immediatamente spazzate via dal campo elettrico. Nella zona svuotata, quindi, le concentrazioni p ed n sono ancora minori che p n a) nel caso precedente, e per il nuovo valore di W vale la trattazione fatta, pur di considerare al posto di Φ la altezza totale della barriera, Φ + V: E E p n EC 2εs NA +ND (10) W = (Φ + V ) q NA ND Ei q(Φ + V) EFp La larghezza della zona svuotata risulta EV qV pertanto maggiore che nel caso di equilibrio, e EFn b) per valori di V >> Φ varia con la radice Ei quadrata della tensione inversa applicata (ricordiamo che ci stiamo riferendo alla giunzione a gradino). La fig. 8.b) illustra l'andamento delle x W bande di energia. Si noti che in questo caso non ha senso parlare di livello di Fermi nella Fig. 8 zona svuotata. La distribuzione di Fermi F(E) infatti, vale in condizioni di equilibrio: se vi è tensione esterna applicata, la distribuzione di Fermi sussiste soltanto nelle zone del semconduttore in cui il campo elettrico è nullo o trascurabile. Nella zona svuotata, adesso, il prodotto pn è molto minore del valore di equilibrio a causa della presenza del campo elettrico impresso. Esercizio: Per una giunzione p-n in silicio, con NA = 1018cm-3 ed ND = 1016cm-3 , si calcoli (in condizioni di equilibrio) il valore del campo elettrico nella sezione in cui Ei = EF. Se l'area della giunzione è di 1 mm2, si determinino i valori delle correnti elettroniche e di lacune, rispettivamente, dovute al campo elettrico e alla diffusione, in quella sezione.  2 kT ND ND  Ei = ln   εs ni     II. 10 Dal punto di vista del circuito esterno, il diodo polarizzato inversamente si comporta in modo analogo a un condensatore, dato che la tensione applicata provoca una variazione dello spessore del doppio strato di cariche fisse presenti nei due lati della giunzione. A differenza però dei normali condensatori, la carica su una "armatura" non risulta proporzionale alla tensione: il diodo polarizzato inversamente è un esempio di capacità non lineare. E' utile definire una capacità differenziale: C∆ = ∆Q / ∆V p n + data (fig.9) dal rapporto fra l'aumento di V ρ carica ∆Q = A ρp ∆xp = A ρn ∆xn su un lato pn xn ∆x n della giunzione e la variazione di tensione x inversa che lo ha causato (*); A è l'area della ∆xp xp pp giunzione. ε W x Riferendosi a una giunzione di sezione unitaria (A=1), a meno di infinitesimi di ordine superiore al primo, si ha, ricordando la (6): V ∆ε ∆V ∆Q = ρp ∆xp = εs ∆ E x { } ∆V = ∆ ∫ − E (x )dx ≈ W ∆E W Fig. 9 La capacità differenziale per unità di superficie è dunque: εs (11) C∆ = [ F / cm 2 ] W espressione identica a quella relativa ad un condensatore piano, di area unitaria con separazione W tra le armature, e riempito nello spazio tra le due armature con un dielettrico che abbia la stessa costante dielettrica εs del silicio. Nella (11) W dipende dalla tensione applicata [si ricordi la (9)], per cui C∆ risulta funzione (decrescente) di V e quindi la giunzione p-n in polarizzazione inversa è un raro esempio di capacità non lineare. (*) Per un condensatore "normale" (lineare) in cui Q è proporzionale a V, C∆ coincide chiaramente con la capacità C definita nel solito modo.  II. 11 Il comportamento da capacità variabile (varactor) con la tensione applicata ai capi di un diodo polarizzato inversamente viene utilizzato nell’accordo a distanza di circuiti risonanti LC nei ricevitori di segnali impiegati nei satelliti. Esercizio: Per la giunzione dell'esercizio precedente, calcolare il valore della capacità differenziale a 0, 50 e 100 V di tensione inversa applicata. ( a 0V C∆ = 318 pF a 50V C∆ = 40,3 pF a 100V C∆ = 28,6 pF) 2.4 – La corrente inversa di diffusione. Nelle considerazioni finora svolte abbiamo trascurato il fatto che la tensione inversa V provoca il passaggio di una corrente attraverso la giunzione. Tale corrente, pur essendo di solito molto piccola, merita uno studio estremamente attento sia perché essa in certi casi limita la pratica utilizzazione del diodo, sia perché il meccanismo che la genera rappresenta un primo esempio di applicazione delle leggi relative alle condizioni di non equilibrio studiate nel capitolo precedente. Riferendosi al diagramma a bande (fig.10), si vede innanzitutto che i portatori maggioritari non possono dar luogo a corrente attraverso la giunzione, dato che il campo presente nella zona svuotata li respinge verso le zone p ed n rispettivamente. Invece gli elettroni della zona p e le lacune della zona n , se giungono ai margini della zona svuotata, vengono immediatamente risucchiati p n e "spazzati" attraverso di essa dal campo; si Ec vengono così a creare due flussi, Fp e Fn. La corrente inversa è determinata quasi EFp esclusivamente, in certi casi, da questi due Ev Vq flussi. Una terza componente è dovuta alla generazione (ad esempio termica) di coppie EFn elettrone-lacuna dentro la zona svuotata: le due cariche appena create vengono separate per l'azione del campo elettrico, il che ne rende x improbabile la ricombinazione. W Si osservi che la creazione di una coppia elettrone-lacuna ad una certa ascissa x della Fig. 10  II. 12 zona svuotata corrisponde, dal punto di vista del circuito esterno, al passaggio di una carica elementare attraverso l’intera zona W. Per ora tratteremo soltanto le due componenti della corrente inversa dovute alle cariche minoritarie presenti fuori dalla zona di carica spaziale. Poiché traverseranno la giunzione quelle cariche che per diffusione giungono dalle zone neutre fino ai margini della zona di carica spaziale, le due componenti della corrente inversa che così si vengono a creare si chiamano correnti di diffusione. Ricordiamo qui quanto visto a proposito delle (36) e (37) del cap. I: nelle zone neutre il flusso delle cariche minoritarie è determinato, praticamente, soltanto dalla diffusione. Dato che i flussi cercati dipendono dalle derivate delle concentrazioni, per determinarli occorre risolvere le seguenti equazioni differenziali, incontrate nel precedente capitolo: d 2np n p − n po zona p: Dn − =0 dx 2 τn (12) d 2 pn p n − p no zona n: Dp − =0 dx 2 τp Per quanto riguarda le condizioni al contorno, sappiamo che lontano dalla giunzione ( x → ∞ e x → - ∞) le due concentrazioni minoritarie devono tendere ai rispettivi valori di equilibrio pno ed npo. Un'altra