Cours Limites et Continuité 2BAC SM BIOF 2018-2019 PDF

Cours Limite et continuité avec Exercices avec solutions PROF: ATMANI NAJIB 2BAC SM BIOF LIMITE ET CONTINUITE I)LIMITE D’UNE FONCTION EN UN POINT...

Cours Limite et continuité avec Exercices avec solutions PROF: ATMANI NAJIB 2BAC SM BIOF LIMITE ET CONTINUITE I)LIMITE D’UNE FONCTION EN UN POINT Pour avoir ⇒|𝑓(𝑥)-6 | < 𝜀 il suffit d’avoir 8 x  1  COMPLEMENTS (limite à droite et à gauche et 1  1 opérations sur les limites) et x  1 cad x  1 et x  1 2 8 2 1)Rappelles ; Il suffit de prendre 𝛼 le plus petit des ]𝑎, 𝑏[= {𝑥 ∈ ℝ/𝑎 < 𝑥 < 𝑏}  1  1 1)Le centre de l’intervalle] 𝑎, 𝑏 [est le réel nombres : et cad   inf  ;  ab 8 2 8 2 x0  2 donc : lim f  x   6 x 1 2)Le rayon de l’intervalle ]𝑎, 𝑏[ est le réel positif 2)unicité de la limite ba Propriété :si une fonction admet une limite en r 2 Un point alors cette limite est unique 3)L’ensemble : ¨ a; b  x  / a x b  x0  où  Preuve : soit f une fonction qui admet une limite en x0 (raisonnement par l’absurde) x0 est le centre de l’intervalle ]𝑎, 𝑏[ : On suppose que f admet deux limites : l1  l2 S’appelle l’intervalle Pointé de bornes 𝑎 et 𝑏. 4)Si 𝑟 est le rayon de l’intervalle ]𝑎, 𝑏[ et x0 son l l En prend :   1 2 0 2 centre alors : a; b   x0  r; x0  r  x0   On a donc : x   x0  r; x0  r    x0   x  x0 r (∃𝛼1 >0)(∀𝑥∈𝐷𝑓)(00)(∀𝑥∈𝐷𝑓)(00)(∀𝑥∈𝐷𝑓)(00 tel que : x x0 x x0 0 0)(∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓)(0 ≤ |𝑥 − 𝑎| < 𝛼 ⇒ x 1 1  lim   1  f  0  |𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)| < 𝜀 x 0 tan x x  1  1 2 Exemple1 : Considérons la fonction f définie par Alors : lim f  x   f  0  x 0 sin  x  2  f  x  ; 𝑠𝑖 𝑥 ≠ 0 et 𝑥 ≠ 2 et f  2   1 2 Donc :𝑓 est continue en x0  0 x²  2 x Exercice6 : Considérons la fonction f définie Etudier la est continuité de 𝑓 en x0  2  sin  x  1 sin  x  2  1  f  x  ; si...x  1 Solution : lim f  x   lim   f  2  Alors : Par :  x 1 x 2 x 2 x x2 2  f 1  m  lim f  x   f  2  Donc :𝑓 est continue en x0  2 x 2 avec m paramètre réel Exemple2 : Considérons la fonction f définie par déterminer la valeur du réel m pour laquelle 1 f  x   2  x ² sin   ; 𝑠𝑖 𝑥 ≠ 0 et f  0   2 𝑓 est continue en x0  1 x sin  x  Etudier la est continuité de 𝑓 en x0  0 Solution : lim f  x   lim x 1 x 1 x 1 1 on pose : h  x 1 x 1  h 0 Solution : x   sin    1 donc : x sin   h  1  sin  h    lim f  x   lim  lim 1 x 1 h 0 h 0 f  x   2  x ² sin    x ² et on a lim x 2  0 h h  x x 0  sin  h   lim    Alors : lim f  x   2  f  0  h 0 h x 0 donc 𝑓 est continue en x0  1 ssi m   Donc :𝑓 est continue en x0  0 Exercice7 : Considérons la fonction 𝑓 définie par Exercice4 : Considérons la fonction f définie par x 3 1 f  x   E   ; 𝑠𝑖 𝑥 ≠ 0 et f  0   x ²  x  12 2 x f  x  ; 𝑠𝑖 𝑥 ≠ 3 et f  3  7 2 x 3 (𝐸 désigne la partie entière) Etudier la est continuité de 𝑓 en x0  3 3 x 1)Montrer que f  x    2 2 2)𝑓 est-elle continue en x0  0 ? Solution : Prof/ATMANI NAJIB Année Scolaire 2018-2019 Semestre1 4 1) on a : x  1 E  x   x x   3 3 3 Donc : x  1 E   x x x x3  x 3 x 3 SI x 0:   1 E    2 x  2 x 2 x 3 x 3 Cad :  f  x  2 2 2 x 3 Graphiquement : La courbe de f ne peut être donc :  f  x   0 2 2 tracée sur un intervalle comprenant 0, « sans lever le crayon ». 