Analyse I - Cours Slides EPFL 2024-2025 PDF

Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne Cours Euler, 4ème année Analyse I 2024-2025 Calcul différentiel à une variable réelle Contenu du module (1) Rappels (2) Suites et sous-suites (3...

Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne Cours Euler, 4ème année Analyse I 2024-2025 Calcul différentiel à une variable réelle Contenu du module (1) Rappels (2) Suites et sous-suites (3) Suites de Cauchy et séries numériques (4) Fonctions réelles d’une variable réelle (5) Théorèmes de point fixes. (6) Convergence uniforme (7) Calcul différentiel. (8) Règle de Bernoulli-L’Hospital. (9) Développements limités et formules de Taylor. (10) Fonctions convexes. (11) Séries entières. (12) Séries de Taylor. (13) Intégration 1. Rappels. Nombres réels On admettra les notions et notations suivantes : N = {0, 1, 2,...} = ensemble des entiers naturels, Z = {... , −2, −1, 0, 1, 2,...} = anneau des entiers relatifs, 2 Q = { pq : p, q ∈ Z, q 6= 0} = corps des nombres rationnels, R corps commutatif, ordonné, archimédien des nombres réels. Ainsi, on a une relation d’ordre total sur R : x ≤ y et y ≤ z ⇒ x ≤ z, x ≤ y et y ≤ x est équivalent à x = y, ∀x, y ∈ R on a x ≤ y ou bien y ≤ x, x ≤ y et z ∈ R impliquent x + z ≤ y + z, x ≥ 0 et y ≥ 0 impliquent xy ≥ 0. Pour x ∈ R on définit la valeur absolue de x, notée |x|, par : si x ≥ 0, |x| = x, si x < 0, |x| = −x, avec les propriétés : −|x| ≤ x ≤ |x|, ∀x ∈ R, |x + y| ≤ |x| + |y|, ∀x, y ∈ R, |x − y| ≥ | |x| − |y| | , ∀x, y ∈ R. Archimédien (Archimède : -287 - -212 av. J.-C.) signifie : ∀x > 0, ∀y > 0, il existe n ∈ N tq nx > y. Notion de coupure. Richard Dedekind (1831-1916) définit de façon axiomatique la notion de coupure des nombres réels. Soit E et F deux sous-ensembles non-vides de R qui vérifient 1) E ∪ F = R ; 2) E ∩ F = ∅ ;  3 3) ∀x ∈ E, ∀y ∈ F , on a x ≤ y. Alors il existe z ∈ R tel que x ≤ z, ∀x ∈ E et z ≤ y, ∀y ∈ F. On dit que les sous-ensembles E et F forment une coupure de R. On va identifier l’ensemble des nombres réels à la droite géométrique que nous ap- pellerons : droite numérique. Si a < b on note : [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} = intervalle [a, b] fermé, [a, b[= {x ∈ R : a ≤ x < b} = intervalle fermé à gauche, ouvert à droite, ]a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b} = intervalle fermé à droite, ouvert à gauche, ]a, b[ ou (a, b) = {x ∈ R : a < x < b} = intervalle ouvert. On suppose connues les propriétés suivantes de R : Propriété 1.1. Q est dense dans R, i.e. ∀x ∈ R, ∀ε > 0, on a ]x − ε, x + ε[ ∩ Q 6= ∅. Notation 1. On définit les ensembles : N∗ = {1, 2, 3,...}, R+ = {x ∈ R : x ≥ 0}, R∗+ = {x ∈ R+ : x 6= 0}, R− = {x ∈ R : x ≤ 0}, R∗− = {x ∈ R− : x 6= 0}, R = R ∪ {−∞, +∞}. Définition 1. Soit S ⊂ R un sous-ensemble de R. On dit que S est ouvert si pour tout x ∈ S, il existe δ > 0 tel que ]x − δ, x + δ[⊂ S. Si S est vide, il est aussi ouvert. S est dit fermé si R − S = {x ∈ R : x ∈ / S} est ouvert. S = R ou S = ∅ sont à la fois ouverts et fermés. 4 Définition 2. Soit S ⊂ R un sous-ensemble non vide de R. On dit que M ∈ R est un majorant de S si ∀x ∈ S on a x ≤ M. On dit que m ∈ R est un minorant de S si ∀x ∈ S on a m ≤ x. Si S admet un majorant, on dit que S est majoré ; s’il admet un minorant, on dit que S est minoré ; s’il est majoré et minoré, on dit que S est borné. Soit S ⊂ R un sous-ensemble non vide de R que l’on suppose majoré. Ainsi il existe M ∈ R tel que x ≤ M , ∀x ∈ S. Evidemment, l’intervalle semi-infini [M, +∞[ est un sous-ensemble de l’ensemble F des majorants de S. On définit ainsi F = {majorants de S} E = R \ F = {x ∈ R : x ∈ / F }. Bien évidemment, E et F sont non vides et E ∪ F = R, E ∩ F = ∅. Vérifions encore que si x ∈ E et y ∈ F , alors x ≤ y. Par l’absurde, si x > y, alors x est un majorant de S puisque y l’est, et ainsi x ∈ F , ce qui est contradictoire. Ainsi on a bien x ≤ y. Les sous-ensembles E et F forment une coupure de R et il existe b ∈ R tel que x ≤ b, ∀x ∈ E, b ≤ y, ∀y ∈ F. Si a ∈ S, alors a ≤ b. En effet, par l’absurde, si on avait a > b, il existerait y ∈ R tel que a > y > b et ainsi y deviendrait un majorant de S, ce qui est contradictoire avec a ∈ S, a > y. Ainsi b est un majorant de S. Remarquons encore que si x < b, alors x ∈ E et donc x ne peut pas être un majorant de S. On conclut que b est le plus petit majorant de S que l’on appelle borne supérieure de S. Définition 3. Soit S ⊂ R un sous-ensemble non vide de R que l’on suppose majoré. On dit que b est la borne supérieure de S si b est le plus petit majorant de S. On note b = sup S (on dit que b est le supremum de S) et on a les propriétés : 1) x ≤ b, ∀x ∈ S,  5 2) ∀ε > 0, ]b − ε, b] ∩ S 6= ∅. De même si S est minoré, on dit que a est la borne inférieure de S si a est le plus grand minorant de S. On note a = inf S (on dit que a est l’infimum de S) et on a les propriétés : 3) x ≥ a, ∀x ∈ S, 4) ∀ε > 0, [a, a + ε[ ∩ S 6= ∅. Exemple 1. Si a < b, alors b = sup[a, b] = sup[a, b[ et a = inf[a, b] = inf]a, b]. Exemple 2. Si S = {q ∈ Q : e < q < π} alors inf S = e, sup S = π. 2. Suites de nombres réels Définition 4. Une suite de nombres réels est une application f de N dans R qui à tout entier n fait correspondre f (n) ∈ R. Notation 2. Le nième nombre f (n) sera noté xn (ou yn ou kn ,...). La suite x0 , x1 , x2 ,... , xn ,... sera notée (xn )∞ n=0. Définition 5. Soit une suite de nombres réels (xn )∞ n=0 ⊂ R. On dit que cette suite converge vers x (ou que x est la limite de la suite (xn )∞ n=0 ) et on note x = lim xn n→∞ lorsque n tend vers l’infini si : Exercice : Montrer que la définition (5) est équivalente à : ∀ε > 0, ∃N ∈ N tel que |x − xn | ≤ ε lorsque n ≥ N, ∀ε > 0, ∃N ∈ N tel que |x − xn | < ε lorsque n ≥ N, ∀ε > 0, ∃N ∈ N tel que |x − xn | ≤ ε lorsque n > N. Par exemple : 6 1 Exemple 3. xn = n+1 ,n = 0, 1, 2,.... On a lim xn = 0. En effet, n→∞ Remarque 2.1. On dit qu’une suite (xn )∞ n=0 est convergente s’il existe x ∈ R tel que lim xn = x. On dit que (xn )∞ n=0 ne converge pas (ou est divergente) s’il n’existe n→∞ pas un tel x. Ainsi, (xn )∞ n=0 ne converge pas si ∀x ∈ R, il existe ε > 0 tel que ∀N ∈ N on a l’existence de n > N tel que |x − xn | ≥ ε. Remarque 2.2. De façon générale, si (xn )∞ n=0 est convergente, alors la limite est unique. En effet, supposons lim xn = x et lim xn = y. Ainsi, n→∞ n→∞ Exemple 4. x0 = 1, x1 = −1, x2 = 1, x3 = −1,..., xn = (−1)n. La suite (xn )∞ n=0 ne converge pas. En effet, Définition 6. Une suite (xn )∞ n=0 est majorée ou minorée ou bornée si l’ensemble S = {x0 , x1 , x2 ,...} ⊂ R est majoré ou minoré ou borné. On parle de majorant ou de minorant de la suite (xn )∞ n=0 ⊂ R. Exemple 5. xn = 1 n+1 ,n = 0, 1, 2,.... La suite (xn )∞ n=0 est minorée par a ≤ 0 et majorée par b ≥ 1.  7 Exemple 6. xn = (−1)n , n = 0, 1, 2,.... Alors a ≤ −1 est un minorant de (xn )∞ n=0 et b ≥ 1 est un majorant. Définition 7. Une suite (xn )∞ n=0 est dite croissante si xn+1 ≥ xn , ∀n = 0, 1, 2,.... (décroissante si xn+1 ≤ xn , ∀n = 0, 1, 2,...). Une suite croissante ou décroissante est dite monotone. Théorème 1. Soit (xn )∞ n=0 une suite monotone et bornée. Alors elle converge. Démonstration. Supposons que la suite (xn )∞ n=0 soit croissante et bornée. Puisqu’elle est bornée, elle admet un majorant. On sait que l’ensemble S = {x0 , x1 , x2 ,...