Calcul Différentiel dans IR (2) - Cours et Exercices PDF

Calcul différentiel dans R RÉPUBLIQUE TOGOLAISE Ministère de l’enseignement Supérieur et de la Recherche (MESR) École Normale Supérieure d’Atakpamé MTH 103 : CALCUL DIF...

Calcul différentiel dans R RÉPUBLIQUE TOGOLAISE Ministère de l’enseignement Supérieur et de la Recherche (MESR) École Normale Supérieure d’Atakpamé MTH 103 : CALCUL DIFFÉRENTIEL DANS IR Cours et exercices destinés aux étudiants de la première année de licence d’enseignement de Mathématiques et de Sciences Physiques Chimie et Technologies de l’école normale supérieure d’Atakpamé Présenté par : Dr. TOGNEME Alowou-Egnim 1 Table des matières Table des matières..................................... i 1 LIMITES ET CONTINUITÉ DES FONCTIONS NUMÉRIQUES DE LA VA- RIABLE RÉELLE 1 I- Limites d’une fonction numérique............................. 1 1. Définitions...................................... 1 2. Propriétés des limites................................ 4 a. Limites infiniment petites et infiniment grande............ 4 b. Théorèmes fondamentaux sur les limites................ 5 c. Deux limites usuelles........................... 5 d. Les formes indéterminées........................ 6 II- Comparaison asymptotique des fonctions au voisinage d’un point............ 6 1. Définitions...................................... 6 2. Quelques propriétés de prépondérance et de dominance............. 7 3. Exemples de fonctions Équivalentes........................ 9 III- Continuité d’une fonction................................. 10 1. Définitions...................................... 10 2. Propriétés des fonctions continues......................... 11 2 FONCTIONS INVERSES 16 I- Monotonie d’une fonction................................. 16 1. Définitions...................................... 16 2. Graphe d’une fonction inverse à f......................... 17 II- Exemples de fonctions inverses............................... 17 1. Fonction y = arcsin................................. 17 2. Fonction y = arccos x................................ 18 i  Calcul différentiel dans R 3. Fonction y = arctan x............................... 19 √ 4. Fonction y = n x (x > 0 et n ∈ N)........................ 20 3 DÉRIVABILITÉ, DIFFÉRENTIABILITÉ ET DÉVELOPPEMENT LIMITÉ DES FONCTIONS NUMÉRIQUES 22 I- Dérivées........................................... 22 1. Définitions...................................... 22 2. Interprétation géométrique et physique de la dérivée............... 23 a. Interprétation géométrique........................ 23 b. Interprétation physique de la dérivée.................. 23 c. Autre applications de la dérivée..................... 24 3. Relation entre la dérivabilité et la continuité d’une fonction numérique.... 24 4. Quelques propriétés des dérivées.......................... 25 5. Tableau des dérivées des fonctions simples.................... 27 II- Différentiabilité des fonctions numériques......................... 28 1. Définitions...................................... 28 2. Quelques propriétés des fonctions différentiables................. 28 3. Interprétation géométrique de la différentielle.................. 29 4. Interprétation physique de la différentielle.................... 30 III- Théorèmes fondamentaux sur les dérivées et règle de l’Hôpital............. 31 1. Théorèmes fondamentaux sur les dérivées..................... 31 2. Règle de l’Hôpital.................................. 33 IV- Dérivée et différentielle nème................................ 36 1. Dérivée nème..................................... 36 2. Opérations élémentaires sur les dérivées nème................... 36 3. Différentielle nème.................................. 37 V- Développement limité.................................... 38 1. Formule de Taylor-Young.............................. 38 2. Recherche de la partie principale d’un infiniment petit............. 39 3. Développements limités............................... 39 a. Définition................................. 39 b. Développements limités usuels...................... 41 c. Opérations sur les développements limités............... 42 ii  Calcul différentiel dans R 4. Application de la formule de Maclaurin pour le calcul des limites........ 44 4 ÉTUDE GÉNÉRALE DES FONCTIONS 49 I- Plan d’étude et des représentations graphiques d’une fonction............. 49 1. Convexité, concavité et point d’inflexion..................... 50 2. Asymptote et branches infini............................ 52 3. Position de la courbe par rapport à son asymptote oblique........... 54 II- Étude de quelques fonctions élémentaires......................... 54 1. Fonction logarithmique............................... 54 2. Fonction exponentielle............................... 58 a. Fonction exponentielle de base e.................... 58 b. Fonction exponentielle de base a.................... 59 3. Fonctions hyperboliques.............................. 61 a. Fonction cosinus hyperbolique (cosh).................. 61 4. Fonction sinh.................................... 62 5. Tangente hyperbolique tanh............................ 63 6. Fonction cotangente hyperbolique......................... 65 7. Fonctions hyperboliques inverses.......................... 66 a. Fonction argument de cosinus hyperbolique Argch.......... 66 b. Fonction Argument de sinus hyperbolique............... 68 c. Argument de tangente hyperbolique.................. 69 iii Chapitre 1 LIMITES ET CONTINUITÉ DES FONCTIONS NUMÉRIQUES DE LA VARIABLE RÉELLE I- Limites d’une fonction numérique 1. Définitions Définition 1.1 Soit a ∈ R, on appel voisinage du point a qu’on note par U̇a, tout intervalle encadrant le point a duquel on exclut le point a lui même U̇a =]α, a[∪]a, β|−voisinage de a U∞ =] − ∞, α[∪]β, +∞|−voisinage de ±∞ Définition 1.2 Soit σ un nombre positif, le voisinage d’un point a est appelé σ-voisinage du point a si ∀x on a 0 < |x − a| < σ (a fini) i h[i h U̇a(σ) = a−σ ; a a ; a+σ 1  Calcul différentiel dans R Définition 1.3 On dit qu’une fonction numérique f tend vers ` lorsque x tend vers x0 si pour tout  > 0, il existe un nombre α tel que lorsque |x − x0 | < α, on ait |f (x) − `| < . Autrement dit : lim f (x) = ` ⇐⇒ ∀ > 0, ∃α > 0, ∀x, |x − x0 | < α =⇒ |f (x) − `| < . x→x0 Remarque 1.1 Il faut remarquer que c’est le  qui est donné et que l’on doit trouver un nombre positif α dépendant de  tel que lorsque l’écart de x à x0 est plus petit que α alors l’écart de f (x) à ` est inférieur à . Graphiquement, soit le point M0 (x0 , `) appartenant au graphe de la fonction f. Donné , c’est fixé la bande ` −  < f (x) < ` + . On cherche alors l’ensemble des x tel que M (x, f (x)) appartienne à cette bande. Dans ce cas, la i h fonction f tend vers la limite l si cet ensemble contient un intervalle x0 − α , x0 + α. Si la fonction est définie dans un intervalle ouvert contenat x0 , mais n’est pas définie au point x0 alors on a la définition suivante : Définition 1.4 On dit que la fonction f tend vers ` lorsque x −→ x0 avec x 6= x0 si : ∀ > 0, ∃α > 0; 0 6= |x − x0 | < α =⇒ |f (x) − `| <  =⇒ x→x lim f (x) 0 x6=x0 Dans ce cas, si on considère une fonction sur un intervalle I, alors en un point x0 on est amené à lui associer deux nombres réels : a) sa valeur f (x0 ) si f est définie en x0 b) sa limite `, si f n’est pas définie en x0 s’il existe cette limite c’est-à-dire lim f (x) = ` x→x0 Proposition 1.1 Si f (x0 ) existe et si lim f (x) = ` alors ` = f (x0 ). x→x0 2  Calcul différentiel dans R Démonstration 1.1 Soit l la limite de f en x0. Soit ε > 0, alors ∃α > 0, ∀x, |x − x0 | < α =⇒ |f (x) − l| < ε. En particulier, en prenant x = x0 , la condition |x − x0 | < α est satisfaite, donc |f (x0 ) − l| < . Ainsi, |f (x0 ) − l| est un réel positif inférieur à toute quantité strictement positive, donc est nul, c’est-à-dire que l = f − x0. D’une façon analogue, nous pouvons montrer que si une fonction admet une limite, cette limite est unique.   