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BLOC 2: TAUX DE VARIATION MOYEN TAUX DE VARIATION D’UNE TAUX DE VARIATION MOYEN LIGNE 𝒚 = 𝒂𝒙 + 𝒃 (TVM) POUR UNE FONCTION...

BLOC 2: TAUX DE VARIATION MOYEN TAUX DE VARIATION D’UNE TAUX DE VARIATION MOYEN LIGNE 𝒚 = 𝒂𝒙 + 𝒃 (TVM) POUR UNE FONCTION 𝒇 POURMULE ∆𝑦 𝑦 − 𝑦 ∆𝑓 𝑓(𝑥 ) − 𝑓(𝑥 ) 𝑎= = 𝑇𝑉𝑀 [ , ] = = ∆𝑥 𝑥 − 𝑥 ∆𝑥 𝑥 −𝑥 GRAPHIQUE INTERPRÉTATION Pente de la droite 𝑎 Pente de la droite sécante entre les points (𝑥 , 𝑦 ) et (𝑥 , 𝑦 ). DÉFINITION: TAUX DE VARIATION MOYEN (TVM) ∆𝑓 𝑓(𝑥 ) − 𝑓(𝑥 ) 𝑇𝑉𝑀 [ , ] = = ∆𝑥 𝑥 −𝑥 Afin de diminuer le nombre de variables, supposons que :  ∆𝑥 = 𝑥 − 𝑥  𝑥=𝑥  𝑥 = 𝑥 + ∆𝑥 La formule devient alors 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) 𝑇𝑉𝑀 [ , ∆ ] = ∆𝑥 Graphiquement, le 𝑇𝑉𝑀 [ , ∆ ] représente la pente de la droite sécante entre les points 𝑥 et 𝑥 + ∆𝑥. © Joëlle Matte, CiSA 1 EXERCICE Un véhicule se déplace le long d’une autoroute. Soit 𝑥(𝑡), la fonction représentant sa position en fonction du temps. a) Quel est le taux de variation moyen de la fonction pendant les cinq premières minutes, sachant que 𝑥(𝑡) = 𝑡 ? b) Représentez graphiquement la réponse calculée en a). EXERCICE Que se produit-il dans l’exercice précèdent si l’on réduit significativement la longueur de l’intervalle ∆𝑥? Pour répondre à cette question, représentez graphiquement les cinq taux de variations moyens ci-dessous. 𝑎) 𝑇𝑉𝑀[ , ] 𝑏) 𝑇𝑉𝑀[ , ] 𝑏) 𝑇𝑉𝑀[ , / ] 𝑐) 𝑇𝑉𝑀[ , / ] 𝑑) 𝑇𝑉𝑀[ , / ]. Quelles conclusions pouvez-vous tirer? ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ Exercices : p. 141 #1 © Joëlle Matte, CiSA 2  BLOC 2: TAUX DE VARIATION INSTANTANÉ (TVI) Le taux de variation instantané (TVI) est très similaire au TVM. Néanmoins, au lieu de calculer la pente d’une droite sécante, la pente de la droite tangente à un point précis est calculée. Ainsi, le TVI est calculé en rapprochant 𝑥 et 𝑥 significativement. En d’autres mots, on pose 𝛥𝑥 → 0.Par le fait même, 𝑓(𝑎 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑎) 𝑇𝑉𝐼 = 𝑓 (𝑎) = lim ∆ → ∆𝑥 Ceci correspond à la dérivée de la fonction au point 𝑥 = 𝑎. Notation équivalente: 𝑓 (𝑎) =. Ceci correspond à la pente de la droite tangente à 𝑥 = 𝑎. TAUX DE VARIATION TAUX DE VARIATION MOYEN (TVM) POUR UNE INSTANTANÉ (TVI) POUR UNE FONCTION 𝒇 FONCTION 𝒇 POURMULES 𝑓(𝑥 ) − 𝑓(𝑥 ) 𝑓(𝑎 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑎) 𝑇𝑉𝑀 [ , ] = 𝑇𝑉𝐼 = lim 𝑥 −𝑥 ∆ → ∆𝑥 OU OU 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) 𝑓(𝑎 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑎) 𝑇𝑉𝑀 [ , ] = 𝑓′(𝑎) = lim ∆𝑥 ∆ → ∆𝑥 OU 𝑑𝑓 𝑓(𝑎 