3 x donc : f  x     x   Définition :1) Soit 𝑓 une fonction définie sur un 2 2 intervalle de la forme [𝑎, 𝑎 + 𝑟[ où 𝑟 > 0 x 3 x 3 x3  On dit que la fonction 𝑓est continue à droite SI x 0:   E    1 2 x 2  x 2 x  de a si elle admet une limite finie à droite en 𝑎 3 Cad :  f  x  3 x  et lim f  x   f  a  : x a 2 2 2 3 x 2) Soit 𝑓 une fonction définie sur un intervalle de donc : 0  f  x    la forme a  r ; a  où 𝑟 > 0 2 2 3 x On dit que la fonction 𝑓est continue à gauche donc : f  x    x   2 2 de a si elle admet une limite finie à gauche en 𝑎 3 x et lim f  x   f  a  finalement : f  x     x  x a 2 2 Exemple : Soit f définie par : 3 x x  f  x   3  x ²; si...x  0 2) on a f  x    et on a lim  0  2 2 x 0 2  x²  3  f  x  ; si...x 0 3  2x 1 Donc : lim f  x    f  0  x 0 2 Etudier la est continuité de 𝑓 à droite et à Donc :𝑓 est discontinue en x0  0 gauche de x0  0 x²  3 3) continuité à droite et à gauche Solution : lim f  x   lim  3  f 0 Exemple : Soit f définie sur R par : x 0 x 0 2 x  1 donc 𝑓 est continue à droite de x0  0  f  x   x ²; si...x  0   lim f  x   lim 3  x ²  3  f  0   f 1  2  x; si...x 0  x 0 x 0 lim f  x   lim x ²  0  f  0  donc 𝑓 est continue à gauche de x0  0 x 0 x 0 Théorème : Une fonction est continue en un On dit que 𝑓 est continue à gauche de x0  0 point 𝑎 si et seulement si elle est continue à lim f  x   lim 2  x  2  f  0  droite et à gauche de 𝑎 x 0 x 0 On dit que 𝑓 n’est pas continue à droite de 0 Donc : 𝑓 est continue en x0  0 ssi Et on a : lim f  x   lim f  x  lim f  x   lim f  x   f  a  x 0 x 0 x a  x a Donc, la limite en 0 n’existe pas. Exemple1 : Considérons la fonction f définie Conséquence : f ne peut être continue en 2  2x 1  f  x  ; si...x  2  7  3x Par :   f  x   x ²  x  6 ; si...x 2   x2 Prof/ATMANI NAJIB Année Scolaire 2018-2019 Semestre1 5 Etudier la est continuité de 𝑓 en x0  2 f en x0  1 La fonction f s’appelle un 2 2 1 5 prolongement par continuité de la fonction de 𝑓 Solution : on a : f  2    5 7  3 2 7  3 2 en -1 lim f  x   lim x²  x  6  lim  x  2  x  3 4- Peut-on prolonger 𝑓 par continuité en 𝑎 = −2 x 2 x 2 x2 x 2 x2 Solution : 1) lim f  x   lim x  3  5  f  2  x  D f  x 2  3x  2  0  x  1 et x  2 x 2 x 2 Donc f est continue adroite de 𝑓 en x0  2 Donc : D f   1; 2 2x 1 5 lim f  x   lim   5  f  2 x3  1  x  1  x 2  x  1 2) lim f  x   lim 2  lim x2 x 2 7  3x 1 x 1 x 1 x  3 x  2 x 1  x  1 x  2  Donc f est continue gauche en x0  2 x2  x  1 Donc f est continue en x0  2 lim f  x   lim 3 x 1 x 1 x2 x²  1 1  D f donc 𝑓 n’est pas continue en x0  1 Exemple2: Soit la fonction f : x si x  1 x 1  f  x   f  x  ; si...x  1 Et : f 1  2 3) a)  donc : D f   2  f  1  3 Etudier la la continuité de 𝑓 en x0  1 b) lim f  x   3  f  1 Solution : x   1 x 1 x²  1 donc f est continue en x0  1 lim f  x   lim  lim x  1  2  f 1 x 1 x 1 x  1 xx11 x3  1 x 1 x 1 4) lim f  x   lim 2 ? x 2 x 1 x  3 x  2 donc 𝑓 est continue à droite de x0  1 x²  1 lim x3  1  7 lim f  x   lim  lim  x  1  2  f 1 x 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x  1 x 1 x 1 lim x 2  3x  2  0 donc : lim f  x    x 2 x 2 donc 𝑓 n’est pas continue à gauche de x0  1 Donc on ne peut pas prolonger 𝑓 par continuité donc 𝑓 n’est pas continue en x0  1 en 𝑎 = −2 On 2dit que 𝑓 est discontinue en x0  1 Théorème et définition : Soit 𝑓 une fonction 4) Prolongement par continuité dont l’ensemble de définition est D f ; 𝑎 un réel Activité : Soit la fonction ℎ définie par tel que a  D f et lim f  x   l (finie) x a x 1 3 f  x  2  f  x   f  x  ; si...x  a x  3x  2 La fonction f définie par :  1- Déterminer l’ensemble de définition de la  f  a   l fonction 𝑓. Est une fonction continue en 𝒂 et s’appelle un 2- Déterminer la limite lim f  x  , 𝑓 est-elle prolongement par continuité de la fonction x 1 continue en x0  1 ? 