Définition 1.5 Soit f une fonction définie sur I =]a ; b[ contenant x0 ]a ; b[3 x0 , on appelle restriction de la fonction f à l’ensemble A = I r{x0 }, la fonction g définie par : ∀x ∈ A, f (x) = g(x). Remarque 1.2 Une fonction f peut ne pas admettre de limite en un point et que sa restriction en admette une, en ce point.  x si x2 6= 0  Exemple 1.1 f (x) =. 1 si x = 0  Elle n’a pas de limite quand x → 0, mais sa restriction g(x) = x2 ∀x ∈ R∗ admet 0 comme limite quand x → 0. Définition 1.6 — On dit qu’une fonction f admet `1 comme limite lorsque x → x0 par valeur supérieure ce qu’on note par : lim f (x) = `1 lorsque x→x0 +0 ∀ > 0, ∃α > 0 tel que 0 ≤ x − x0 < α =⇒ |f (x) − `1 | <  — Si la fonction n’est pas définie en x0 , lim f (x) = `2 ⇐⇒ ∀ > 0, ∃α > 0 tel que 0 < x − x0 < α =⇒ |f (x) − `2 | <  x→x0 +0 x6=x0 — Si `3 est la limite de la fonction f lorsque x → x0 par valeur inférieur, on a : lim f (x) = `3 ⇐⇒ ∀ > 0, ∃α > 0 tel que − α < x − x0 ≤ 0 =⇒ |f (x) − `3 | <  x→x0 −0 Remarque 1.3 Si une fonction f n’admet pas de limite en x0 mais elle admet une même limite `0 à gauche et à droite de x0 , alors sa restriction à Df − {x0 } a pour limite `0.  x , x 6= 0  Exemple 1.2 Soit la fonction f (x) = ; Df = R 1 , x = 0  g(x) = x , ∀x ∈ R? 3  Calcul différentiel dans R lim f (x) = lim x = 0 x→0< x→0< lim f (x) = lim x = 0 x→0> x→0> f (0) = 1 =⇒ f n’admet pas de limite au point 0. lim g(x) = lim x = 0 x→0< x→0< lim g(x) = lim x = 0 x→0> x→0> g(0) = 0 donc g admet de limite au point 0. Définition 1.7 La fonction f est bornée sur un intervalle A s’il existe M > 0/∀x ∈ A, |f (x)| ≤ M Définition 1.8 a) On dit que la fonction f admet +∞ (−∞) comme limite lorsque x → x0 , et on écrit lim f (x) = +∞ (−∞) lorsque x→x0 ∀M ∈ R, ∃α > 0 tel que |x − x0 | < α =⇒ f (x) > M (f (x) < M ) b) On dit que la fonction f tend vers +∞ (−∞) lorsque x → +∞, et on écrit lim f (x) = x→+∞ +∞ (−∞) lorsque ∀M ∈ R, ∃N ∈ R tel que x > N =⇒ f (x) > M (f (x) < M ) c) On dit que la fonction f admet +∞ comme limite lorsque x → −∞ et on écrit lim f (x) = +∞ ⇐⇒ ∀M ∈ R, ∃N ∈ R tel que x < N =⇒ f (x) > M x→−∞ Entre les limites d’une suite numérique et celles d’une fonction numérique, il existe un lien très étroit définit par la proposition suivante : Proposition 1.2 La relation lim f (x) = L existe si et seulement si la suite (xn ) →conv a et la suite x→a fonctionnelle f (xn ) −→conv L 2. Propriétés des limites a. Limites infiniment petites et infiniment grande Définition 1.9 On dit que la fonction α(x) est infiniment petite au voisinage de a (fini ou infini), si lim α(x) = 0 x→a Remarque 1.4 Si une fonction f admet ` comme limite quand x → a alors f (x)−` est un infiniment petit au voisinage de a. C’est pourquoi f (x) = ` + α(x), x → a où lim α(x) = 0 x→a 4  Calcul différentiel dans R Lemme 1.1 Si lim f (x) = ` 6= 0 alors, dans un certain voisinage du point a, la fonction f garde le x→a signe de `. Définition 1.10 On dit que la fonction β(x) est infiniment grande au voisinage de a, si lim f (x) = ∞ x→a 1 Lemme 1.2 — Si au voisinage du point a, α(x) 6= 0 =⇒ infiniment grande, x → a (où α(x) α(x) est l’infiniment petit) 1 — Si β(x) infiniment grande, x → a alors est infiniment petit, x → a (avec β(x) 6= 0) β(x) b. Théorèmes fondamentaux sur les limites Considérons deux fonctions f et g définies dans un même intervalle contenant a, et soit leurs limites : lim f (x) = ` ; lim g(x) = `0 alors on a les théorèmes suivants : x→a x→a  1
∀λ ∈ R, x→alim (λf (x)) = λ`  lim (f (x) + g(x)) = lim f (x) + lim g(x) = ` + `0 2
x→a x→a x→a  lim (f × g)(x) = lim f (x) × lim g(x) = ` × `0 3
x→a x→a x→a  f (x) lim f (x) ` 4
Si ` 0 6= 0, lim = x→a = 0 x→a g(x) lim g(x) ` x→a  5
Le produit d’une fonction infiniment petite par une fonction bornée est une fonction infiniment petite  6
S’il ∃`m alors lim (f (x))m = `m. x→a  Démonstration 1.2 5
g bornée, ∃M ∈ R/|g(x)| ≤ M f (x) infiniment petite =⇒ lim f (x) = 0 x→a −M ≤ g(x) ≤ M , multiplions par f (x), on aura −M f (x) ≤ g(x) × f (x) ≤ M f (x) En passant à la limite, −M f (x) −→ 0 et +M f (x) −→ 0 =⇒ lim f (x) × g(x) = 0 x→a c. Deux limites usuelles  sin x 1
x→0 lim x =1   x 1 2
x→∞ lim 1 + x =e 5  Calcul différentiel dans R d. Les formes indéterminées Dans les calculs des limites, les formes suivantes sont considérées comme indéterminées : ¬ ∞−∞ ­ 0×∞ 0 ∞ ® ou 0 ∞ ∞ ¯ 1 ou 00 Il n’y a pas de règles absolues pour lever ces indéterminations. En fonction de chaque cas d’indétermination, il faut chercher le moyen qui permet de lever cette indétermination. Par exemple, si on a une indétermination de la forme ¬, on peut multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur. Si on a une indétermination de la forme ­, on peut ramener l’expression sous la forme x log x, x → 0 ∞ Si on a une indétermination de la forme , on peut utilisé la croissance comparée ∞ Si on a une indétermination de la forme 1∞ , on prend le logarithme de l’expression g(x) log f (x) (avec g(x) → ∞ et log f (x) → 0) on retrouve le cas ­ Si on a une indétermination de la forme 00 , on prend le logarithme de l’expression g(x) log f (x) (avec g(x) → 0 et log f (x) → −∞) II- Comparaison asymptotique des fonctions au voisinage d’un point 1. Définitions Définition 1.11 Soit α(x) et β(x) deux infiniment petits au voisinage du point a. a peut être fini ou infini α(x) 1) On dit que α(x) et β(x) sont des fonctions infiniment petites des mêmes ordres si lim = x→a β(x) c 6= 0 α(x) 2) On dit que α(x) est un infiniment petit d’ordre supérieur à β(x) si lim = 0 (α tend plus x→a β(x) vite vers 0 que β au voisinage de a). On dit encore que α est négligeable devant β au voisinage de a. Dans ce cas, on note α = o(β) x → a. 3) On dit que α(x) est un infiniment petit d’ordre n par rapport à β(x) au voisinage du point a α(x) si lim = 0. x→a β(x) 6  Calcul différentiel dans R Définition 1.12 La fonction f est négligeable devant g au voisinage d’un point a, s’il existe dans ce voisinage une fonction infiniment petite α(x) tel que f (x) = α(x) × g(x), x → a f (x) f = o(g), x → a : lim = lim α(x) = 0 x→a g(x) x→a sin x Exemple 1.3 f (x) = ; g(x) = sin x ; a = +∞ x La quelle des deux fonctions est négligeable devant l’autre ? 