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑎) = lim 𝑑𝑥 ∆ → ∆𝑥 GRAPHIQUE INTERPRÉTATION Pente de la droite sécante entre Pente de la droite tangente en 𝑥 = 𝑎. les points (𝑥 , 𝑦 ) et (𝑥 , 𝑦 ). Cela représente également la Cela représente également la vitesse vitesse moyenne entre 𝑥 et 𝑥. instantanée à 𝑥 = 𝑎. © Joëlle Matte, CiSA 3 EXERCICES a) Calculez 𝑇𝑉𝐼 pour 𝑓(𝑥) = 4𝑥 − 5. © Joëlle Matte, CiSA 4 b) Calculez 𝑇𝑉𝐼 pour 𝑓(𝑥) = √2𝑥 − 9. © Joëlle Matte, CiSA 5 c) Calculez 𝑓 (2) pour 𝑓(𝑥) =. Exercices : p. 140 # 2,3,4, 5j, 12 © Joëlle Matte, CiSA 6  BLOC 2: DÉRIVATION La dérivation est un prolongement du concept de limite. La représentation de la pente de la droite tangente d’une fonction 𝑓(𝑥) pour n’importe quel 𝑥 est un concept fondamental du calcul différentiel. DÉFINITION: LA DÉRIVÉE D’UNE FONCTION La dérivée d’une fonction 𝑓(𝑥) avec la notation de Newton est : 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) 𝑓 (𝑥) = lim ∆ → ∆𝑥 Il s’agit d’une nouvelle fonction représentant la dérivée pour tout point du domaine de 𝑓. Notation alternative (Leibniz): 𝑑𝑓 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) = lim 𝑑𝑥 ∆ → ∆𝑥 EXERCICES a) Calculez 𝑓’(𝑥) pour 𝑓(𝑥) = 4𝑥 − 5. © Joëlle Matte, CiSA 7 b) Calculez pour 𝑓(𝑥) = √ Exercices : p.140 # 13, 15, 16 © Joëlle Matte, CiSA 8  BLOC 2: DÉRIVÉE DE POLYNÔMES Soit 𝑓(𝑥) une fonction quelconque et soit 𝑐 un nombre réel. FONCTION DÉRIVÉE DÉRIVÉE EXEMPLE (NEWTON) (LEIBNIZ) 𝑓(𝑥) = 𝑐 𝑑𝑓 𝑓(𝑥) = 5 𝑓 (𝑥) =0 =0 𝑑𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑓 (𝑥) = 𝑛 𝑥 =𝑛𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑥 1 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑓(𝑥) = √𝑥 PROPRIÉTÉS DES DÉRIVÉES Soit 𝑓(𝑥) une fonction quelconque et soit 𝑐 un nombre réel. PROPRIÉTÉ PROPRIÉTÉ EXEMPLE (NEWTON) (LEIBNIZ) 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) 𝑑 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 3 (𝑓 + 𝑔) = 𝑓 (𝑥) + 𝑔′(𝑥) 𝑑𝑥 𝑑𝑓 𝑑𝑔 = + 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) 𝑑 𝑓(𝑥) = 5 − 𝑥 (𝑓 − 𝑔) = 𝑓 (𝑥) − 𝑔′(𝑥) 𝑑𝑥 𝑑𝑓 𝑑𝑔 = − 𝑑𝑥 𝑑𝑥 (𝑐 𝑓(𝑥)) = 𝑐 𝑓′(𝑥) 𝑑 𝑑𝑓 𝑓(𝑥) = 3𝑥 (𝑐 ∗ 𝑓) = 𝑐 𝑑𝑥 𝑑𝑥 © Joëlle Matte, CiSA 9 EXERCICE Calculez la dérivée de la fonction 𝑓(𝑥) = 2(𝑥 − 1) + 𝜋 − √ Exercices : p. 140 # 22, 25 abcdef BLOC 2: LA RÈGLE DU PRODUIT ET LA RÈGLE DU QUOTIENT Soit 𝑓(𝑥) et 𝑔(𝑥) deux fonctions quelconques. PROPRIÉTÉ PROPRIÉTÉ EXAMPLE (NEWTON) (LEIBNIZ) 𝑓(𝑥) ∗ 𝑔(𝑥) 𝑑 𝑓(𝑥) = (2𝑥 + 1)(4𝑥 − 𝑥 ) (𝑓 ∗ 𝑔) = 𝑓 (𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑔′(𝑥)𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑑𝑓 𝑑𝑔 = ∗𝑔+ ∗𝑓 𝑑𝑥 𝑑𝑥 © Joëlle Matte, CiSA 10  𝑓(𝑥) 𝑑 𝑓 3𝑥 − 5 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 𝑔 𝑥 +1 𝑓 (𝑥)𝑔(𝑥) − 𝑔 (𝑥)𝑓(𝑥) 𝑑𝑓 𝑑𝑔 ∗𝑔− ∗𝑓 = = 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑔(𝑥) 𝑔 EXERCICES Calculez les dérivées des fonctions suivantes à l’aide de règle du produit ou à l’aide de la règle du quotient. 