condizione si ricava se si ammette che la tensione inversa applicata V sia abbastanza grande (qualche volt): in questo caso p n p n n p qualsiasi portatore minoritario, che Ln giunga ai margini della zona di svuotamento, viene immediata- Lp mente risucchiato dal campo np elettrico ivi presente. Allora le 0 p concentrazioni np e pn, rispetti- n0 F F n p vamente ai margini sinistro e destro 0 della zona di svuotamento, saranno x xp xn molto piccole rispetto ai valori di equilibrio npo e pno e si potranno considerare nulle. In questa ipotesi, Fig. 11 le soluzioni della (12) sono date da  II. 13 x + xp x − xn    −  np = n po 1 − e Ln  pn = pno 1 − e p  L e         La distribuzione delle concentrazioni minoritarie è illustrata in fig. 11. Dovendo np e pn soddisfare le equazioni (12) le due concentrazioni avranno andamento esponenziale a partire dai margini della zona svuotata, tendendo ai rispettivi valori di equilibrio secondo le costanti (*) Ln = Dnτ n e Lp = D pτ p Segue che i gradienti di concentrazione ai margini della zona svuotata saranno: dn p n po (13) =− dx Ln x =− x p dp n p no = dx x=x n Lp Noti i gradienti di concentrazione, si possono ricavare i corrispondenti flussi delle cariche minoritarie in corrispondenza dei margini della zona svuotata, che sono rispettivamente: dn p Dn Fn x =− x p = −Dn = n po dx Ln x =− x p Dp Fp =− p no x=x n Lp Pertanto la densità di corrente inversa di diffusione (A/cm2) risulta pari, in valore assoluto, a: (*) Si noti che normalmente le lunghezze di diffusione Ln ed Lp sono notevolmente maggiori di W; questo fatto non risulta dalla figura, in cui per comodità grafica si sono fatte Ln , Lp e W dello stesso ordine di grandezza.  II. 14 D  J S = q (Fn − Fp ) = q  n n po + p pno  D L Lp   n  Esprimendo le concentrazioni minoritarie (valori in condizioni di equilibrio) in funzione delle corrisporidenti concentrazioni delle impurità droganti, si può scrivere infine  D Dp  (14) J S = q ni2  n + . L N L N   n A p D  Esercizio: Calcolare la corrente inversa di diffusione per una giunzione a gradino in cui NA =1018cm-3 , ND =1016cm-3 utilizzante germanio. Si ponga Ln = Lp = 60 µm, A = 1 mm2, e per il calcolo di Dn e Dp si assuma un fattore di riduzione, rispetto ai valori relativi al germanio intrinseco, uguale a quello che si avrebbe nel silicio con uguali concentrazioni droganti. (IS = 0,6 x 10-6 A) 2.5 – La corrente inversa dovuta alla generazione. L’espressione data dalla (14) fornisce il valore limite cui tende la corrente inversa per valori della tensione inversa applicata dell’ordine del volt. Si noti che nella (14) la tensione inversa applicata non compare; essa infatti dà la corrente determinata dalla diffusione, e questa dipende esclusivamente dagli andamenti delle concentrazioni. Questi ultimi non variano più (pur allargandosi la zona svuotata) una volta che il campo è abbastanza forte da ridurre le concentrazioni minoritarie per x = - xp e x = xn molto al di sotto dei rispettivi valori di equilibrio. L'indipendenza della caratteristica inversa dalla tensione di polarizzazione inversa deriva dall'aver trascurato la corrente dovuta alle coppie elettrone-lacuna generate dentro la zona svuotata. Indicando con JS e JG le componenti della densità di corrente dovute rispettivamente alla diffusione e alla generazione, la densità di corrente totale è (15) J = JS + JG  II. 15 -3 -1 Indicando con G la velocità di generazione termica (cm s ) entro la zona svuotata, e ammettendo che tutte le cariche create vengano separate per effetto del campo elettrico prima che possa avvenire la ricombinazione, sarà (16) JG = W G q. Questa componente della corrente inversa dipende dalla tensione, in quanto la larghezza W della zona svuotata cresce al crescere di V, come si è visto prima. Si dimostra che la velocità di generazione G è σ v th N T n i ni (17) G= = 2 2τ in cui vth è la velocità di agitazione termica, NT è la concentrazione dei centri trappola (cfr. cap. 1, par 1.11) nella zona di svuotamento, σ è la sezione d'urto di tali centri, supposta eguale per semplicità per elettroni e lacune, e τ è il tempo di vita media. Si noti che il termine 2 JG della (15) risulta proporzionale a ni, mentre JS, per la (14), è proporzionale a ni. A questo proposito si osservi che dato che ni cresce fortemente con la temperatura e diminuisce al crescere della banda interdetta EC - EV, può accadere che per materiali semiconduttori con alti valori di EC – EV , a temperature relativamente basse il termine della corrente inversa dovuto alla generazione sia più grande di quello dovuto alla diffusione. Ciò succede, per esempio, in un diodo al silicio a temperatura ambiente con drogaggi dell'ordine di grandezza dato nell'ultimo esercizio per la giunzione al germanio. Per un tale diodo la corrente inversa calcolata in base alla diffusione è dell'ordine di -14 10 A, mentre quella di generazione già a basse tensioni inverse è di almeno un fattore 100 maggiore. Al crescere della temperatura prevale l'effetto della diffusione: ciò in generale viene dedotto dai rilievi sperimentali della caratteristica del diodo a varie temperature, osservando la dipendenza della corrente inversa dalla tensione applicata; cioè, al crescere della temperatura diminuisce la pendenza della caratteristica inversa. Si noti ancora che la ripartizione della corrente inversa di diffusione fra lacune ed elettroni può variare grandemente a seconda dei drogaggi delle due zone, come risulta dalla (14): in una giunzione con ND >> NA la corrente inversa JS è dovuta praticamente soltanto agli elettroni della zona p e viceversa se NA >> ND ; ciò ammettendo, come è di solito, che Ln ed Lp non abbiano valori troppo discosti tra loro.  