1 f (x) = × sin x x 1 α = ; lim α(x) = 0 x x→∞ sin x f = α × g =⇒ = o(sin x), x → +∞ x f est négligeable devant g. Exemple 1.4 Une fonction f est négligeable devant 1 signifie qu’elle tend vers 0. Tout infiniment petit est noté 0(1). Si f est négligeable devant 1 alors f = o(1). Si f = o(g) alors f = g.o(1). Exemple 1.5 f (x) = x2 ; g(x) = x f (x) = x · x avec le premier x = α x2 = o(x), x → 0 xm = o(xn ) ; x → 0, ∀m > n Remarque 1.5 Si f est négligeable devant g, alors g est prépondérante devant f et on note : f 0, ∃α > 0/|x − x0 | < α =⇒ |f (x) − f (x0 )| <  x→0 10  Calcul différentiel dans R Définition 1.17 Une fonction f est continue à droite de x0 si lim f (x) = f (x0+0 ) x→x0 +0 Définition 1.18 Une fonction f est continue à gauche de x0 si lim f (x) = f (x0−0 ) x→x0 −0 Définition 1.19 Une fonction f est continue sur un intervalle I si elle est continue en chaque point de l’intervalle. Si la fonction n’est pas définie en un point x0 , elle n’est pas continue en ce point. Si f n’est pas définie en x0 et donc n’est pas continue en x0 et si lim f (x) = `(f ini) alors on peut x→x0  f (x) ; x 6= x0  prolonger f par continuité en posant g(x) = ` ; x = x 0  Remarque 1.6 Si f n’est pas continue en x0 , mais il existe lim f (x) = f (x0−0 ) f ini ; lim f (x) = x→x0 −0 x→x0 +0 f (x0+0 ) f ini alors on dit que x0 est un point de discontinuité de première espèce. Tous les autres points de discontinuité sont du deuxième espèce. 2. Propriétés des fonctions continues Théorème 1.1 Soit f définit de E vers R, une fonction continue en un point x0 ∈ E, alors : 1) La fonction f est bornée dans un certain voisinage de x0 2) Si f (x0 ) 6= 0, alors dans un certain voisinage de x0 , toutes les valeurs de la fonction f sont positives ou négatives ensemble avec f (x0 ) f 3) Si de plus la fonction g est continue en x0 , alors : f + g ; f · g ; (g 6= 0) sont des fonctions g continues en x0 4) Si la fonction g définie de Y −→ R qui est continue en y0 = f (x0 ) alors g ◦ f est continue en x0 Théorème 1.2 (Premier Théorème de Bolzano-Cauchy) Si une fonction f est continue sur un segment [a; b] et prend des valeurs aux extrémités de signes contraires, alors il existe un point c ∈]a; b[/f (c) = 0 Si f ∈ C([a; b] et f (a) · f (b) < 0 =⇒ ∃c ∈]a, b[/f (c) = 0 N.B. Au lecteur de démontrer ce théorème 11  Calcul différentiel dans R Théorème 1.3 (Deuxième Théorème de Bolzano-Cauchy) Si une fonction f (x) est continue sur [a; b] avec f (a) = A, f (b) = B et C une valeur comprise entre A et B, alors il existe un point c ∈ [a; b] tel que f (c) = C Démonstration 1.4 Supposons A < C < B. Considérons la fonction auxiliaire ϕ(x) = f (x) − C. Cette fonction est continue sur [a, b] et prend des valeurs de signes contraires aux bornes ϕ(a) = f (a) − C = A − C < 0 ϕ(b) = f (b) − C = B − C > 0. D’après le théorème 2, ∃c ∈]a, b[/ϕ(c) = f (c) − C =⇒ f (c) = C. Théorème 1.4 (1er théorème de Weierstrass) Une fonction f (x) définie et continue sur un intervalle [a; b] est bornée sur cet segment. Lemme 1.3 Une fonction f (x) continue en un point x0 est bornée dans un voisinage de ce point. 12  Calcul différentiel dans R Démonstration 1.5 Soit ε = 1 ; d’après la définition de la continuité en un point, pour cette valeur de ε il existe un α > 0 tel que |f (x) − f (x0 )| < 1 dans un α-voisinage de x0. Cette inégalité nous donne |f (x)| = |(f (x)f (x0 ) + f (x0 )| 6 |f (x) − f (x0 )| + |f (x0 )| < 1 + |f (x0 )|, c’est-à-dire que |f (x)| < M, où M = 1 + |f (x0 )|. D’où il résulte que la fonction f (x) est bornée dans un α-voisinage du point x0. Démonstration 1.6 (du Théorème) Démontrons par l’absurde que la fonction f (x) ne soit pas bornée sur l’intervalle [a, b]. Divisons l’intervalle [a, b] de telle manière que sur l’un de au moins des ses segments que l’on désignera par [a1 , b1 ] la fonction f (x) n’est pas bornée (sinon elle serait bornée sur [a, b]). Divisons ensuite [a1 , b1 ] et désignons par [a2 , b2 ] le segment sur lequel f (x) n’est pas bornée. En poursuivant, on obtient une suite [a, b] ⊃ [a1 , b1 ] ⊃ [a2 , b2 ] ⊃... ⊃ [an , bn ]... de segments b−a emboı̂tés sur chacun desquels f (x) n’est pas bornée et tels que bn − an = n → 0 lorsque n → ∞. 2 D’après le théorème sur les segments emboı̂tés (suites numériques), il existe un point c intérieur à tous les segments. La fonction f (x) est par hypothèse définie et continue en c, donc en vertu du lemme démontré, elle est bornée dans un voisinage du point c. A partir d’un certain n assez grand, ce voisinage contiendra des segments [an , bn ] sur lesquels la fonction f (x) n’est pas bornée. Ceci contredit le fait que f (x) n’est pas bornée sur chaque segment emboı̂té. Cette contradiction démontre le théorème. Remarque 1.7 Le théorème est faux si à la place de [a, b], on prend ]a, b[. 1 Exemple 1.13 f (x) = continue sur ]0; 1[ mais pas bornée puisque lim f (x) = +∞. x x→+0 Théorème 1.5 (2er théorème de Weierstrass) Une fonction f (x) est continue sur un segment [a; b] atteint ses bornes sur ce segment, autrement dit il existe des points x1 et x2 de [a, b] en lesquels f atteint son maximum et son minimum. Démonstration 1.7 Sur l’intervalle [a, b], la fonction f (x) est continue, donc bornée d’après le théorème 4. Par conséquent elle possède une borne supérieure M et une borne inférieure m, car tout ensemble numérique majoré (minoré) non vide admet une borne supérieure (resp. inférieure). Montrons que la fonction f (x) atteint la borne M , c’est-à-dire qu’il existe un point x1 ∈ [a, b], tel que f (x1 ) = M. Raisonnons par l’absurde. Supposons que la fonction f (x) ne prenne la valeur M en aucun point de [a, b]. Pour tout x ∈ [a, b] on aura alors f (x) < M. Considérons la fonction auxiliaire 1 F (x) = strictement positive sur [a, b]. M − f (x) 13  Calcul différentiel dans R Il est clair que F (x) est continue en tant que quotient de deux fonctions continues. Elle est alors bornée d’après le 1er théorème de Weierstrass, ce qui veut dire que, il existe un nombre µ > 0 tel que pour tout x ∈ [a, b], 1 F (x) = 6 µ. M − f (x) 1 d’où f (x) 6 M −. µ 1 Donc le nombre M − qui est strictement inférieur à M est la borne supérieure de f (x) sur [a, b]. µ Or ceci contredit le fait que M est la borne supérieure. Cette contradiction prouve qu’il existe un point x1 ∈ [a, b] en lequel f (x1 ) = M. On démontre d’une façon analogue que la fonction f (x) atteint sa borne inférieure sur [a, b]. Définition 1.20 La fonction f : E −→ R est uniformément continue sur E ⊂ R, si ∀ε > 0 il existe α > 0, tel que pour tous points x1 , x2 ∈ E, vérifiant l’inégalité |x1 − x2 | < α l’on ait |f (x1 ) − f (x2 )| < ε ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃ > 0, ∀x1 , x2 ∈ E; |x1 − x2 | < α =⇒ |f (x1 ) − f (x2 )| < ε. Par définition, α dépend seulement de ε et est continue à tous les x1 , x2 de l’intervalle E. Théorème 1.6 ( théorème de Cantor) Une fonction f continue sur un segment [a; b] est uniformément continue sur ce segment. Démonstration 1.8 assez longue, au lecteur Remarque 1.8 Ce théorème est faux si on a un intervalle ouvert ou semi-ouvert. 3/ Prolongement par continuité Si une fonction f est discontinue en un point x0 mais ∃ lim f (x) = l) (finie) alors, on peut prolonger x→x0  f (x), x 6= x0  la fonction f par continuité en posant g(x) = l,  x = x0 Ainsi, la fonction g sera continue en x0. 14  Calcul différentiel dans R Exercices 1) Déterminer le domaine de définition √ de 6 r x−1 x2 − 1 sin x f (x) = 3 √ ;; g(x) = ; h(x) =. x− x x x2 + cos x 2) Calculer f og et gof de :  −1, x < 0      1  a) f (x) = x2 et g(x) = 2x ; [b) f (x) = Sgnx et g(x) = où Sgnx = 0, x=0 x     1,  x>0 3) Sans se servir des tables, calculer sin( 5π 3 ) ; tan( 5π 4 ) ; et cos( π8 ) 1