𝑓 en 𝑎 Exemple : Soit 𝑓 une fonction définie par 3- Soit la fonction f définie par : 1  cos x f  x  Donner un prolongement par  f  x   f  x  ; si...x  1 x  continuité de la fonction 𝑓 en x0  0  f  1  3 1  cos x 1  cos x a) Déterminer D f Solution : lim f  x   lim  lim x 0 x 0 x 0 x x 0 x² b) Etudier la continuité de la fonction 1  cos x 1 Car : lim  x 0 x² 2 Prof/ATMANI NAJIB Année Scolaire 2018-2019 Semestre1 6 Donc La fonction f définie par : a) 𝑓 + 𝑔 b) 𝑓 × 𝑔 c) |𝑓| Sont des fonctions continues en 𝑎  f  x   f  x  ; si...x  0  2)Si 𝑓 et 𝑔 sont deux fonctions continues en 𝑎  f  0   0 et 𝑔(𝑎) ≠ 0 alors Est une prolongement par continuité de la 1 f a) b) sont des fonctions continues en 𝑎. fonction 𝑓 en x0  0 g g Exercice 8 :Soit la fonction ℎ définie par 3) Si 𝑓 une fonction continue en 𝑎 et 𝑓(𝑎) ≥ 0 x²  x  6 alors : f est continue en 𝑎 h  x  (𝐸 désigne la partie entière) x  E  x Remarque :La propriété précédente reste vraie Peut-on prolonger ℎ par continuité en 𝑎 = 2 ? soit à droite de 𝑎, à gauche de 𝑎 ou sur un III) OPERATIONS SUR LES FONCTIONS intervalle 𝐼 (En tenant compte des conditions) CONTINUES. Propriétés :1) Tout fonction polynôme est 1) Continuité sur un intervalle continue sur ℝ Définition : 2) Les fonctions 𝑠𝑖𝑛 et 𝑐𝑜𝑠 sont continue sur ℝ Soit 𝑓 une fonction dont le domaine de définition Exemples : est D f , soit ]𝑎, 𝑏[ un intervalle inclus dans 𝐷𝑓 1) h  x   x ²  x  3 1) On dit que 𝑓 est continue sur l’ouvert] 𝑎, 𝑏 [si x²  x  3 Est continue sur ℝ car c’est une elle est continue en tout point de ]𝑎, 𝑏[ fonction polynôme donc elle est continue sur ℝ 2) On dit que 𝑓 est continue sur [𝑎, 𝑏[ si elle est de plus (∀𝑥 ∈ ℝ)( x²  x  3 ≥ 0) continue sur ]𝑎, 𝑏[ et à droite de 𝑎 (Son discriminant Δ est négatif) 3) On dit que 𝑓 est continue sur [𝑎, 𝑏] si elle est x 4  x3  6 2) g  x   est continue sur : continue sur ]𝑎, 𝑏[, à droite de 𝑎 et à gauche de 𝑏 x²  2 x  3 Remarque : ] − ∞,−3[ ; sur ] − 3,1[ et sur ]1, +∞[. 1) Si une fonction 𝑓 est continue sur [𝑎, 𝑏] et sur 3) La fonction 𝑡𝑎𝑛 est continue sur tous le [𝑏, 𝑐] elle est continue sur [𝑎, 𝑐] intervalles de la forme : ]−𝜋/2+ 𝑘𝜋 ;𝜋/2+ 𝑘𝜋[ 2) En général si 𝑓 est continue sur un intervalle 𝐼 (où 𝑘 ∈ ℤ ) et sur un intervalle 𝐽 et si 𝐼 ∩ 𝐽 ≠ ∅ alors 𝑓 est 3) Continuité de la composition de deux continue sur 𝐼 ∪ 𝐽. fonctions. 3) 𝑓 peut-être continue sur [𝑎, 𝑏[ et sur [𝑏, 𝑐] sans Théorème : Soient 𝑓 une fonction définie sur un qu’elle soit continue sur [𝑎, 𝑐] intervalle 𝐼 et 𝑔 une fonction définie sur un Dans le graphique ci-dessous 𝑓 est continue sur intervalle 𝐽 tels que 𝑓(𝐼) ⊂ 𝐽  1 et x0 un élément de 𝐼.  f  x   ; si...x 0 [−3,0[et  x 1) Si 𝑓 est continue en x0 et 𝑔 continue en 𝑓( x0 )  f  x   x ²; si...x  0  alors 𝑔𝑜𝑓 est continue en x0. 2) Si 𝑓 est continue 𝐼 et 𝑔 continue en 𝑓(𝐼) alors 𝑔𝑜𝑓 est continue 𝐼. Preuve : (En utilisant la définition) Montrons que : (∀𝜀 > 0)(∃ 𝛼 > 0)(|𝑥 − x0 | < 𝛼 ⇒ continue sur [0, 2] mais pas continue sur [−3,0] |(𝑔𝑜𝑓)(𝑥) − (𝑔𝑜𝑓)( x0 )| < 𝜀 car elle n’est pas continue en 0 On a 𝑔 est continue en 𝑓( x0 ) donc : 2) Opérations sur les fonctions continues (∀𝜀 > 0)(∃ 𝛽 > 0)(|𝑡 − 𝑓( x0 )| < 𝛽 ⇒ Propriétés :1)Si 𝑓 et 𝑔 sont deux fonctions |𝑔(𝑡) − 𝑔(𝑓( x0 ))| < 𝜀 (𝑅) continues en 𝑎 alors : Prof/ATMANI NAJIB Année Scolaire 2018-2019 Semestre1 7 et puisque 