Boletín Semana Nº 15 - Ciclo 2024-I - PDF

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ALBERTO CRUZ UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo 2024-I UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA CENTRO PREUNIVERSITARIO SEMANA N.° 15 TIPOS DE PREGUNTAS PARA LA EVALUACIÓN DE LA COMPRENSIÓN LECTORA 3 Relaciones semántico-textuales: sentido contextual Todo texto puede ser abordado, ordenadamente, a partir de los niveles que comporta. Cada nivel de comprensión remite a las diversas posibilidades y maneras que todo texto presenta en el propósito de ser aprehendido. Estos niveles van desde lo más simple y evidente hasta lo más complejo y encubierto, es decir, desde un nivel superficial hasta un nivel profundo. Metodológicamente, nuestra inmersión en el sentido supone avanzar, progresivamente, desde la comprensión literal hasta la comprensión trascendente. Pregunta por un término o de paráfrasis (sentido contextual). Este nivel se refiere al significado preciso de una palabra o frase. Asimismo, incide en la paráfrasis, entendida como una traducción simple. ACTIVIDAD 1 El día de la mudanza se levantó temprano y fue al colegio de buen humor. A mediodía regresó directamente a la nueva casa. Bajó del Expreso en el paradero del parque Salazar —todavía no conocía el nombre de esa explanada de césped, colgada sobre el mar—, subió por Diego Ferré, una calle vacía, y entró a la casa: su madre amenazaba a la sirvienta con echarla si aquí también se dedicaba a hacer vida social con las cocineras y choferes del vecindario. Acabado el almuerzo, el padre dijo: «tengo que salir. Un asunto importante». La madre clamó: «vas a engañarme, cómo puedes mirarme a los ojos» y luego, escoltada por el mayordomo y la sirvienta, comenzó un minucioso registro para comprobar si algo se había extraviado o dañado en la mudanza. Vargas, M. (2006). La ciudad y los perros. Madrid: Punto de lectura. 1. De acuerdo con el texto, el adjetivo VACÍA se puede reemplazar por la expresión A) poco concurrida B) muy extraña C) muy habitada D) poco conocida E) muy terrorífica 2. La expresión “VIDA SOCIAL” alude a una situación de A) alegría B) socialización C) distracción D) pesadumbre E) peligro Semana N° 15 (Prohibida su reproducción y/o venta) Pág. 1  ALBERTO CRUZ UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo 2024-I ACTIVIDAD 2 Entre los muchos factores que han estimulado y sostenido la investigación en los diversos campos de la ciencia empírica, hay dos perdurables preocupaciones humanas que han suministrado el principal impulso a los esfuerzos científicos del hombre. Uno de ellos es de naturaleza práctica. El hombre no solo quiere sobrevivir en el mundo, sino también mejorar su posición estratégica dentro de él. Esto hace que sea importante poder hallar maneras confiables de prever cambios en su ambiente y, si es posible, controlarlos para usarlos en su propio provecho. La formulación de leyes y teorías que permiten la predicción de sucesos futuros se cuentan entre las más altas realizaciones de la ciencia empírica; y la medida en la cual ellas responden al anhelo del hombre de previsión y control la indica el vasto ámbito de sus aplicaciones prácticas que van desde las predicciones astronómicas hasta los pronósticos meteorológicos, demográficos y económicos, y desde la tecnología fisicoquímica y biológica hasta el control psicológico y social. La segunda motivación básica de las indagaciones científicas del hombre es independiente de tales preocupaciones prácticas. Reside en su pura curiosidad intelectual, en su profundo y persistente deseo de conocer y de comprenderse a sí mismo y a su mundo. Tan intenso es este deseo, en verdad, que en ausencia de un conocimiento más confiable, a menudo se acude a los mitos para llenar el abismo. Pero al mismo tiempo, muchos de esos mitos ceden el terreno a concepciones científicas acerca del cómo y el porqué de los fenómenos empíricos. Hempel, C. (1979). La explicación científica. Nueva York: The Free Press 3. ¿Cuál es el antónimo del verbo ESTIMULAR? A) espolear B) azuzar C) disuadir D) desanimar E) impulsar 4. A partir del texto, el vocablo CURIOSIDAD expresa la noción de A) chismería B) interés C) habilidad D) capacidad E) disuasión TEXTO 1 En 1969 participé en un coloquio sobre la filosofía de Popper, realizado en la Universidad de Boston. Mi ponencia versó sobre la contrastabilidad (testaility) de las teorías científicas. Afirmé que la refutabilidad de una hipótesis no es necesaria ni suficiente para considerarla científica, puesto que hay teorías muy generales que son confirmables, pero no refutables por datos empíricos. También afirmé que los investigadores científicos piden, y a menudo consiguen, críticas constructivas. Popper reaccionó con vehemencia. Repitió su conocida tesis de que la refutabilidad es el sello de la cientificidad. Obviamente, no había oído hablar de las teorías hipergenerales a que yo me refería, tales como las teorías de la información y de los autómatas. Popper también afirmó que, cuando uno critica, siempre lo hace con el fin de aniquilar al adversario, nunca para ayudarlo. Supongo que esta creencia suya se debe a que así suele ocurrir en la comunidad filosófica, que realiza el ideal de los economistas, de la competencia Semana N° 15 (Prohibida su reproducción y/o venta) Pág. 2  ALBERTO CRUZ UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo 2024-I feroz entre egoístas perfectos. Esta no es la norma en la comunidad científica, donde se coopera tanto como se compite. La filosofía de la ciencia de Popper es fácil de entender si se la concibe como un positivismo invertido. Allí donde los positivistas hablan de verificación, Popper habla de «falsación». Reemplaza la inducción por la deducción, la cautela por la audacia, la certidumbre por la falibilidad, y la predilección por lo plausible (que Popper llama «probable») por la preferencia por lo implausible. Bunge, M. (2003). Cápsulas. Barcelona: Gedisa. 1. El texto gira en torno a A) el análisis de la filosofía científica de Popper. B) la refutación de la epistemología de Popper. C) el concepto de falsación del filósofo Popper. D) la ponencia desarrollada por Mario Bunge. E) el debate acientífico entre Bunge y Popper. 2. El vocablo ANIQUILAR implica un(a) A) asesinato. B) confutación. C) discusión. D) asociación. E) complotar 3. Se colige que para Bunge la crítica A) solamente puede ser destructiva en el debate científico. B) puede ser un factor fundamental en el campo científico. C) puede reemplazar la falsación científica de Karl Popper. D) es parte del análisis de todos los filósofos de la ciencia. E) es un concepto determinante en ciencia, pero no seguro. 4. Respecto a la filosofía científica de Popper, es incompatible señalar que A) defiende la tesis de la falsación. B) apela a la tesis de la refutabilidad. C) conviene con la filosofía positivista. D) se fundamenta en la deducción. E) entiende la crítica como destructiva. 