Calcul Différentiel PDF - MAT-1950

Calcul différentiel MAT-1950 G. Heilporn 2016  2 Variation et taux de variation moyen MAT-1950 G. Heilporn 2016  3 Variation d’une fonction...

Calcul différentiel MAT-1950 G. Heilporn 2016  2 Variation et taux de variation moyen MAT-1950 G. Heilporn 2016  3 Variation d’une fonction La variation d’une fonction 𝑓(𝑥) sur un intervalle [𝑎, 𝑏] est la différence entre la valeur de la fonction à la fin de l’intervalle et la valeur de la fonction au début de l’intervalle. ∆𝑓 = 𝑓 𝑏 − 𝑓(𝑎) Le taux de variation moyen d’une fonction 𝑓(𝑥) sur un intervalle [𝑎, 𝑏] représente la variation moyenne de la fonction 𝑓 par unité de la variable 𝑥 sur l’intervalle [𝑎, 𝑏]. ∆𝑓 𝑓 𝑏 − 𝑓(𝑎) = ∆𝑥 𝑏−𝑎 MAT-1950 G. Heilporn 2016  4 Application 1 « Supposons que le nombre hebdomadaire d’exemplaires vendus 𝑉(𝑡) d’un DVD est donné par la fonction 𝑉(𝑡) = 8100 − 100𝑡 4 , où 𝑡 est le temps (en semaines) écoulé depuis la fin d’une campagne publicitaire. a) Déterminez l’intervalle de temps sur lequel 𝑉(𝑡) a du sens dans le contexte. b) Déterminez la variation des ventes de la 1e à la 4e semaine après la fin de la campagne publicitaire. c) Déterminez le taux de variation moyen des ventes de la 1e à la 4e semaine après la fin de la campagne publicitaire. Interprétez. » (Source: J. Hamel, L. Amyotte, Calcul différentiel, p. 79) MAT-1950 G. Heilporn 2016  5 Application 1 (suite) a) Temps 𝑡 ≥ 0. Par ailleurs, on suppose que 𝑉 𝑡 = 8100 − 100𝑡 4 ≥ 0, ce qui implique 𝑡 4 ≤ 81 ⟺ −9 ≤ 𝑡 ≤ 9. On conclut que 𝑡 ∈ [0,9]. b) ∆𝑉 = 𝑉 4 − 𝑉 1 = 6500 − 8000 = −1500, soit une diminution des ventes de 1500 DVD entre la fin de la 1e et la fin de la 4e semaine. ∆= = ? @= A @ABCC c) = = = −500, ∆> ?@A D soit une diminution moyenne des ventes de 500 DVD par semaine entre la fin de la 1e et la fin de la 4e semaine. MAT-1950 G. Heilporn 2016  6 Application 2 : graphiquement Le graphe ci-contre présente le nombre de VUS vendus aux Etats-Unis annuellement, de 1990 à 2003. Soit 𝑡 = 0 l’année 1990, et 𝑁(𝑡) le nombre de ventes en milliers de véhicules. a) Utilisez ce graphe afin de déterminer le taux de variation moyen de 𝑁(𝑡) sur l’intervalle [6,11], et interprétez le résultat. b) Sur quelle période annuelle retrouve-t-on le taux de variation moyen le plus élevé? (Source: Waner, Costenoble, p. 144) MAT-1950 G. Heilporn 2016  7 Application 2 : graphiquement (suite) ∆G G AA @G I DCCC@4CCC a) ∆H = AA@I = B = 200, ce qui signifie que les ventes annuelles de VUS ont augmenté d’environ 200000 véhicules par année entre 1996 et 2001. b) Les taux de variation moyens annuels sont représentés par les pentes des segments sur le graphique. La pente la plus forte paraît celle sur l’intervalle [11,12] : ∆G G A4 @G AA D?CC@DCCC = ≈ = 400, ∆H A4@AA A ce qui signifie que les ventes entre 2002 et 2003 ont augmenté d’environ 400000 véhicules. MAT-1950 G. Heilporn 2016  8 Dérivée MAT-1950 G. Heilporn 2016  9 Taux de variation instantané ou dérivée Le taux de variation instantané d’une fonction 𝑓(𝑥) en un point 𝑥 = 𝑎 représente la variation de la fonction 𝑓 par unité de la variable 𝑥 sur un très petit intervalle autour du point 𝑥 = 𝑎. On le nomme dérivée de 𝑓(𝑥) en 𝑥 = 𝑎. Notation : 𝑓′(𝑥) pour la dérivée de 𝑓 𝑥 , donc 𝑓′(𝑎) pour la dérivée de 𝑓(𝑥) en 𝑥 = 𝑎. NO Remarque : une notation plus théorique de la dérivée de 𝑓 𝑥 est 𝑓 M 𝑥 =. Nous N> l’utiliserons seulement dans le cadre de la résolution de certaines équations appelées « équations différentielles à variables séparables », voir le contenu de calcul intégral. MAT-1950 G. Heilporn 2016  10 Formules élémentaires de dérivation Fonction Dérivée 𝑓 𝑥 = 𝑘 (𝑘 constante) 𝑓M 𝑥 = 0 𝑓 𝑥 = 𝑥 Q (𝑛 ≠ 0 un nombre) 𝑓′ 𝑥 = 𝑛𝑥 Q@A 𝑓 𝑥 = 𝑘𝑢(𝑥) 𝑓′ 𝑥 = 𝑘𝑢′(𝑥) 𝑓 𝑥 = 𝑢 𝑥 ± 𝑣(𝑥) 𝑓′ 𝑥 = 𝑢′ 𝑥 ± 𝑣′(𝑥) 𝑓 𝑥 = 𝑒X > 𝑓 M (𝑥) = 𝑢′ 𝑥 𝑒 X > 𝑓 𝑥 = ln 𝑢(𝑥) X[(>) 𝑓M 𝑥 = X(>) MAT-1950 G. Heilporn 2016  11 Exemples 𝑓 𝑥 =6 𝑓′ 𝑥 = 0 𝑓 𝑥 = 𝑥\ 𝑓′ 𝑥 = 7𝑥 I 𝑓 𝑥 = 2𝑥 D 𝑓′ 𝑥 = 2 3 𝑥 4 = 6𝑥 4 𝑓 𝑥 = −3𝑥 ? + 6𝑥 − 2 𝑓′ 𝑥 = −3 4 𝑥 D + 6 = −12𝑥 D + 6 _ _@>`A 𝑓 𝑥 = 3𝑒 ?> @>`A 𝑓′ 𝑥 = 3(8𝑥 − 1)𝑒 ?> 𝑓 𝑥 = ln(3𝑥 4 + 2𝑥 − 4) 𝑓M 𝑥 = I>`4 D> _`4>@? MAT-1950 G. Heilporn 2016  12 Application 1 « Supposons que le coût total de production (en $) de 𝑞 unités d’un bien est donné par la fonction 𝐶(𝑞) = 𝑞 D − 10𝑞 4 + 40𝑞 + 100. On veut déterminer et interpréter 𝐶’(10). » (Source: J. Hamel, L. Amyotte, Calcul différentiel, p. 87) Dérivée de la fonction : 𝐶 M 𝑞 = 3𝑞 4 − 20𝑞 + 40. Pour 𝑞 = 10 : 𝐶 M 10 = 3 104 − 20 10 + 40 = 140 $. Lorsque le nombre d’unités produites est égal à 10, le coût total de production augmente à raison de 140 $ par unité. C’est le coût marginal, qui permet d’approximer le coût de production de la 11e unité. MAT-1950 G. Heilporn 2016  13 Application 2 « Le profit total (en $) qu’une entreprise tire de la vente de q pièces électroniques est donné par la fonction 𝑃(𝑞) = −0.2𝑞 4 + 80𝑞 − 780. a) Combien de pièces l’entreprise doit-elle vendre si elle ne veut pas essuyer de pertes? b) Déterminez le profit marginal, qui est la dérivée de la fonction 𝑃(𝑞). c) Déterminez et interprétez 𝑃’(150). » (Source: J. Hamel, L. Amyotte, p. 91) MAT-1950 G. Heilporn 2016  14 Application 2 (suite) a) On veut 𝑃(𝑞) ≥ 0, donc −0.2𝑞 4 + 80𝑞 − 780 ≥ 0. @fC± fC_@?(@C.4)(@\fC) 𝑞= , donc 𝑞 ≈ 10 ou 𝑞 ≈ 390. 4(@C.4) Comme la parabole est orientée vers le bas, on conclut que le profit est positif pour 𝑞 ∈ [10,390], donc tant que le nombre de pièces est entre 10 et 390 unités. b) 𝑃M 𝑞 = −0.4𝑞 + 80, profit marginal en $/unité. c) 𝑃M 150 = −0.4 150 + 80 = 20 $/unité. Lorsque l’entreprise vend 150 unités, elle peut s’attendre à un profit d’environ 20 $ pour la 151e unité vendue. MAT-1950 G. Heilporn 2016  15 Dérivées d’ordre supérieur Si on dérive une fonction f(x), on obtient f’(x), la dérivée (première) de la fonction (car on a dérivé une seule fois la fonction). Si on dérive à nouveau f’(x), on obtient f’’(x), la dérivée seconde de la fonction f(x). Exemple : 𝑓 𝑥 = 3𝑥 4 − 4𝑥 + 6 dérivée (première) 𝑓 M 𝑥 = 6𝑥 − 4 dérivée seconde 𝑓 MM 𝑥 = 6 MAT-1950 G. Heilporn 2016  16 Application Deux ans après l’introduction d’un jeu vidéo sur le marché québécois, on estime les ventes totales à 𝑆 𝑡 = 100000 − 20𝑒 A\@C.?H , où 𝑡 est le temps en mois depuis l’introduction. a) Donner une estimation des ventes 30 mois après l’introduction du jeu vidéo sur le marché québécois. b) Quel est le taux de variation instantané des ventes après 30 mois ? c) Quelle est l’accélération (ou décélération) des ventes après 30 mois ? (Waner, Costenoble, p. 319) MAT-1950 G. Heilporn 2016  17 Application (suite) a) 𝑆 30 = 100000 − 20𝑒 A\@C.?