𝑓(𝐼) ⊂ 𝐽 donc : (∀𝑥 ∈ 𝐼)(𝑓(𝑥) ∈ 𝐽) 1 et (∀𝑥 ∈ ℝ) ( ∈ ℝ) et 𝑠𝑖𝑛 est continue sur ℝ (On pose 𝑡 = 𝑓(𝑥) dans (𝑅) ) on obtient : x²  1 (∀𝜀 > 0)(∃ 𝛽 > 0)(|𝑓(𝑥) − 𝑓( x0 )| < 𝛽 ⇒ 3) Limite de 𝒗𝒐𝒖 |𝑔(𝑓(𝑥)) − 𝑔(𝑓( x0 ))| < 𝜀 (*) Théorème :Soit 𝑢 une fonction définie sur un intervalle pointé de centre x0 telle lim u  x   l Pour 𝛽 > 0 (∃𝛼 > 0) (|𝑥 − x0 | < 𝛼 ⇒ x x0 |𝑓(𝑥) − 𝑓( x0 )| < 𝛽(car 𝑓 est continue en x0 ) si 𝑣 est continue en 𝑙 alors lim  v u  x   v  l  x x0 ⇒ |𝑔(𝑓(𝑥)) − 𝑔(𝑓( x0 ))| < 𝜀 (*) C.Q.F.D Preuve :On a : lim u  x   l ∈ ℝ donc 𝑢 admet x x0 Exemples :1) Soit 𝑓 une fonction définie par f  x   cos  2 x²  3x  4  un prolongement par continuité u définie u  x   u  x  ; si...x  x0 Montrons que 𝑓 est continue sur ℝ comme :  Puisque les fonctions : f1 : x 2 x ²  3x  4 et u  x0   l f 2 : x cos x sont continues sur ℝ La fonction u étant continue en x0 ; et 𝑣 est Et f1   alors : f  f 2 f1 est continue continue en u  x0   l alors et d’après le sur ℝ théorème de la composition v u est continue 2) Soit g une fonction définie par en x0 et par suite : x g  x  1  sin ² x     lim  v u  x   lim v u  x   v u  x0   v  l  x x0 x x0 Montrons que g est continue sur  Exemples : Déterminer les limites suivantes : On a : Dg  0;  et Puisque la fonction :  1  cos x  1) lim sin   x  x 0  x²  g1 : x est continue sur et 1  sin ² x  x 1  2) lim cos    g1     et g2 : x x sont continue sur  x    x  1   Donc : g  g 2 g1 est continue sur Solution :1) 1  cos x 3) Soit 𝑓 et 𝑔 deux fonctions définies par Soient : f : x  et g : x sin x x²  f  x   x  1; si...x 0   et g  x   5 1  cos x    g est continue sur  f  x   0; si...x  0 Puisque : lim  x 0 x² 2 Montrons que 𝑓 est n’est pas continue en x0  0  Donc continue en x0  donc : et h  g f est continue en x0  0 2  1  cos x    En effet :on a f  0  0 lim sin     s in    1 x 0  x²  2 et lim f  x   lim x  1  1  f  0  x 0 x 0 1 1 2) puisque : lim  x  Et g est continue en x0  0 x  1 1 x mais on a :  g f  x   5 est continue en x0  0 Et la fonction : x cos x continue en   1  4) f  x   sin   est continue sur ℝ car  x 1   x²  1  donc : lim cos     cos   1 x   x  1  x x²  1 est continue sur ℝ et ne s’annule pas Exercice9 : Déterminer les limites suivantes : 1 sur ℝ donc : x est continue sur ℝ   tan x    x²  4 x  3  x²  1 1) lim cos   2) lim sin   x 0  3x  x   4 x²  7  Prof/ATMANI NAJIB Année Scolaire 2018-2019 Semestre1 8  2 x² Théorème : (Admis) 3) limsin L’image d’un segment [𝑎, 𝑏] par une fonction x 0 1  cos x  tan x  tan x  continue est le segment [𝑚, 𝑀] où :  lim  m  min f  x  et M  max f  x  Solution :1) lim x 0 3x x 0 3 x 3   x a ;b x a ;b et Puisque : x cos x est continue sur  Donc continue en x0  donc : 3   tan x    1 lim cos    cos    x 0  3x  3 2  x²  4 x  3  x²  2) lim  lim  x  4 x²  7 x  4 x ² 4 et Puisque : x sin x est continue sur  Donc continue en x0  donc : 4 Cas particulier :   x²  4 x  3   2 donc : lim sin    sin  1) Si 𝑓 est continue croissante sur [𝑎, 𝑏] alors x   4 x²  7  4 2 𝑓([𝑎, 𝑏]) = [𝑓(𝑎), 𝑓(𝑏)] 1  cos x 1 x² 2) Si 𝑓 est continue décroissante sur [𝑎, 𝑏] alors 3) on a : lim  donc : lim 2 4 x 0 x² 0 x 0 1  cos x 𝑓([𝑎, 𝑏]) = [𝑓(𝑏), 𝑓(𝑎)] 2 x² Remarque :La continuité dans le théorème donc : lim  2 : x x est continue en 4 x 0 1  cos x précèdent est suffisante mais pas nécessaire 2 x² Dans la figure ci-contre 𝑓 n’est pas continue donc : limsin  sin 2 car : x sin x est x 0 1  cos x continue en 2 IV) IMAGE D’UN INTERVALLE PAR UNE FONCTION CONTINUE 1) Image d’un segment (intervalle fermé) : Activité :Le graphe ci-contre est le graphe de la fonction f  x   x ²  2 x Mais 𝑓([0,2]) = [𝑓(2), 𝑓(1)] = [−1,2] 2) Image d’un intervalle. 