4) Montrer à partir de la définition donnée au cours que a) lim x2 = 0 ; b) lim 1 + x = 2. x→0 x→1 5) a) Traduire par une formule mathématique (avec quantificateurs) l’affirmation lim ln(1+x) = x→0 0 b) Déterminer un réel α > 0 tel que |x| < 0 =⇒ | ln(1 + x)| < 10−10
x √
x 6) lim 1 + x2 ; lim x−1
lim x2 + x − x ;. x→∞ x→∞ x→∞ x+1  cos( 1 ), x 6= 0  x 6) Montrer que f (x) = n’admet pas de limite en 0. 0,  x=0 p √ √ 7) Les fonctions f (x) = x + x et g(x) = 4 x sont-elles équivalentes en 0 ? 8) Déterminer g(x) = c(x − 1)n (c-constante) telle que f (x) = g(x) + o(g(x)), → 1 si a) f (x) = x3 − 3x + 2 ; b) f (x) = ex − e ; c) f (x) = x4 − 1 9) Montrer que les fonctions y = x4 et y = cos x sont continues en tous points x0 de leur domaine de définition.  cos x1 , x < 0       2 1 10) Étudier la continuité des fonctions suivantes : a) f (x) = 0, x = 0 ; b) h(x) = x sin x    e− x1 , x > 0   |x| − x 11) Déterminer les points de discontinuité des fonctions suivantes : y = E(x) et y =. x 12) Prolonger si possible par continuité f au cas où x2 − 1 sin x 1 − cos x a) f (x) = , x0 = −1 ; b) f (x) = , x0 = 0 ; c) f (x) = , x0 = 0. x+1 x x2 15 Chapitre 2 FONCTIONS INVERSES I- Monotonie d’une fonction 1. Définitions Définition 2.1 On dit qu’une fonction f est croissante (strictement croissante) sur un segment [a; b] lorsque ∀x1 , x2 ∈ [a; b]; x1 < x2 =⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 ) (f (x1 ) < f (x2 )) Définition 2.2 On dit qu’une fonction f est décroissante (strictement décroissante) sur un segment [a; b] lorsque ∀x1 , x2 ∈ [a; b]; x1 < x2 =⇒ f (x1 ) ≥ f (x2 ) (f (x1 ) > f (x2 )) Définition 2.3 Une fonction qui est soit strictement décroissante soit strictement croissante est dite monotone. Remarque 2.1 Si une fonction f est croissante sur [a; b] alors la relation a ≤ x ≤ b entraı̂ne f (a) ≤ f (x) ≤ f (b). Théorème 2.1 Si une fonction f est continue et strictement croissante sur [a; b] alors l’équation f (x) = y0 admet une solution unique notée x0 / x0 ∈ [a; b] et y0 ∈ [f (a); f (b)]. Définition 2.4 La correspondance y0 7−→ x0 définie par le théorème 2.1 est une application du segment [f (a), f (b)] sur [a, b] que nous appelons la fonction inverse (ou réciproque) de f. On écrit x = ϕ(y). Théorème 2.2 La fonction ϕ est une fonction continue et strictement croissante sur le segment [f (a), f (b)]. 16  Calcul différentiel dans R 2. Graphe d’une fonction inverse à f Soit Cf la représentation graphique de la fonction f dans un repère orthonormé. Alors le graphe de la fonction inverse à f s’obtient par symétrie par rapport à la première bissectrice du graphe de f. Théorème 2.3 Soit f une fonction dérivable en un point x0 tel que f 0 (x0 ) 6= 0 alors la dérivée de 1 sa fonction inverse est 0 au point y0 = f (x0 ). f (x0 ) II- Exemples de fonctions inverses 1. Fonction y = arcsin Considérons la fonction y = sin x. Elle est définie continue et strictement croissante sur le segment π π [− ; ]. Elle prend ses valeurs sur le segment [−1; 1]. On peut donc définir une fonction inverse notée 2 2 π π Arcsin x : [−1; 1] =⇒ [− ; ] 2 2 Comme la fonction sin est impaire et périodique de période 2π, alors la fonction inverse arcsin est aussi impaire et périodique de période 2π. Le tableau de variation et le graphe de arcsin se déduisent du tableau de variation et du graphe sin π π x − x −1 1 2 2 1 π sin x arcsin x 2 π − −1 2 17  Calcul différentiel dans R  x = sin y  Par définition, y = arcsin x ⇐⇒ − π ≤ y ≤ π  2 2 
0 1 1 1 1 arcsin x = =p =√ , −1 < x < 1 (arcsin x)0 = √ cos y 1 − sin2 x 1 − x2 1 − x2  2. Fonction y = arccos x Considérons la fonction y = cos x. Elle est définie, continue et strictement décroissante sur le segment [0; π] et prend ses valeur sur [−1; 1]. On peut donc définir sa fonction inverse : arccos x : [−1; 1] −→ [0; π]. La fonction arccos est paire et périodique de période 2π car la fonction cos est paire et périodique de période 2π. La fonction arccos est strictement décroissante sur [−1; 1] car la fonction cos est strictement décroissante sur [0; π]. Le graphe et le tableau de variation de arccos s’obtiennent à partir du graphe et du tableau de variation de cos x 0 π x −1 1 1 π cos x arccos x −1 0 18  Calcul différentiel dans R Déterminons la dérivée  : x = cos y  y = arccos x =⇒ 0 ≤ y ≤ π   0 1 1 1 1 (arccos x) = − = −√ = −√ (arccos x)0 = − √ sin y 1 − cos2 x 1 − x2 1 − x2  π Remarque 2.2 arcsin x + arccos x = 2 3. Fonction y = arctan x Considérons la fonction y = tan x. Elle est définie, continue et strictement croissante sur l’intervalle π π π π ouvert ] − ; [ ; elle tend vers +∞ quand x tend vers (x < ) et vers −∞ quand x tend vers π 2π 2 2 2 − (x > − ). On ne peut donc pas appliquer immédiatement le théorème d’inversion dans ce cas. 2 2 À partir des limites on peut trouver une valeur b telle que tan b > y0 et une valeur a telle que tan a < y0. On l’appelle la fonction y = arctan x (arc dont la tangente est x). La fonction arctan est impaire et périodique de période π car la fonction tan est impaire et périodique de période π. 19  Calcul différentiel dans R π π x − 2 2 +∞ tan x −∞ x −∞ +∞ π arctan x 2 π − 2 D’après la définition :  x = tan y  y = arctan x =⇒ ; Dy = R − π < y < π  2 2  1 1 1 (arctan x)0 = = (arccos x)0 = 1 + tan2 y 1 + x2  1 + x2 √ 4. Fonction y = n x (x > 0 et n ∈ N) On considère la fonction y = xn. Elle est définie, continue et strictement croissante sur [0; +∞[−→ [0; +∞[. En considérant la fonction sur une restriction [a, b] ⊂]0, +∞[, elle admet une fonction inverse √ continue et strictement croissante y = n x : [0; +∞[−→ [0; +∞[ x 0 +∞ +∞ xn 0 x 0 +∞ +∞ √ n x 0 20  Calcul différentiel dans R Déterminons la dérivée 1 − n