} admet une borne supérieure b. Si (xn )∞ n=0 est décroissante, on tient un raisonnement analogue. Il est facile de voir que toute suite (xn )∞ n=0 convergente est une suite bornée. En effet, lim xn = x implique que ∀ε > 0, ∃N ∈ N tq |x − xn | < ε, ∀n > N. Ainsi, n→∞ A l’inverse, une suite bornée n’est pas nécessairement convergente comme le montre la suite définie par xn = (−1)n. 8 Propriétés des suites convergentes. Soient (xn )∞ ∞ n=0 , (yn )n=0 convergeant vers x et y respectivement, i.e. lim xn = x, lim yn = y. Alors : n→∞ n→∞ (1) lim (xn + yn ) = x + y. En effet, soit ε > 0 et soit N tq ∀n > N , on ait n→∞ ε |x − xn | < 2 et |y − yn | < 2ε. On a (2) lim xn yn = xy. En effet, les suites (xn )∞ ∞ n=0 et (yn )n=0 sont bornées et on a n→∞ l’existence de C > 0 telle que |xn | ≤ C, |yn | ≤ C, ∀n ∈ N. Soit ε > 0 et soit ε ε N tel que ∀n > N : |x − xn | < 2C , |y − yn | < 2C. On a alors 1 1 (3) Si xn 6= 0 ∀n et si x 6= 0, alors lim =. En effet, il existe N1 tq ∀n > N1 , n→∞ xn x |x| on a |x − xn | < 2. Ainsi |x| ≤ |x − xn | + |xn | < |x| 2 + |xn | et donc |xn | > |x| 2 si n > N1. Soit ε > 0 et soit maintenant N2 ≥ N1 tel que ∀n > N2 on ait ε|x|2 |x − xn | < 2. Pour n > N2 on aura 1 1 ce qui prouve que lim =. n→∞ xn x yn y Corollaire de (2) et (3). lim = si xn 6= 0 ∀n et x 6= 0. n→∞ xn x (4) Si α, β ∈ R on a lim (αxn + βyn ) = αx + βy (linéarité de la limite d’une n→∞ suite).  9 (5) lim |xn | = |x|. En effet | |x| − |xn | | ≤ |x − xn |. n→∞ Quelques exemples. 1 (1) Soit la suite donnée par récurrence : xn+1 = 2 + xn , n = 0, 1,... et x0 = 2. Cette suite est convergente. En effet, en supposant tout d’abord qu’elle √ converge vers x, on trouve x = 2 + x1 , i.e. x = 1 + 2. Montrons donc que √ x = 1 + 2 est la limite de (xn )∞ n=0 : car xn ≥ 2 ∀n et x > 2. En utilisant cette inégalité récursivement, on obtient 1 (Pour ε > 0, il suffit de prendre N tq 4N < ε). (2) Soit p et q ∈ N∗ et soit xn = a0 + a1 n +... + ap np avec ap 6= 0 et yn = b0 + b1 n +... + bq nq avec bq 6= 0. On suppose que yn 6= 0 ∀n. Exercices : montrer xn — si p < q alors lim =0 n→∞ yn xn ap — si p = q alors lim = n→∞ yn bq xn — si p > q alors lim n’existe pas, la suite ( xynn )∞ n=0 diverge ! n→∞ yn √ (3) Si a > 0 et si xn = n a, si n ≥ 1 avec x0 quelconque, on a lim xn = 1 n→∞ (Exercice). 10 n f ois z}| { 2n 2 · 2 · · · 2 2n (4) xn = n! , n = 0, 1, 2,... (ici 20 = 1, 0! = 1). On a xn = ≤9 3n 1·2·3···n si n ≥ 3 et ainsi Remarque 2.3. Si (yn )∞ ∞ n=0 , (zn )n=0 sont telles que lim yn = lim zn = x et si n→∞ n→∞ yn ≤ xn ≤ zn pour n ≥ N , alors lim xn = x (règle des deux gendarmes). n→∞ Règle de d’Alembert (Jean Le Rond dit d’Alembert (1717-1783), philosophe et ma- thématicien). xn+1 Soit (xn )∞ ∞ n=0 , xn 6= 0 ∀n telle que lim | xn | = ρ. Si ρ < 1 alors la suite (xn )n=0 n→∞ converge vers zéro et si ρ > 1, elle diverge. ρ Démonstration. Supposons ρ < 1. Alors 0 < 1 2 + 2 < 1 et lim ( 1+ρ 2 )n = 0. Puisque n→∞ ρ = lim | xxn+1 n |, il existe N1 tel que n ≥ N1 implique | xxn+1 n |≤ ρ 2 + 12 et donc |xn+1 | ≤ n→∞ 1+ρ 2 |xn |. Ainsi, si n ≥ N1 on a de façon récursive : et donc lim |xn | = 0. Puisque −|xn | ≤ xn ≤ |xn |, on obtient par la règle des deux n→∞ gendarmes lim xn = 0. n→∞ Supposons maintenant ρ > 1. Il existe δ > 0 tel que ρ ≥ 1 + δ et puisque xn+1 lim = ρ, on a l’existence de N2 tel que si n ≥ N2 alors |xn+1 | ≥ (ρ − 2δ )|xn |. n→∞ xn Ainsi |xn | ≥ (ρ − 2δ )|xn−1 | ≥... ≥ (ρ − 2δ )n−N2 |xN2 |, si n ≥ N2. Mais ρ − 2δ ≥ 1 + 2δ et donc ce qui prouve que (xn )∞ n=0 n’est pas bornée, donc non convergente.  11 2n Exemple : xn = n! , n = 0, 1, 2,.... On a ce qui montre par la règle de d’Alembert que lim xn = 0. n→∞ Remarque 2.4. Si ρ = 1 on ne peut pas conclure. En effet (xn )∞ n=0 définie par 1 xn+1 xn = 1+n tend vers zéro alors que xn = 1+n 2+n → 1 si n → ∞. Par contre xn = (n+1), xn+1 n = 0, 1,... diverge alors que lim = 1. n→∞ xn Limite supérieure et limite inférieure. Définition 8. Soit (xn )∞ n=0 une suite bornée et pour tout n ≥ 0 posons yn = sup{xk : k ≥ n} (= borne supérieure de {xn , xn+1 , xn+2 ,...}). Ainsi (yn )∞ n=0 est une suite décroissante bornée et d’après le théorème 1 elle converge. On pose y = lim yn n→∞ qui est la limite supérieure de (xn )∞ n=0 et on note y = lim sup xn. n→∞ De même z = lim inf xn si z = lim zn avec zn = inf{xk : k ≥ n}. n→∞ n→∞ Théorème 2. Soit (xn )∞ ∞ n=0 une suite bornée. Alors (xn )n=0 est convergente si et seulement si lim sup xn = lim inf xn. n→∞ n→∞ Démonstration. 1o Supposons que lim sup xn = lim inf xn et posons yn = sup{xk : k ≥ n} et n→∞ n→∞ zn = inf{xk : k ≥ n}. Pour tout n ∈ N on a 12 2o Supposons lim xn = x et posons yn = sup{xk : k ≥ n}, zn = inf{xk : k ≥ n}, n→∞ y = lim yn , z = lim zn. On veut montrer que x = y = z. Puisque lim xn = x n→∞ n→∞ n→∞ et y = lim yn , ∀ε > 0, il existe N tel que ∀n ≥ N on a n→∞ La suite (yn )∞ n=0 est décroissante et converge vers y. En outre, de la définition de yN , il existe k ≥ N tel que |xk − yN | < 4ε. D’où et par suite |x − y| ≤ |x − xk | + |xk − y| < ε. On a montré que ∀ε > 0 on a |x − y| < ε ce qui prouve que x = y. On fait de même pour montrer que x = z. 3. Sous-suites de nombres réels Définition 9. Soit (xn )∞ ∞ n=0 une suite donnée. On appelle sous-suite de (xn )n=0 toute suite obtenue en supprimant dans la suite (xn )∞ n=0 certains de ses termes (en nombre fini ou infini). Ainsi, soit {nk }∞ k=0 une suite strictement croissante d’entiers non- négatifs, la suite (xnk )∞ ∞ k=0 est une sous-suite (ou suite partielle) de la suite (xn )n=0 Il est facile de montrer que toute sous-suite d’une suite convergente est elle-même convergente. La question est maintenant la suivante : est-ce qu’une suite divergente peut contenir des sous-suites convergentes comme par exemple la suite xn = (−1)n ? La réponse est donnée par le  13 Théorème de Bolzano 1-Weierstrass 2 (1874). Toute suite (xn )∞ n=0 bornée contient au moins une sous-suite (xnk )∞ k=0 convergente. Démonstration. Soit (xn )∞ n=0 une suite bornée et S = {x ∈ R : xn > x pour un nombre infini d’entiers n}. On pose λ = sup S et soit ε > 0 quelconque. Par définition de λ on a λ + ε 6∈ S et donc il existe seulement un nombre fini de xn pour lesquels xn > λ + ε. Par contre, il existe x ∈ S tel x > λ − ε et ainsi il existe un nombre infini de xn qui satisfont xn > λ − ε. Conclusion : On obtient ainsi lim xnk = λ. k→∞ Définition 10. On dira que λ est un point d’accumulation de la suite (xn )∞ n=0 s’il existe une sous-suite (xnk )∞ ∞ k=0 de (xn )n=0 qui converge vers λ. Remarque 3.1. La démonstration ci-dessus exhibe le plus grand point d’accumu- lation de la suite. En fait on obtient λ = lim sup xn. n→∞ Corollaire du théorème de Bolzano-Weierstrass. Soit une suite bornée (xn )∞ ∞ n=0 telle que toutes les sous-suites (xnk )k=0 convergentes que l’on peut en extraire aient même limite c. Alors on a lim xn = c. n→∞ 1. Bernard Bolzano (1781-1848) 2. Karl Weierstrass (1815-1897) 14 Démonstration. Si la suite converge, alors on a lim xn = c. n→∞ Supposons maintenant par l’absurde que (xn )∞ n=0 diverge. Alors il existe ε > 0 et une sous-suite (xnk )∞ k=0 telle que |xnk − c| > ε, ∀k. Cette sous-suite étant bornée, par le théorème de Bolzano-Weierstrass, il existe une sous-suite (xnk` )∞ `=0 de la suite (xnk )∞ ∞ ∞ k=0 qui converge. Cette sous-suite (xnk` )`=0 est une sous-suite de (xn )n=0 qui ne converge pas vers c, ce qui est contradictoire avec nos hypothèses. 4. Suites de Cauchy (Augustin-Louis Cauchy (1789-1857)) Définition 11. La suite (xn )∞ n=0 est une suite de Cauchy si Théorème 3. (Théorème de Cauchy) La suite (xn )∞ n=0 est convergente si et seule- ment si c’est une suite de Cauchy. Remarque 4.1. Le théorème 3 permet de donner un critère de convergence sans donner ni connaître la limite. Démonstration. 