5. Si Bunge no hubiera afirmado que la refutabilidad de una hipótesis no es necesaria ni suficiente para considerarla científica, A) la filosofía positivista sería confutada y superada. B) estaría conforme en todos los puntos con Popper. C) hubiera estado en pleno desacuerdo con Popper. D) Popper no hubiera reaccionado con vehemencia. E) la filosofía popperiana sería la única reconocida. Semana N° 15 (Prohibida su reproducción y/o venta) Pág. 3  ALBERTO CRUZ UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo 2024-I TEXTO 2 Las lenguas indígenas u originarias son aquellas anteriores a la difusión del español en los territorios americanos. En Perú, existen 47 lenguas indígenas, entre andinas y amazónicas, categorizadas como vigentes; sin embargo, cuatro de ellas están en peligro: bora, murui-muinan, yagua y yanesha, todas de la Amazonía. En el territorio nacional, las lenguas tienen un alto riesgo de desaparecer por no ser muy utilizadas en la comunicación, por gozar de un prestigio menor, por la discriminación lingüística y por no ser transmitidas a las nuevas generaciones. En otros casos, las políticas lingüísticas también pueden ser determinantes para que una lengua no se desarrolle. En ese sentido, estos factores se tienen que contrarrestar, pues hay otras 17 lenguas seriamente en cuidados intensivos, debido a que solo son habladas por adultos mayores. Según el Ministerio de Cultura, los datos del Censo de Población y Vivienda 2007 son claros, 4 millones 45 mil 713 personas tenían como lengua materna una indígena u originaria. Esta cifra representaba un 15 % de la población nacional. Así, en una descripción minuciosa, los quechuahablantes representaban más del 80 %; los hablantes de aimara, con una gran diferencia, representaban un 10.96 %; y los hablantes de ashaninka, un 1.67 %. RPP (2017). En el Perú, más de 4 millones de personas tienen por lengua materna una originaria o indígena según el Ministerio de Cultura. Recuperado y editado de https://rpp.pe/peru/actualidad/infografia-cuatro-lenguas-indigenas-estan-en-peligro-de-desaparecer- noticia-1070212?ref=rpp Semana N° 15 (Prohibida su reproducción y/o venta) Pág. 4  ALBERTO CRUZ UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo 2024-I 1. El tema central del texto es A) factores que provocan la extinción de lenguas en el Perú. B) datos del Ministerio de Cultura sobre las lenguas peruanas. C) cuatro lenguas originarias peruanas en peligro de extinción. D) la situación general de las lenguas originarias en el Perú. E) lenguas en peligros de extinción o en cuidados intensivos. 2. La expresión CUIDADOS INTENSIVOS se puede reemplazar por A) dolencia mortal B) situación crítica C) tema peligroso D) cuestión banal E) lingüística crítica 3. Respecto a las lenguas nativas del Perú, es incompatible señalar que A) de las 47 lenguas, 26 pueden ser categorizadas como muy vigentes. B) sin duda alguna, el quechua es la segunda lengua hablada en el Perú. C) el Ministerio de Cultura se interesa y analiza la situación de aquellas. D) algunas se originaron en el virreinato y están a punto de desaparecer. E) las políticas lingüísticas son importantes para su desarrollo eficiente. 4. A partir de los factores que provocan la extinción de lenguas, se infiere que A) en el Perú, todos están resueltos y neutralizados. B) uno de ellos puede ser la discriminación lingüística. C) algunas lenguas son percibidas como superiores. D) las políticas lingüísticas no pueden ser un factor. E) el número de hablantes por lengua no es importante. 5. Si las políticas peruanas pudieran atenuar los factores que provocan la extinción de lenguas, A) de igual forma, las lenguas amazónicas estarían en peligro. B) las 47 lenguas originarias no tendrían óbices en su desarrollo. C) los hablantes del quechua no serían numerosos como ahora. D) la lengua española sería soslayada por las lenguas nativas. E) el Perú tendría cien lenguas originarias activas actualmente. Texto A Si una persona ve sus condiciones de vida disminuidas permanentemente y es su decisión no seguir viviendo, aunque la muerte no sea algo inminente, no hay razón alguna para impedirle que realice su deseo. No podría obligársele a llevar una existencia que él mismo no considera digna. Desde luego, que haya derecho a la muerte con dignidad no implica que el personal médico tenga el deber de acabar con la vida de quienes lo solicitan. Nadie puede ser obligado a ayudar a alguien que desea la eutanasia, pero no habría nada de moralmente objetable en el personal médico que participa de ella. Semana N° 15 (Prohibida su reproducción y/o venta) Pág. 5  ALBERTO CRUZ UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo 2024-I El Estado no debe poner obstáculo a nuestra voluntad cuando no hay terceros perjudicados. ¿A quién, además del paciente, perjudica la eutanasia? Se ha dicho que a la familia y amigos. Respondemos que habría que poner a un lado de la balanza los padecimientos permanentes del paciente y al otro el sufrimiento de perder a un ser querido que experimentarían los amigos y familiares. Así, no entender la calidad de vida mermada que lleva el paciente es egoísmo y mezquindad. La eutanasia es una práctica difundida. Mejor hacerla legal y regularla. García, O. (2014). La eutanasia: un argumento moral a su favor. En Escritura y Pensamiento, 34, 251-267. Texto B La vida es un bien humano indisponible que exige un conjunto de condiciones laborales, sociales, económicas, académicas, asistenciales y sanitarias para su realización. Si bien en los hechos puede resultar inevitable y trágico que una persona termine con su vida como respuesta a una enfermedad o grave crisis personal, aprobar la legalización de la eutanasia como solución resulta inconstitucional y contrario con la finalidad del Estado, que debe establecer una política integral para velar por la salud y bienestar humano en orden a su dignidad y su realización humana. La necesidad de efectivas políticas públicas para la atención de personas de toda condición, imposible de cuidarse por sí mismas por razones humanas, sociales y económicas, son de prioridad estatal por mandato constitucional. Al igual que la libertad e igualdad, la fraternidad tiene la misma importancia para toda comunidad política; se realiza a través de una adecuada recaudación tributaria y debida administración de la cosa pública que debe asignar partidas para la atención de las personas que lo necesitan. En efecto, la legalización de la eutanasia es arbitraria. El Comercio. (2021). Cara y sello: Opiniones sobre la legalización de la eutanasia. Recuperado de https://elcomercio.pe/opinión /colaboradores/ana-estrada-cara-y-sello-opiniones-sobre-la-legalizacion-de-la-eutanasia- noticia/?ref=ecr. 1. De forma medular, ambos textos entablan una discusión en torno a A) la legalización de la eutanasia. B) la defensa de la muerte digna. C) la significación de la eutanasia. D) la justificación de la eutanasia. E) la idea filosófica de la eutanasia. 2. En el marco del texto B, se puede afirmar que el sinónimo contextual del verbo ESTABLECER es A) construir B) proponer E) implantar C) derogar D) conjeturar Semana N° 15 (Prohibida su reproducción y/o venta) Pág. 6  ALBERTO CRUZ UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo 2024-I 3. A partir de la argumentación del texto A, se infiere que una persona que lleva una vida indigna A) tiene derecho a elegir cuando morir. B) puede ser tratada psicológicamente. C) sabe con precisión que no mejorará. D) desea una vida digna y muy segura. E) puede ser asesinada por clemencia. 