2.1 Théorème général Théorème (admis) : L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle. Exemples : f  x   x ²  2 x Graphiquement en a : (le graphe ci-contre) f 1, 2  1,3 et f 0, 2   1,0 f  1,0  0,3 et f  2,    0,  1- Déterminer graphiquement les images des intervalles : I1 = [0,1] , I 2 = [−3,−1] ; I 3 = [−3,1] f  ,1   1,  2- Montrer algébriquement que 𝑓([−3,1]) = [−1,3] Remarque : L’intervalle 𝐼 et son image 𝑓(𝐼) par Rappelle : 𝑓(𝐼) = 𝐽 ⟺ 𝑓(𝐼) ⊂ 𝐽 et 𝐽 ⊂ 𝑓(𝐼) une fonction continue n’ont pas nécessairement ⟺ (∀𝑥 ∈ 𝐼)(𝑓(𝑥) ∈ 𝐽) et (∀𝑦 ∈ 𝐽)(∃𝑥 ∈ 𝐼)(𝑓(𝑥) = 𝑦 la même forme. Prof/ATMANI NAJIB Année Scolaire 2018-2019 Semestre1 9 2.2 Cas d’une fonction strictement monotone V) THEOREME DES VALEURS 1) 𝒇 continue et strictement croissante sur INTERMEDIERE – TVI. L’intervalle 𝑰 et a  I et b  I 1)Cas général   Théorème T.V.I :Soit 𝑓 une fonction continue sur f  a; b   f  a  ; f  b  et f  a; b    f  a  ;lim f  x   [𝑎, 𝑏].Pour tout 𝜆 compris entre 𝑓(𝑎) et 𝑓(𝑏) il  x b   x b  existe au moins un 𝑐 ∈ [𝑎, 𝑏] tel que 𝑓(𝑐) = 𝜆 Preuve :     Rappelons que : 𝑓(𝐼) = 𝐽 ⟺ (∀𝑥 ∈ 𝐼)(𝑓(𝑥) ∈ 𝐽) et f  a; b   lim f  x ; f  b  et f  a; b    lim f  x ;lim f  x    x a   x a x b  (∀𝑦 ∈ 𝐽)(∃𝑥 ∈ 𝐼)(𝑓(𝑥) = 𝑦  x a   x a x b  Soit 𝑓 une fonction continue sur un intervalle 𝐼 2) 𝒇 continue et strictement décroissante sur L’intervalle 𝑰 et a  I et b  I   f  a; b   f  b  ; f  a  et f  a; b    lim f  x ; f  a   x b   x b      f  a; b  f  b  ;lim f  x    et f  a; b   lim f  x ;lim f  x     x a   xb x a   x a   x b x a  Remarque :Si 𝑓 n’est pas strictement monotone sur l’intervalle 𝐼, on peut utiliser les propriétés 𝑎 et 𝑏 deux éléments de 𝐼 tels que : 𝑎 < 𝑏. précédentes en subdivisant On sait que 𝑓([𝑎, 𝑏]) = [𝑚, 𝑀] L’intervalle 𝐼 en intervalles où 𝑓 est strictement où m  min f  x  et M  max f  x  monotone et on utilise la propriété : x a ;b x a ;b f  I1  I 2   f  I1   f  I 2  On a donc 𝑓(𝑎) ∈ [𝑚, 𝑀] et 𝑓(𝑏) ∈ [𝑚, 𝑀]. Exemple : Soit 𝑓 une fonction définie par Soit 𝜆 compris entre 𝑓(𝑎) et 𝑓(𝑏) on a donc : 2x  3 𝜆 ∈ [𝑚, 𝑀] et puisque 𝑓([𝑎, 𝑏]) = [𝑚, 𝑀] donc 𝜆 f  x  x 1 admet au moins un antécédent 𝑐 dans l’intervalle Déterminer les images des intervalles suivants : [𝑎, 𝑏]. [0,1] ; [−2,-1[; ] − 1, 1] ; [2, +∞[ D’où pour tout 𝜆 compris entre 𝑓(𝑎) et 𝑓(𝑏) Solution : D f  ; 1  1;  il existe au moins un 𝑐 ∈ [𝑎, 𝑏] tel que 𝑓(𝑐) = 𝜆 2) Cas 𝒇 strictement monotone. 2 3  23 5 0 donc : 𝒇 continue et Théorème T.V.I (cas 𝒇 strictement monotone) 1 1 Soit 𝑓 une fonction continue strictement strictement croissante sur les intervalles ; 1 monotone sur [𝑎, 𝑏].  1  Pour tout 𝜆 compris entre 𝑓(𝑎) et 𝑓(𝑏) il existe un et 1;  donc on a : f  0;1   f  0  ; f 1    3;   2 et un seul 𝑐 ∈ [𝑎, 𝑏] tel que 𝑓(𝑐) = 𝜆   f  2; 1   f  2  ;lim f  x    7;    x 1   x 1     1 f  1;1   lim f  x ; f 1   ;   x1   2  x 1    1  f  2;     f  2  ;lim f  x     ;2   x   3  Prof/ATMANI NAJIB Année Scolaire 2018-2019 Semestre1 10 Remarque : L’expression " Pour tout 𝜆 compris il existe 3  0;1 tel que : g  3   0 entre 𝑓(𝑎) et 𝑓(𝑏) il existe un et un seul 𝑐 ∈ [𝑎, 𝑏] 1 tel que 𝑓(𝑐) = 𝜆 "peut-être formulée comme : donc l’équation : 4 x 3  3 x   0 admet 3 racines 2 " Pour tout 𝜆 compris entre 𝑓(𝑎) et 𝑓(𝑏) l’équation différentes dans chacune