Fonctions Dérivées - Cours PDF

II. Fonctions dérivées 1. Dérivabilité d’une fonction sur un intervalle Définition : Une fonction f qui admet un nombre dérivé en a est dite dérivable en a. Une fonction f est dérivable sur un intervalle I si elle est dérivable pour tout réel de I. Remarque : Le plus souve...

II. Fonctions dérivées 1. Dérivabilité d’une fonction sur un intervalle Définition : Une fonction f qui admet un nombre dérivé en a est dite dérivable en a. Une fonction f est dérivable sur un intervalle I si elle est dérivable pour tout réel de I. Remarque : Le plus souvent, la fonction est dérivable sur son ensemble de définition, mais ce n'est pas toujours le cas. Il est possible que, pour un réel donné, la fonction soit définie et non dérivable!! Exemple : La fonction définie sur ℝ + par f (x)=|x| est définie en 0 mais n'est pas dérivable en 0. On peut se contenter d'observer la représentation graphique de cette fonction et d'observer "un point anguleux" en 0. Pour aller un peut plus loin, on rappelle que f (x)=|x| peut se définir par f(x)=-x pour x ∈]−∞ ; 0 [ f(x)=x pour x ∈[ 0 ;+∞ [ On constate que f n'a pas la même dérivée à droite et à gauche de 0 : f n'est donc pas dérivable en 0. Exercices 56 et 60 page 123 2. Définition Activité : Essayons de déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbe de la fonction f(x)=x² en a. On a f (a+ h)−f (a) f (a+ h)−f (a) f ’(a)= lim or =2 a+ h h →0 h h Donc f ’(a)= lim 2 a + h=2 a h →0 Pour cette fonction, le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse a vaut 2a. On construit alors une fonction appelée fonction dérivée de f qui à x associe 2x. Définition : Soit f une fonction dérivable sur I, on appelle f ’ la fonction dérivée de f qui à tout x de I associe le nombre dérivé f ’(x). En suivant le même raisonnement que précédemment avec la fonction carré, on est en mesure de déterminer quelques fonctions dérivées usuelles. On retiendra avant tout : Propriété f définie sur f’ dérivable sur f (x)=b ℝ f '(x)=0 ℝ ℝ si n∈ℤ*+ ℝ f (x)=x n f '(x)=n×x n−1 ℝ * si n∈ℤ*- ℝ* Exemples: Si f(x)= x⁵ alors f '(x)=5×x 5−1 soit f '(x)=5 x ⁴  1 3 Si f (x)= 3 alors f '(x)=−3×x−3−1 =−3 x−4 =− 4 x x Conséquences immédiates : quelques dérivées peuvent être obtenues par l'utilisation de la propriété précédente : f définie sur f’ dérivable sur f (x)=x ℝ f '(x)=1 ℝ f (x)=x 2 ℝ f '(x)=2 x ℝ 1 ℝ * 1 ℝ * f (x)= f '(x)=− x x2 f (x)= √ x ℝ+ 1 ℝ *+ f '(x)= 2√x Démonstrations : Pour la dérivée de f(x)=x, si on admet la propriété de dérivation de x n , il suffit de prendre n=1 et on obtient f '(x)=1×x 1−1 =1×x 0=1×1=1 Pour la dérivée de f(x)=x², même chose en prenant n=2 et dans ce cas, f '(x)=2×x 2−1 =2×x 1 =2 x 1 Déterminons la fonction dérivée de f (x)= définie sur ℝ * x 1 Pour tout réel a non nul, on a donc, f (a)= a 1 Et f (a+ h)= a+ h 1 1 a−a−h − f (a+ h)−f (a) a+ h a (a+ h)a 1 Donc = = = − h h h a (a+ h) Or lim a+ h=a h→0 1 1 Et lim − =− 2 h→0 a (a+ h) a 1 On en déduit que f '(a)=− a2 Déterminons la fonction dérivée de f (x)= √ x définie sur ℝ + Pour tout réel a positif ou nul, on a f (a+ h)−f (a)= √ a+ h− √ a Or ( √ a+ h− √ a)×( √ a+ h+ √ a)=(a+ h)−a=h h Donc ( √ a+ h− √ a)= √ a+ h+ √ a  h Finalement, f '(a)= √ a+ h− √ a √ a+ h+ √ a 1 = = h h √ a+ h+ √ a 1 1 Quand h tend vers 0, √ a+ h tend vers √ a et tend vers où nécessairement √ a+ h+ √ a 2 √a a≠0 !!! 1 On en conclue que f '(x)= √ x et que f n'est pas dérivable en 0 2 Exercice 73, 74, 75 page 124