1) Démontrons que si (xn )∞ ∞ n=0 converge alors (xn )n=0 est une suite de Cauchy. Si (xn )∞ n=0 converge vers x et si ε > 0 est donné, alors il existe N tel que |x − xn | < 2ε , ∀n > N. On a  15 2) Démontrons que si (xn )∞ ∞ n=0 est une suite de Cauchy alors (xn )n=0 converge. Commençons par montrer qu’une suite de Cauchy est bornée. En effet, en posant ε = 1 il existe r ∈ N tel que |xn − xm | < 1 si n, m > r. Lorsque n > r on a |xn − xr+1 | < 1 et donc |xn | ≤ 1 + |xr+1 | si n > r. On conclut que pour tout n ∈ N on a |xn | ≤ max(1 + |xr+1 |, |x0 |, |x1 |,... , |xr |) et ainsi (xn )∞ n=0 est bornée. Par le théorème de Bolzano-Weierstrass il existe une sous-suite (xnk )∞ k=0 qui converge vers c ; i.e. ce qui prouve que lim xn = c. n→∞ Exemple 7. On définit x0 = 0 et xn+1 = 12 (1 + sin(xn )) pour n = 0, 1, 2,.... On obtient ainsi xn+1 − xn = Puisque | sin(x)| ≤ |x| et | cos(x)| ≤ 1, on obtient |xn+1 − xn | ≤ 16 |x1 −x0 | Ainsi |x2 − x1 | ≤ 2 , |x3 − x2 | ≤ 21 |x2 − x1 | ≤ 1 |x 22 1 − x0 |,... et |xn+1 − xn | ≤ 1 1 |x 2n 1 − x0 | = 2n+1 , pour n = 0, 1, 2,.... On conclut que ∀m > n ≥ 1 on a |xm − xn | ≤ |xm − xm−1 | + |xm−1 − xm−2 | +... + |xn+1 − xn | ≤ 1 Soit maintenant ε > 0 et soit N tel que ∀n > N on ait 2n < ε. Alors si n, m > N on obtient |xm − xn | < ε ce qui prouve que (xn )∞ n=0 est une suite de Cauchy. Ainsi elle converge. Si c = lim xn on aura c = 12 (1 + sin(c)). n→∞ 5. Séries : Définitions Pn Soit (xn )∞ n=0 une suite de nombres réels et soit Sn = xk la somme de ses (n + 1) k=0 premiers termes. On dira que Sn est la nième somme partielle de la série ∞ P k=0 xk. Si (Sn )∞ n=0 converge vers c lorsque n tend vers l’infini, on dit que la série converge, que c est la somme de la série et on note c = ∞ P k=0 xk. Si (Sn )∞ n=0 est divergente, on dit que la série diverge. Si la suite (Sn )∞ n=0 tend vers +∞ lorsque n tend vers l’infini (i.e. ∀C > 0, il existe N tel que Sn > C, ∀n > N ), alors la série diverge mais on note quand même ∞ P k=0 xk = +∞. Si la suite (Sn )∞ n=0 tend vers −∞ lorsque n tend vers l’infini (i.e. ∀C < 0, il existe N tel que Sn < C, ∀n > N ), alors la série diverge mais on note quand même ∞ P k=0 xk = −∞.  17 P∞ Définition 12. On dit que la série k=0 xk est absolument convergente si la série P∞ k=0 |xk | est convergente. Théorème 4. Une série absolument convergente est convergente. Remarque 5.1. On dit qu’une condition suffisante pour que la série converge est qu’elle soit absolument convergente. P∞ Pn Démonstration. Supposons que k=0 |xk | converge, c’est-à-dire la suite Cn = k=0 |xk |, n = 0, 1, 2,... est convergente. Si Sn = nk=0 xk , on a P |Sm − Sn | = Théorème 5. Une série convergente a nécessairement son terme général xn qui tend vers zéro lorsque n tend vers ∞, i.e. limn→∞ xn = 0. Remarque 5.2. On dit qu’une condition nécessaire pour que la série converge est que son terme général tende vers zéro si n tend vers ∞. P∞ Pn Démonstration. Supposons k=0 xk convergente, i.e. Sn = k=0 xk , n = 0, 1,... est une suite convergente. 18 6. La série harmonique 1 P∞ P∞ 1 Posons x0 = 0 et xn = n pour n = 1, 2,.... On a k=0 xk = k=1 k qui est dite série harmonique. P∞ 1 Théorème 6. La série harmonique est divergente ; on a k=1 k = +∞. Pn 1 Démonstration. Montrons que Sn = k=1 k , n = 1, 2,... n’est pas une suite de 1 1 1 1 1 Cauchy. On calcule S2n − Sn = n+1 + n+2 +... + 2n ≥ n· 2n = 2 ce qui est en contradiction avec la définition d’une suite de Cauchy. Comme (Sn )∞ n=0 est une suite croissante et qu’elle diverge, on a ∞ 1 P k=1 k = +∞. 7. Critères de convergence Le théorème de Cauchy du chapitre 1 implique immédiatement : P∞ Théorème 7. La série k=0 xk converge si et seulement si pour tout ε > 0 il existe N tel que ∀n > N , ∀p ≥ 0 on a |xn + xn+1 +... + xn+p | < ε. En utilisant le théorème 7, on montre immédiatement : P∞ Théorème 8. (Critère de comparaison) Considérons les deux séries k=0 xk et P∞ k=0 yk dont les termes généraux sont xk et yk. Alors si 0 ≤ xk ≤ yk , ∀k = 0, 1,... et  19 si 0 ≤ xk ≤ yk , ∀k = 0, 1,... et P∞ 1 Exemple 8. Considérons la série k=1 kp où p est un entier ≥ 2. Pour p = 2, on observe que 1 1 1 2 ≤ − , si k ≥ 2. k k−1 k Ainsi pour N ≥ 2 on a N N   X 1 X 1 1 1+ 2 ≤ 1+ − k=2 k k=2 k − 1 k 1 = 1+1− −→ 2. N N →∞ P∞ 1 Donc la série k=1 k2 est convergente et ainsi pour p > 2 on obtient, Théorème 9. (Critère de d’Alembert). |xn+1 | Soit (xn )∞ ∗ n=0 une suite d’éléments de R pour laquelle ρ = lim |xn | existe. Alors n→∞ si ρ < 1 la série ∞ P k=0 xk converge absolument ; si ρ > 1 la série ∞ P k=0 xk diverge. |xn+1 | ρ Démonstration. Supposons ρ < 1. Alors il existe N > 0 tel que |xn | ≤ 2 + 12 , ∀n ≥ N. Ainsi |xn+1 | ≤ ( ρ+1 2 )|xn | si n ≥ N et par suite |xn+m | ≤ ( ρ+1 2 )m |xn |, ρ+1 ∀n ≥ N et m ≥ 0. On obtient en posant r = 2 n+m X |xj | = j=n 20 Puisque r ∈]0, 1[, on a 1+r+r2 +...+rm = Pn+m 1 Ainsi pour n ≥ N et m ≥ 0 on a j=n |xj | ≤ |x |. Comme ρ < 1, on a, par la 1−r n règle de d’Alembert du chapitre 1, lim xn = 0 et ainsi ∀ε > 0, il existe N e ≥ N tel n→∞ que |xn | < (1 − r)ε , si n > N e. On obtient ainsi Si maintenant ρ > 1, la règle de d’Alembert nous dit que (xn )∞ n=0 est une suite P∞ divergente et donc, par le théorème 5, la série k=0 xk est divergente. P∞ k |xn+1 | Remarque 7.1. La série k=0 (−1) est divergente et on a ρ = lim n→∞ |xn | = 1. P∞ Par contre, la série k=0 1 1+k2 est convergente et on a aussi ρ = lim |x|xn+1 n| | = n→∞ 2 1+n lim = 1. Ainsi, si ρ = 1 on ne peut rien dire ! n→∞ 1 + (n + 1)2 Théorème 10. (Critère de la limite supérieure). |xn |. Alors, si L < 1, ∞ p Soit (xn )∞ n P n=0 une suite de R et L = lim sup k=0 xk converge n→∞ absolument ; si L > 1 la série diverge. Démonstration. Supposons que L < 1 ; alors il existe N > 0 tel que ∀n > N  21 Remarque 7.2. Comme dans le cas du critère de d’Alembert lorsque L = 1 on ne peut rien dire. Somme de deux séries convergentes. Soit ∞ P P∞ n=0 xn et n=0 yn deux séries convergentes vers x et y respectivement, i.e. P∞ P∞ n=0 xn = x, n=0 yn = y. Alors on vérifie que ∞ P n=0 (xn + yn ) = x + y. 8. Séries alternées Théorème 11. Soit (xn )∞ n=0 une suite telle que lim xn = 0. On suppose qu’il existe n→∞ un entier p > 0 tel que l’on ait lorsque n ≥ p : |xn+1 | ≤ |xn | et xn+1 xn ≤ 0 (xn a le signe opposé de xn+1 ). P∞ Alors k=0 xk est convergente. Démonstration. Soit p ∈ N∗ tel que xn+1 xn ≤ 0 et |xn+1 | ≤ |xn |, ∀n ≥ p. Si m ≥ 1 et si n ≥ p on a, si xn ≥ 0 : 22 Donc si xn ≥ 0 on a 0 ≤ xn + xn+1 +... + xn+m ≤ xn. De la même manière, on montre que si xn ≤ 0, on a xn ≤ xn + xn+1 +... + xn+m ≤ 0. Puisque lim xn = 0, on a nécessairement pour n ≥ p et m ≥ 1 : | n+m P n→∞ j=n xj | ≤ |xn | et à nouveau, en utilisant le critère de Cauchy, on obtient la convergence de la série P∞ k=0 xk. P∞ k1 1 1 1 Exemple 9. k=1 (−1) k = −1 + 2 − 3 + 4 −.... On a bien une série alternée qui répond aux hypothèses du théorème 11. On en déduit que la série harmonique alternée est convergente. 9. Séries à termes de signe constant Théorème 12. Soit (xn )∞ n=0 une suite dont le signe reste constant, i.e. xn ≥ 0, ∀n ∈ N ou xn ≤ 0, ∀n ∈ N. On suppose que la série ∞ P n=0 xn est convergente. Alors P∞ P∞ si σ : N → N est une bijection, on a n=0 xn = n=0 xσ(n) , ce qui signifie que l’on peut permuter les termes de la série sans changer la limite. Démonstration. Supposons que xn ≥ 0, ∀n ∈ N et que la série ∞ P n=0 xn converge Pn vers x. Si Sn = k=0 xk , la suite Sn est croissante et bornée (puisqu’elle converge). Posons x = limn→∞ Sn = ∞ P k=0 xk. On a x = sup{S0 , S1 , S2 ,... , Sn ,...}. Si σ : N → N est une bijection et si Tn = nk=0 xσ(k) , on vérifie facilement que la P suite (Tn )∞ n=0 est croissante, bornée et donc convergente. Soit donc y = limn→∞ Tn = P∞ k=0 xσ(k) = sup{T0 , T1 , T2 ,... , }. Il reste à montrer que x = y. Si on pose rn = max{σ(0), σ(1), σ(2),... , σ(n)}, on a bien évidemment {0, 1, 2,... , rn } ⊃ {σ(0), σ(1),... , σ(n)}. Ainsi Tn ≤ Srn ≤ x, ce qui prouve que y ≤ x. De même, il existe mn ∈ N tel que {0, 1, 2... , n} ⊂ {σ(0), σ(1),... , σ(mn )}, ce qui montre que Sn ≤ Tmn ≤ y, ce qui prouve que x ≤ y. Il en résulte que x = y. Si xn ≤ 0, ∀n ∈ N, il suffit de poser yn = −xn et d’utiliser ce qui précède pour obtenir la conclusion du théorème 12.  