𝑎) 𝑚(𝑡) = (2 − 𝑡 )(2𝑡 − 1) Réponse: 𝑚 (𝑡) = −14𝑡 + 16𝑡 + 3𝑡. © Joëlle Matte, CiSA 11  √𝑥 𝑏) 𝑓(𝑥) = 𝑥 +1 BLOC 2: CHOISIR LA BONNE FORMULE DE DÉRIVATION Pour certaines fonctions, il est possible d’appliquer la règle du produit ou la règle de dérivation polynomiale. Il est primordial de prioriser la formule permettant de diminuer la difficulté du problème et/ou d’augmenter la rapidité d’exécution. Voici quelques exemples. FONCTION MÉTHODE DE DÉRIVATION 1 𝑓(𝑥) = 6𝑥 𝑥+1 𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)𝑥 𝑥 +1 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 7𝑥 𝑓(𝑥) = (5𝑥 + 1 + 16𝑥)(12𝑥 + 𝑥 + 1) Exercices : p. 140 # 23, 24, 25ghij, 26, 36, 37, 39 © Joëlle Matte, CiSA 12  BLOC 2: LA RÈGLE DE LA CHAÎNE Supposons que 𝑓(𝑥) est une fonction quelconque et que 𝑛 est un nombre réel. RÈGLE DE LA RÈGLE DE LA EXAMPLE CHAÎNE (NEWTON) CHAÎNE (LEIBNIZ) 𝑑 𝑓(𝑥) = (3𝑥 − 4) 𝑓(𝑥) = (𝑓(𝑥) ) 𝑑𝑥 𝑛 𝑓(𝑥) 𝑓′(𝑥) 𝑑𝑓 = 𝑛 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 EXERCICE Calculez la dérivée des fonctions ci-dessous. 𝑎) 𝑓(𝑥) = 𝑥 (2𝑥 + 1) © Joëlle Matte, CiSA 13  𝑥 −1 𝑏) 𝑓(𝑥) = (3𝑥 + 2) Exercices : p.140 # 69, 70 © Joëlle Matte, CiSA 14  BLOC 2: AUTRES FORMULES DE DÉRIVATION Soit 𝑎 une constante et 𝑢(𝑥) une fonction quelconque. FORMULES DE DÉRIVATION (INCLUANT LA RÈGLE DE LA CHAÎNE À L’INTÉRIEUR) EXERCICE Calculez la dérivée ci-dessous. 𝑓(𝑥) = sin(3𝑥 + 1) + 2 ln(𝑥 ) + sin(𝜋) + 𝑒 © Joëlle Matte, CiSA 15 EXERCICE Calculez la dérivée ci-dessous. arctan (ln 𝑥) 𝑓(𝑥) = 𝑥 © Joëlle Matte, CiSA 16 EXERCICE Calculez la dérivée ci-dessous. (2 tan(𝑥) + 1) 𝑓(𝑥) = log (5𝑥) Exercices : p. 226 # 12, 13, 42, 43, 56, 57, 84 (sauf m et n) © Joëlle Matte, CiSA 17  BLOC 2: DÉRIVÉES D’ORDRE SUPÉRIEUR Soit 𝑓(𝑥) une fonction quelconque. Une dérivée d’ordre supérieure est obtenue en répétant le processus de dérivation plusieurs fois. Ainsi, la dérivée seconde correspond à la dérivée de 𝑓 (𝑥). NOTATION (NEWTON) NOTATION (LEIBNIZ) DÉRIVÉE 1er 𝑓′(𝑥) 𝑑𝑓 𝑑𝑥 DÉRIVÉE 2e 𝑓′′(𝑥) 𝑑 𝑓 𝑑𝑥 DÉRIVÉE 3e 𝑓′′′(𝑥) 𝑑 𝑓 𝑑𝑥 ⋮ ⋮ ⋮ ième DÉRIVÉE n ( 𝑓 (𝑥)) 𝑑 𝑓 𝑑𝑥 EXERCICE Calculez pour 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 5𝑥 + 2𝑥. © Joëlle Matte, CiSA 18 DÉRIVÉES D’ORDRE SUPÉRIEUR : APPLICATION EN PHYSIQUE Si 𝑠(𝑡)=distance parcourue, alors 𝑆’(𝑡) = 𝑉(𝑡) =Vitesse 𝑆’’(𝑡) = 𝑉’(𝑡) = 𝐴(𝑡) =Accélération