 √ 1 1 1 1 0 y = x = x n =⇒ y = · x n n y0 = · x n −1 n  n Remarque 2.3 Pour n = 1 la fonction y = x coı̈ncide avec sa fonction inverse et son graphe est porté par la première bissectrice. Dans ce cas, la fonction inverse est d’ailleurs définie quelque soit x positif, négatif ou nul. Il en est de même pour la fonction inverse de xn lorsque n est un entier positif impaire. Exercices Exercices 1 : 1. Montrer que : 0 < arccos( 43 ) < π4. 2. Résoudre : arccos(x) = 2 arccos( 34 ) Exercices 2 : 1. Montrer que : 2 arctan( 13 ) ∈ [0; π2 ]. 2 tan(t) 2. Montrer que pour tout t ∈ R − π2 + kπ, k ∈ Z , sin(2t) = . 1 + tan2 (t) 3. En déduire que : arcsin( 53 ) = 2arctan( 13 ). Exercices 3 : tan(x) 1 1. Montrer que ∀x ∈]0, π2 [, sin(x) = p et cos(x) = p. 1 + tan2 (x) 1 + tan2 (x) 2. Montrer que : 0 < arctan( 34 ) + arctan( 12 5 )< π 2 3. Résoudre arcsin(x) = arctan( 34 ) + arctan( 12 5 ). On rappelle que sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b 21 Chapitre 3 DÉRIVABILITÉ, DIFFÉRENTIABILITÉ ET DÉVELOPPEMENT LIMITÉ DES FONCTIONS NUMÉRIQUES I- Dérivées 1. Définitions On considère la fonction y = f (x) définie et continue sur un intervalle I contenant x0. ∆y = f (x) − f (x0 ) est appelé accroissement de la fonction f. ∆x = x − x0 est appelé accroissement de la variable x Définition 3.1 On dit que la fonction f est dérivable en un point x0 ∈ I de dérivée `, s’il existe : ∆y f (x) − f (x0 ) lim = lim = l (généralement fini). ∆x→0 ∆x x→x0 x − x0 Définition 3.2 La limite ` = f 0 (x0 ) est appelé nombre dérivé ou dérivée de la fonction f en x0. 22  Calcul différentiel dans R Définition 3.3 On dit que la fonction f est dérivable sur un segment fermé [a; b], si elle est dérivable en chaque point de ce segment. Définition 3.4 — On dira que la fonction f est dérivable à gauche de x0 s’il existe : f (x) − f (x0 ) lim = f 0 (x0−0 ) (généralement fini) x→x0−0 x − x0 — On dit que la fonction f est dérivable à droite de x0 s’il existe : f (x) − f (x0 ) lim = f 0 (x0+0 ) x→x0+0 x − x0 2. Interprétation géométrique et physique de la dérivée a. Interprétation géométrique Soit donnée la fonction y = f (x). Sa dérivée y 0 = f 0 (x) est égale pour toute valeur de x au coefficient angulaire de la tangente à la courbe de f au point correspondant. Remarque 3.1 — Si la dérivée en un point x0 est positive, alors la tangente à la courbe en ce point forme un angle aigu avec l’axe des abscisses. — Si la dérivée en un point x0 est négative, alors la tangente à la courbe en ce point forme un angle obtus avec l’axe des abscisses. — Si la dérivée en un point x0 est nulle, alors la tangente à la courbe en ce point est parallèle à l’axe des abscisses. b. Interprétation physique de la dérivée On considère y = f (t) où t = temps. ∆t = t − t0 ∆y exprime le taux de variation de la fonction f en fonction du temps. Alors ∆t ∆y lim = f 0 (t0 ) ∆t→0 ∆t est la vitesse de variation de la fonction f. 23  Calcul différentiel dans R c. Autre applications de la dérivée Supposons que la températureT d’un corps soit fonction décroissante du temps t, T = f (t), t−fixé. Si t subit un accroissement ∆t, la température diminue de ∆T , ∆T alors le taux d’accroissement représente la vitesse moyenne de refroidissement ∆t ∆T du corps. Sa limite lim = f 0 (t) est la vitesse de refroidissement d’un corps à ∆0 ∆t l’instant t. Cette vitesse de refroidissement est égale à la dérivée de la température par rapport au temps. À l’aide des dérivées on peut exprimer également la vitesse d’une réaction chimique et autre. 3. Relation entre la dérivabilité et la continuité d’une fonction numérique Théorème 3.1 Si une fonction f est dérivable en un point x0 alors elle est continue en ce point. L’inverse de ce théorème n’est pas vrai. En effet, d’après la définition de la dérivabilité au point x0 de la fonction f , il existe : f (x) − f (x0 ) lim = f 0 (x0 ) (généralement fini), x→x0 x − x0 h i 0   ⇐⇒ lim f (x) − f (x0 ) = lim (x − x0 )f (x0 ) = 0 x→x0 x→x0 lim f (x) = f (x0 ) =⇒ f est continue. x→x0 Réciproque sur un exemple Considérons y = f (x) = |x|, x0 = 0 Continuité en 0 lim |x| = |0| = 0 donc |x| est continue en 0. x→x0 Dérivabilité |x| − |0| |x| lim = lim x→0 x − 0 x→0 x |x| −x lim = lim = −1 x→0< x x→0< x |x| x lim = lim = 1 d’où la fonction n’est pas dérivable en 0 car lim f (x) 6= x→0> x x→0> x x→0< 24  Calcul différentiel dans R lim f (x) x→0> Corollaire 3.1 Si la fonction f est discontinue en un point x0 alors elle n’admet pas de dérivée en ce point. f (x) − f (x0 ) Remarque 3.2 Si lim = ∞, on dit que la fonction f admet l’infini x→x0 x − x0 comme nombre dérivé. elle n’est donc pas dérivable en x0. Comme la dérivée est égale au coefficient angulaire (k = tan α) de la tangente à la courbe de f , alors π tan α = ∞ ⇐⇒ α = ± , dans ce cas, la courbe admet une tangente parallèle à 2 l’axe (Oy) 4. Quelques propriétés des dérivées Soient f et g deux fonctions dérivables sur un intervalle I alors ∀x ∈ I, on a :  0 1) ∀λ ∈ R, λf (x) = λ · f 0 (x)  0 2) f (x) + g(x) = f 0 (x) + g 0 (x)  0 3) f (x) · g(x) = f 0 (x) · g(x) + f (x) · g 0 (x) !0 f (x) f 0 (x) · g(x) − f (x) · g 0 (x) 4) = g(x) (g(x))2  0 f 0 (x) 5) ln(f (x) = f (x)  0 6) g ◦ f (x) = g 0 (f (x)) · f 0 (x)  0 7) e f (x) = f 0 (x)ef (x) 8) Dérivée d’une fonction inverse : Soit y = f (x) une fonction continue, strictement croissante (ou décroissante) sur un segment [a, b]. Soit ϕ(y) la fonction inverse à f (x). Calculons la dérivée au point y0 sachant que f est dérivable en x0 et f 0 (x0 ) 6= 0. ϕ(y) − ϕ(y0 ) x − x0 1 = = y − y0 f (x) − f (x0 ) f (x) − f (x0 ) x − x0 25  Calcul différentiel dans R quand y → y0 , x → x0 puisque x = ϕ(y) est fonction continue de y. f (x) − f (x0 ) → f 0 (x0 ) puisque f (x) est dérivable en x0 et comme f 0 (x0 ) 6= 0 x − x0 alors 1 1 → 0 f (x) − f (x0 ) f (x0 ) x − x0 donc on a le théorème suivant : Théorème 3.2 x = ϕ(x) étant la fonction inverse de f (x) = y, si f (x) admet au 1 point x0 = ϕ(y0 ) une dérivée ϕ0 (y0 ) = 0. f (x0 ) Si on note y = ϕ(x) la fonction inverse de x = f (y), la dérivée de ϕ(x) est ϕ0 (x0 ) = 1. f 0 (x0 ) Exemple 3.1 Calculer (Arccosx)0 ; (Argshx)0. On a y = Arccosx, x = cos y, x0 = − sin y 1 1 1 On a ϕ0 (x) = (Arccosx)0 = = −p = −√ − sin y 1 − cos2 y 1 − x2 y=x 0 On a y = Argshx, x = shy, x = chy 1 1 1 On a ϕ0 (x) = (Argshx)0 = = p =√ car ch2 x − sh2 x = 1 chy 1 + ch2 y 1 + x2 y=x 26  Calcul différentiel dans R 5. Tableau des dérivées des fonctions simples Fonctions Dérivées xα αxα−1 sin x cos x cos x − sin x 1 loga x x ln(a) 1 ln(x) x 1 tan x = 1 + tan2 x cos2 x 1 cot x − 2 = −1 − cot2 x sin x 1 arcsin x √ 1 − x2 ax ax · ln(a) 1 arccos x −√ 1 − x2 1 arctan x 1 + x2 1 arccot x − 1 + x2 shx chx chx shx 1 thx ch2 x 1 cthx − 2 , x 6= 0 sh x 1 Argshx √ 1 + x2 1 Argchx √ , |x| > 1 x2 − 1 1 Argthx , |x| < 1 1 − x2 1 Argthx − 2 , |x| > 1 x −1 f (x) − f (x0 ) Remarque 3.3 lim = f 0 (x0 + 0)−on parle de la dérivée à droite x→x0 +0 x − x0 27  Calcul différentiel dans R de x0 f (x) − f (x0 ) lim = f 0 (x0 − 0)−on parle de la dérivée à gauche de x0 x→x0 −00 x − x0 II- Différentiabilité des fonctions numériques 1. Définitions Définition 3.5 Soit f une fonction définie, continue et dérivable en un point quel- conque x0 , on appelle différentiel de la fonction f au point x0 , la fonction linéaire qui à h 7−→ f 0 (x0 ) · h. On note la différentielle par df (x0 ) = f 0 (x0 ) · h. Si f (x) = x alors la différentielle dx est la valeur de la fonction linéaire qui h 7−→ h. Ce qui permet alors d’exprimer la différentielle de la fonction y = f (x) par : dy = dy f 0 (x)dx. On déduit alors la relation suivante : f 0 (x) =  dx Définition 3.6 On dira que la fonction est différentiable sur un segment [a; b], si elle est différentiable en chaque point de ce segment. 2. Quelques propriétés des fonctions différentiables Considérons deux fonctions différentiables u et v sur un même domaine. À partir des propriétés sur les fonctions dérivées, on peut déduire les propriétés sur les fonctions différentiables. On a donc les propriétés suivantes : 1) ∀λ ∈ R, d(λu) = λdu 2) d(u ± v) = du ± dv 3) d(uv) = vdu + udv u