23 10. Séries absolument convergentes P∞ Théorème 13. Soit xn une série numérique absolument convergente. Alors n=0 si σ : N → N est une bijection, on a ∞ P P∞ n=0 xn = n=0 xσ(n) , ce qui signifie que l’on peut permuter les termes de la série sans changer la limite. Démonstration. Si a ∈ R, on pose a+ = a si a ≥ 0 et a+ = 0 si a ≤ 0. De même, on pose a− = −a si a ≤ 0 et a− = 0 si a ≥ 0. Ainsi, on peut écrire a = a+ − a− et |a| = a+ + a− , a+ , a− ≥ 0. P∞ Soit (xn )∞ n=0 une suite telle que la série n=0 xn converge absolument. On a ainsi la convergence de ∞ P n=0 |xn |. Pn En remarquant que x+ + n ≤ |xn | et que Sn = k=0 x+ k est une suite croissante, bornée, donc convergente, on a l’existence de x+ ∈ R tel que + ∞ X x+ + n = x. n=0 Pn De même, puisque x− − n ≤ |xn |, Sn = x− k est aussi croissante, bornée, donc k=0 convergente et on a l’existence de x− tel que ∞ − − P n=0 xn = x. En utilisant la propriété de sommation de séries convergentes, on obtient : ∞ X ∞ X ∞ X xn = x+ n − x− + − n = x −x. n=0 n=0 n=0 En utilisant la propriété des séries à signe constant, on obtient bien ∞ X ∞ X ∞ X ∞ X ∞ X ∞ X xn = x+ n − x− n = x+ σ(n) − x− σ(n) = xσ(n). n=0 n=0 n=0 n=0 n=0 n=0 Remarque 10.1. Lorsque la série n’est pas absolument convergente, on ne peut pas procéder à n’importe quelle permutation de ses termes sans en changer sa limite. Par exemple, la série harmonique alternée ∞ n1 P n=1 (−1) n est convergente mais non absolument convergente. On peut permuter des termes pour la rendre divergente. Il suffit de créer des “séquences” dans lesquelles on somme un grand nombre de termes positifs, par exemple avant d’introduire un terme négatif. 24 Exemple 10. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 −1 + + − + + + + − + + +... + − +.... |2 {z 4} 3 |6 8 {z10 12} 5 |14 16 {z 28} 7 ≥ 14 ≥ 14 ≥ 14 P2n 1 n+1 1 (On a k=n ≥ ≥ et dans la série ci-dessus on regroupe suffisamment de 2k 4n 4 termes positifs ( n + 1 termes ) avant d’introduire un terme négatif).  25 11. Généralités sur les fonctions Soit D ⊂ R un ensemble non vide de nombres réels. A un nombre x ∈ D on fait correspondre un nombre y ∈ R (et un seul) et on dit que cette correspondance est une application définie sur D à valeurs dans R ou une fonction définie sur D et à valeurs réelles. Dans la suite, on notera cette application par f et sa valeur y en x par f (x) : f : D⊂R → R x f (x) = y. Exemple 11. D = R, f (x) = x2. Exemple 12. D = R, f (x) = 1 si x ∈ Q, f (x) = 0 si x ∈ R − Q. Exemple 13. D = R − {0}, f (x) = x1. On a les définitions suivantes (qui devraient être des rappels !) : Image de f notée R(f ) = {y ∈ R : ∃x ∈ D tel que y = f (x)} ; déf D = domaine de définition de f ; x est une variable indépendante, f est une variable dépendante ; la représentation graphique de f est reportée dans le plan euclidien comme suit : le graphe de f est défini par {(x, f (x)) : x ∈ D} = G(f ). déf 26 f : D → R(f ) est surjective. Si (x1 , x2 ∈ D tel que f (x1 ) = f (x2 )) implique (x1 = x2 ), on dit que f est injective. Si A ⊂ D, on note f (A) = {y ∈ R : ∃x ∈ A tel que y = f (x)} = image de A par f. Si B ⊂ R(f ), on note f −1 (B) = {x ∈ D : f (x) ∈ B} = image réciproque de B par f. Si f : D ⊂ R → R et g : D ⊂ R → R sont deux fonctions, on dit que f = g si f (x) = g(x), ∀x ∈ D ; f ≥ g si f (x) ≥ g(x), ∀x ∈ D. Si α, β ∈ R, on dit que h = αf + βg si h(x) = αf (x) + βg(x), ∀x ∈ D ; ` = f · g si `(x) = f (x)g(x), ∀x ∈ D. Si g(x) 6= 0, ∀x ∈ D, on définit k = f /g : D ⊂ R → R par f (x) k(x) = g(x) , ∀x ∈ D. Si f : D ⊂ R → R et si g : E ⊂ R → R sont deux fonctions telles que R(f ) ⊂ E on définit la composée de g par f notée g ◦ f par g◦f :D ⊂R→R tel que (g ◦ f )(x) = g(f (x)), ∀x ∈ D. Si f : D ⊂ R → R est une fonction, la valeur absolue |f | de f est définie par |f | : D ⊂ R → R+ , |f |(x) = |f (x)|, ∀x ∈ D. Définition 13. Soit f : D ⊂ R → R une fonction et soit A ⊂ D, A 6= ∅. On dit que f est majorée sur A ou bornée supérieurement si l’ensemble f (A) est majoré. Elle est minorée sur A ou bornée inférieurement si l’ensemble f (A) est minoré. On vérifie donc que f est majorée sur A (resp. minorée sur A) si et seulement s’il existe une constante M (resp. une constante m) telle que f (x) ≤ M , ∀x ∈ A (resp. f (x) ≥ m, ∀x ∈ A). Si f est majorée sur A et minorée sur A, on dit que f est bornée sur A. Dans ce cas, on définit sup f (x) = sup {f (x) : x ∈ A} appelé supremum ou borne supérieure de f x∈A déf sur A ;  27 inf f (x) = inf {f (x) : x ∈ A} appelé infimum ou borne inférieure de f sur x∈A A. Remarque 11.1. Si f n’est pas majorée sur A, on notera souvent sup f (x) = +∞. x∈A Si f n’est pas minorée sur A, on notera inf f (x) = −∞. x∈A 1 Exemple 14. D = R − {0}, A =]0, ∞[, f (x) = x si x ∈ D. On aura Définition 14. Soit f : D ⊂ R → R une fonction, A ⊂ D, A 6= ∅ et supposons que f soit majorée sur A (resp. minorée sur A). S’il existe x̄ ∈ A tel que f (x̄) = sup f (x) x∈A (resp. f (x̄) = inf f (x)), on dit que f restreinte à A prend son maximum sur A x∈A en x = x̄ (resp. prend son minimum sur A). On note f (x̄) = max f (x) (resp. x∈A f (x̄) = min f (x)). Si A = D, on dit tout simplement que f prend son maximum sur x∈A D (resp. son minimum sur D). On dit aussi que f atteint son maximum en x = x̄ (resp. son minimum en x = x̄). Définition 15. Soit f : D → R une fonction et soit x0 ∈ D. On dit que f admet un maximum local au point x0 (resp. minimum local) 28 Un extremum local en x = x0 est soit un maximum local soit un minimum local. Définition 16. Soit f : D ⊂ R → R une fonction, A ⊂ D, A 6= ∅. f est dite croissante sur A si ∀x1 , x2 ∈ A avec x1 > x2 on a f (x1 ) ≥ f (x2 ). f est dite strictement croissante sur A si ∀x1 , x2 ∈ A avec x1 > x2 on a f (x1 ) > f (x2 ). f est dite décroissante sur A si ∀x1 , x2 ∈ A avec x1 > x2 on a f (x1 ) ≤ f (x2 ). f est dite strictement décroissante sur A si ∀x1 , x2 ∈ A avec x1 > x2 on a f (x1 ) < f (x2 ). f est dite monotone sur A (resp. strictement monotone sur A) si elle est croissante sur A ou décroissante sur A (resp. strictement croissante sur A ou strictement décroissante sur A). Si D est tel que ∀x ∈ D on a −x ∈ D, on dit que : f est paire si f (x) = f (−x), ∀x ∈ D, f est impaire si f (x) = −f (−x), ∀x ∈ D. Remarque 11.2. Si D est tel que ∀x ∈ D, on a −x ∈ D et si f : D ⊂ R → R est une fonction, alors en posant  29 on constate que f = g + h et g est paire alors que h est impaire. Ainsi, par exemple, toute fonction définie sur R est la somme d’une fonction paire et d’une fonction impaire. Si D = R, on dit que f est périodique s’il existe P 6= 0 tel que f (x) = f (x+P ), ∀x ∈ R. Dans ce cas, P est appelé une période. On vérifie que nP (n ∈ Z, n 6= 0) est aussi une période. f + (x) = max {f (x), 0}, x ∈ D est appelée partie positive de f , f − (x) = − min {f (x), 0}, x ∈ D est appelée partie négative de f. On vérifie que f + et f − sont ≥ 0 (ici 0 est la fonction identiquement nulle) et que f (x) = f + (x) − f − (x), |f (x)| = f + (x) + f − (x), x ∈ D. Si f : D ⊂ R → R est une fonction et si g : E ⊂ R → R est une autre fonction qui vérifie E ⊃ D et f (x) = g(x), ∀x ∈ D, on dit que g est un prolongement de f à E. Dans ce cas, on dit aussi que f est la restriction de g à D. Définition 17. Soit f : D ⊂ R → R une fonction et soit x0 ∈ R. On dit que f est définie au voisinage de x0 s’il existe δ > 0 tel que ]x0 − δ, x0 + δ[⊂ D ∪ {x0 }. sin(x) Exemple 15. D = R − {0}, f (x) = x , x ∈ D, ou, autre exemple, f (x) = x1 , x ∈ D. Posons x0 = 0 et soit δ > 0 quelconque. On a bien ] − δ, +δ[⊂ R. Ainsi f est définie au voisinage de x0 = 0 dans les 2 cas ! D’autre part ces deux fonctions sont définies au voisinage de n’importe quel point x0 6= 0. Ainsi, ces deux fonctions sont définies au voisinage de n’importe quel point de R. Exemple 16. D = Q, f (x) = x, x ∈ D. Ici f n’est définie au voisinage d’aucun point ! 