II. 16 Esercizio: Il circuito di fig.12 utilizza il diodo al germanio considerato precedentemente. p n Dopo l'apertura dell'interruttore, la tensione inversa sul diodo si annulla gradualmente; si ricavi in modo semplice un'espressione approssimata per il Fig. 12 tempo necessario perché la tensione si riduca ad 1/3 del valore iniziale. Si tracci l'andamento approssimativo della tensione ai capi del diodo in funzione del tempo. ( ∆ t = 4, 4 10 -3 sec ) 2.6 – Andamenti dei flussi dei portatori in polarizzazione inversa. E' importante rendersi conto dell'andamento dei flussi dei portatori attraverso le varie regioni del diodo; per semplicità, ci riferiremo inizialmente al caso in cui sia ND >> NA cosicché la corrente inversa di diffusione è costituita quasi esclusivamente da elettroni che diffondono dalla zona p attraverso la giunzione (fig. 13). Per indicare il maggiore drogaggio della zona n rispetto a quella p si usa il simbolo n+. Notiamo anzitutto che in una giunzione di questo tipo, detta giunzione a gradino unilaterale, la zona svuotata viene a cadere pressoché interamente nella zona meno drogata (p nel nostro caso) come è ovvio per la (8). Poniamo l'origine dell'asse x sul margine sinistro della zona svuotata. La densità di Fig. 13 corrente, ovviamente costante in qualsiasi sezione del diodo (*), è data da: (*) La densità di corrente è costante se la sezione è costante, come abbiamo finora implicitamente ammesso. In ogni caso è costante la corrente, I = A J.  II. 17 (18) JS = q(Fn – Fp) = q Fn x = o Il flusso Fn, determinato, nella zona neutra p, soltanto dalla diffusione, è in base alla distribuzione np(x) della figura dato da: x n po Fn ( x ) = Dn e Ln per x0 Ln Nella zona p, a distanza crescente dalla giunzione, il flusso degli elettroni diminuisce; dovendo J essere costante nasce un flusso di lacune dato da: n po  x   Ln  Fp (x ) = Dn  e − 1  per x> pn , l'approssimazione è senz'altro accettabile.  II. 19 maggioritarie delle due zone che vengono I spinte verso la giunzione. Si vede che in p n questo caso la corrente fluisce in direzione opposta al campo elettrico E presente nella zona di carica spaziale. Se la corrente non è E troppo elevata, si può ancora ragionare in modo analogo a quanto si è fatto per ricavare V la (10) ottenendo così per la larghezza della Fig. 15 zona svuotata l'espressione: 2εs NA +ND (19) W = (Φ − V ) q NA ND La larghezza di tale zona risulta quindi ridotta rispetto al valore di equilibrio. Si noti però che la ammissione, implicita nella (19), che le zone neutre del diodo siano equipotenziali (di modo che la tensione esterna applicata V si faccia risentire interamente nella zona di carica spaziale) è meno giustificata che nel caso della polarizzazione inversa. Infatti il passaggio della corrente diretta, di parecchi ordini di grandezza superiore a quella inversa, determina inevitabilmente delle cadute di potenziale “ohmiche” dovute alla resistività non nulla delle zone “neutre” del semiconduttore impiegato. A rigore dunque, nella (19), il termine da sottrarre a Φ non è l’intera tensione applicata V ma un valore ridotto ottenuto sottraendo a V le cadute ohmiche nelle zone neutre e nei contatti. Un’altra fonte di errore nella trattazione è dovuta al fatto che il passaggio della corrente diretta determina la presenza di notevoli concentrazioni di cariche mobili nella zona di carica spaziale, dove si verifica la situazione di non equilibrio con np >> ni2. Ciò rende meno valida l’approssimazione dello svuotamento totale; la trattazione che segue per la corrente diretta vale per correnti non troppo forti, in modo che si possano ancora adottare le formule relative al caso dello svuotamento totale. Con queste limitazioni, si può tracciare il diagramma a bande della giunzione polarizzata direttamente (fig.16) in modo analogo a quanto si è fatto per il caso della Fig. 16  II. 20 polarizzazione inversa, ammettendo ancora che abbia senso parlare di livelli di Fermi nelle zone neutre del diodo. Come nel caso della polarizzazione inversa, i livelli di Fermi delle due zone, EFp ed EFn, sono ad altezza differente ed il loro disallineamento risulta pari alla tensione diretta applicata moltiplicata per q; si ha precisamente: EFn - EFp = qV Per indicare il fatto che questi livelli si riferiscono a una situazione di non-equilibrio, essi vengono chiamati livelli di quasi-Fermi. Come indicato nella fig. 16 la corrente diretta è dovuta principalmente agli elettroni della zona n e alle lacune della zona p che, in base alla distribuzione statistica, hanno energia sufficiente a superare la barriera di potenziale Φ - V nei due sensi. Una volta traversata la zona di carica spaziale, lacune ed elettroni diventano cariche minoritarie, e il loro flusso è ancora determinato dalla diffusione. Come nel caso della corrente inversa, si ha una terza componente della corrente, dovuta ad elettroni e lacune che si ricombinano entro la zona di carica spaziale. Si vede che è possibile scomporre la corrente diretta analogamente a quanto fatto per quella inversa, in tre componenti, due dovute alla diffusione, di solito preponderanti, e una terza dovuta alla ricombinazione nella zona svuotata. Le correnti di elettroni e lacune dovute alla diffusione sono determinate dai gradienti Fig. 17  II. 21 delle rispettive concentrazioni. E’ bene riesaminare, a questo punto, gli andamenti delle concentrazioni delle cariche mobili visti nei due casi precedenti (equilibrio e polarizzazione inversa) e cercare di prevedere la distribuzione relativa alla polarizzazione diretta. La fig. 17 (*) rappresenta in modo indicativo i diagrammi delle concentrazioni di cariche mobili nei tre casi, nell'approssimazione dello svuotamento completo. Nel caso della polarizzazione diretta, il fatto che le cariche maggioritarie fluiscono 2 attraverso la zona svuotata fa sì che il prodotto pn sia ivi maggiore del valore di equilibrio ni. In particolare ai due margini della zona di svuotamento le concentrazioni minoritarie risultano considerevolmente maggiori dei rispettivi valori di equilibrio npo e pno ; a causa di ciò, si creano due flussi Fn ed Fp che costituiscono la parte principale della corrente diretta. Se ammettiamo di essere nella situazione di iniezione a basso livello (vedasi cap. I), i flussi Fn ed Fp sono determinati soltanto dalla diffusione, cioè dalle equazioni (12). Riferendoci alla fig. 18 in cui sono rappresentate soltanto le concentrazioni minoritarie pn ed np, il problema consiste nel trovare i valori pn(xn) e np(-xp) rispettivamente ai margini destro e sinistro della zona di carica spaziale. Infatti, dovendo le due concentrazioni soddisfare le (12), esse hanno l’ormai noto andamento esponenziale tendente ai rispettivi valori di equilbrio pno e Fig. 18 npo; i due flussi sono allora: ( np −xp ) − n po Fn x =− x p = −Dn Ln (20) pn (xn ) − p no Fp = Dp x=x n Lp (*) I diagrammi della figura 17 hanno solo un valore indicativo, perché in pratica le concentra- zioni maggioritarie sono sempre enormemente più grandi di quelle minoritarie, e non è possibile rappresentarle ambedue nello stesso grafico, a meno di usare una scala logaritmica.  