Función Exponencial y Logaritmica - Matemática II

Función Exponencial Función Logaritmo Funciones Exponencial y Logaritmica Matemática II Alexis E. Almendras V....

Función Exponencial Función Logaritmo Funciones Exponencial y Logaritmica Matemática II Alexis E. Almendras V. Universidad de Concepción Alexis Almendras Valdebenito Universidad de Concepción Matemática II Función Exponencial Función Logaritmo Función Exponencial Una función exponencial de base b, con b > 0 es una función real positiva: f : R −→ ]0, +∞[ x 7−→ f (x) = bx Observación Frecuentemente se escribe expb (x) en vez de bx. Observación En particular, si b = e ≈ 2,7182... la función se llama exponencial natural. Alexis Almendras Valdebenito Universidad de Concepción Matemática II Función Exponencial Función Logaritmo Propiedades Para todo b > 0 y b 6= 1: expb (0) = b0 = 1. La gráfica para por el punto (0, 1). expb (1) = b1 = b. La gráfica para por el punto (1, b). ∀x ∈ R : expb (x) = bx > 0. 1 ∀x ∈ R : expb (−x) =. expb (x) ∀x1 , x2 ∈ R : expb (x1 + x2 ) = expb (x1 ) · expb (x2 ). expb (x1 ) ∀x1 , x2 ∈ R : expb (x1 − x2 ) =. expb (x2 ) Alexis Almendras Valdebenito Universidad de Concepción Matemática II Función Exponencial Función Logaritmo Propiedades Para todo b > 1: La función es estrictamente creciente. En consecuencia, la función es inyectiva. La gráfica de la función expb (x) se aproxima a 0, cuando x tiende a −∞. Con Cod(f ) = ]0, +∞[ la función es sobreyectiva. Alexis Almendras Valdebenito Universidad de Concepción Matemática II Función Exponencial Función Logaritmo y 4 y = 4x 3 y = 3x 2 y = 2x 1 −1 1 x Alexis Almendras Valdebenito Universidad de Concepción Matemática II Función Exponencial Función Logaritmo Propiedades Para todo 0 < b < 1 : La función es estrictamente decreciente. En consecuencia, la función es inyectiva. La gráfica de la función expb (x) se aproxima a 0, cuando x tiende a +∞. Con Cod(f ) = ]0, +∞[ la función es sobreyectiva. Alexis Almendras Valdebenito Universidad de Concepción Matemática II Función Exponencial Función Logaritmo y  x 1 y= 4 4  x 1 y= 3 3  x 1 y= 2 2 1 −1 1 x Alexis Almendras Valdebenito Universidad de Concepción Matemática II Función Exponencial Función Logaritmo Función Logaritmo Dado b > 0 y b 6= 1 la función exponencial es biyectiva, por lo cual se puede definir su función inversa llamada función Loga- ritmo, que se denota logb. Así, logb : ]0, +∞[ −→ R x 7−→ y = logb (x) con: ∀x ∈ R+ : logb (x) = y ⇐⇒ ∀y ∈ R : by = x. Alexis Almendras Valdebenito Universidad de Concepción Matemática II Función Exponencial Función Logaritmo Observación Con b = 10, se llama Logaritmo común y se denota log(x). Con b = e, se llama Logaritmo natural y se denota ln(x). Observación Dado que para b > 0 y b 6= 1 la función logaritmo es la inversa de la función exponencial, se tiene que: ∀x ∈ R : logb (bx ) = x. ∀x ∈ R+ : blogb (x) = x. Alexis Almendras Valdebenito Universidad de Concepción Matemática II Función Exponencial Función Logaritmo Propiedades Sean b > 0, b 6= 1, x, x1 , x2 ∈ R+ y α ∈ R. Entonces: logb (x1 · x2 ) = logb (x1 ) + logb (x2 ).   x1 logb = logb (x1 ) − logb (x2 ). x2 logb (xα ) = α · logb (x). logb (x) ∀a, b > 0, a, b 6= 1, ∀x > 0 : loga (x) =. logb (a) Alexis Almendras Valdebenito Universidad de Concepción Matemática II Función Exponencial Función Logaritmo Propiedades Si b > 0 y b 6= 1, entonces: La gráfica de logb es asíntótica respecto al eje y. La intersección de la gráfica de logb con el eje x es el punto (1, 0). La gráfica de logb pasa por el punto (b, 1). Si 0 < b < 1 la función es estrictamente decreciente. Si b > 1 la función es estrictamente creciente. Alexis Almendras Valdebenito Universidad de Concepción Matemática II Función Exponencial Función Logaritmo y y = log2 (x) 3 2 y = log3 (x) 1 y = log4 (x) −1 1 2 3 4 5 6 x −1 −2 −3 −4 −5 −6 Alexis Almendras Valdebenito Universidad de Concepción Matemática II Función Exponencial Función Logaritmo y 6 5 4 3 2 1 −1 1 2 3 4 5 6 y =xlog 1 (x) −1 4 y = log 1 (x) −2 3 −3 y = log 1 (x) 2 Alexis Almendras Valdebenito Universidad de Concepción Matemática II Función Exponencial Función Logaritmo Ejemplo Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales y logarítmicas: 1 2x = 256 2 5x = 3x+1 3 log 1 x = 4 3 4 log3 (2x − 3) + log3 (x + 6) = 3 Ejemplo Determinar el dominio de la siguiente función p f (x) = ln(2x + 4). Alexis Almendras Valdebenito Universidad de Concepción Matemática II