30 Définition 18. Soit D ⊂ R, D 6= ∅. On dit que x0 ∈ R est un point adhérent de D Remarque 11.3. Si f est définie au voisinage de x0 , alors x0 n’est pas nécessaire- ment dans D, mais x0 est nécessairement un point adhérent de D, i.e. ∃(an )∞ n=0 ⊂ D 1 une suite telle que lim an = x0. En effet, prenons la suite an = x0 + M +n , n∈N n→∞ avec M tel que 1 M < δ. La suite (an )∞ n=0 ⊂ ]x0 − δ, x0 + δ[ et an 6= x0 pour tout n = 0, 1,.... Puisque ]x0 − δ, x0 + δ[⊂ D ∪ {x0 }, on a nécessairement (an )∞ n=0 ⊂ D. De plus, lim an = x0. n→∞ Définition 19. Soit f : D → R une fonction définie au voisinage de x0. On dira que f admet pour limite ` lorsque x tend vers x0 si : On écrit alors lim f (x) = `. x→x0 6= Théorème 14. Soit f : D → R définie au voisinage de x0. Alors f admet pour limite ` si et seulement si pour toute suite (an )∞ n=0 ⊂ D telle que an 6= x0 , ∀n et lim an = x0 , on a lim f (an ) = `. n→∞ n→∞ Démonstration. Soit f : D → R une fonction et soit x0 ∈ R. On suppose que f est définie au voisinage de x0.  31 1) Montrons que si f admet pour limite ` lorsque x tend vers x0 et si (an )∞ n=0 est une suite dans D telle que an 6= x0 et lim an = x0 alors on a bien n→∞ ` = lim f (an ). n→∞ Soit pour ceci (an )∞ n=0 ⊂ D, an 6= x0 , ∀n et lim an = x0. Soit encore ε > 0. n→∞ Comme f admet pour limite ` lorsque x tend vers x0 , alors 2) Montrons maintenant l’implication inverse. Pour ceci, supposons que ∀(an )∞ n=0 ⊂ D, an 6= x0 et lim an = x0 on a lim f (an ) = `. En raisonnant par l’absurde, n→∞ n→∞ on suppose que f n’admet pas pour limite ` lorsque x tend vers x0 , ce qui signifie qu’il existe ε > 0 tel que pour tout δ > 0 on a l’existence (puisque f est définie au voisinage de x0 ) de x ∈ ]x0 − δ, x0 + δ[ ∩ D, x 6= x0 tel que |f (x) − `| > ε. Construisons alors une suite (an )∞ n=1 ainsi : ce qui est contradictoire. 32 Remarque 11.4. Si f : D ⊂ R → R est définie au voisinage de x0 et admet pour limite ` lorsque x tend vers x0 , alors cette limite est unique (ceci découle de l’unicité de la limite d’une suite et du théorème 14). Remarque 11.5. Si f est définie au voisinage de x0 et si pour toute suite (an )∞ n=0 ⊂ D, an 6= x0 , lim an = x0 on a l’existence de lim f (an ), alors f admet pour limite n→∞ n→∞ un nombre ` lorsque x tend vers x0. En effet, prenons deux suites (an )∞ n=0 , an 6= x0 , lim an = x0 et (bn )∞ n=0 , bn 6= x0 , lim bn = x0 qui satisfont lim f (an ) = `1 et n→∞ n→∞ n→∞ lim f (bn ) = `2. n→∞ En posant cn = an si n est pair, cn = bn si n est impair, on vérifie que lim cn = x0. De n→∞ plus, si `1 6= `2 alors la suite (f (cn ))∞ n=0 est divergente, ce qui est une contradiction avec l’existence de lim f (cn ). Ainsi `1 = `2 et par le théorème 14, f admet la limite n→∞ `1 = `2 lorsque x tend vers x0. 12. Critère de Cauchy Théorème 15. Soit f : D ⊂ R → R une fonction définie au voisinage de x0. Alors f admet une limite lorsque x tend vers x0 si et seulement si Démonstration. 1) Supposons que lim f (x) = ` et soit ε > 0. Alors il existe δ > 0 tel que ∀x ∈ D, x→x0 6= 0 < |x − x0 | ≤ δ on a |f (x) − `| ≤ ε/2. Ainsi si x1 , x2 ∈ D, 0 < |x1 − x0 | ≤ δ, 0 < |x2 − x0 | ≤ δ on a  33 2) Inversément, on suppose que ∀ε > 0, ∃δ > 0 tel que ∀x1 , x2 ∈ D, 0 < |x1 − x0 | ≤ δ, 0 < |x2 − x0 | ≤ δ on ait |f (x1 ) − f (x2 )| ≤ ε. Soit (an )∞ n=0 ⊂ D, an 6= x0 une suite telle que lim an = x0. Alors il existe N > 0 tel que n ≥ N n→∞ implique |an − x0 | ≤ δ. On obtient ainsi on peut conclure que f a une limite lorsque x tend vers x0. Remarque 12.1. Les notions de limite de fonction lorsque x tend vers un point x0 au voisinage duquel f est définie se laissent étudier au moyen des connaissances que nous avons sur les suites. Ainsi, on obtient les propriétés suivantes : Si f, g : D ⊂ R → R sont deux fonctions définies au voisinage de x0 et si lim f (x) = `1 , lim g(x) = `2 , on a si α, β ∈ R : x→x0 x→x0 6= 6= 1) lim (αf + βg)(x) = α`1 + β`2 , x→x0 6= lim (f g)(x) = `1 `2 , x→x0 6= lim ( fg )(x) = `1 `2 si `2 6= 0 et g(x) 6= 0, ∀x ∈ D − {x0 } ; x→x0 6= 2) `1 ≥ `2 si f (x) ≥ g(x), ∀x ∈ D (ce résultat reste vrai même si f (x) ≥ g(x), ∀x ∈ D, 0 < |x − x0 | < ε avec ε > 0 “petit”) ; 3) lim |f |(x) = |`1 | ; x→x0 6= 4) `1 = `2 si f (x) ≤ g(x) ≤ h(x), ∀x ∈ D et h est telle que lim h(x) = `1 x→x0 6= (résultat valable encore si f (x) ≤ g(x) ≤ h(x), ∀x ∈ D, 0 < |x − x0 | < ε 34 avec ε > 0 “petit” et si on ne suppose pas a priori que g a une limite si x tend vers x0 ). 13. Limite de fonctions composées Soit f : D ⊂ R → R une fonction et soit g : E ⊂ R → R une autre fonction avec R(f ) ⊂ E. On considère h : D → R définie par h = g ◦ f. On suppose que f a une limite lorsque x tend vers x0 au voisinage duquel elle est définie et on pose y0 = lim f (x). On suppose encore que g a une limite lorsque y x→x0 6= tend vers y0 au voisinage duquel g est définie. On suppose enfin qu’il existe ε > 0 tel que ∀x ∈ D, 0 < |x − x0 | < ε, on a f (x) 6= y0. Alors h a une limite lorsque x tend vers x0 et on a lim h(x) = lim g(y). x→x0 y→y0 6= 6= Démonstration. Soit une suite (an )∞ n=0 , an 6= x0 et lim an = x0. Alors on a n→∞ Ainsi lim h(an ) = `, ce qui prouve par le théorème de la semaine passée que h a n→∞ pour limite ` lorsque x tend vers x0. — L’hypothèse qu’il existe ε > 0 tel que ∀x ∈ D, 0 < |x − x0 | < ε implique f (x) 6= y0 est importante et elle est utilisée dans la démonstration ci-dessus lorsqu’on dit que f (an ) 6= y0 , ∀n ≥ N. En effet, si on prend D = R, E = R, f (x) = 1, ∀x ∈ R, g(x) = 0 si x 6= 1 et g(1) = 1, on a h(x) = g(f (x)) = g(1) = 1, ∀x ∈ R. Ainsi lim f (x) = 1 (x0 = 0), y0 = 1, lim g(y) = 0 et x→0 y→1 6= 6= lim h(x) = 1. On remarque ici que lim g(y) 6= lim h(x) et que l’hypothèse x→0 y→y0 x→x0 6= 6= 6= f (x) 6= y0 n’est pas satisfaite dans un voisinage de x0.  35 14. Limite de fonctions au voisinage de l’infini Soit f : D ⊂ R → R une fonction. On suppose qu’il existe a ∈ R tel que ]a, ∞[⊂ D (on dit que f est définie au voisinage de +∞). On dira alors que f admet pour limite ` lorsque x tend vers +∞ si ∀ε > 0, ∃b > a tel que |f (x) − `| ≤ ε, ∀x ≥ b. On écrit lim f (x) = `. x→+∞ (Définition analogue pour lim f (x)). x→−∞ 15. Limite infinie d’une fonction Si f : D ⊂ R → R est définie au voisinage de x0 , on définit lim f (x) = +∞ si x→x0 6= lim f (x) = −∞ si ∀M < 0 il existe δ > 0 tel que f (x) ≤ M pour tout x→x0 6= x ∈]x0 − δ, x0 + δ[, x 6= x0. Si ]a, ∞[⊂ D, on définit lim f (x) = +∞ si ∀M > 0 il existe b > a tel x→+∞ que f (x) ≥ M , ∀x ≥ b. On définit de même manière lim f (x) = −∞, x→+∞ lim f (x) = +∞,.... x→−∞ Théorème 16. Soit a ∈ R et soit f :]a, +∞[→ R une fonction croissante. Alors si f est majorée sur ]a, +∞[, on a : lim f (x) = sup f (x). x→+∞ x∈]a,∞[ Démonstration. Si f est majorée, alors il existe un ` ∈ R tel que ` = sup f (x). x∈]a,∞[ Soit ε > 0 fixé. Par définition du supremum, il existe un α ∈]a, ∞[ tel que ` − ε ≤ f (α) ≤ `. Comme f est supposée croissante, alors 36 Remarque 15.1. Clairement si f n’est pas majorée dans le théorème 16, on aura lim f (x) = +∞. On peut établir le même type de résultat avec f décroissante x→+∞ minorée ( lim f (x) = inf f (x)) ou en prenant −∞ au lieu de +∞ (par exemple x→+∞ x∈]a,∞[ f croissante, minorée sur ] − ∞, a[ alors lim f (x) = inf f (x)). x→−∞ x∈]−∞,a[ 16. Limite à droite, limite à gauche Soit f : D ⊂ R → R une fonction et soit x0 ∈ R. On dit que f est définie à droite de x0 s’il existe α > 0 tel que ]x0 , x0 + α[⊂ D. Dans ce cas, on dit que f admet une limite à droite de x0 s’il existe ` tel que ∀ε > 0, ∃δ > 0 (δ < α) qui satisfait l’implication x ∈ ]x0 , x0 + δ[ ⇒ |f (x) − `| ≤ ε. Dans ce cas, on pose lim f (x) = ` ou lim+ f (x) = `. x→x0 x→x0 > Remarque 16.1. lim f (x) = ` ⇔ ∀(an )∞ n=0 ⊂ D, an > x0 avec limn→∞ an = x0 , on x→x0 > a limn→∞ f (an ) = `.  