EXERCICE Une voiture se déplace sur l’autoroute en suivant la fonction 𝑠(𝑡) = (0.2𝑡 + 1) − 1, où 𝑡 est en minutes et 𝑠 est en kilomètres. a) Calculez 𝑉(10). b) Calculez 𝐴(𝑡). Exercices : p. 140 # 56, 73, 92 efgh © Joëlle Matte, CiSA 19  BLOC 2: ÉQUATIONS DE DROITE DÉFINITION : ÉQUATION DE LA DROITE TANGENTE L’une des applications directes de la dérivée est de calculer l’équation de la droite tangente 𝑦 = 𝑚 𝑥 + 𝑏 à un point quelconque 𝑥. 1. Calculer 𝑚 sachant que 𝑚 = 𝑓 (𝑥 ). 2. Par la suite, il suffit d’utiliser un point qui est à la fois sur la droite et sur la fonction pour déduire la valeur du paramètre 𝑏. EXEMPLE Calculez l’équation de la droite tangente à 𝑥 = 2 pour la fonction 1 𝑓(𝑥) = 𝑥. 4 DÉFINITION : ÉQUATION DE LA DROITE NORMALE L’une des applications directes de la dérivée est de calculer l’équation de la droite normale 𝑦 = 𝑚 𝑥 + 𝑏 à un point quelconque 𝑥. 1. Calculer 𝑚 sachant que 𝑚 𝑚 = −1. 2. Par la suite, il suffit d’utiliser un point qui est à la fois sur la droite et sur la fonction pour déduire la valeur du paramètre 𝑏. EXEMPLE Calculez l’équation de la droite normale à 𝑥 = 2 pour la fonction 1 𝑓(𝑥) = 𝑥. 4 Exercices : p. 140 # 2c, 6,7, 14, 28ab, 30, 32 © Joëlle Matte, CiSA 20  BLOC 2: DÉRIVABILITÉ QUESTION: EST-CE QUE TOUTES LES FONCTIONS SONT DÉRIVABLES? Afin de répondre à cette question, utilisez Desmos pour déterminer ce qui arrive à la tangente de certaines fonctions à certains points. Connectez-vous à Socrative pour répondre à la question. DÉFINITION: DÉRIVABILITÉ La fonction 𝑓(𝑥) est dérivable à 𝑥 = 𝑎 si 𝑓’(𝑎) existe. En d’autres mots, 𝑓’(𝑎) existe si la pente de la droite tangente en 𝑥 = 𝑎 existe. Il faut donc que la limite soit un nombre réel (et pas l’infini) et que la limite de chaque côté soit égale. DÉFINITION: FONCTION NON-DÉRIVABLE À 𝒙 = 𝒂 DEFINITION GRAPHIQUE PROBLÈME 𝑓(𝑥) n’est pas continue en 𝑥 = 𝑎. DE (Autrement dit, l’une des trois (3) CONTINUITÉ conditions de continuité n’est pas respectée.) SINGULARITÉ 1. Point anguleux Il y a un point anguleux à 𝑥 = 𝑎 si ( ∆ ) ( ) ( ∆ ) ( ) lim ≠ lim ∆ → ∆ ∆ → ∆ et au moins l’une des limite est un nombre < ∞. 2. Point de rebroussement Il y a un point de rebroussement à 𝑥 = 𝑎 si ( ∆ ) ( )  lim =∞ ∆ → ∆ 𝑓(𝑎 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑎) et lim = −∞ ∆ → ∆𝑥 OU ( ∆ ) ( )  lim = −∞ ∆ → ∆ 𝑓(𝑎 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑎) et lim =∞ ∆ → ∆𝑥 © Joëlle Matte, CiSA 21  TANGENTE La tangente de la courbe à 𝑥 = 𝑎 est INFINIE infinite. Ainsi, 𝑓(𝑎 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑎) 𝑓 (𝑎) = lim =∞ ∆ → ∆𝑥 OU 𝑓(𝑎 