vdu − udv 4) d = v v2 28  Calcul différentiel dans R Exemple 3.2 d(x ln x) = ln xdx + xd(ln x) dx = ln xdx + x x = ln xdx + dx d(x ln x) = (ln x + 1)dx 5) Soit y = f (x) ; x = ϕ(t)   dy = d f (ϕ(t)) = df (ϕ)dϕ(t) = df (ϕ)ϕ0 (t)dt   d f ◦ ϕ = df (ϕ) · ϕ0 (t)dt 3. Interprétation géométrique de la différentielle Considérons la représentation graphique de y = f (x) Interprétation 3.1 Soit le point M (x; y) et M 0 (x + ∆x; y + ∆y), soient M et M 0 appartenant au cercle (C ) 29  Calcul différentiel dans R On mène une tangente au point M désignée par M T où T est le point d’intersection de la tangente avec (M 0 N ) puis considérons le triangle M T N. Désignons par ϕ l’angle entre l’axe (ox) et la tangente M T , On aura donc N T = ∆x tan ϕ D’après l’interprétation géométrique de la dérivée, on a : tan ϕ = f 0 (x) = y 0 , on aura donc N T = y 0 ∆x − dy Ainsi, la différentielle de la fonction y = f (x) en un point quelconque est égale à l’accroissement de la tangente à la courbe de cette fonction en ce point, lorsque l’accroissement de x est ∆x. Remarque 3.4 D’une manière générale, l’accroissement ∆y = N M 0 n’est pas égale à dy = M T. En particulier : 1) Si la courbe de la fonction présente sa concavité vers le haut, dans ce cas, ∆y > dy 2) Si la courbe présente sa concavité vers le bas, dans ce cas, ∆y < dy 4. Interprétation physique de la différentielle Soit donnée la loi du mouvement d’un point M le long de l’axe (ox) : x = f (t), x est la distance du point M à l’origine. t est le temps. On suppose que le point se déplace toujours dans le même sens au bout d’un intervalle de temps infiniment petit dt, le point M prendra la position M 0 après avoir parcouru une distance ∆x = f (t + dt) − f (t) c’est un accroissement réel de la distance parcourue. Ainsi, la différentielle de la dis- tance dx a pour valeur x0t dt. Or x0t qui représente la dérivée de la distance par rap- port au temps est la vitesse v du mouvement. On a donc dx = vdt. Par conséquent, 30  Calcul différentiel dans R la différentielle de la distance est égale à l’accroissement fictif de celle-ci qui sera obtenue si on supposait qu’à partir de l’instant donné, le point était animé d’un mouvement uniforme en conservant la vitesse acquise. Par exemple, si le compteur de vitesse d’une voiture indique 60Km/h, le conducteur qui estime que pendant une minute, le parcours du véhicule sera 1km, calcul réellement non pas l’accroissement du chemin parcourue en une minute, mais la différentielle du chemin. Un tel calcul peut s’avéré faux à cause de la non uniformité du mouvement. III- Théorèmes fondamentaux sur les dérivées et règle de l’Hôpital 1. Théorèmes fondamentaux sur les dérivées Théorème 3.3 — Si f est dérivable en x0 tel que f 0 (x0 ) > 0 alors la fonction f est croissante au voisinage de x0 — Si f est dérivable en x0 tel que f 0 (x0 ) < 0 alors la fonction f est décroissante au voisinage de x0 Théorème 3.4 Soit f une fonction dérivable sur un segment [a; b]. Si ∀x ∈ [a; b], f 0 (x) ≥ 0, alors f est croissante sur ce segment et si ∀x ∈ [a; b], f 0 (x) ≤ 0, alors f est décroissante sur ce segment. Théorème 3.5 (de Roll) Soit f une fonction vérifiant les conditions suivantes : — f est défini et continue sur le segment [a; b] — f est différentiable sur ]a; b[ — f (a) = f (b), alors il existe c ∈]a; b[ tel que f 0 (c) = 0 Démonstration 3.1 Supposons que la fonction f prenne des valeurs supérieurs à 31  Calcul différentiel dans R f (a). Comme f est continue sur le segment [a; b] alors elle est bornée sur ce segment. Donc elle admet une valeur minimal et une valeur maximal sur ce segment d’après le théorème de Weierstrass. Soit M La borne supérieure de la fonction f sur le segment [a; b] et soit c ∈ [a; b]/f (c) = M. Il est claire que f (c) > f (a). Donc c ∈]a; b[. Étudions la dérivabilité en c f (x) − f (c) f 0 (c+0 ) = ≤0 x−c f (x) − f (c) f 0 (c−0 ) = ≥ 0 =⇒ f 0 (c) = 0. x−c Interprétation 3.2 (géométrique du théorème de Roll) Si une fonction f vérifie les trois conditions de Roll, puis la conclusion de Roll, alors au point d’abscisse c, la tangente est horizontale. Interprétation 3.3 (physique du théorème de Roll) On considère un point matériel qui se déplace sur le segment [a; b]. Si le point quitte la position f (a) et à un moment donné revient à la position f (a), cela veut dire qu’à un moment donné, sa vitesse s’est annulée. Théorème 3.6 (de Lagrange ou des accroissements finis) Soit f une fonction vérifiant les conditions suivantes : 1) f est continue sur [a; b] 2) f différentiable sur ]a; b[ 32  Calcul différentiel dans R f (b) − f (a) alors ∃c ∈]a; b[/f 0 (c) = b−a Démonstration 3.2 Soit donnée la fonction f qui vérifie les conditions de La- grange sur le segment [a; b]. Considérons une fonction auxiliaire ϕ définie par ϕ(x) = f (b) − f (a) f (x) − f (a) − (x − a). Alors la fonction ϕ vérifie les conditions de Roll. b−a f (b) − f (a) ϕ(b) = f (b) − f (a) − (b − a) b−a ϕ(b) = 0 f (b) − f (a) ϕ(a) = f (a) − f (a) − (a − a) b−a ϕ(a) = 0 f (b) − f (a) ϕ0 (x) = f 0 (x) − b−a f (b) − f (a) ϕ0 (c) = f 0 (c) − b−a Or ϕ0 (c) = 0. Donc f (b) − f (a) f 0 (c) = b−a 2. Règle de l’Hôpital f (x) 0 ∞ Soit à calculer lim = ou. x→a g(x) 0 ∞ L’une des manières pour lever cette indétermination est la règle de l’Hôpital. Règle : Soient f et g deux fonctions définies et dérivables au voisinage du point a sauf peut-être au point a. Supposons que lim f (x) = lim g(x) = 0 et que g 0 (x) 6= 0 au voisinage du point a. x→a x→a On en déduit que f (x) f 0 (x) lim = lim 0 x→a g(x) x→a g (x) Remarque 3.5 Le théorème de l’Hôpital reste vrai pour x → a+0 ; x → a−0 ; x → ±∞. 