(DC) ≈ 97032 unités Depuis l’introduction du jeu sur le marché, un total de 97032 unités se sont vendues. b) 𝑆′ 𝑡 = 8𝑒 A\@C.?H , donc 𝑆′(30) = 8𝑒 A\@C.? DC ≈ 1187 unités/mois Après 30 mois, les ventes augmentent (vitesse des ventes) de 1187 unités par mois. c) 𝑆′′(𝑡) = −3.2𝑒 A\@C.?H , donc 𝑆′′(30) = −3.2𝑒 A\@C.? DC ≈ −475 unités/mois2 Après 30 mois, le taux de variation des ventes diminue (décélération des ventes) de 475 unités par mois par mois. De moins en moins de jeux sont vendus chaque mois. MAT-1950 G. Heilporn 2016  18 Analyse de fonctions à l’aide de dérivées MAT-1950 G. Heilporn 2016  19 Signe de f’(x) et croissance de f(x) f' Dérivée positive 𝒇’ 𝒙 ≥ 𝟎 ⟺ 𝒇(𝒙) croissante 5 maximum Ici, sur ] − ∞, 0.21] et sur [3.12, ∞[ 4 (0.21, 4.1) Dérivée négative 𝒇’ 𝒙 ≤ 𝟎 ⟺ 𝒇(𝒙) décroissante Ici, sur [0.21, 3.12] 3 a On identifie un maximum lorsque la dérivée première 2 passe de 𝑓’ 𝑥 ≥ 0 (positive) à 𝑓’ 𝑥 ≤ 0 (négative). 1 On identifie un minimum lorsque la dérivée première passe –3 –2 –1 0 0 1 2 3 4 5 de 𝑓’ 𝑥 ≤ 0 (négative) à 𝑓’ 𝑥 ≥ 0 (positive). –1 b En un maximum/minimum, on constate que la dérivée –2 première est nulle. (remarque : la dérivée première (3.12, -2.03) f minimum pourrait aussi ne pas exister en ce point.) –3 MAT-1950 G. Heilporn 2016  20 Application La fonction de coût total d’une entreprise est donnée par 𝐶 𝑞 = 𝑞 D − 48𝑞 4 + 600𝑞. On observe que : – la dérivée 𝐶′ 𝑞 est nulle en les points maximum et minimum ; – la dérivée 𝐶′ 𝑞 est positive lorsque la fonction 𝐶 𝑞 est croissante, soit sur l’intervalle précédant le maximum et sur l’intervalle suivant le minimum ; – la dérivée 𝐶′ 𝑞 est négative lorsque la fonction 𝐶 𝑞 est décroissante, soit sur l’intervalle entre le maximum et le minimum. MAT-1950 G. Heilporn 2016  21 Signe de f’’(x) et maximum/minimum de f(x) f' 5 maximum Dérivée seconde négative 𝒇’′ 𝒙 ≤ 𝟎 ⟺ 𝒇′(𝒙) décroissante. (0.21, 4.1) Puisqu’on identifie un maximum lorsque la dérivée 4 première passe de positive à négative, alors (𝒄, 𝒇(𝒄)) 3 est un maximum de la fonction 𝒇(𝒙) lorsque 𝒇’(𝒄) = 𝟎 et 𝒇’M 𝒄 < 𝟎. 2 a Dérivée seconde positive 𝒇’′ 𝒙 ≥ 𝟎 ⟺ 𝒇′(𝒙) croissante. 1 Puisqu’on identifie un minimum lorsque la dérivée première passe de négative à positive, alors (𝒄, 𝒇(𝒄)) –3 –2 –1 0 0 1 2 3 4 5 est un minimum de la fonction 𝒇(𝒙) lorsque 𝒇’(𝒄) = 𝟎 et 𝒇’M 𝒄 > 𝟎. –1 b Remarque : on suppose ici que les dérivées 𝑓’ 𝑥 et 𝑓’′ 𝑥 –2 (3.12, -2.03) existent sur les intervalles considérés. f minimum –3 f'' MAT-1950 G. Heilporn 2016  22 Identification d’un maximum/minimum de f(x) Si (𝒄, 𝒇(𝒄)) correspond à un maximum/minimum (local) de 𝑓(𝑥) sur un intervalle 𝐼, alors c satisfait à l’une des conditions suivantes: – 𝑐 est l’une des extrémités de 𝐼 ; – 𝒄 est une valeur critique de 𝒇(𝒙), c’est-à-dire que 𝒇’(𝒄) = 𝟎 ou 𝑓’(𝑐) n’existe pas. Soit 𝑓(𝑥) une fonction telle que 𝑓’(𝑥) et 𝑓’’(𝑥) existent sur un intervalle 𝐼, et soit 𝑐 ∈ 𝐼 tel que 𝑓’(𝑐) = 0 (𝑐 est une valeur critique de 𝑓(𝑥)). Alors : – si 𝑓’’(𝑐) < 0, alors (𝑐, 𝑓(𝑐)) correspond à un maximum de 𝑓(𝑥) ; – si 𝑓’’ 𝑐 > 0, alors (𝑐, 𝑓(𝑐)) correspond à un minimum de 𝑓(𝑥). MAT-1950 G. Heilporn 2016  23 Application 1 « Le profit total 𝑃(𝑞) (en $) qu’une entreprise tire de la vente de 𝑞 pièces électroniques est donné par la fonction 𝑃(𝑞) = −0.2𝑞 4 + 80𝑞 − 780. Combien de pièces l’entreprise doit-elle vendre pour réaliser un profit maximal, et quel est ce profit? » (Source: J. Hamel, L. Amyotte, Calcul différentiel, p.113) 𝑃M 𝑞 = −0.4𝑞 + 80 = 0 ⟺ 𝑞 = 200. 𝑃′M 𝑞 = −0.4, donc 𝑃MM 200 = −0.4 < 0 qui correspond à un maximum. On conclut que l’entreprise doit vendre 200 pièces afin de maximiser son profit. Le profit maximal sera de 𝑃 200 = −0.2 2004 + 80 200 − 780 = 7220 $. MAT-1950 G. Heilporn 2016  24 Application 2 « L’administrateur d’une salle de spectacle pouvant accueillir 2000 personnes sait qu’en fixant le prix du billet à 25 $ pour un spectacle, il y aura salle comble. Par contre, pour toute augmentation de 1 $ du prix du billet, il y aura une diminution des ventes de 50 billets. Déterminons à quel prix l’administrateur devrait vendre les billets pour que le revenu de leur vente soit maximal. » (Source: J. Hamel, L. Amyotte, Calcul différentiel, p. 294) Prix du billet ($) Augmentation ($) Nombre de billets vendus 25 25-25=0 2000 26 26-25=1 2000-1(50) 27 27-25=2 2000-2(50) x x-25 2000-(x-25)50=3250-50x MAT-1950 G. Heilporn 2016  25 Application 2 (suite) Contraintes sur le nombre de billets vendus : 3250 − 50𝑥 ≥ 0 3250 − 50𝑥 ≤ 2000 ⟺ 𝑥 ≤ 65 𝑒𝑡 𝑥 ≥ 25 Le prix du billet est donc 𝑥 ∈ [25,65]. Revenu 𝑅 𝑥 = 𝑥 3250 − 50𝑥 = 3250𝑥 − 50𝑥 4 𝑅 M 𝑥 = 3250 − 100𝑥 = 0 ⟺ 𝑥 = 32.50 $ est un point critique. 𝑅 MM 𝑥 = −100 et 𝑅 MM 32.50 = −100 < 0, donc 𝑥 = 32.50 $ correspond à un max local de 𝑅 𝑥. On calcule le revenu correspondant 𝑅 32.50 = 52812.50 $. Aux extrémités de l’intervalle : 𝑅 25 = 50000 $ et 𝑅 65 = 0 $. On conclut qu’un prix de 32.50 $ par billet permet de maximiser le revenu (maximum absolu). Le revenu maximal est 𝑅 32.50 = 52812.50 $. MAT-1950 G. Heilporn 2016  26 Application 3 Le revenu que procure la vente d’un article est lié au prix de vente unitaire 𝑝 de cet z @{|| article (en $) par l’expression 𝑅 𝑝 = 1500𝑝𝑒. Quelle valeur de 𝑝 permettrait de maximiser le revenu des ventes? À l’aide de Geogebra ou autre outil informatique de notre choix, on calcule la dérivée de la fonction 𝑅 𝑝. z z z @{|| @{|| @{|| 𝑅M𝑝 = 1500𝑒 − 15𝑝𝑒 = 0 ⇔ 15𝑒 100 − 𝑝 = 0 ⇒ 𝑝 = 100 (le terme exponentiel ne s’annule jamais) z z 𝑅 MM 𝑝 = −30𝑒 @{|| + 0.15𝑝𝑒 @{|| ⇒ 𝑅 MM 100 = −5.52 < 0 (Maximum) Un prix unitaire de 100 $ permet donc de maximiser le revenu des ventes. MAT-1950 G. Heilporn 2016  27 Application 4 Un produit est fabriqué à raison de 𝑞 exemplaires par semaine, pour un coût total de 4𝑞 4 + 300𝑞 + 10000 $. La demande hebdomadaire du produit est 𝑞 = 100 − 2 𝑝, 𝑝 étant le prix unitaire en $. Si le fabricant règle sa production sur la demande, quel niveau de production lui procurera un bénéfice maximum? On exprime le bénéfice en fonction du prix unitaire : 4 𝐵 𝑝 = 100 − 2 𝑝 𝑝 − 4 100 − 2 𝑝 − 300 100 − 2 𝑝 − 10000, et on calcule sa dérivée (info). @D€`f? €`AACC 𝐵M 𝑝 = = 0 ⇔ −3𝑝 + 84 𝑝 + 1100 = 0 ⇔ 𝑝 ≈ 1422.84 € @D€ €@AACC € 𝐵 MM 𝑝 = ⇒ 𝐶 MM 1422.84 = −0.05 < 0 (Maximum) 4€_ La production devrait être de 𝑞 = 100 − 2 1422.84 ≈ 25 exemplaires par semaine. MAT-1950 G. Heilporn 2016  28 Médiagraphie CHARRON, Gilles et PARENT, Pierre. 2014. Calcul différentiel, 8e éd., Chenelière Éducation, 509 p. HAMEL, Josée et AMYOTTE, Luc. 2014. Calcul différentiel, 2e éd. Les éditions du renouveau pédagogique, 597 p. WANER, Stefan et COSTENOBLE, Steven R.. 2004. Applied Calculus (third edition), Thomson Brooks Cole, 572 p. MAT-1950 G. Heilporn 2016  Calcul intégral MAT-1950 G. Heilporn 2018  2 Introduction MAT-1950 G. Heilporn 2018  3 Intégration, primitives et dérivées Intégrer une fonction (déterminer ses « primitives ») est l’opération inverse de la dérivation d’une fonction. Une fonction 𝐹 est une primitive de 𝑓 sur un intervalle 𝐼 si 𝐹’(𝑥) = 𝑓(𝑥) pour tout 𝑥 ∈ 𝐼. On écrit ‫ 𝑥 𝐹 = 𝑥𝑑 𝑥 𝑓 ׬‬+ 𝐶, avec 𝐶 une constante quelconque. Exemples : Fonction 𝑓(𝑥) Primitives 𝐹(𝑥) Une même fonction possède 2𝑥 𝑥 2, 𝑥2 + 1, 𝑥2 −7 de nombreuses primitives, 𝑥2 + 1 𝑥3 𝑥3 qui ne diffèrent que par + 𝑥 + 2, + 𝑥 + 103 3 3 une constante. 