4. Con respecto al texto B, se puede inferir que el Estado A) tiene el deber de promover la eutanasia. B) debe espolear la muerte digna en Perú. C) debe disipar la opción de la eutanasia. D) debe estimular la eutanasia sin recelo. E) tiene que aprobar la eutanasia en Perú. 5. Si comprobáramos que la eutanasia tiene una mayor repercusión en los familiares, A) se podría legalizarla sin ningún inconveniente dado. B) su legalización encontraría un óbice argumentativo. C) la muerte digna sería una opción para las personas. D) los amigos sí tendría que reconocer su legalización. E) también se tendría que practicarla en los familiares. SECCIÓN C PASSAGE 1 The country of Monaco is the second smallest country in the world. Only Vatican City is smaller. The area of the entire country is only 2 km squared approximately (less than one square mile) and has a population of about 36,000 people. The country borders France on three sides, and the rest faces the Mediterranean Sea. Monaco is governed by a constitutional monarchy. The country has one of the world’s highest life expectancy rates and the lowest unemployment rate (around zero). Even though it is a sovereign state, its military defense is provided by its neighbor, France. Monaco is not a member of the European Union but due to its close relationship with France, it adopted the Euro in 2002. The official language of Monaco is French, although English and Italian are also spoken. The traditional language Monégasque, is spoken by a small section of the population. Practical Spanish. (s. f.) The tiny country of Monaco. Retrieved from: HTTPS://WWW.LEARNPRACTICALSPANISHONLINE.COM/BEGINNER/BEGINNER- READINGS/BEGINNER READING12.HTML Semana N° 15 (Prohibida su reproducción y/o venta) Pág. 7  ALBERTO CRUZ UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo 2024-I 1. Mainly, the passage is about A) the tiny country of Monaco. B) a little town called Monaco. C) the bounds of Monaco city. D) the government of Monaco. E) the small city of the Vatican. 2. The word SOVEREIGN denotes A) subordination B) independence C) patriotism D) absence E) religion 3. According to the passage, the size of Monaco is A) smaller than a square mile. B) similar to that of Vatican City C) larger than the city of London. D) similar to that of Lima city. E) very immeasurable today. 4. It is inferred from the passage that the language policies of Monaco A) don’t allow the English language to be spoken. B) promote the daily use of the Italian language. C) state that the official language is Old French. D) don’t promote the use of traditional language. E) are very radical and effective at the same time. 5. If Monaco did not have a close relationship with France, A) it would be closer to the Vatican. B) it would be a smaller city than Paris. C) it would not have adopted French. D) it would not have adopted the euro. E) it would be a more conservative city. Semana N° 15 (Prohibida su reproducción y/o venta) Pág. 8  ALBERTO CRUZ UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo 2024-I Habilidad Lógico Matemática RUTAS Y TRAYECTORIAS En este tema veremos problemas relacionados con las diferentes formas de viajar de una ciudad a otra o de un punto a otro; también cuando alguien realiza el recorrido más largo, etc. Para ello se requiere de algunos conceptos y unos principios básicos que faciliten el proceso. Conceptos básicos Ruta : Es el camino que se sigue o que se proyecta seguir en un viaje. Trayectoria : Recorrido o dirección que sigue alguien o algo al desplazarse. Camino : Dirección que ha de seguirse para llegar a algún lugar. Punto : Elemento geométrico sin dimensiones cuya longitud es cero. Tramo : Parte comprendida entre dos puntos que forman parte de una línea, especialmente un camino o una vía, su longitud es mayor que cero. A. Principio de adición Este principio establece que, si el evento A se puede realizar de m maneras diferentes, y otro evento B se puede realizar de n maneras diferentes, además, si se realiza uno de los eventos, no puede ocurrir el otro, entonces, el evento A o el evento B, se realizarán de m+n formas diferentes. Ejemplo 1 Betty desea viajar de Lima a Chile y tiene a su disposición 4 líneas aéreas y 5 líneas marítimas. ¿Dé cuántas maneras diferentes Betty puede realizar el viaje? A) 20 B) 12 C) 14 D) 9 E) 16 B. Principio de multiplicación Este principio establece que, si un evento A se puede realizar de m maneras diferentes y luego otro evento B se puede realizar de n maneras diferentes, entonces, el evento A y B, se realizarán de m x n formas diferentes. Ejemplo 2 Supongamos que estás planeando un viaje por Europa y deseas visitar tres ciudades diferentes: París, Roma y Barcelona. Hay diferentes medios de transporte que unen a estas ciudades disponiendo de un avión, un tren, un barco y un autobús. Se quiere calcular cuántas rutas diferentes puedes tomar para ir de París a Barcelona, pasando por Roma, utilizando un medio de transporte diferente en cada tramo y sin retroceder en ningún momento. A) 12 B) 16 C) 7 D) 9 E) 6 Semana N° 15 (Prohibida su reproducción y/o venta) Pág. 9  ALBERTO CRUZ UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo 2024-I Ejemplo 3 La figura mostrada representa una red de caminos. ¿De cuántas maneras diferentes podrá viajar una persona del pueblo N al pueblo M, sin retroceder y sin pasar dos veces por el mismo camino? A) 35 B) 36 C) 15 D) 32 E) 243 Ejemplo 4 En la figura mostrada, recorriendo solamente por los segmentos, hacia la derecha o hacia abajo, ¿cuántas rutas distintas existen para ir desde el punto A al punto B? A) 15 B) 12 C) 20 D) 30 E) 16 Ejemplo 5 La figura representa una estructura hecha de alambre. ¿De cuántas maneras diferentes se puede ir desde el punto A hasta el punto B siguiendo por los segmentos de alambre y desplazándose sólo hacia la derecha, hacia abajo o hacia el fondo? A) 1400 B) 1728 C) 2197 D) 1331 E) 1240 Semana N° 15 (Prohibida su reproducción y/o venta) Pág. 10  ALBERTO CRUZ UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo 2024-I Ejemplo 6 En la figura mostrada. Recorriendo por las líneas, ¿de cuántas maneras diferentes se puede ir del punto A hasta el punto B, sin repetir tramos? A) 25 B) 16 C) 31 D) 24 E) 26 Aplicaciones de áreas de regiones REGIÓN POLIGONAL Es la región limitada por un polígono. ÁREA Medida de una región poligonal expresada en unidades cuadradas. Semana N° 15 (Prohibida su reproducción y/o venta) Pág. 11  ALBERTO CRUZ UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo 2024-I Aplicaciones de áreas de regiones El propósito de este tema es desarrollar nuestras habilidades geométricas sobre áreas de regiones, en sus diversos tipos, como son: aplicaciones de áreas, división de regiones, construcción de regiones, fichas, etc. Ejemplo 7 Un terreno agrícola de forma cuadrada se divide entre 6 hermanos, siendo el área sombreada la región destinada a los tres hermanos menores, halle el área de la región sombreada. Siendo A y B, los puntos medios de dos lados del cuadrado. A) 5200 m2 B) 5800 m2 C) 5400 m2 D) 4800 m2 E) 6000 m² Ejemplo 8 En la figura se muestra una ficha, que tiene la forma de un polígono formado por 9 cuadrados de 2 cm de