33  Calcul différentiel dans R f 0 (x) 0 f 00 (x) Remarque 3.6 Si lim 0 = , alors on cherche à voir s’il existe lim 00 = x→a g (x) 0 x→a g (x) f (x) ` =⇒ lim = `. x→a g(x) Théorème 3.7 On peut appliquer la règle de l’Hôpital plusieurs fois à condition que cela ait un sens. Démonstration 3.3 (du théorème de l’Hôpital) Supposons que les fonctions f (x), g(x), f 0 (x) et g 0 (x) soient continues au point a avec g 0 (a) 6= 0. Ainsi soit : lim f (x) = f (a) = 0 (1) x→a lim g(x) = g(a) = 0 (2) x→a La différence f (x) − f (a) peut-être considéré comme l’accroissement de la fonction f au point a. Cet accroissement correspond à ∆x = x − a. Calculons la limite suivante : f (x) − f (a) lim = f 0 (a) (3) x→a x−a g(x) − g(a) lim = g 0 (a) (3’) x→a x−a En tenant compte des formules (1) et (2) pour x 6= a, on peut chercher le quotient : f (x) − f (a) f (x) f (x) − f (a) x−a = = g(x) g(x) − g(a) g(x) − g(a) x−a En passant à la lim , on obtient : x→a ! f (x) − f (a) lim f (x) x→a x−a f 0 (a) lim = ! = 0 (4). x→a g(x) g (a) g(x) − g(a) lim x→a x−a ∞ Remarque 3.7 La démonstration reste vrai pour l’indétermination. ∞ 1 − cos x 0 Exemple 3.3 1) lim = x→0 x2 0 34  Calcul différentiel dans R (1 − cos x)0 sin x 0 lim 2 = lim = x→0 (x ) x→0 2x 0 (1 − cos x)00 cos x 1 lim = lim = x→0 (x2 )00 x→0 2 2 1 − cos x 1 lim = x→0 x2 2 x − sin x 0 2) lim = x→0 x3 0 (x − sin x)0 1 − cos x 0 lim 3 = lim = x→0 (x ) x→0 3x2 0 (1 − cos x)0 sin x 0 lim = lim = x→0 (3x2 )0 x→0 6x 0 (sin x)0 cos x 1 lim = lim = x→0 (6x)0 x→0 6 6 x − sin x 1 lim = x→0 x3 6 ln x +∞ 3) lim = x→+∞ x +∞ 1 (ln x)0 x 1 lim = lim = = lim =0 x→+∞ (x)0 x→+∞ 1 x→+∞ x ln x lim =0 x→+∞ x xn nxn−1 n(n − 1)xn−2 n! 4) lim = lim = lim = · · · = lim =0 x→+∞ ex x→+∞ ex x→+∞ ex x→+∞ ex xn lim =0 x→+∞ ex √ ln x 5) lim x ln x = lim x→0+ x→0+ x−1/2 35  Calcul différentiel dans R 1 (ln x)0 x √ lim −1/2 0 = lim 1 −1/2 = lim (−2 x) = 0 x→0+ (x ) x→0+ − x x→0+ 2 √ lim x ln x = 0 x→0+ ln x 6) lim x ln x = lim 1 x→0+ x→0+ x lim x ln x = 0 x→0+   1 Exercice 3.1 1) Calcul : limπ − tan x x→ 2 cos x 2) lim xx x→0+  1  e x −1−x 3) lim (1 + x) e x→0  2 cos x 4) lim tan x π x→ 2 IV- Dérivée et différentielle nème 1. Dérivée nème f (x) − f (x0 ) ∃ lim = f 0 (x0 ) (fini) =⇒ La fonction f est dérivable en x0 x→x0 x − x0 f (x) − f 0 (x0 ) 0 ∃ lim = f 00 (x0 ) (fini) =⇒ La fonction f est deux fois dérivable x→x0 x − x0 en x0 f (n−1) (x) − f (n−1) (x0 ) ∃ lim = f (n) (x0 ) (fini) =⇒ La fonction f est nfois x→x0 x − x0 dérivable en x0 2. Opérations élémentaires sur les dérivées nème Soient u et v deux fonctions nfois dérivables sur un même intervalle. Alors on a les formules suivantes : 36  Calcul différentiel dans R 1) (u ± v)(n) = u(n) ± v (n) 2) Formule de Leibniz n X n! (n) (u · v) = Cni u(i) v (n−i) Cni = ; 0! = 1 i=0 i!(n − i)! Quelques formules 1) (xα )(n) = α(α − 1) · · · · · · (α − n + 1)xα−n 2) (ax )(n) = ax (ln a)n 3) (sin x)(n) = sin(x + n π2 ) 3) (cos x)(n) = cos(x + n π2 ) 3. Différentielle nème Si la fonction y = f (x) est différentiable sur un intervalle I, alors on a : dy = f 0 (x)dx Si dy = f 0 (x)dx est différentiable sur I, alors on a d2 y = f 00 (x)dx2 , x est une variable indépendante. dn y = f (n) (x)dxn où x est variable indépendante. dn y = f (n) (x)dxn est différentielle nème. Supposons que x dépende d’une variable t et calculons la différentielle seconde. Alors on a y = f (x). dy = f 0 (x)dx d2 y = d(f 0 (x)dx) = f 00 (x)dx2 + f 0 (x)d2 x d3 y = d(f 00 (x)dx2 + f 0 (x)d2 x) 37  Calcul différentiel dans R V- Développement limité 1. Formule de Taylor-Young Soit f une fonction nfois dérivable sur un segment [a; b] tel que la dérivée nème soit continue, alors on a la formule suivante : b−a 0 (b − a)2 00 f (b) = f (a) + f (a) + f (a) + · · · + 1! 2! Z b (3.1) (b − a)n−1 (n−1) (b − t)n−1 (n) + f (a) + f (t)dt. (n − 1)! a (n − 1)! Théorème 3.8 Soit f une fonction différentiable jusqu’à l’ordre n sur un intervalle I contenant x0. Alors on a la formule suivante h 0 (h)2 00 (h)n (n) h → 0; f (x0 +h) = f (x0 )+ f (x0 )+ f (x0 )+· · ·+ f (x0 )+o(1)hn (3.2) 1! 2! (n)! C’est la formule de Taylor-Young On peut réécrire cette formule avec reste de Lagrange. Pour cela, si on pose h = x − x0 qu’on introduit dans (3.2), x − x0 0 (x − x0 )2 00 f (x) = f (x0 ) + f (x0 ) + f (x0 ) + · · · + 1! 2! (x − x0 )n (n) (x − x0 )n+1 (n+1)
f (x0 ) + f x0 + θ(x − x0 ) ; 0 < θ < 1. (n)! (n + 1)! (3.3) (x − x0 )n+1 (n+)
Où f x0 + θ(x − x0 ) est le reste de Lagrange (n + 1)! Si on pose x0 = 0, on peut écrire la formule de Maclaurin avec reste de Péano ou Lagrange f 0 (0) f 00 (0) 2 f (n) (0) n x0 = 0; f (x) = f (0) + x+ x + ··· + x + o(xn ); x → 0. (3.4) 1! 2! (n)! f 0 (0) f 00 (0) 2 f (n) (0) n x0 = 0; f (x) = f (0) + x+ x + ··· + x + 1! 2! (n)! xn+1 (n+1) f (θx); 0 < θ < 1. (n + 1)! (3.5) 38  Calcul différentiel dans R 2. Recherche de la partie principale d’un infiniment petit Soit f une fonction infiniment petite au voisinage de 0 sauf peut-être en 0. Supposons que f soit n fois dérivable au voisinage de 0. Alors on a : f 0 (0) f 00 (0) 2 f (n) (0) n x0 = 0; f (x) = f (0) + x+ x + ··· + x + o(xn ); x → 0 (3.6) 1! 2! (n)! Supposons que f (0) = 0 et f 0 (0); f 00 (0);....., f (n) (0) 6= 0. Soit n le plus petit entier naturel, tel que f (n) (0) 6= 0 (le plus souvent n = 1). On peut donc réécrire la formule (3.6) sous la forme : f (n) (0) n h i f (x) = x 1 + o(1) , x → 0. (3.7) n! De la formule (3.7), on déduit que la partie principale de l’infiniment petit f est f (n) (0) n x n!  (n) f (0) n f (x) ∼ x , x→0  n!  3. Développements limités a. Définition Soit une fonction n fois dérivable au voisinage de 0 sauf peut-être en 0. On dit que la fonction f (x) admet un développement limité jusqu’à l’ordre n au voisinage de 0 s’il existe un polynôme P (x) de degré au plus égal à n tel que la différence f (x) − P (x) soit un infiniment petit d’ordre supérieur à n par rapport à x. Par conséquent, le développement limité de la fonction f est de la forme : f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn + (x)o(1); où lim (x) = 0 (3.8) x→x0 Si le développement se fait au voisinage d’un point quelconque x0 6= 0, alors : 39  Calcul différentiel dans R f (x) = a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )2 + · · · + an (x − x0 )n + (x − x0 )o(1), (3.9) x → x0 ; lim (x − x0 ) = 0 x→x0 Très souvent, le développement limité au voisinage de 0 est écrit sous la forme suivante : f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn + o(xn ) (3.10) Théorème 3.9 Si la fonction f est nfois dérivable sur un intervalle I et admet une dérivée nème continue , alors au voisinage de 0, cette fonction admet le développent suivant : f 0 (0) f 00 (0) 2 f (n) (0) n f (x) = f (0) + x+ x + ······ + x + o(xn ); x → 0. (3.11) 1! 2! (n)! Théorème 3.10 Si une fonction f admet au voisinage de 0 un développement limité de la forme f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · · · · + an xn + o(xn ); x → 0 alors ce développement est unique f (x) = b0 + b1 x + b2 x2 + · · · · · · + bn xn + o(xn ) =⇒ ai = bi ; i = 0, n Théorème 3.11 Si une fonction f admet un développement limité d’ordre n au voisinage de 0 alors elle admet un développement limité d’ordre p < n f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · · · · + ap xp + ap+1 xp+1 + · · · · · · + an xn + o(xn ) f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · · · · + ap xp + o(xp ) Remarque 3.8 Le développement limité joue un rôle très important dans l’étude de fonctions. Ils permettent de lever l’indétermination, de dégager facilement l’asymp- tote. Ils permettent aussi de déterminer facilement la position de la courbe par rap- port à son asymptote oblique. 