2𝑥 ln(𝑥 2 − 5), ln(𝑥 2 − 5) − 1 𝑥2 − 5 MAT-1950 G. Heilporn 2018  4 Primitives et intégrale indéfinie L’ensemble de toutes les primitives d’une fonction 𝑓(𝑥) est l’intégrale indéfinie de la fonction 𝒇(𝒙) : ‫ 𝑥 𝐹 = 𝑥𝑑 𝑥 𝑓 ׬‬+ 𝐶, où 𝐶 est une constante arbitraire. Exemples : (les formules sont présentées dans les diapositives suivantes) ‫ ׬‬2𝑥𝑑𝑥 = 𝑥 2 + 𝐶 2𝑥 ‫ 𝑥 ׬‬2−5 𝑑𝑥 = ln(𝑥 2 − 5) + 𝐶 MAT-1950 G. Heilporn 2018  5 Intégrales indéfinies : formules de base MAT-1950 G. Heilporn 2018  6 Formules élémentaires d’intégration 𝑥 𝑛+1 ‫ 𝑥𝑘 = 𝑥𝑑 𝑘 ׬‬+ 𝐶 ‫׬‬ 𝑥𝑛 𝑑𝑥 = + 𝐶 (pour 𝑛 ≠ −1) 𝑛+1 Exemples : ‫ ׬‬10 𝑑𝑥 = 10𝑥 + 𝐶 1 ‫ 𝑥 ׬‬7 𝑑𝑥 = 8 𝑥 8 + 𝐶 1 𝑥 −2 1 ‫ 𝑥 ׬‬3 𝑑𝑥 =‫׬‬ 𝑥 −3 𝑑𝑥 = =− +𝐶 −2 2𝑥 2 3 1 𝑥2 2 3 3 ‫= 𝑥𝑑 𝑥 ׬ = 𝑥𝑑𝑥 ׬‬ 2 3 +𝐶 = 3 𝑥2 +𝐶 remarque : 𝑥 = 𝑥 3 = 𝑥 𝑥2 2 1 −1 1 𝑥2 ‫׬‬ 𝑑𝑥 = ‫= 𝑥𝑑 𝑥 ׬‬ 2 1 +𝐶 = 2 𝑥+𝐶 𝑥 2 MAT-1950 G. Heilporn 2018  7 Formules élémentaires d’intégration (suite) 1 ‫ = 𝑥𝑑 ׬‬ln(𝑥) + 𝐶 ‫ 𝑥 𝑒 = 𝑥𝑑 𝑥 𝑒 ׬‬+ 𝐶 𝑥 න 𝑘1 𝑓(𝑥) ± 𝑘2 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑘1 න 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ± 𝑘2 ‫𝑥𝑑 𝑥 𝑔 ׬‬ Exemples : 1 ‫ 𝑥 ׬‬7 + 2 𝑑𝑥 = 8 𝑥 8 + 2𝑥 + 𝐶 1 2 3 ‫ ׬‬2𝑥 4 − 3𝑥 + 𝑑𝑥 = 𝑥 5 − 𝑥 2 + ln(𝑥) + 𝐶 𝑥 5 2 5 ‫ ׬‬3𝑒 𝑥 + 4 − 𝑥 𝑑𝑥 = 3𝑒 𝑥 + 4𝑥 − 5 ln 𝑥 + 𝐶 MAT-1950 G. Heilporn 2018  8 Formules élémentaires d’intégration (suite 2) 1 1 1 ‫׬‬ 𝑑𝑥 = ln 𝑎𝑥 + 𝑏 + 𝐶 ‫𝑥𝑎 𝑒 ׬‬+𝑏 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑎𝑥+𝑏 + 𝐶 𝑎𝑥+𝑏 𝑎 𝑎 (avec 𝑎, 𝑏 des constantes) Exemples : 2 2 ‫ ׬‬5𝑥+3 𝑑𝑥 = 5 ln(5𝑥 + 3) + 𝐶 1 ‫ 𝑒 ׬‬3𝑥 𝑑𝑥 = 3 𝑒 3𝑥 + 𝐶 2 ‫ ׬‬2𝑒 𝑥/5 𝑑𝑥 = 1/5 𝑒 𝑥/5 + 𝐶 = 10𝑒 𝑥/5 + 𝐶 MAT-1950 G. Heilporn 2018  9 Application 1 Le coût marginal de fabrication d’une casquette de base-ball, à un niveau de production de 𝑥 casquettes, est de 3.2 − 0.001𝑥 $ par casquette, et le coût de fabrication de 50 casquettes est de 200 $. Déterminer la fonction de coût. (Source : WANER, S. et COSTENOBLE, S. R., Applied Calculus (third edition), Thomson Brooks Cole, 2004, p. 359) On donne 𝐶′ 𝑥 = 3.2 − 0.001𝑥, donc 𝑥2 𝐶 𝑥 = ‫ ׬‬3.2 − 0.001𝑥 𝑑𝑥 = 3.2𝑥 − 0.001 + 𝐾 = 3.2𝑥 − 0.0005𝑥 2 + 𝐾 2 D’autre part, 𝐶 50 = 200. ⇒ 200 = 3.2 50 − 0.0005 50 2 + 𝐾 ⇔ 𝐾 = 41.25 La fonction de coût de fabrication est donc 𝐶 𝑥 = 3.2𝑥 − 0.0005𝑥 2 + 41.25. Remarque: Les coûts fixes sont de 41.25 $, puisque ce montant est associé à une production nulle. MAT-1950 G. Heilporn 2018  10 Application 2 « Des analystes d’une compagnie d’articles de plein air estiment que, pour la fabrication de leurs bouteilles d’eau, le coût marginal et le revenu marginal sont 𝑞 1 6 donnés par les fonctions 𝐶𝑚 𝑞 = + et 𝑅𝑚 𝑞 = (en milliers de $), où 4 𝑞+1 𝑞 𝑞 ∈ [0, 20] est le nombre d’unités produites en milliers. Si les coûts fixes sont de 15 milliers de dollars, déterminer les fonctions revenu R et coût C. » (Source : CHARRON, Gilles et PARENT, Pierre. 2009. Calcul intégral, 4e éd., Beauchemin Chenelière Éducation, p. 114) MAT-1950 G. Heilporn 2018  11 Application 2 (suite) 6 6 Revenu : 𝑅′ 𝑞 = ⇒𝑅 𝑞 =‫׬‬ 𝑑𝑞 = 12 𝑞 + 𝐾1. 𝑞 𝑞 Puisqu’on peut supposer que 𝑅 0 = 0, on a 0 = 12 0 + 𝐾1 , donc 𝐾1 = 0. La fonction de revenu est 𝑅 𝑞 = 12 𝑞. 𝑞 1 𝑞 1 𝑞2 Coût : 𝐶′ 𝑞 = + ⇒𝐶 𝑞 =‫׬‬ + 𝑑𝑞 = + ln 𝑞 + 1 + 𝐾2. 4 𝑞+1 4 𝑞+1 8 02 On nous dit que 𝐶 0 = 15, donc 15 = + ln 0 + 1 + 𝐾2 , donc 𝐾2 = 15. 8 𝑞2 La fonction de coût est 𝐶 𝑞 = + ln 𝑞 + 1 +15. 8 MAT-1950 G. Heilporn 2018  12 Intégration par substitution MAT-1950 G. Heilporn 2018  13 Intégration par substitution On utilise ici une méthode similaire à la dérivation des fonctions composées, et ce qu’on appelle un « changement de variable ». On veut calculer ‫𝑔 ׬‬′ 𝑓 𝑥 𝑓 ′ 𝑥 𝑑𝑥. Posons 𝑢 = 𝑓 𝑥. Calculons aussi la « différentielle de u » : d𝑢 = 𝑓′ 𝑥 d𝑥. Alors l’intégrale plus haut devient : ‫𝑔 ׬‬′ 𝑢 𝑑𝑢. Exemple : ‫ ׬‬3𝑥 2 𝑥 3 + 2 5 𝑑𝑥 on pose 𝑢 = 𝑥 3 + 2. Donc d𝑢 = 3𝑥 2 d𝑥. Changement de variables : ‫ ׬‬3𝑥 2 𝑥 3 + 2 5 𝑑𝑥 = ‫ 𝑢 ׬‬5 𝑑𝑢 1 1 = 6 𝑢6 + 𝐶 = 6 (𝑥 3 + 2)6 +𝐶 MAT-1950 G. Heilporn 2018  14 Intégration par substitution : méthode 1) Poser 𝑢 = 𝑓 𝑥. 2) Calculer d𝑢 = 𝑓′ 𝑥 d𝑥. 3) Changement de variable : remplacer 𝑓 𝑥 par 𝑢 et 𝑓′ 𝑥 d𝑥 par d𝑢 pour obtenir une intégrale en termes de 𝑢. 4) Calculer l’intégrale obtenue grâce aux formules élémentaires. 5) Remplacer tous les 𝑢 par 𝑓 𝑥 dans la réponse afin d’exprimer celle-ci en termes de 𝑥. MAT-1950 G. Heilporn 2018  15 Intégration par substitution : utilisation On utilise cette méthode : – lorsque les formules élémentaires ne sont pas suffisantes ; – lorsqu’on reconnaît une fonction et l’expression de sa dérivée (à une constante près) dans la même intégrale. 𝑥−1 Exemple : ‫ 𝑥 ׬‬2 −2𝑥+5 𝑑𝑥. – On pose 𝑢 = 𝑥 2 − 2𝑥 + 5. On calcule d𝑢 = 2𝑥 − 2 d𝑥 = 2(𝑥 − 1)d𝑥. 𝑥−1 1 1 1 – Changement de variable : ‫׬‬ 𝑑𝑥 = ‫𝑢𝑑 ׬‬ car 𝑥 − 1 d𝑥 = d𝑢 𝑥 2 −2𝑥+5 2 𝑢 2 – Intégration et remplacement en termes de 𝑥 : 1 1 1 1 ‫𝑢𝑑 ׬‬ 2 𝑢 = 2 ln 𝑢 + 𝐶 = 2 ln 𝑥 2 − 2𝑥 + 5 + 𝐶. MAT-1950 G. Heilporn 2018  16 Exemple 1 Source : Diapositives adaptées du livre TAN, Soo et MESSIER, Colette, Calcul différentiel (édition révisée), Les Éditions Reynald Goulet inc., 2007. MAT-1950 G. Heilporn 2018  17 Exemple 2 Source : Diapositives adaptées du livre TAN, Soo et MESSIER, Colette, Calcul différentiel (édition révisée), Les Éditions Reynald Goulet inc., 2007. MAT-1950 G. Heilporn 2018  18 Application 1 Le taux d’augmentation du nombre de livres vendus en ligne aux Etats-Unis entre début 83 𝑒 1.97𝑡 2012 et fin 2015 peut être approximé par la fonction logistique 𝑅 𝑡 = en 22+𝑒 1.97𝑡 millions de livres par année (0 ≤ 𝑡 ≤ 4). a) Déterminez la fonction du nombre de livres vendus en ligne par rapport au temps, durant cette période. b) Quel est le nombre total de livres vendus en ligne durant cette période ? (Source : WANER, S. et COSTENOBLE, S. R., Applied Calculus (third edition), Thomson Brooks Cole, 2004, p. 368) Soit 𝑁(𝑡) le nombre de livres vendus en ligne en fonction du temps 𝑡. 83 𝑒 1.97𝑡 83 𝑒 1.97𝑡 On a 𝑁′(𝑡) = , donc 𝑁 𝑡 = ‫ ׬‬22+𝑒 1.97𝑡 𝑑𝑡. 22+𝑒 1.97𝑡 MAT-1950 G. Heilporn 2018  19 Application 1 (suite) Posons 𝑢 = 22 + 𝑒 1.97𝑡 , donc d𝑢 = 1.97𝑒 1.97𝑡 d𝑡. 83 𝑒 1.97𝑡 83 1 Changement de variables : 𝑁 𝑡 = ‫ ׬‬22+𝑒 1.97𝑡 𝑑𝑡 = ‫׬‬ 𝑑𝑢 1.97 𝑢 = 42.1 ln 𝑢 + 𝐶 = 42.1 ln 22 + 𝑒 1.97𝑡 + 𝐶. Soit 𝑁 𝑡 = 42.1 ln 22 + 𝑒 1.97𝑡 + 𝐶. 𝑁 0 = 0 ⇒ 0 = 42.1 ln 22 + 𝑒 1.97(0) + 𝐶 ⇔ 𝐶 = −42.1 ln 23 ≈ −132. Donc 𝑁 𝑡 = 42.1 ln 22 + 𝑒 1.97𝑡 − 132 millions de livres. 𝑁 4 = 42.1 ln 22 + 𝑒 1.97(4) − 132 ≈ 200 millions de livres vendus entre début 2012 et fin 2015. MAT-1950 G. Heilporn 2018  20 Intégrales définies MAT-1950 G. Heilporn 2018  21 Théorème fondamental du calcul intégral Ce théorème exprime le lien entre une intégrale définie de 𝑓(𝑥) sur un intervalle et la primitive 𝐹(𝑥) de 𝑓(𝑥). Si 𝐹(𝑥) est une primitive de 𝑓(𝑥), c’est-à-dire si 𝐹’(𝑥) = 𝑓(𝑥) sur [𝑎, 𝑏], alors : 𝑏 ‫ 𝑏 𝐹 = 𝑥𝑑 𝑥 𝑓 𝑎׬‬− 𝐹(𝑎). Pour évaluer une intégrale définie de 𝑓(𝑥) sur un intervalle, il s’agit donc de déterminer une primitive 𝐹(𝑥) de 𝑓(𝑥), puis de l’évaluer aux bornes de l’intervalle. MAT-1950 G. Heilporn 2018  22 Utilité de l’intégrale définie : aire sous une courbe L’aire sous la courbe de 𝑓(𝑥) sur l’intervalle [𝑎, 𝑏] correspond à l’intégrale définie de 𝒇(𝒙), depuis 𝑥 = 𝑎 jusque 𝑥 = 𝑏, notée : 𝑏 ‫𝑥𝑑 𝑥 𝑓 𝑎׬‬. c Bornes inférieure et supérieure Variable Intégrande d’intégration d’intégration MAT-1950 G. Heilporn 2018  a a 23 90 Évaluation d’une intégrale définie 80 70 60 Évaluons l’aire sous la courbe 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 sur l’intervalle 50 [1, 4]. 