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑎) 𝑓 (𝑎) = lim = −∞ ∆ → ∆𝑥 EXERCICE Déterminez si les fonctions ci-dessous sont dérivables au point donné. a) ℎ(𝑥) = |𝑥| à 𝑥 = 0 b) 𝑡(𝑥) = √2 − 𝑥 à 𝑥 = 2 Exercices : p. 140 # 17, 18, 19, 20, 21 p. 384 #4 abc © Joëlle Matte, CiSA 22  BLOC 2: DÉRIVATION IMPLICITE EXERCICE Cliquez sur le lien afin de visualiser le Folium de Descartes. Comment pourrait-on s’y prendre pour calculer sa dérivée? Que semble être le problème? EXPLICATION GRAPHIQUE _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ DÉFINITION: ÉQUATION IMPLICITE En mathématiques, une équation entre différentes variables (par exemple 𝑥 et 𝑦), où une variable n'est pas explicitée en fonction des autres est appelée une équation implicite. Le Folium de Descartes, 𝑥 + 𝑦 = 6𝑥𝑦, est un exemple très connu d’équation implicite. DÉFINITION: DÉRIVATION IMPLICITE L’expression « dérivation implicite » s’applique lorsque nous dérivons une équation possédant plusieurs variables (des 𝑥 et des 𝑦 par exemple). Ici, on assume que 𝑦 est une fonction de 𝑥. ÉTAPES POUR DÉRIVER IMPLICITEMENT Afin de dériver implicitement une équation qui définit une fonction 𝑦 implicitement en fonction de la variable 𝑥, suivez les étapes ci-dessous : 1. Calculez la dérivée de chaque côté de l’équation en gardant en tête que 𝑦 est une fonction de 𝑥. Conséquement, (sin(𝑥)) = cos(𝑥) , mais (sin (𝑦)) = cos(𝑦) , car il faut utiliser la règle de la chaîne pour dériver 𝑠𝑖𝑛(𝑦) en fonction de 𝑥. En général, 𝑑 𝑑𝑦 (𝑦 ) = 𝑛 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑥 2. Réécrivez l’équation pour que tous les termes contenant soient placés à gauche du sybole d’égalité tandis que les autres termes doivent être placés à sa droite. 3. Factorisez dans la partie gauche de l’équation. 4. Isolez en divisant de chaque côté de l’équation par l’expression algébrique appropriée. © Joëlle Matte, CiSA 23 NOTATION POUR LA DÉRIVATION IMPLICITE Faites attention! Il ne faut pas utiliser la notation 𝑦’, car il devient difficile de savoir on dérive par rapport à quelle variable. En effet, Dériver la fonction 𝑦 par rapport à la variable 𝑥. EXERCICE Dérivez implicitement l’équation ci-dessous. 𝑥 + 𝑦 = 6𝑥𝑦 © Joëlle Matte, CiSA 24 EXERCICE Dérivez implicitement l’équation ci-dessous. 2𝑥 + 𝑦 𝑎) = 𝑥 + 2𝑦 à (𝑥, 𝑦) = (1,1). 