37 On dit aussi que f tend à droite de x0 vers +∞ (resp. −∞) si pour tout M > 0 il existe δ > 0 tel que f (x) ≥ M , ∀x ∈ ]x0 , x0 +δ] (resp. f (x) ≤ −M , ∀x ∈ ]x0 , x0 +δ]). On a des définitions analogues pour f définie à gauche de x0 et les limites à gauche. Remarque 16.2. Soit f : D ⊂ R → R une fonction définie au voisinage de x0 ∈ R. Alors (` peut être un nombre réel ou ±∞ !) Théorème 17. Soit une fonction f : D ⊂ R → R croissante et définie au voisinage de x0. Alors f admet une limite à droite de x0 et une limite à gauche de x0 et on a lim f (x) ≥ lim f (x). x→x0 x→x0 > < Démonstration. Puisque f est définie au voisinage de x0 , elle est définie à gauche de x0. Il existe donc δ > 0 tel que [x0 − δ, x0 [⊂ D. Montrons maintenant que f est bornée sur [x0 − δ, x0 [. En effet, puisque f est croissante, f est minorée par f (x0 − δ) sur l’intervalle [x0 − δ, x0 [. De plus, si x1 ∈ D, x1 > x0 on a f (x) ≤ f (x1 ), ∀x ∈ [x0 − δ, x0 [ ce qui montre que f est majorée sur [x0 − δ, x0 [ et donc finalement bornée sur cet intervalle. Puisque f est bornée sur [x0 − δ, x0 [ et f est croissante, alors lim f (x) = sup {f (x) : x→x0 < x ∈ [x0 −δ, x0 [}. En effet, puisque f est majorée, alors ` = sup {f (x) : x ∈ [x0 −δ, x0 [} existe, ce qui veut dire que ∀ε > 0, il existe α ∈ [x0 − δ, x0 [ tel que ` − ε ≤ f (α) ≤ `. Comme la fonction est croissante et bornée par ` sur [x0 − δ, x0 [, on obtient ` − ε ≤ f (x) ≤ `, ∀x ∈ [α, x0 [. Ainsi, on a montré que ` = lim f (x) et on a x→x0 < bien le résultat lim f (x) = sup {f (x) : x ∈ [x0 − δ, x0 [}. De même on montre x→x0 < 38 que lim f (x) = inf {f (x) : x ∈ ]x0 , x0 + δ]} et on aura bien lim f (x) ≤ lim f (x) x→x0 x→x0 x→x0 > < > puisque f est croissante. Remarque 16.3. Si f est décroissante, définie au voisinage de x0 , on aura lim f (x) ≤ x→x0 > lim f (x). x→x0 < 17. Fonctions continues Définition 20. Soit f : D ⊂ R → R une fonction définie au voisinage de x0 ∈ D. Cette fonction sera dite continue au point x0 si lim f (x) = f (x0 ). Ainsi : x→x0 6= f est continue au point x0 si et seulement si ∀ε > 0 il existe δ > 0 tel que |f (x) − f (x0 )| ≤ ε pour tout x ∈ D satisfaisant |x − x0 | ≤ δ. f est continue au point x0 si et seulement si ∀(an )∞ n=0 ⊂ D telle que lim an = n→∞ x0 , alors lim f (an ) = f (x0 ). n→∞ f est continue au point x0 si et seulement si ∀ε > 0, il existe δ > 0 satisfaisant |f (x1 ) − f (x2 )| ≤ ε, ∀x1 , x2 ∈]x0 − δ, x0 + δ[∩D. Définition 21. f est discontinue en x0 si elle n’est pas continue en x0. Ainsi : f est discontinue en x0 si et seulement s’il existe ε > 0 tel que pour tout δ > 0 il existe x ∈]x0 − δ, x0 + δ[∩D satisfaisant |f (x) − f (x0 )| > ε. f est discontinue en x0 si et seulement s’il existe une suite (an )∞ n=0 ⊂ D telle que lim an = x0 et lim f (an ) 6= f (x0 ) ou lim f (an ) n’existe pas. n→∞ n→∞ n→∞  39 Remarque 17.1. On vérifie que la composée de deux fonctions continues (g ◦ f ) (f continue en x0 , g continue en f (x0 )) est continue. Par contre, la composée de deux fonctions discontinues n’est pas nécessairement discontinue. Par exemple :   0 si x ≤ 0 1 si x ≤ 0 f (x) = et g(x) = 1 si x > 0 x si x > 0 sont deux fonctions définies sur R et discontinues en x = 0. On vérifie que h(x) = (g ◦ f )(x) = 1, ∀x ∈ R, qui est continue. Définition 22. Soit f : D ⊂ R → R une fonction définie à droite de x0 ∈ D. On dit alors que f est continue à droite de x0 si lim f (x) = f (x0 ). x→x0 > De même on définit la continuité à gauche et on vérifie facilement que f est continue en x0 ∈ D (f définie au voisinage de x0 ) si et seulement si elle est continue à droite et à gauche de x0. Définition 23. Soit a < b et f :]a, b[→ R. On dit que f est continue sur ]a, b[ si elle est continue en tout point x0 ∈]a, b[. On note dans ce cas f ∈ C 0 (]a, b[). Si f est définie sur ]a, b] alors on dit que f est continue sur ]a, b] (on note f ∈ C 0 (]a, b])) si f est continue sur ]a, b[ et si lim f (x) = f (b). (Idem pour C 0 ([a, b[) ou x→b < 0 C ([a, b]) ). Remarque 17.2. On montre que f ∈ C 0 (]a, b]) si et seulement si ∀x ∈]a, b] et ∀(xn )∞ n=0 ⊂]a, b] telle que limn→∞ xn = x alors limn→∞ f (xn ) = f (x). 40 Définition 24. (Continuité uniforme). Soit f : I ⊂ R → R une fonction définie sur l’intervalle I. On dit que f est uniformément continue sur I si Exemple 17. Soit 0 < α < 1 et I = [α, 1]. Soit f : I → R la fonction définie par 1 1 1 |x − y| |x − y| f (x) =. Pour x, y ∈ I, on a − = ≤. Ainsi, pour  > 0, x x y xy α2 il suffit de prendre δ < α2 pour avoir |f (x) − f (y)| ≤  dès que x, y ∈ I avec |x − y| < δ. La fonction f est donc uniformément continue sur [α, 1]. Exemple 18. Soit α > 0 et I = [−α, α]. Soit f : I → R la fonction définie par f (x) = x2. Pour x, y ∈ I, on a f (x) − f (y) = x2 − y 2 = (x − y)(x + y) et donc |f (x) − f (y)| ≤ (|x| + |y|)|x − y| ≤ 2α|x − y|. Ainsi, pour  > 0, il suffit de prendre  δ< pour avoir |f (x) − f (y)| ≤  dès que x, y ∈ I avec |x − y| < δ. La fonction 2α f est donc uniformément continue sur [−α, α]. Remarque 17.3. f : I ⊂ R → R n’est pas uniformément continue sur I s’il existe ε > 0 tel que pour tout δ > 0 il existe x, y ∈ I satisfaisant |x − y| ≤ δ et |f (x) − f (y)| ≥ ε. Ou encore (en prenant δ = 1, 21 ,...) f n’est pas uniformément continue sur I s’il existe ε > 0 et deux suites (xn )∞ ∞ n=1 , (yn )n=1 ⊂ I tels que lim (xn − yn ) = 0 avec n→∞ |f (xn ) − f (yn )| ≥ ε, ∀n ∈ N∗. Exemple 19. On pose I =]0, 1[ et f donné par f (x) = x1 , ∀x ∈ I. Posons xn = 1 n 1 1 et yn = n+1 , pour n = 2, 3,.... On a xn − yn = n(n+1) et donc lim (xn − yn ) = 0 n→∞ ainsi que |f (xn ) − f (yn )| = 1, ∀n = 2, 3,.... Ce qui prouve que f , bien que continue sur I, n’est pas uniformément continue sur I. Exemple 20. On pose I = R et f donné par f (x) = x2 , ∀x ∈ I. Posons xn = n et yn = n+ n1 , pour n ∈ N∗. On a bien évidemment lim (xn −yn ) = 0 et |f (xn )−f (yn )| = n→∞ 2+ 1 n2 ≥ 2, pour n ∈ N∗. Ce qui prouve que f , bien que continue sur I, n’est pas uniformément continue sur I.  41 Théorème 18. Une fonction définie sur un intervalle fermé borné (i.e. compact) qui est continue est nécessairement uniformément continue. Démonstration. Ab absurdo supposons que f ne soit pas uniformément continue. 1 Alors ∃ε > 0 tel que ∀n = 1, 2,... il existe xn , yn ∈ [a, b], |xn − yn | ≤ n et |f (xn ) − f (yn )| > ε. Puisque la suite (xn )∞ n=0 est bornée, il existe une sous-suite (xni )∞ i=1 qui converge vers x. Comme [a, b] est fermé, on obtient x ∈ [a, b]. Théorème 19. Une fonction continue sur un intervalle fermé, borné prend son maximum et son minimum (on dit aussi atteint son maximum et son minimum). Démonstration. Supposons f : [a, b] → R continue et montrons tout d’abord que f est bornée. En effet, ab absurdo, si f n’était pas bornée, alors ∀n > 0 il existerait xn ∈ [a, b] tel que |f (xn )| ≥ n. Puisqu’on peut extraire une sous-suite (xni )∞ i=1 de (xn )∞ n=0 qui converge vers x ∈ [a, b] (théorème de Bolzano-Weierstrass et I compact), on obtient : ce qui est une contradiction. Soit maintenant M = sup f (x). Il existe une suite (zn )∞ n=0 ⊂ [a, b] telle que x∈[a,b] 42 lim f (zn ) = M. A nouveau, on peut supposer que lim zn = z ∈ [a, b] et par n→∞ n→∞ continuité f (z) = M , ce qui prouve que M = sup f (x) = f (z) = max f (x). Idem x∈[a,b] x∈[a,b] pour le minimum. Théorème 20. (Théorème de la valeur intermédiaire). Soit a < b deux nombres réels et f : [a, b] → R une fonction continue. Alors R(f ) = f ([a, b]) = [ min f (x), max f (x)]. En d’autres termes, f prend toutes les valeurs x∈[a,b] x∈[a,b] entre min f (x) et max f (x) lorsque x parcourt l’intervalle fermé [a, b]. x∈[a,b] x∈[a,b] Démonstration. Soit x1 ∈ [a, b] tel que f (x1 ) = min f (x) et x2 ∈ [a, b] tel que x∈[a,b] f (x2 ) = max f (x) (x1 , x2 existent ; cf. théorème 19). x∈[a,b] Si x1 = x2 , la fonction f est constante sur [a, b] et le théorème 20 est démontré. Supposons que x1 < x2 et soit z ∈ [f (x1 ), f (x2 )]. Il suffit alors de montrer que g : [x1 , x2 ] → R définie par g(x) = f (x) − z possède au moins un zéro dans [x1 , x2 ]. On a par construction de g que g(x1 ) ≤ 0 et g(x2 ) ≥ 0. Supposons par l’absurde que g n’a pas de zéro dans [x1 , x2 ]. Alors g(x1 ) est négatif et g(x2 ) est positif ce qui implique que g(x1 )g(x2 ) < 0. Puisque f est uniformément continue (c.f. théorème 19), alors g est aussi uniformément continue sur [x1 , x2 ]. 1 Ainsi, si N > 0 est un entier positif, il existe δ > 0 tel que |g(x) − g(y)| ≤ N pour tout x, y ∈ [x1 , x2 ] avec |x − y| ≤ δ. Soit maintenant n ∈ N∗ tel que |x1 −x n 2| ≤ δ et posons anj = x1 + j x2 −x , j = 0, 1, 2,... , n. On a |anj+1 − anj | = x2 −x