40 4 4 𝑥4 ‫׬‬1 𝑥 3 𝑑𝑥 = 4 1 30 1 4 255 = 4 − 14 = = 63.75 20 4 4 10 a 0 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 a MAT-1950 G. Heilporn 2018  24 Application 1 Votre compagnie de téléphone cellulaire a décidé de tarifer les appels d’une façon très originale. Lorsque vous réalisez un appel, le coût marginal de la 𝑡ème minute est donné 20 par 𝑐 𝑡 = $ par minute. Estimez le coût d’un appel de 60 minutes. 𝑡+100 (Source : WANER, S. et COSTENOBLE, S. R., Applied Calculus (third edition), Thomson Brooks Cole, 2004, p. 373) 60 20 60 Le coût de l’appel est ‫׬‬0 𝑑𝑡 = 20 ln(𝑡 + 100) 0 ≈ 9.4 𝑡+100 MAT-1950 G. Heilporn 2018  25 Application 2 Sur la période 2000-2010, le nombre de téléavertisseurs en usage aux Etats-Unis variait à un taux de −0.4𝑡 2 + 3𝑡 + 0.75 millions de téléavertisseurs par année, où 𝑡 est le temps en années depuis 2000. Quel a été le changement dans le nombre de téléavertisseurs en usage durant la période 2004-2010? (Source : WANER, S. et COSTENOBLE, S. R., Applied Calculus (third edition), Thomson Brooks Cole, 2004, , p. 380) Sur la période 2000-2010, le nombre de téléavertisseurs en3 usage en fonction du temps 𝑡 3 est donné par 𝑁 𝑡 = ‫ ׬‬−0.4𝑡 2 + 3𝑡 + 0.75 𝑑𝑡 = −0.4 + 𝑡 2 + 0.75𝑡 + C. 3 2 Entre 2004 et 2010, le changement dans le nombre de téléavertisseurs en usage était 10 10 𝑡3 3 2 ‫׬‬4 −0.4𝑡 2 + 3𝑡 + 0.75 𝑑𝑡 = −0.4 3 + 2 𝑡 + 0.75𝑡 = 5.7 millions. 4 Le nombre de téléavertisseurs a donc augmenté de 5.7 millions entre 2004 et 2010. MAT-1950 G. Heilporn 2018  26 Application : valeur moyenne d’une fonction La valeur moyenne d’une fonction 𝑓(𝑥) sur un intervalle [𝑎, 𝑏] est : 1 𝑏 𝑓ҧ = ‫׬‬ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥. 𝑏−𝑎 𝑎 Exemple : « Après 𝑡 années, la valeur d’un placement de 5000 $ portant un taux composé continuellement de 2% est 𝑉 𝑡 = 5000𝑒 0.02𝑡. Quelle est la valeur moyenne du placement au cours des cinq dernières années? » (Source: AMYOTTE, L., Calcul intégral, 2e éd., Les Éditions du renouveau pédagogique inc., 2014, p. 200) 1 5 𝑓 ҧ = ‫׬‬0 5000𝑒 0.02𝑡 𝑑𝑥 5 1 5000 0.02𝑡 5 = 𝑒 = 50000 𝑒 0.02 5 − 1 ≈ 5259 $ 5 0.02 0 MAT-1950 G. Heilporn 2018  27 Autre exemple Un commerçant estime le nombre d’unités vendues d’un certain bien à 𝑁 𝑡 = 20 + 5𝑒 −𝑡/18 , où 𝑡 est le temps en semaines depuis le début d’une campagne publicitaire. Quel est le nombre moyen d’unités vendues par semaine, au cours des 10 semaines suivant le début de la campagne publicitaire? (Source: AMYOTTE, L., Calcul intégral, 2e éd., Les Éditions du renouveau pédagogique inc., 2014, p. 200) 1 10 𝑓ҧ = ‫׬‬ 20 + 5𝑒 −𝑡/18 𝑑𝑡 10 0 1 10 = 20𝑡 − 5(18)𝑒 −𝑡/18 0 10 = 20 − 9 𝑒 −10/18 − 1 ≈ 24 MAT-1950 G. Heilporn 2018  28 Médiagraphie AMYOTTE, Luc. 2014. Calcul intégral, 2e éd., Les Éditions du renouveau pédagogique inc., 473 p. CHARRON, Gilles et PARENT, Pierre. 2009. Calcul intégral, 4e éd., Beauchemin Chenelière Éducation, 465 p. STEWART, James. 2014. Calcul intégral. Groupe Modulo Inc., 455 p. WANER, Stefan et COSTENOBLE, Steven R. 2004. Applied Calculus (third edition), Thomson Brooks Cole, 572 p. MAT-1950 G. Heilporn 2018  Optimisation MAT-1950 G. Heilporn 2016  2 Modélisation de programmes linéaires MAT-1950 G. Heilporn 2016  3 Programme linéaire et optimisation On cherche à optimiser (maximiser/minimiser) une fonction objectif (ou fonction économique) de plusieurs variables 𝑥" , … , 𝑥% sous différentes contraintes. max/min 𝑐" 𝑥" + 𝑐. 𝑥. + ⋯ + 𝑐% 𝑥% Fonction objectif linéaire sous les contraintes : (max ou min) 𝑎"" 𝑥" + 𝑎". 𝑥. + ⋯ + 𝑎"% 𝑥% ≥/=/≤ 𝑏" 𝑎." 𝑥" + 𝑎.. 𝑥. + ⋯ + 𝑎.% 𝑥% ≥/=/≤ 𝑏. ⋮ Contraintes linéaires 𝑎6" 𝑥" + 𝑎6. 𝑥. + ⋯ + 𝑎6% 𝑥% ≥/=/≤ 𝑏6 (de type ≥, = ou ≤) MAT-1950 G. Heilporn 2016  4 Modèle d’optimisation Compréhension : – Repérer les données et les contraintes – Identifier les variables (« qu’est-ce qu’on voudrait déterminer dans ce problème et que l’on ne connaît pas? ») et les représenter par des lettres (n’oubliez pas les unités). Modélisation : – Décrire les relations entre les variables (avec des mots d’abord) – Exprimer la fonction objectif sous forme d’une équation (en utilisant les variables) – Exprimer les contraintes sous forme d’équations (à l’aide des variables) MAT-1950 G. Heilporn 2016  5 Application 1 Carole s’occupe de recueillir des dons pour une banque alimentaire. Pour cela, elle effectue des appels téléphoniques ou se rend sur les lieux de travail pour rencontrer des dirigeants d’entreprise ou des syndicats. D’expérience, elle sait qu’il lui faut consacrer 1 heure au téléphone et ½ heure sur les lieux de travail pour obtenir un don de 100 $ des entreprises. Dans le cas des syndicats, ½ heure au téléphone ou 2 heures sur les lieux de travail lui permettent de recueillir 200 $. Au cours d’un mois de sollicitation, Carole passe au plus 10 heures à faire des appels téléphoniques et 12 heures à faire des visites sur les lieux de travail. Formulez le programme linéaire qui lui permettrait de répartir judicieusement son énergie entre les deux types de donateurs de façon à recueillir le plus d’argent possible. (Source: L. Amyotte, p. 431) MAT-1950 G. Heilporn 2016  6 Application 1 (suite) Soit 𝑥 le nombre d’entreprises sollicitées et 𝑦 le nombre de syndicats sollicités. max 100𝑥 + 200𝑦 (maximiser les revenus) s.l.c. : " 𝑥 +. 𝑦 ≤ 10 (temps consacré aux appels téléphoniques) ". 