II. 22 Le concentrazioni np(-xp) e pn(xn) dipendono dalla tensione applicata V; infatti, riferendoci alla fig. 16, è chiaro che quanto maggiore sarà la differenza fra i livelli EFn e EFp , tanto maggiore sarà il numero delle cariche in grado di traversare la barriera di potenziale della zona di svuotamento. Un primo modo di ricavare np(-xp) e pn(xn) consiste nell’ammettere che il calcolo delle concentrazioni minoritarie ai margini dellla zona svuotata possa farsi assumendo come livello di Fermi (per le sole cariche minoritarie) il prolungamento del livello di quasi-Fermi esistente dall'altra parte della giunzione, cioè dalla zona da cui le cariche provengono. Ciò significa, in base alla fig. 16, porre: E Fn − E ip ( ) np − x p = ni e kT (21) E in − E Fp pn (xn )=ni e kT Questa ammissione è, effettivamente, arbitraria; sua unica giustificazione è il fatto che i risultati così trovati sono in ragionevole corrispondenza con la realtà. Tenendo conto del fatto che EFn - EFp = q V , le (21) si possono scrivere: E Fp − E ip qV qV ( ) np − x p = ni e kT e kT = n po e kT (22) E in − E Fn qV qV pn (xn )= ni e kT e kT = p no e kT Si vede cioè che sia np(-xp) che pn(xn) sono dati dai rispettivi valori di equilibrio moltiplicati per il fattore e qV / kT. C’è da osservare che, come detto in nota in relazione alla fig. 17, il disegno di fig. 18 non è a scala per motivi didattici e può trarre in inganno. Si pensi però che il fattore e qV / kT, con kT a temperatura ambiente pari a 0,026 eV e con una tensione esterna diretta applicata di appena 0,52 V, vale 4 x 108. La differenza tra le ordinate delle concentrazioni dei portatori ai margini della zona svuotata spiega la grande variazione tra corrente diretta e corrente inversa, dato che le lunghezze di diffusione restano le stesse nei due casi. Esercizio: Si calcolino le densità p ed n in corrispondenza della giunzione (x = 0) per un diodo al silicio con NA = 1017 cm-3, ND = 1016 cm-3, quando al diodo è applicata  II. 23 una tensione diretta di 0,35 V. Si usino per il calcolo i livelli di quasi-Fermi. Si verifichi l'accettabilità dell'approssimazione dello svuotamento completo. 16 -3 9 -3 (p(0)= 2,3 x 10 cm , n(0)= 4 x 10 cm ) Le (22) possono anche ricavarsi in un altro modo, forse più soddisfacente dal punto di vista intuitivo. Riferendoci ancora alla fig. 16, e ragionando per gli elettroni, si può pensare che tutti gli elettroni che si trovano immediatamente a destra della zona svuotata, e che hanno energia superiore al margine della banda di conduzione a sinistra della zona di svuotamento [il margine della banda di conduzione si innalza di q (Φ - V) traversando la giunzione da destra a sinistra] traversino la barriera; il loro numero dà quindi la concentrazione np(-xp) cercata. Se adesso ammettiamo che la densità dei livelli energetici nella banda di conduzione (cm-3 eV-1) sia costante in funzione di E , e indichiamo con N*C il suo valore (*) , possiamo scrivere: ∞ ∞ E −E Fn − nn = ∫ F(E ) EC N C* dE = N C* ∫ EC e kT dE ∞ E −E Fn V −Φ ( ) − ∫ q np −xp = N C* e kT dE = n n e kT E C +q ( Φ −V ) Poiché: NAND qΦ − ln − n i2 n i2 nne kT =NDe = = n po NA il valore di np(-xp) così ricavato coincide con quello dato dalla prima delle (22); un ragionamento identico eseguito per le lacune, conduce alla seconda delle (22). 2.8 – La corrente diretta di diffusione Note le concentrazioni minoritarie ai due margini della zona di carica spaziale, le (20) permettono di ricavare la densità di corrente diretta dovuta alla diffusione: (*) Si ricordi, come precisato nel cap. 1, che NC rappresenta un valore medio.  II. 24   qV  Dn [ )] Dp J D = q Fp ( x n )− Fn − x p ( =q  Ln n po + p no e  kT −1    L p   Esprimendo le concentrazioni minoritarie di equilibrio in funzione dei relativi drogaggi, si ha:   qV  Dn Dp (23) JD =q n i2  +  e kT −1   Ln N A Lp ND      Si osservi che nella (23) compare come fattore la densità di corrente inversa di diffusione, formula (14); indicando tale densità con Js (densità di corrente inversa di saturazione), la (23) può scriversi:  qV   kT  (24) JD = JS  e −1     che, moltiplicando ambo i membri per l’area della giunzione, assume la forma:  qV  I [mA]  kT  (25) ID = IS  e −1   100   50 Questa espressione è rappresentativa a) della caratteristica I = f(V) di un diodo a V [V] -Is 1 semiconduttore ed è riportata in fig. 19.a). Per i valori negativi di V, la corrente data dalla (25) tende asintoticamente al valore limite -Is , mentre per valori di V positivi e grandi rispetto a I [mA] kT/q, segue praticamente la legge esponenziale 100 qV / kT Is e. Pertanto la (25), se sono trascurabili le componenti della corrente dovute a b) 50 generazione (nel caso della polarizzazione V [V] inversa) e ricombinazione (polarizzazione 1 diretta) entro la zona di carica spaziale, può rappresentare con una unica espressione ambedue i rami, diretto ed inverso, della Fig. 19  II. 25 caratteristica di un diodo a giunzione. Risulta evidente che la caratteristica del diodo presenta aspetti di decisa non-linearità, oltre alla evidente capacità di conduzione quando il diodo è polarizzato in senso diretto e di non conduzione (o scarsissima conduzione) quando il diodo è polarizzato inversamente. Per confronto in fig.19.b) è riportata la caratteristica di un diodo ideale che si può assimilare ad un interruttore aperto in polarizzazione inversa ed ad un interruttore chiuso in polarizzazione diretta. Esercizio: Tracciare per punti la caratteristica di un diodo al germanio di superficie A = 0,1 mm , con NA = 10 cm , Ln = Lp = 60 µm , ND = 10 cm , per tensioni 2 17 -3 16 -3 applicate comprese tra –10 e +0,4V, a temperatura ambiente (27 °C). Ripetere il tracciamento per una temperatura di 60 °C. 2.9 – La corrente diretta dovuta alla ricombinazione. Come si è detto, la densità di corrente data dalla (24) rappresenta i contributi dovuti alla diffusione delle cariche che hanno traversato la zona di carica spaziale; il contributo degli elettroni e lacune che si ricombinano entro la zona di carica spaziale può porsi sotto la forma: JR = q W U ammesso che si abbia una velocità di ricombinazione U (cm-3 sec-1) costante su tutta la larghezza W della zona svuotata. Il calcolo di U è piuttosto complesso; si dimostra che per la funzione U si può approssimativamente assumere il valore: qV qV 1 U = σ v th N T n i e 2 kT = Ge 2 kT 2 La densità di corrente totale è, naturalmente, la somma dei termini dovuti alla diffusione e alla ricombinazione: J = JD + JR Tenendo conto di quanto appena trovato, una espressione unica, di uso pratico, che può ben rappresentare l’andamento reale della corrente di un diodo al silicio in funzione della tensione applicata, è data da:  II. 26  qV   η kT  I = IS e −1      con η che vale 2 per basse correnti ed 1 alle alte correnti. 