𝑦 b) déduisez l’équation de la droite tangente à la courbe en (1,1). Exercices : p. 140 # 83, 84, 92 ijk p. 226 # 14def, 44def, 58abc © Joëlle Matte, CiSA 25  BLOC 2: DÉRIVATION LOGARITHMIQUE Supposons que la dérivée de la fonction 𝑦 = (𝑥 − 1) , 𝑥 > 1 doit être claculée. Il est impossible d’utiliser la règle de la chaîne avec (𝑓(𝑥)) , car il faudrait que l’exposant 𝑛 soit une constante (et ce n’est pas le cas ici). Par ailleurs, ce n’est pas non plus une fonction exponentielle 𝑏 ( ) , parce qu’il faudrait que 𝑏 soit une constante. ( ) De manière Générale, afin de calculer la dérivée de 𝑦 = 𝑓(𝑥) (avec 𝑓(𝑥) > 0), la dérivation logarithmique est appliquée. ÉTAPES POUR CALCULER LA DÉRIVÉE LOGARITHMIQUE Soit 𝑦 = 𝑓(𝑥) ( ). 1. Posez le logarithme naturel de chaque côté de l’équation pour obtenir ln(𝑦) = ln(𝑓(𝑥) ( ) ) 2. Utilisez les propriétés des logarithmes pour développer ln(𝑓(𝑥) ( ) )autant que possible. 3. Dérivez implicitement de chaque côté de l’équation. À gauche, on obtient. 4. Multipliez l’équation par 𝑦 afin d’isoler. ( ) 5. Remplacez 𝑦 par 𝑓(𝑥) dans la réponse finale. RAPPEL DES PROPRIÉTÉS DES LOGARITHMES  log(𝑎𝑏) = log(𝑎) + log (𝑏)  log(𝑎/𝑏) = log(𝑎) − log (𝑏)  log(𝑎 ) = 𝑚 log (𝑎) ( )  log (𝑏) = (règle du changement de base) ( ) EXERCICE Calculez la dérivée de 𝑦 = (𝑥 − 1) © Joëlle Matte, CiSA 26 EXERCICE Calculez la dérivée de 𝑦 = (ln(𝑥))√. © Joëlle Matte, CiSA 27 EXERCICE ( ) Calculez la dérivée de 𝑦 = (3𝑥 − 2𝑥 + 1) © Joëlle Matte, CiSA 28 Notons que la dérivation logarithmique peut aussi simplifier les calculs (même pour une fonction qui n’est pas du type de 𝑦 = 𝑓(𝑥)𝒈(𝒙). EXEMPLE √ Soit la fonction 𝑦 = ( ) a) Comment pourrais-t-on s’y prendre pour calculer cette dérivée sans la dérivation logarithmique? √ b) Utilisez la dérivation logarithmique pour dériver 𝑦 =. ( ) Exercices : p. 226 #45 © Joëlle Matte, CiSA 29  BLOC 2: TAUX LIÉS DÉFINITION: TAUX LIÉS Résoudre un problème de taux liés consiste généralement à évaluer le taux de variation instantané d’une variable 𝑦 par rapport au temps 𝑡, soit la dérivée à partir du lien existant entre la variable 𝑦 et d’autres variables dont on connaît les taux de variation instantané par rapport au temps. ÉTAPES POUR RÉSOUDRE UN PROBLÈME DE TAUX LIÉ 1. Identifiez les variables. 2. Identifiez les taux qui sont fournis dans le problème. 3. Identifiez le taux recherché. 4. Établissez une relation mathématique entre les deux variables et dérivez de chaque côté de l’équation. 5.Tirez vos conclusions. EXERCICE Ma voiture consomme 0,07 litre d’essence au kilomètre, et je circule à une vitesse constante de 100 km/h. Quel est le taux de variation de la quantité d’essence consommée par rapport au temps? 1. Identifiez les variables. 2. Identifiez les taux qui sont fournis dans le problème. 3. Identifiez le taux recherché. 4. Établissez une relation mathématique entre les deux variables et dérivez de chaque côté de l’équation. 