𝑥 + 2𝑦 ≤ 12 (temps consacré sur les lieux de travail) 𝑥≥0 (nombre d’entreprises sollicitées) 𝑦≥0 (nombre de syndicats sollicités) MAT-1950 G. Heilporn 2016  7 Application 2 « Un marchand de café prépare deux mélanges de café moulu. La composition de chacun des mélanges (A et B) est décrite dans le tableau ci-dessous. Le marchand dégage un bénéfice de 0.80 $/kg du mélange A et de 1.00 $/kg du mélange B. Il dispose de 18 kg de colombien noir, de 5 kg de colombien brun, de 4 kg d’arabica noir et de 6 kg d’arabica brun. Formulez le programme linéaire dont la solution permettrait au marchand de déterminer la quantité à préparer de chaque mélange pour maximiser son profit. » (Source: L. Amyotte, p. 431) Colombien Colombien Arabica Arabica noir brun noir brun Mélange A 60% 10% 10% 20% Mélange B 50% 20% 15% 15% MAT-1950 G. Heilporn 2016  8 Application 2 (suite) Soit 𝑥 la quantité (en kg) du mélange A à préparer et 𝑦 la quantité (en kg) du mélange B à préparer. max 0.8𝑥 + 𝑦 (maximiser les profits) s.l.c. : 0.6𝑥 + 0.5𝑦 ≤ 18 (quantité de colombien noir utilisée vs. disponible) 0.1𝑥 + 0.2𝑦 ≤ 5 (quantité de colombien brun utilisée vs. disponible) 0.1𝑥 + 0.15𝑦 ≤ 4 (quantité d’arabica noir utilisée vs. disponible) 0.2𝑥 + 0.15𝑦 ≤ 6 (quantité d’arabica brun utilisée vs. disponible) 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0 (quantités des mélanges A et B à préparer) MAT-1950 G. Heilporn 2016  9 Application 3 « Le responsable des achats d’une entreprise doit se procurer au moins 210 chaises, 120 bureaux et 80 tables d’ordinateur pour le nouveau siège social. Deux fournisseurs vendent des meubles de bureau en lots qui ne peuvent être fractionnés. La compagnie AB propose des lots de 30 chaises, 10 bureaux et 10 tables d’ordinateur pour 2000 $, tandis que la compagnie AC propose des lots de 20 chaises, de 30 bureaux et de 10 tables d’ordinateur pour 2000 $. Combien de lots faut-il acheter de chacun de ces fournisseurs pour minimiser le coût total? » (Source : A. Ross, p. 284) MAT-1950 G. Heilporn 2016  10 Application 3 (suite) Soit 𝑥 le nombre de lots achetés du fournisseur AB, 𝑦 le nombre de lots achetés du fournisseur AC. On doit résoudre le problème : min 2000𝑥 + 2000𝑦 (minimiser les coûts) s.l.c. : 30𝑥 + 20𝑦 ≥ 210 (nombre de chaises commandées) 10𝑥 + 30𝑦 ≥ 120 (nombre de bureaux commandés) 10𝑥 + 10𝑦 ≥ 80 (nombre de tables d’ordinateur commandées) 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0 (nombre de lots achetés de chaque fournisseur) MAT-1950 G. Heilporn 2016  11 Résolution graphique de problèmes à deux variables MAT-1950 G. Heilporn 2016  12 Représentation graphique d’inéquations linéaires à 2 variables On veut représenter 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 ≤/≥ 𝑐 : 200 – Tracer la droite 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐. – Choisir un point en dehors de la droite (le point 150 (0,0) facilite souvent les calculs, s’il n’est pas sur la droite). 100 – Si le point satisfait l’inéquation, l’ensemble des 50 points du même côté de la droite satisfait l’inéquation ; sinon, il s’agit de l’ensemble des 0 points de l’autre côté de la droite. –150 –100 –50 0 50 100 150 200 250 Exemple : 5𝑥 + 4𝑦 ≤ 480 –50 –100 MAT-1950 G. Heilporn 2016  13 Rappel : comment tracer une droite? Ex. : 2𝑥 + 3𝑦 = 6 On identifie 2 points de la droite, par exemple : – 𝑥 = 0 ⇒ 2 0 + 3𝑦 = 6 ⇒ 𝑦 = 2 ⇒ point (0,2) – 𝑦 = 0 ⇒ 2𝑥 + 3(0) = 6 ⇒ 𝑥 = 3 ⇒ point (3,0). Les nombres sont choisis au hasard, donc on a intérêt à les choisir de façon à faciliter les calculs autant que possible. On trace la droite. MAT-1950 G. Heilporn 2016  14 Domaine réalisable Région admissible ou ensemble des solutions 120 réalisables d’un système d’inéquations (et d’équations). C’est l’ensemble des points qui 100 satisfont toutes les contraintes d’un problème de 80 programmation linéaire. Exemple : 60 5𝑥 + 4𝑦 ≤ 480 40 3𝑥 + 4𝑦 ≤ 320 Domaine réalisable 𝑥≥0 20 𝑦≥0 0 –40 –20 0 20 40 60 80 100 120 –20 MAT-1950 G. Heilporn 2016  15 Recherche de l’optimum Il est possible de prouver que l’optimum (max ou min) d’un problème d’optimisation linéaire se situe à l’un des sommets du domaine réalisable. Optimum pour Afin d’identifier l’optimum, on calcule les 𝑥 = 96, 𝑦 = 0, et coordonnées de chaque sommet, puis on la valeur de la f.o. compare la valeur de la fonction objectif en est de 288. chacun de ces sommets. Exemple : max 3𝑥 + 2𝑦 sous les contraintes : 5𝑥 + 4𝑦 ≤ 480 3𝑥 + 4𝑦 ≤ 320 𝑥≥0 𝑦≥0 MAT-1950 G. Heilporn 2016  16 Application 1 (suite de p. 6) max 100𝑥 + 200𝑦 s.l.c. : " 𝑥 +. 𝑦 ≤ 10 ". 𝑥 + 2𝑦 ≤ 12 𝑥≥0 𝑦≥0 On identifie le maximum au point D : 𝑥 = 8, 𝑦 = 4. résolution du système " 𝑥 + 𝑦 = 10 d’équations : G". 𝑥 + 2𝑦 = 12. MAT-1950 G. Heilporn 2016  17 Application 2 (suite de p. 8) max 0.8𝑥 + 𝑦 s.l.c. : 0.6𝑥 + 0.5𝑦 ≤ 18 0.1𝑥 + 0.2𝑦 ≤ 5 0.1𝑥 + 0.15𝑦 ≤ 4 0.2𝑥 + 0.15𝑦 ≤ 6 𝑥≥0 𝑦≥0 On identifie le maximum au point (17.5,15). résolution du système 0.6𝑥 + 0.5𝑦 = 18 d’équations : H 0.1𝑥 + 0.15𝑦 = 4 MAT-1950 G. Heilporn 2016  18 Médiagraphie AMYOTTE, Luc et HAMEL, Josée. 2009. Introduction à l’Algèbre linéaire et à ses applications, 3e éd., Éditions du renouveau pédagogique Inc., 593 p. ROSS, André. 2003. Algèbre linéaire et géométrie vectorielle – Applications en sciences humaines. Les éditions Le Griffon d’argile, 410 p. MAT-1950 G. Heilporn 2016 Statistiques descriptives MAT-1950 G. Heilporn 2016  2 Introduction « Selon un sondage mené en mars 2015 auprès de 1500 Canadiens par DesRosiers Automotive, 12,1% des personnes interrogées ont affirmé que la baisse du prix de l’essence les inciterait à acheter un véhicule plus tôt que prévu. » http://auto.lapresse.ca/actualites/201504/06/01-4858549-le-prix-de- lessence-ninflue-pas-sur-les-achats-de-voitures.php Statistiques descriptives : ensemble des techniques visant à résumer l’information contenue dans un ensemble de données à l’aide de graphiques, de tableaux et d’indicateurs numériques. MAT-1950 G. Heilporn 2016  3 Vocabulaire et types de variables MAT-1950 G. Heilporn 2016  4 Population vs échantillon Unité statistique (ou individu) : élément de base de toute analyse statistique. Ces éléments doivent être distincts mais de même nature (personnes, objets, etc…). Population : l’ensemble des unités statistiques sur lequel portent les conclusions de l’étude. Échantillon : sous-ensemble de la population. Idéalement, on voudrait que ce sous-ensemble représente bien la population. MAT-1950 G. Heilporn 2016  5 Variables Variable : caractéristique ou propriété que l’on souhaite étudier. Cette caractéristique doit être définie et mesurée de la même manière pour chaque unité statistique. Modalités (niveaux): les différentes possibilités pour la variable parmi les individus de la population. Dans le cas d’une variable quantitative (voir p. 6), on parlera aussi de « valeurs » de la variable. Variable Modalités Sexe : masculin ou féminin Habitude d’achat : centre-ville, centre commercial, Internet État matrimonial : célibataire, marié, veuf, divorcé Âge au dernier anniversaire : 1, 2, 3, …, 99, … MAT-1950 G. Heilporn 2016  6 Types de variables Variables qualitatives (les modalités sont des qualités, des attributs – même s’il y a éventuellement une codification numérique arbitraire) – Nominale (nom=étiquette, code) – Ordinale (il existe un certain ordre entre les modalités) Variable quantitative (valeurs numériques) – Discrète (valeurs isolées, entières à modalités dénombrables, càd qu’on pourrait éventuellement toutes les énumérer) – Continue (toutes les valeurs d’un intervalle réel) MAT-1950 G. Heilporn 2016  7 Exemples MAT-1950 G. Heilporn 2016  8 Tableaux de fréquences MAT-1950 G. Heilporn 2016  9 Tableaux de fréquence (ou distribution) Effectifs ou fréquences absolues Présentation: 1) titre, 2) identification des colonnes, 3) totaux, 4) source Fréquences relatives Source des tableaux: AMYOTTE, Luc. Méthodes quantitatives, applications