n 1 n 1 ≤ δ ce qui implique que |g(anj+1 ) − g(anj )| ≤ N1 , j = 0, 1, 2,... , n − 1. Si g(anj+1 ) avait le même signe que g(anj ) pour tout j = 0, 1, 2,... , n − 1, alors g(x2 ) aurait le même signe que g(x1 ) ce qui serait une contradiction avec g(x1 )g(x2 ) < 0. Ainsi, il existe j ∈ {0, 1,... , n − 1} tel que g(anj ) < 0 et g(anj+1 ) > 0. On obtient finalement 1 1 |g(anj )| = −g(anj ) ≤ −g(anj ) + g(anj+1 ) = |g(anj+1 ) − g(anj )| ≤ N et donc |g(an ≥ N. j )| 1 Puisque g ne s’annule pas sur [x1 , x2 ], la fonction est une fonction uniformément g 1 continue sur [x1 , x2 ]. Par ce qui précède, on a max ≥ N pour tout N > 0 et x∈[x1 ,x2 ] g(x)  43 1 donc g n’est pas bornée ce qui est absurde ! Cette contradiction montre que g doit s’annuler en un point de [x1 , x2 ]. On traite de la même manière le cas x1 > x2. Théorème 21. Soit I un intervalle et soit f : I → R une fonction injective et continue sur I. Alors f est strictement monotone sur I. Démonstration. Supposons que I est l’intervalle compact I = [a, b] et supposons que f (a) < f (b) (le cas f (a) > f (b) se traite de la même manière !). On va montrer que f est strictement croissante. Ab absurdo, si ce n’est pas vrai, alors il existe x1 , x2 ∈ I, x1 < x2 tels que f (x1 ) ≥ f (x2 ). L’injectivité de f implique que f (x1 ) < f (b) ou f (x1 ) > f (b). De plus f (x1 ) > f (x2 ). Si f (x1 ) < f (b) alors f (x2 ) < f (x1 ) < f (b) et le théorème 20 implique qu’il existe y ∈ [x2 , b] tel que f (y) = f (x1 ), ce qui est contradictoire avec l’hypo- thèse d’injectivité de f. Si f (x1 ) > f (b) alors on a f (a) < f (b) < f (x1 ) et donc il existe z ∈ [a, x1 ] tel que f (z) = f (b), ce qui est encore une fois contradictoire. On a ainsi démontré que f est strictement croissante. Remarquons que si I est un intervalle quelconque, il suffit de prendre a < b, a, b ∈ I et de faire le raisonnement ci-dessus pour montrer la stricte monotonie de f. Corollaire du théorème 21. Toute fonction f : I → R injective et continue sur I admet une fonction réciproque f −1 : R(f ) → I qui est continue et strictement monotone. 44 Démonstration. Supposons I = intervalle ouvert et f injective et continue. D’après le théorème 21, elle est strictement monotone et de plus f −1 : R(f ) → I existe. Il est facile de voir que R(f ) est un intervalle ouvert et que f −1 est continue. L’étude des fonctions sin, cos, tg et les fonctions réciproques Arcsin, Arccos, Arctg est supposée connue. Par exemple la fonction sin : [− π2 , π2 ] → R est injective et conti- nue sur [− π2 , π2 ]. Elle admet donc une fonction réciproque Arcsin : [−1, 1] → [− π2 , π2 ]. 18. Fonctions lipschitziennes Soit f : D → R une fonction. Elle est dite lipschitzienne de rapport k (ou de constante k) si ∀x, y ∈ D on a |f (x) − f (y)| ≤ k|x − y|. Remarque 18.1. Si D = I = intervalle et si f : D → R est lipschitzienne de rapport k, alors f est uniformément continue. Si k < 1, on dit que f est strictement contractante sur D. Si x ∈ D est tel que x = f (x), on dit que x est un point fixe de f. 19. Théorèmes de points fixes Théorème 22. (Théorème de Brouwer (1881-1966) dans R). Soit a < b et f : [a, b] → R une fonction continue. Si f ([a, b]) ⊂ [a, b], alors f a au moins un point fixe dans [a, b].  45 Démonstration. Considérons la fonction g : [a, b] → R définie par g(x) = x − f (x). Bien évidemment g est continue sur [a, b]. De plus g(a)g(b) = Ainsi, par le théorème de la valeur intermédiaire, il existe c tel que g(c) = 0. D’où c est un point fixe de f. Théorème 23. (Théorème du point fixe de Banach (1892-1945)). Soit f : R → R une fonction strictement contractante. Alors f admet un et un seul point fixe dans R. Démonstration. Soit a ∈ R et construisons la suite x0 = a, xn+1 = f (xn ), ∀n ∈ N. Puisque f est strictement contractante, il existe k < 1 tel que |f (x) − f (y)| ≤ k|x − y|, ∀x, y ∈ R. On obtient |xn+1 − xn | = |f (xn ) − f (xn−1 )| ≤ k|xn − xn−1 | et en répétant n fois cette inégalité : |xn+1 − xn | ≤ k n |x1 − x0 | = k n |f (a) − a|. Ainsi |xn+m − xn | ≤ |xn+m − xn+m−1 | + |xn+m−1 − xn+m−2 | +... + |xn+1 − xn | ≤ Il résulte de cette inégalité que (xn )∞ n=0 est une suite de Cauchy. Elle est donc convergente. Soit c = lim xn. Par continuité de f , on a n→∞ 46 Maintenant si d est un autre point fixe de f , on obtient si c 6= d : |c − d| = ce qui est une contradiction. Donc c = d. Remarque 19.1. Si f : R → R est telle que |f (x) − f (y)| ≤ |x − y|, ∀x, y ∈ R, alors f n’a pas nécessairement un point fixe comme le montre la fonction f (x) = 1 + x. 20. Suites de fonctions Soit I un intervalle et soit C 0 (I) l’ensemble des fonctions continues sur I, i.e. si I = [a, b[ par exemple et si f ∈ C 0 (I), alors f est continue sur ]a, b[ et f est continue à droite en a. Définition 25. Si fn ∈ C 0 (I), n = 0, 1, 2,... définit une suite de fonctions continues sur I, on dit que la suite (fn )∞ n=0 converge ponctuellement vers f : I → R (ou tout simplement converge vers f ), et on note f = lim fn , si n→∞ Exemple 21. I = [0, 1]  1  2(n + 2)x   si x ≤ 2(n+2) ; fn (x) = 1 1 2 − 2(n + 2)x si x ∈ [ 2(n+2) , n+2 ];  1   0 si x ≥ n+2. On montre que lim fn (x) = 0, ∀x ∈ I. n→∞  47 Exemple 22. I = [0, 1]   0   si x ≤ 21 ; fn (x) = (n + 2)(x − 12 ) si x ∈ [ 12 , 21 + n+2 1 ];  1 1   1 si x ≥ 2 + n+2. On montre que lim fn (x) = f (x) où f (x) = 0 si x ∈ [0, 12 ] et f (x) = 1 si x ∈ ] 12 , 1]. n→∞ Remarque 20.1. L’exemple 21 montre que la suite (fn )∞ n=0 converge vers la fonction identiquement nulle alors qu’il existe un point xn ∈ I tel que fn (xn ) = 1 (i.e. xn = 1 2(n+2) ), ∀n = 0, 1, 2,.... L’exemple 22 montre que la suite (fn )∞ n=0 de fonctions continues converge vers une fonction qui n’est pas continue sur I. Pour éviter les défauts des exemples 21 et 22, on introduit la définition suivante : Définition 26. On dit que la suite de fonctions (fn )∞ 0 n=0 ⊂ C (I) converge uniformément vers f : I → R si On note dans ce cas : lim fn = f uniformément. n→∞ Remarque 20.2. Si (fn )∞ n=0 converge ponctuellement vers f , on a bien évidem- ment : ∀ε > 0, ∀x ∈ I, il existe N tel que ∀n ≥ N on ait |f (x) − fn (x)| ≤ ε. Ici N dépend a priori de ε et x ∈ I. Si (fn )∞ n=0 converge uniformément vers f , on a bien évidemment : ∀ε > 0, il existe N tel que ∀n ≥ N et ∀x ∈ I on ait |f (x) − fn (x)| ≤ ε. Ici N ne dépend pas de x ∈ I (mais dépend de ε !). La convergence uniforme implique la convergence ponctuelle. 