lado. Camila tiene varias fichas de madera congruentes a este polígono. Si con ellas se desea formar un cuadrado compacto, adosándolas y sin superponerlas, ¿cuál es el área del cuadrado más pequeño que se puede construir con estas fichas? A) 144 cm2 B) 169 cm2 C) 196 cm2 D) 100 cm2 E) 324 cm2 Semana N° 15 (Prohibida su reproducción y/o venta) Pág. 12  ALBERTO CRUZ UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo 2024-I EJERCICIOS DE CLASE 1. La figura muestra una estructura hecha de alambre. Recorriendo solo por las líneas del alambre, sin pasar dos veces por el mismo punto, ¿cuántas rutas distintas existen para ir desde el punto A hasta el punto B? A) 63 B) 61 C) 66 D) 65 E) 58 2. La figura muestra una estructura hecha de alambre. Recorriendo por las líneas del alambre, sin pasar dos veces por el mismo punto, ¿cuántas rutas distintas existen para ir desde el punto M hasta el punto N? A) 529 B) 484 C) 225 D) 441 E) 400 3. Una hormiga debe desplazarse por la siguiente estructura de alambre desde el punto A hasta el punto B sin repetir el mismo punto, ¿de cuántas formas diferentes puede hacer su recorrido? A) 32 B) 34 C) 35 D) 33 E) 36 Semana N° 15 (Prohibida su reproducción y/o venta) Pág. 13  ALBERTO CRUZ UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo 2024-I 4. En la figura mostrada, ¿cuántos caminos diferentes hay desde J hasta M, sabiendo que no puede pasar por el punto Q y que solo puede seguir las direcciones dadas por las flechas? A) 386 Derecha B) 460 C) 500 D) 503 E) 394 5. En la figura, recorriendo solamente por los segmentos hacia la derecha o hacia abajo, ¿Cuántas rutas distintas existen desde el punto M al punto S pasando siempre porRlos puntos P, Q, R? A) 36 B) 20 C) 18 D) 24 E) 16 6. La figura representa una estructura hecha de alambre. De cuántas maneras diferentes se puede ir desde el punto A hasta el punto B, si solo se puede seguir las direcciones dadas por las flechas. A) 280 B) 169 C) 149 D) 160 E) 132 Semana N° 15 (Prohibida su reproducción y/o venta) Pág. 14  ALBERTO CRUZ UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo 2024-I 7. En la figura se muestra una estructura hecha de alambre. Recorriendo solamente por los segmentos, hacia la derecha, hacia abajo o hacia el frente, ¿cuántos caminos distintos existen para ir desde el punto P hasta el punto Q? A) 168 B) 160 C) 164 D) 172 E) 193 8. El área de la región sombreada está destinada al cultivo de flores, halle el área de la región mencionada si BR = RE y 4AR = RE = 80 m. A) 1 425 m2 E B) 1 325 m2 1325 C) m2 18 D) 1 225 m2 6625 A B R O E) m2 18 9. En la figura mostrada ABC representa un terreno de forma triangular, la región sombreada representa el terreno donde se va a sembrar hortalizas, halle el menor valor de “x” para que el área del rectángulo donde se sembrará hortalizas sea de 30 m 2. A) 8 m B) 6 m C) 10 m D) 4 m E) 7 m Semana N° 15 (Prohibida su reproducción y/o venta) Pág. 15  ALBERTO CRUZ UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo 2024-I 10. La figura muestra el plano de un parque de forma triangular, donde en la parte sombreada se colocará unos juegos para niños. Si el área del parque es de 60 m 2, ¿qué área será ocupada por dichos juegos? A) 20 m2 B) 15 m2 C) 25 m2 D) 18 m2 E) 24 m2 11. En la figura, ABCD es un cuadrado de 8 cm de lado, que tiene inscrita una circunferencia, y hay dos semicircunferencias cuyos centros están en los lados del cuadrado. Calcule el área sombreada. C A) 8(8 − 𝜋) cm2 B) 8(10 − 𝜋) cm2 C) 6(8 − 𝜋) cm2 D) 8(8 + 𝜋) cm2 E) 16(8 − 𝜋) cm2 A D 12. Visitando el centro recreacional, se observa que este es un terreno cuadrado de 120 m de lado (ver figura) y la región sombreada está destinada para la piscina, el resto es área verde. ¿Cuál es el área del terreno que ocupará la piscina? A) 4 400 m2 B) 4 200 m2 C) 5 200 m2 D) 4 800 m2 E) 4 300 m2 Semana N° 15 (Prohibida su reproducción y/o venta) Pág. 16  ALBERTO CRUZ UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo 2024-I EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Se tiene que hacer el siguiente recorrido: Partir de la ciudad A, y dirigirse a la ciudad D, luego, regresar a la ciudad A. ¿De cuántas maneras diferentes se puede hacer este recorrido sin repetir tramos de ida? (En la ida ni en el regreso se debe retroceder en ningún momento) A) 1152 B) 2304 C) 22565 D) 858 E) 864 2. El plano indica la distribución de 10 centros de esparcimiento; que están intercomunicados por un sistema de carreteras, como se muestra en la figura. Sin pasar dos veces por el mismo lugar, ¿de cuántas maneras diferentes se puede ir de A a G? A) 52 B) 54 C) 60 D) 63 E) 81 3. La figura muestra una esfera construida por cuatro circunferencias hechas de alambre de iguales diámetros y dos rombos en cada extremo. Recorriendo solamente por los arcos de las circunferencias y por los rombos, sin pasar dos veces por el mismo punto, ¿cuántas rutas distintas existen para ir desde el punto A hasta el punto B? A) 125 B) 128 C) 116 D) 108 E) 112 Semana N° 15 (Prohibida su reproducción y/o venta) Pág. 17  ALBERTO CRUZ UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo 2024-I 4. En el gráfico, recorriendo solo por los segmentos hacia la derecha o hacia abajo, ¿Cuántas rutas distintas existen para ir desde el punto A hasta el punto P, pasando siempre por los puntos R y S? A) 1020 B) 1320 C) 1400 D) 1520 E) 2100 5. En la figura mostrada, se quiere ir desde el punto A hasta el punto B. Si solo se puede ir en las direcciones indicadas por las flechas, ¿cuántas rutas distintas existen? A) 486 B) 474 C) 390 D) 416 E) 428 6. La figura mostrada es una estructura construida de alambre. Recorriendo solamente por los alambres, hacia la derecha, hacia abajo o hacia el frente, ¿cuántas rutas distintas existen para ir desde el punto A hasta el punto B? A) 784 B) 900 C) 961 D) 1024 E) 841 Semana N° 15 (Prohibida su reproducción y/o venta) Pág. 18  ALBERTO CRUZ UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo 2024-I 7. En la figura se tiene el plano de un terreno, la parte sombreada representa la zona donde se sembrará papas y se sabe que cada metro cuadrado de terreno producirá 10 kg de papas. Si ABCD es un cuadrado de centro O, donde E es un punto de la prolongación de 𝐴𝐷 tal que OE = CE, ¿cuántos kilos de papas producirá el terreno sombreado? 0m C 0 M O 0 A D E A) 2800 B) 4000 C) 3000 D) 5400 E) 4500 8. Se tiene un terreno lotizado tal como se muestra en la figura, en la que el m 2 cuesta S/ 300. Si AM = 9 m y QC = 16 m, ¿cuál es el costo de la zona cuadrada MNPQ? A) S/ 43 200 B) S/ 42 200 C) S/ 44 200 D) S/ 60 000 E) S/ 48 000 9. En la figura, el terreno ABCD tiene la forma de un paralelogramo cuya área es 180 m2. Si en el terreno sombreado se quiere construir un jardín, calcular el área destinada al jardín. A) 70 m2 B) 74 m2 C) 75 m2 D) 80 m2 E) 76 m2 Semana N° 15 (Prohibida su reproducción y/o venta) Pág. 19  ALBERTO CRUZ UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo 2024-I 10. En la figura se muestra un polígono formado por 9 cuadrados de 1 cm de lado. Nasly tiene 30 piezas de madera congruentes a este polígono. Si con ellas se desea formar un cuadrado compacto, adosándolas y sin superponerlas, ¿cuál es el área del cuadrado más grande que se puede construir con la mayor cantidad de estas piezas? A) 144 cm2 B) 169 cm2 C) 196 cm2 D) 256 cm2 E) 225 cm2 Semana N° 15 (Prohibida su reproducción y/o venta) Pág. 20  ALBERTO CRUZ UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo 2024-I Aritmética Sucesiones Una sucesión de números reales es una función 𝒙: ℤ+ ⟶ ℝ que asocia a cada número entero positivo 𝒏 un número real 𝒙𝒏 , llamado 𝒏 −ésimo término de la sucesión; es decir, una sucesión es el conjunto de números que se generan a través de una ley de formación y se presentan en un orden determinado. Por ejemplo: 𝒂𝟏 𝒂𝟐 𝒂𝟑 𝒂𝟒 a) 3; 4; 5; 6; … Suc. Aritmética Ley de formación: 𝒂𝒏 = 𝒏 + 2 +1 +1 +1 𝒂𝟏 𝒂𝟐 𝒂𝟑 𝒂𝟒 b) 4; ; 6; - ;… Suc. Aritmética Ley de formación: 𝒂𝒏 = 𝟏𝟓 − 𝒏2 -3 -5 -7 𝒂𝟏 𝒂𝟐 𝒂𝟑 𝒂𝟒 Ley de formación: 𝐚𝐧 = 2(3)𝐧−𝟏 c) ; 6; 8; 54;… Suc. Aritmética ×3 ×3 ×3 SUCESIONES POLINOMIALES A) Sucesión lineal o de primer orden 𝐚1; 𝐚2; 𝐚3; 𝐚4; 𝐚5;... 