à la recherche en Sciences humaines, 3e édition, 2011, Éditions du Renouveau pédagogique inc. (pour toutes les diapositives de cette section) MAT-1950 G. Heilporn 2016  10 Présentation des tableaux de fréquence MAT-1950 G. Heilporn 2016  11 Regroupement en classes Lorsque le nombre de modalités est trop élevé (k>14) 100% 100% MAT-1950 G. Heilporn 2016  12 Fréquences cumulées Fréquences cumulées MAT-1950 G. Heilporn 2016  13 Calcul des fréquences cumulées MAT-1950 G. Heilporn 2016  14 Représentations graphiques MAT-1950 G. Heilporn 2016  15 Diagramme circulaire (en secteurs) Parts provinciales des revenus d’exploitation des services d’ingénierie et d’architecture, 2010 (http://www.ic.gc.ca/eic/site/si- is.nsf/fra/ai02291.html). MAT-1950 G. Heilporn 2016  16 Diagramme circulaire (2) (Angle au centre = fréquence x 360°) Exportations canadiennes d’aliments et de boissons transformés, janvier à novembre 2013 (https://www.fcc-fac.ca/fr/agriconnaissances/tribune-agroeconomique/le-redressement-de-l- economie-mondiale-favorise-les-exportations-agricoles-canadiennes.html). MAT-1950 G. Heilporn 2016  17 Diagramme à bandes horizontales Variation des dépenses en construction, comparaison entre 2011 et 2008, en % (http://www.ic.gc.ca/eic/site/si-is.nsf/fra/ai02291.html). MAT-1950 G. Heilporn 2016  18 Diagramme à bandes horizontales (2) Longueur proportionnelle fréquence Degré de confiance accordé aux groupes environnementaux (http://fr.slideshare.net/cguy/sondage-crop-les-valeurs-des-jeunes-qubcois). MAT-1950 G. Heilporn 2016  19 Diagramme à bandes verticales Niveaux d’émission de radiofréquences: densité de puissance moyenne mesurée à proximité d’appareils domestiques d’usage courant (http://compteurs.hydroquebec.com/la- technologie/). MAT-1950 G. Heilporn 2016  20 Diagramme à bandes verticales (2) Hauteur proportionnelle fréquence MAT-1950 G. Heilporn 2016 *  21 Diagramme en bâtons Nombre de personnes absentes par jour dans une entreprise (http://nobelis.eu/photis/Desgraph/batons.html). MAT-1950 G. Heilporn 2016  22 Courbe des fréquences cumulées Retards moyens quotidiens sur une ligne ferroviaire pour 200 jours en 2010 (http://www.itse.be/statistique2010/co/exercice_retards.html). MAT-1950 G. Heilporn 2016  23 Histogramme Surface proportionnelle fréquence Largeur = amplitude de la classe Revenu d’emploi d’été de 50 étudiants (source: *, voir diapositive 17). MAT-1950 G. Heilporn 2016  24 Polygone d’effectifs ou de fréquences Répartition de 20 salles de production selon le niveau de bruit (http://fbegin.ep.profweb.qc.ca/ZJAA2009/SolPT1ZJAA2009.htm). Relier les milieux des sommets de rectangles, en ajoutant des rectangles de fréquences nulles aux deux extrémités MAT-1950 G. Heilporn 2016  25 Courbe des fréquences cumulées Répartition de 20 salles de production selon le niveau de bruit (http://fbegin.ep.profweb.qc.ca/ZJAA2009/SolPT1ZJAA2009.htm). Relier les sommets supérieurs droits des rectangles, en ajoutant un point de fréquence nulle à l’extrémité inférieure gauche du premier rectangle MAT-1950 G. Heilporn 2016  26 Graphique vs. Type de données Source: Notes du cours de MAT350, École de Technologie Supérieure, par Sylvie Gervais, 2012. MAT-1950 G. Heilporn 2016  27 Mesures de tendance centrale MAT-1950 G. Heilporn 2016  28 Moyenne 𝟏 " = ∑𝒏𝒊(𝟏 𝒙𝒊 Données non groupées (brutes): 𝒙 𝒏 où x1, x2,…, xn désignent les observations d’une variable X pour les n unités statistiques de l’échantillon. 𝟏 " = ∑𝒌𝒊(𝟏 𝒇𝒊 𝒙𝒊 Données groupées par valeurs: 𝒙 𝒏 où x1, x2,…, xk désignent les k valeurs distinctes dans l’échantillon, où f1, f2,…, fk désignent les fréquences associées aux différentes valeurs. 𝟏 " = ∑𝒌𝒊(𝟏 𝒇𝒊 𝒎𝒊 Données groupées en classes: 𝒙 𝒏 où m1, m2,…, mk désignent les milieux des k classes dans l’échantillon, où f1, f2,…, fk désignent les fréquences associées aux différentes classes. MAT-1950 G. Heilporn 2016  29 Utilisation de la moyenne La statistique la plus utilisée MAIS affectée par des valeurs extrêmes! Par exemple: n åx i 1 + 3 + 5 + 7 + 9 25 x= i =1 = = =5 n 5 5 n åx i 1 + 3 + 5 + 7 + 14 30 x= i =1 = = =6 n 5 5 MAT-1950 G. Heilporn 2016  30 Médiane Valeur qui se situe au milieu de la série d’observations lorsque ces dernières sont rangées en ordre croissant (ou décroissant). X (ordre croissant) Médiane Au plus 50% des obs. Au plus 50% des obs. sont < Médiane sont > Médiane Pas affectée par des valeurs extrêmes. MAT-1950 G. Heilporn 2016  31 Calcul de la médiane Données non groupées: Ranger les n observations en ordre croissant. ieme ! n +1 $ Si n est impair, la médiane est la #" 2 &% observation. ième ième Si n est pair, la médiane est définie comme le point milieu entre la æç n2 ö÷ et la æn ö ç + 1÷ è ø è2 ø observation. MAT-1950 G. Heilporn 2016  32 Calcul de la médiane (2) Données groupées par valeurs: La médiane est la première valeur dont la fréquence relative cumulée dépasse 0,5 (ou dont la fréquence absolue cumulée atteint ou dépasse n/2). Données groupées en classes: La classe médiane est la première classe où la fréquence relative cumulée atteint ou dépasse 0,5 (= dont la fréquence absolue cumulée atteint ou dépasse n/2). MAT-1950 G. Heilporn 2016  33 Exemple Distribution de fréquence des salaires hebdomadaires de 75 employés. MAT-1950 G. Heilporn 2016  34 Mode Valeur de l’observation la plus fréquente, c’est la donnée ou classe à laquelle est associée le maximum des effectifs ou des fréquences. Pour des données groupées en classes, la classe modale est celle qui possède le plus haut rectangle de l’histogramme. Remarques : – Pas affecté par les valeurs extrêmes; – Il peut y avoir plusieurs modes, ou aucun mode; – Peut être identifié pour tous les types de variables. MAT-1950 G. Heilporn 2016  35 Mesures de dispersion MAT-1950 G. Heilporn 2016  36 Minimum, maximum et étendue Le minimum est la plus petite valeur présente dans les données, alors que le maximum est la plus grande valeur dans les données. Utilité: indique quelle est la plage de valeurs couverte par les données, ce qui permet de donner une idée de leur dispersion. Éventuellement, cela peut aussi être utilisé pour détecter des valeurs incohérentes/aberrantes dans la base de données. On parle aussi de l’étendue des données: Étendue = Vmax – Vmin Données groupées en classes: Étendue = Limsup – Liminf MAT-1950 G. Heilporn 2016  37 Variance Variance: mesure de la dispersion des données autour de la moyenne. Données non groupées: 𝟏 𝟏 𝒔𝟐 = 𝒏.𝟏 ∑𝒏𝒊(𝟏 𝒙𝒊 − 𝒙 " 𝟐 = 𝒏.𝟏 ∑𝒏𝒊(𝟏 𝒙𝒊 𝟐 − 𝒏𝒙 "𝟐 Données groupées par valeurs: 𝟏 𝒔𝟐 = 𝒏.𝟏 ∑𝒌𝒊(𝟏 𝒇𝒊 𝒙𝒊 𝟐 − 𝒏𝒙 "𝟐 Données groupées en classes: 𝟏 𝒔𝟐 = 𝒏.