2.10 – Andamento dei flussi dei portatori in polarizzazione diretta. L'andamento dei flussi di elettroni e lacune attraverso le varie zone del diodo si può tracciare in base a ragionamenti identici a quelli fatti a proposito della corrente inversa. La fig. 20 illustra la situazione per il caso in cui i drogaggi NA ed ND siano dello stesso ordine di grandezza. Si noti a questo proposito che, se i drogaggi delle due zone sono molto differenti, la corrente attraverso la giunzione è costituita praticamente da un solo tipo di cariche. + Precisamente, per un diodo, ad esempio, p - n, cioè con NA molto maggiore di ND (*), la corrente diretta nella zona di carica spaziale sarà costituita principalmente da lacune provenienti dalla zona p , e quella inversa, da lacune provenienti dalla zona n. Questa possibilità di regolare la percentuale della corrente trasportata da uno dei tipi di cariche è di importanza fondamentale, come si vedrà, per il funzionamento dei transistori bipolari a giunzione (BJT). Qualunque sia la grandezza relativa di NA ed ND, nelle regioni distanti dalla Fig. 20 giunzione più di tre o quattro lunghezze di diffusione delle cariche minoritarie, la corrente è trasportata pressoché interamente dalle cariche maggioritarie. Analogamente al caso della corrente inversa, la presenza di una (*) E' importante ricordare che NA indica la concentrazione degli ioni accettori nella zona p , ed ND quella degli ioni donatori nella zona n ; NA ed ND si riferiscono a zone diverse del diodo. Se in una zona sono presenti sia atomi accettori che donatori, NA ed ND indicano le concentrazioni nette risultanti, indicate, nel par. 2 del capitolo I, con NA-ND o ND-NA a seconda che prevalgano gli atomi accettori o quelli donatori.  II. 27 apprezzabile componente della corrente diretta dovuta alla ricombinazione nella zona di carica spaziale si può evidenziare, nella fig. 20, con una inclinazione dei tratti rettilinei degli andamenti dei flussi. Applicando, come si è fatto per la corrente inversa, l'equazione di continuità richiamata nel cap. I (34), si vede dalla fig. 20 che nelle regioni neutre prossime alla zona di carica spaziale si ha una continua ricombinazione di portatori; si ricordi che nel caso della corrente inversa, si aveva invece una continua generazione di coppie elettrone-lacuna. Ciò mostra che, in realtà, la distinzione, nella corrente diretta, tra corrente di diffusione e corrente di ricombinazione è arbitraria, dato che la diffusione delle cariche che hanno traversato la giunzione ha come risultato finale la loro ricombinazione. Da questo punto di vista tutta la corrente diretta è una corrente di ricombinazione; la distinzione fatta prima si basa in realtà sulla zona dove avviene questa ricombinazione. Analoga considerazione, naturalmente, può farsi per la corrente inversa. 2.11 - Capacità di diffusione. Come si è visto, il passaggio della corrente diretta in un diodo determina la presenza di concentrazioni minoritarie in eccesso ai due lati della zona di carica spaziale. Questo immagazzinamento di cariche è una funzione della corrente, o, equivalentemente, della tensione applicata (*). Esso ha delle conseguenze importanti sul funzionamento dinamico del diodo, in quanto, se si ha una variazione della tensione diretta, è Fig. 21 necessario, perché la corrente assuma il nuovo valore di regime sulla caratteristica I = f(V), che le cariche minoritarie assumano la nuova distribuzione, e ciò richiede un tempo finito. La risposta del diodo a variazioni rapide di tensione applicata non è quindi istantanea. Per studiare l'effetto cui si è accennato, ci riferiamo per semplicità (fig.21) a un diodo p+-n, in cui la corrente è costituita essenzialmente (*) La densità di carica risultante nelle regioni p ed n fuori dalla zona di carica spaziale è sempre nulla: l’eccesso di cariche minoritarie provoca un corrispondente eccesso di cariche maggioritarie (fig.17.c).  II. 28 da lacune e la concentrazione minoritaria in eccesso è prevalentemente dalla parte n [si ricordino le formule (22)]. Nella fig.21, Lp è notevolmente maggiore di W, come di solito avviene; per la polarizzazione diretta, che qui consideriamo, potremo perciò trascurare le variazioni di W in funzione della tensione. Nella figura sono rappresentate due curve di concentrazione per le lacune nella zona n neutra, relative a due valori della tensione diretta applicata differenti di ∆V. Si vede che la variazione ∆V provoca, nella zona n, una variazione ∆Q della carica dovuta alle lacune. ∆Q è data dal prodotto della sezione A della giunzione per l'area tratteggiata e per la carica q dell'elettrone. Il rapporto: dQ ∆Q (26) CD = = lim dV ∆V →0 ∆V ha le dimensioni di una capacità (capacità di diffusione) ed è determinante nello studio del funzionamento dinamico del diodo. Come la capacità di barriera C∆ definita precedentemente, anche CD è una capacità differenziale, funzione come vedremo, della tensione applicata; si noti però che CD, a differenza di C∆ , è determinata da cariche accumulate nelle regioni neutre del diodo. La capacità di barriera C∆ esiste anche nel caso della polarizzazione diretta, ma il suo valore è di solito piccolo in confronto alla capacità di diffusione. Il calcolo di CD può eseguirsi facilmente valutando l’area compresa tra la curva pn(x,V) e il valore costante pno (quest'area, moltiplicata per Aq, dà la carica Q immagazzinata nella zona n) ed eseguendone la derivata rispetto