𝒓 𝒓 𝒓 𝒓 B) Sucesión polinomial de segundo orden El término n - ésimo a n está expresado de la forma: an = An2 + Bn + C donde A, B y C son constantes que se debe calcular que se deben calcular del siguiente modo: 𝑪 = 𝐚𝟎 𝐚1; 𝐚2; 𝐚3; 𝐚4; 𝐚5;... Ley de formación 𝑨 + 𝑩 = 𝒅0 𝒅1 𝒅2 𝒅3 𝒅4... 𝒂𝒏 = 𝑨𝒏𝟐 + 𝑩𝒏 + 𝑪 2𝑨=𝒓 𝒓 𝒓 𝒓 C) Sucesión polinomial de tercer orden a1 a2 a3 a4 a5 a6... b1 b2 b3 b4 b5... c1 c2 c3 c4... 𝐫 r r Semana N° 15 (Prohibida su reproducción y/o venta) Pág. 21  ALBERTO CRUZ UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo 2024-I D) Sucesión polinomial de cualquier orden Dada la sucesión: a1; a2; a3; a4; a5; a6... a1 a2 a3 a4 a5 a6... b1 b2 b3 b4 b5... c1 c2 c3 c4... d d d... Ley de formación (El término n-ésimo)  n - 1  n - 1  n - 1  n - 1 an = a1   + b 1  1  + c 1  2  + d  3   0        La suma 𝑺𝒏 de los 𝒏 primeros términos: n n n n Sn = a1   + b1   + c1   + d   1  2  3 4 n n! 𝒏 𝒏 𝒏 ( )=𝒏 Donde   = ; ( )=𝟏; ( ) = 𝟏; r r! ( n - r )! 𝟎 𝒏 𝟏 𝒏!=1x2x3x4…x 𝒏 0!=1; 1!=1; 2!=2; 3!=6;… 𝒏! = 𝒏 (𝒏 − 𝟏)! 𝟏𝟎! = 𝟏𝟎 (𝟗)! 𝟏𝟎! = 𝟏𝟎 𝟗 (𝟖)! 𝟏𝟎! = 𝟏𝟎 𝟗 𝟖 (𝟕)! E) PROGRESIÓN ARITMÉTICA Una progresión aritmética (PA) es una sucesión de primer orden , a2 , a3 , a4 ,... , a𝑛 ,... Donde la razón es r = a2 − a1 = 𝑎3 − a2 = ⋯ +r +r +r Término general (Ley de formación): an = a1 + ( n – 1) r (an + a1 )n  2a1 + (n - 1)r  Suma de los n primeros términos de una PA: Sn = = n 2  2  Semana N° 15 (Prohibida su reproducción y/o venta) Pág. 22  ALBERTO CRUZ UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo 2024-I SUCESIÓN GEOMÉTRICA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA Dada la progresión geométrica (PG) es una sucesión: a1 , a2 , a3 , a4 ,... , an ,... ×q ×q ×q a2 a3 a 4 Donde la razón es q = = = =... a1 a2 a3 Término general (Ley de formación): an = a1qn-1 a1 (qn - 1) Suma de los n primeros términos de una PG: Sn = q-1 SERIE INFINITA Dada la sucesión 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎4 ,... , 𝑎𝑛 ,... una serie es la adición indicada de los términos de la sucesión. Así se tiene la serie infinita es: 𝐚𝟏 + 𝐚𝟐 + 𝐚𝟑 + 𝐚𝟒 + ⋯ + 𝐚𝒏 +... Suma de términos de una PG decreciente infinita 𝐚𝟏 ; 𝐚 𝐚 𝐚 𝑺∞ = 0 < |𝒒| < 𝟏 Donde 𝒒 = 𝐚𝟐 = 𝐚𝟑 = 𝐚𝟒 =... 𝟏 𝟐 𝟑 𝟏−𝒒 Ejemplo: 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 A= + + + +⋯ 𝟐 𝟔 𝟏𝟖 𝟓𝟒 1 𝟏 3 1 1 1 → A= = 2 = 𝟐 × 3 × 3 × 3 𝟏 𝟐 4 𝟏− 𝟑 𝟑 SUMATORIAS Dada la serie numérica 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +... +𝑎𝑛 ; se puede representar usando el símbolo  llamado sumatoria, definido de la siguiente manera: 𝑛 ∑ 𝑎𝑖 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +... +𝑎𝑛 𝑖=1 Semana N° 15 (Prohibida su reproducción y/o venta) Pág. 23  ALBERTO CRUZ UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo 2024-I PROPIEDADES 𝑛 𝑛 𝑛 1) ∑ 𝑐 = 𝑐 + 𝑐 + 𝑐+.... +𝑐 = 𝑛𝑐 2) ∑ 𝑘𝑎𝑖 = 𝑘 ∑ 𝑎𝑖 𝑖=1 𝑖=1 𝑖=1 𝑛 𝑛 𝑛 3) ∑ (𝑎𝑖 + 𝑏𝑖 ) = ∑ 𝑎𝑖 + ∑ 𝑏𝑖 𝑖=1 𝑖=1 𝑖=1 6 6 6 6 Ejemplo: ∑ 𝟑𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟓 = 𝟑 ∑ 𝒙𝟐 − 𝟐 ∑ 𝒙 +∑ 𝟓 x=1 x=1 x=1 x=1 SUMATORIAS NOTABLES 𝑛 𝒏(𝒏 + 𝟏) 1) ∑ 𝑖 = 1 + 2 + 3 + 4+... +𝑛 = 𝟐 𝑖=1 𝑛 2) ∑ 2𝑖 = 2 + 4 + 6+... +2𝑛 = 𝒏(𝒏 + 𝟏) 𝑖=1 𝑛 3) ∑(2𝑖 − 1) = 1 + 3 + 5+... +(2𝑛 − 1) = 𝒏𝟐 𝑖=1 𝑛 𝒏(𝒏 + 𝟏)(𝟐𝒏 + 𝟏) 4) ∑ 𝑖 2 = 12 + 22 + 32 +... +𝑛2 = 𝟔 𝑖=1 𝑛 𝟐 3 3 3 3 𝒏(𝒏 + 𝟏) 3 5) ∑ 𝑖 = 1 + 2 + 3 +... +𝑛 = [ ] 𝟐 𝑖=1 𝑛 6) ∑ 𝑖(𝑖 + 1) = 1(2) 𝑖=1 𝒏(𝒏 + 𝟏)(𝒏 + 𝟐) +2(3) + 3(4)+... +𝑛(𝑛 + 1) = 𝟑 Semana N° 15 (Prohibida su reproducción y/o venta) Pág. 24  ALBERTO CRUZ UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo 2024-I EJERCICIOS DE CLASE 1. El propietario de una tienda observó que las utilidades diarias de su negocio forman una progresión aritmética creciente. Si la utilidad del quinto y décimo día suman 2400 soles, ¿cuánto será la utilidad total, en soles, de los 14 primeros días? A) 16 100 B) 16 800 C) 18 200 D) 17 500 E) 15 400 2. En una feria escolar, se observa que las ventas diarias de unidades de cuadernos en el stand A fueron 8, 30, 4 , 54, 66, … y en el stand fueron 4, 8, 6, 3 , 64, …. Si la feria duró diez días y todos los días atendieron, ¿cuántos cuadernos se vendieron en total en ambos stands? A) 4812 B) 4240 C) 4460 D) 4684 E) 4960 3. Ivonne diariamente se dirige al bosque a recoger semillas, las cantidades que recoge por día son: 6; 10; 16; 24; 34; …. así sucesivamente. Si el último día recogió 424 semillas, ¿cuántas semillas recogió en total? A) 2860 B) 3160 C) 3240 D) 3420 E) 3620 4. El costo, en soles, de una tableta gráfica, coincide con la suma de los diez primeros términos comunes de las siguientes sucesiones 𝑆1: 7; 0; 3; 6; … y 𝑆2 : 3; 7; 11; 5; … ¿Cuánto es el costo, en soles, de la tableta? A) 560 B) 720 C) 780 D) 610 E) 860 5. Zenón inició un emprendimiento y observa que las utilidades semanales van formando una progresión geométrica creciente. Si en la cuarta y séptima semana las utilidades fueron de 216 y 729 soles, respectivamente, ¿cuántos soles será la utilidad total, al cabo de las ocho primeras semanas? A) 3152,5 B) 3246,5 C) 3426,5 D) 3548,5 E) 3084,5 6. Un carpintero debe cortar un listón de madera de 7,85 m de largo, en trozos cuyas medidas son distintas y son: 5 cm, 0 cm, 6 cm, cm, … así sucesivamente. ¿Cuántos centímetros mide el trozo de mayor longitud? A) 86 B) 74 C) 68 D) 106 E) 94 7. Las propinas, en soles, que recibió diariamente Daniel, equivalen a los primeros términos respectivos de una sucesión. Si la suma de los términos de dicha sucesión, tiene como ley de formación 𝑆𝑛 = 𝑛(3𝑛 + 7), ¿cuántos soles recibió Daniel en el vigésimo cuarto día? A) 130 B) 148 C) 160 D) 172 E) 184 Semana N° 15 (Prohibida su reproducción y/o venta) Pág. 25  ALBERTO CRUZ UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo 2024-I 8. Con las edades, en años, de Ana y Beatriz se forma una fracción irreducible que es 𝟑 𝟔 𝟏𝟐 𝟐𝟒 equivalente a la siguiente suma 𝟓 + 𝟑𝟓 + 𝟐𝟒𝟓 + 𝟏𝟕𝟏𝟓 + ⋯ Determine la suma de las edades, en años, de Ana y Beatriz. A) 56 B) 64 C) 32 D) 28 E) 46 9. La cantidad de simpatizantes que se va afiliando a diario por un candidato que postula a la junta directiva de su comunidad son: 4; 9; 5; ; 30; ….. así sucesivamente. Si la afiliación empezó faltando 8 días para las elecciones, ¿cuántas personas logró afiliar dicho candidato? A) 196 B) 260 C) 228 D) 172 E) 284 10. Las cantidades de libros que tienen las amigas Ivonne y Kelly, es equivalente a los términos de la fracción resultante de la siguiente suma: 11 25 59 1+ + + +.... 