des intervalles: 𝑓(𝑥) = 𝜆 admet une solution unique dans [𝑎, 𝑏] 3) Corolaires  1  1;  2  ;  1  et 0;1   2 ; 0    Corolaire1 (T.V.I) :Soit 𝑓 une fonction continue Exemple2 : Montrer que l’équation : x 3  x  1  0 sur [𝑎, 𝑏].Si 𝑓(𝑎) × 𝑓(𝑏) < 0 il existe au moins un 𝑐 ∈ [𝑎, 𝑏] tel que 𝑓(𝑐) = 0 Admet une racine unique dans 1;0 Preuve :𝑓(𝑎) × 𝑓(𝑏) < 0 veut dire que : Solution : on considère la fonction : f tel que 𝑓(𝑎) et 𝑓(𝑏) ont des signes opposés donc 0 est f ( x)  x 3  x  1 compris entre 𝑓(𝑎) et 𝑓(𝑏) On prend 𝜆 = 0 dans  On a : f est est continue sur sur (car c’est le théorème général des valeurs intermédiaire. une fonction polynôme) donc continue sur Corolaire2 (T.V.I) : 1;0 Soit 𝑓 une fonction continue strictement  on a : f  1  1 et f  0   1 donc : monotone sur [𝑎, 𝑏].Si 𝑓(𝑎) × 𝑓(𝑏) < 0 il existe un et un seul 𝑐 dans [𝑎, 𝑏] tel que 𝑓(𝑐) = 0 f 1  f  1 0 4) Applications :  f ( x)  3x 2  1 0 sur 1;0 donc f strictement Exemple1 : Montrer que l’équation : 1 croissante sur 1;0 4 x 3  3 x   0 admet une racine dans chacune 2 Donc : d’après le (T.V.I) l’équation 𝑓(𝑥) = 0 des intervalles suivants :  1;  1  ;   1 ; 0  et 0;1 admet une solution unique dans 1;0  2  2  Exercice10 : Montrer que l’équation : cos x  x Solution : on considère la fonction : g tel que Admet au moins une racine dans intervalle : g ( x)  4 x3  3x  1 I   0;   2 Solution : cos x  x  cos x  x  0  On a : g est est continue sur sur (car c’est une fonction polynôme) donc continue sur tout On pose : f  x   cos x  x intervalle de  On a : f est est continue sur sur (car c’est la o Et on a : g  1   3 et g   1   1 donc : différence de deux fonctions continues) donc 2  2 2 continue sur I   0;    1  on a : f    1    0 et f  0   1 donc : g     g  1 0 donc :d’après le (T.V.I)  2 f  0   f    0  1 il existe 1   1;   tel que : g 1   0  2 Donc : d’après le (T.V.I) il existe   0;   tel que : f    0 o Et on a : g  0    1 et g   1   1 donc : 2  2 2 Exercice11 : Montrer que l’équation : 1  sin x  x  1 Admet au moins une racine dans intervalle : g     g 0 0 donc :d’après le (T.V.I)  2   2  I  ;  1   2 3  il existe  2    ;0  tel que : g  2   0  2  Solution : 1  sin x  x  1  sin x  x  0 o Et on a : g  0    1 et g 1  1 donc : On pose : f  x   1  sin x  x 2 2 g 1  g  0  0 donc :d’après le (T.V.I) Prof/ATMANI NAJIB Année Scolaire 2018-2019 Semestre1 11  On a : f est est continue sur sur (car c’est la Donc f  x   0 (car f    0 ) différence de deux fonctions continues) donc VI) FONCTIONS COMPOSEES ET   2  FONCTIONS RECIPROQUES. continue sur I   ;  2 3  1) Le théorème  4   on a : f    1 0 et Activité : Soit f  x   2 2 1  x2  2  6  3 3  4    2  1- Montrer que pour tout 𝑦 dans 𝐼 = [0, +∞ [, f   0 donc : f   f 0 l’équation 𝑓(𝑦) = 𝑥 admet une solution unique  3  6 2  3  Donc : d’après le (T.V.I) dans l’intervalle 𝐽 =]0,1] 2- Etudier la monotonie et la continuité de   2  il existe    ;  tel que : f    0 𝑓 sur ℝ 2 3  On dit que la fonction 𝒇 admet une fonction Exercice12 : on considère la fonction : f tel que réciproque de 𝑱 =]𝟎, 𝟏] vers 𝑰 = [𝟎, +∞[ f ( x)  x 3  x  1 Théorème :Soit 𝑓 une fonction définie continue 1) Montrer que l’équation : f  x   0 admet une et strictement monotone sur un intervalle 𝐼, On a solution unique  sur 𝑓 admet une fonction réciproque f 1 définie de 2) Montrer que l’équation : f  x   0 admet une 𝐽 = 𝑓(𝐼) vers 𝐼. Preuve : Puisque 𝑓 est continue et strictement solution unique   0;1 monotone alors