5.Tirez vos conclusions. © Joëlle Matte, CiSA 30 EXERCICE Soit 𝑉 le volume d’un cylindre. À un instant donné, la hauteur atteint 6 cm et s'accroît au taux de 1 cm/s, tandis que le rayon mesure 10 cm et décroît au taux de 1 cm/s. À quelle vitesse le volume varie-t-il à cet instant? Est-il alors croissant ou décroissant? 1. Identifiez les variables. 2. Identifiez les taux qui sont fournis dans le problème. 3. Identifiez le taux recherché. 4. Établissez une relation mathématique entre les deux variables et dérivez de chaque côté de l’équation. 5.Tirez vos conclusions. © Joëlle Matte, CiSA 31 EXERCICE À un instant donné, toutes les arêtes d’un cube mesurent 3 cm et le volume diminue de 5 cm3/seconde. a) Quel est le taux de variation de chacun des côtés ? b) Quel est le taux de variation de la surface du cube ? © Joëlle Matte, CiSA 32 EXERCICE Deux motomarines se trouvant sur un lac gigantesque quittent le même point à 9 h. La première motomarine s’en va plein nord et 15 minutes plus tard, elle est à 15 km du point de départ et avance à ce moment-là à une vitesse de 90 km/h. La seconde motomarine se dirige en direction ouest et 15 minutes après son départ, elle est à 13 km du point de départ et avance à une vitesse de 80 km/h. Calculer à quel taux augmente la distance entre les deux bateaux à 9 h 15 minutes. EXERCICE De l’eau s'écoulant d'un déversoir forme un amoncellement de la forme d'un cône dont la hauteur égale le diamètre. Si la hauteur croît au taux constant de 2 m/min, quel est le taux d'écoulement de l’eau lorsque l'amoncellement atteint une hauteur de 3 m? © Joëlle Matte, CiSA 33 EXERCICE Une personne avance en ligne droite vers la porte d'un immeuble à une vitesse constante de 7 𝑘𝑚/ℎ. Une caméra de surveillance située à 30 m A du sol au-dessus de cette porte, suit le mouvement de la personne. 30 m Lorsque celle-ci est à 45 m de la porte, trouver le taux de variation de l'angle A (voir figure). Donnez votre réponse en rad/s. x © Joëlle Matte, CiSA 34 EXERCICE Un avion vole horizontalement (hauteur constante) à 1220 m au-dessus d’un observateur fixe. À un instant donné, l’angle d’élévation (angle entre le regard de l’observateur et l’horizontal) est de 30 et il décroit. À ce moment, l’avion vole à 480 km/h. a) À quel rythme  diminue-t-il à cet instant ? Exprimez la réponse en 𝑟𝑎𝑑/ℎ © Joëlle Matte, CiSA 35  b) À quel taux la distance séparant l’appareil et l’observateur varie-t-elle à cet instant? Exprimer la réponse en 𝑘𝑚/ℎ. Exercices : p. 260 # 1,4,5, 7, 12,15,16,17, 19, 22, 25, 34, 35 © Joëlle Matte, CiSA 36