8 × 3 16 × 9 32 × 27 ¿Cuántos libros, en total, tienen las amigas? A) 10 B) 12 C) 13 D) 11 E) 15 EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Para un concierto de música en el Estadio Monumental Marathon, se observa que, la venta de boletos cada día que transcurre se va duplicando. Si el primer día se vendió 15 boletos y en 12 días se agotó, ¿cuántos boletos se vendió en total? A) 61 425 B) 62 248 C) 62 486 D) 63 425 E) 60 464 2. Una cuadrilla de obreros debe terminar de asfaltar una carretera en 30 días. Para cumplir con el contrato, el avance diario de la obra va en aumento, en forma de una progresión aritmética. Si el avance del sexto día y del vigesimoquinto día suman 240 metros de longitud de carretera asfaltada, ¿cuál es la longitud total de la carretera que debe asfaltar? A) 3300 B) 2700 C) 3000 D) 4200 E) 3600 3. En un salón de clases, las carpetas están ordenados por filas con respecto a la pizarra. Daniel observa que la tercera fila de carpetas está a 5 metros de la pizarra y la octava fila está a 11 metros. Si la distancia entre las filas de las carpetas siempre es la misma, ¿a qué distancia de la pizarra, en metros, se encuentra la décima fila de carpetas? A) 12,0 B) 12,6 C) 13,4 D) 14,2 E) 14,8 Semana N° 15 (Prohibida su reproducción y/o venta) Pág. 26  ALBERTO CRUZ UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo 2024-I 4. La cantidad de propina, en soles, que recibe Rita coincide con la cantidad de términos de tres cifras de la siguiente sucesión: 0; 9; 8; 37; …. Si con la propina Rita compra un libro que cuesta 65 soles, ¿cuántos soles le queda? A) 25 B) 40 C) 30 D) 35 E) 55 5. Edith recibe semanalmente cierta cantidad de dinero de su padre, una parte es para sus gastos personales y el resto lo ahorra. La primera semana recibe 14 soles y gasta 2 soles, la segunda recibe 20 y gasta 5 soles, la tercera recibe 26 y gasta 10 soles, la cuarta recibe 32 y gasta 17 soles, y así sucesivamente hasta que cierta semana gastó todo lo que recibió, ¿cuánto dinero en total, en soles, recibió Edith hasta dicha semana? A) 245 B) 266 C) 224 D) 196 E) 175 6. Los amigos Arturo y Beto ahorraron, en soles, semanalmente, de la siguiente manera: Arturo ahorró 76; 8 ; 90; 00; ; … así sucesivamente, mientras que eto ahorró por semana 0; 0; 30; 40; … así sucesivamente. Si los amigos acordaron ahorrar hasta la semana en que el ahorro semanal de Arturo sea el doble de lo que ahorró Beto en la misma semana, ¿cuántas semanas, como mínimo, ahorraron? A) 10 B) 8 C) 9 D) 7 E) 12 7. El chofer de una cisterna de agua que abastece cierta población, observa que la cantidad de consumo diario de agua forma una progresión geométrica. El primer día se ha consumido 5400 litros y el cuarto día se ha consumido 200 litros, así sucesivamente hasta consumirse toda el agua de la cisterna. Si la cisterna solo abasteció a dicha población, ¿cuántos litros de agua contenía la cisterna? A) 9800 B) 7800 C) 8400 D) 8100 E) 9400 8. Una organización de ayuda social recolecta dinero, mediante donación, para destinarlo a una comunidad necesitada. Las cantidades que recolectaron diariamente, en soles, son las siguientes: 5 × 60; 10 × 55; 15 × 50; … ; 60 × 5. Si todo lo recaudado es para dicha comunidad necesitada, ¿cuántos soles recibió de ayuda dicha comunidad? A) 8200 B) 10 300 C) 9100 D) 9800 E) 12 200 9. La nota del examen parcial del curso de Álgebra Lineal del estudiante Rubén, coincide con la cantidad de términos que son números cuadrados perfectos de la sucesión siguiente: 6; 0; 4; 8; …; 480. ¿Cuál es la nota de Rubén? A) 10 B) 13 C) 12 D) 11 E) 9 Semana N° 15 (Prohibida su reproducción y/o venta) Pág. 27  ALBERTO CRUZ UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo 2024-I 10. Un reservorio de agua presenta una rajadura a determinada altura de la base, motivo por el cual, con el paso de los días, va perdiendo agua, en litros, de la siguiente manera: /5, 4/ 5, 9/ 5, 6/6 5, 5/3 5, …, así sucesivamente hasta que el nivel de agua queda por debajo de la rajadura. ¿Cuántos litros de agua, como máximo, se desperdicia mientras hay fuga? 15 15 15 5 5 A) B) C) D) E) 32 16 64 32 16 Geometría EJERCICIOS DE CLASE 1. En la figura, O es centro de la base del cono de revolución. Si AH = 2 m y HV = 6 m, halle el área lateral del cono. V A) 12 m2 B) 20 m2 C) 24 m2 H D) 30 m2 A B O E) 32 m2 2. En la figura, O es centro de la base de cono de revolución y G baricentro del triángulo AOV. Si GV = 6 m, halle el volumen del cono. V A) 108√  m3 B) 108√6 m3 C) 118√6  m3 G D) 118√  m3 B A D O E) 125√6 m3 Semana N° 15 (Prohibida su reproducción y/o venta) Pág. 28  ALBERTO CRUZ UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo 2024-I 3. Para una fiesta, Luis elaboró 10 gorros de cartón de forma cónica. Si las dimensiones del gorro son 15 cm de radio y 25 cm de generatriz, halle la cantidad de cartón que se empleará. A) 3756 𝜋 cm2 B) 3755 𝜋 cm2 C) 3750 𝜋 cm2 D) 3650 𝜋 cm2 E) 3550 𝜋 cm2 4. En la figura, el área lateral del tronco de cono es igual a la suma de las áreas de sus bases. Halle la razón entre los volúmenes de los conos equiláteros de generatrices BP y AP. 3 3 A) 6 B) 3 2 4 3 3 C) D) 2 9 2 3 E) 2 4 5. En un parque se quiere colocar un monumento en forma de esfera cuyo diámetro es 2,4 m. Para evitar el deterioro decide cubrirla con una pintura especial. Halle el área a pintar. 2,4 m A) 5,40 m2 B) 5,56 m2 C) 5,65 m2 D) 5,76 m2 E) 5,84 m2 6. En la figura, la esfera de centro O es tangente a la superficie interior de la semiesfera de diámetro AB en los puntos T y Q tal que AQ = QB. Si el área lateral de la semiesfera es 32 cm2, halle el área de la superficie esférica de la esfera. A) 16 cm2 A Q B B) 18 cm2 C) 19 cm2 O D) 20 cm2 E) 25 cm2 T Semana N° 15 (Prohibida su reproducción y/o venta) Pág. 29  ALBERTO CRUZ UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo 2024-I 7. En la figura, se muestra un huso esférico de centro O. Si OB = 3 m y su diedro mide 60°. Halle el área del huso esférico. A A) 4 m2 B) 5 m2 O Q 2 C) 6 m P 2 D) 7 m E) 8 m2 B 8. La figura muestra un sólido formado por una semiesfera y un cono de revolución. Si el radio de la semiesfera mide 10 cm y la altura total del sólido mide 30 cm, halle el volumen del sólido. 