l’image de l’intervalle 𝐼 est 3) étudier le signe de f  x  sur l’intervalle 𝐽 = 𝑓(𝐼) Solution : Donc 𝑓 est surjective par construction car : 1)a)On a : f est est continue sur (car c’est (∀𝑥 ∈ 𝐽 = 𝑓(𝐼))(∃𝑦 ∈ I)(𝑓(𝑦) = 𝑥) une fonction polynôme) Montrons que 𝑓 est injective de 𝐼 vers 𝑓(𝐼) b) f ( x)  3x 2  1 0 sur donc f strictement On suppose pour la démonstration que 𝑓 est croissante sur strictement croissante (même démonstration si 𝑓 est strictement décroissante) c) on a : f    f  ;     lim f  x ;lim f  x   Soient 𝑦1 et 𝑦2 deux éléments distincts de 𝐼 (On  x  x   suppose que 𝑦1 > 𝑦2)  ;  et on a : 0  f   On a donc (puisque 𝑓 est strictement croissante) donc d’après le (T.V.I) l’équation) l’équation 𝑓(𝑦1) > 𝑓(𝑦2) donc 𝑓(𝑦1) ≠ 𝑓(𝑦2) et finalement 𝑓 𝑓(𝑥) = 0 admet une solution unique  dans est injective 1) on a f est est continue sur  0;1 et donc 𝑓 est une bijection de 𝐼 vers 𝑓(𝐼) f  0   f 1 0 ( f  0   1 et f 1  1 ) D’où 𝑓 admet une fonction réciproque f 1 de et f strictement croissante sur  0;1 𝐽 = 𝑓(𝐼) vers 𝐼 et on a : Donc : d’après le (T.V.I) l’équation 𝑓(𝑥) = 0  f  y   x  y  f  x  1    admet une solution unique dans   0;1  y  I  x  f  I  3) étudions le signe de f  x  sur f f 1   x   x x  f  I  1cas : si x   alors f  x   f   (car f strictement f 1 f   y   y y  I croissante sur 2)Application : Donc f  x   0 (car f    0 ) Exemple1 : Soit f la fonction définie par : 2cas : si x   alors f  x   f   (car f strictement x 3 f  x  croissante sur x2 Prof/ATMANI NAJIB Année Scolaire 2018-2019 Semestre1 12 1) Montrer que la fonction g la restriction de f sur 1  Solution : 1) D f   ;    I intervalle I  2;  admet une fonction 2   réciproque g 1 définie sur un J qu’il faut 1    2 x  1 x   ;   f   x    2    2x  1  2 2x  1  1 2x  1 0 déterminer. 2) Déterminer g 1 ( x) pour tout x de l’intervalle J x 3 Solution : 1) f  x   D f  x  / x  2  0 x2 Df   2 Donc : f est strictement croissante et continue   1   x  3   x  3  x  2    x  3 x  2  1 x  2   1  x  3 sur :  ;    I f  x      2   x2  x  2  x  2 2 2 donc f admet une fonction réciproque f 1 5 f  x  0  1   x  2 définie sur J  f  I   f   ;      0;  2 2   f  y   x  y  f 1  x  2)    y  I  x  f  I   f  y   x puisque g est strictement croissante et continue   2 y  1  x  2 y  1  x2 sur : I  2;   y   0;  donc g admet une fonction réciproque g 1 définie x2  1  2y  x 1  y  2 sur J  g  I   g  2;    ;1 2 x2  1  g  y   x  y  g  x  1 Donc f  x   1 2)   2  y  I  x  g  I  1  f 1 :  0;   ;    g  y   x y 3 Donc : 2     x  y  3  x  y  2 x 1 2  y  2;  y2 x f 1  x   2  y  xy  2 x  3  y 1  x   2 x  3   3) C f 1 et  C f  sont symétriques par rapport à 2x  3 2x  3  y Donc g 1  x   :(Δ) 𝑦 = 𝑥 1 x 1 x g 1 : ;1 2;  Donc : 2x  3 x g 1  x   1 x Exercice 13: Soit f la fonction définie sur 1  I   ;   par : f  x   2 x  1 2  1) Montrer que la fonction f admet une fonction réciproque f 1 définie sur un J qu’il faut déterminer. 3) Propriété de la fonction réciproque 2) Déterminer f 1 ( x) pour tout x de l’intervalle J Propriété 1 :Si 𝑓 admet une fonction réciproque 3)Représenter  C f  et  C  f 1 dans le même f 1 de 𝐽 = 𝑓(𝐼) vers 𝐼 alors f 1 à la même monotonie sur 𝐽 que celle de 𝑓 sur 𝐼. repére orthonormé o, i, j   Preuve : Prof/ATMANI NAJIB Année Scolaire 2018-2019 Semestre1 13  f 1  x1   f 1  x2  y1  y2 6)(∀𝑥 ∈ ℝ+) (∀𝑎 ∈ ℝ+) n x  a  x  an T f 1   x1  x2 f  x1   f  x2  7)(∀𝑎 ∈ ℝ+) n x  a  0  x  an 1  x n T f 1  8)(∀𝑥 ∈ ℝ+) n  n xn  x f  x1   f  x2  y1  y2  x p 9)(∀𝑥 ∈ ℝ+)(∀𝑝 ∈ ℕ) n  n xp Donc le taux de f 1 sur 𝐽 à le même signe que 10) lim n x   le taux de 𝑓 sur 𝐼 x  Et on conclut. 