a V. Poniamo l'origine x = 0 sul margine destro della zona di carica spaziale. Essendo:  qV  − x  kT  pn ( x ,V ) = p no  e L − 1  e p + p no    si ottiene, per la carica iniettata in eccesso rispetto alle condizioni di equilibrio, la quantità: x  qV  ∞ −  qV  Q (V ) = Aq ∫0 (pn − pno )dx = Aqpno  e kT − 1∫0 e Lp dx = Aqpno Lp  e kT − 1 ∞ (27)     Per la capacità di diffusione si ricava l’espressione:  II. 29 qV q 2Lp (28) C D = A p no e kT kT Volendo, si può esprimere CD in funzione della corrente anziché della tensione. Infatti dalla (23), per tensioni V notevolmente maggiori di kT/q cosicché si possa trascurare l'unità + rispetto all'esponenziale e sempre nel caso di giunzione p -n, la corrente diretta può essere espressa come: qV Dp (29) I D = A q p no e kT Lp Sostituendo quest’ultima nella (28) si ha: q L 2p (30) CD = ID D p kT E' immediata l'estensione di quanto detto al caso in cui NA ed ND siano dello stesso ordine di grandezza. Si osservi che sempre nell’ipotesi di V > kT/q, facendo il rapporto tra la (27) e la (29), si ottiene: Q L 2p = ≡τ p ID Dp Pertanto il tempo di vita media delle cariche minoritarie si può interpretare come quell’intervallo di tempo in cui la carica iniettata in eccesso rispetto alle condizioni di equilibrio, si rinnova, perdendosi per ricombinazione (metodo del controllo di carica). Esercizio: Calcolare il valore della capacità di diffusione per il diodo dell'esercizio precedente, in corrispondenza dei seguenti valori della tensione diretta: 0,2 V; 0,3 V; 0,35 V. Paragonare i valori ricavati con la capacità di barriera a 0 V. (0,2 V: CD = 4780 pF ; 0,3 V: CD = 0,216 µF ; 0,35 V: CD = 1,46 µF)  II. 30 2.12 – Tempi di commutazione dei diodi a giunzione. La presenza della carica iniettata, dovuta ai portatori minoritari, in eccesso rispetto alle condizioni di equilibrio - situazione che caratterizza la giunzione polarizzata direttamente -, come pure la diminuzione della carica minoritaria ai bordi della giunzione in polarizzazione inversa, hanno una notevole influenza nel determinare i tempi di commutazione di un diodo. Questi tempi sono definiti come gli intervalli di tempo che è necessario attendere affinché il diodo compia l’intero passaggio che lo porta dalla polarizzazione diretta a quella inversa e viceversa. Dei due tempi di commutazione, quello che normalmente richiede un intervallo temporale maggiore è il tempo di commutazione relativo al passaggio dalla polarizzazione diretta a quella inversa ed è su questo che concentreremo l’attenzione; l’intervallo di tempo così definito viene chiamato tempo di recupero inverso t r r (reverse recovery time). polarizzazione inversa polarizzazione diretta pn(xn) p+ n p+ n pno pno xn xn W Lp x W Lp x a) b) Fig. 22 Per comprendere meglio i fenomeni che accadono alla giunzione nel funzionamento in commutazione, è bene richiamare innanzitutto gli andamenti delle concentrazioni minoritarie ai bordi della giunzione nelle due opposte situazioni di polarizzazione (fig.22). Si supponga di applicare una tensione v(t), con un andamento a gradino, al circuito di fig. 23.a), comprendente un diodo a giunzione asimmetrica p+-n in serie ad una resistenza di carico RL di valore molto maggiore della resistenza offerta dal diodo in conduzione. L’andamento della tensione v(t), che commuta tra VA e -VA, è riportato in fig. 23.b). Coerentemente con i riferimenti scelti per l’asse dei tempi di questa tensione, sotto v(t) si riportano i grafici della  II. 31 differenza pn(xn) - pno [fig. 23.c)], della corrente iD (t) nel circuito [fig. 23.d)] e della tensione v(t) VA + vD b) 0 t0 t1 t -VA iD pn(xn) - pno + t2 pno v(t) RL c) 0 t0 t1 t iD(t) (VA – Vγ )/RL t2 - IS a) d) 0 t0 t1 t - (VA + Vγ )/RL vD(t) Vγ e) 0 t0 t1 t2 t -VA Fig. 23 vD (t) ai capi del diodo [fig. 23.e)]. Per la tensione di soglia Vγ si veda il par. 2.15. Come risulta dalla fig. 23.c), la concentrazione pn(xn) - pno di lacune in eccesso all’inizio della zona neutra del semiconduttore di tipo n è molto elevata, come si è visto nella trattazione del diodo in polarizzazione diretta. All’istante t = t0, questa carica iniettata in eccesso, la cui presenza mantiene la giunzione in polarizzazione diretta, inizia a diminuire riattraversando la giunzione, sollecitata dalla tensione v(t) che ha bruscamente cambiato segno. La fig. 23.d) indica che nell’intervallo di tempo t1 – t0 la giunzione viene attraversata da una corrente in senso inverso (costituita dalle cariche minoritarie in eccesso che ritornano nella regione di provenienza) circa dello stesso ordine di grandezza della corrente diretta, fino a quando (istante t1) la carica immagazzinata in eccesso non si è azzerata. Questo giustifica la definizione dell'intervallo di tempo t1 – t0 come tempo di storage o tempo di immagazzinamento.  II. 32 All’istante t1 la distribuzione della concentrazione dei portatori minoritari diventa quella della giunzione in equilibrio; per t > t1 il diodo inizia a polarizzarsi inversamente e la tensione ai suoi capi vD tende al valore -VA [vedasi fig.23.e)]. Dopo l’intervallo t2 – t1, che viene chiamato tempo di transizione, il diodo ha completato la commutazione. La somma di questo tempo e del tempo di storage fornisce il tempo di recupero inverso t r r. In commercio si trovano diodi per commutazione con t r r che va da un decimo di nanosecondo fino ad un microsecondo per i tipi costruiti per impieghi con correnti molto elevate. 