4000 4100 A) cm3 B) cm3 3 3 4150 4200 C) cm3 D) cm3 3 3 4250 E) cm3 3 9. En la figura se muestra un asiento que tiene la forma de un tronco de cono circular ̅̅̅̅ recto. Si el área lateral del asiento es igual a la suma de las áreas de sus bases y A es diámetro, halle la razón entre las longitudes de los radios de sus bases. A) 1 B) √ C) √3 D) 2 60° A B E) √5 Semana N° 15 (Prohibida su reproducción y/o venta) Pág. 30  ALBERTO CRUZ UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo 2024-I 10. En la figura, se muestra sector circular que es el desarrollo de la superficie lateral de un cono de revolución, en el cual se tiene inscrito una circunferencia de 1 m de longitud de radio. Halle el área total del cono. A 7 5 A)  m2 B)  m2 4 4 3 7 C)  m2 D)  m2 4 2 9 E)  m2 60° 4 O B 11. La figura muestra un recipiente semiesférico de diámetro AB que contiene líquido que alcanza una profundidad ̅̅̅̅̅ MN. Si AO = OB = 5 cm y MN = 3 cm, halle el volumen del líquido. A) 30 cm3 O A B B) 32 cm3 M C) 36 cm3 D) 34 cm3 N E) 38 cm3 12. En una esfera el área de la superficie esférica es 144 cm2. Si al trazar un plano secante a la esfera se determinan dos casquetes esféricos cuyas áreas están en la razón de 1 a 4, halle la distancia del centro de la esfera a dicho plano. A) 3,6 cm B) 3,2 cm C) 3,8 cm D) 4,2 cm E) 4,5 cm 13. Un envase de forma de un cono circular recto lleno de agua tiene una altura de 10 cm tal como muestra la figura. Si se vierte parte del contenido, de tal manera que la altura del contenido del agua que queda es 8 cm, halle el porcentaje de agua vertida con respecto al volumen total. A) 48,8 % B) 45,6 % C) 44,8 % 10 D) 42,5 % E) 40,5 % Semana N° 15 (Prohibida su reproducción y/o venta) Pág. 31  ALBERTO CRUZ UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo 2024-I 14. En un tronco de cono de revolución, los radios de las bases miden 2 m y 3 m. Si el área lateral es igual a la suma de las áreas de las bases, halle la altura del tronco de cono. 12 5 A) 1 m B) m C) 12 m D) 2 m E) m 5 2 EJERCICIOS PROPUESTOS 1. En la figura, PV = 5 m, PH = 3 m y PQ = 4 m. Halle el volumen del cono circular recto. A) 96 m3 B) 74 m3 C) 85 m3 D) 83 m3 E) 98 m3 2. Se quiere construir un sombrero japonés en forma de cono circular recto, como muestra la figura, tal que el radio y la altura miden 40 cm y 30 cm respectivamente. Halle el área de la superficie del sombrero. A) 0,15 m2 B) 0,20 m2 C) 0,30 m2 D) 0,12 m2 E) 0,25 m2 3. En un cono circular recto, las longitudes de la altura y una generatriz están en relación de 4 a 5. Si el área total es 216 cm2, halle el volumen del cono. A) 310 cm3 B) 315 cm3 C) 324 cm3 D) 320 cm3 E) 320 cm3 Semana N° 15 (Prohibida su reproducción y/o venta) Pág. 32  ALBERTO CRUZ UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo 2024-I 4. En una esfera, el radio de un círculo máximo mide 10 m. Halle el área de la zona esférica determinado por dicho círculo máximo y un círculo menor de área 36 m2. A) 150 m2 B) 160 m2 C) 180 m2 D) 120 m2 E) 140 m2 5. La figura muestra un cono circular recto construido sobre la base de una semiesfera cuyo radio mide 3 cm. Si el área de la semiesfera es igual al área lateral del cono, halle el volumen del sólido formado por el cono y la semiesfera. A) 9 ( ) 3 + 2 cm3 B) 8 ( ) 3 + 2 cm3 C) 7 ( ) 3 + 2 cm3 D) 6 ( ) 3 + 2 cm3 E) 5 ( ) 3 + 2 cm3 6. La suma de las medidas de la generatriz y los radios de las bases de un tronco de cono de revolución es 4 m. Halle el área lateral máxima de dicho tronco. A) 6 m2 B) 3 m2 C) 5 m2 D) 4 m2 E) 8 m2 Semana N° 15 (Prohibida su reproducción y/o venta) Pág. 33  ALBERTO CRUZ UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo 2024-I Álgebra LOGARITMOS ECUACIONES E INECUACIONES LOGARÍTMICAS ECUACIONES E INECUACIONES EXPONENCIALES 1. PROPOSICIÓN Dados b  + − 1, x  + , existe un único y  tal que by = x. 2. DEFINICIÓN DE LOGARITMO Sean b  0, b  1 y x  0. El logaritmo de x en base b, denotado con log b x , es el número y  tal que b y = x. Simbólicamente, logb x = y  x = b y Ejemplo 1: log3 729 = 6; pues 36 = 729. Observaciones 2.1. Diremos que x es el «número» o «argumento» del logaritmo. 2.2. Cuando la base del logaritmo es b = 10, denotaremos logx = log 10 x (logaritmo decimal o vulgar). 2.3. Cuando la base del logaritmo es el número trascendente e = 2,718281..., denotaremos lnx = log e x (logaritmo natural o neperiano). 3. PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS Dados a,x,y   + , b  0, b  1, se tiene: 1) log b b = 1 2) log b 1 = 0 x 3) log b ( xy ) = logb x + log by 4) log b   = lo g b x − log b y y m 5) logb (x n ) = n(logb x),  n . 6) log(bn ) (xm ) =   logb x ;{m,n}  ,n0. n Semana N° 15 (Prohibida su reproducción y/o venta) Pág. 34  ALBERTO CRUZ UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo 2024-I loga x 7) (log a b )(log b a ) = 1 ; a  1. 8) logb x = ; a  1. loga b log x 9) alogb c = c logb a ; c  0. 10) b b = x ; en particular: e ln x = x. 11) log b x = log b y  x = y. Observaciones 1 3.1. De la propiedad 7, se deduce: logb a =. loga b 3.2. De la propiedad 8, se deduce: ( loga b ) (logb x ) = loga x. 4. ECUACIÓN LOGARÍTMICA Una ecuación logarítmica es aquella donde la variable está en el argumento o en la base de un logaritmo. Para resolver una ecuación logarítmica, se sigue estos pasos: 1° Se plantea las restricciones para que el logaritmo exista (condición de existencia). 2° Aplicando la definición de logaritmo y sus propiedades, se convierte la ecuación logarítmica a una ecuación polinomial o exponencial, y se resuelve dicha ecuación. 3° Las soluciones obtenidas en el paso anterior, que cumplan con la condición de existencia, formarán el conjunto solución (C.S.) de la ecuación. Ejemplo 2: Si «a» es solución de la ecuación log (x −3) ( x + 3) = 2, halle el valor de 2a + 3. Solución: I. Existencia: x − 3  0  x − 3  1  x + 3  0 → ( x  3  x  4) (1) II. Resolviendo: log (x −3) ( x + 3) = 2 → x + 3 = (x − 3)2 (por definición de logaritmo) → x + 3 = x 2 − 6x + 9 → x 2 − 7x + 6 = 0 → (x − 6)(x − 1) = 0 → x   1,6  (2) Semana N° 15 (Prohibida su reproducción y/o venta) Pág. 35  ALBERTO CRUZ UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo 2024-I Intersecamos los conjuntos obtenidos en ( 1) y ( 2 ) para obtener el conjunto solución. C.S. = 6 → a = 6 → 2a + 3 = 2 ( 6 ) + 3 = 15. Por lo tanto, 2a + 3 es 15. 5. INECUACIÓN LOGARÍTMICA Caso 1 Si b  1: log bx  logby  ( x 0  y 0  x y ) Caso 2 Si 0  b  1: log bx  log by  ( x  0  y  0  x  y ) Ejemplo 3: Halle el número de elementos enteros del conjunto solución de la inecuación log 4(x2 − 3x − 4)  log 42 + log 47 Solución: I. Existencia: x2 − 3x − 4  0  ( x − 4 )( x + 1)  0  x  −, −1  4, +... (1) II. Resolviendo: Para tener logaritmos en la misma base, tenemos en cuenta que log 42 + log 47 = log4 2.7 = log4 14; luego: log 4(x2 − 3x − 4)  log 414. Como b = 4  1, estamos en el caso 1. Entonces : x 2 − 3x − 4  14 → x 2 − 3x − 18  0 → ( x − 6 )( x + 3 )  0 → x   −3,6 ... ( 2 ) Intersecamos los conjuntos obtenidos en ( 1) y ( 2 ) para obtener el conjunto solución. → C.S. =  −3,1  4,6  Nro de elementos enteros del C.S. es 6. Ejemplo 4: Resolver la inecuación log 1 (x − 4)  4. 3 Solución: I. Existencia: x − 4  0 → x  4 ( 1) Semana N° 15 (Prohibida su reproducción y/o venta) Pág. 36  ALBERTO CRUZ UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo 2024-I II. Resolviendo: log 1  (x − 4)  4   3 4  1  log 1  (x − 4 )  log 1    3 3  3       1  log 1  (x − 4 )  log 1    3  3   81      1 Como b =  1, estamos en el caso 2. Entonces : 3 1 325 x−4 →x...(2) 81 81 325 De ( 1) y ( 2 ) : C.S. = 4,. 81 6. ECUACIÓN EXPONENCIAL Proposición: Sea b  0, b  1; entonces: bx = by  x = y. Ejemplo 5: Determine el producto de soluciones de la ecuación 25x + 150 − 5x + 3 = 2 ( 5x ) − 100 Solución: 25 x + 150 − 5 x + 3 = 2 ( 5 x ) − 100 → 52 ( ) ( ) + 250 − 5 x.53 − 2 ( 5 x ) = 0 x ( ) 2 → 5x − 127.5 x + 250 = 0 Factorizando por aspa simple : (5 x )( − 125 5 x − 2 = 0 ) ( ) (  5 x = 125  5 x = 2  5 x = 53  5 x = 5log5 2 )  (x=3  x = log5 2 ).  