11)Si lim u  x    alors lim n u  x    x x0 x x0 Propriété 2 :Si 𝑓 admet une fonction réciproque f 1 de 𝐽 = 𝑓(𝐼) vers 𝐼 alors C f 1 et  C f   sont 12)Si lim u  x   l et l  0 alors lim n u  x   n l x x0 x x0 n symétriques par rapport à :(Δ) 𝑦 = 𝑥 13)La courbe de la fonction Remarque : La symétrie des deux courbes concerne toutes leurs composantes ; les asymptotes ; les tangentes et demi-tangentes… Règle de calcul : 1) (∀𝑥 ∈ ℝ+)(∀𝑦 ∈ ℝ+) n x y  n x  n y n x x 2) (∀𝑥 ∈ ℝ+)(∀𝑦 ∈ ℝ∗+) n  y n y 4) La fonction racine 𝒏 − é𝒎𝒆 n p 4.1 Définition et règles de calculs 3) (∀𝑥 ∈ ℝ+)(∀𝑛 ∈ ℕ∗)(∀𝑝 ∈ ℕ∗) n p x x Propriété et définition : 4) (∀𝑥 ∈ ℝ+)(∀𝑛 ∈ ℕ∗)(∀𝑝 ∈ ℕ∗) n x  np xp Soit 𝑛 un élément de  ; la fonction : (à prouver) f : x x n est une fonction continue strictement Remarque :  croissante sur elle admet donc une fonction 1) (∀𝑥 ∈ ℝ+) 2 x  x réciproque f 1 de f    vers  2) (∀𝑥 ∈ ℝ+) 1 x  x La fonction réciproque f 1 s’appelle la fonction 4.2 Résolution de l’équation x  a n racine 𝑛 − é𝑚𝑒 et se note n Exemples : Résoudre dans ℝ les équations Conséquence de la définition : suivantes : 1)La fonction n x est définie sur ℝ+ 1) x5  32 2) x 7  128 3) x 4  3 4) x 6  8 2) x   n x 0 Solutions :1) x5  32 donc x  0 3)(∀𝑥 ∈ ℝ+)(∀𝑦 ∈ ℝ+) n x  y  x  y n x  5 32  x  5 25  x  2 donc : S  2 4)La fonction n x est continue sur ℝ+ strictement 2) x 7  128 donc x  0 Donc : x   7 128  x   27  x  2 7 croissante. 5)(∀𝑥 ∈ ℝ+)(∀𝑦 ∈ ℝ+) n x n y x y Donc : S  2 Prof/ATMANI NAJIB Année Scolaire 2018-2019 Semestre1 14 3) x 4  3  x  4 3 ou x   4 3 10 217   10 210  2 Donc : S   4 3; 4 3 10 2 7 4) x  8 6 2  1 12    1 1 On a x 6  0 et 8  0 donc S   4  8    22     3 2   2 Exercices d’applications : 3 4 8 2    8) F     Exercice14 : simplifier les expressions 3 1 4  13  2  2 4  3 3 2 4 suivantes :1) 2) 2   1 1 2 2 3 2  2 5 3) A  32  5 7 7  3 3 512  96 43  82  2 4 23  22  24 2 3 2 1    7 5 F  1  2  23 2 4 3  23 3 46 26 3 2  5 16  3 4  15 2 2 1 1 4) B  F 2 3  22  2 3  4 3 2 15 256 2 1 5 5) C  27  9  81 4  9 2 6) D  6 2 128000000 5 Exercice15 : comparer : 5 2 et 7 3 17 2 nm 3 3 27 Solutions : on a : xm  n x   2 5 2 8 3 4 8 2 7 3  75 35  35 243 et 5 2  75 27  35 128 7) E  8) F  5 128 3 4 On a : 35 243  35 128 car 243  128  2 352 3 7 Solutions :1) 3 2 2) 2 4 2  24 2  8 2 Donc : Exercice 16 : résoudre dans : 2) A  5 32   7 2   3 3 512  96  5 25  2  3 3 29  4 96 7 5 3x  4  2  x 2  55 x  6  0 5 3 5 5 3 1) 2) A  2  2  9 29  5 32  2  2  2  2  4 Solutions :1)     2   3x  4  32 5 3 2  5 16  6 4  15 2 3 2 5 24  6 22  15 2 3x  4  2  3x  4 5 3) B   5 5 15 15 256 256 4) 1 4 2 1 1 4 1 1 23  x  12 donc : S  12 2 2 2 2 2 2 2 2  x 23 8 15 3 5 6 15 3 5 3 15 2 15  2 B  8  8 2 15 15 2 2 15 2) 5  5 5 x  6  0 on pose : 5 xX 15 28 2 15 2 15 2 1 5 L’équation devient : X 2  5 X  6  0 3   3   3  2 1 5 2 5) C   27  9  81 4  9 2 3 4 2 33  31  35 9 4 2     b2  4ac   5  4  1 6  25  24  1  0 2 17 17 17 3 3 3 3 3 3 b   b   20 x1   3 et x2  2 20 17 3 3 3  C  17 33 3  33  31  3 2a 2a 3 3 Donc : 5 x  3 ou 5 x 2 6) D  2 128000000 25  27 106 6 106 12 5 6   2  33  Donc : x  243 ou x  32 6 2 27 2 36 6 Donc : S  32; 243  10  D  6    6  22    22  6 10 40 Exercice 17 : calcules les limites suivantes : 3 3 3 1) lim 5 x 3  24 2) lim 3 x5  2 x3  x  4 7) x2 x  5 2 8 5 2 2 3 10 2  2 10 2 15 3 x 1 1 3