𝟏 ∑𝒌𝒊(𝟏 𝒇𝒊 𝒎𝒊 𝟐 − 𝒏𝒙 "𝟐 Propriétés: toujours positive ou nulle, elle est influencée par des valeurs extrêmes MAT-1950 G. Heilporn 2016  38 Écart-type Écart-type : racine carrée de la variance. s = s2 MAT-1950 G. Heilporn 2016  39 Notations Population Échantillon – Taille 𝑁 – Taille 𝑛 – Moyenne 𝜇 – Moyenne 𝑥̅ – Écart-type 𝜎 – Écart-type 𝑠 MAT-1950 G. Heilporn 2016  40 Mesures de position MAT-1950 G. Heilporn 2016  41 Quartiles Divisent la série d’observations en quatre parties égales lorsque ces dernières sont rangées en ordre croissant (ou décroissant). Min Q1 Q2 Q3 Max Au plus 25% des Le 2e quartile Au plus 25% des observations sont Q2 est aussi la observations sont inférieures au 1e médiane. Au supérieures au 3e quartile Q1 (et au plus 50% des quartile Q3 (et au plus 75% des observations lui plus 75% des observations sont sont inférieures observations sont supérieures à Q1) (supérieures). inférieures à Q3) MAT-1950 G. Heilporn 2016  42 Calcul des quantiles Graphiquement: Repérer la valeur correspondant à α% dans la courbe des fréquences cumulées (ou dans le tableau des fréquences). Algébriquement: – Calculer la valeur α% × n Si on obtient un entier, le quantile est la moyenne entre la (α% × n)ème observation et la suivante. Sinon, le quantile est l’observation dont le rang est l’entier qui suit (α% × n). MAT-1950 G. Heilporn 2016 Calculs de probabilités MAT-1950 G. Heilporn 2016  2 Vocabulaire et définitions des probabilités MAT-1950 G. Heilporn 2016  3 Définitions Expérience aléatoire C’est une expérience dont les résultats individuels sont imprévisibles mais dont l’ensemble des résultats possibles est connu. Espace échantillonnal (espace fondamental) C’est l’ensemble de tous les résultats possibles associés à une expérience. On le désigne par la lettre S. Événement C’est tout ce qui peut survenir à la suite d’une expérience aléatoire : on dit que c’est un sous-ensemble de S. Il est désigné par une lettre majuscule (A, B, C, …). MAT-1950 G. Heilporn 2016  4 Exemples Expérience Espace Événement On lance un dé. {1, 2, 3, 4, 5, 6} Le résultat est pair. A = {2, 4, 6} On lance deux dés. {(1,1), (1, 2), (1,3),…,(6,6)} La somme des résultats est 7. B = {(1, 6), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3)} On choisit une carte {as de cœur, 2 de cœur, …, roi La carte tirée est un as. dans un jeu de 52 de pique} C = {as de cœur, as de carreau, cartes. as de trèfle, as de pique} Sondage sur l’intention {PQ, PLQ, CAQ, QS, Autre} L’individu vote pour le parti QS. de vote. D = {QS} MAT-1950 G. Heilporn 2016  5 Définition et propriétés des probabilités Soit A un événement associé à une expérience aléatoire. La probabilité que l’événement A est notée 𝑃(𝐴). Propriétés fondamentales des probabilités: – Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1. – La somme des probabilités associées à tous les résultats possibles d’une expérience aléatoire est 1. – La probabilité associée à l’espace échantillonnal P(S)=1. On dit qu’il s’agit d’un événement certain. – La probabilité associée au vide P(Ø)=0. On dit qu’il s’agit d’un événement impossible. MAT-1950 G. Heilporn 2016  6 Exemple On sélectionne un étudiant dans la classe, et on s’intéresse au fait qu’il porte ou non des lunettes. Soient les deux événements possibles – A = l’étudiant porte des lunettes – B = l’étudiant ne porte pas de lunettes L’espace échantillonnal est S={A, B} et P(S)=1. 0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1 et 0 ≤ 𝑃(𝐵) ≤ 1. 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 = 1. MAT-1950 G. Heilporn 2016  7 Cas particulier: modèle uniforme Si un résultat possible de l’expérience aléatoire a la même probabilité d’apparaître que chacun des autres résultats possibles, alors la probabilité d’un événement E est définie comme suit: nombre de cas favorables à E P (E) = nombre de cas possibles Exemple 1: On lance une pièce de monnaie non biaisée deux fois de suite, et on s’intéresse à la probabilité d’obtenir au moins un « Face ». – l’espace échantillonnal est S={(P,P),(F,F),(P,F),(F,P)} (4 cas possibles) – l’événement est E={(F,F),(P,F),(F,P)} (3 cas favorables) – la probabilité cherchée est P(E)=3/4. MAT-1950 G. Heilporn 2016  8 Exemple 2 Pour contrôler la qualité d’un lot de pièces produites par une machine, on prélève successivement 3 pièces de ce lot et, pour chacune d’elles, on note si elle est bonne (B) ou défectueuse (D). Vérifier que l’espace fondamental S est de taille 8. Quelle est la probabilité de l’événement A : « obtenir au moins 2 pièces défectueuses »? A = ( B, D, D), ( D, B, D), ( D, D, B), ( D, D, D) donc on obtient P(A)=4/8=1/2. Quelle est la probabilité de l’événement B: « obtenir une pièce défectueuse au 2ième tirage et une bonne pièce au 3ième tirage »? B = ( B, D, B), ( D, D, B) donc on obtient P(B)=2/8=1/4. MAT-1950 G. Heilporn 2016  9 Arbres de probabilités MAT-1950 G. Heilporn 2016  10 Arbre de probabilités Les arbres de probabilités peuvent être très utiles pour schématiser un problème, et vous guider vers la solution plus efficacement. Voici deux exemples de base, essayez de les utiliser en exercice quant c’est possible. Exemple 1 Une urne contient 4 boules bleues et 5 rouges. On tire deux boules sans remise. Question: Quelles sont les probabilités associées à la couleur de la première boule tirée? MAT-1950 G. Heilporn 2016  11 Arbre de probabilités (2) Exemple 1 Une urne contient 4 boules bleues et 5 rouges. On tire deux boules sans remise. Question: Quelles sont les 4 probabilités associées à la 9 couleur de la seconde boule tirée (étant donnée la couleur de la première boule tirée)? 5 9 MAT-1950 G. Heilporn 2016  12 Arbre de probabilités (3) Exemple 1 Une urne contient 4 boules bleues et 5 rouges. On tire deux boules sans remise. 4 3 12 3 P ( BB ) =  = 9 8 72 8 5 4 8 9 5 4 9 8 4 8 MAT-1950 G. Heilporn 2016  13 Arbre de probabilités (4) Exemple 1 Une urne contient 4 boules bleues et 5 rouges. On tire deux boules sans remise. 4 3 12 3 P ( BB ) =  = 9 8 72 8 72 5 Total = =1 4 72 8 4 5 20 9 P ( BR ) =  = 9 8 72 5 4 5 4 20 9 8 P ( RB ) =  = 9 8 72 4 8 5 4 20 P ( RR ) =  = Question: Et si le tirage 9 8 72 était “avec remise”? MAT-1950 G. Heilporn 2016  14 Arbre de probabilités (5) Exemple 2 Une urne contient 4 boules bleues et 5 rouges. On tire deux boules avec remise. 