El producto de soluciones es 3.log5 2 = log5 8. Ejemplo 6: El crecimiento de una población está modelada por p ( t ) = ke0.04t , donde «k» representa la población inicial y «t» es el tiempo en años. Si la población actual es de 80 000 habitantes, ¿cuánto tiempo ha de transcurrir para que la población se duplique? Considere ln2 = 0,69. Semana N° 15 (Prohibida su reproducción y/o venta) Pág. 37  ALBERTO CRUZ UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo 2024-I Solución: Por dato: k = 80 000 Luego hallaremos «t» cuando p ( t ) = 2k → ke0.04t = 2k → e0.04t = 2 Tomando ln en ambos miembros: lne0.04t = ln2 → 0,04t = 0,69 0,69 t= → t = 17,25 0,04 a de transcurrir 7, 5 años para que la población se duplique. 7. INECUACIÓN EXPONENCIAL Caso 1 Si b  1: b p(x)  b q(x)  p(x)  q(x). Caso 2 Si 0  b  1: b p(x)  b q(x)  p(x)  q(x). Ejemplo 7: Determine la suma de las soluciones enteras que satisface la inecuación x2 + 2x + 1  1 1    x +3. e e Solución: x2 + 2x + 1 x2 + 2x + 1 x +3  1 1  1  1        e ex + 3 e  e 1 1 Como =  1, estamos en el caso 2. Luego: e 2,7 x 2 + 2x + 1  x + 3 → x 2 + x − 2  0 → (x + 2)(x − 1)  0 → x  −2;1 → C.S. = −2;1  La suma de las soluciones enteras es : −1 + 0 = −1 Semana N° 15 (Prohibida su reproducción y/o venta) Pág. 38  ALBERTO CRUZ UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo 2024-I EJERCICIOS DE CLASE 1. En una maratón, un atleta recorre “7M” km para llegar a la meta. Si M = 5log32 2 + log34 17 25 +log11 343.log7 5.log 5 11, calcule la distancia que recorrió 25 el atleta si logró el objetivo. A) 20 km B) 40 km C) 14 km D) 42 km E) 35 km 2. Si los números reales log125 x 6 + log10  y log5 ( x + 6 ) + lne  son iguales, entonces el menor valor de «x» es: A) –3 B) 2 C) 3 D) –1 E) –2 3. La población de bacterias (en millones) en un laboratorio esta modelada por A ( x ) = ax + b , donde «x» es el tiempo transcurrido en días. Si inicialmente la población de bacterias es de 5 millones, determine cuantos días deberá de transcurrir para que la población inicial se cuadruplique, sabiendo que, si transcurre 5 días, la población será 1028 millones de bacterias. A) 5 días B) 3 días C) 1 días D) 4 días E) 2 días log ( y − 18 ) = 2 4. Al resolver el sistema  x , halle la suma de cifras del valor de ( 4y − 2x ).  2logy ( x + 3 ) = 1 A) 15 B) 18 C) 9 D) 6 E) 4 6 Determine la suma de las soluciones de la ecuación 5 ( 3 x −5 )=5. x +1 5. A) −1 − log3 5 B) − log3 5 C) 4 − log3 5 D) log3 15 E) 4 − log5 3 La recuperación normal de una herida se puede modelar por H( t ) = ke −0,35t 6. , donde H(t) 2 representa el área (en cm ) de la herida despues de «t» días. Si no hay infecciones que retarden la recuperación y el área inicial de una herida es 1 cm 2 , ¿cuántos días deben de transcurrir para que dicha herida sea menor de la octava parte de su tamaño original? Considere ln2 = 0,693 A) 5to día B) 3er día C) 2do día D) 4to día E) 6to día Semana N° 15 (Prohibida su reproducción y/o venta) Pág. 39  ALBERTO CRUZ UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo 2024-I 7. Halle la suma de las cuatro mayores soluciones enteras del conjunto solución de la inecuación x + log ( 2 + 1)  xlog5 + log72. x A) 5 B) 0 C) 2 D) 4 E) 6 8. Si «a» es el número de soluciones enteras que verifica la inecuación log 1 3 x − 5  log 1 (log106 ) , determine el valor de loga ( a2 + 7a − 2). 7 7 A) 4 B) log2 7 C) 8 D) log4 42 E) 2 EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Para elaborar sus postres Noelia deberá comprar «T» tarros de leche, donde T = log10 815 3 + log15 6 5 36 − lne8. Si cada tarro de leche cuesta S/4, determine 729 216 cuánto gastará Noelia por su compra. A) S/ 32 B) S/ 24 C) S/20 D) S/ 56 E) S/16 2. Si el logaritmo neperiano de 10 es «a» y el logaritmo decimal de 3 es «b», calcule el logaritmo neperiano de 7290. A) 6ab B) 7ab C) ab + 6 D) 6a + b E) a + 6ab Las medidas (en cm) de las longitudes de un rectángulo son 2 ( 7log6 x ) y ( x + 1) 6. log 7 3. Si el área de dicho rectángulo es 14 cm2 entonces el valor de «x» es A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 7 4. Un fármaco es indicado para aliviar las molestias durante los procesos gripales. Cuando se le administra dicho fármaco a un paciente, se observa que el número de miligramos que permanecen en el torrente sanguíneo disminuye 25% respecto a la dosis observada una hora antes. Si la dosis administrada a un paciente es de 10 miligramos, ¿cuántas horas deberán de transcurrir desde la administración de la dosis inicial si en el torrente sanguíneo permanece aún 4 miligramos de dicho fármaco? Considere log0,75 0,4 = 3,185. A) 2 horas B) 2,185 horas C) 3 horas D) 3,185 horas E) 5 horas Semana N° 15 (Prohibida su reproducción y/o venta) Pág. 40  ALBERTO CRUZ UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo 2024-I 5. Determine la suma del mayor y menor elemento entero del conjunto solución del  x 2 −10x + 25 x −5 + 42  1   1   sistema   17   17 .  x −3 6Lne2 1  ( 2024 )  ( 2024 ) A) 13 B) 15 C) 14 D) 16 E) 12 6. La presión atmosférica P(h) sobre un avión disminuye conforme a la altura. Esta presión, medida en milímetros de mercurio (mm-Hg), se relaciona con la altura h en kilómetros (km) sobre el nivel del mar mediante el modelo P (h) = 760e−0,145h. Determine la altura del avión sobre el nivel del mar, si la presión atmosférica es de 380 mm-Hg. Considere ln2=0,693 A) 5,46 km B) 3,477 km C) 4,779 km D) 4,27 km E) 6,447 km 7. Las edades de Miguelito y su abuelo son respectivamente 1a y ( a − 3 ) b años; si se sabe que ab es el resultado de sumar la mayor y menor solución entera de la (log3 x ) 2 +8 inecuación  log3 x 3 , determine la diferencia positiva de sus edades. 2 A) 41 años B) 40 años C) 51 años D) 39 años E) 43 años 8. Halle el producto de las soluciones de la ecuación 72x +1 + 5 ( 6 x ) = 294 x + 35. 1 1 A) log6 5 B) 1 C) log6 25 D) E) log6 5 2 2 Semana N° 15 (Prohibida su reproducción y/o venta) Pág. 41  ALBERTO CRUZ UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo 2024-I Trigonometría FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Función Seno La función seno f : R → R es impar, definida por f ( x ) = senx a) Dom ( f ) = R b) Ran ( f ) =  −1,1 c) Período 2 Función Coseno La función coseno f : R → R es par, definida por f ( x ) = cos x a) Dom ( f ) = R Y 1  3 b) Ran ( f ) =  −1,1 2 2  O  2 5 X 2 2 c) Período 2 1 Función Tangente Es la función f : R → R es impar, definida por f ( x ) = tan x    a) Dom ( f ) = R − ( 2k + 1) / k  Z   2  b) Ran ( f ) = R c) Período    d) Es creciente en cada uno de los intervalos ( 2k − 1)  x  ( 2k + 1) , kZ 2 2 Semana N° 15 (Prohibida su reproducción y/o venta) Pág. 42  ALBERTO CRUZ UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo 2024-I Propiedades de las Funciones Senoidal y Cosenoidal Siendo A, B,  y k números reales fijos (constantes). Se llama función senoidal, si su regla de correspondencia es de la forma: f(x) = A.Sen (B(x − )) + k, Dom(f) = R Y se llama función cosenoidal, si su regla de correspondencia es de la forma: f(x) = A.Cos (B(x − )) + k, Dom(f) = R Para cualquiera de estas funciones se tiene las siguientes propiedades: a. La amplitud es A. b. El ángulo de desfase (desplazamiento horizontal) es . Si   0 , el desfase es  unidades a derecha del origen de coordenadas. Si   0 , el desfase es  unidades a izquierda del origen de coordenadas. c. Desplazamiento vertical es k Si k>0 el desplazamiento |k| unidades hacia arriba del origen de coordenadas. Si k