2.13 - Effetti della temperatura. Come si è avuto occasione di notare in precedenti occasioni, la temperatura influenza fortemente la caratteristica del diodo a giunzione p-n. Limitandoci inizialmente a considerare la corrente dovuta alla diffusione, l'equazione (23) può essere riscritta introducendo l’espressione che fornisce ni2 in funzione di NC, NV ed EG , in modo da evidenziare la dipendenza dalla temperatura. Si ottiene:    EG qV −  Dn Dp  (31) J D = q NC NV e kT  +  e kT −1   Ln N A L p N D       Il termine ni2 cresce fortemente al crescere della temperatura, oltre che per l'essere il prodotto NC NV proporzionale a T3, per la rapidità di variazione del fattore esponenziale (pur trascurando il fatto che EG diminuisce all’aumentare della temperatura); le variazioni di Dn, Dp, Ln, Lp risultano invece molto più lente con il variare della temperatura e si possono praticamente trascurare. In conseguenza, la corrente inversa di saturazione è una funzione rapidamente crescente della temperatura, e sia per il germanio sia per il silicio si ha approssimativamente un aumento di un fattore due per ogni 10°C di innalzamento della temperatura. In generale però, per diodi in grado di condurre la stessa corrente diretta, la corrente inversa risulta molto inferiore per il silicio. Nel caso della polarizzazione diretta, si vede facilmente dalla (31) che un aumento della temperatura fa diminuire la tensione ai capi del diodo, per un dato valore di corrente; quindi al crescere della temperatura la caratteristica diretta si avvicina all'asse delle correnti. Anche questo effetto è dello stesso ordine di grandezza per germanio e silicio, potendosi normalmente assumere una riduzione della tensione diretta di circa 2 mV per un grado di aumento della temperatura. A pari corrente la tensione diretta risulta maggiore per il silicio  II. 33 che per il germanio: ciò si può prevedere, in base alla (31), dato il maggiore valore della banda interdetta EG per il silicio. Si può dire grosso modo che in un normale diodo al germanio la corrente diretta comincia ad assumere valori significativi per tensioni maggiori di 0,2 V e il campo normale di funzionamento permesso si estende fino a circa 0,7 V di tensione diretta; i corrispondenti valori per il silicio sono 0,6 e 1 V rispettivamente. Per quanto riguarda la corrente inversa del diodo, essa è dovuta, oltre che alla diffusione, alla generazione (vedi formule (14) e (16)). Poiché il termine di generazione è 2 proporzionale a ni mentre la corrente di diffusione è proporzionale a ni , all'aumentare della temperatura la corrente di diffusione tende a prevalere su quella di generazione, e la caratteristica inversa risulta meno dipendente dalla tensione applicata. A causa delle differenti altezze della banda interdetta (0,67 V per il germanio e 1,11 V per il silicio) ciò si verifica già a temperatura ambiente per il germanio. In un diodo al silicio, invece, a temperatura ambiente la corrente inversa è costituita principalmente dal termine di generazione e solo a temperature piuttosto elevate, maggiori di 100 °C, comincia a prevalere la diffusione. Esistono dei limiti superiori per la temperatura a cui si può portare una giunzione, oltrepassando i quali le caratteristiche si deteriorano in modo permanente rendendo il diodo inutilizzabile; ciò vale in generale per i dispositivi a semiconduttore. Questa temperatura massima ammissibile si aggira sui 100°C per i dispo sitivi utilizzanti germanio, e sui 200°C per quelli al silicio. Si osservi inoltre che alle dette temperature si inizia a cancellare l’effetto del drogaggio a causa della generazione di coppie elettrone-lacuna per effetto termico; iniziano quindi a ridursi gli effetti di giunzione ed il diodo tende a comportarsi come una unica barretta di semiconduttore intrinseco ad alta temperatura. E' ovvio che le temperature massime sopra indicate si riferiscono alla temperatura di giunzione, che è la zona dove è massima la dissipazione di potenza elettrica e, di conseguenza, la temperatura. Quanto detto sugli effetti termici si constata effettuando rilievi della caratteristica I-V per diodi di varia costituzione e a varie temperature. Però va detto che molto spesso la corrente inversa è determinata, oltre che dalle concentrazioni droganti utilizzate per il diodo, dalle condizioni sulle superfici laterali, che risultano molto difficili da controllare durante la fabbricazione. In pratica può accadere che la corrente inversa scorra quasi interamente lungo la superficie del diodo; il suo valore risulta allora grandemente variabile da diodo a diodo (anche per lo stesso tipo commerciale) e parecchio maggiore dei valori calcolati con le formule fornite nel testo. Ciò si verifica particolarmente per i diodi al silicio, in cui le correnti inverse calcolate in base alla diffusione e alla generazione possono avere valori  II. 34 -12 estremamente bassi (≅10 A = 1 pA) mentre le correnti inverse misurate sono di solito di -9 gran lunga superiori (≅10 A = 1 nA). 2.14 - Cenni sui fenomeni di rottura. All'inizio del capitolo si è detto che per E W tensioni sufficientemente elevate, la giunzione EC p-n conduce correnti forti anche nel caso della EV polarizzazione inversa; ciò si verifica, in generale, bruscamente, in corrispondenza di p n una tensione di rottura (Breakdown Voltage). Nell'intorno del valore di rottura la corrente aumenta molto rapidamente all'aumentare della tensione inversa. Il fenomeno della rottura è determinato dal campo elettrico estremamente intenso esistente nella zona di carica spaziale; se si x Fig. 24 arriva al punto in cui il campo è abbastanza forte da rompere i legami covalenti del reticolo cristallino, le coppie elettrone-lacuna così create danno origine a una forte corrente inversa. Ciò è illustrato in fig. 24 dal punto di W vista dei livelli energetici: il campo elettrico fa sì che un elettrone della banda di valenza traversi la banda proibita e si ritrovi nella banda di conduzione, un pò a destra del punto di partenza (*). Questo fenomeno, detto effetto Zener, dà luogo a una abbondante produzione di cariche, e quindi a una forte corrente, quando il campo nella zona di carica spaziale raggiunge un valore critico. Nei normali diodi si ha un forte aumento Fig. 25 (*) Poiché l'energia viene comunicata all'elettrone dal campo elettrico, il cammino dell'elettrone nell'attraversare la banda proibita è orizzontale nel diagramma della figura. Il fenomeno è dunque diverso dalla generazione di coppie per effetto termico (fig.10).  