4 4 16 4 P ( BB ) =  = 9 9 9 81 5 81 4 Total = =1 9 81 4 5 20 9 P ( BR ) =  = 9 9 81 5 4 5 4 20 9 P ( RB ) =  = 9 9 9 81 5 9 5 5 25 P ( RR ) =  = 9 9 81 MAT-1950 G. Heilporn 2016  15 Application « Sur 20 étudiants inscrits à un cours de statistique avancée, 16 ont réussi et 4 ont échoué. On définit une expérience aléatoire comme suit : on tire le nom d’un étudiant de la liste des 20 tudiants inscrits, puis le nom d’un second étudiant de la liste des 19 étudiants restants, et on inscrit la performance de ces deux étudiants. » (Source : Lind et Al., Méthodes statistiques pour les sciences de la gestion, Chenelière, 2007, p. 177) MAT-1950 G. Heilporn 2016  16 Règles de calcul des probabilités MAT-1950 G. Heilporn 2016  17 Événement contraire Règle #1 P( A) + P ( A' ) = P( S ) P( A) + P ( A' ) = 1 Diagramme de Venn Événement contraire de A, on le note aussi AC MAT-1950 G. Heilporn 2016  18 Exclusion Règle #2 P ( A \ B) = P( A) − P ( A  B) Note: P ( A \ B) = P ( A - B) A « inter » B, l’intersection des 2 événements A « excluant » B MAT-1950 G. Heilporn 2016  19 Union Règle #3 A B P ( A  B) = P( A) + P (B ) − P ( A  B) Question: Comment calcule-t-on la probabilité de l’union A « ou » B de deux événements disjoints (incompatibles)? Réponse: l’intersection de A et B est vide, donc on doit seulement additionner P(A) et P(B). MAT-1950 G. Heilporn 2016  20 Exemple 1 Ne pas considérer cet exemple de la version avec commentaire audio. MAT-1950 G. Heilporn 2016  21 Exemple 2 Dans une classe de 30 étudiants, 12 suivent un programme à temps partiel (TP). Sept étudiants ont au moins un enfant (E), et 5 d’entre eux étudient à temps partiel. Si on choisit au hasard un étudiant de la classe, quelle est la probabilité que cet étudiant suive un programme à temps plein et n’ait pas d’enfant? Résumé des informations disponibles: P(TP)=12/30 ; P(E)=7/30 ; P(TPÇ E)=5/30 On cherche P(TP’Ç E’). Aidons-nous d’un diagramme de Venn: zone recherchée TP E Donc 𝑃 𝑇𝑃′ ∩ 𝐸 ′ = 1 − 𝑃 𝑇𝑃 ∪ 𝐸 7 5 2 = 1 − 𝑃 𝑇𝑃 − 𝑃 𝐸 − 𝑃 𝑇𝑃 ∩ 𝐸 12 7 5 16 =1− − + = 30 30 30 30 MAT-1950 G. Heilporn 2016  22 Application « Une étude des formulaires de réclamation soumis à une société d’assurances par les employés d’une université de la région du grand Toronto indique les résultats suivants : 8 % des employés ont déposé une réclamation pour des frais médicaux importants, 15 % pour des frais dentaires importants, et 3 % pour des frais médicaux et dentaires importants. Quelle est la probabilité qu’un employé choisi au hasard fasse une réclamation pour des frais médicaux ou dentaires importants ? » (Source : Lind et Al., Méthodes statistiques pour les sciences de la gestion, Chenelière, 2007, p. 191) MAT-1950 G. Heilporn 2016  23 Probabilités conditionnelles MAT-1950 G. Heilporn 2016  24 Probabilités conditionnelles La probabilité que l’événement B se réalise sachant que l’événement A s’est réalisé se calcule ainsi : P ( B  A ) avec ( ) P ( B|A ) = P A 0 P( A) On dit probabilité de B sachant A. MAT-1950 G. Heilporn 2016  25 Exemple 1 On lance un dé équilibré. Soit les deux événements suivants : A B 1 4 A : Obtenir un nombre plus petit que 5. 6 B : Obtenir un nombre pair. 3 2 Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre pair, sachant que ce nombre 5 est plus petit que 5? P ( B  A ) Probabilité d'obtenir un nombre pair et plus petit que 5 P ( B|A ) = = P(A) Probabilité d'obtenir un nombre plus petit que 5 2 2 1 = 6 = = 4 4 2 6 MAT-1950 G. Heilporn 2016  26 Exemple 2 Le gérant d’un supermarché a constaté que, sur une période de six mois, 38 % des clients achètent des croustilles (C), 42 % achètent des boissons gazeuses (G) et 34 % les deux. Si un client choisi au hasard a acheté des croustilles, quelle est la probabilité qu’il achète des boissons gazeuses ? P ( G Ç C ) 0,34 ( P G|C =) = = 0,8947 P( C ) 0,38 MAT-1950 G. Heilporn 2016  27 Application « Un échantillon de 225 entreprises a été tiré au hasard de la liste des mille plus grandes entreprises canadiennes en 2000. Les entreprises choisies ont été regroupées selon le secteur d’activité et selon les profits ou les pertes enregistrés en 2000. Le tableau ci-dessous résume les données. Secteur Profits Pertes Total Pétrolier 100 19 119 Technologie 35 71 106 Total 135 90 225 a) Quelle est la probabilité qu’une entreprise choisie au hasard ait enregistré un profit en 2000? b) Quelle est la probabilité qu’une entreprise choisie au hasard œuvre dans le secteur pétrolier? c) Quelle est la probabilité qu’une entreprise choisie au hasard œuvre dans le secteur pétrolier, sachant qu’elle a enregistré un profit en 2000? » (Source : Lind et Al., Méthodes statistiques pour les sciences de la gestion, Chenelière, 2007, p. 191) MAT-1950 G. Heilporn 2016  28 Variables aléatoires discrètes MAT-1950 G. Heilporn 2016  29 Définition Une variable aléatoire (v.a.) X est une fonction numérique associée à une expérience aléatoire. Une v.a. est discrète si on peut énumérer l’ensemble de ses valeurs possibles. Exemples : – On lance une pièce de monnaie 4 fois. On s’intéresse au nombre de « Face » obtenus. X = Nombre de F obtenus Valeurs possibles 0, 1, 2, 3, 4. – Un petit magasin d’électronique vend jusqu’à 7 téléviseurs par jour. X = Nombre de téléviseurs vendus chaque jour. Valeurs possibles 0, 1, …, 7. MAT-1950 G. Heilporn 2016  30 Distribution de probabilités Tableau (fonction) qui associe à chacune des valeurs de la variable X, la probabilité que X prenne cette valeur. X x1 x2 x3 … xn Total P(X=x) P(X=x1) P(X=x2) P(X=x3) P(X=xn) 1 Propriétés d’une distribution de probabilités: – Chaque probabilité est comprise entre 0 et 1 : 0 ≤ 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖 ) ≤ 1 – La somme de toutes les probabilités vaut 1 : σ𝑛𝑖=1 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖 ) = 1 MAT-1950 G. Heilporn 2016  31 Exemple 1 Un grossiste de fruits et légumes observe que la vente quotidienne de caisses de salade varie beaucoup durant la saison estivale. Il peut commander des lots de 500, 1000, 1500, 2000, 2500, 3000 ou 3500 caisses (on suppose qu'il ne vend pas plus de 3500 caisses par jour). La probabilité d'en vendre 1000 est la même que la probabilité d'en vendre 3500 et est le double de la probabilité d'en vendre 500. La probabilité d'en vendre 1500 est deux fois plus grande que la probabilité d'en vendre 1000. La probabilité d'en vendre 2500 est égale à la probabilité d'en vendre 3000 et est égale à 0,15. La probabilité d'en vendre 2000 est égale à 0,25. Établissez la distribution de probabilités de la vente quotidienne de caisses. MAT-1950 G. Heilporn 2016  32 Exemple 1 (suite) X = vente de caisses de salade par jour X 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 Total P(X=x) x 2x 4x 0,25 0,15 0,15 2x 1 9x+0,55=1 Donc x=0,05 P(X=x) 0,05 0,1 0,2 0,25 0,15 0,15 0,1 1 Le coût de distribution est de 3 $ par caisse et le coût d'achat de chaque caisse est de 2 $. Déterminez la distribution de probabilité du coût total par jour. Y = coût total par jour Y 2500 5000 7500 10000 12500 15000 17500 Total P(Y=y) 0,05 0,1 0,2 0,25 0,15 0,15 0,1 1 MAT-1950 G. Heilporn 2016  33 Exemple 2 La demande quotidienne d’un produit Q suit la distribution de probabilités ci-dessous. Q 0 1 2 3 4 5 6 Total P(Q=q) 0,05 0,15 0,25 0,30 0,15 0,05 0,05 1 Le stock est toujours de 5 unités en début de journée. Le prix de vente d’un article est de 400 $, et tout article invendu entraîne une perte de 100 $. Le coût d’une rupture de stock est de 40 $. Déterminez la distribution de probabilités des bénéfices quotidiens. MAT-1950 G. Heilporn 2016  34 Exemple 2 (suite) Y = bénéfice quotidien (en $) – 𝑄 = 0 ⇒ 𝑌 = −100(5) = −500 $ – 𝑄 = 1 ⇒ 𝑌 = 400 1 − 100(4) = 0 $ – … – 𝑄 = 5 ⇒ 𝑌 = 400(5) = 2000 $ – 𝑄 = 6 ⇒ 𝑌 = 400 5 − 40 = 1960 $ Le tablea