48 Théorème 24. Soit (fn )∞ 0 n=0 ⊂ C (I) une suite de fonctions continues qui converge uniformément vers f. Alors f ∈ C 0 (I) (i.e. f est aussi continue sur I). Démonstration. Soit ε > 0 et soit un entier n tel que |fn (x) − f (x)| ≤ 3ε , ∀x ∈ I (ici n est fixé et il existe car lim fn = f uniformément). n→∞ Soit x0 ∈ I. Montrons que f est continue en x0. Puisque fn est continue sur I, il existe δ > 0 tel que |fn (x0 ) − fn (x)| ≤ 3ε , ∀x ∈ I, |x − x0 | ≤ δ. On obtient ainsi pour |x − x0 | ≤ δ, x ∈ I : ce qui prouve que f est continue en x0. Comme x0 ∈ I est quelconque, f est continue sur I. Remarque 20.3. Dans l’exemple 21, on n’a pas convergence uniforme car sup |fn (x)− x∈I f (x)| = sup |fn (x)| = 1, ∀n ∈ N. x∈I Dans l’exemple 22, on n’a pas convergence uniforme car la limite f n’est pas conti- nue. Théorème 25. (Permutation des limites). Soit (fn )∞ 0 n=0 ⊂ C (I) qui converge uniformément vers f : I → R. Soit x0 ∈ I. On a lim ( lim fn (x)) = lim ( lim fn (x)). n→∞ x→x0 x→x0 n→∞  49 Démonstration. Puisque (fn )∞ n=0 converge uniformément vers f , on a lim f (x) = lim lim fn (x). x→x0 x→x0 n→∞ De plus, comme f est continue par le théorème 24, on obtient f (x0 ) = lim f (x) = lim lim fn (x). x→x0 x→x0 n→∞ D’autre part, la convergence de fn (x0 ) vers f (x0 ) lorsque n tend vers l’infini et la continuité de fn implique f (x0 ) = lim fn (x0 ) = lim lim fn (x). n→∞ n→∞ x→x0 Ainsi on a bien lim lim fn (x) = lim lim fn (x). x→x0 n→∞ n→∞ x→x0 Remarque 20.4. Si fn n’est pas continue, mais si on suppose que fn a une limite en x0 notée hn (x0 ) et si (hn (x0 ))∞ n=0 est convergente, alors si lim fn = f uniformément, n→∞ on a encore lim hn (x0 ) = lim f (x) (exercice). n→∞ x→x0 Théorème 26. (Théorème de Dini (1845-1918) (Ulisse Dini de Pise)). Soit a < b et soit (fn )∞ 0 n=0 une suite de fonctions dans C ([a, b]). On suppose que la suite est croissante (i.e. fn+1 (x) ≥ fn (x), ∀x ∈ [a, b], ∀n ≥ 0) et que lim fn = f n→∞ ponctuellement. Alors si f ∈ C 0 ([a, b]) , on a lim fn = f uniformément. n→∞ Démonstration. Ab absurdo, supposons que lim fn = f ne soit pas uniforme. Alors n→∞ il existe une suite (xni )∞ i=0 ⊂ [a, b] et ε > 0 telle que |f (xni ) − fni (xni )| ≥ ε, avec ni+1 > ni , ∀i = 0, 1, 2,.... Comme la suite (xni )∞ i=0 est bornée, on peut en extraire une sous-suite convergente et ainsi renuméroter les suites pour obtenir une suite (xn )∞ n=0 telle que lim xn = c et |f (xn ) − fn (xn )| ≥ ε, ∀n ∈ N. n→∞ Puisque lim fn = f , n→∞ 50 ce qui est contradictoire. Remarque 20.5. On obtient la même conclusion si on suppose (fn )∞ n=0 décroissante au lieu de croissante dans le théorème précédent. Exemple 23. Les polynômes pn+1 (x) = pn (x) + 21 (x − p2n (x)) avec p0 (x) = 0 sur l’intervalle [0, 1] forment une suite croissante qui converge uniformément vers f (x) = √ x sur [0, 1]. Remarque 20.6. Les notions de convergence ponctuelle et de convergence uniforme peuvent s’appliquer aussi à une suite de fonctions non nécessairement continues.  51 21. L’espace C 0 ([a, b]) Soit I = [a, b] un intervalle fermé avec a < b. On vérifie facilement que C 0 (I) est un espace vectoriel. Si f ∈ C 0 (I), on pose kf k = max |f (x)| et on vérifie facilement les x∈I propriétés suivantes : (i) kf k ≥ 0, ∀f ∈ C 0 (I) et kf k = 0 implique f (x) = 0, ∀x ∈ I ; (ii) kαf k = |α| kf k, ∀α ∈ R, ∀f ∈ C 0 (I) ; (iii) kf + gk ≤ kf k + kgk, ∀f, g ∈ C 0 (I). Ainsi k · k : C 0 (I) → R+ est une norme sur C 0 (I). On dit que C 0 (I) muni de k · k est un espace vectoriel normé. Définition 27. Soit (fn )∞ 0 n=0 ⊂ C (I) une suite de fonctions continues sur I. On dit que la suite est : de Cauchy pour k · k si uniformément équicontinue si 52 Théorème 27. Soit (fn )∞ 0 n=0 ⊂ C (I) une suite de Cauchy pour la norme k · k. Alors la suite (fn )∞ n=0 est uniformément équicontinue et elle converge uniformément vers une fonction f ∈ C 0 (I). Démonstration. Soit (fn )∞ 0 n=0 ⊂ C (I) une suite de Cauchy pour la norme k · k. Si ε > 0 est donné, il existe N > 0 tel que si m, n ≥ N on ait :  max |fn (x) − fm (x)| ≤. x∈I 2 Ainsi, pour x ∈ I fixé, (fn (x))∞ n=0 est une suite numérique de Cauchy, donc conver- gente. On définit f (x) = lim fm (x). m→∞ Il existe Nx ≥ N (Nx dépend de x ∈ I) tel que  |f (x) − fm (x)| ≤ si m ≥ Nx. 2 On obtient ainsi pour n ≥ N : |f (x) − fn (x)| ≤ |f (x) − fNx (x)| + |fNx (x) − fn (x)| ≤ . On a donc montré, puisque N ne dépend pas de x, que pour tout  > 0, il existe N tel que ∀x ∈ I et ∀n ≥ N , on a : |f (x) − fn (x)| ≤ . Ainsi sup |f (x)−fn (x)| ≤  si n ≥ N et donc la suite (fn )∞ n=0 converge uniformément x∈I vers f : I → R. Le théorème 24 implique que la fonction f est continue sur I. Comme I est un intervalle compact, f est uniformément continue. Montrons encore que la suite (fn )∞ n=0 est uniformément équicontinue. Soit  > 0 donné. Il existe δ > 0 tel que ∀x, y ∈ I, |x − y| ≤ δ, on a :  |f (x) − f (y)| ≤. 3  53 Soit M > 0 tel que ∀n ≥ M, ∀x ∈ I on ait :  |f (x) − fn (x)| ≤. 3 On aura ainsi, pour n ≥ M et pour x, y ∈ I, |x − y| ≤ δ : |fn (x) − fn (y)| ≤ |fn (x) − f (x)| + |f (x) − f (y)| + |f (y) − fn (y)| ≤ . Ainsi donc, pour n ≥ M et x, y ∈ I, |x − y| ≤ δ on a |fn (x) − fn (y)| ≤ . Si maintenant on prend k = 0, 1, 2,... , M − 1, il existe δk > 0 tel que si x, y ∈ I, |x − y| ≤ δk on ait, puisque fk est uniformément continue : |fk (x) − fk (y)| ≤ . Il suffit de définir δ̂ = min{δ0 , δ1 ,... , δM −1 , δ} pour obtenir |fn (x) − fn (y)| ≤ , ∀x, y ∈ I, |x − y| ≤ δ̂, ∀n ∈ N, ce qui prouve l’uniforme équicontinuité de la suite (fn )∞ n=0. Remarque 21.1. Un espace vectoriel X muni d’une norme k · k est dit "espace de Banach", si toute suite de Cauchy d’éléments de X converge vers un élément de X (on dit que l’espace est complet). Ainsi, C 0 (I) muni de la norme du maximum k · k est un espace de Banach. 54 22. Généralités sur la dérivée Définition 28. Soit r : D ⊂ R → R une fonction définie au voisinage de x0 ∈ R. On dit que r est un grand O de |x − x0 |α au voisinage de x0 lorsque x tend vers x0 (on note r(x) = O(|x − x0 |α ) si x → x0 ), s’il existe des constantes C et δ positives telles que x ∈ D, 0 < |x − x0 | ≤ δ implique |r(x)| ≤ C|x − x0 |α (ici α ∈ R ; C dépend de α mais non de x !). On dit que r est un petit o de |x − x0 |α au voisinage de x0 lorsque x tend vers x0 , r(x) α ≥ 0, (on note r(x) = o(|x − x0 |α ) si x → x0 ) si lim = 0. x→x0 |x − x0 |α 6= Remarque 22.1. 1) Les symboles O et o peuvent être facilement adaptés lorsque x → ±∞. 2) De façon évidente, si r(x) = o(|x − x0 |α ) si x → x0 , alors r(x) = O(|x − x0 |α ) si x → x0 , α ≥ 0. Définition 29. Soit f : D ⊂ R → R définie au voisinage de x0 ∈ D. On dit f (x) − f (x0 ) que f est dérivable au point x0 si lim existe. La quantité f 0 (x0 ) = x→x0 6= x − x 0 f (x) − f (x0 ) lim est alors appelée dérivée de f en x0. x→x0 6= x − x0 Remarque 22.2. Si f est dérivable en x0 et si on pose pour x ∈ D : r(x) = f (x) − f (x0 ) − f 0 (x0 )(x − x0 ), on obtient pour x au voisinage de x0 , x 6= x0 : r(x) f (x) − f (x0 ) = − f 0 (x0 ). (x − x0 ) (x − x0 )  55 r(x) Ainsi, par définition de f 0 (x0 ), on obtient lim = 0. On a donc, si f est x→x0 6= x − x0 dérivable en x0 : Cette relation montre que f doit nécessairement être continue en x0. Si f vé- rifie cette relation, on dit aussi que f est différentiable en x0. Ici, les notions de différentiabilité et de dérivabilité sont les mêmes. 23. Interprétation géométrique de la dérivée En considérant le graphe G(f ) de f , i.e. G(f ) = {(x, f (x)) : x ∈ D}, on constate que f 0 (x0 ) est la tangente de l’angle que fait la droite d, tangente à G(f ) au point (x0 , f (x0 )), avec l’axe Ox. f (x) − f (x0 ) Remarque 23.1. Si lim = ±∞, alors on obtient une tangente d x→x0 6= x − x 0 verticale au graphe {(x, f (x)) : x ∈ D} en x0. 24. Propriétés de la dérivabilité Soit f, g : D ⊂ R → R dérivables en x0. Si α, β ∈ R, on a a) (αf + βg)0 (x0 ) = αf 0 (x0 ) + βg 0 (x0 ) (linéarité de la dérivabilité). b) (f g)0 (x0 ) = f 0 (x0 )g(x0 ) + f (x0 )g 0 (x0 ) c) Si g(x0 ) 6= 0, alors  0