II. 35 della corrente inversa già per valori del campo elettrico inferiori a quello necessario perché si abbia l'effetto Zener. Avviene infatti un altro fenomeno, detto effetto valanga, anch'esso dipendente in modo critico dal campo elettrico. Esso è dovuto, come illustrato in fig. 25, alla generazione termica di elettroni e lacune nella zona di carica spaziale. Se il campo è abbastanza intenso, un elettrone portato nella banda di conduzione dall'agitazione termica acquista sufficiente energia cinetica, prima di subire una collisione, da rompere un legame covalente all'atto della collisione, pur restando esso stesso nella banda di conduzione. A seguito di ciò si hanno a disposizione due elettroni di conduzione che possono ancora venire accelerati dal campo e produrre altre coppie: da ciò il nome di effetto valanga. Il numero di cariche generate termicamente viene così moltiplicato per un fattore molto grande, e la corrente raggiunge valori molto elevati. Il valore del campo elettrico critico in corrispondenza del quale il fattore di moltiplicazione tende all'infinito (e si ha la rottura nella caratteristica inversa, fig. 2), dipende dal materiale usato, e cresce con la concentrazione delle impurità droganti. Per il silicio, esso può essere di 5 x 105 V/cm per una concentrazione drogante di 1016 cm-3. Il fenomeno della rottura implica la dissipazione di potenze relativamente grandi nel diodo, dato che si ha contemporaneamente grande tensione e forte corrente: ciò può portare alla distruzione del diodo se la potenza dissipata ne innalza eccessivamente la temperatura. Esistono dei diodi appositamente costruiti per il funzionamento nel tratto di rottura della caratteristica; poiché questo tratto risulta quasi verticale (fig. 2) il diodo si comporta come un dispositivo a tensione costante, cioè, il suo schema equivalente si può approssimare con un generatore ideale di tensione. Benché normalmente tali diodi siano basati sull'effetto valanga, essi vengono chiamati spesso diodi Zener. Esercizio: In un diodo al silicio si ha NA = 1017 cm-3 e ND = 1016 cm-3. Si calcoli la tensione di rottura assumendo un campo critico 5 x 105 V/cm. Se la corrente di rottura è di 5 mA, quale è la potenza dissipata nel diodo? ( VBV = 89 V) 2.15 - Parametri circuitali e schemi equivalenti. Per rendere praticamente utilizzabili nelle applicazioni le conoscenze sui diodi a giunzione, è necessario cercare di trovare una rete formata da elementi circuitali lineari attivi e passivi che sia adatta a rappresentare il funzionamento elettrico di tali dispositivi non  II. 36 lineari; tale rete viene indicata come schema equivalente del diodo o modello circuitale del diodo. Lo schema equivalente, che è necessario ai fini di estendere ai circuiti contenenti diodi i teoremi generali validi per l'analisi delle reti elettriche lineari, può essere desunto sia per via teorica, mediante l'esame analitico dei fenomeni fisici che spiegano il funzionamento del dispositivo, sia per via grafica, derivandolo dalle caratteristiche e dai rilievi sperimentali. Occorre premettere che, poiché i diodi presentano un comportamento molto differente a seconda delle condizioni di polarizzazione, saranno necessari più schemi equivalenti, ciascuno valido in una regione limitata dell'intera caratteristica. Inoltre si osservi che in generale la rappresentazione di un dispositivo mediante schema equivalente è sempre relativa agli effetti che si considerano; nella trattazione che segue ci si limiterà a descrivere "circuitalmente" i fenomeni più importanti e che sono stati analizzati teoricamente, lasciando ad altre discipline un'analisi più approfondita. In generale si possono distinguere tre tipi di funzionamento dei diodi in dipendenza dei quali vengono dati gli schemi equivalenti: a) funzionamento statico, cioè in continua; b) funzionamento dinamico per piccole variazioni attorno ad un punto della p n caratteristica I-V; c) funzionamento dinamico per grandi a) + - V variazioni nel campo in cui è definita I la caratteristica I-V. In questo paragrafo ci occuperemo dei I [mA] primi due tipi. Esaminiamo prima un diodo polarizzato in senso diretto; in fig. 26.a) viene indicato il simbolo generalmente adottato per i diodi a semiconduttore, col riferimento del b) verso di conduzione diretta. Come si è visto Q precedentemente, affinché un diodo conduca IQ una certa corrente IQ, è necessario applicare ai suoi capi una certa tensione VQ (vedi fig. 26.b)); ha quindi interesse considerare il V [V] rapporto: 0 VQ VQ Fig. 26 R= = cotg α [Ω]; IQ che definisce la resistenza statica offerta dal diodo in queste condizioni di funzionamento, cioè nel punto di riposo Q. Data la forma della caratteristica, la resistenza statica R  II. 37 diminuisce al crescere di V o di I. Si noti che la potenza elettrica PE in corrente continua che si dissipa (o quindi che si deve avere "disponibile" dal circuito) quando il diodo è polarizzato nel punto Q, vale: V Q2 PE = V Q I Q = = I Q2 R [W] R Il valore di tale potenza è numericamente eguale all’area interna al rettangolo avente per lati VQ ed IQ. Il calcolo va sempre fatto per verificare che la potenza PE sia inferiore a quella massima Pmax (data nelle specifiche) che può dissipare il diodo senza deteriorarsi. A questo proposito si osservi che la potenza che si dissipa interessa normalmente un volume del diodo assai piccolo, formato dall'area della giunzione per lo spessore della zona svuotata W. A regime la potenza elettrica dissipata PE deve essere bilanciata dalla potenza termica PT ceduta da tale volume all'ambiente, cioè deve aversi: T j −T A P E = V Q I Q = PT = ϑ jA I I dove ϑjA è la resistenza termica tra la giunzione e l'ambiente, TA è la temperatura ambiente e Tj è la temperatura di giunzione β che, come detto, non deve superare i valori IQ Q massimi già indicati. Se alla tensione continua V applicata al diodo si sovrappone un segnale variabile nel 0 VQ V t tempo (che possiamo supporre sinusoidale) di ampiezza molto piccola rispetto al valore statico V VQ, la corrente che percorre il diodo varia con legge sinusoidale attorno al valore relativo al punto Q della caratteristica (vedi fig.27). In queste condizioni di funzionamento siamo interessati al legame tra variazioni di t tensione e variazioni di corrente intorno ad un Fig. 27 certo punto Q. Se le variazioni imposte sono di  II. 38 piccola ampiezza, è possibile sviluppare in serie di Taylor la funzione I = f(V) nell'intorno di tale punto e troncare tale sviluppo al primo termine. Si ha cioè: dI I Q + ∆I = f ( V Q ) + ∆V ; dV Q la relazione tra le variazioni di corrente e tensione è quindi: v i= r dove si sono indicate le piccole variazioni ∆I e ∆V rispettivamente con i e v, mentre r rappresenta la resistenza differenziale o dinamica del diodo in presenza di piccoli segnali nel punto Q, definita come: 1 dI = = tg β