40  Calcul différentiel dans R b. Développements limités usuels 1) f (x) = ax ; x → 0 f (0) = 1 f 0 (x) = ax ln a =⇒ f 0 (0) = ln a f 00 (x) = ax (ln a)2 =⇒ f 00 (0) = (ln a)2 f (n) (x) = ax (ln a)n =⇒ f (n) (0) = (ln a)n x (ln a)2 2 (ln a)n n a = 1 + (ln a)x + x + ······ + x + o(xn ) 2! n!   2 n x x Pour a = e, on a : ex = 1 + x + + ······ + + o(xn ) ; x → 0  2! n!  2) f (x) = cos x ; x → 0 f (0) = 1 f 0 (x) = − sin x =⇒ f 0 (0) = 0 f 00 (x) = − cos x =⇒ f 00 (0) = −1 f 000 (x) = sin x =⇒ f 000 (0) = 0 f 0000 (x) = cos x =⇒ f 0000 (0) = 1   2 4 6 8 2n x x x x x cos x = 1 − + − + + · · · · · · + (−1)n + o(x2n ) ; x → 0 2! 4! 6! 8! (2n)!   41  Calcul différentiel dans R 3) f (x) = sin x ; x → 0 f (0) = 0 f 0 (x) = cos x =⇒ f 0 (0) = 1 f 00 (x) = − sin x =⇒ f 00 (0) = 0 f 000 (x) = − cos x =⇒ f 000 (0) = −1 f 0000 (x) = sin x =⇒ f 0000 (0) = 0 f 00000 (x) = cos x =⇒ f 00000 (0) = 1   3 5 2n+1 x x x x sin x = − + + · · · · · · + (−1)n + o(x2n+1 ) ; x → 0 1! 3! 5! (2n + 1)!   4) f (x) = (1 + x)α =⇒ f (0) = 1 f 0 (x) = α(1 + x)α−1 =⇒ f 0 (0) = α f 00 (x) = α(α − 1)(1 + x)α−2 =⇒ f 00 (0) = α(α − 1) f 000 (x) = α(α − 1)(α − 2)(1 + x)α−3 =⇒ f 000 (0) = α(α − 1)(α − 2) f (n) (x) = α(α − 1)(α − 2) · · · · · · (α − n + 1)(1 + x)α−n =⇒ f (n) (0) = α(α − 1)(α − 2) · · · · · · (α − n + 1) α α(α − 1) 2 α(α − 1)(α − 2) · · · · · · (α − n + 1) n (1 + x)α = 1 + x+ x + ······ + x + 1! 2! n! +o(xn ); x → 0 c. Opérations sur les développements limités On considère les développements limités de deux fonctions f et g au voisinage de 0. f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · · · · + ap xp + · · · · · · + an xn + o(xn ) ; x → 0 g(x) = b0 + b1 x + b2 x2 + · · · · · · + bp xp + o(xp ) 42  Calcul différentiel dans R — Somme f (x) + g(x) = (a0 + b0 ) + (a1 + b1 )x + (a2 + b2 )x2 + · · · + (ap + bp )xp + · · · + +(an + bn )xn + o(xn ) — Produit f (x) × g(x) = C0 + C1 x + C2 x2 + · · · · · · + Cp xp + · · · · · · + +Cn+p xn+p + o(xn+p ) ; x → 0 — Quotient f admet un développement limité si la limite de ce quotient est fini. Le g développement limité s’obtient en faisant la division euclidienne suivant les puissances croissantes du développement de f par celui de g au voisinage de 0 f (x) = q0 + q1 x + q2 x2 + · · · · · · + qn xn + o(xn ); x → 0 g(x) Exemple : x3 x5 sin x x− + + o(x5 ) Exemple 3.4 tan x = = 6 120 cos x x2 x4 1− + + o(x5 )  2 24 1 2 tan x = x + x3 + x5 + o(x5 ) , x → 0 ; n = 5  3 15 — Développement limité de la composé au voisinage de 0 Le développement limité de f ◦ g au voisinage de 0 n’est possible que si lim g(x) = 0 =⇒ b0 = 0. x→0 f ◦ g(x) = a0 + a1 g(x) + a2 (g(x)2 ) + · · · · · · + an (g(x)n ) + o(g(x)n ) — Développement limité de f 0 (x) 43  Calcul différentiel dans R Pour obtenir le développement limité de la dérivée de la fonction f , on calcul d’abord le développement limité de la fonction f puis on dérive terme à terme le développement limité de la fonction f. dl(f 0 (x)) = a1 + 2a2 x + · · · · · · + nan xn−1 — Intégration du développement limité Si on connait le développement limité de la dérivée de la fonction f , on peut alors intégré terme à terme pour obtenir le développement limité de la fonction f. Z Z Z dl(f (x)) = a1 dx + 2a2 xdx + · · · · · · + nan xn−1 dx Exemple 3.5 1 (ln(1 + x))0 = = (1 + x)−1 ; α = −1 1+x α α(α − 1) 2 α(α − 1)(α − 2) 3 f (x) = 1 + x + x + x + ······ + 1! 2! 3! α(α − 1)(α − 2) · · · (α − n + 1) n + x + o(xn ) n! 1 = 1 − x + x2 − x3 + · · · · · · + (−1)n xn + o(xn ) ; x → ∞ 1+x x2 x3 x4 n−1 x n ln(1 + x) = x − + − + · · · · · · + (−1) + o(xn ) 2 3 4 n 4. Application de la formule de Maclaurin pour le calcul des limites Les formules de Maclaurin et de Taylor sont des outils très efficaces de calcul de certaines limites. x3 sin x − x x− + o(x3 ) − x 1 1) lim = lim 6 = − x→0 x3 x→0 x3 6 x2 x4 4 x2 x4 2 e−x /2 − cos x 1− + + o(x ) − 1 + − + o(x4 ) 1 2) lim = lim 2 8 2 24 = x→0 3 x sin x x→0 3 x (x + o(x)) 12 44  Calcul différentiel dans R Calcul du nombre e (avec reste de Lagrange) 1 lim (1 + )x = e x→∞ x x2 x3 xn xn+1 θx ex = 1 + x + + + ······ + + e r (1) 2! 3 n! (n + 1)! x2 x3 xn ex ≈ 1+x+ + + ······ + (2) 2! 3! n! L’erreur absolue est : eθx |Rn+1 | = |x|n+1 , 0 < θ < 1 (n + 1)! x eθx 3 Si on considère e sur [−1; 1], alors : |Rn+1 (x)| ≤ < (n + 1)! (n + 1)! 1 1 Si on pose x = 1 dans (2), on a : e ' 1 + 1 + + ······ + 2! n! Calculons e à 0, 001 près 3 3 < 0, 001 =⇒ < 10−3 =⇒ 3000 < (n + 1)! (n + 1)! (n + 1)! Pour n = 5, on a : (n + 1)! = 720 < 3000 Pour n = 6, on a : 7! > 3000. Alors on a : 1 1 1 1 1 e'1+1+ + + + + 2! 3! 4! 5! 6! Donc e = 2, 718 à 0, 001 près 45  Calcul différentiel dans R Exercices Dérivées et différentielles 1) Étudier la  dérivabilité des fonctions suivantes  en 0 : cos 1 , x 6= 0 x sin 1 , x =   6 0   x x a) f (x) = ; b) g(x) = ;   0,  x=0 0,  x=0  x2 sin 1 , x 6= 0   x c) h(x) =  0,  x=0 2) Calculer les dérivées suivantes ec sin x 2 a) f (x) = 2 ; b) g(x) = 4Arc sin x ; c) h(x) = (Arc tan 4x)x 2x − 1 d) k(x) = ln tan x2 ; 1 e) l(x) = Arc cos |x| ; |x| > 1 3) Calculer les dérivées n-ime des fonctions 1 1 a) f (x) = , a ∈ R, x 6= a ; b) g(x) = , a, b ∈ x−a (x − a)(x − b) x2 + 1 R, x 6= a, x 6= b ; c) h(x) = 2 x −1 (50) (25) 4) Soient y1(x) = x2 sin 2x et y2(x) = x cos 3x. Calculer y1 et y2 5) Démontrer que | cos x − cos y| 6 |x − y|, ∀x, y 6) Soit f (x) = sin 2x + 2x a) Étudier si les hypothèses du théorème des accroissements finis sont vérifiées sur [0, 2π]. b) Le point c tel que f (2π) − f (0) = f 0(c) × 2π est-il unique ? 46  Calcul différentiel dans R  x sin π , x > 0   x 7) On donne f (x) =  0,  x=0 Étudier les hypothèses de la conclusion du théorème de Roll sur le segment [0, 1]. 8) Montrer par définition que : 1 1 a) (x2)0 = 2x ; b) ( )0 = − 2 ; c) (sin x)0 = cos x. x x 9) Calculer f 0 si r 1 + x3 3 a) f (x) = 3 ; b) f (x) = ln(ln2(ln3 x)) ; q1 −px √ c) f (x) = x + x + x ; d) f (x) = sin(cos2 x). cos(sin2 x). 10) Calculer les limites suivantes ex − cos x − sin x x−1 a) lim ; b) lim. x→0 x2 x→1 sin π x − 1 2 11) Déterminer la différentielle de y en supposant que les différentielles de f et g sont connues 2 f 2(x) f (x)g(x) y = f g; y= ; y=. g(x) f 2(x) + g 2(x) Développement limité 1. Établir pour chacune des fonctions f proposées ci-dessous un développement limité de f en 0 à l’ordre n. a) f (x) = ln(1 + x2), n=6 b) f (x) = sin(2x) + cos(x2) n = 7 ln(1 + x) c) f (x) = e3x sin(2x) n = 4 d) f (x) = n=3 1+x 47  Calcul différentiel dans R √ Arc sin x e) f (x) = cos x, n = 2; f) f (x) = √ , n = 3; 1+x 1 g) f (x) = √1 , n = 3; h) f (x) = (1 + x) x , n = 2 1−x i) f (x) = sin(tan x) − tan(sin x) n = 4. 2. Montrer que les fonctions définies par f (x) = −LogLogx et g(x) = |x| sont convexes. 3. Déterminer les intervalles de concavité et de convexité ainsi que les 2 points d’inflexions de la courbe de f définie par f (x) = e−x. 4. Soit f la fonction définie par f (x) = x3 sin( 13 ) pour x 6= 0 et f (0) = 0. a) Montrer que f admet un développement limité à l’ordre 2 en 0. b) La fonction est-elle deux fois dérivable en 0 ? 5. Évaluer l’erreur de l’égalité approchée x x x2 x3 xn e =1+ + + +... + , 0 < x < n + 1. 1! 2! 3! n! 6. Calculer e à 10−4 près. 48 Chapitre 4 ÉTUDE GÉNÉRALE DES FONCTIONS I- Plan d’étude et des représentations graphiqu